正态分布(4)

µ
2.正态分布密度函数： 正态分布密度函数： 正态分布密度函数
正态曲线（ 正态曲线（normal curve）是一条高峰位于中 ） 央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不 两端逐渐下降并完全对称， 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为： 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：
−( X −µ)2 2σ 2
1 f ( z) = 2π
e
−
z 2
2
− ∞ < z < +∞
经标准化变换后，原变量X变为 ，Z服从总体 经标准化变换后，原变量 变为Z， 服从总体 变为 均数为0，总体标准差为 的正态分布 的正态分布， 均数为 ，总体标准差为1的正态分布，即标准 正态分布（ 正态分布（standard normal distribution）。 ） 记作： 记作：
习惯上用N 表示均数为µ 标准差为σ 习惯上用 (µ ，σ2)表示均数为 、标准差为 表示均数为 的正态分布。记作： 的正态分布。记作：
X ~ N(µ,σ )
2
二、正态曲线下面积的分布规律 （一）正态分布曲线下面积 正态曲线下面积的分布规律由µ 所决定。 正态曲线下面积的分布规律由 及σ所决定。 所决定 一般正态分布曲线下面积分布状况： 一般正态分布曲线下面积分布状况： µ± σ µ±1.64 σ µ±1.96 σ µ±2.58 σ 0.6827 0.9090 0.9500 0.9900
Z ~ N ( 0 ，) 1
统计学家编制了标准正态分 布曲线下面积分布表， 布曲线下面积分布表，正态 分布两边对称， 分布两边对称，表中只给出 取负值的情况。 了Z取负值的情况。表内所 取负值的情况 列数相当于Z值左侧标准正 列数相当于 值左侧标准正 态分布曲线下面积， 态分布曲线下面积，记作 Φ(z)。 。
(2)百分位数法 百分位数法
百分位数法制定参考值范围 单侧 % 90 95 99 双侧 P5~P95 P2.5~P97.5 P0.5~P99.5 只有下限 P10 P5 P1 只有上限 P90 P95 P99
（二）质量控制图
X±2S作为上、下警戒值。 ± 作为上 下警戒值。 作为上、 X±3S作为上、下控制值 ± 作为上 作为上、
95% 2.5% 2.5%
µ -1.96σ
µ
µ +1.96σ
正态曲线下的面积分布示意图
（二）标准正态分布 随机变量X服从正态分布 随机变量 服从正态分布N(µ ，σ2)，可做如下的 服从正态分布 ， 标准化变换，也称 变换 变换。 标准化变换，也称Z变换。
Z= X −µ
σ
经标准化变换后，原正态分布密度函数变为： 经标准化变换后，原正态分布密度函数变为：
σ1
µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ
-2 -1 0 1 2
σ2<σ1
x z
µ1 µ2
(a)
(b) 图2.3 正态概率密度图
(a)一般形状 (b)与µ和σ关系 一般形状 与
决定曲线的形状， 恒定时， （5） σ决定曲线的形状，当µ恒定时， ） 决定曲线的形状 恒定时 σ↓，数据越集中，曲线形状“瘦高”， ，数据越集中，曲线形状“瘦高” σ↑，数据越离散，曲线越“矮胖”。 ，数据越离散，曲线越“矮胖”
2.Poisson分布的正态分布近似 分布的正态分布近似
当λ≥20时， Poisson分布资料可按正态分布处理。 分布资料可按正态分布处理。 时 分布资料可按正态分布处理 Poisson分布累计概率正态近似计算公式。 分布累计概率正态近似计算公式。 分布累计概率正态近似计算公式
P( X ≤ K ) = ∑ λ e i!
