我的幂函数
幂函数知识点
幂函数知识点嘿，同学们！咱们今天来聊聊幂函数这个有趣的家伙。
先来说说啥是幂函数哈。
简单讲，幂函数就是形如 y ＝x^α （α 是常数）这样的函数。
比如说，y ＝ x²、y ＝ x³，这都是幂函数。
咱就拿 y ＝ x²这个例子来说说幂函数的一些特点。
想象一下，你在操场上扔一个皮球，皮球弹起的高度和你扔的力度之间就有点像幂函数的关系。
你用力越大，皮球弹得越高，而且这个高度的变化可不是简单的直线上升哦，而是像 y ＝ x²这样的曲线增长。
那幂函数的图像都有啥样的呢？有的像个抛物线，开口朝上，比如y ＝ x²；有的像个陡峭的山峰，比如 y ＝ x³。
而且幂函数的图像还和指数α 有关系呢。
当α 大于 0 时，图像都过点（0，0）和（1，1）。
要是α 是偶数，那图像就在第一、二象限，是个偶函数；要是α 是奇数，那图像就在第一、三象限，是个奇函数。
再来说说幂函数的性质。
就说定义域和值域吧。
如果α 是正整数，那定义域就是整个实数集；要是α 是分数，那就有点复杂啦，得具体情况具体分析。
比如说，y ＝√x ，这其实就是幂函数 y ＝ x^（1/2) ，它的定义域就是x ≥ 0 。
就像你去买糖果，老板说少于 0 颗糖不卖，因为没有负数颗的糖果嘛，所以 x 就得大于等于 0 。
还有单调性，当α 大于 0 时，幂函数在（0，＋∞）上单调递增；当α 小于 0 时，在（0，＋∞）上单调递减。
这就好比你爬山，α 大于 0 时，你越往上爬越轻松，路越来越好走；α 小于 0 时，越往上爬越累，路越来越难走。
在做题的时候，咱们经常会碰到比较幂函数大小的问题。
这时候，咱们得先看看指数的正负，再看看底数的大小。
比如说，要比较 2³和3²的大小，那咱们就得算算 2³＝ 8 ，3²＝ 9 ，很明显 9 大于 8 ，所以3²大于 2³。
第08讲 幂函数
1．幂函数的概念(1)概念：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)特征⎩⎨⎧x α的系数：1x α的底数：仅是自变量xx α的指数：常数只有同时满足这三个特征的函数才是幂函数．对于形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5……等形式的函数都不是幂函数．2．幂函数的图象与性质(1)幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，12y x =，y ＝x －1的图象．(2)幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，12y x =，y ＝x －1的性质． y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y x =y ＝x －1图象[来源:学|科|网Z|X|X|K]定义 域RRR[0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)知识梳理第八讲 幂函数(1,1)，(0,0)(1,1)(3)幂函数y＝xα在第一象限的特征点技巧“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图象是横卧抛物线型)，α＜0时的图象是双曲线型．题型1：幂函数的概念【例1－1】下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3辨误区 指数函数与幂函数的区别【例1．题型2：幂函数的图像和性质【例2－1】下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数【例2－2】幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，13y x =，12y x -=在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3经典例题剖析【例2－3】下列六个函数：53y x=，34y x=，13y x-=，23y x=，y＝x－2，y＝x2．其中定义域为R的函数有()A．2个B．3个C．4个D．5个点技巧求幂函数定义域的方法幂函数的定义域随α的取值不同而不同，求幂函数的定义域时可分四种情况：①α为正整数；②α为负整数；③α为正分数；④α为负分数．若是分数指数型幂函数应先化为根式，再由根式的性质求定义域．题型3．利用待定系数法求幂函数的解析式及函数值幂函数的解析式y＝xα中仅含有一个常数α，则只需要一个条件即可确定幂函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出幂函数的解析式为f(x)＝xα，利用已知条件列方程求出常数α的值．利用待定系数法求幂函数的解析式时，常常遇到解方程，比如mα＝n，这时先把n化为以m 为底数的指数幂形式n＝m k，则解得α＝k．还可以直接写出α＝log m n，再利用对数的运算性质化简log m n．例如，解方程1636α=，由于136＝6－2，所以α＝－2．当然，也可以直接写出61log36α=，再利用对数的运算性质得α＝log66－2＝－2．【例3－1】幂函数f(x)的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则f(3)＝__________．【例3－2】已知幂函数f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．点技巧根据性质求幂函数解析式的方法根据幂函数的性质确定指数m2－m－2＜0是解题的关键，通过缩小范围，结合m∈Z，得到m的一组值，但未必都满足函数是偶函数，因此，需对m的值逐个检验．题型4．幂的大小比较对于幂的大小比较问题，需搞清底数与指数是否相同，若底数相同可利用指数函数的单调性，若指数相同可利用幂函数的单调性，若两者都不同，可选取适当的中间变量，常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂．列表如下：底数、指数都不同【例4】比较下列各组数的大小．(1)523-和523.1-；(2)30.8和30.7；(3)788--和7819⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)122和131.8；(5)254.1，233.8-和35( 1.9)-．题型5．