最新精编高中人教A版选修1-1高中数学强化训练3.2.2基本初等函数的导数公式(二)和答案
高中数学人教A版选修1-1练习课件：3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
课后提升训练
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1 C． 3 D. 3 1 1 1 解析：f′(x)＝(x3 )′＝3x3
答案：D
－1
1 －2 1 3 ＝3x ，所以 f′(1)＝3.
• • • • •
4．函数f(x)＝sinx，则f′(6π)等于( A．1 B．－1 C．0 D．cosx 解析：f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1. 答案：A
解析：因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．e′＝0，所 0－x2′ －2x －2 1 以②错误．(x2)′＝ ＝ x4 ＝ x3 ，所以③错误．(－ x4 1 )′＝ x
答案：B
＝
1 －3 1 ＝2x 2 ＝ ，所以④处的导数
)
3.若函数 f(x)＝ x，则 f′(1)等于( A． 0 1 B．－3
)
知识点三
函数的切线问题
1 5.求曲线 y＝x与抛物线 y＝ x的交点坐标，并分别求在 交点处的两曲线的切线的斜率．
1 y＝ ， 1 x 解：由 ⇒x＝ x， y＝ x ∴x3＝1，即 x＝1，代入曲线的方程，有 y＝1， ∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
1 1 由函数 y＝x，得 y′＝(x)′＝(x－1)′＝－x－2， ∴该曲线在点(1,1)处的切线的斜率 k1＝y′|x＝1＝－1. 1 1 1 又由函数 y＝ x，得 y′＝( x)′＝(x2)′＝2x－2. ∴该曲线在点(1,1)处的切线的斜率． 1 k2＝y′|x＝1＝2.
第三章
导数及其应用
3.2 导数的计算
课时作业24 几个常用函数的导数 与基本初等函数的导数公式
1
课堂对点训练
2
课后提升训练
[ 目标导航] 1 1．能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x ，y＝x，y＝ x
数学：3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件(新人教A版选修1-1)
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1 4 t 4
2与S :y=-(x-2)2,若直线l与S ,S 均 金太阳新课标资源网 例4. 已知曲线S1:y=x 2 1 2 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 2 4
y′＝－1/2cosx.
例3.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
1 4 9 －4x －9x ＝－ 2－ 3－ 4. x x x
－3 －4
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xsinx－2 xsinx 2 (4)y′＝ cosx －cosx′＝ ′ cosx
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线 方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用 【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很 多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即 切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决 问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积 相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义 分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极 限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很 麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与 基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导 了，简洁迅速.
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
2020-2021学年人教A版数学选修1-1配套学案：3.2.2 基本初等函数的导数公式
3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)内容标准学科素养1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第59页[基础认识]知识点一函数和、差的导数预习教材P84－85，思考并完成以下问题若h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分别与f′(x)，g′(x)有什么关系？提示：设f(x)，g(x)是可导的．Δy＝h(x＋Δx)－h(x)＝f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)－f(x)－g(x)＝[f(x＋Δx)－f(x)]＋[g(x＋Δx)－g(x)]＝Δf＋Δg∴ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＋g(x＋Δx)－g(x)Δx＝ΔfΔx＋ΔgΔx∴li mΔx→0ΔyΔx＝lim⎝⎛⎭⎫ΔfΔx＋ΔgΔx＝limΔx→0ΔfΔx＋limΔx→0ΔgΔx＝f′(x)＋g′(x)即h′(x)＝[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)同理可证I′(x)＝[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)知识梳理和、差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．特别提醒：两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．知识点二函数积、商的导数知识梳理(1)函数积的导数[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)．(2)函数商的导数⎣⎡⎦⎤f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)·g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．(3)常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即[cf(x)]′＝cf′(x)．[自我检测]1．函数y ＝(x ＋1)(x －1)的导数等于( ) A ．1 B ．－12xC.12x D ．－14x答案：A2．已知f (x )＝e x ln x ，则f ′(x )＝( ) A.e x xB ．e x ＋1xC.e x (x ln x ＋1)xD.1x ＋ln x 答案：C授课提示：对应学生用书第59页探究一 利用导数四则运算法则求导[阅读教材P 84例2]根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数y ＝x 3－2x ＋3的导数．题型：运用导数的运算法则求导．方法步骤：①由基本函数的导数公式知(x 3)′＝3x 2，x ′＝1,3′＝0. ②由导数的运算法则得y ′＝3x 2－2. [例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[解析] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.方法技巧 利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则、基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪探究 1.求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解析：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′ ＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos xx 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 探究二 导数运算法则的综合应用[阅读教材P 84例3]日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x (80<x <100)．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1)90%； (2)98%. 题型：导数的应用．方法步骤：①利用商的求导法则求出C ′(x )． ②再将90,98分别代入C ′(x )即得到所求． [例2] (1)设曲线y ＝2－cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________.[解析] y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos xsin 2 x＝1－2cos xsin 2x， 当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin 2π2＝1，直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a ，由题意－1a ＝－1，所以a ＝1.[答案] 1(2)已知函数f (x )＝ln xx ＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系．[解析] 由题意得f ′(x )＝1－ln xx 2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1. 所以f (x )＝ln xx －2x ，得f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．方法技巧 1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪探究 2.设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．