四川大学概率统计 第二章随机变量及其分布知识总结

k , a x b f ( x) 0, others
其中 k=
1 ， ba
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。 分布函数为
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
P( X k )
k nk k 0,1,2, l CM CN M , n l min( M , n) CN
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布。 ⑤几何分布
P( X k ) q k 1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布。 （2）连续型分布 ⑥均匀分布 设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f ( x) 在[a，b]上为常数 k，即
xh
P ( X x ) P ( x X x h)
f ( x)dx
x
令 h 0 ，则右端为零，而概率 P( X x) 0 ，故得 P( X x) 0 。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 2、常见分布 （1）离散型分布 ①0－1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p ②二项分布 在 n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。 事件 A 发生的次数是随机变量， 设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
容易验证，满足离散型分布率的条件。 当 n 1时， P( X k ) p k q1k ， k 0.1 ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布 是二项分布的特例。
③泊松分布 设随机变量 X 的分布律为
P( X k )
k
k!
e ， 0 ， k 0,1,2 ，
x
F () lim F ( x) 1 ；
x
4° F ( x 0) F ( x) ，即 F ( x) 是右连续的； 5° P( X x) F ( x) F ( x 0) 。 （3）连续型随机变量的密度函数 定义： 设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数， 若存在非负函数 f ( x) ， 对任意实数 x ， 有
1° 2°
f ( x) 0 。



f ( x)dx 1 。

F ()
于 1。

f ( x)dx 1 的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等
如果一个函数 f ( x) 满足 1° 、2° ，则它一定是某个随机变量的密度函数。
3° P( x1 X x2 ) ＝ F ( x2 ) F ( x1 ) ＝ f ( x)dx 。
F ( x) 的图形是阶梯图形， x1 , x2 , 是第一类间断点，随机变量 X 在 x k 处的
概率就是 F ( x) 在 x k 处的跃度。 分布函数具有如下性质： 1° 0 F ( x) 1,
x ；
2° F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F ( x1) F ( x 2) ； 3° F () lim F ( x) 0 ，
P( X k ) Pn(k ) C n p k q nk ，
k
其中 q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为 X ~ B(n, p) 。
X | P( X k ) q n , npq n1 , C 2 p 2 q n2 ,, C k p k q nk ,, p n n n
二、基本概念
在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现 的点数，它本身就是一个数值，因此 P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域 和值域都是数字，数字到数字） 。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单 理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面 时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是
随机变量及其分布
一、概念网络图
基本事件 随机事件A P( A) 随机变量X ( ) a X b F (b) F (a)
0 1分布 二项分布 离散型 泊松分布 超几何分布 几何分布 分布函数：F ( x) P( X x) 分布 函数分布Y=g X 均匀分布 连续型 指数分布 正态分布 分布
1，当正面出现 X X 0，当反面出现
称 X 为随机变量。又由于 X 是随着试验结果（基本事件 ）不同而变化的，所 以 X 实际上是基本事件 的函数，即 X=X(ω)。同时事件 A 包含了一定量的 ω （例如古典概型中 A 包含了 ω1，ω2，…ωm，共 m 个基本事件） ，于是 P(A)可以 由 P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。 定义： 设试验的样本空间为 ， 如果对 中每个事件 都有唯一的实数值 X=X(ω) 与之对应，则称 X=X(ω)为随机变量，简记为 X 。
( ) x 1e x dx ，
0
( 1) ( )
指数分布有重要应用, 常用它来作为各种“寿命”分布的近似. 例如无线电元 件的寿命、动物的寿命、电话问题中的通话时间、随机服务系统中的服务时间等 都常假定服从指数分布. 服从指数分布的随机变量 X 具有以下有趣的性质: 对于任意的 s、t > 0, 有 P{X > s + t X > s} = P{X > t}. 事实上 P{X > s + t X > s}
F ( x) P( X x)
称为随机变量 X 的分布函数。
P(a X b) F (b) F (a) 可以得到 X 落入区间 (a, b] 的概率。也就是说，分
布函数完整地描述了随机变量 X 随机取值的统计规律性。 分布函数 F ( x) 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的 概率。
正态分布
设随机变量 X 的密度函数为 f ( x)
有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试 验的情况。 这就使得我们对随机现象的研究， 从前一章事件与事件的概率的研究， 扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。 一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无 穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数） ，则称为离散型随机变量。像弹着点到 目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随 机变量。 1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件 (X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。 有时也用分布列的形式 给出：
P{( X s t ) ( X s)} P{ X s t} 1 F ( s t ) e e P{ X t} . = = s 1 F ( s) P{ X s} P{ X s} e s t t
此性质称为无记忆性. 如果 X 是某一元件的寿命, 那么上式表明: 已知元件 已使用了 s 小时, 它总共能使用至少 s + t 小时的条件概率, 与从开始使用时算起 它至少能使用 t 小时的概率相等. 这就是说, 元件对它已使用过 s 小时没有记忆. 具有这一性质是指数分布有广泛应用的原因.
⑧ 分布 首先定义 Gamma 函数：
设 0 ，关于 的含参积分


0
x 1e x dx
叫做 Gamma 函数或 积分。其有如下三个重要性质： （I） 1 , 0
1 (II) 1 1, 2
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为 P( x1 X x2 ) x f ( x)dx x
1
x2
x2
1
1 x x1 dx 2 。 ba ba
⑦机变量 X 的密度函数为 f ( x) 0 , x 0
X x1, x 2,, xk , | 。 P( X xk ) p1, p 2,, pk ,
显然分布律应满足下列条件： （1） pk 0 ， k 1,2, ， （2） pk 1 。
k 1
（2）分布函数 对于非离散型随机变量，通常有 P( X x) 0 ，不可能用分布律表达。例如 日光灯管的寿命 X ， P( X x0) 0 。所以我们考虑用 X 落在某个区间 (a, b] 内的 概率表示。 定义 ：设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
x1
x2
4° 若 f ( x) 在 x 处连续，则有 F ( x) f ( x) 。
P( x X x dx) f ( x)dx
它在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型随机变量理论 中所起的作用相类似。 对于连续型随机变量 X ，虽然有 P( X x) 0 ，但事件 ( X x) 并非是不可能事 件 Ø。
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ ( ) 或者 P( )。 n→∞,但是注意通常要求 p 0.1, n 50 ） 泊松分布为二项分布的极限分布 （np=λ， 。 如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动 控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分 布。 ④超几何分布