20152016学年高中数学1322函数性质的应用课件新人教A版必修1
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新人教A版高中数学必修一3.2.3.1《函数的性质应用》课件
0
f ( x) 2 x 2 4 x 3.
时，
（1） 求f (1) 的值.
因为 x 1 0,
所以 f (1) 2(1 ) 2 4(1 ) 3 1.
（2） 求 f (1) 的值.
因为 y f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，
所以 f (1) f (1), f (1) f (1) 1.
（3）写出 f ( x) 的解析式并画出函数图象.
例2 已知 y = f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，当x＜
0
f ( x) 2 x 2 4 x 3.
时，
（3）写出 f ( x) 的解析式并画出函数图象.
f (x)的定义域为R.
例2 已知 y = f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，当x＜
10
8
当x＞0时，y =
6
= .
x x
4
偶函数，关于y轴对称.
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2
5
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例1 试画出函数
y=
x
当x＞0时，y =
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的图象，并讨论函数的单调性.
8
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= .
x x
4
2
偶函数，关于y轴对称.
x
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例1 试画出函数
y=
x
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的图象，并讨论函数的单调性.
1
y=
x
x
的图象，并讨论函数的单调性.
f ( x) 2 x 2 4 x 3.
时，
（1） 求f (1) 的值.
因为 x 1 0,
所以 f (1) 2(1 ) 2 4(1 ) 3 1.
（2） 求 f (1) 的值.
因为 y f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，
所以 f (1) f (1), f (1) f (1) 1.
（3）写出 f ( x) 的解析式并画出函数图象.
例2 已知 y = f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，当x＜
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f ( x) 2 x 2 4 x 3.
时，
（3）写出 f ( x) 的解析式并画出函数图象.
f (x)的定义域为R.
例2 已知 y = f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，当x＜
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当x＞0时，y =
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= .
x x
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偶函数，关于y轴对称.
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例1 试画出函数
y=
x
当x＞0时，y =
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的图象，并讨论函数的单调性.
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= .
x x
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偶函数，关于y轴对称.
x
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例1 试画出函数
y=
x
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的图象，并讨论函数的单调性.
1
y=
x
x
的图象，并讨论函数的单调性.
人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.1.2 函数表示法
即：f (x) 3 x 7
讲
22
课
人
：
邢
启 强
23
典型例题
解 : 设f (x) kx b,则f ( f (x)) f (kx b) k(kx b) b
k(kx b) b 4x 1,
k 2 (k
4 1)b
1
k b
2
1 3
或
k b
2 1
f (x) 2x 1 或f (x) 2x 1
因为 AD＝x 所以 x2= 2 a 2 A 2
E
B
所以 DC＝2－x2
讲
课
人
：
邢
启 强
27
典型例题
例5.已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图 所示，求f(x)的解析式.
【分析】由图象特点先确定函数类型，再求解析式.
【解析】当-1≤x≤0时，设y=ax+b,
∵过点(-1,0)和(0,1),∴
(1)求f{f[f(－2)]} (2) 当f (x)=－7时,求x ;
解: (1) f{f[f(－2)]} = f{f[-1]} = f{1} =0
(2)若x＜－1 , 2x+3 ＜1，与f (x)=－7相符，
由2x+3 =－7得x=－5 易知其他二段均不符合f (x)=－7 。
故 x=－5
讲
课
Hale Waihona Puke 人：(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式， 可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x) 改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便 得 f(x)的解析式； (4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式， 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修一课件 第3章 3.2.2 函数模型的应用举例
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第三章·3.2·3.2.2
1．常见的函数模型有哪些？ 提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； k (2)反比例函数模型：f(x)＝ (k为常数，k≠0)； x (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
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第三章·3.2·3.2.2
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数， a≠0)； (5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数， a≠0，b>0，b≠1)； (6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数， m≠0，a>0，a≠1)； (7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0， n≠1)．
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第三章·3.2·3.2.2
②抽象函数模型 在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型． ③研究函数模型的性质 根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有 关性质，获得函数模型的解． ④得出问题的结论 根据函数模型的解，结合实ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ问题的实际意义和题目 的要求，给出实际问题的解．
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第三章·3.2·3.2.2
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第三章·3.2·3.2.2
3．数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？ 提示：因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比 较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可 能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选 用其他函数模型．
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第三章·3.2·3.2.2
人教高中数学必修一函数的基本性质函数的单调性及应用课件
函数的基本性质 ——函数的单调性及应用
学习目标
（1）理解并掌握函数的单调性， 掌握用定义证明函数的单调性的步骤；
（2）能运用单调性解决一些简单的实际问题.
