[k12精品]2017年九年级数学上册23.1.2第2课时互余两角的三角函数值教案1新版沪科版
互余两角的三角函数关系
互余两角的三角函数关系
在三角函数中，存在一个重要的关系：互余两角。
所谓互余两角，指的是两个角的和为90度（或π/2弧度）。
根据这个关系，我们可以推导出一系列三角函数的关系式，下面将对它们进行详细的介绍。
1. 正弦函数
正弦函数的互余关系式是：sin(90°-α)=cosα。
也就是说，若角α的补角为β，则有sinα=cosβ。
此外，还有
sinα=sin(π-α)。
2. 余弦函数
余弦函数的互余关系式是：cos(90°-α)=sinα。
也就是说，若角α的补角为β，则有cosα=sinβ。
此外，还有cosα=-cos(π-α)。
3. 正切函数
正切函数的互余关系式是：tan(90°-α)=cotα。
也就是说，若角α的补角为β，则有tanα=cotβ。
此外，还有tanα=-tan(π-α)。
4. 余切函数
余切函数的互余关系式是：cot(90°-α)=tanα。
也就是说，若角α的补角为β，则有cotα=tanβ。
此外，还有cotα=-cot(π-α)。
以上就是互余两角的三角函数关系的详细介绍。
可以看出，这些关系式是非常重要的，因为它们可以把一个角的三角函数值转化为和它互余的角的三角函数值，从而方便我们在求解三角函数相关问题时的计算。
2017年九年级数学上册23.1.2第2课时互余两角的三角函数值学案新沪科版
一、链接：1.如图，用小写字母表示下列三角函数：
sinA = sinB =
cosA = c osB =
tanA = tanB =
2. 中，如果∠A=30°,那么三边长有什么特殊的数量关系？
如果∠A=45°,那么三边长有什么特殊的数量关系？
二、导读：
仔细阅读课本内容后完成下面填空：
角度a
三角函数值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三角 函数
30°
45 °
60°
sin a
cos a
tan a
你发现了什么？
sin 30°= cos 60°，cos 30°= sin60°,sin 45°= cos45°
由此你有什么猜想？对任意角都适用吗?请证明？
☆ 合 作探究 ☆
1. 求下列各式的值
（1）2sin300－cos450（2）sin600cos600（3）sin2300+cos2300
2.求满足下列条件的锐角 ：
(1 )tan(a+1 0°)=1， (2)sin(a-20°)= .
3.已知：如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=2,AD= .分别求出△ABC、△ACD、△BCD中各锐角的度数.
☆ 归纳反思 ☆
☆ 达标检测 ☆
1．若sinα= ,则锐角α=________.若2cosα=1,则锐角α=_________.
2.30°，45°，60°角的三角函数值
第2课时互余两角的三角函数值
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
学习目标：1.能利用特殊角的三角函数值发现互余两角的三角函数值的关
系.
2.在探索互余两角的三角函数值的过程中体会数 形结合思想.
九年级数学上册 23.1.2 第2课时 互余两角的三角函数值教案1 沪科版(2021年整理)
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第2课时互余两角的三角函数值1．理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；（重点）2．会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算．（难点）一、情境导入1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝36°，则∠B＝________;若∠B ＝53°28′，则∠A＝________．2．sin30°＝cos60°＝________,sin60°＝cos30°＝________，sin45°＝cos45°＝________．完成上面两题我们不难发现，30°、45°、60°这三个角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余(正）弦的值．这个规律,是否适合任意一个锐角呢？二、合作探究探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系【类型一】互余两角的正弦、余弦值的关系在△ABC中，∠C＝90°,若sin B＝错误!，则cos A的值为( ）A。
错误! B.错误! C．1 D.错误!解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．故选A。
沪教版九年级数学上册第23章课件：23.1.2 第2课时 互余两角的三角函数值
tan A a , tan B b ,
b
a
tan A 1 . tan B
B
c
a
┌
A
b
C
结论：互余两个锐角的正切值互为倒数.
