【决胜2015】(预测题)中考数学 专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(含解析)
动点产生的等腰三角形
动点产生的等腰三角形【知识概要】动态几何题是中考“压轴题”的亮点之一。
这类题型的信息量大，经常把数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形、函数与面积等联系在一起。
解题时要用运动和变化的眼光去观察、思考、研究问题，把握图形运动、变化的全过程，综合运用函数、方程、分类讨论、数形结合等数学思想去解决问题。
【典例精讲】一、两个动点在一个角的两边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形例1，如图（1），已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。
点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）。
（1）求直线的解析式。
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。
（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？图（1）解：（1）过程略，答案：的解析式为（2）过程略，答案：=（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向这类问题首先要弄清楚对于△PCQ而言，那些是顶点是动点，那些点是定点，动点在哪条线上运动，运动方向是怎样的，所以我们在图（1）上标出了△PCQ的动点（P、Q）和定点（C），以及P、Q的运动方向，由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一个角的两条边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形。
②画出动态三角形形成等腰三角形的截图（“动”中取“静”）按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，⊿PCQ 的三边两两分别相等，如图①QP=QC，②CP=CQ，③PC=PQ，这个过程需要读者在备用图中试画。
只有画出来才能求出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。
③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程根据题意我们可知，很多和问题有关的边长都可以用时间的式子表示出来，PC=，CQ=，建立等式模型时，我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相似，但利用以上的方法所需的基本图形是直角三角形，所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。
初中数学中考模拟复习专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题考试卷及答案.docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】A．1 B．2 C．3 D．4试题2:如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．评卷人得分（1）求梯形ABCD的面积；（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．试题3:如图，在直角梯形ABCD中,AD∥CB,,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 从点C出发,在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P 随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;（2）当t为何值时,四边形ABQP是平行四边形.（3）当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?【试题4:如图，已知抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在线段OA上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒。
中考数学压轴题精练：因动点产生的等腰三角形问题.pdf
此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以 BR＝1，t＝1．
我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ 中， cos ∠A = 3 为定值， AP = 7 − t ， AQ = OA − OQ = OA − 5 OR = 5 t − 20 ．
5
3 33
如图 5，当 AP＝AQ 时，解方程 7 − t = 5 t − 20 ，得 t = 41 ．
BO CO 所以点 P 的坐标为(1, 2)．
图2 （3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1, 6 )、(1, − 6 )或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的： 设点 M 的坐标为(1,m)． 在△MAC 中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图 3，当 MA＝MC 时，MA2＝MC2．解方程 4＋m2＝1＋(m－3)2，得 m＝1． 此时点 M 的坐标为(1, 1)． ②如图 4，当 AM＝AC 时，AM2＝AC2．解方程 4＋m2＝10，得 m = ± 6 ．
上海中考自招备战 QQ 群 561732764
图2
图3
考点伸展
如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三 角形．
由 y = − 3 x(x − 4) = − 3 (x − 2)2 + 2 3 ，得抛物线的顶点为 D(2, 2 3 ) ．
6
6
3
3
因此 tan ∠DOA = 2 3 ．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°． 3
满分解答
（1）解方程组
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y y
= =
−x + 4 x, 3
中考数学必考考点探究与提升函数图像中因动点产生的等腰三角形问题
中考数学必考考点探究与提升函数图像中因动点产生的等腰三角形问题如图，给定一直线，给定一线段，那么直线上理论上应该存在五个点使该点与已知线段构成等腰三角形。
例1. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2解析:（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45．作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ．所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --．当52t =时，S 取得最大值，最大值为158．（2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -．如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ．解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况：①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =．②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =．③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6 图7例2. （1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯=，254EC =． （2）如图1，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ． 因此△PDM ∽△QDN ． 所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．图1 图2 图3图2，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1． 此时3344QN PM ==．所以319444CQ CN QN =+=+=． 如图3，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=． （3）如图4，如图1，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图4，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图5，当QC ＝QD 时，由cos CH C CQ =，可得5425258CQ =÷=． 所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图4，图5所示）．图4 图51.已知直线y=﹣3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x ﹣3）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形3.如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，设抛物线的顶点为．(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点，使得△是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；4.抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点，的直线的表达式为．(1)求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点，，构成的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知：如图，抛物线经过、、三点．求抛物线的函数关系式；若过点的直线与抛物线相交于点，请求出△的面积的值；写出二次函数值大于一次函数值的的取值范围；在抛物线上是否存在点使得△为等腰三角形？若存在，请指出一共有几个满足条件的点，并求出其中一个点的坐标；若不存在这样的点，请说明理由．6.已知：抛物线的顶点的坐标为与轴交于点，与轴交于、两点（在的左边）．求此抛物线的表达式；点是线段上一动点（不与点重合），点在线段上移动且，设线段，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；①在的条件下是否存在点，使△是为底的等腰三角形？若存在试求点的坐标；若不存在说明理由．②在中抛物线的对称轴上是否存在点，使△是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点的坐标．7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．8. 如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC 上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？m11.如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．12.在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
2015中考压轴题动态几何之面动形成的等腰三角形存在专题试题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精
象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定
而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态
夺目、精彩四射。
丨动态几何形成的存在性性问
似二角形存在冋题;其它存在冋题等。
本专题
角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思］
模拟预测题 1.如图，矩形 ABC 中，AE 日3!