重点
（1）函数单调性的概念；
（2）运用函数单调性的定义判断函数的单调性．
难点
利用单调性的定义证明函数的单调性及应用.
知识梳理:
❖ 1．函数单调性的定义
人教高中数学必修一第一章1.3.1函数 的基本 性质- 函数的 单调性 及应用 课件(共17张PPT)
【变式训练2】
(2)画出下列函数图像，并填空：
y 1 , (x 0)
x
？
y
1 的单调减区间是 x
_(____, _0_)_，_(_0_,__)
o
y y1
x
x
函数y
x2
2x
2,
x
0,3的值域为
y x2 2
y x2 +2的单调增区间是__- __，_0__;
y x2 +2的单调减区间是__0_，_____.
y x2 2, x 1, 2最大值为__2____;
最小值为 ___-_2 __;
y
y=-x2+2
2 1
-2 -1 o 1 2 x
-1 -2
人教高中数学必修一第一章1.3.1函数 的基本 性质- 函数的 单调性 及应用 课件(共17张PPT)
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D
上的任意两个自变量x1，x2，
定义
当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，
那么就说函数f(x)在区间D上是增
当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2) ，
学习目标
（1）理解并掌握函数的单调性， 掌握用定义证明函数的单调性的步骤；
（2）能运用单调性解决一些简单的实际问题.
重点
（1）函数单调性的概念；
（2）运用函数单调性的定义判断函数的单调性．
难点
利用单调性的定义证明函数的单调性及应用.
知识梳理:
❖ 1．函数单调性的定义
人教高中数学必修一第一章1.3.1函数 的基本 性质- 函数的 单调性 及应用 课件(共17张PPT)
【变式训练2】
(2)画出下列函数图像，并填空：
y 1 , (x 0)
x
？
y
1 的单调减区间是 x
_(____, _0_)_，_(_0_,__)
o
y y1
x
x
函数y
x2
2x
2,
x
0,3的值域为
y x2 2
y x2 +2的单调增区间是__- __，_0__;
y x2 +2的单调减区间是__0_，_____.
y x2 2, x 1, 2最大值为__2____;
最小值为 ___-_2 __;
y
y=-x2+2
2 1
-2 -1 o 1 2 x
-1 -2
人教高中数学必修一第一章1.3.1函数 的基本 性质- 函数的 单调性 及应用 课件(共17张PPT)
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D
上的任意两个自变量x1，x2，
定义
当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，
那么就说函数f(x)在区间D上是增
当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2) ，
人教版高一数学必修一指数函数及其性质的应用课件PPT
●你是否曾遇到过这种情形,离下课还有一点时间时,你对学生 说:“如果你们保持安静,我就不会再布置更多的任务了。”学生 会有哪些反应? 你是否曾发现自己预先安排的内容已经讲完了,却还没到下课时 间,于是决定给学生布置课堂任务来填补这段空白,此时学生有哪 些反应?
