初中升高中数学衔接教材

第一节 乘法公式、因式分解

重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法

难点：公式的灵活运用，因式分解 教学过程： 一、 乘法公式

引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如?)(3=+b a ， 能用学过的公式推导吗？（平方―――立方）

32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++==++=+ ···················①

那?)(3=-b a 呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将3)(b a +中的b 换成－b 即可。（R b ∈ ）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换

3223333)(b ab b a a b a -+-=-············符号的记忆，和――差 从代换的角

度看

问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ）（ ）＝33b a ± 由①可知，))(()33()(2222333b ab a b a ab b a b a b a +-+==+-+=+ ······② 立方差呢？②中的b 代换成－b 得出：))((2233b ab a b a b a ++-=- ▲符号的记忆，系数的区别

例1：化简)1)(1)(1)(1(22+++--+x x x x x x 法1：平方差――立方差

法2：立方和――立方差

（2）已知,012=-+x x 求证：x x x 68)1()1(33-=--+ ▲注意观察结构特征，及整体的把握

二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等） （1）十字相乘法

试分解因式：)2)(1(232++=++x x x x

要将二次三项式x 2 + px + q 因式分解，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即

x 2 + px + q = x 2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).

用十字交叉线表示: 1 a 1 b

a +

b （交叉相乘后相加） 若二次项的系数不为1呢？)0(2≠++a

c bx ax ，如：3722+-x x 如何处理二次项的系数？类似分解：1 －3 2 －1 -6 + -1 = -7

)12)(3(3722--=+-x x x x

整理：对于二次三项式ax 2+bx+c （a ≠0），如果二次项系数a 可以分解成两个因

数之积，即a=a 1a 2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c 1c 2，把a 1，a 2，c 1，c 2排列如下：

a 1 +c 1

a 2 +c 2

a 1c 2 + a 2c 1 = a 1c 2 + a 2c 1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2+a 2c 1，若它正好等于二次三项式ax 2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1c 2+a 2c 1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x+c 1与a 2x+c 2之积，即 ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）。〔按行写分解后的因式〕

十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项系数为负时，如何简化

例2：因式分解：（1）5762++-x x （2）22865y xy x -+ （3）2)322)((----y x y x

（2）分组分解法

分解yn ym xn xm +++，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十字相乘法 两种方法

适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，····叫分组分解法 ▲如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式

练习：因式分解（1）x x x 33923+++ （2）224)1(4y xy x +-+

（3）433-+x x （试根法，竖式相除） 归纳：如何选择适当的方法 作业：

将下列各式分解因式

（1）652-+x x ； （2）652+-x x ； （3）652++x x ；（4）652--x x （5）2223a ax x -+； （6）2233xy y x y x +--；（7）b a ab b a +-+-2222 （8）646-a ；（9）a x a x ++-)1(2

第二节 二次函数及其最值

重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题 难点：给定区间的最值问题 教学过程：

一、 韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）

二次方程)0(02≠=++a c bx ax 什么时候有根（判别式≥0时），此时由求根公式得，

a

ac b b x 242-±-=，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方

程，直接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗，

a b

a ac

b b a a

c b b x x -=---+-+-=+24242221

a

c

a ac

b b a a

c b b x x =---⋅-+-=24242221

反过来，若21,x x 满足a

c x x a b

x x =-=+2121,，那么21,x x 一定是)0(02≠=++a c bx ax 的两根，即韦达定理的逆定理也成立。 作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系

（2）已知两数，构造出以两数为根的一元二次方程（系数为1）：

0)(21212=++-x x x x x x

例1：21,x x 是方程05322=--x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值； ①2221x x + ②||21x x - ③3231x x +

二、二次函数的三种形式 (1) 一般式：)0(2≠++=a c bx ax y

(2) 顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，其中顶点坐标为（h ，k ）

练：求下列函数的最值。（1）542+-=x x y （2）8632-+=x x y （3）

4322+--=x x y

除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与x 轴的交点，得出另一种表示方法；

函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴公共点的横坐标就是方程02=++c bx ax 的根，那它根的情况由谁决定 ，（判别式），当方程有两根21,x x 时，由韦达定理可知a

c x x a b

x x =-=+2121,，

所以))((])([)(212121222x x x x a x x x x x x a a

c x a b x a c bx ax y --=++-=++=++=，这是二次函数的交点式。

（3）交点式： )0)()((21≠--=a x x x x a y