中EF 与BC 交于点N , Gh 与 BC 的延长线交于点
M|, EH 与|D （交于点一 P|, FG 与DC 勺延长线交于点
时 （〔1 口S 与I 吗？请说明理
NFQ （的面积
想和数形结合的思想准确地进行分类。
I 原创
Q •设S 表示矩形PCM 的面积， 表示矩形。
因动点产生的等腰三角形答案
1.1因动点产生的等腰三角形答案1．如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ 是等腰三角形？分析：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，根据等腰三角形得出方程12﹣2x=x，求出方程的解即可．解答：解：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，∵长方形ABCD，∴∠B=90°，∵△BPQ是等腰三角形，∴BP=BQ，∴12﹣2x=x，解得：x=4，即两点同时出发4秒时，△PBQ是等腰三角形．点评：本题考查了矩形性质，等腰三角形的性质的应用，关键是能根据题意得出方程．2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8．动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P有几个？并求出相应等腰三角形的腰长．分析：连接DM，根据已知分析可得满足等腰三角形的多种情况：PM=CM或CM=PM，然后根据勾股定理进行分析计算．解答：解：根据已知得AD∥BM，AD=BM=6，则四边形ABDM是平行四边形．又∠ABC=90°，根据勾股定理，得CD=10．①作CM的中垂线交CD于P，则△PMC是等腰三角形，此时，CP=5；②当CP=CM=8时，△PMC是等腰三角形；③当点P在AD上，DP=2时，CM=PM=8；④当点P在AB上，BP=2时，CM=PM=8；故有四个．3．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是（﹣8，0），点B的坐标（0，6），BC=10．（2）当点P在什么位置时，△ APQ≌△ CBP，说明理由．（3）当△ PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．分析：（1）把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可．（3）分为三种情况：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．解答：解：（1）∵y=x+6∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=﹣8，即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），∵C点与A点关于y轴对称，∴C的坐标是（8，0），∴OA=8，OC=8，OB=6，由勾股定理得：BC==10，（2）当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP，理由是：∵OA=8，P（2，0），∴AP=8+2=10=BP，∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，∴∠AQP=∠BPC，∵A和C关于y轴对称，∴∠BAO=∠BCP，在△ APQ和△ CBP中，，∴△ APQ≌△ CBP（AAS），∴当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP．（3）分为三种情况：①当PB=PQ时，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，∴PB=PQ，即此时P的坐标是（2，0）；②当BQ=BP时，则∠BPQ=∠BQP，∵∠BAO=∠BPQ，∴∠BAO=∠BQP，而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴此种情况不存在；③当QB=QP时，则∠BPQ=∠QBP=∠BAO，即BP=AP，设此时P的坐标是（x，0），∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2，∴（x+8）2=x2+62，解得：x=﹣，即此时P的坐标是（﹣，0）．∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（﹣，0）．故答案为：（﹣8，0），（0，6），10．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．4．（2010•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A的坐标．（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况．分析：（1）利用直线y=x+1与交于点A，直接联立函数解析式求出即可；（2）当△ CBD为等腰三角形时，有三种情况当BD1=D1C时，当BC=BD2时，当CD3=BC分别得出即可；（3）以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．解答：解：（1）由题意，得：，解得：，∴点A的坐标为（，）．（2）当△ CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，∴x=﹣1，点B的坐标为（﹣1，0）．在y=﹣+3中，当y=0时，﹣x+3=0，∴x=4，点C的坐标为（4，0）．∴BC=5．①当BD1=D1C时，过点D1作D1M1⊥x轴，垂足为点M1，则BM1=M1C=BC．∴BM1=，OM1=﹣1=，x=，∴y=﹣×+3=，点D1的坐标为（，）．②当BC=BD2时，过点D2作D2M2⊥x轴，垂足为点M2，则D2M22+M2B2=D2B2．∵M2B=﹣x﹣1，D2M2=﹣x+3，D2B=5，∴（﹣x﹣1）2+（﹣x+3）2=52，解得：x1=﹣，x2=4（舍去）．此时，y=﹣×（﹣）+3=，∴D2的坐标为（﹣，），③当CD3=BC时，CB=5，CD3=5，此时D3坐标为（0，3），当CD4=BC时，BC=CD4，=5，M4D4=OD3=3，CO=CM4=4，则D点坐标为（8，﹣3）．（6分）由此可得点D的坐标分别为D1（，），D2（﹣，），D3（0，3），D4（8，﹣3）．（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．（8分）点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及两直线交点的求法以及平行四边形的判定等知识，注意分类讨论思想的应用不要漏解．。
等腰三角形动点最值问题解题技巧
等腰三角形动点最值问题解题技巧简介等腰三角形是数学中常见的一种三角形形状，其具有许多有趣的几何性质。
在这篇文档中，我们将讨论如何解决等腰三角形动点最值问题。
通过使用解题技巧和公式推导，我们可以轻松找到等腰三角形的各个动点的最值。
基本定义1.等腰三角形等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。
我们可以通过连接底边中点和顶点，形成一个高。
由于等腰三角形具有对称性，底边中点和顶点之间的连线与底边垂直相交，划分出两个等腰直角三角形。
2.动点在几何学中，动点是指在平面上移动的点。
通过改变动点的位置，我们可以观察到某些几何量的变化情况。
在等腰三角形中，我们可以考虑顶点和底边上的某个点作为动点。
动点最值问题解题步骤步骤一：建立坐标系为了简化问题的分析和计算，我们可以将等腰三角形放在坐标系中。
通过选取合适的坐标轴和原点，我们可以方便地描述动点的位置。
步骤二：确定动点位置根据问题描述，确定我们所关注的是等腰三角形的哪个动点。
例如，我们可以考虑探索顶点和底边上的某个点的变化。
步骤三：建立几何关系通过观察等腰三角形的几何性质，我们可以建立动点与其他几何元素之间的相互关系。
这可以通过直线、角度、距离等几何关系来描述。
步骤四：建立动点与几何量的关系式利用步骤三中建立的几何关系，我们可以将动点的位置表示为其他几何量的函数。
这个函数可以是一个方程、一个不等式或一个定义域。
步骤五：求解最值通过求解动点位置的函数，我们可以得到动点所在位置的最值。
这可能是一个最大值、最小值或其他特定值。
步骤六：验证解的合理性最后，我们需要验证我们得到的最值是否合理，并根据实际情况进行解释。
这可以通过对几何性质和约束条件的分析来完成。
例题分析例题：在等腰三角形A BC中，AB=A C=6c m，B C=8c m。
动点P在边B C 上，求B P+PC的最小值。
解题步骤：步骤一：建立坐标系。
选择顶点A为坐标原点，建立x轴和y轴。
步骤二：确定动点位置。
在边BC上选择点P作为动点。
中考数学--动点产生等腰三角形专题