与幂函数有关的简单不等式(1)与幂函数有关的不等式往往是[f(x)]α＞[g(x)]α，通常利用幂函数y＝xα的定义域和单调性，转化为关于f(x)和g(x)的不等式组．≤(2)解与幂函数有关的不等式也可以结合幂函数的图象，数形结合进行求解．【例5】若1133(1)(32)a a--+<-，求实数a的取值范围．辨误区误用性质出现的错误本题极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域上为减函数的错误．故需分底数一个大于0，另一个小于0，底数都小于0，底数都大于0三种情况讨论．题型6．幂函数图象的应用在解决有些问题时，利用幂函数的图象和性质可以起到化繁为简、化难为易的效果．例如，设x∈(0,1)时，函数y＝x p的图象在直线y＝x的上方，求p的取值范围．【例6】点，2)在幂函数f(x)的图象上，点12,4⎛⎫-⎪⎝⎭在幂函数g(x)的图象上，则当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)．一、选择题1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是()A．y＝x 13B．y＝x2C．y＝x3D．y＝x 1 23．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为()A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3强化练习4．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)xm 2＋2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．0或15．函数y ＝x α与y ＝αx (α∈{－1，12，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( )6．设a ＝(35)25 ，b ＝(25)35 ，c ＝(25)25 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a二、填空题7．已知幂函数f (x )＝xm 2－1(m ∈Z )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________．8．下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________． ①y ＝x 12 ；②y ＝x 4；③y ＝x －2；④y ＝－x 13 . 三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )： (1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数．10．已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72. (1)求m 的值； (2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．1. 下列函数中，值域是()0,+∞的函数是（ ）A ．3y x =B ．4y x =C ．2y x -=D ．13y x -=2. 函数()3f x x =-的图象（ ）A ．关于直线y x =对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称3. 幂函数()ny x n Q =∈的图象一定经过点（ ）A ．()0,0B ．()1,1C ．()1,1--D ．()0,14. 已知幂函数()f x 的图象经过点⎛ ⎝⎭，则()4f 的值为( ) A ．16 B.116C.12D ．25. 下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②0a =时，幂函数a y x =的图象过点()1,1和()0,0 ③幂函数a y x =，当0a ≥时是增函数④幂函数a y x =，当0a <时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④C ．②③D ．①④课后作业6. 在函数32202,,,y x y x y x x y x ===+=中，幂函数有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个7. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，则（ ）A ．()()3f f f π-<-<B ．()()3f f f π<-<-C ．()()3f f f π-<-<D ．()()3f f f π<-<-8. 已知幂函数()f x 的图象经过( ，则()9f =__________ .9. 已知函数()()2212m m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 分别是：(1)正比例函数；(2)反比例函数； (3)二次函数；(4)幂函数．10. 函数()()215m f x m m x -=--是幂函数，且当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，试确定m 的值．。
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
幂函数知识点
幂函数知识点1. 幂函数的定义幂函数是一种特殊的函数，其形式为f(x) = ax^b，其中a 和b都是实数，且a不等于0。
在幂函数中，x是自变量，b 是幂指数，a是幂函数的系数。
2. 幂函数的图像根据幂函数的定义，可以推断出幂函数的图像特征： - 当幂指数b为正数时，幂函数呈现上升趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值也趋近于无穷大；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于零。
- 当幂指数b为负数时，幂函数呈现下降趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值趋近于零；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于无穷大。
- 当幂指数b为零时，幂函数为常数函数，图像为一条水平直线。
