65离散系统的系统函数

输出未超前于输入，
所以是因果系统。
X
第
例2
LTI系统hk k，判断因果性，稳定性。2页5
解：从时域判断
hk
k
1, 0,
hk
k0 k0
因果系统 不稳定系统
k
从z域判断
H z z ，ROC : z 1
z1
h(k)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。
极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定（边 界稳定）。
4
2bk cos 3k π (k) 增幅振荡
4
X
极点位置与h(n)形状的关系(4)
第 17
页
j Im z
1
O
1
Re z
X
第 18
页
ω , Ω ω ωs (周期2,每周期2个样值)
Ts 2
(1) p a ejπ a (0 a 1) 2ak cosπ (k)
减幅振荡
2ak 1k (k)
y(k) 0.3 y(k 1) x(k) 4x(k 1)
画出系统的框图为： x(k) z 1
4
使用多个加法器节省延时单元。
y(k )
z 1 0.3
X
N j 1
Aj z z pj
A0
k
N
Aj
j 1
pj
k
k
X
第
由零极点分布确定单位响应(续)
8
页
hk
A0δk
N
Aj
pj
k
k
j 1
pj : H的z极点，可以是不同的实数或共轭复数，
决定了hk的 特性。其规律可能是指数衰减、上升，
或为减幅、增幅、等幅振荡。
A0 , Ak :与H(z)的零点、极点分布都有关。
7
页
M
bi zi
H
z
i0 N
ajzj
j0
M
1 zi z1
k
i 1 N
1 p j z1
j 1
展成部分分式：（假设无重根）
zi : 零点 p j : 极点
H
z
N Ajz j0 z pj
A0
N j 1
Aj z z pj
因为
hk Hz
所以
h k
Z 1 A0
X
极点位置与h(n)形状的关系(1)
第 9
页
j Im z
1
O
1
Re z
X
第 10
页
0
(1) p a (0 a 1) (2) p 1 (3) p b (b 1)
z za
z z 1 z zb
(4) p1 p2 1
z
z 12
(二阶极点)
ak (k) (k ) bk (k) k (k)
第 1 页
第五节 离散系统的系统函数
•1.单位样值响应与系统函数 •2.系统函数的零极点分布对系统特性的影响 •3因果性与稳定性
X
一．系统函数与单位样值响应
第 2
页
1.系统函数定义
线性时不变离散系统由线性常系 数差分方程描述，一般形式为
N
M
a j yk j bi xk i
j0
i0
上式两边取z变换得
(2) p ejπ 1
2cosπ (k) 等幅振荡
1k (k)
(3) p b ejπ b (b 1)
2bk cosπ (k) 增幅振荡
2bk 1k (k)
X
极点位置与h(n)形状的关系
第 19
页
j Im z
1
O
1
Re z
X
第
利用z～s平面的映射关系
20 页
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点
含虚轴的右半 含单位圆的圆
平面
外
沿虚轴
X
第
3．系统的因果性
23
页
输出不超前于输入
系统因果性的判断方法：
时域： hk hkk
z域： 收敛域在圆外
X
第
例1
24
页
下面方程所描述的系统是否为因果系统？
yk 0.2yk 1 0.24yk 2 xk xk 1
解：
yk 0.2yk 1 0.24yk 2 xk xk 1
方法：设中间序列w(k)
0.3
4
列差分方程
wk 1 分别取z变换
x(k) 0.3w(k 1) w(k) w(k) 4w(k 1) y(k)
X (z) 0.3z1W (z) W (z)
W
(
z
)
4z
1W
(
z
)
Y
(
z
)
所以 H (z) Y (z) W (z) z 4 40 37 z W (z) X (z) z 0.3 3 3 z 0.3
z2 z2 z2
所以 yzs k k 1 2k k
X
第
二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响6 页 因为hk H z，所以可以从H z的零极点分布情况， 确定单位样值响应hk 的特性 1.由零极点分布确定单位样值响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性
X
第
1．由零极点分布确定单位样值响应
第 15
页
j Im z
1
O
1
Re z
X
第 16
页
ω 3 π , Ω ω 3ωs
4
Ts 8
j3π
(1) p a e 4 (0 a 1)
j3π
(2) p e 4
j3π
(3) p b e 4 (b 1)