二动点产生等腰三角形专项等腰三角形的分类讨论题多见于初三各级各类模拟考试甚至中考压轴题中，由于这类题目都与运动有关，需要具有一定的想象、分析和运算能力，二者正是很多学生最缺乏的. 理清这类题目的解题思路和解题策略将会是中考中获得高分的重要砝码. 等腰三角形分类讨论的解题思路分有两种，第一种是用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边，后用三条线段依次相等建立方程后求解；第二种是分别作为三种等腰三角形条件下的图形，利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进展合理的转化后建立方程求解.例题1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，AC=4；D是BC的延长线上的一个动点，∠EDA=∠B，AE//BC.（1）找出图中的相似三角形，并加以证明；（2）设CD=*，AE=y，求y关于*的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ADE为等腰三角形时，求AE的长例题2：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR//BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停顿运动.设BQ=*，QR=y.(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于*的函数关系式，写出自变量的取值范围；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形.假设存在，请写出所有满足要求的*的值；假设不存在，请说明理由.例题3：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,DC⊥BC，P是边AB上一动点，PE⊥CD，垂足为点E，PM⊥AB，交边CD于点M，AD=1，AB=5，CD=4.(1)求证：∠PME=∠B；(2)设A，P两点的距离为*，EM=y，求y关于*的函数解析式，并写出它的定义域；(3)联接PD，当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时，求AP的长.例题4：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点〔点E与点C，D不重合〕，过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联接EF，交边AB与点G. 设DE=*，BF=y.(1)求y关于*的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA；(3)当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请求出线段DE的长；如果不能，请说明理由.例题5：如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AE=1，BE=2. 点F在边BC的延长线上，且CF=BC；P是边BC上的动点〔与点B不重合〕，PQ⊥BC，垂足为H.(1)求证：△QPH∽△FEB；(2)设BP=*，EQ=y，求y关于*的函数解析式，并写出它的定义域；(3)试探索△PEQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，请求出*的值；如果不可能，请说明理由.例题6：如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B. ∠MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，联接AF.(1)设BE=*，DF=y，试建立y关于*的函数关系式，并写出函数定义域；(2)假设△AEF为等腰三角形，求出BE的长.例题7：，在AC⊥AB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，AP⊥PM〔点M与点B分别在直线AP的两侧〕，且∠CAD，联接MD.〔1〕当点M在内时，如图1，设BP=*，AP=y，求y关于*的函数关系式，并写出函数的定义域；〔2〕请在如图AMD相似的三角形，假设存在，请写出并证明；假设不存在，请说明理由；〔3〕当△AMD为等腰三角形时，求BP的长.例题8：如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的AB弧上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G.(1)当点P在AB弧上运动时，线段GO，GP，GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；(2)设PH=*，GP=y，求y关于*的函数解析式，并写出自变量的取值范围；M A B C DH〔图11〕(3) 如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长.例题9、在△ABC 中，∠ACB =︒90，AC =BC =2，M 是边AC 的中点，CH ⊥BM 于H . 〔1〕试求sin ∠MCH 的值； 〔2〕求证：∠ABM =∠CAH ；〔3〕假设D 是边AB 上的点，且使△AHD 为等腰三角形，请直接写出AD 的长为________.例题10、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°．〔1〕求DE ︰DF 的值；〔2〕联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； 〔3〕设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？假设能，请直接写出线段BE 的长；假设不能，请说明理由.拓展练习题1、在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，AB=4，AD=5，CD=5．E 为底边BC 上一点，以点E 为圆心，BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F ．(1) 如图，当点F 在线段DE 上时，设BE x =，DF y =，试建立y 关于x 的函数关系式， 并写出自变量x 的取值范围；(2) 当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时，求x 的值；(3) 联接AF 、BF ，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值。
动点产生地等腰三角形
中考问题之-因动点产生的等腰三角形【压轴题型概述】本专题专门探求图形在变化过程中，符合等腰三角形的点的存在性问题. 这个动点可以在x 轴、y 轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；可能是一个点在运动，也有可能两个点同时运动；所以这类题目的解答要根据运动本身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度.等腰三角形的题目范围较广，题型很多. 数形结合，可以直观地找到解题的捷径；代数方法、几何方法各有千秋，灵活应用才能事半功倍.这部分考题在中考试卷中的比例很大，约占30%左右. 【策略分级细述】 1. 怎样设动点的坐标（1）若动点在x 轴上，因为横坐标x 在变化，纵坐标y 没有变化，始终等于0，所以可设动点坐标为（x，0）；若动点在y 轴上，横坐标x 没有变化，始终等于0，纵坐标y 在变化，所以可设动点坐标为（0，y ）. （2）若动点在函数y ＝f (x)上，则横坐标设为x，纵坐标设为f (x). 例如，点A 在反比例函数 y ＝ 3x 的图像上，设A （x，y ），因为y ＝ 3x ，所以用 3x 来代替y，这种情况一般就直接设A （x，3x ）；又如：点B 在一次函数 y ＝2 x ─ 12 上，直接设B （x，2 x ─ 12）.2. 等腰三角形要分类讨论如图1-1，一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况：AB = A C ；AB = B C ；BC = A C ，所以要分类进 行讨论.3. 坐标系中三角形边长的表示如图1-2，若三角形AOB 的三个顶点在平面直角坐标系中，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则AB 两点间的距离公式为：AB = (x 1─x 2)2＋(y 1─y 2)2 . 用同样的方法，把其他两条边的距离也写出来，OA = x 12＋y 12 ，OB = x 22＋y 22 . 然后按照图1-1的方法，让三条边两两相等，解方程即可. 我们来具体的解一道反比例函数图像上求等腰三角形的题.图 1-1AB CBA Oxy图1-3图 1-2(x 2,y 2)(x 1,y 1)OAB xy例1. 如图1-3，在直角坐标系xOy 中，反比例函数 y = 8x图像上的点A、B 的坐标分别为（2，m ）、（n，2），点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，求点C 的坐标. 分析：1. 反比例函数y = 8x图像上的A、B 点，满足这个解析式，所以把A、B 点的坐标分别代入，求出这两个点的坐标.2. 如图1-4，点C 在x 轴上，所以设C （x，0）.3. 为了方便起见，讨论前可以利用两点间的距离公式，分别把AB ，BC ，CA 的长度写出来.4. 根据等腰三角形存在三种情况：分别对AB = A C ；AB = B C ；BC = A C 进行讨论.解：因为A（2，m ）、B（n，2）在y＝8x 上，所以m ＝82 ，2＝8n ，解得：m ＝4,n＝4，所以A（2，4）、B（4，2）.因为点C 在x 轴上，所以设C （x，0），则AB ＝(4─2)2＋(2─4)2 ＝22，AC ＝(x─2)2＋42 ＝x 2─4x＋20 ，BC ＝(x─4)2＋22 ＝x 2─8x＋20 . 若△ABC 为等腰三角形，分三种情况讨论：① AB ＝AC ，即x 2─4x＋20 ＝22，整理得x 2─4x＋12＝0，因为△＜0，所以方程无实数根，这种情 况不存在.