3. 幂函数的性质幂函数具有以下性质： - 幂函数的定义域为实数集，值域依赖于a的正负性质。
- 幂函数在定义域上是连续的。
- 当幂指数b为正偶数时，幂函数的值始终为正数。
- 当幂指数b为正奇数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a 的正负性。
- 当幂指数b为负数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a的正负性。
- 幂函数在x=0处存在一个驻点，即当x=0时，幂函数的导数为0。
- 当b>0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而增加；当b<0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而减小。
4. 幂函数的应用幂函数在数学和物理中有广泛的应用，例如： - 在生物学中，幂函数常被用来描述生物体量和身高的关系，以及种群增长和资源利用的关系。
- 在经济学中，幂函数常被用来描述产出与投入的关系，以及利润与销售量的关系。
- 在物理学中，幂函数常被用来描述力与位移的关系，以及电力消耗与电流的关系。
5. 幂函数的求导根据幂函数的定义，我们可以得出幂函数的导数公式： - 对于f(x) = ax^b，其中a不等于0且b不等于0，幂函数的导数为f’(x) = abx^(b-1)。
其中b-1为幂指数减一。
在求幂函数的导数时，需要注意幂指数b的取值范围，以及系数a的正负性。
幂函数知识点
幂函数1.幂函数：一般地，形如y=x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：（1）幂函数具有严格的形式，形如 y=mx a， y=（mx）a， y=x a+m，y=（x+m）a（以上m均为不等于零的常数，且前两个函数中的m也不等于1）的函数都不是幂函数，二次函数中只有y=x2是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，幂函数y=x a要满足三个特征：○1幂x a前的系数是1；○2底数只能是自变量x，指数是常数；○3项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数；（2）求函数解析式时，若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为f（x）=x a，根据条件求出a即可.（3）不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决.2.幂函数在第一象限的图象：幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝n／m (其中m∈N*，n∈Z且m，n互质)．(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．(3)当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限．3.幂函数当α＝1,2,3，0.5，－1时的图象与性质．(1)图象(如图所示)(2)性质(如表)4.幂函数的性质：(1)所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）；(2)如果a＞0，则幂函数的图像过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数；(3)如果a＜0，则幂函数的图像在区间（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于零时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋向于无穷大时，图像在x轴上方无限逼近x轴；（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数.(5)①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，y=x a表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1))5.幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数y=x a的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数y=x a的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数y=x a的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数知识点
幂函数知识点一、幂函数的定义形如$y ＝ x^｛＼alpha}＄（＄＼alpha$为常数）的函数，称为幂函数。
其中$x$是自变量，＄＼alpha$是常数。
需要注意的是，幂函数的底数是自变量$x$，指数是常数$＼alpha$，这是幂函数的重要特征。
例如，＄y ＝ x^2$，＄y ＝ x^｛1/2}＄，＄y＝ x^｛－1}＄等都是幂函数。
二、幂函数的图像和性质1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）＄＼alpha$为偶数时，幂函数的图像关于$y$轴对称。
例如，＄y ＝ x^2$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点。
（2）＄＼alpha$为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
比如，＄y ＝ x^3$的图像是经过原点的单调递增曲线。
2、当$＼alpha ＜ 0$时（1）幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限内，函数值随$x$的增大而减小。
例如，＄y ＝ x^｛－1}＄的图像是双曲线，位于第一、三象限。
（2）当$x ＞ 1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的下方；当$0 ＜ x ＜1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的上方。