2ak cos 3k π (k) 减幅振荡
4
2cos 3k π (k) 等幅振荡
N
M
Y z a j z j X z bi zi
j0
i0
激励为因果序列
x 1 x 2 0
系统处于零状态
y 1 y 2 0
X
M
H
z
Yzs z X z
bi z i
i0
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a jz j
j0
2．单位响应
第 3 页
H 只z 与系统的差分方
程的系数、结构有关， 描述了系统的特性。
(k)
h(k ) 系统
hk
k
判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单 位圆在内: z a, a 1 。
X
第
(3)连续系统和离散系统稳定性的比较
22
页
连续系统
离散系统
系统稳定的充 要条件
ht d t
hk
n
极点
收敛域
临界稳定的极 点
H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内
xk 2k k, 求系统函数 Hz及零状态响应 yzs k。
解：
在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换
Y z 3z1Y z 2z2Y z X z 1 z1
则
Hz
Y z X z
1
1 z1 3z1 2z2
z
zz 1 1z 2
z
z
2
求系统的零状态响应
Y z H z X z z z z 2
X
第
例3
26
页
LTI系统，hk 0.5，k 判 k断 因果性、稳定性。
①从时域判断：
k
1, 0,
不k是 因0 果系统
k0
hk 0.51 0.52
0.53
1 0.5
1 0.52
1 0.53
所以 hk 不稳定
n
1
②从z域判断： H z 0.5k zk
收敛域 z ，1极点在k处 z，
若xk δk，则Xz 1 Yzs z H zX z
Zhk Hz X
第 4 页
h(k)和H(z)为一对z变换对
● 由Hz求hk: hk Z 1Hz
●系统的零状态响应：
yzs k hk xk Yzsz Hz X z
• H(z)的求法 •零态响应求法
X
例1
已知离散系统的差分方程为：
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ，激励
h(k) 40δ (k) 37 (0.3)k (k)
3
3
X
第
例6
29
页
已知H (z) z 4 ，列出系统的差分方程。 z 0.3
解： 分子分母同除以z的最高次幂
所以
H(z)
1 4z1 1 0.3z1
Yzs (z) X(z)
Y (z) 0.3z1Y (z) X (z) 4z1X (z)
X
极点位置与h(n)形状的关系(2)
第 11
页
j Im z
1
O
1
Re z
X
第 12
页
ω π ,Ω ω ωs 周期8，一周期有8个样值
4 Ts 8
jπ
(1) p a e 4
(0 a 1)
2ak
cos
kπ 4
(k)
减幅振荡
jπ
(2) p e 4
2 cos
kπ 4
(k
) 等幅振荡
jπ
(3) p b e 4 (b 1)
2bk
cos
kπ 4
(k
)
增幅振荡
X
极点位置与h(n)形状的关系(3)
第 13
页
j Im z
1
O
1
Re z
X
第 14
页
ω π , Ω ω ωs 周期4，一周期有4个样值
2
Ts 4
jπ
pe 4
2cos k π (k)
2
X
极点位置与h(n)形状的关系
1
2zk
k 1
2z 1 2z
z
z
1 2
2
2
是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。
注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。
X
三．补充
第 27
页
1．两个加法器情况下，列差分方程
2．如何由H(z)列系统的差分方程
X
第
例5
系统框图如下，求H(z),h(k)。
28
页
x(k)
wk y(k)
解：
z 1
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点时 左半平面
t 1
s 衰减
θ0 z 1
单位圆内
k z
z 1 减幅
右半平面 增幅
单位圆外 增幅
X
第
2．离散系统的稳定性
21
页
(1)定义：对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必
定是有界的（BIBO)。
(2)稳定性判据
判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对
可和。