② AB ＝BC ，即x 2─8x＋20 ＝22，整理得x 2─8x＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝6，所以C （2，0）（如 图1-4）；C （6，0）（因为A、B、C 三点在一条直线上，不能构成三角形，如图1-5，所以舍去）.③ BC ＝AC ，即x 2─4x＋20 ＝x 2─8x＋20 ，解得：x＝0，所以C （0，0）（如图1-6）. 所以这样的点C 有两个，C （2，0）或（0，0）.例1有两个固定的点在反比例函数上，动点在x 轴上，探求符合条件的等腰三角形的点的存在性.接下来我们再来探讨正、反比例函数上的两个点和y 轴上的点构成的等腰三角形的问题. BA OxyC图1-4BA OxyC图1-5BA O xyC图1-6例2. 如图1-7，点A（m ，2）是正比例函数和反比例函数的交点， AB ⊥y 轴于点B，OB = 2 AB.（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）求正比例函数和反比例函数的另一个交点C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点D ，使△ACD 为等腰三角形，若存在，请求出 点D 的坐标，若不存在，请说明理由.分析：1.从点A（m ，2），AB ⊥y 轴可得：OB ＝2，因为OB ＝2AB ，所以AB ＝1，所以A（1，2）把A 点的坐标分别代入所设的正比例函数和反比例函数解析式中，即可求得（1）.2.一般地，求两个函数的交点坐标，可以把这两个函数联立方程组，解这个方程组得到的x，y 就是它们的交点坐标. 但是此题也可以利用正比例函数和反比例函数的特殊性：它们的交点关于原点对称，得到C 点坐标.3.因为点D 在y 轴上，设出D 点坐标，按照等腰三角形存在的三种情况：AC = A D ，AC = C D ，AD = CD ，进行分类讨论. 解：（1）因为AB ⊥y 轴于点B，OB ＝2 AB ，点A（m ，2）所以OB ＝2，AB ＝1，所以A（1，2）， 因为A（1，2）在y＝kx （k ≠ 0)上，所以k＝2，所以y＝2x. 又因为A（1，2）在y＝k x （k ≠ 0)上，所以k＝2，所以y＝2x.（2）因为A（1，2），正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，所以C （ ─ 1，─ 2 ）. （3）存在.因为点D 在y 轴上，所以设D （0，y），则AC ＝(1＋1)2＋(2＋2)2 ＝25，AD ＝12＋(y─2)2 ， CD ＝(─1)2＋(y＋2)2若△ACD 为等腰三角形，分三种情况讨论：① AC ＝AD ，即25＝12＋(y─2)2 ，整理得y 2─4y─15＝0，解得y＝2±19，所以D （0，2＋19） 或（0，2─19）② AC ＝CD ，即25＝(─1)2＋(y＋2)2 ，整理得y 2＋4y─15＝0，解得y＝─2±19，所以D （0，─ 2 ＋19）或（0，─2─19）.③ AD ＝CD ，即12＋(y─2)2 ＝(─1)2＋(y＋2)2 ，解得y＝0，此时点D 与原点重合，舍去. 所以这样的点D 有四个，D （0，2＋19），（0，2─19），（0，─ 2 ＋19），（0，─2─19）. 这一道题的方法和例1一样，但是计算的难度加大，解一元二次方程用到了公式法. B AO xyC图 1-71.1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】4.已知：如图，抛物线的解析式为 y = ─ x 2 + 2 x + 2的顶点坐标为点P，点A 的坐标为（－1，─ 1），点B 的坐标为 （1，m ），且3m ，若△ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标．5.如图，已知：抛物线y = ─ 12 x 2+ x + 4与轴交于点C ，与x 轴交于点A、B，平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线AC 交于点F，点D 的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．DC B A O x y （第5题） （第4题） O xy1.1因动点产生的等腰三角形4．动点移动的路程如图1-8，点P 由点C 向点A 移动，速度是每秒1cm ，设运动的时间为t秒，则路程CP ＝速度×时间＝1×t ＝t ；点Q 由点B 向点C 移动，速度是每秒2cm ，设运动的时间为t秒，则路程BQ ＝2×t ＝2 t .动点的移动，是中考经常会碰到的类型，要熟练的掌握它.例3. 如图1-9，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝12，AD ＝18，AB ＝10. 动点P 、Q 分别从点D 、B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 在线段BC 上以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点Q 运动到点C 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为 t（秒）．射线PQ 与射线AB 相交于点E ，AEP能否为等腰三角形？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由.分析：1. 路程＝速度×时间，动点P 移动的路程DP ＝2 t ，动点Q 移动的路程BQ ＝t2. 直角梯形作高，构造矩形和直角三角形，利用矩形的对边相等或勾股定理找到等量关系.3. 动点P 沿射线DA 的方向运动，所以要分点P 在线段DA 上，和点P 在DA 的延长线上两种情况 分别讨论4. 当点P 在线段DA 上，△AEP 是等腰三角形的三种情况要根据三种不同的情况，灵活的采用不同 的方法求出t的值5. 当点P 在DA 的延长线上时，可利用等边对等角，对顶角，平行来找到等量关系求之.解：直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝12，AD ＝18，AB ＝10，DP ＝2t ，BQ ＝t ． 动点P 沿射线DA 的方向运动，所以分两种情况：（1）点P 在线段DA 上时：若△BDG 为等腰三角形，则分三种情况讨论：① 如图1-10，AE ＝AP ，因为DP ＝2t ，AD ＝18，所以AP ＝18 ─ 2 t ，又因为AE ＝AP ，所以∠APE ＝ ∠E ，梯形AD ∥BC ，∠APE ＝∠BQE ，所以∠BQE ＝∠E，所以BE ＝BQ ＝t ，AE ＝10＋t ，所以18 ─ 2 t＝10 ＋ t ，解得t ＝ 83.② 如图1-11，EP ＝AE ，作PM ⊥BC 于M ，得CM ＝DP ＝2 t ，BC ＝12，BQ ＝t ，所以MQ ＝12─3 t ， 又因为PQ ＝AB ＝10，PM ＝CD ＝8，所以MQ ＝6，所以12─3 t ＝6，解得 t ＝2. ③ 如图1-12，AP ＝EP ，所以∠A＝∠E，因为AD ∥BC ，∠EBQ ＝∠A，所以∠EBQ ＝∠E，所以EQ ＝BQ ＝t ， 又因为AP ＝18 ─ 2 t ，所以PE ＝18 ─ 2 t ，PQ ＝18 ─ 2 t ─ t ＝18 ─ 3 t ，MQ ＝12─3 t ，在Rt △PQM图 1-8ABCP Q图1-9EQD CBAP中，(18 ─ 3 t ) 2＝(12─3 t ) 2＋82，解得：t ＝299. （2）点P 在DA 的延长线上时： 如图4，AP ＝2 t ─18＝AE ，所以∠AEP ＝∠P，因为AD ∥BC ，∠BQE ＝∠P，因为∠AEP ＝∠BEQ ，所以∠BQE ＝∠BEQ ，所以BQ ＝BE ＝t ，所以AE ＝10─ t ，即2 t ─18＝10─ t ，解得：t ＝ 283综上所述，△AEP 能构成等腰三角形，此时t ＝83 ，2，299 ，283 .在解等腰三角形的题目时，一般情况下是分类讨论两条边相等，但有时利用等腰三角形的三线合一也可使问题更快地解决. 本题还有一个难点：点P 是在线段上，还是在延长线上，容易疏忽.5. 构造相似三角形，利用相似比，探求等腰三角形的存在性.学了相似三角形以后, 通过作等腰三角形底边上的高，构造一个与基础三角形相似的三角形，通过相似比，探求点的存在性.如图1-13，若要证△PRQ 为等腰三角形中的PQ ＝PR ，已知AB ＝5，AH ＝4，∠B＝∠PQR ，PQ ＝ 125，RQ ＝x，而PR 没有任何条件求不出来. 我们可以作底边上的高PG ，利用等腰三角形三线合一的性质，得到PG 平分QR ， 所以QG ＝ x 2 ，从已知不难得到Rt△QPG 与Rt △ABH 相似，利用相似比 PQ AB ＝ QGAH，得到 125254x，解出x.例4. 如图1-14，在△ABC 中，AB = A C = 5，BC = 6，，D 、E 分别是边AB 、 AC 上的两个动点（D 不与A、B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点 A 的异侧作正方形DEFG ．设AD = x ，当△BDG 是等腰三角形时，请求出 AD 的长．分析：1.由DE ∥BC ，利用平行线分线段成比例可以求出DE ，因为正方形DG ＝DE ，所以求出了三角形的边H GRQ E D CB AP 图 1-13 MEQD CBA P图1-11EQ DCBA P图1-12GFECBA D 图1-14MEQD C BAP图 1-102.如果已知一个三角形的两条边，来求它是等腰三角形需满足的条件，可以根据等腰三角形的三线合一来添辅助线，这样构造了一个直角三角形，想办法在已知条件中也构造一个直角三角形与之相似，使问题得到解决.3.