3、当$＼alpha ＝ 0$时＄y ＝ 1$（＄x ＼neq 0$），图像是一条平行于$x$轴的直线，去掉点$（0, 1)＄。
三、幂函数的单调性1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）若$＼alpha ＞ 1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增。
（2）若$0 ＜＼alpha ＜1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增，但增长速度较慢。
2、当$＼alpha ＜ 0$时幂函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
四、幂函数的奇偶性1、若$＼alpha$为整数（1）当$＼alpha$为偶数时，幂函数为偶函数。
（2）当$＼alpha$为奇数时，幂函数为奇函数。
2、若$＼alpha$为分数将其化为最简分数形式$＼frac{p}｛q}＄（＄p$，＄q$互质）（1）若$q$为偶数，幂函数是非奇非偶函数。
幂函数的知识
特殊性（2）：幂函数的单调区间(0，0）和（1，1）（2）单调区间：当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能幂函数的单调区间（当a为分数时）说在定义域R内单调递减）；④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：①当a>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；②当a>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增；③当a<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；④当a<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；（3）当a>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<a<1时，幂函数图形上凸（横抛）。
当a<0时，图像为双曲线。
（4）在（0,1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。
（5）当a<0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（6）显然幂函数无界限。
（7）a=2n（n为整数）,该函数为偶函数{x|x≠0}。
[2]特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p／q ，且px，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q ／q 为既约分数（即p，q互质），q和p都是整数，则x p／q=q p是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。
当指数α是负整数时，设α=-k，则y=1／x k，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：a小于0时，x不等于0；a的分母为偶数时，x不小于0；a的分母为奇数时，x取R。
幂函数的定义与性质
幂函数的定义与性质幂函数是一类基本的数学函数，它的定义形式是f(x) = ax^k，其中a和k是常数，且a不等于零。
幂函数在数学中有着广泛的应用，无论是在代数、几何还是在物理等领域，都有重要的作用。
本文将重点介绍幂函数的定义与性质。
一、幂函数的定义幂函数是一种基本的数学函数，它的定义形式如下：f(x) = ax^k其中，a是一个不等于零的常数，k是一个实数。
a被称为幂函数的系数，k被称为幂指数。
幂指数k可以是正数、负数、零或分数。
具体的取值范围决定了幂函数的性质。
二、幂函数的性质1. 幂函数的定义域和值域幂函数的定义域是实数集R，即所有实数x都可以作为幂函数的自变量。
根据幂函数定义，当幂指数k是正数或分数时，幂函数的值域是正实数集(0,+∞)；当幂指数k是负数时，幂函数的值域是(0,+∞)的倒数集(0,1)；当幂指数k是零时，幂函数的值域是{a}，即幂指数为零时函数的值固定为系数a。
2. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与幂指数k的正负有关。
当幂指数k大于1时，幂函数呈现出单调递增的特性，图像在原点右侧上升；当幂指数k介于0和1之间时，幂函数呈现出单调递减的特性，图像在原点右侧下降；当幂指数k小于0时，幂函数图像会关于x轴对称，且在增大的过程中逐渐趋近于0。
3. 幂函数的性质与幂指数k的关系幂函数的性质与幂指数k的取值有关。
当幂指数k大于1时，幂函数是增长的加速函数；当幂指数k小于1但不等于零时，幂函数是增长的减速函数；当幂指数k小于0时，幂函数是单调递减函数；当幂指数k等于0时，幂函数是常数函数。
4. 幂函数与其他函数的关系幂函数是一类重要的基本函数，它与指数函数、对数函数和三角函数等有着紧密的关系。
通过对幂函数和其他函数的组合运算，可以得到更为复杂的函数表达式。
这种关系在数学建模、物理学和工程学等领域的问题求解中得到广泛应用。
结语：幂函数作为一类基本的数学函数，具有丰富的性质和广泛的应用。
它的定义形式简明扼要，通过对幂指数k的取值范围进行分析，我们可以得到不同性质的幂函数。
幂函数知识点
幂函数知识点1. 幂函数定义幂函数是形如 \(y = x^n\) 的函数，其中 \(n\) 是实数。
当 \(n\) 为正整数时，幂函数的图像是一系列经过原点的点，且随着 \(n\) 的增加，曲线逐渐趋于平坦。
2. 幂函数的图像特征- 当 \(n > 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递增。
- 当 \(0 < n < 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递减。
- 当 \(n\) 为负整数时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内表现为周期函数，周期为 \(4\pi\)。
- 当 \(n = 0\) 时，函数退化为常数函数 \(y = 1\)。