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一 种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师 在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而 且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴 趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样, 不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任 务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学 生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规 定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中 注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完 成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。
假如你现在走进一位高效教师的课堂,毫无意外, 你会看到学生一定正在忙着学习。这些学生虽然不 一定整齐划一地干同样的事情,但他们手头一定有事 做,而不会坐在课桌前发呆。
相对地,假如你现在走进一位低效教师的课堂,你 可能会发现并不是所有的学生都分配了学习任务,总 有那么几个学生坐在椅子上无所事事。他们或许在 打瞌睡,或许在做些违反课堂纪律的事情。
的,而不是打发时间用的内容),每次上课时准备好的内容都应该 比实现计划教授的内容多一些,以保证每堂课的内容都是充分的。 2.教师一上课就应该立刻开始教学活动,直到下课学生离开教室 才结束。
3.事先准备一些简短、有趣的教学任务。如果需要在课堂上 布置任务,比如需要耗时三十分钟的短文写作,可以把整体任务 分解成几个更小的部分,并且带领学生一步一步完成每个部分。 记住,这种简短、有趣的任务要比一次需要耗费很长时间的任务 更能吸引学生的注意力。
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一 种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师 在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而 且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴 趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样, 不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任 务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学 生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规 定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中 注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完 成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。
假如你现在走进一位高效教师的课堂,毫无意外, 你会看到学生一定正在忙着学习。这些学生虽然不 一定整齐划一地干同样的事情,但他们手头一定有事 做,而不会坐在课桌前发呆。
相对地,假如你现在走进一位低效教师的课堂,你 可能会发现并不是所有的学生都分配了学习任务,总 有那么几个学生坐在椅子上无所事事。他们或许在 打瞌睡,或许在做些违反课堂纪律的事情。
的,而不是打发时间用的内容),每次上课时准备好的内容都应该 比实现计划教授的内容多一些,以保证每堂课的内容都是充分的。 2.教师一上课就应该立刻开始教学活动,直到下课学生离开教室 才结束。
3.事先准备一些简短、有趣的教学任务。如果需要在课堂上 布置任务,比如需要耗时三十分钟的短文写作,可以把整体任务 分解成几个更小的部分,并且带领学生一步一步完成每个部分。 记住,这种简短、有趣的任务要比一次需要耗费很长时间的任务 更能吸引学生的注意力。
《函数的应用》人教高中数学A版必修一PPT课件(8篇)
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
通过建立函数模型解决实际问
使用的函数模型)的广泛应用.
题，培养数学建模素养.
2.能够利用给定的函数模型或建立 2. 借助实际问题中的最值问题，提
确定的函数模型解决实际问题．(重 升数学运算素养.
点、难点)
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自主预习
3
PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
第三章
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3.4 函数的应用(一)
2
学习目标
核心素养
1.了解函数模型(如一次函数、二次 函数、分段函数等在社会生活中普遍 1.
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人教A版高中数学必修1第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质课件(5)
(t1,θ1) t1 t2
问题： 在区间[4，14]上，如何用数学符号语言来刻
画“θ随t的增大而增大精”品P这PT 一特征？
在[4，14]上，取几个不同的输入值，例如 θ
t1＝5，t2＝6，t3 ＝8，t4＝10，得到相对应的
输出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4时，有
θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ随t的增 大而增大．
精品PPT
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度 25m到30m处)时爆裂. 如果在距地面高度18m的地 方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必1
精品PPT
1.3.1 函数的基本性质
精品PPT
教学目的
• （1）通过已学过的函数特别是二次函数， 理解函数的单调性及其几何意义；
• （2）学会运用函数图象理解和研究函数的 性质；
• （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上 的的单调性．
• 教学重点：函数的单调性及其几何意义． • 教学难点：利用函数的单调性定义判断、
定号 结论
例：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
证明：设x1,x2是R上任意两个 实数， 且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22] 因为 x1<x2 ，则 x1-x2 <0 又 (x1+ x2) 2 + x22>0 所以 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2)
问题： 在区间[4，14]上，如何用数学符号语言来刻
画“θ随t的增大而增大精”品P这PT 一特征？
在[4，14]上，取几个不同的输入值，例如 θ
t1＝5，t2＝6，t3 ＝8，t4＝10，得到相对应的
输出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4时，有
θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ随t的增 大而增大．
精品PPT
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度 25m到30m处)时爆裂. 如果在距地面高度18m的地 方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s.