按照等腰三角形存在的三种情况，进行分类讨论.解：如图1-15，作AQ ⊥BC 于Q ，因为DE ∥BC ，所以 DE BC ＝ADAB，因为AB ＝5，BC ＝6，AD ＝x，BD ＝5 ─ x，DE 6 ＝ x 5 ，得DE ＝65 x. 因为正方形DEFG ，所以DG ＝ DE ＝65x.若△BDG 为等腰三角形，分三种情况讨论：① 如图1-15，BD ＝DG ，即5 ─ x＝65 x，解得x＝ 2511 ，所以AD ＝ 2511② 如图1-16，BD ＝BG ，此时BC 正好是DG 的垂直平分线，所以DM ∥AQ ，DM AQ ＝BDAB，即35545x x ， 解得x＝207 ，所以AD ＝207 .③ 如图1-17，BG ＝DG ，作GH ⊥AB 于H ，则DH ＝ 12 BD ＝12( 5 ─ x )，因为∠GHD ＝∠AQB ＝90°，又∠GDH ＋∠DGH ＝90°，∠GDH ＋∠ADE ＝90°，所以∠DGH ＝∠ADE ＝∠ABC ，所以△DGH ∽△ABQ ，所以 DH AQ ＝DG AB ，即 61(5)5245x x ，解得：x＝12573 ，所以AD ＝ 12573 . 综上所述，当△BDG 是等腰三角形时，AD ＝ 2511 ，207 ，12573 .1.1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】答案：4.顶点P （1，3）AB ＝4＋(m ＋1)2，AP ＝25，PB ＝3 ─ m (3 m ).①AB ＝AP ，即4＋(m ＋1)2＝25，解得：m ＝─ 5，所以B（1，─ 5）；②AP ＝PB ，即25＝3 ─ m ，解得：x＝3 ─ 25，，所以B（1，3 ─ 25）；③AB ＝PB ，即4＋(m ＋1)2＝3 ─ m ，解得：x＝12 ，所以B（1，12）.图1-15N MP GFE CBA QD NM GFE C BAQD 图1-16H G FECBA QD图1-175. A（4，0），B（─ 2，0），C （0，4），D （2，0），AC 的解析式为：y＝─ x + 4. 设F（x，─ x + 4） ①如图1-33，OD ＝DF ＝2，所以F（2，2）.当y＝2时 ，─ 12 x 2+ x + 4＝2，解得：x＝2±5，所以P（1＋5，2）（1 ─ 5，2 ）；②如图1-34，OF ＝DF ，由等腰三角形三线合一得：F（1，3），.当y＝3时 ，─ 12 x 2 + x + 4＝3，解得：x＝1±3，所以P（1＋3，3）（1 ─ 3，3 ）.1.1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】答案：1.（1）y＝─ 6x；（2）设B（x，0），则OB ＝∣x∣，OA ＝13，AB ＝(x + 2)2＋32. ①OA ＝OB ，即∣x∣＝13，解得：x＝±13，所以B（13，0）或（─ 13，0）；②OA ＝AB ，即(x + 2)2＋32 ＝13，解得：x＝0（舍去），x＝ ─ 4，所以B（─ 4，0）；③OB ＝AB ，即(x + 2)2＋32＝∣x∣，解得：x＝ ─134 ，所以B（─ 134 ，0）.2. A（2，0），B（0，2），设P（ x，– x + 2），OP ＝x 2＋(─ x＋2)2，PA＝(x ─ 2)2＋(─x＋2)2，OA ＝2. ①OP ＝PA ，即x 2＋(─ x＋2)2 ＝(x ─ 2)2＋(─x＋2)2，解得：x＝1，所以P（1，1）；②OP ＝OA ，即x 2＋(─ x＋2)2 ＝2，解得：x＝0，x＝2（舍去），所以P（0，2）；③PA ＝OB ，即(x ─ 2)2＋(─x＋2)2＝2，解得：x＝ 2±2，所以P（2＋2，─ 2 ）（2 ─ 2， 2 ）.3.解：（1）令y＝0，所以 ─ 12 x + 1＝0，解得x＝2，所以A（2，0）；令x＝0，y＝1，所以B（0，1）.（2）因为点C 在y＝ ─ 12 x + 1上，所以设C （x，─ 12x + 1），又因为A（2，0），B（0，1），所以P P'DCB AOxyF 图 1P P'DCB AOxyF 图2（第5题）OA ＝2，OC ＝x 2＋(─12x + 1)2 ，AC ＝( x ─ 2)2＋(─12x + 1)2 . 若△AOC 为等腰三角形，分三种情况讨论：① OC ＝AC ，即x 2＋(─12 x + 1)2 ＝( x ─ 2)2＋(─ 12x + 1)2 ，整理得：4x＝4，解得：x＝1，把 x＝1代入设的C （x，─ 12 x + 1）中的 ─ 12 x + 1＝12 ，所以C （1，12）② OC ＝OA ，即x 2＋(─12 x + 1)2 ＝2，整理得:5x 2─4x─12＝0，解得x 1＝─ 65，x 2＝2（因为点C与点A 重合，舍去），所以C （─ 65 ，85） .③ AC ＝OA ，即( x ─ 2)2＋(─12 x + 1)2 ＝2，整理得:5x 2─20x＋4＝0，解得：x＝10±455，所以 C （ 10＋455 ，0）,（ 10─455，0）所以这样的点C 有四个，C （1，12 ）,（─ 65 ，85 ），（ 10＋455 ，─ 255 ）,（ 10─455 ，255 ）.。
动点产生的等腰三角形问题
动点产生的等腰三角形问题类型1:一动点两定点如图，在平面中找点P，使得点P与已知点A.B构成等腰三角形分类讨论：第一种情况：以AB为腰，分别以AB为圆心，AB长为半径画圆，则在圆上的点（除去AB重合或共线的点）都能与AB构成等腰三角形；第二种情况：以AB为底，即为两圆的交点P1P2，P1P2是线段AB的垂直平分线总结：就是“两圆一线”模型解题技巧：步骤1：通过“两圆一线”确定动点位置；步骤2：分类讨论，建立方程模型求动点坐标注意：去除与直线AB共线的点的方法：求直线AB的解析式，再验证P点是否在直线AB 上，在则共线，不在，则不共线或用几何方法证明例题1:在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )A.5B.6C.7D.8例题2:如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y x x =--x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,对称轴与x 轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.(1) 求直线AE 的解析式;(2) 点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE 的面积最大时,求P 点坐标.(3) 点G 是线段CE 下方的中点,将抛物线2y x =x 轴正方向平移得到新抛物线'y ,'y 经过点D, 'y 的顶点为点F.在新抛物线'y 的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.练习1:如图1,已知二次函数2y ax bx c =++(a,b,c 为常数,a ≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M 的纵坐标为83-.直线l 的解析式为y=x.(1) 求二次函数的解析式;(2) 直线l 沿x 轴向右平移,得到直线'l ,'l 与线段OA 相交于B,与x 轴下方的抛物线相交于点C,过点C 作CE ⊥x 轴于点E,把△BCE 沿直线'l 折叠,当点E 恰好落在抛物线上'E 点时,(图2),求直线'l 的解析式;(3) 在(2)的条件下, 'l 与y 轴交于点N,把△BON 绕点O 逆时针旋转135°得到△''B ON ,P为'l 上的动点,当△''PB N 为等腰三角形时,求符合条件的点P 的坐标.练习2:如图1,在平面直角坐标系中,抛物线249y x bx c =-++经过点A(-5,0)和点B(1,0). (1) 求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2) 如图2,连接AD,BD,点M 在线段AB 上(不与A,B 重合),∠DMN=∠DBA,MN 交线段AD 于点N,是否存在这样点M,使得△DMN 为等腰三角形?若存在,求出AN 的长;若不存在,请说明理由.类型2:多个动点1.在平面内使构成等腰三角形的三个点中，动点个数≥2个；解决这类问题的方法：让三个点分别做顶角顶点，进行分类讨论；如图，在平面内点A、B、P为动点，使得△PAB是等腰三角形？分类：①以P为顶点,PA=PB；②以A为顶点,AP=AB③以B为顶点,BA=BP2.在具体的题目中有时不仅要找出符合题意的点，还要计算出点的坐标，计算点的坐标的方法可以参考以下几种方法：①全等；②相似；③勾股定理；④锐角三角函数；⑤面积法；⑥方程或者方程组.例题1:如图,△ABC是边长为8的等边三角形,现有两点M,N分别从点A,点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为每秒1个单位长度,点N的运动速度为每秒2个单位长度,当点M第一次到达B点时,M,N同时停止运动.(1)点M,N运动几秒后,可得到等边三角形AMN?(2)点M,N运动几秒后,M,N两点重合?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰△AMN?若存在,请求出此时M,N运动的时间.例题2:如图1,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A(0,6),与x 轴交于点B(-2,0),C(6,0).(1) 直接写出抛物线的解析式及其对称轴;(2) 如图2,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P 作PD ⊥AC 于点E,交x 轴于点D,过点P 作PG ∥AB 交AC 于点F,交x 轴于点G.