4-几种重要随机过程-1

(−
n
E [ X k ] = (i ) −1
∂ ϕ ( u1 , u1 , L , u n ) ∂u k
u1 = u 2 =L = u n = 0
= µk
u1 = u 2 = L = u n = 0
E [ X i X k ] = (i ) −2
∂ 2ϕ (u1 , u1 , L , u n ) ∂ui ∂u k
1 iµu − σ 2 µ 2 2
ϕ (u, v ) = e
1 2 2 i ( µ1u + µ 2 v ) − σ1 u 2 + 2 ρσ1σ 2uv +σ 2 v 2 2
n 1 1 n n ϕ (u ) = exp(iµ′u − u′Cu ) = exp(i ∑ µ k uk − ∑ ∑ cij u j uk ) 2 2 j =1 k =1 k =1
因
mz ( t ) = 0
______ Cz ( s, t ) = Rz ( s, t ) = E Z ( s ) Z ( t ) n ____________ n iθ k s = E ∑ Ak e ∑ Aj eiθk t k =1 j =1 i θ s −θ t = ∑∑ E Aj Ak e ( k k ) j =1 k =1 n n
E ( Aj Ak ) = E ( Aj ) E ( Ak ) = 0, j ≠ k
Rz ( s, t ) = ∑ E A e
k =1 2 k n iθ k ( s −t )
= ∑σ k2 eiθk ( s −t )
k =1
n
作业
随机过程的基本概念作业： 习题二中的1，4，7，14，16，18，19
（1）（n维正态分布的边沿分布） ）（n维正态分布的边沿分布） 设 X = ( X 1 , X 2 , L , X n )是n维正态随机向量，则X的 ′ 维正态随机向量， 任一子向量 正态分布。 正态分布。
X b = ( X k1 , X k 2 , L , X k m ) ′ ( m ≤ n ) 也服从
几种重要随机过程
正态过程（高斯过程） 正态过程（高斯过程） 独立过程 独立增量过程 维纳过程 泊松过程
4.1 正态过程 高斯过程 正态过程(高斯过程 高斯过程)
正态分布（高斯分布） 4.1.1 正态分布（高斯分布）
定义1 如果随机变量 的概率密度为 定义1：如果随机变量X的概率密度为
( x − µ )2 2σ 2
特征函数为 特征函数为 ϕ X ( u ) = eiux ∫
−∞ +∞
1 e 2πσ e dt e
t2 − 2
( x − µ )2 −
2σ 2
dx
1 = 2π
∫
+∞ iu µ +σ t ( )
−∞
e
1 = e 2π
1 iµu − σ 2 µ 2 2
∫
+∞
( t −uσ i )2 −
2
−∞
dt = e
随机过程的定义
随机过程X( , ) ∊Ω) 含义： 随机过程 (t,ω)（t ∊T, ω∊Ω)在不同情况下的含义： , ∊Ω 在不同情况下的含义 （1）当t 和ω都是变量时，是一个时间函数族， 都是变量时，是一个时间函数族， 或依赖与t 随机变量族 或依赖与 的随机变量族； 是变量、 固定时 固定时， （2）当t 是变量、ω固定时，是一个确定的时间 函数（样本函数）； 函数（样本函数）； 固定、 是变量时 是一个随机变量； 是变量时， （3）当t固定、ω是变量时，是一个随机变量； 固定 固定时， （4）当t 和ω固定时，是一个确定的值。 固定时 是一个确定的值。
随机过程的定义
定义1 是一个实数集。 定义1 设( ,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。 )是一个概率空间， 是一个实数集 X(t,ω)（t ∊T, ω∊Ω)是定义在 和 上的二元函数。若对于 (, ) ∊Ω) , ∊Ω 是定义在T和 上的二元函数。 任意固定的t ， ( , ) 随机变量， 任意固定的 ∊T， X(t,ω)是( ,ℱ,P)上的随机变量，则称 )上的随机变量 随机变量族{X(t,ω), ∊T, ω∊Ω}是( ,ℱ,P)上的随机过程。 ),t , ∊Ω ∊Ω} 随机过程。 随机变量族 ( , ), )上的随机过程 t 称为参数，T 称为参数集。 称为参数 参数， 称为参数集 参数集。 把随机过程X( , ) 时刻的取值称为该随机过程在t 把随机过程 (t,ω)在t 时刻的取值称为该随机过程在 时刻所处的状态；一个随机过程所有状态构成的集合称为状 时刻所处的状态；一个随机过程所有状态构成的集合称为状 状态 态空间（或值域），记为 态空间（或值域），记为 ）， 。
E = {x : X (t , ω ) = x, t ∈ T , ω ∈Ω}
随机过程的定义