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《高中数学》
必1
精品PPT
1.3.1 函数的基本性质
精品PPT
教学目的
• （1）通过已学过的函数特别是二次函数， 理解函数的单调性及其几何意义；
• （2）学会运用函数图象理解和研究函数的 性质；
• （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上 的的单调性．
• 教学重点：函数的单调性及其几何意义． • 教学难点：利用函数的单调性定义判断、
定号 结论
例：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
证明：设x1,x2是R上任意两个 实数， 且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22] 因为 x1<x2 ，则 x1-x2 <0 又 (x1+ x2) 2 + x22>0 所以 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2)
最新新人教a版高中数学(必修11.3《函数的基本性质》(第1课时说课课件教学讲义ppt
在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时， 进一步引导学生解决问题3，向学生提出问题，对于任 意的t1、t2∈[4，18]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)<f(t2) 呢?
将学生分成四人一组通过观察图象、正反对比，发现数量关系， 由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数 概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述。为了获得单 调增函数概念，从不同的小组中抽取学生的进行表述，然后由老师 进行分析、归类，引导学生得出单调增函数概念，并向学生指出关
（四）回顾总结及作业布置 通过师生互动，回顾本节课的概念、方法。 1、函数的单调性的定义． 2、判断、证明函数的单调性方法． 3、证明函数单调性的步骤：取值→作差→变
键词“区间内”、“任意”、“当x1＜x2时，都有f(x1 )＜
f(x2)”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”， 之后由老师与学生一起给出单调增函数概念的数学表述．然后请学 生们类比单调增函数概念，给出单调减函数的概念。
最后由老师完成单调性和单调区间概念的整体表述
【设计意图】数学概念的形成来自解决实
3、在鼓励学生主体参与的同时， 不可忽视教师的主导作用．具体体现 在设问、讲评和规范书写等方面，要 教会学生清晰的思维、严谨的推理， 并成功地完成书面表达．
4、采用投影仪、多媒体等现代教 学手励自主交流与 合作学习，让学生从问题中质疑、尝试、归纳、 总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解 决问题的能力．
课堂练习：
1、教材P58练习第1、2题 2、y=x2-2x+1在区间(1,+ ∞)上是单调增函数还 是单调减函数
思考：二次函数的单调性有没有什么规律？
【设计意图】通过课堂练习加深学生对概念的
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3．若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.
4．若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又 是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D， D是关于原点对称的实数集．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 奇、偶函数的图象
【例1】 已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数 F(x)＝f(x)·g(x)的图象可以是( )
【例2】 定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R， 都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
(1)求f(0)的值； (2)判断f(x)的奇偶性．
【解】 (1)令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)·f(0) 即2f(0)＝2f(0)·f(0)． ∵f(0)≠0，∴f(0)＝1. (2)令x＝0得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)， ∴f(－y)＝f(y)． ∴f(x)为偶函数．
课前热身 1.定义在R上的奇函数，必有f(0)＝________. 2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则 f(x)在[－b，－a]上是________函数，且有最小值________． 3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0， ＋∞)上是________函数.
变式训练3 已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且在定 义域内单调递减，若a满足f(1－a)＋f(1－2a)<0，求实数a的取 值范围．
解 ∵f(1－a)＋f(1－2a)＜0，∴f(1－a)＜－f(1－2a)， 又f(x)在(－1,1)上为奇函数，∴f(1－a)＜f(2a－1)． 又f(x)在(－1,1)上为减函数，
三 函数的综合问题
【例3】 函数f(x)＝a1x＋＋xb2 是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f(12)＝25.