3. 幂函数的性质- 奇次幂函数是奇函数，即 \(y(-x) = -y(x)\)。
- 偶次幂函数是偶函数，即 \(y(-x) = y(x)\)。
- 幂函数的导数是 \(y' = n \cdot x^{n-1}\)。
- 幂函数的积分是 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。
4. 幂函数的应用- 在物理学中，幂函数常用于描述物体的速度与加速度的关系。
- 在经济学中，幂函数可以用来模拟市场需求与价格的关系。
- 在工程学中，幂函数用于描述材料的强度与应力的关系。
5. 特殊幂函数- 指数函数 \(y = a^x\) 是幂函数的一种特殊形式，其中 \(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
- 对数函数 \(y = \log_a x\) 也是幂函数的一种特殊形式，其中\(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
6. 幂函数的运算法则- 幂的乘法：\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)- 幂的除法：\(x^m / x^n = x^{m-n}\)- 幂的幂：\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)7. 幂函数的极限- 当 \(x \to 0\) 时，\(x^n\) 的极限取决于 \(n\) 的值。
幂函数定义
幂函数定义幂函数是一种特殊的函数形式，可以用来描述数学中很多有趣的现象。
一般来说，它定义如下：设a为实数，n为正整数，则存在一个复数f(z)使得f(z) = z^n这就是我们所说的幂函数的定义。
幂函数的特征在分析函数f (z)之前，先来简单了解它的特征：（1）当a=0时，f (z)的值为0；（2）当a≠0时，f (z)的值为±a^n；（3）当a>0时，f (z)的值为+a^n；（4）当a<0时，f (z)的值为-a^n；（5）当a=n=1时，f (z)的值为1；（6）当a=1,n>1时，f (z)的值为1；（7）当a=-1,n>1时，f (z)的值为(-1)^n；（8）当n为偶数时，f (z)的值大于0；（9）当n为奇数时，f (z)的值等于a^n；不管n的大小如何，都可以用上述的特征来定义f (z)，并且可以用它来分析其他的函数的性质。
幂函数的性质幂函数有很多性质，主要有下面几种：（1）幂函数f (z)是可导函数，可以用变量x代入它，从而得到一个新的函数f (x)：f (x) = a^x；（2）幂函数满足“幂率定律”，即：f (mx) = (f (x))^m；（3）当n=2时，f (z)定义为z，所求函数为二次函数，它的图象是一个抛物线；（4）当n=3时，f (z)定义为z，所求函数为三次函数，它的图象是一个曲线；（5）当n>3时，f (z)的图象为一个类抛物线；（6）当n=0时，f (z)的值为1；（7）当n=-1时，f (z)的值为1/a；（8）当n=-2时，f (z)的值为1/a。
幂函数的应用幂函数可以用来描述不同类型的函数，从而解决复杂的问题。
它在数学及物理学、几何学、机械工程、电子计算机等领域都有着广泛的应用。
（1）在机械工程领域，幂函数用来描述特定机械设备的运动轨迹，从而推导出动力学性能，改进机器性能。
（2）在几何里，幂函数用来求解几何形状的一些特殊点，例如求抛物线的拐点。
幂函数公式汇总
幂函数公式汇总
幂函数是数学中常见的函数类型，可以表示为 f(x) = a * x^b 的形式，其中 a 和 b 是实数常数。
以下是一些常见的幂函数公式：
1. 幂函数的基本形式：
f(x) = a * x^b
其中，a 表示函数的缩放因子，决定函数图像在 y 轴方向的缩放程度；
b 表示指数，决定函数图像的曲率和增长速度。
2. 幂函数的特殊形式：
a) 平方函数：f(x) = a * x^2
这是最简单的幂函数形式，图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
b) 立方函数：f(x) = a * x^3
这是一个指数为3的幂函数，图像通常呈现出两个拐点。
c) 开方函数：f(x) = a * x^(1/2)
这是一个指数为1/2的幂函数，图像是一个开口朝上的抛物线。
d) 倒数函数：f(x) = a * x^(-1)
这是一个指数为-1的幂函数，图像在原点处有一个垂直渐近线。
以上是常见的幂函数公式的汇总。
根据具体问题和场景，可以
利用这些公式计算和分析函数的性质和行为。
注意：本文档提供的公式仅适用于幂函数。
对于其他函数类型，请参考相应的文档。
总结：幂函数是一种常见的函数类型，可以用来描述各种规律
与现象。
本文档提供了幂函数的一些常见形式和特点，帮助读者理
解和应用幂函数公式。
简单的幂函数
简单的幂函数
1.一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中α为常数.例如
y=x,y=x2,y=x3, ,y= 等都是
幂函数,而y=2x2,y=x3+1等都不是幂函数.
2.幂函数的性质
一般地,当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:
(1)图象都通过点(0,0),(1,1).
(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大
(3)在第一象限内,α>1时,图象是向下凸的;0<α<1时,图象是的向上凸
(4)在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展.
当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:
①象都通过点（1，1）;
②第一象限内,函数值随x的增大而减小,
图象是向下凸的;
③第一象限内,图象向上与y轴无限地接
近,向右与x轴无限地接近;
④第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图象
下降的速度越快.
,n∈Z）3.形如f(x)= （其中m∈N
+
的幂函数的性质
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称.
(2)当m,n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称.