（3）
Φ (z) = 0.8 z = ±1.28 80%的8岁男孩身高范围是X ± 1.28S, 即123.02 ± 1.28 × 4.79 (116.9cm,129.2cm)
三、正态分布的应用
确定医学参考值范围 质量控制 二项分布、 二项分布、Poisson分布的正态分布近似 分布的正态分布近似
k
k-0.5
k k+0.5
k-0.5 k k+0.5
图2.4 二项分布连续性校正和正态近似示意图
二项分布累计概率的正态近似计算公式： 二项分布累计概率的正态近似计算公式：
P( X ≤ K ) = ∑ C n
X =0 k X
P q P q
X
X
n− X
k + 0.5 − nπ ≈ φ( ) nπ (1 − π ) ≈ 1−φ( k − 0.5 − nπ ) nπ (1 − π )
根据专业知识确定该指标是否过大或过 小均属异常， 小均属异常，决定该指标的参考值范围 是双侧范围还是单侧范围。 是双侧范围还是单侧范围。
★双侧参考值范围：若一个指标过大过小均属 双侧参考值范围：
异常，则相应的参考值范围既有上限又有下 异常， 限，则参考值范围为双侧。 则参考值范围为双侧。
★单侧参考值范围：若一个指标仅过大属异 单侧参考值范围： 常，则此指标的参考值范围只有上限，是单 则此指标的参考值范围只有上限， 侧参考值范围；若一个指标仅过小属异常， 侧参考值范围；若一个指标仅过小属异常， 则此指标的参考值范围只有下限， 则此指标的参考值范围只有下限，亦是单侧 参考值范围。 参考值范围。
z 0 Φ(z)
查附表（ ， 查附表（-∞，-1.96），（ -∞ ，-2.58）， ），（ ）， （-1.96，1.96）（ ，1）（ -∞ ，0.00） ）（-1， ）（ ， ）（ ） 曲线下的面积。 曲线下的面积。
注意： 注意：
1.标准正态曲线以 为中心，左右对称，故附表 仅列 标准正态曲线以0为中心 左右对称，故附表1仅列 标准正态曲线以 为中心， 出（-∞，z）区间内的累计面积（累计概率）。 ， ）区间内的累计面积（累计概率）。 2.横轴上、曲线下总面积等于1，区间（ -z，z）内面 横轴上、曲线下总面积等于 ，区间（ ， ） 横轴上 积为： 积为：1 -2 × （-∞， -z）。 ， ）。
(一)确定医学参考值范围
1.概念：参考值范围也称正常值范围。医学上常把 概念：参考值范围也称正常值范围。 概念 大多数正常人的解剖、生理、生化指标值等所在的 大多数正常人的解剖、生理、 范围称为该指标的正常值范围。一般以包含90%、 范围称为该指标的正常值范围。一般以包含 、 95%或99%的个体所在的范围称正常值范围。 或 的个体所在的范围称正常值范围。 的个体所在的范围称正常值范围
第三节 正态分布
正态分布的概念 正态曲线下面积的分布规律 正态分布的应用
一、正态分布的概念
1.正态分布 正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型 分布。 分布。正态分布在十九世纪前叶由高 加以推广， 斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高 加以推广 斯分布。 斯分布。
Gauss
2.5 2 1.5 系列2 1 0.5 0
某地1986年120名8岁男孩身高均数为 岁男孩身高均数为123.02cm， 例4-11 某地 年 名 岁男孩身高均数为 ， 标准差为4.79cm，试估计： ，试估计： 标准差为 岁男孩身高在130cm以上者占的百分比； 以上者占的百分比； （1）该地 岁男孩身高在 ）该地8岁男孩身高在 以上者占的百分比 （2）身高在120-128cm者占的百分比； ）身高在 者占的百分比； 者占的百分比 的男孩身高集中在哪个范围？ （3）该地 ）该地80%的男孩身高集中在哪个范围？ 的男孩身高集中在哪个范围
k k i =0
−λ
≈ φ(
k + 0.5 − λ
2.参考值范围的制定方法 参考值范围的制定方法
(1)正态分布法 正态分布法
正态分布法制定参考值范围 单侧 % 90 95 99 双侧
X ± 1.64S
X ± 1.96 S X ± 2.58S
只有下限
X − 1.28S
X − 1.64 S X − 2.33S
只有上限
X + 1.28S
X + 1.64 S X + 2.33S
个点位于警戒线以外。 （5）连续 个点位于警戒线以外。 ）连续3个点位于警戒线以外 个点中4个点距中心线距离在 （6）连续 个点中 个点距中心线距离在 个标 ）连续5个点中 个点距中心线距离在1个标 准差以外。 准差以外。 （7）中心线一侧或两侧连续 个点距中心线距 ）中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距 离都在1个标准差范围。 离都在 个标准差范围。 个标准差范围 （8）中心线一侧或两侧连续 个点距中心线距 ）中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距 离都超出1个标准差范围。 离都超出 个标准差范围。 个标准差范围
Байду номын сангаас
（三）二项分布、Poisson分布的正态分布近似 二项分布、 分布的正态分布近似 1.二项分布的正态近似 二项分布的正态近似
相当大， 和 都大于5时 当n相当大，n π和n(1- π)都大于 时，二项 相当大 都大于 分布B 近似正态分布N 分布 (n, π)近似正态分布 (n π, n π(1- π))。 近似正态分布
-1 .8
-0 .6
-3
0. 6
直方图
1. 8
3
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0.6 1.2 1.8 2.4 -3 0 3
系列2
正态分布图
若连续型定量变量的频数 分布在靠近均数处频数多， 分布在靠近均数处频数多， 两边频数少，且左右对称， 两边频数少，且左右对称， 反映在频数曲线（ 反映在频数曲线（频率直 方图）上呈钟型， 方图）上呈钟型，两头低 中间高，左右对称， 中间高，左右对称，对应 于数学上的正态分布曲线， 于数学上的正态分布曲线， 则称该变量服从正态分布。 则称该变量服从正态分布。