2016年春新版沪科版九年级数学下册：24.2圆的基本性质(3)课件
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沪科版九年级下24.2圆的基本性质课件(共23张PPT)
1°的弧。
C
1度弧
D
一般地，n°的圆心角对着n°的弧， 弧对着n°的圆心角。
n°的
1度圆心角
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等。
O A
n度圆心角
n度弧 B
例题讲解:
例4：已知：如图，等边三角形ABC的三个顶
点都在⊙O上。 求证：∠AOB= ∠ BOC= ∠ COA=120°
证明：∵AB=BC=CA
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
垂径定理： “知二推三”
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都
可以推出其他三个结论
操作探究（1）
在平面内，一 图形绕某个点旋转
在两张透明纸1上80，°分，如别果作旋半转径前相等的 ⊙O和⊙O′，把两后张的纸图叠形能在互一相起重，使⊙O和⊙O′重
弦相等
弦心距相等
D
例6：已知 AB和CD为⊙O的两 条直径,弦CE∥AB, E⌒C 为40°. 求∠BOD的度数。
解：连接OE
∵ E⌒C =40°
∴∠COE =40°
∵OC=OE
∴∠OCE=
180 -40 70 2
又CE∥AB，
∴∠AOD=∠OCE=70°
∴ ∠BOD=180°-70°=110°
D A
24.2 圆的基本性质 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
学习目标：
1、复习垂径定理及其推论。 （知二推三） 2、理解圆心角的概念. 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的 相等关系定理及推论. （知一推三） 4、理解“1°的弧”的概念。
24.2 圆的基本性质 第3课时 课件 沪科版数学九年级下册 (2)
24.2 圆的基本性质
第2课时
学习目标
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
垂
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
径
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会
定
数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
理
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，
②③ ①⑤④ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.
…… ……
……
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例1：如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB为6 cm，求圆心O 到弦AB的距离.
O AE
解：连接OA，过圆心O做OEAB，垂足为E.
AEEB 1 AB 1 63 (cm)
O
ODR7.2，AD18.7.
由勾股定理得：AO2OD2AD2，
∴R2 (R7.2)218.72
解得：R27.9.
答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
1. 在⊙O中，若CDAB于M，AB为直径，
则下列结论不正确的是( C ) A
延伸
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
知二推三
④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.
条件 结论
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦 ①⑤ ②③④ 所对的另一条弧.
相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.
第2课时
学习目标
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
垂
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
径
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会
定
数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
理
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，
②③ ①⑤④ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.
…… ……
……
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例1：如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB为6 cm，求圆心O 到弦AB的距离.
O AE
解：连接OA，过圆心O做OEAB，垂足为E.
AEEB 1 AB 1 63 (cm)
O
ODR7.2，AD18.7.
由勾股定理得：AO2OD2AD2，
∴R2 (R7.2)218.72
解得：R27.9.
答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
1. 在⊙O中，若CDAB于M，AB为直径，
则下列结论不正确的是( C ) A
延伸
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
知二推三
④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.
条件 结论
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦 ①⑤ ②③④ 所对的另一条弧.
相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.