定义2 是一个实数集。 定义2 设( ,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。 )是一个概率空间， 是一个实数集 X(t,ω)（t ∊T, ω∊Ω)是定义在 和 上的二元函数。若对于 (, ) ∊Ω) , ∊Ω 是定义在T和 上的二元函数。 任意固定的ω∊Ω ，总有一个 的函数 (t,ω)（t ∊T）与之对 任意固定的 ∊Ω 总有一个t 的函数X( , ) ） 的函数， 应,对于所有的ω∊Ω ，就得到一族确知的 的函数，则称这一 对于所有的 ∊Ω 就得到一族确知的t的函数 则称这一 的函数的集合{ ( , ), ),t , ∊Ω ∊Ω} 族 t 的函数的集合{X(t,ω), ∊T, ω∊Ω}是( ,ℱ,P)上的随机 )上的随机 过程。 过程。 其中，每一个函数称为样本函数， 其中，每一个函数称为样本函数，或该随机过程的一个 函数称为样本函数 实现。 实现。
（7）互协方差函数： 互协方差函数：
C Z1 Z 2 ( t1 , t 2 ) = E {[ Z 1 ( t1 ) − m Z1 ( t1 )][ Z 2 ( t 2 ) − m Z 2 ( t 2 )]}
复随机过程
例：设复随机过程
Z ( t ) = ∑ Ak eiθk t
2 其中 Ak ( k = 1, 2,L n )相互独立，且 Ak ~ N 0,σ k , k = 1, 2,L n, θ k ( k = 1,2,L n ) 是常数，求 Z ( t ) 均值函数和自相关函数 解： eix = cos x + i sin x
________
Dz ( t ) = Cz ( t , t )
复随机过程
2、数字特征
（5）均方值函数： 均方值函数：
ψ Z ( t ) = E [| Z ( t ) | 2 ] = R Z ( t , t )
（6）互相关函数： 互相关函数：
R Z 1 Z 2 ( t1 , t 2 ) = E [ Z 1 ( t1 ) Z 2 ( t 2 )]
= C ik + µ i µ k
u1 = u 2 =L = u n = 0
E [( X k − µ k )( X i − µ i )] = E [ X k X i ] − µ k µ i = C ki
正态分布（高斯分布） 4.1.1 正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质− 1 e 2π σ
,
− ∞ < x < +∞
N (µ , σ 2 ) ，
x−µ
则称X为服从参数的正态分布，记为 X 则称 为服从参数的正态分布， 为服从参数的正态分布
2
− ( t − µ )2 2σ 2
其中， 为均值； 为方差。 其中，µ 为均值； σ 为方差。分布函数为
F ( x) = 1 2π σ
n
k =1
(
)
Z ( t ) = ∑ Ak cosθ k t + i ∑ Ak sin θ k t
mz ( t ) = E Z ( t ) = ∑ E ( Ak ) cosθ k t + i ∑ E ( Ak ) sin θ k t
k =1 k =1
n
n
k =1
n
k =1
n
=0
复随机过程
正态分布（高斯分布） 4.1.1 正态分布（高斯分布）
用特征函数与矩的关系： 用特征函数与矩的关系：
∑ k j ) ∂ k1 + k 2 +L + k n ϕ (u , u , L , u ) 1 1 n E [ X 1k1 X 2k 2 L X nk n ] = (i ) j =1 k k ∂ u1k1 ∂ u 2 2 L ∂ u n n
R Z ( t1 , t 2 ) = E [ Z ( t1 ) Z ( t 2 )]
（4）自协方差函数： 自协方差函数：
C Z (t1 , t2 ) = E{[ Z (t1 ) − mZ (t1 )][ Z (t2 ) − mZ (t2 )]}
C z ( s, t ) = Rz ( s, t ) − mz ( s ) mz ( t )
X N (u, C) Xb N (ub , Cb )
µ b = ( µ k1 , µ k 2 , L , µ k m ) ′
Cb是保留 的第 1,k2,…,km行和列所得到的m×m矩阵 是保留C的第 的第k 行和列所得到的 × 矩阵
正态分布（高斯分布） 4.1.1 正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质： 维正态随机变量的性质
复随机过程
1、定义
设 {X(t), t ∊T}和{Y(t), t ∊T}是两个实随机过程，定义 } }是两个实随机过程， 复随机过程{Z(t), t ∊T}为 复随机过程{ }
Z ( t ) = X ( t ) + iY ( t )
复随机过程Z(t)的概率密度由实随机过程 的概率密度由实随机过程X(t)和Y(t)的 复随机过程 由实随机过程 和 的 n+m维联合概率密度给出，即 维联合概率密度给出， 维联合概率密度给出 fXY(x1, …,xn; y1, …,ym; t1, …, tn; t '1, …, t 'm)