设线段DG 的长为d,求d 与m 的函数关系式,并注明m 的取值范围;(3) 在(2)的条件下,若△PDG 的面积为4912. ①求点P 的坐标;②设M 为直线AP 上一动点,连接OM 交直线AC 与点S,则点M 在运动过程中,在抛物线上是否存在点R,使得△ARS 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M 及其对应的点R 的坐标;若不存在,请说明理由.练习1:如图①,在平面直角坐标系中,已知A(-2,2),B(-2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M 以B →C →D 运动(M 不与点B,点D 重合),设运动时间为t(秒).(1) 求经过A,C,D 三点的抛物线的解析式;(2) 点P 在(1)中的抛物线上,当M 为BC 的中点时,若△PAM ≌PBM,求点P 的坐标;(3) 当点M 在CD 上运动时,如图②,过点M 作MF ⊥x 轴,垂足为F,ME ⊥AB,垂足为E,设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S,求S 与t 的函数关系,并求出S 的最大值;(4) 点Q 为x 轴上一点,直线AQ 与直线BC 交于点H,与y 轴交于点K,是否存在点Q,使得△HOK 为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.练习2:抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x 轴于点D,点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点(点P 不与C,D 重合),过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E,交x 轴于点F.(1) 求抛物线的解析式;(2) 当△PCF 的面积为5时,求点P 的坐标;(3) 当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标.课后练习:1.如图所示,二次函数2(1)2y k x =-+的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B 两点,点B 在点A 的右侧,直线AB 分别与x,y 轴交于C,D 两点,其中k ＜0.(1)求A,B 两点的横坐标;(2)若△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形,求k 的值;(3)二次函数图象的对称轴与x 轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点A(-4,0),B(2,0),交y 轴于点C(0,6),在y 轴上有一个点E(0,-2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点,求△ADE 面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P 点的坐标,若不存在,请说明理由.3.抛物线263y x x =-+-与y 轴相交于点C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=3,D 为对称轴与x 轴的交点,在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E,F 两点,若△DEF 是等腰三角形,求△DEF 的面积.4.如图,抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A,B 两点,交y 轴于点C(0,3),顶点F 的坐标为(1,4),对称轴交x 轴于点H,直线112y x =+交x 轴于点D,交y 轴于点E,交抛物线的对称轴于点G.(1)求出a,b,c 的值;(2)点M 为抛物线对称轴上一个动点,若△DGM 是以DG 为腰的等腰三角形时,请求出点M 的坐标;(3)点P 为抛物线上的一个动点,当点P 关于直线112y x =+的对称轴恰好落在x 轴上时,请直接写出此时点P 的坐标.5.如图,抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C(0,-2),点A 的坐标是(2,0),P 为抛物线上的一个动点,过点P 作PD ⊥x 轴于点D,交直线BC 于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 若点P 在第二象限内,且PE=14OD,求△PBE 的面积; (3) 在(2)的条件下,若M 为直线BC 上一点,在x 轴的上方,是否存在点M,使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,一次函数3y x =-图象与坐标轴交于点A(3,0),B (0,,二次函数233y x x =-A,B 两点,点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以B,C,P,Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,抛物线213222y x x =-++与x 轴交于A(-1,0),B(4,0),与y 轴交于点C,连接AC,BC,点P 在抛物线上运动,如图,若点P 在第一象限,直线AP 交BC 于点F,过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H,当△PFH 为等腰三角形时,求线段PH 的长.8.如图,已知两直线1l ,2l 分别经过点A(1,0),点B(-3,0),且两条直线相交于y 轴的正半轴上的点C,当点C 的坐标为时,恰好有1l ⊥2l ,经过点A,B,C 的抛物线的对称轴与1l ,2l ,x 轴分别交于点G,E,F,D 为抛物线的顶点.(1)抛物线的函数解析式;(2)试说明DG 与DE 的数量关系?并说明理由;(3)若直线2l 绕点C 旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当△MCG 为等腰三角形时,请直接写出点M 的坐标.9.如图,已知抛物线2y=ax 9a --与坐标轴交于A,B,C 三点,其中C(0,3),∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D,交BC 于点D,交BC 于点E,过点D 的直线l 与射线AC,AB 分别交于点M,N.(1)直接写出a 的值,点A 的坐标及抛物线的对称轴;(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD 为等腰三角形,求出点P 的坐标;(3)证明:当直线l 绕点D 旋转时, 11AM AN+均为定值,并求出该定值.。
初三数学提优专题1(动点产生的等腰三角形问题)
第一节动点产生的等腰三角形问题讲方法一、两定点一动在平面中找点P,使得点P与已知点A、B构成等腰三角形第一类点,以AB为腰:如图,分别以A、B为圆心,AB的长为半径画圆,则两圆上的点(除去与A、B重合或共线的点)都能与A、B构成等腰三角形。
第二类点,以AB为底:如图,连接两圆的交点P1P2,可证直线P1P2是线段AB生垂直平分线,则P1P2所在直线上的点(除去与直线AB共线的点)都能与A、B构成等腰三角形。
总结:就是“两圆一中垂去五点”模型。
注:去除与直线AB共线的点的方法:求直线AB的解析式,再验证P点是否在直线AB上，在则共线,不在,则不共线;或用几何方法证。
二、动点个数不止在平面内使构成等腰三角形的三个点中,动点个数大于或等于两个解决问题的方法:让三个点轮流做顶角顶点,进行分类讨论。
三、计算点坐标的方法在具体题目中有时不仅要找出符合题意的点,还要计算出此点的坐标,计算点坐标的方参考以下几种:1.全等或相似(找相等线段或成比例线段);2.勾股定理;3.锐三角函数；4.面积法；5.方程或方程组学思路铺垫如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=CB=2，AD⊥DB，AB=4,DO垂直于AB.若点P在梯形的对称轴l上,那么使APDB为等腰三角形的点P有_____个，坐标分别是________思路：①平行+等腰出角平分线②垂直要想到：1.两锐角互余；2.可用勾股定理；3.锐角三角函数③两定一动模型压轴题(重庆中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=3332332--x x 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,对称轴与x 轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上(1)直线AE 的解析式为________2)点G 是线段CE 的中点,将抛物线y=3332332--x x 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ‘,y ’经过点D, y ’的顶点为点F.在新抛物线y ’的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由。
中考数学复习压轴题冲刺 代几综合题 第一讲 动点产生的等腰三角形
6
Байду номын сангаас
例 1．已知：抛物线 y x2 (a 2)x 2a （ a 为常数，且 a 0 ）.