解析：因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2，又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.答案：43．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e x f ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－3 B ．2e C.21－2eD.31－2e解析：f ′(x )＝2e x f ′(1)＋3x∴f ′(1)＝2e f ′(1)＋3 ∴f ′(1)＝31－2e ，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第60页[课后小结]求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．[素养培优]1．未能区分好变量与常量而致错 求f (x )＝a x ＋cos a 的导数(其中a 为常数)．易错分析 本题错在忽视变量a x 与常量cos a 的不同，常量的导数应为0.考查数学运算的学科素养．自我纠正 f ′(x )＝a x ln a .2．导数的四则运算记忆不准确致误 求下列函数的导数 (1)f (x )＝x ＋1x －1； (2)f (x )＝x 2cos x .易错分析 求导时没能准确地运用商和积的运算法则致误．考查数学运算的学科素养． 自我纠正 (1)f ′(x ) ＝(x ＋1)′(x －1)－(x ＋1)(x －1)′(x －1)2＝x －1－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2.(2)f′(x)＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x.。
高二人教A版数学选修1-1同步练习3-2-1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式-Word版含答案
3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式一、选择题1.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率C ．曲线y ＝－x 2的斜率D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率[答案] B[解析] 由导数的意义可知，lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率． 2．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( ) A ．－32B ．－12C ．0D.12 [答案] C[解析] 常数函数的导数为0.3．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③[答案] C[解析] 当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ，当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.4．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2D.12 [答案] D[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.5．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )A.12 B ．－12C.1e D ．－1e[答案] C[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e .6．已知函数f (x )＝x 12，则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12′＝( )A ．0 B.22C ．1D ．－22[答案] A[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12，∴⎝⎛⎭⎫12′＝0.7．y ＝1x 在点A (1,1)处的切线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y －2＝0[答案] A[解析] ∵y ′＝－1x 2，∴y ′|x ＝1＝－1.∴y －1＝－1(x －1)，即x ＋y －2＝0.8．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227 ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln2④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] ①y ＝ln2为常数，所以y ′＝0，①错．9．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝33x ，则y ′＝－1x 3xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x 3，则y ′＝3x 2[答案] D[解析] y ′＝(3x 3)′＝3×3·x 3－1＝9x 2.10．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( ) A.12B ．－12 C.32D ．－32 [答案] A二、填空题11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________．[答案] y ＝x －1[解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0)∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1，所求切线方程为：y ＝x －1.12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________．[答案] 18013．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，∴tan135°＝－1＝－8x －30.∴x 0＝2，y 0＝1.14．y ＝10x 在(1,10)处切线的斜率为________．[答案] 10ln10[解析] y ′＝10x ln10，∴y ′|x ＝1＝10ln10.三、解答题15．已知曲线C ：y ＝x 3(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其它公共点？[解析] (1)∵y ′＝3x 2∴切线斜率k ＝3∴切线方程y －1＝3(x －1)即3x －y －2＝0(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －2＝0y ＝x 3 ∴(x －1)(x 2＋x －2)＝0∴x 1＝1 x 2＝－2∴公共点为(1,1)及(－2，－8)16．求下列函数的导数(1)y ＝ln x (2)y ＝1x4 (3)y ＝5x 3 [答案] (1)y ′＝(ln x )′＝1x(2)y ′＝(x －4)′＝－4·x －4－1＝－4·x －5＝－4x517．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．[解析] ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 18．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，22且与在这点处的切线垂直的直线方程． [解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .∴经过这点的切线的斜率为22，从而可知适合题意的直线的斜率为－ 2. ∴由点斜式得适合题意的直线方程为y －22＝－2(x －π4)， 即2x ＋y －22－24π＝0.。
高中数学人教A版选修1-1配套课件：3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
互动探究·攻重难
命题方向 1
求基本初等函数的导数
典例 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x13；(2)y＝x13；(3)y＝ 4
x；(4)y＝
5
1 x2
.
[解析] (1)y′＝(x13)′＝13x12.
(2)y′＝(x13)′＝(x－3)′＝－3x－4.
(3)y′＝( 4
1
x)′＝(x4
)′＝14x－43
• 1．几个常用函数的导数
函数
导数
函数
导数
f(x)＝c f′(x)＝___0__ f(x)＝x f′(x)＝__1___ f(x)＝x2 f′(x)＝___2_x__ f(x)＝1x f′(x)＝__－__x1_2___
• 2.基本初等函数的导数公式
函数
导数
函数
导数
f(x)＝c
f′(x)＝__0___
D 不正确．故应选 D．
2．(2020·山东临沂高二检测)已知函数 f(x)＝ x，则 f′(3)＝( A )
A．
3 6
B．0
C．21 x
D．
3 2
[解析]
பைடு நூலகம்
∵f′(x)＝21
x，∴f′(3)＝2
1
＝ 3
3 6.
3．已知函数 f(x)＝1x，则 f ′(－2)＝( D )
A．4
B．14
C．－4 [解析] ∵f ′(x)＝1x′＝－x12，
程． [解析] ∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，
曲线在点
P3π，12处的切线斜率是
y′|x＝3π＝－sin3π＝－
3 2.
∴过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为
高中数学人教A版选修1-1课件：3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》
1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.
（一）书面作业 必做题 P18 习题1.2
A组 5,6,7题
B组 2题
选做题 1.y cos x 的导数是 _________;
x 2.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a= ______; 3.已知函数y x ln x. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点x 1处得切线方程.
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite functio#39; x
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.