新沪科版初中数学九年级下册精品课件24.2.5 圆的确定
(1)尺规作图：作△ABC的外接圆(只需作出图形，并 保留作图痕迹)；
(2)求它的外接圆半径． 解：(1)如图，⊙P即
为所求作的圆．
（来自《点拨》）
知2－讲
(2)如上图，连接PC.设AP与BC交于点M，
∵BC＝6 3 cm，
AB＝AC，∠BAC＝120°，BC⊥AP，
∴∠CAP＝60°，BM＝MC＝3 3 cm，
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 如图，已知点A是直线l外的一点，点B是l上的一点． (1) 作⊙O，使它经过A，B两点，且与l有交点C(与B 点不 重合)； (2)作一个三角形，使它的三个顶点都在⊙O上． (只需作出符合条件的一个圆和一个三角形，要求 写出作法)
（来自《点拨》）
知1－讲
导引：若圆过某两个已知点，则圆心一定在连接这两点的线 段的垂直平分线上．
（来自《教材》）
总结
知3－讲
反证法的第一步是假设，假设时要特别注意命题结 论的反面不止一种情况时，应把所有可能情况都列 出来，然后再分别证明列举出来的各种情况均不成 立，从而肯定原命题成立．
1．完成下面的证明过程：
知3－练
已知：如图，直线l1，l2, l在同一平 面内，且l1 ⊥ l, l2 ⊥ l. 求证： l1 // l2. 证明:假设______，则l1与l2相交， 设l1与l2交于点P.由已知条件_______, _______得知，过点P有两条直线与直线l垂直，这与
(2)利用等边三角形的性质和锐角三角函数即可求出 外接圆半径．
知2－练
1．按图填空： (1) △ ABC是⊙O的_______三角形； (2) ⊙O是△ ABC的_______圆； (3) 点O是△ ABC的_______心； (4) OA,OB,OC三条线段的长度有关系：________.
(2)求它的外接圆半径． 解：(1)如图，⊙P即
为所求作的圆．
（来自《点拨》）
知2－讲
(2)如上图，连接PC.设AP与BC交于点M，
∵BC＝6 3 cm，
AB＝AC，∠BAC＝120°，BC⊥AP，
∴∠CAP＝60°，BM＝MC＝3 3 cm，
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 如图，已知点A是直线l外的一点，点B是l上的一点． (1) 作⊙O，使它经过A，B两点，且与l有交点C(与B 点不 重合)； (2)作一个三角形，使它的三个顶点都在⊙O上． (只需作出符合条件的一个圆和一个三角形，要求 写出作法)
（来自《点拨》）
知1－讲
导引：若圆过某两个已知点，则圆心一定在连接这两点的线 段的垂直平分线上．
（来自《教材》）
总结
知3－讲
反证法的第一步是假设，假设时要特别注意命题结 论的反面不止一种情况时，应把所有可能情况都列 出来，然后再分别证明列举出来的各种情况均不成 立，从而肯定原命题成立．
1．完成下面的证明过程：
知3－练
已知：如图，直线l1，l2, l在同一平 面内，且l1 ⊥ l, l2 ⊥ l. 求证： l1 // l2. 证明:假设______，则l1与l2相交， 设l1与l2交于点P.由已知条件_______, _______得知，过点P有两条直线与直线l垂直，这与
(2)利用等边三角形的性质和锐角三角函数即可求出 外接圆半径．
知2－练
1．按图填空： (1) △ ABC是⊙O的_______三角形； (2) ⊙O是△ ABC的_______圆； (3) 点O是△ ABC的_______心； (4) OA,OB,OC三条线段的长度有关系：________.
九年级数学下册 24.2 圆的基本性质(第3课时)课件 (新版)沪科版
第二十二页，共30页。
例题(lìtí)解析
例2 已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与 CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点(zhōnɡ diǎn)，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系 是什么？为什么？
解：连结OM、ON， ∵M、N分别(fēnbié)为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM
基础训练
7、如图，已知AD=BC、求证 (qiúzhèng)AB=CD
变式：如图，如果(rúgu⌒ǒ)AD⌒ =BC，求证：AB=CD
第二十七页，共30页。
拓展(tuò zhǎn)训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF， 连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明(shuōmíng)理由； （2）求证：A⌒C=B⌒D
B
B′
·A
O
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
⌒ ∵∠AOB=∠A｀OB｀
⌒
∴ AB = A′B′,
ABA'B.