(3)当m为偶数且n为奇数时，f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限内.。
幂函数的表达式
幂函数的表达式
幂函数的表达式是：y=x^a。
一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
幂函数的定义和性质
幂函数的定义和性质幂函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为f(x)=ax^b，其中a 和b是实数，且a不等于零。
1. 幂函数的定义幂函数是由变量的幂指数决定的函数，其中底数为自变量x，指数为常数b。
常见的幂函数包括平方函数和立方函数。
幂函数的一般形式为f(x)=ax^b，其中a不为零。
2. 幂函数的性质2.1 定义域和值域幂函数的定义域是实数集R中所有使得底数非负的x值。
当指数b 为正数时，幂函数的值域是正实数集R+；当指数b为负数时，幂函数的值域是(0, +∞)。
2.2 奇偶性当指数b为偶数时，幂函数f(x)=ax^b是偶函数，即关于y轴对称；当指数b为奇数时，幂函数f(x)=ax^b是奇函数，即关于原点对称。
2.3 单调性当底数a为正数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递增函数；当底数a为负数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递减函数。
2.4 极限性质当指数b大于零时，随着自变量x趋近于正无穷大，幂函数f(x)=ax^b也趋近于正无穷大；当指数b小于零时，随着自变量x趋近于正无穷大，幂函数f(x)=ax^b趋近于零。
2.5 对称轴当指数b为整数且为偶数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为y轴；当指数b为整数且为奇数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为原点。
3. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与底数a和指数b的大小关系密切相关：3.1 当底数a大于1时，幂函数的图像在x轴的右侧递增，离x轴越远函数值越大。
3.2 当底数0 < a < 1时，幂函数的图像在x轴的右侧递减，离x轴越远函数值越小。
3.3 当底数a为负数且指数b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称。
此时，随着底数a变为负数，图像会上下翻转。
3.4 当底数a为负数且指数b为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
此时，随着底数a变为负数，图像会关于原点上下翻转。
4. 应用举例幂函数的应用十分广泛，其中包括经济学、物理学、统计学等多个领域，在不同领域中扮演着重要的角色。
幂函数知识点总结
幂函数知识点归纳：
幂函数定义：
对于形如：f（x）＝xa，其中a为常数。
叫做幂函数。
定义说明：定义具有严格性，xa系数必须是1，底数必须是x
a取值是R。
要求掌握α＝1、2、3、？、—1五种情况
幂函数的图像：
幂函数的图像是由a决定的，可分为五类：
1）a>1时图像是竖立的抛物线。
例如：f（x）＝x2
2）a=1时图像是一条直线。
即f（x）＝x
3）0
4）a=0时图像是除去（0，1）的一条直线。
即f（x）＝x0（其中x不为0）5）a<0时图像是双曲线（可为双曲线一支）例如f（x）＝x—1
具备规律：
①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高）；
②幂指数互为倒数时，图像关于y=x对称；
③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像。
幂函数的性质：
定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解
奇偶性要结合定义域来讨论
单调性：α＞0时，在（0，＋∞）单调递增：α＝0无单调性；α＜0时，在（0，＋∞）单调递减
过定点：α＞0时，过（0，0）、（1，1）两点；α≤0时，过（1，1）
由f（x）＝xa可知，图像不过第四象限。
幂函数——精选推荐
幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.xy2xy3xy21xy1x y定义域值域奇偶性单调性公共点幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.1.下列函数是幂函数的是( )(A) y=2x(B) y=2x-1(C) y=(x+1)2(D) y=2.下列说法正确的是( )(A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数;(C) y=是增函数, 也是偶函数; (D) y=x不是偶函数.3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( )(A)y=x -2(B) y= (C) y= (D) y=4．下列命题中正确的是（）A ．当0时函数x y的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数x y是奇函数，则x y是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限5．函数2422x xy 的单调递减区间是（）A ．]6,(B ．),6[C ．]1,(D ．),1[6．若a <0，则0.5a、5a、5－a的大小关系是()A ．5－a<5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－a C ．0.5a<5－a<5aD ．5a <5－a <0.5a7.比较两个数的大小（1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与32xx 21x 41x 21x课后作业1 ．已知3332512,(),()22RPQ ，则P 、Q 、R 的大小关系是（）A ．P QRB ．Q RPC ．QP RD ．RQP2 ．