[精品]新人教A版选修1-1高中数学强化训练3.2.2基本初等函数的导数公式(二)和答案
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3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能综合利用求导公式和导数的四则运算法则求解导函数．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝____________； (2)[cf (x )]′＝________ (c 为常数)； (3)[f (x )·g (x )]′＝______________；(4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x gx ′＝________________ (g (x )≠0)．一、选择题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( )A ．3x 2＋3x B ．3x 2＋3x·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 3 2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －2y ＋2＝0 3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( )A ．18B ．－18C ．8D ．－84．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12e 2B.94e 2 C ．2e 2 D ．e 26．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为________． 8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.9．已知函数f (x )＝x 2·f ′(2)＋5x ，则f ′(2)＝______. 三、解答题10．求下列函数的导数． (1)y ＝x ＋cos xx －cos x；(2)y＝2x cos x－3x log2 009x；(3)y＝x·tan x.11.求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．能力提升12．已知点P在曲线y＝4e x＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错．3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)答案知识梳理(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)c ·f ′(x ) (3)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (4)fx g x －f x gx[g x 2作业设计1．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．]2．A [y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.]3．A [∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－13f－＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.]4．D [由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.]5．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x ＝2＝e 2. ∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.]6．A [y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1， ∴切线方程为y ＝x －1.] 7．y ＝2x ＋3解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2 得f ′(x )＝cos x ＋e x ， 从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3， 所以切线方程为y ＝2x ＋3. 8.12516解析 ∵s ′＝2t －3t2，∴v ＝s ′|t ＝4＝8－316＝12516(m/s)．9．－53解析 ∵f ′(x )＝f ′(2)·2x ＋5， ∴f ′(2)＝f ′(2)×2×2＋5，∴3f ′(2)＝－5，∴f ′(2)＝－53.10．解(1)y ′＝x ＋cos xx －cos x －x ＋cos xx －cos xx －cos x 2＝－sin x x －cos x －x ＋cos x＋sin xx －cos x 2＝－x ＋x sin xx －cos x 2.(2)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 009 x ＋(log 2009x )′x ]＝2xln 2·cos x －sin x ·2x－3[log 2 009 x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x log 2 009 e x ]＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e.(3)y ′＝(x tan x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′ ＝x sin xx －x sin x xx 2＝x ＋x cos xx ＋x sin 2x x2＝sin x cos x ＋x 2x ＋sin 2xx2＝12sin 2x ＋x x 2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . 11．解 设P (x 0，y 0)为切点， 则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0. ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. 12．D [y ′＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1ex， ∵e x＋1ex ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.]13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12.切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。
最新精编高中人教A版选修1-1高中数学强化训练第三章《导数及其应用》章末总结和答案
第三章 章末总结知识点一 导数与曲线的切线利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1) ① 又y 1＝f (x 1) ② 由①②求出x 1，y 1的值．即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．例1 已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．知识点二导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2＋sin x；(2)f(x)＝x(x－a)2.知识点三导数与函数的极值、最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．例3设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a，b.知识点四导数与参数的范围已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．例4已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．例5已知f(x)＝x3－12x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围．章末总结答案重点解读例1解设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，∴切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(x20－1)x0＋16，即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 例2 解 (1)函数的定义域是R ，f ′(x )＝12＋cos x ，令12＋cos x >0， 解得2k π－2π3<x <2k π＋2π3 (k ∈Z )，令12＋cos x <0， 解得2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )，因此，f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a .②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3.③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．例3解令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：比较f(0)与f(1)的大小．因为f(0)－f(1)＝3a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b.所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－3a＝－6，所以a＝6.例4解f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2.要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即2x3－ax2≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.例5 解 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0， ∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7，因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，需f (x )max <m ，即m >7. 所以，所求实数m 的取值范围是(7，＋∞)．。
最新精编高中人教A版选修1-1高中数学强化训练3.3.1函数的单调性与导数和答案
§3.3导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a，b)内，如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f(x)在这个区间内为常函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．3．求函数单调区间的步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)确定f(x)的单调区间．一、选择题1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2] 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．9．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．11.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3导数在研究函数中的应用3．3.1 函数的单调性与导数答案知识梳理1．f ′(x )>0 f ′(x )<0 单调递减 f ′(x )＝02．变化得快 陡峭 平缓作业设计1．A [f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．]2．A [因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.]3．B [A 中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 中：y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D 中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.] 4．A [f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．]5．C [当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．]6．C [∵y ′＝a －1x ，函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x≥0， ∴a ≥1x .由x >12得1x<2， 要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.] 7．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <036＋12a ≤0， ∴a ≤－3.9．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.10．解 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0， 得0<x <12， ∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 11．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3， 即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以只需a≥3.当a＝3时，在x∈(－1,1)上，f′(x)＝3(x2－1)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．。