(1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
【解】
f0＝0， (1)依题意得f12＝25，
1＋b 02＝0， ∴a21＋ ＋b14＝25，
∴ab＝ ＝10， ， ∴f(x)＝1＋x x2.
(2)证明：任取－1<x1<x2<1， ∴f(x1)－f(x2)＝1＋x1x21－1＋x2x22 ＝x11－＋xx22111－＋xx122x2. ∵－1<x1<x2<1， ∴x1－x2<0,1＋x21>0,1＋x22>0， 由－1<x1<x2<1知，－1<x1x2<1， ∴1－x1x2>0.
解 (1)f(0)＝f(0·0)＝0f(0)＋0f(0)＝0. 由f(1)＝f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)＝2f(1)， 得f(1)＝0. (2)f(x)是奇函数． 证明：因为f(1)＝f[(－1)(－1)]＝－f(－1)－f(－1)＝0， 所以f(－1)＝0. f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)， 因此，f(x)为奇函数.
[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
名师点拨 理解函数的奇偶性应关注四点 1．函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函 数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x) ＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．
2．函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条 件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关 于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝ x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇 偶性可言．
规律பைடு நூலகம்巧 对于抽象函数的命题，赋值法是解决问题的关 键，常用f0，f±1来研究函数fx的性质.
变式训练2 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且 对于任意的a，b∈R都满足：f(a·b)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
∴f(x1)－f(x2)<0. ∴f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)∵f(t－1)<－f(t)＝f(－t)， 又f(x)在(－1,1)上为增函数， ∴－1<t－1<－t<1，∴0<t<12.
规律技巧 函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，题 目中利用了f(0)＝0，也可以利用定义对x∈(－1，1)，f(－x)＝ －f(x)恒成立，也可以利用f(－12)＝－25来解题．
解析 因为f(x)是偶函数，在y轴两侧对称区间内具有相反 的单调性，由图易知，在[0,1]，[3，＋∞)上为增函数；所以在 [－1,0]，(－∞，－3]上为减函数，因此f(x)在R上的减区间为 (－∞，－3]，[－1,0]，[1,3]．
答案 (－∞，－3]，[－1,0]，[1,3]
二 抽象函数问题
自 1.0 我 2.增 －M 校
3.增 对
思考探究 函数奇偶性和单调性的关系是怎样的？ 提示(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函 数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单
调性 . (2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在
【解析】 由图象可知函数y＝f(x)与y＝g(x)均为奇函数， f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，F(x)＝f(x)·g(x)＝[－f(－x)]·[－ g(－x)]＝F(－x)，所以函数F(x)＝f(x)·g(x)为偶函数．注意到函 数y＝f(x)的图象在y轴右侧部分先小于0后大于0，而函数y＝g(x) 在右侧部分恒大于0，因此F(x)＝f(x)·g(x)的图象在y轴右侧先在 x轴下方，后在x轴上方，且不经过原点，满足这些条件的只有 A.
【答案】 A
规律技巧 本例是判断奇函数、偶函数积的奇偶性，将函 数图象中明显特征(如定义域、与x轴的交点、在x轴上下方 等)，用于分析函数的奇偶性、单调性等函数特征，提高分析 识图能力．
变式训练1 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数．当x≥0时 f(x)的图象如图所示，写出函数f(x)的单调递减区间________．
4．若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又 是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D， D是关于原点对称的实数集．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 奇、偶函数的图象
【例1】 已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数 F(x)＝f(x)·g(x)的图象可以是( )
【例2】 定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R， 都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
(1)求f(0)的值； (2)判断f(x)的奇偶性．
【解】 (1)令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)·f(0) 即2f(0)＝2f(0)·f(0)． ∵f(0)≠0，∴f(0)＝1. (2)令x＝0得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)， ∴f(－y)＝f(y)． ∴f(x)为偶函数．
课前热身 1.定义在R上的奇函数，必有f(0)＝________. 2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则 f(x)在[－b，－a]上是________函数，且有最小值________． 3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0， ＋∞)上是________函数.