函数的值域是（）A ．B ．C ．D ．3．已知函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b4 ．已知,则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．5．函数(1)||xxaya x 的图像大致形状是6．若函数y =a x+b-1(a >0且a ≠1 )的图象经过一、三、四象限,则正确的是（）A ．a >1且b <1B ．0<a <1 且b <0C ．0<a <1 且b >0D ．a >1 且b <07．若10a ,则式子1333,,aa a 的大小关系是（）A ．1333aaaB ．1333aaaC ．1333aa aD ．1333aaa8．已知函数)2008(,4)20081(2log log )(32f f xb xa x f 则且的值为（）A ．-4B ．-2C ．0D ．2xy2,0,1,),2[0.1 1.32log 0.3,2,0.2abc ,,a b c a cbc abab cbcaxyOAxyO B yxOCyxOD。
幂函数的象与解析式
幂函数的象与解析式【正文】幂函数是一种基本的数学函数，它的象与解析式是非常重要的概念。
在本文中，我们将探讨幂函数的象及其解析式，并深入了解其特性和性质。
一、幂函数的定义与基本形式幂函数可以表示为 f(x) = x^a 的形式，其中 a 是实数且不等于零。
当 a 大于零时，幂函数呈现递增趋势；当 a 小于零时，则表现为递减趋势。
基于这样的定义，我们可以推导出幂函数的基本形式及其图像。
二、幂函数的图像与特性1. 幂函数的图像特征幂函数的图像在直角坐标系中通常呈现出不同的形态。
当 a 大于1时，函数图像会从原点开始，并随着自变量的增大而逐渐上升；当 0＜a＜1 时，函数图像同样从原点开始，但是它会随着自变量的增大而逐渐下降；当 a 小于-1 时，图像将出现在第三象限和第一象限之间，并在原点附近有一个垂直渐近线。
2. 幂函数的特殊性质幂函数具有一些重要的特性，如奇偶性、单调性以及导数的存在性。
对于 a 为整数的幂函数，其特性更为明显。
例如，当 a 为偶数时，函数图像关于 y 轴对称，即具有偶函数的特点；而当 a 为奇数时，函数图像关于原点对称，并呈现出奇函数的特征。
三、幂函数的解析式推导1. 幂函数的化简与推导通过适当的技巧和运算，我们可以将幂函数的解析式进行推导和化简。
例如，对于幂函数 f(x) = x^a，我们可以通过对 x 进行变换和取对数来简化表达式，得到更加简洁的形式。
2. 幂函数的特殊解析式除了幂函数的一般形式外，还存在一些特殊解析式。
例如，对数函数是幂函数的一种特殊形式，可以表示为f(x) = logₐ(x)，其中 a 是正实数且不等于1。
对于这种形式的幂函数，我们可以得到其解析式的具体形式和性质。
四、幂函数的应用领域幂函数作为一种常见的数学函数，在各个学科和领域都有广泛的应用。
例如，在经济学中，幂函数可以用来表示成本与产量之间的关系；在物理学中，幂函数可以描述一些物质的特性和变化规律。
通过深入研究幂函数的象和解析式，我们可以更好地理解和应用于实际问题中。
幂函数公式
幂函数公式
幂函数的定义：
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的公式：
y=xα
幂函数图像的性质：
所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．
①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；
②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;
③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．
④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．
⑤当a=0时，y=xα表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，
1)) 。
幂函数图象的其他性质：
(1)图象的对称性：
把幂函数y=xα的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数y=xα的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
(2)图象的形状：
①若a>0，则幂函数y=xα的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．
②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：
对于幂函数y=xα（a∈R)．
(1)单调性
当a>0时，函数y=xα在第一象限内是增函数；当a<0时，函数y=xα在第一象限内是减函数．
(2)奇偶性
当a为整数时，
若a为偶数，则y=xα是偶函数；若a为奇数，则y=xα是奇函数。
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在R上单增
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实例探 究
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定义域 值域
R
0，
偶函数 0， 在（- ， 0）单减，在 上单增
奇偶性
单调性
实例探 究
y
(3) y x 0 0， 定义域 - ， 值域 - ， 0 0，
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y x3
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观察幂函数 的图像，找 找恒过的定 点是哪一个？
归纳总 结
性质2 :
y
4
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y x3
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当 0时, 幂函数的 图像经过原点 (0,0), 增函数.