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§3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．函数y＝f(x)＝c的导数为____________，它表示函数y＝c 图象上每一点处，切线的斜率为0.若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y＝f(x)＝x的导数为__________，它表示函数y＝x图象上每一点处切线的斜率为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．2．常见基本初等函数的导数公式：(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝______；(2)若f(x)＝xα (α∈Q*)，则f′(x)＝________；(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝________；(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝________；(5)若f(x)＝a x，则f′(x)＝________ (a>0)；(6)若f(x)＝e x，则f′(x)＝________；(7)若f(x)＝log a x，则f′(x)＝________ (a>0，且a≠1)；(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝________.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x ，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12x D ．若y ＝3x ，则y ′＝32．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π45．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－186．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A ．12523 B ．110523C ．25523D ．110523题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，32处的切线方程为__________________________．8．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝ ________________________________________________________________________.9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．能力提升12．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lg x n，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．13．求过曲线y＝e x上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§3.2 导数的计算 3．2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1．y ′＝0 瞬时速度 静止 y ′＝1 瞬时速度 匀速直线 2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x (5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1．B [y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x.]2．B [直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32′＝0，所以②错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227，所以③正确．]3．D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ， 得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝e x 0， 1－x 0 e x 0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.]4．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]． ∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.]5．B [y ′＝3x 2，∵k ＝3， ∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．] 6．B [s ′＝15t －45.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.]7．x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.8．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 9．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x . 10．解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2.(4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.11．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 3x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 12．－2解析 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝nn ＋1.a n ＝lg x n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.13．解 ∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e ，∴所求直线方程为y －e ＝－1e (x －1)，即x ＋e y －e 2－1＝0.。
19-20人教A版数学选修1-1(导学案课时分层作业)：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)导数的运算法则(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则[cf (x )]′＝cf ′(x )(c 为常数)思考：根据商的导数的运算法则，试求函数y ＝1x 的导数．[提示] y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝(1)′×x －1×(x )′x 2＝－1x 2.1．函数y ＝x ·ln x 的导数是( ) A ．x B.1x C ．ln x ＋1D ．ln x ＋xC [y ′＝(x )′×ln x ＋x ×(ln x )′＝ln x ＋1.] 2．函数y ＝x 4＋sin x 的导数为( ) A ．y ′＝4x 3 B ．y ′＝cos x C ．y ′＝4x 3＋sin xD ．y ′＝4x 3＋cos xD [y ′＝(x 4)′＋(sin x )′＝4x 3＋cos x ．] 3．函数y ＝9x的导数为__________．y ′＝－9x 2 [y ′＝(9)′×x －9×(x )′x 2＝－9x 2.](1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x2； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2；(3)y ＝cos x ln x ； (4)y ＝xe x .[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝－2x －3＋12cos x ＝－2x 3＋12cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6. (3)y ′＝(cos x ln x )′ ＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′ ＝－sin x ln x ＋cos xx . (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x－x (e x)′(e x )2＝e x －x e x e 2x ＝1－x e x .利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.1．求下列函数的导数．(1)y＝e2x；(2)y＝x2＋log3x；(3)y＝x ln x.[解](1)y＝e2x＝e x·e x，∴y′＝(e x)′·e x＋e x·(e x)′＝2e2x.(2)y＝x2＋log3x，∴y′＝2x＋1x ln 3.(3)y＝xln x，∴y′＝ln x－1(ln x)2.【例2】 (1)设曲线y ＝x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2(2)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为__________．[思路点拨] (1)切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直⇒切线的斜率为1a .(2)切线与直线2x －y ＋1＝0平行⇒切线的斜率为2.(1)D (2)(e ，e) [(1)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′ ＝(x ＋1)′×(x －1)－(x ＋1)×(x －1)′(x －1)2＝－2(x －1)2，则y ′|x ＝3＝－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直， 故1a ＝－12，所以a ＝－2，故选D.(2)设P (x 0，y 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋1，得 y ′|x ＝x 0＝ln x 0＋1，由题意知ln x 0＋1＝2， 解得x 0＝e ，y 0＝e ，故P (e ，e)．]关于求导法则的综合应用(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.提醒：分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设出切点.2．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．[答案]y＝3x对于函数y＝f(x)而言，f′(x)与f′(a)相同吗？提示：不同，f′(x)是函数y＝f(x)的导数，而f′(a)是f′(x)在x＝a处的函数值．【例3】(1)已知函数f(x)＝ln xx＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝x cos x.[思路点拨](1)求f′(x)―→令x＝1―→求f′(1)―→比较f(e)与f(1)的大小(2)计算f ′(x )―→由f ′(x )＝x cos x 求a ，b ，c ，d [解] (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx 2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)．则f ′(1)＝－1. 所以f (x )＝ln xx －2x ， 得f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0， 得f (e)<f (1)．(2)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎨⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎨⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.解答此类问题的关键是准确求导，然后借助恒等式等方程思想求解相应参数.3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝() A．－e B．－1C．1 D．eB[∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x，又f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1，故选B.]求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．1．判断正误 (1)[x 2f (x )]′＝2xf ′(x )． ( ) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ′＝12x .( )(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ′＝sin x ． ( ) (4)(ln 5x )′＝1x .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3x B ．3x 2＋3x ln 3＋13C ．3x 2＋3x ln 3D ．x 3＋3x ln 3C [f ′(x )＝(x 3)′＋(3x )′＋(ln 3)′＝3x 2＋3x ln 3，故选C.]3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________．f (x )＝2x 3－9x 2＋12x [因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，所以⎩⎨⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－9，c ＝12.故函数f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .]4．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，求a ，b 的值．[解] f ′(x )＝2ax －b cos x ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＝－b ＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2a π3－b cos π3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，2a 3π－12b ＝12，解得⎩⎨⎧b ＝－1，a ＝0.课时分层作业(十六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A ．(ln x －3sin x )′＝(ln x )′－3′·(sin x )′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x B [结合导数的运算法则可知B 正确．] 2．已知f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝( ) A.1x 2 B.1x －1 C ．1－ln xD.1－ln x x 2D [f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·x ′x 2＝1x ·x －ln xx 2＝1－ln xx 2，所以选D.]3．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f ′(1)＝1，则k 等于( ) A.e 2 B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3A [f ′(x )＝e x x 2－2x e x x 4＋1x ＋2kx 2，∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1， ∴k ＝e 2.]4．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.故选A.]5．