2021年
7
【解析】（1）令 y 0 ，则 x2 (a 2)x 2a 0 ．△= (a 2)2 8a (a 2)2 ． ∵ a 0，∴ a 2 0．∴ △ 0 ． ∴ 抛物线与 x 轴有两个交点.
动点产生的等腰三角形
讲师：苏海涛
2021年
1
真题展示
2021年
2
动点产生的等腰三角形
2021年
3
动点产生的等腰三角形
2021年
4
冲刺满分
2021年
5
如何解决运动产生的等腰三角形问题：
假设形成了 等腰三角形
利用等腰三角形 的性质解决
常用知识：等角 对等边，等腰三 角形“三线合一” 等等
2021年
在 Rt△ AOC 中， AO2 CO2 (2 5 )2 ， a2 (2a)2 20 ．可得 a 2 ． ∵ a 0，∴ a 2．∴ 抛物线的解析式为 y x2 4 ．
2021年
8
例 2．（兰州）如图，抛物线 y=﹣ 1 x2 + mx + n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴 2
在 Rt△OCD 中，由勾股定理，得 CD = 5 ． 2
专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(压轴题)
《中考压轴题》专题37：动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问一、选择题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是A．2B．3C．4D．5二、填空题1.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的△是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。
中点，点P在BC上运动，当ODP2.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ 是等腰三角形，则符合条件的Q点有个.3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x 轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标．三、解答题1.如图，抛物线21y x mx n 2=-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．2.如图，二次函数24y x bx c 3=++的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D 点坐标．3.已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2），C （32，0）三点，一动点P 从原点出发以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线交y 轴于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=12AP 时，求t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线过2y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-），以OB 为直径的⊙A 经过C 点,直线l 垂直于x 轴于点B.（1）求直线BC 的解析；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m n ⋅的值，并证明你的结论；（4）点P 从O 出发，以每秒1个单位速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t(0<t )秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值.5.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213y x x 222=-++的图像与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，过动点H （0,m ）作平行于x 轴的直线，直线与二次函数213y x x 222=-++的图像相交于点D ，E.（1）写出点A,点B 的坐标；（2）若m >0，以DE 为直径作⊙Q ，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值；（3）直线上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.6.如图1，抛物线y=ax 2+bx ﹣1经过A （﹣1，0）、B （2，0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式．（2）如图1，当点P 的横坐标为32时，求证：△OBD ∽△ABC ．（3）如图2，若点P 在第四象限内，当OE=2PE 时，求△POD 的面积．（4）当以点O 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标．7.如图，抛物线y=-x 2+bx+c 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，已知经过点A ，B 的直线的表达式为y=x+3．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C 的坐标；（2）如图①，点P （m ，0）是线段AO 上的一个动点，其中-3＜m ＜0，作直线DP ⊥x 轴，交直线AB 于D ，交抛物线于E ，作EF ∥x 轴，交直线AB 于点F ，四边形DEFG 为矩形．设矩形DEFG 的周长为L ，写出L 与m 的函数关系式，并求m 为何值时周长L 最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使点A ，B ，Q 构成的三角形是以AB 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的图象过点M (2,-，顶点坐标为N 1,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.11.已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。
中考数学因动点产生的等腰三角形问题详解
中考数学因动点产生的等腰三角形问题详
解
近年来，中考数学中因动点产生的图象问题，因其能较好地考查学生的空间想象能力和实际操作能力而备受
命题者的青睐。
思路点拨
1.证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.
2.第(2)题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值.
3.第(3)题头绪复杂，计算简单，分三段表达.一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x=y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值.