同样，还可以得到(dé dào)：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆 心角___相__等， 所对的弦____相_等___；
(xiāngd
在同圆或ěn等g圆) 中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆
复习
(fù1x、í)圆的对称性有哪几方面 (fāngmiàn)？
O
轴对称性
第一页，共30页。
导入 2、将圆绕圆心(yuánxīn)任意旋转：
α O
圆具有(jùyǒu)旋转不变性,是中心对称 图形
第二页，共30页。
例题(lìtí)解析
例2 已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与 CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点(zhōnɡ diǎn)，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系 是什么？为什么？
解：连结OM、ON， ∵M、N分别(fēnbié)为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM
基础训练
7、如图，已知AD=BC、求证 (qiúzhèng)AB=CD
变式：如图，如果(rúgu⌒ǒ)AD⌒ =BC，求证：AB=CD
第二十七页，共30页。
拓展(tuò zhǎn)训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF， 连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明(shuōmíng)理由； （2）求证：A⌒C=B⌒D
B
B′
·A
O
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
⌒ ∵∠AOB=∠A｀OB｀
⌒
∴ AB = A′B′,
ABA'B.
同样，还可以得到(dé dào)：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆 心角___相__等， 所对的弦____相_等___；
(xiāngd
在同圆或ěn等g圆) 中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆
复习
(fù1x、í)圆的对称性有哪几方面 (fāngmiàn)？
O
轴对称性
第一页，共30页。
导入 2、将圆绕圆心(yuánxīn)任意旋转：
α O
圆具有(jùyǒu)旋转不变性,是中心对称 图形
第二页，共30页。
【最新】沪科版九年级数学下册第二十四章《圆的基本性质(第1课时)》精品课件.ppt
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
24.2 圆的基本性质
第1课时 圆 的相关定义
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象 倍 速 课 时 学 练
如图，观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？
倍 速 课 时 学 练
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
A
固定的端点O叫做圆心
倍
因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点
速 课
O的距离等于定长r 的点组成的图形．
时学Biblioteka 练倍速课
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半
时 径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变.因此，当车辆
学 在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这就是车轮都做成圆形的 练
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:08:55 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
沪科版九年级数学圆的基本性质课件
反证法 假设命题的结论不成立, 然后经过推理,
得出矛盾的结果, 最后断言结论一定成立, 这 种方法叫做反证法。
例如: 命题: 经过同一直线的三点不能作出一个圆。 假设: 经过同一直线的三点能作出一个圆。 矛盾: 过一点有两条直线垂直于已知直线。 定理: 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
用反证法完成下题。
●O
B
┐
C
B
C
●O
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形 的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外 心位于三角形外。
现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损 的圆盘复原了吗？
重难例题讲解
例 1: 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC外接圆的直 径。
探究证明
沪科版九年级数学圆的 基本性质课件
2024/7/26
问题：车间工人要将一 个如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？
探究发现
过一点可以做几条直线？ 过两点呢？
●A
●A
●B
●O
●O
● ●A O
●O
●O
●O ●O
●A
●O
●B
●O
1.过已知点A作圆，你能作出几个这样的圆？ 2.过已知点A，B作圆，你能作出几个这样的圆？
请你证明你做的圆∵点O在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB 同理, OB=OC ∴OA=OB=OC
●O
B●
┏
●C
D
∴点A, B, C在以O为圆心的圆上.
G
∴⊙O就是所求作的圆,
这样的圆可以作出几个？ 为什么？
过如下三点能不能做圆？ 为什么？
A
沪科版九年级数学(下)24.2圆的基本性质课件(共17张PPT)
在 圆内 ； （2、3）矩若形O的P=四个2c顶m 点是，否则一点定P在能圆在上同。一个圆上，为 什以么O？为圆心、以3cm为半径再画一个圆。如图
这两个圆叫做同心圆
（4）若OP≤2cm，A 则点P在 小D圆上或小圆内 ；
（5）若2cm<OP<3cm，则O 点P在小圆和大圆之；间
(4)过圆心的直线是直径；( )
(5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( )
(7)半径相等的两个圆是等圆.( )
14
如 图 , 一 根 5m
长的绳子,一端
栓在柱子上,另
5
一端栓着一只羊,
请画出羊的活动
区域.