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的切线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0A [y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x＋1ex ≥2e x ×1e x ＝2，当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时等号成立)，则e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14(当x ＝0时等号成立)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14·(x －0)，则x ＋4y －2＝0.] 二、填空题6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值为________．－94 [因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，则f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，所以f ′(2)＝－94.]7．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝__________. 2 [设e x ＝t ，则x ＝ln t ，故f (t )＝ln t ＋t ， 从而f (x )＝ln x ＋x ，由f ′(x )＝1x ＋1，得f ′(1)＝2.]8．已知f (x )＝e x －x ，则过原点且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为__________．y ＝(e －1)x [设切点坐标为(x 0，e x 0－x 0)．由题意，可得切线斜率k ＝f ′(x 0)＝e x 0－1，所以切线方程为y ＝(e x 0－1)x －x 0e x 0＋e x 0.又切线过原点，所以－x 0e x 0＋e x 0＝0，则x 0＝1，所以切线方程为y ＝(e －1)x .]三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝x 3sin x ；(2)y ＝2x ＋1x －1；(3)y ＝cos x ＋x x ； (4)y ＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；(5)y ＝(x ＋1)(x －1)(x 2＋1)；(6)y ＝tan x .[解] (1)y ′＝(x 3sin x )′＝(x 3)′sin x ＋x 3(sin x )′＝3x 2sin x ＋x 3cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －1′＝(2x ＋1)′(x －1)－(2x ＋1)(x －1)′(x －1)2＝2x －2－2x －1(x －1)2＝－3(x －1)2.(3)y ′＝(cos x ＋x x )′＝(cos x )′＋(x 32)′＝－sin x ＋32x 12＝－sin x ＋3x2. (4)y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝(ln x )′－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝1x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 2. (5)由于y ＝(x ＋1)(x －1)(x 2＋1)＝(x 2－1)(x 2＋1)＝x 4－1，所以y ′＝(x 4－1)′＝4x 3.(6)由于y ＝tan x ＝sin x cos x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′(cos x )2＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x .10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R ，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解] 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3. 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b .又因为f ′(2)＝－b ， 所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f (1)＝－52. 又因为f ′(1)＝2a ＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. [能力提升练]1．设曲线f (x )＝ax －ln x 在点(1，f (1))处的切线与y ＝2x 平行，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3D [f ′(x )＝a －1x ，由题意得f ′(1)＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.] 2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)C [∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x >0， 整理得2(x ＋1)(x －2)x>0，又因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x >2.]3．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．1 [∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.]4．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b 的值为__________．1 [∵f ′(x )＝－a sin x ，∴f ′(0)＝0.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0.又g (0)＝1＝m ，∴f (0)＝a ＝m ＝1，∴a ＋b ＝1.] 5．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．[解] (1)f ′(x )＝a ＋bx 2.又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝74，f (2)＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴f (x )的解析式为f (x )＝x －3x .(2)证明：设点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点，则切线的斜率k ＝1＋3x 20，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝－6x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，y ＝x ，得⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0.∴曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0＝6，为定值.。
学年高中数学3.2.13.2.2几个常用函数的导数基础过关训练新人教A版选修1-1
§导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一一、基础过关1下列结论中正确的个数为①＝n 2，则′＝错误!②＝错误!，则′|＝3＝－错误!③＝2，则′＝2n 2 ④＝og2，则′＝错误!B.1＝错误!上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为或错误!＝a，若f′－1＝－4，则a的值等于B－4 D－5＝3的斜率等于1的切线有条条条D不确定＝－错误!在点a，a－错误!处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于B.32＝10，则′|＝1＝________＝错误!在＝1处的切线的倾斜角的正切值为______二、能力提升＝是曲线＝e的切线，则实数的值为B－错误!C－e＝错误!＋b是曲线＝n >0的一条切线，则实数b＝________10求下列函数的导数：1＝错误!；2＝错误!；3＝错误!；4＝og22－og2；5＝－2in 错误!错误!＝错误!在点P8,4处的切线垂直于点P的直线方程＝2，直线－－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离三、探究与拓展f1＝f′0，f2＝f′1，…，f n＋1＝f′n，n∈N，试求f2 0120＝in ，答案10 7－错误! 2－110解1′＝错误!错误!2′＝－错误!3′＝错误!4′＝错误!5′＝co＋－28＝012解根据题意可知与直线－－2＝0平行的抛物线＝2的切线，对应的切点到直线－－2＝0的距离最短，设切点坐标为0，错误!，则′|＝0＝20＝1，所以0＝错误!，所以切点坐标为错误!，切点到直线－－2＝0的距离d＝错误!＝错误!，所以抛物线上的点到直线－－2＝0的最短距离为错误!13解f1＝in ′＝co ，f2＝co ′＝－in ，f3＝－in ′＝－co ，f4＝－co ′＝in ，f5＝in ′＝f1，f6＝f2，…，f n＋4＝f n，可知周期为4，∴f2 012＝f0＝in。
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：3.2导数的计算 Word版含答案
►基础梳理1．基本初等函数的导数公式． (1)若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；(2)若f (x )＝x n (n ∈Q *)，则f ′(x )＝nx n －1； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos_x ； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin_x ；(5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0且a ≠1)； (6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a (a ＞0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x．2．导数运算法则． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）][g (x )≠0]．,►自测自评 1．下列各式中正确的是(C ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －62．函数y ＝x 2的导数是2x ．3．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)等于－19．解析：∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－1（－3）2＝－19.1．已知f (x )＝e x cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2的值为(C )A ．e πB ．－e πC ．－e π2D ．以上均不对2．曲线y ＝xx ＋1在x ＝－2处的切线方程为(B )A ．x ＋y ＋4＝0B ．x －y ＋4＝0C ．x －y ＝0D ．x －y －4＝0解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝x ＋1－x （x ＋1）2＝1（x ＋1）2， k ＝1（－2＋1）2＝1， y ＝－2－2＋1＝2，故切点坐标为(－2，2)． 切线方程为x －y ＋4＝0，故选B.3．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t＋1n t －1(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝3时的速度为________．解析：∵s ′(t )＝2t －3t 2＋1t，∴s ′(3)＝6.答案：64．已知函数y ＝cos xx.(1)求函数的导数；(2)求函数在x ＝π处的切线方程．解析：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝（cos x ）′·x －cos x ·x ′x 2 ＝－x sin x －cos x x 2.(2)y ′|x ＝π＝－πsin π－cos ππ2＝1π2，又当x ＝π时，y ＝cos ππ＝－1π，∴切线方程为y ＋1π＝1π2(x －π)，即x －π2y －2π＝0.5．(1)已知函数f (x )＝x 2(x －1)，当x ＝x 0时，有f ′(x 0)＝f (x 0)，求x 0；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x2－x ＋x 2，求f (x )的导数f ′(x )．解析：(1)直接求导后，代入已知，即可得方程，解方程得到x 0＝0，或x 0＝2±2；(2)先用换元法求出f (x )＝x 2x 2－x ＋1，于是得到，f ′(x )＝（x ）′（2x 2－x ＋1）－x （2x 2－x ＋1）′（2x 2－x＋1）2＝ 1－2x 2（2x 2－x ＋1）2.。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》赛课课件_9
第二章 第10讲
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金当版堂教检程测·巩高固三提一升轮总复习 ·文科数学
1. [2015·云南记牢检4个测必备考]点函数突破3f个(热x点)考＝向 ln破x译－x5类2高考x密在码 点迎(战12，年高考－模拟2)处限的时规范切特训线
方程为( )
A. 2x－y－4＝0
B. 2x＋y＝0
C. x－y－3＝0
y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的 切线的斜率 ．即 k=__f′__(_x_0)_．______ 相应地，切线方程为 y－f(x0)＝k(x－x0)．
第二章 第10讲
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金版教程 ·高三一轮总复习 ·文科数学
记牢4个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码 迎战2年高考模拟
2 基本初等函数的导数公式
(3)[gfxx]′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0); (4)[Cf(x)]′＝ Cf′(x)
第二章 第10讲
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金例版题教讲程解·知高识三应一用轮总复习 ·文科数学
记牢4个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码 迎战2年高考模拟
限时规范特训
考点一 导数的基本运算
答案：B
第二章 第10讲
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金版教程 ·高三一轮总复习 ·文科数学
4. [2013·广东记高牢4个考必备]考若点 曲突线破3个热y点＝考向ax2破－译5类ln高考x密在码 点迎战(12年，高a考模)处拟 的限切时规线范特训平 行于 x 轴，则 a＝________.