变式训练3 已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且在定 义域内单调递减，若a满足f(1－a)＋f(1－2a)<0，求实数a的取 值范围．
解 ∵f(1－a)＋f(1－2a)＜0，∴f(1－a)＜－f(1－2a)， 又f(x)在(－1,1)上为奇函数，∴f(1－a)＜f(2a－1)． 又f(x)在(－1,1)上为减函数，
三 函数的综合问题
【例3】 函数f(x)＝a1x＋＋xb2 是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f(12)＝25.
(1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
【解】
f0＝0， (1)依题意得f12＝25，
1＋b 02＝0， ∴a21＋ ＋b14＝25，
∴ab＝ ＝10， ， ∴f(x)＝1＋x x2.
(2)证明：任取－1<x1<x2<1， ∴f(x1)－f(x2)＝1＋x1x21－1＋x2x22 ＝x11－＋xx22111－＋xx122x2. ∵－1<x1<x2<1， ∴x1－x2<0,1＋x21>0,1＋x22>0， 由－1<x1<x2<1知，－1<x1x2<1， ∴1－x1x2>0.
解 (1)f(0)＝f(0·0)＝0f(0)＋0f(0)＝0. 由f(1)＝f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)＝2f(1)， 得f(1)＝0. (2)f(x)是奇函数． 证明：因为f(1)＝f[(－1)(－1)]＝－f(－1)－f(－1)＝0， 所以f(－1)＝0. f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)， 因此，f(x)为奇函数.
[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
名师点拨 理解函数的奇偶性应关注四点 1．函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函 数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x) ＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．
2．函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条 件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关 于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝ x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇 偶性可言．
规律பைடு நூலகம்巧 对于抽象函数的命题，赋值法是解决问题的关 键，常用f0，f±1来研究函数fx的性质.
变式训练2 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且 对于任意的a，b∈R都满足：f(a·b)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
∴f(x1)－f(x2)<0. ∴f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)∵f(t－1)<－f(t)＝f(－t)， 又f(x)在(－1,1)上为增函数， ∴－1<t－1<－t<1，∴0<t<12.
规律技巧 函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，题 目中利用了f(0)＝0，也可以利用定义对x∈(－1，1)，f(－x)＝ －f(x)恒成立，也可以利用f(－12)＝－25来解题．
解析 因为f(x)是偶函数，在y轴两侧对称区间内具有相反 的单调性，由图易知，在[0,1]，[3，＋∞)上为增函数；所以在 [－1,0]，(－∞，－3]上为减函数，因此f(x)在R上的减区间为 (－∞，－3]，[－1,0]，[1,3]．
答案 (－∞，－3]，[－1,0]，[1,3]
二 抽象函数问题
自 1.0 我 2.增 －M 校
3.增 对
思考探究 函数奇偶性和单调性的关系是怎样的？ 提示(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函 数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单
调性 . (2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在
【解析】 由图象可知函数y＝f(x)与y＝g(x)均为奇函数， f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，F(x)＝f(x)·g(x)＝[－f(－x)]·[－ g(－x)]＝F(－x)，所以函数F(x)＝f(x)·g(x)为偶函数．注意到函 数y＝f(x)的图象在y轴右侧部分先小于0后大于0，而函数y＝g(x) 在右侧部分恒大于0，因此F(x)＝f(x)·g(x)的图象在y轴右侧先在 x轴下方，后在x轴上方，且不经过原点，满足这些条件的只有 A.
【答案】 A
规律技巧 本例是判断奇函数、偶函数积的奇偶性，将函 数图象中明显特征(如定义域、与x轴的交点、在x轴上下方 等)，用于分析函数的奇偶性、单调性等函数特征，提高分析 识图能力．
变式训练1 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数．当x≥0时 f(x)的图象如图所示，写出函数f(x)的单调递减区间________．