15
5m
× 4m o
5m
× 4m o
5m 1m
正确答案
16
小结：
1、圆的相关概念（旋转观点、集合点）； 2、点与圆的位置关系； 3、与圆有关的概念。
12
例1 已知：如图，AB、CD为⊙O的直径， 求证：AD∥CB
C 证明 连接AC、BD
A
O D
B ∵ AB、CD为⊙O的直径 ∴OA=OB OC=OD ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴ AD∥CB
13
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； (
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
P
B
O·
·O
C
D
A
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
4
5
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心 （圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平 面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变， 因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会 感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学 道理．
这两个圆叫做同心圆
（4）若OP≤2cm，A 则点P在 小D圆上或小圆内 ；
（5）若2cm<OP<3cm，则O 点P在小圆和大圆之；间
(4)过圆心的直线是直径；( )
(5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( )
(7)半径相等的两个圆是等圆.( )
14
如 图 , 一 根 5m
长的绳子,一端
栓在柱子上,另
5
一端栓着一只羊,
请画出羊的活动
区域.
15
5m
× 4m o
5m
× 4m o
5m 1m
正确答案
16
小结：
1、圆的相关概念（旋转观点、集合点）； 2、点与圆的位置关系； 3、与圆有关的概念。
12
例1 已知：如图，AB、CD为⊙O的直径， 求证：AD∥CB
C 证明 连接AC、BD
A
O D
B ∵ AB、CD为⊙O的直径 ∴OA=OB OC=OD ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴ AD∥CB
13
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； (
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
P
B
O·
·O
C
D
A
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
4
5
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心 （圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平 面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变， 因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会 感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学 道理．
24.2圆的基本性质(第3课时)课件ppt沪科版九年级下
5、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1， 则弦AB所对的圆心角的度数为 。
6、如图5，在⊙O中A⌒B=AC⌒，∠C=75°，求∠A的度数。
A
O
B
C
图5
基础训练
7、如图，已知AD=BC、求证AB=CD
A
C
O
D
B
图6
变式：如图，如果A⌒D=B⌒C，求证：AB=CD
拓展训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连 结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：A⌒C=BD⌒
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现四个量：
圆心角
弧 弦 弦心距
探究 B
α
A
Oα
A′ B
B′
·A
O
A′ B ′
将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/ ，你能发现哪些等 量关系？
定理
这样，我们就得到下面的定理：
B
B′
·A
O
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
∵∠AOB=∠A｀OB｀ ∴
O
E C
A
F
D B
图7
课后思考题
1.如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分 别延长到E、F，使BE= DF。 求证：EF的垂直平分线必经过点O。
BE M A
O C
N DF
2.如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两 条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
试证明：AE=CF
C E
PG
A
┌.
B
O
F
复习 1、圆的对称性有哪几方面？
6、如图5，在⊙O中A⌒B=AC⌒，∠C=75°，求∠A的度数。
A
O
B
C
图5
基础训练
7、如图，已知AD=BC、求证AB=CD
A
C
O
D
B
图6
变式：如图，如果A⌒D=B⌒C，求证：AB=CD
拓展训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连 结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：A⌒C=BD⌒
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现四个量：
圆心角
弧 弦 弦心距
探究 B
α
A
Oα
A′ B
B′
·A
O
A′ B ′
将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/ ，你能发现哪些等 量关系？
定理
这样，我们就得到下面的定理：
B
B′
·A
O
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
∵∠AOB=∠A｀OB｀ ∴
O
E C
A
F
D B
图7
课后思考题
1.如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分 别延长到E、F，使BE= DF。 求证：EF的垂直平分线必经过点O。
BE M A
O C
N DF
2.如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两 条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
试证明：AE=CF
C E
PG
A
┌.
B
O
F
复习 1、圆的对称性有哪几方面？
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质：
①经过 圆心 ； ② 垂直 于弦.那么这条直线就：
③ 平分 这条弦， ④平分 弦所对的劣弧； ⑤平分 弦所对的优弧.
探究四
灵活运用
例1：如图，⊙O 的半径是5cm，
弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的 距离。
分析：过O作OE⊥AB于E,连接OA, 将问题转化为解直角三角形，利用勾
,
径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.
已知:如图在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
垂径定理
证明： 连接OA,OB，则OA=OB. ∵CD⊥AB于E，AE=BE.