解析：令 f(x)＝y＝ax2－lnx， 得 f′(x)＝2ax－1x， ∴f′(1)＝2a－1＝0，得 a＝12. 答案：12
(5) y e2x (ex )2 ex ex
人教A版高中数学选修1-1：3.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 同步课时练习
§3.2 导数的计算第一课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式填一填1.函数导数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2f ′(x )＝2xf (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝0；(2)若f (x )＝x α (α∈Q *)，则f ′(x )＝αx α－1； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos_x ； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin_x ； (5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝a x ln_a (a >0)； (6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.判一判1.若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.(×)解析：y ′＝0，故错误．2．(log a x )′＝1x.(×)解析：(log a x )′＝1x ln a，故错误．3．(3x )′＝3x .(×)解析：(3x )′＝3x ln 3，故错误．4．函数y ＝1x 的导数y ′＝12x .(×)解析：y ′＝－12x x，故错误.想一想1.提示：(1)函数y ＝f (x )＝c 的导数为y ′＝0，它表示函数y ＝c 图象上每一点处切线的斜率为0.若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)函数y ＝f (x )＝x 的导数为y ′＝1，它表示函数y ＝x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．(3)函数y ＝f (x )＝x 2的导数y ′＝2x ，几何意义表示函数y ＝x 2图象上每点(x ，y )处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化；当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示物体做变速运动，在时刻x 的瞬时速度为2x .2．几个基本初等函数的导数公式有什么特点？提示：(1)正余弦函数的导数可以记为“正余互换，(符号)正同余反”．(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，公式(6)是公式(5)的特例． (3)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，公式(8)是公式(7)的特例． 思考感悟：练一练1．已知y ＝ 2 018，则y ′＝( )A.12 2 018 B ．－12 2 018 C.2 0182 018D ．0解析：常函数的导数为0，所以y ＝ 2 018时，y ′＝0.故选D. 答案：D2．下列函数求导正确的是( )A ．(sin x )′＝－cos xB ．(cos x )′＝sin xC ．(2x )′＝x ·2x －1 D.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2解析：(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，(2x )′＝ln 2·2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. 答案：D3．已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝4x 3－1，所以4x 30－1＝3，所以x 0＝1. 所以y 0＝14－1＝0，即得P (1,0)． 答案：(1,0)4．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝a x ln a ，则f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，所以f ′(x )＝3x ln 3.故f ′(－1)＝3－1ln 3＝ln 33.答案：ln 33知识点一求导公式的直接运用1.已知f (x )＝12，则f ′(x )等于( ) A.12B ．1C ．0 D.122解析：因常数的导数等于0，故选C. 答案：C2．下列四组函数中导数相等的是( ) A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝－cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与f (x )＝－2x 2＋3 解析：由求导公式及运算法易知，D 中f ′(x )＝(1－2x 2)′＝－4x ，与f ′(x )＝(－2x 2＋3)′＝－4x 相等．故选D.答案：D3．下列结论正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证． 答案：D知识点二 某一点处的导数4.已知f (x A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3解析：若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A 项．答案：A5．若f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫－3π2＝( ) A ．0 B ．1C ．－1 D.32解析：∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x .故f ′⎝⎛⎭⎫－3π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫－3π2＝－1.答案：C知识点三 函数的切线问题6.若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12·a2·|－a |＝2，∴a ＝4.答案：47．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解析：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝y ′x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.基础达标一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3解析：对于B 选项y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝⎝⎛⎭⎫x －12′＝－12x －32＝－12x x.故选B. 答案：B2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x2，则y ′x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′x ＝3＝－227，所以③正确．故选B.答案：B3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e解析：设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ， 得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)， 即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.故选D. 答案：D4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 解析：∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]． ∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.故选A. 答案：A5．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 解析：y ′＝3x 2，∵k ＝3， ∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．故选B. 答案：B6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B.110523C.25523D.110523 解析：s ′＝15t －45，当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.故选B.答案：B7．f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0等于( ) A. 2 B ．－ 2 C ．±2 D ．±1解析：f ′(x )＝3x 2，由f ′(x 0)＝6，知3x 20＝6，所以x 0＝±2.故选C. 答案：C. 二、填空题8．已知f (x )＝x α，α∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则α＝________.解析：∵f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4， ∴α＝4. 答案：49．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________. 解析：∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x . 答案：2x10．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为____________．解析：∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′x=6π＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 答案：x ＋2y －3－π6＝011．