5[1].4分部积分法

熟练以后, 熟练以后,可将以上求 解过程表述为
xe x dx = ∫ xde x = xe x ∫ e x dx = xe x e x + C ∫
若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 若被积函数是幂函数和指数函数的乘积 就考虑设幂函数为 v
x 2e x dx . 例3 求积分 ∫
解
u= x ,
( a ≠ 1) .
此时, 经移项并在等式右端加任意常数 C 后, 便可得出 所求的不定积分
∫
1 f ( x) d x = ( x) + C . 1 a
复原法(回归法 循环法 复原法 回归法,循环法 回归法 循环法)!
例7 ' 求 ∫ 解 =∫
x
e (1 + sin x) dx. 1 + cos x
∫
cos xdx = d sin x = dv ∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = x sin x ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C . 1 2 如果令 u = cos x , xdx = dx = dv 2 2 2 x x ∫ x cos xdx = 2 cos x + ∫ 2 sin xdx 显然, u 选择不当,积分更难进行. 显然, , v ′ 选择不当,积分更难进行
例7 求积分 解
sec 3 xdx . ∫
sec3 xdx = ∫ sec xd tan x ∫
= sec x tan x ∫ sec x tan 2 xdx = sec x tan x ∫ sec x(sec 2 x 1)dx = sec x tan x ∫ sec3 xdx + ∫ sec xdx
×
sin x
cos x
例9 解
计算
∫
sin n x d x .
( n 1) sin n 2 x cos x
记 I n = ∫ sin n x d x, 则
n n 1
I n = ∫ sin x d x = ∫ sin
x sin x d x
cos 2 x = 1 sin 2 x
= sin n 1 x cos x + (n 1) ∫ sin n 2 x cos 2 x d x = sin n 1 x cos x + (n 1) ∫ sin n 2 x d x (n 1) ∫ sin n x d x
2
2
∫
若被积函数是幂函数和反三角函数的乘 就考虑设反三角函数为u. 积,就考虑设反三角函数为
e x sin xdx . 例6 求积分 ∫
解
e x sin xdx = ∫ sin xde x= e x sin x ∫ e x d (sin x ) ∫
= e x sin x ∫ e x cos xdx = e x sin x ∫ cos xde x = e x sin x (e x cos x ∫ e x d cos x ) = e x (sin x cos x ) ∫ e x sin xdx x e x ∴ ∫ e sin xdx = (sin x cos x ) + C . 2
积分过程常要兼用换元法与分部积分法. 积分过程常要兼用换元法与分部积分法.
e x dx . 例11 求积分∫
解
令t =
x x
x ,则x = t 2 , dx = 2tdt 则
t t t
∫e
dx = 2∫ te dt = 2 ∫ tde = 2e ( t 1) + C ( x 1) + C .
= 2e
一般地,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 ,若被积函数是幂函数和正 余 弦函数 的乘积, 的乘积 就考虑设幂函数为 u
例2 求积分 解
xe x dx . ∫
v = e x , e x dx = de x = dv , 设u = x ,
xe x dx ∫
= xe x ∫ e x dx = xe x e x + C
2
v=e
2
x
e x dx = de x = dv ,
∫x e
2
x
dx
= x 2 e x ∫ e x dx 2
= x e 2 ∫ xe dx
x x
= x 2 e x 2 ∫ xde x
= x 2 e x 2( xe x ∫ e x dx )
= x 2e x 2( xe x e x ) + C .
arctan e 例12 求 I = ∫ dx x e
1 [解] 令 e = t x = ln t , 则 dx = dt 解 t arctan t 1 1 I =∫ dt = ∫ arctan td ( ) t t t
x
x
1 = arctan t + t
1 ∫ t d (arctan t )
= sec x tan x ∫ sec3 xdx + ln sec x + tan x
1 ∫ sec xdx = 2 (sec x tan x + ln sec x + tan x ) + C
3
上例显示在运用分部积分法时可能会出现下列关系式: , ,
∫
f ( x) d x = ( x) + a ∫ f ( x) d x
1 x 2x = x arctane + x ln 1 + e + C e
例 13 已 知 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 是 e
x
e sin x e dx + ∫ dx 1+ cos x 1+ cos x
x
sin x ex =∫ dex + ∫ dx 1+ cos x 1+ cos x
ex sin x ex ex = ∫ dx + ∫ dx 1+ cos x 1+ cos x 1+ cos x
消去(超越函数 法 消去 超越函数)法! 超越函数
5.4
分部积分法
具有连续导数, 设函数 u = u( x ) 和 v = v ( x ) 具有连续导数
(uv ) = u′v + uv′,
′
′ 移项 uv ′ = (uv ) u′v ,
对此不等式两边求不定积分
∫ uv′dx = uv ∫ u′vdx, 即 ∫ udv = uv ∫ vdu.
由此可见, 选取不当, 由此可见,如果 u 和 dv 选取不当,就求不出结 所以应用分部积分法时 一般要考虑下面两点: 选取 u 和 dv 一般要考虑下面两点:
果,
是一个关键. ,恰当选取 u 和 dv 是一个关键.
要容易求得; (1)v要容易求得; (2) vdu要比 ∫ udv容易积出. 容易积出. ∫
分部积分公式
分部积分公式将一个函数的积分计算转化为另一个 函数的积分计算 . 一般说来, 被积函数为下列形式时, 可考虑 运用分部积分法进行计算: 幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 , 指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 , 两个函数的乘积 .
例5 求积分 x arctan xdx .
x 1 1 1 )dx = arctan x ( x arctan x ) + C . ∫ (1 2 2 2 1+ x
2
x2 解 令 u = arctan x , xdx = d = dv 22 2 x x ∫ x arctan xdx = 2 arctan x ∫ 2 d (arctan x ) x2 x2 1 x dx = arctan x = arctan x ∫ 2 2 2 2 1+ x
x I n 1 = 2 + 2( n 1)( I n 1 a 2 I n ) (a + x 2 ) n 1 1 x In = 2 [ 2 + ( 2n 3) I n 1 ] 2 n 1 2a ( n 1) (a + x )
以此作递推公式, 以此作递推公式,并由 1 x I 1 = arctan + C , 即得 I n . a a
关键:恰当选取u和确定v.
如何选取u:(LIATE法) L-----对数函数 I-----反三角函数(不是三角函数) A-----代数函数 T-----三角函数 E-----指数函数
根据LIATE法,f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u. 即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv.v=∫g(x)dx,或v'=g(x). 注:f ( x ) g( x )dx使用分部积分公式,若选f(x)=u,则v≠g(x) ∫ 而v'=g(x).
例4 求积分 解
∫ x ln xdx.
2
x = dv , u = ln x , xdx = d 2 1 2 ∫ x ln xdx = ∫ ln xdx 2
1 2 1 2 1 2 1 = x ln x ∫ xdx = x ln x x + C 2 2 2 4
若被积函数是幂函数和对数函数的乘 积,就考虑设对数函数为 u.
不能表示为初等函数的积分:
1 ∫ e dx , ∫ ln x dx , ∫ sin x sin x dx , ∫ dx , ∫ x
x2
x + 1dx
3
∫
cos x dx x dx
∫ sin x ∫
2
dx ,
2
∫ cos x
2
2
dx
1 k sin x dx ,
∫
1 k sin x
2 2
例1 求积分 x cos xdx . 解 令 u = x , v = sin x