第二十讲平面向量的概念及线性运算

第二十讲平面向量的概念及线性运算■考试要求1.向量的实际背景，A级要求；2.平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示，B级要求；3.向量加法、减法及数乘运算，B级要求；4.两个向量共线的含义，B级要求；5.向量线性运算的性质及其几何意义，A级要求.课前准备区回扣教材夯实基础■知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的．(2)零向量：长度为的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且相同的向量．(6)相反向量：长度相等且相反的向量．2．向量的线性运算法则向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在一个实数λ，使得．4．向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝．5．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．■回归课本1.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，且,AO OC BO OD ==，则四边形ABCD 是________四边形.2.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →用AB →和AC →表示为________.3.已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，BC →＝________(用a ，b 表示).4. 设向量a 与b 是两个不共线的向量，且a ＋λb 与3a －b 共线，则λ＝________.5. 在△ABC 中，BD →＝2DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为________．6. 如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，则k ＝________.课堂活动区 突破考点 研析热点■考点突破◇考点一：平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是________.◇考点二：平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝________.(2)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于________(用AD →，AB →表示).(3)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AD →＋BE →＋CF →＝________.◇考点三：共线向量定理的应用【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.■课堂总结1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论.2.对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a 与b 共线是指a 与b 所在的直线平行或重合.3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b ＝λa ，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.课后练习区 精题精练 规范答题■基础练习1.设a 是非零向量，λ是非零实数，给出下列结论：①a 与λa 的方向相反；②a 与λ2a 的方向相同；③|－λa |≥|a |；④|－λa |≥|λ|·a .其中正确的是________(填序号).2.在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示).3. 边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．4. 已知|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |=_______．.5. 在△ABC 中，点D 是BC 边上的点，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ的最大值为________．6. 设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅= ．7.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p8.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.■能力提升9.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.10.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________.11.已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？12.如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ， AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.第二十讲平面向量的概念及线性运算■考试要求1.向量的实际背景，A级要求；2.平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示，B级要求；3.向量加法、减法及数乘运算，B级要求；4.两个向量共线的含义，B级要求；5.向量线性运算的性质及其几何意义，A级要求.课前准备区回扣教材夯实基础■知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的．(2)零向量：长度为的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且相同的向量．(6)相反向量：长度相等且相反的向量．2．向量的线性运算法则向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在一个实数λ，使得．4．向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝．5．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．■回归课本1.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，且,AO OC BO OD ==，则四边形ABCD 是________四边形.2.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →用AB →和AC →表示为________. 解析 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.3.已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，BC →＝________(用a ，b 表示).解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .4. 设向量a 与b 是两个不共线的向量，且a ＋λb 与3a －b 共线，则λ＝________.[解析] 设α＋λb ＝t (3a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝3t ，λ＝－t ，∴λ＝－13. [答案] －135. 在△ABC 中，BD →＝2DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为________．[解析] AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13CB →，而CB →＝AB →－AC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →，所以λ1＝13，λ2＝23，则λ1λ2＝29. [答案] 296. 如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，则k ＝________.[解析] ∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线， ∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2，又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2. [答案]2课堂活动区 突破考点 研析热点■考点突破◇考点一：平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是________.解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ④不正确.当b ＝0时，a ，c 可能不平行. 综上所述，正确命题的序号是②③.◇考点二：平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝________.(2)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于________(用AD →，AB →表示).解析 (1)∵a ·b ＝0，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，CD ＝255，∴BD ＝55，AD ＝455，∴AD ∶BD ＝4∶1.∴AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b .(2)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →.(3)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AD →＋BE →＋CF →＝________.解析：由题意知：AD →＝FE →，BE →＝DF →，CF →＝ED →，而FE →＋ED →＋DF →＝0，∴AD →＋BE →＋CF →＝0.◇考点三：共线向量定理的应用【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.■课堂总结1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论.2.对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a 与b 共线是指a 与b 所在的直线平行或重合.3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b ＝λa ，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.课后练习区 精题精练 规范答题■基础练习1.设a 是非零向量，λ是非零实数，给出下列结论：①a 与λa 的方向相反；②a 与λ2a 的方向相同；③|－λa |≥|a |；④|－λa |≥|λ|·a .其中正确的是________(填序号).解析 对于①，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，②正确；对于③，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于④，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小. 答案 ②2.在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示).解析 由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案 －14a ＋14b 3. 边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________． 答案： 34. 已知|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |=_______．.解 设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如下图所示：则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝|DB →|.又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，由勾股定理得 |DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝82＋62＝10.所以|a －b |＝10. 答案：105. 在△ABC 中，点D 是BC 边上的点，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ的最大值为________．[解析] ∵D 在边BC 上，且AD →＝λAB →＋μAC →，∴λ＞0，μ＞0，且λ＋μ＝1，∴λμ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ22＝14，当且仅当λ＝μ＝12时，取“＝”号．[答案] 146. 设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅= ．【答案】97.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________.解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b . 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线. 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 －18.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.解析 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上. 答案 ④■能力提升9.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.解析 由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB→＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16. 答案 12 －1610.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________. 解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.11.已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，学而不思则惘，思而不学则殆要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线.12.如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c .因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →，MN →＝MC →＋CB →＋BN →，所以2MN →＝MD →＋MC →＋DA →＋CB →＋AN →＋BN →＝－AD →－BC →＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c .所以MN →＝12a －b －12c . DN →＋CN →＝DM →＋MN →＋CM →＋MN →＝2MN →＝a －2b －c .。