∵⊙O关于直径CD对称,
定理剖析
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦
7.2
A
18.7
R
D
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 ,
O
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
巩固提高
1、见教材第17页练习第3题
2、（学有余力）已知⊙O的半径为13，弦AB=24，
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
谢谢，再见!
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系统中重要 的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备自我激励能力的人， 富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自家的后院练习棒球。在挥动球 棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有击中。男孩子停下来，检查了球 棒和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很棒的挥球手。接着男孩子又对自 己喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著是很多人并不具备的……而许多奇 迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要目标不能激发你的想象力，目标 的实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你可以安排自己的休整点。事先 看看你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出一大段时间让自己隐退一下， 即使是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅 咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自己。获得别人对自己的反 映很不错，尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的棋局该由自己来摆。 不要从别人身上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵感的降临。你可不要 这样。如果有些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以，这次犯错，是为了 下次接受挑战后，要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的勇气。事过境 迁，面对人生，面对社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努力。谁都不 可能一生一世的帮你，一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有稍微有点 意识的年轻人都想努力提��
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O · F
提示:做辅助线，利用角平分线的性质证明。
例6
已知：如图，AB、CD为⊙O的两直 ⌒ 40°。 径 ，弦CE∥BA,EC为
求∠DOB的度数。
D
B
O ·
C
A
提示：连接OE。
E
1.如图6，AD=BC，那么比较AB与CD的大小.
⌒ ⌒
C
A
D
O
B
2.如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF， 连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B. （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； ⌒ ⌒ （2）求证：AC=BD
例4 如图1，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上。
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。
证明：∵AB=BC=AC
A
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
=
1 ×360° 3
O
B
C
=120°
例5 已知：如图，点O是∠A平分线上的一 点，⊙O分别交∠A两边于点C、D、E、F。
求证：CD=EF D
C
A E
O
B
判别下列各图中的角是不是圆心角，并 说明理由。
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量： A
圆心角
弧
O·
弦
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
B
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ A1 B1 · O A
B
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆
1.圆对称图形吗?它具有怎样的对称性？
2.垂径定理
3.弦心距
圆是旋转对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是旋转对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
·
∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对的弦为AB， 所对的弧为AB。 ⌒
⌒ ⌒
α
O
A
∵OD⊥AB ,OD1⊥A1B1 ∴OD=OD1
α
D1 B1
Байду номын сангаасA1
思考：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你 能得什么结论？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
等对等定理 同圆或等圆中，两个圆心 角、两条圆心角所对的弧、 所对的弦、所对弦的弦心距 中如果有一组量相等，那么 O
B
D
α
A
α
D1 B1
其余各组量都分别相等。
简记为： 圆心角相等 弧相等 弦相等
A1
弦心距相等
如图，AB、CD是⊙O的两条弦， OE⊥AB于E， OF⊥CD于F， 。
（1）如果AB=CD， 那么__________ 。 （2）如果弧AB=弧CD， 那么 。
A
E
B
（3）如果∠AOB=∠COD， 那么 ___。
O
D F
C
图3
A
O
P D C
1.四个元素：
B D
圆心角、弦、弧、弦心距 2.四个相等关系：
(1) 圆心角相等 知 一 得 三
α
O
A
α
D1 B1
(2) 弧相等 (3) 弦相等
（4）弦心距相等
A1
O C A
E
F
B
D
⌒⌒ ⌒ 3.如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°。
求∠AOE的度数。
E
D C B
⌒ ⌒ 证明： ∵ ⌒ BC=CD=DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE
A
O
=750
4.如图，等边△ABC的三个顶点A、 B、C都在⊙O上，连接OA、OB、OC， ⌒D， 延长AO分别交BC于点P，交BC于点 连接BD、CD. （1）判断四边形BDCO的形状，并 说明理由； B （2）若⊙O的半径为r，求△ABC的 边长
⌒ ⌒
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，
请问上述结论还成立吗？为什么?
B B1
A1
· O
A
· O1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒ ⌒
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. ∵ ∠AOB=∠A1OB1 ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 . B D