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝________.解析：因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4， 因此f 2 013(x )＝f 1(x )＝cos x . 答案：cos x12．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：因为y ＝e x ，所以y ′＝e x ，所以y ′x ＝2＝e 2＝k ，所以切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1，所以S 三角形＝12×|－e 2|×1＝e 22. 答案：e 22三、解答题13．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .解析：(1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 25-＝355x 2.(4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.14．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，求a 1＋a 2＋…＋a 99的值．解析：y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝nn ＋1.a n ＝lg x n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1＝－lg 100＝－2.能力提升15.求过曲线y ＝e x 上点P 解析：∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′x ＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e，∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，即x ＋e y －e 2－1＝0.16．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解析：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2，又y ′|0x x ＝＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.。
高中数学新人教A版选修1-1课堂测试几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
课时跟踪检测(十五)几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一学业水平达标1 若指数函数 f(x)= a x (a > 0, a 丰 1)满足 f ' (1) = In 27 ,贝U f ' (- 1)=(B .— 2••• f ' (— 1)= 2X (— 1) =— 2 适合条件.故应选 A.a 的值是( )B . 2C . 16解析：选A , 1-y = 2ky —谄=爲x — a).■：::ay = "2"，令 y = 0，得 x =— a , ln 3 解析: 由f ' 选 C f ' (x)= a x ln a ,(1) = aln a = ln 27，解得 a = 3,B .In 3 —In 3则f ' In 2(x)= 3x ln 3，故 f ' (— 1)=亍2.已知 f(x) = x 2 • x ，则 f ' (2)=(A . 4 2 C. 2B.5解析：选D 原函数化简得f(x)= x 2 ,3(x)= 2 x 2 ,所以f ' 所以f ' 3(2) = 2X 22 = 5 2.故选 D.3.已知 f(x) = x a ，若 f ' (— 1)=— 2, 则a 的值等于(解析：选A 若a=2,则f(x)= x 2,/• f ' (x)= 2x ,4.若曲线y = , x 在点P(a , a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2, 则实数 •切线方程为令x = 0,得由题意知1 a = 2,.・.a= 4.2 21答案：- x—ey= 01 .5.曲线y= 3X在x = 1处切线的倾斜角为()3B.5 n解析：选 C T y' = x1 2,.・.y' |x= i= 1,切线的倾斜角a满足tan a= 1,• ' O W a< n,二a=—.41 16•已知f(x) = x，g(x)= mx,且g (2)=厂2，则m =x f(2)1 1解析：•/ f' (x)=—-2,.・.f' (2) = —4.又••• g' (x)= m,「. g' (2) = m.1由g' (2)=厂2，得m=—4.答案：—47.曲线y= ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是____________ ，切线方程为1 1解析：T y' = (ln x)' = _,••• y' |x= e= 一.x e1•切线方程为y— 1 = _(x —e), 即卩x —ey= 0.ee1.质点沿直线运动的路程 s 与时间t 的关系是s =5 t ，则质点在t = 4时的速度为()1 A.— 25 23 B.亠10洛C.2 521解析：选B •/ s' = 1 5.•当 t = 4 时,s ' = 5 F4 5 3V4 10寸22.直线y= ] + b 是曲线y = ln x(x >0)的一条切线，则实数 b 的值为( )B . ln 2 + 1C . ln 2— 1D . ln 2解析：选C T y = ln x 的导数y ' =1,1 1•••令 x =彳 得 x = 2,「.切点为(2, ln 2).1代入直线y = $x + b ,得b = ln 2 — 1.1⑶y =盹词’=而.(4) y ‘ = (cos x)' =— sin x.(5) y ‘ = (e 2)' = 0.10.已知P( — 1,1), Q(2,4)是曲线y = x 2上的两点，(1) 求过点P , Q 的曲线y = x 2的切线方程；(2) 求与直线PQ 平行的曲线y = x 2的切线方程.解：⑴因为y ' = 2x , P(— 1,1), Q(2,4)都是曲线y = x 2上的点.过P 点的切线的斜率 k 1= y ' |x =-1=— 2,过Q 点的切线的斜率 k 2= y ' |x = 2= 4,过P 点的切线方程：y — 1 = — 2(x + 1)，即2x + y + 1= 0.过Q 点的切线方程：y — 4= 4(x — 2)，即4x — y — 4= 0.4— 1⑵因为y '= 2x ,直线PQ 的斜率k =越=1,切线的斜率 k = y ' |x = x 0= 2x 0= 1,所以x 0= 2,所以切点M 2, 4 ,1 1与PQ 平行的切线方程为：y —”= x — ^,即4x — 4y — 1 = 0.层级二应试能力达标1 3 3.在曲线f(x) = -上切线的倾斜角为4 n 的点的坐标为( ) A . (1,1) B . (- 1,— 1) C . (— 1,1) D . (1,1)或(一1, — 1) 1 1 解析：选D 因为f(x) =1，所以f ' (x)= — 3 因为切线的倾斜角为3 n 所以切线斜率为一1, 4 1 即 f ' (x)=— -2=— 1，所以 x = ± , 则当 x = 1 时，f(1) = 1 ； 当 x =— 1 时，f(1) = — 1,则点坐标为(1,1)或(—1, — 1). 4.设曲线y = x (n € N )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为 x n ,则X 1 x2 x n的值为( ) A.解析：选 B 对 y = x 1+1(n € N *)求导得 y ' = (n + 1)x n .令x = 1,得在点(1,1)处的切线的斜率 k = n + 1,•••在点(1,1)处的切线方程为 y — 1 = (n + 呱一1). B.C. nn + 1令y =0,得xn =冷‘•- X 1 x x n =苏 3X 4 X …X 2 3 42 5.已知 f(x) = a (a 为常数),g(x) = In x ，若 2X f ' (x ) + 1] — g' (x) = 1,则 x =1解析：因为 f ' (x) = 0, g ' (x)=1,1所以 2x [f ' (x ) + 1] — g ' (x) = 2x —1 = 1.1解得x = 1或x = — 2因为X >0,所以x = 1.答案：16.与直线2x — y — 4 = 0平行且与曲线y = ln x 相切的直线方程是___________ 解析：T 直线2x — y — 4= 0的斜率为k = 2,1 1 1又••• y ' = (ln x)' = 一，「. 1 = 2，解得 x =1. x x 2•切点的坐标为 1，一 In 2 .曰X 亠= n n +1 故选B.故切线方程为y + In 2 = 2x —1 .即 2x — y — 1 — In 2 = 0.答案：2x — y — 1 — In 2 = 07•已知曲线方程为 y = f(x)= x 2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.解：设切点P 的坐标为(x o , x 2)•••• y = x 2,.・.y ' = 2x ,「. k = f ' (x o )= 2x o ,•••切线方程为 y — x 0= 2x o (x — x o ) •将点 B(3,5)代入上式，得 5— x o = 2x o (3 — x o ),即 X o — 6x °+ 5= o ,•(X o — 1)(x o — 5) = o ,「. x o = 1 或 x o = 5,•切点坐标为(1,1)或(5,25),故所求切线方程为 y — 1= 2(x — 1)或y — 25= 1o(x — 5),即 2x — y — 1 = o 或 1ox — y — 25=o.令 x = 0,得 y = 2a ;令 y = 0,得 x = 2x °. x o即双曲线xy = a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数 2a 2.8•设坐标平面上的抛物线 C : y = x 2,过第一象限的点(a , a 2)作抛物线C 的切线|,则 直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为 ___________ .解析：显然点(a , a 2)为抛物线C ： y = x 2上的点，■/y ' = 2x ,.直线 I 的方程为 y — a 2= 2a(x — a).令 x = 0,得 y =— a 2,•直线I 与y 轴的交点的坐标为(0,— a 2).答案：(0, — a 2)9•求下列函数的导数：8 x(1) y = x ; (2)y = 4 ； (3)y = log a x ；(4)y = sin x + 寸；(5)y = e 2.8.求证：双曲线证明：设P(X o , •• y' = x xy = a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数.xy = a 2上任一点.y o ）为双曲线2・•过点P 的切线方程为y — y o = — 22(x — x o )• 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S = 1• 2 2a x o |2x o |= 2a 2.解：(1)y' = (x8)' = 8x8—1= 8x7.(2) y' = (4 )' = 4 In 4.。