满分解答
第1页/共1页。
XXXX中考数学压轴题专题汇编37动态几何之动点形成的等腰三角
XXXX中考数学压轴题专题汇编37动态几何之动点形成的等腰三角1，选择题1。
(广西桂林)知道直线Y吗？？3x？3分别在点a和b与坐标轴相交，点p在抛物线y？？(x？3)？在4上，可以使△ABP成为等腰三角形的点p的个数是()a . 3 b . 4 c . 5d . 6[答案]a .[分析]圆，线段AB的长度以点b为中心为半径，在点c、m和n处与抛物线相交，连接点AC和点BC，并通过直线y？？3x？3.结合抛物线的解析公式，可以得到点A和点B的坐标，以及△ABC等边三角形。
然后，在抛物线的解析公式中，通过使y=0，可以得到抛物线与X轴的两个交点的坐标。
结合图形，研究了△ABP在三种情况下为等腰三角形，从而得出结论。
[分析]使用以点B为圆心的线段AB的长度作为圆的半径。
相交抛物线位于点c、m和n，连接交流和直流，如图所示。
132顺序函数y？？3x？当x=0时，y=3，∴点a的坐标为(0，3)；质函数y？？3x？y = 0/3，那么？3x的解是:x=3，坐标8756；b点是(3，0)，∴ab = 23。
3？0，抛物线的对称轴是x=3，点c的坐标是(23，3)，∴AC=23=AB=BC和8756δABC是等边三角形。
让112y？？(x？3)2？y = 0/4)。
4？0？(x？点f的坐标是(33，0)。
△ abp在三种情况下是等腰三角形:，解是:x=？3，或x=33，8756；点e的坐标是？3、①当AB=BP时，以B点为中心，长度AB为半径，在C、M、N三点相交成抛物线；(2)当AB=AP时，以a点为圆心，AB的长度为圆的半径，在c点和m点与抛物线相交；③当AP=BP时，线段AB的垂直平分线形成，相交抛物线与C和M 相交；∴有3个点p可以构成△ABP等腰三角形。
因此，选择a测试点:二次函数图像上点的坐标特征；主函数图像上点的坐标特征；等腰三角形的确定；分类讨论。
2.(湖北省武汉市)在平面直角坐标系中，已知A (2，2)和B (4，0)。
挑战数学中考压轴题：因动点产生的等腰三角形问题
Y
图4
D
X
此时 PM 4 QN 7 ．所以 BP BM PM 3 7 25 ．
S
3
6
66
③不存在 DP＝DF 的情况．
Z
图5 这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图 4，图 5 所示）．
X
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例4 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
考点伸展
如图 6，当△ CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
在 Rt△ ABC 中， tan C BA 3 ．所以∠QPD＝∠C．
Y
CA 4 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．
D
因此△ PDF ∽腰三角形时，△ CDQ 也是等腰三角形．
S
①如图 4，当 CQ＝CD＝5 时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1．
D
不存在，请说明理由．
X
S
Z
X
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例3 2012年临沂市中考第26题
（3）抛物线的对称轴是直线 x＝2，设点 P 的坐标为(2, y)．
①当 OP＝OB＝4 时，OP2＝16．所以 4+y2＝16．
解得 y 2 3 ．
Y
当 P 在 (2, 2 3)时，B、O、P 三点共线（如图 1）．
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例3 2012年临沂市中考第26题
考点伸展
如图 2 在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么△ DOA 与△ OAB
Y
是两个相似的等腰三角形．
由 y 3 x(x 4) 3 (x 2)2 2 3 ，得抛物线的顶点为 D(2, 2 3 ) ．
压轴题冲刺 代几综合题 第一讲 动点产生的等腰三角形
常用知识： 动点构成 等腰三角形 利用 等腰三角形 相关性质解决 等角对等边， 等腰三角形 “三线合一” 等等
动点产生的等腰三角形
真题展示
动点产生的等腰三角形
动点产生的等腰三角形
冲刺满分
如何解决运动产生的等腰三角形问题：
假设形成了 等腰三角形
利用等腰三角形 的性质解决
常用知识：等角 对等边，等腰三 角形“三线合一” 等等
例 1．已知：抛物线 y x 2 (a 2) x 2a （ a 为常数，且 a 0 ）.
例 3．如图，二次函数 y
4 2 x bx ，若点 P、Q 同时从 A 点同 3
0 4 2 【解析】 （1）∵二次函数 y = x + bx + c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B（﹣1，0） ，∴ 3 0
4 8 9 3b c 4 2 8 b 3 ，解得 ． 3 ，∴y = x ﹣ x﹣4．∴C（0，﹣ 4） 3 3 4 1 b c c 4 3
（3）四边形 APDQ 为菱形，D 点坐标为（﹣ ，﹣
） ．理由如下：
如图 2，D 点关于 PQ 与 A 点对称，过点 Q 作，FQ⊥AP 于 F，
1 例 2． （兰州）如图，抛物线 y=﹣ x2 + mx + n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴 2
于点 D，已知 A（﹣1，0） ，C（0，2） ．
解： （1）∴抛物线的解析式为： y
1 2 3 x x2， 2 2
1 2 3 x x2 2 2
（2）∵ y
1 3 25 ∴ y ( x )2 2 2 8
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。
本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题。
在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线
1
l:y x
2
上，若以A、B、C三点
为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A。
【考点】单动点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。
【解析】如图，AB 的垂直平分线与直线1
l :y x 2
=相交于点C ，则以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形。
∴AB=BC=CA 。
点C 的个数是1。
故选A 。
2. 如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝8，CD ＝10．
（1）求梯形ABCD 的面积；
（2）动点P 从点B 出发，以2个单位/s 的速度沿B→A→D→C 方向向点C 运动；动点Q 从点C 出发，以2个单位/s 的速度沿C→D→A 方向向点A 运动；过点Q 作QE ⊥BC 于点E ．若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．问：
①当点P 在B→A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值，并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）40；（2或45t ≤<或56t <≤. 【解析】
∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴D H=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，∴BC=BH+CH=8，
∴S ABCD AD+BC）2+8）×8=40．
所以PQ不平分梯形ABCD的面积；
②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QH⊥AB，垂足为H．
，
∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10﹣2t ．
∴当4≤t ＜5时，以DQ 为腰的等腰△DPQ 恒成立． 第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t ﹣10．
∴当5＜t≤6时，以DQ 为腰的等腰△DPQ 恒成立．
4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ 为腰的等腰△DPQ 成立． 考点：1．直角梯形；2．等腰直角三角形；3．动点型．
3. 如图，在直角梯形ABCD 中,AD ∥CB, 90,16,12,21o C BC DC AD ∠==== ,动点P 从点D 出发,沿射
线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段CB 上以每秒一个单位长的速度向点B 运动,点P,Q 分别从点D,C 同时出发,当点Q 运动到点B 时,点P 随之停止运动.设运动的时间为t （秒）.
（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
（2）当t为何值时,四边形ABQP是平行四边形.
（3）当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
【答案】（1）S=96-6t（0≤t＜16）．（2）5;（3）
【解析】
试题解析：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12，
∵QB=16-t，
∴s=16-t）×12=96-6t（0≤t＜16）．
（2）当四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，
即21-2t=16-t，
解得：t=5，
∴当t=5时，四边形ABQP是平行四边形．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
考点：1.直角梯形；2.等腰三角形的判定；3.勾股定理；4.平行四边形的判定．
4. 如图，已知抛物线2y x 4=-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，动点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度在线段OA 上运动，过点Q 作x 轴的垂线交线段AB 于点N ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒。
问：△AON 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由。
【答案】解：∵抛物线2y x 4=-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
∴A(2，0),B(0，4),即OA=2,OB=4。
∴tan ∠OAB=2。
若△AON 为等腰三角形，有三种情况：
（I ）若ON=AN ，如图1所示， 过点N 作NQ ⊥OA 于点Q ， 则Q 为OA 中点，OQ=1
2
OA=1， ∴t=
12。
∴t=
35。
（III ）若OA=AN ，如图3所示， 过点N 作NQ ⊥OA 于点Q ， 设AQ=x ，则AQ•tan∠O AB=2x ，
在Rt △AND 中，由勾股定理得：NQ 2
+AQ 2
=AN 2
，
即()2
22x 2x 2+=，解得x 1，x 2=（舍去）。
∴，OD=2﹣x=2。
∴t=1
综上所述，当t 为
12秒、35
秒，1AON 为等腰三角形。
【考点】双动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分类思想的应用。