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普通高中课程标准实验教科书 数学
§2.3 幂函数
必修1
石屏一中：朱雪清
课前小 吓
y
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y x2
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3
课堂探 究
pw 她需要支付 它们都是函数 (2)如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积为
2 吗？谁是谁的 S 函数？ a
yx
-1
课堂探 究
判断下列哪些函数是幂 函数？
幂函数和指数函 指数函数 幂函数 数的不同点在哪 x 里？幂函数的特 ya 表达式 y x （a 0 且a 1 ） 征是什么？指数
a x
2
x
（3）y x
（4）y x
1 2
1.73 1.83
（2）解析：这两个数是幂 函数y x 1图像上的两个值，
0.8-1 0.9-1
幂函数y x1是(,0)和（ 0， ）上的减函数，
例题讲 解
例2：如图所示，曲线是幂 函数y x 在第一象限内的 1 图像，其中分别为 2， ，则曲线c1 , c2 , c3 , c4 对应的 2 值依次为（B ） 1 1 A. - 2， - ，， 2 2 2
(1)如果张红购买了每千克 1元的蔬菜w千克，那么
(3)如果立方体的边长为 a，那么立方体的体积为
V a
3
(4)如果一个正方形场地的 面积是S，那么这个正 方形的边长为 a S (5)如果某人ts内骑车行进了 1km，那么他骑车的
平均速度为
1 2
vt
1
课堂探 究
pw
yx
若将它们的自变量 用x表示，因变量 用y表示，会得到 什么样的式子？
1 1 B.2， ， - ， -2 2 2 1 1 C. - ， - 2， 2， 2 2 1 1 D.2， ， - 2， 2 2
x 1
课后小 菜
y
4
y x2
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yx
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课堂小 结
1.幂函数的定义 2.幂函数图像和性质
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观察图像，探 究指数为奇数 时，幂函数的 奇偶性？
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性质4 :
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幂函数的图像在 x 1的 右侧时，越大，图像 越高 （指大图高） .
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(5) y x
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定义域
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0， 0，
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非奇非偶
单调性
在0， 单增
3
归纳总 结
y
性质 1:
任意一个幂函数在区 间(0,)都有意义, 且 都过定点(1,1),幂函数 的图像不过第四象限 .
归纳总 结
性质4 :
y
4
yx
3
yx
2
幂函数的图像在 x 1的 右侧时，越大，图像 越高 （指大图高） . 在区间(0,1) 之间刚好相反 .
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1
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当0 1时，幂函数 在第一象限为凸函数 .
3
观察函数在第一 x 象限的图像的高 1 低，在直线x=1的 右边有什么规律？
Sa
2
yx yx
yx
2
V a
aS
3
1 2
3
1 2
vt
1
yx
-1
课堂探 究
yx
yx yx
yx
2 3
（1）自变量为底数； （2）指数为常数； （3）自变量前的系数为1; （4）式子的系数也为1.
定义 找一找它们之间
自变量，是常数.
的共同点（底数， 指数，系数）你 1 一般地，函数 y x叫做幂函数，其中 x是 能发现什么？ 2
4
1 2
且在区间0, 上为
yx
0
1 2
1
3
x
当 0时, 幂函数在区间 (0,)上为减函数 .
1 2
3
观察函数在第一象 限的图像，探究指 数的正负与函数单 调性的的关系
归纳总 结
性质3 :
y
4
yx
yx
3
2
当为奇数时, 幂函数 为奇函数; 当为偶数时, 幂函数 为偶函数;
奇偶性
1
4
3
2 1
奇函数
单调性
3
2 1
(1,1)
0
1
yx
2
1
3
4
x
在- ， 0上单减
1 2
在0， 上单减
3
实例探 究
y
(4) y x
定义域
值域 奇偶性
3
4
R R
3
2 1
yx
3
奇函数
单调性
在R上单增
3
2 1
(1,1)
0
1 2
3
4
x
1 2
3
实例探 究
2
（5）y 2x
3
（6）y x 2
实例探 究 在同一个直角坐标系中作出下面幂函数的图像
yx
yx
4
2
yx
1
yx
列 表
3
yx
描 点
1 2
y
作图法 连 线
3
2
1
3
2
1
1
0
1
2
3
4
x
2
3
实例探 究
y
(1) y x
定义域
值域 奇偶性
R R
4
3
2 1
yx
奇函数
单调性
4
x
3
观察函数在第一象 x限的图像的高低， 1 在直线x=1的右边 有什么规律？
例题讲 解
例1：比较下列各题中两个 数值的大小： （ 1 ） 1.73 和 1.83 （ 1 ） 0.8-1 和0.9-1
（ 1 ）解析：这两个数是幂 函数y x3图像上的两个值， 幂函数y x3是R上的增函数，