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3.2.2 基本初等函数的导数公式
及导数的运算法则(二)
课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能综合利用求导公式和导数的四则运算法则求解导函数．
导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝____________； (2)[cf (x )]′＝________ (c 为常数)； (3)[f (x )·g (x )]′＝______________；
(4)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f x g x ′＝________________ (g (x )≠0)．
一、选择题
1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( )
A ．3x 2
＋3x B ．3x 2＋3x
·ln 3＋13
C ．3x 2＋3x ·ln 3
D ．x 3＋3x ·ln 3 2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －2y ＋2＝0
3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( )
A ．18
B ．－18
C ．8
D ．－8
4．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，5π12，则导数f ′(1)
的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[2，3]
C ．[3，2]
D ．[2，2]
5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94e 2
C ．2e 2
D ．e 2
6．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为________．
8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2
＋3
t
(t 的单位：s ，s 的单位：m)，
则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.
9．已知函数f (x )＝x 2·f ′(2)＋5x ，则f ′(2)＝______. 三、解答题
10．求下列函数的导数．
(1)y ＝x ＋cos x x －cos x ；
(2)y ＝2x cos x －3x log 2 009x ； (3)y ＝x ·tan x .
11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．
能力提升
12．已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α
的取值范围是( )
A ．[0，π4)
B ．[π4，π
2)
C ．(π2，3π4]
D ．[3π
4
，π)
13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．
1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错．
3．2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(二)
答案
知识梳理
(1)f′(x)±g′(x) (2)c·f′(x)
(3)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )
(4)
f
x g x －f x g
x
[g x 2
作业设计
1．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝1
3
的错误．]
2．A [y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，
即x －y ＋1＝0.]
3．A [∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ， 由⎩
⎪⎨⎪⎧ f ＝－13f －
＝－27⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
－b ＝－13，
－4－2a －b ＝－27.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.]
4．D [由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，
又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π
3≤θ＋π3≤3π4，
∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.] 5．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x ＝2＝e 2. ∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为
y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1.
∴S △＝12×1×|－e 2
|＝12
e 2
.]
6．A [y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1， ∴切线方程为y ＝x －1.] 7．y ＝2x ＋3
解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2 得f ′(x )＝cos x ＋e x ， 从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3， 所以切线方程为y ＝2x ＋3. 8.125
16
解析 ∵s ′＝2t －3
t
2，
∴v ＝s ′|t ＝4＝8－316＝125
16(m/s)．
9．－53
解析 ∵f ′(x )＝f ′(2)·2x ＋5， ∴f ′(2)＝f ′(2)×2×2＋5， ∴3f ′(2)＝－5，∴f ′(2)＝－5
3.
10．解 (1)y ′＝x ＋cos x
x －cos x －x ＋cos x
x －cos x
x －cos x 2
＝－sin x
x －cos x －x ＋cos x
＋sin x
x －cos x 2
＝－x ＋x sin x
x －cos x 2
.
(2)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 009 x ＋(log 2 009x )′x ] ＝2x
ln 2·cos x －sin x ·2x
－3[log 2 009 x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x log 2 009 e x ]
＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e. (3)y ′＝(x tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x sin x cos x ′
＝x sin x x －x sin x
x
x 2
＝x ＋x cos x
x ＋x sin 2x x
2
＝
sin x cos x ＋x 2
x ＋sin 2
x
x
2
＝
1
2
sin 2x ＋x x
2＝sin 2x ＋2x
2cos 2x
. 11．解 设P (x 0，y 0)为切点，
则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 2
0－2.
故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． ①
∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0. ②
又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得
－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．
解得x 0＝1或x 0＝－12.
故所求的切线方程为
y ＋1＝x －1或y ＋1＝－5
4(x －1)．
即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. 12．D [y ′＝－4e x
e 2x ＋2e x ＋1
＝－
4e x
＋2＋1e
x
，
∵e x
＋1
e
x ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0，
∴α∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.]
13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线
x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 2
0)．
∵y ′＝(x 2
)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12
.
切点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，14.
∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪12－14－22＝72
8.。