例3 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tan A，tan B是方 程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝___9_0_°__．
解析：∵tan A，tan B为方程3x2－tx＋3＝0的两根， ∠A，∠B是锐角．
A. 1 B. 2 3 C. 1 D . 3
3
3
2
解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速 帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的 两个角成立．
例2 已知cos α＝ 3 ，α＋β＝90°，则cos β＝( 5
C
)
A. 1
B.2 C. 4
D. 3
5
5
5
4
解析：∵cosα＝ 3 ，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝ 3 .
∴ tanB= 4 .
3
又∵ sinA= 3 ，
5
∴ cosB= sinA= 3 .
5
2.计算： tan33°·tan34°·tan35°·tan55°·tan56°·tan57°
解：原式=(tan33°·tan57°)( tan34°·tan56°) (tan35°·tan55°)
=1×1×1 =1
sin B b , c
cosB a , c
A
∴sin A=cos B, cos A=sin B.
B
c
a
┌
b
C
∴sin A=cos B,cos A=sin B. ∵∠A+∠B=90°， ∴∠B=90°－∠A， 即sin A=cos B=cos（90°－∠A）， cos A=sin B= sin（90°－∠A）.
九年级数学上册 23.1.2 互余两角的三角函数值(第2课时)课件 (新版)沪科版
∴ cosB= sinA= 3 . 5
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2.计算： t解an：33t°an3·t3a°n3·4t°an3·t4a°n3·5t°an·3t5an°55·t°an·5ta5n°56·t°an·5ta6n°57·°tan.57°
=（ tan33°·tan57°） （ tan34°·tan56°） （ tan35°·tan55°） =1
tan A a ,tan B b ,
b
a
tan A 1 . tan B
结论：
B
c
a
┌
A
b
C
互余两个锐角的正切值互为倒数.
9
当堂练习
1.在△ABC中，∠C=90°，tanA= 3 ，sinA= 3 ,求tanB，
4
5
cosB.
解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA= 3 ， 4
∴ tanB= 4 . 3
4
讲授新课
一 互余两角的正弦、余弦值的关系
问题引导
问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学
的知识证明你的结论吗？
A
提示：使用三角函数的定义证明.
b
c
CaB
5
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和
斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , c
cos A b , c
7
练一练 下列式子中，不成立的是（ B ） A．sin35°=cos55° B．sin30°+ sin45°= sin75° C． cos30°= sin60° D．sin260°+cos260°=1
8
二 互余两个锐角的正切值的关系
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第2课时 互余两角的三角函数值
1．理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；(重点)
2．会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计
算．(难点)
一、情境导入
1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝36°，则∠B ＝________；若∠B ＝53°28′，则∠A ＝________．
2．sin30°＝cos60°＝________，sin60°＝cos30°＝________，sin45°＝cos45°＝________．
完成上面两题我们不难发现，30°、45°、60°这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值．这个规律，是否适合任意一个锐角呢？
二、合作探究 探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系
【类型一】 互余两角的正弦、余弦值
的关系
在△ABC 中，∠C ＝90°，若sin B ＝1
3
，则cos A 的值为( ) A.13 B.233 C ．1 D.32
解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．故选A.
已知cos α＝3
5
，α＋β＝90°，
则cos β＝( )
A.35
B.25
C.45
D.34
解析：∵cos α＝3
5，α＋β＝90°，∴
sin β＝cos α＝3
5.设β是一个直角三角形
中的锐角，且sin β＝b c ＝3
5
，设b ＝3k ，c ＝5k ，则另一直角边的长度为a ＝4k ，∴cos β
＝a c ＝4k 5k ＝4
5
.故选C. 方法总结：利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边．
【类型二】
互余两个锐角的正切值的关系
在△ABC 中，∠A ，∠B 是锐角，
tan A ，tan B 是方程3x 2
－tx ＋3＝0的两个根，则∠C ＝________．
解析：∵tan A ，tan B 为方程3x 2
－tx ＋3＝0的两根，∠A ，∠B 是锐角．∴tan A ·tan B ＝3
3＝1，∴∠A ＋∠B ＝90°，∴
∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°.
方法总结：利用tan A ·tan(90°－∠A )＝1，可得∠A 与∠B 之间的关系，从而求出∠C 的大小．
三、板书设计
互余两角的三角函数关系
⎩⎪⎨⎪⎧任意一个锐角的正（余）弦值，等于它
的余角的余（正）弦值.
sin
A ＝cos （90°－∠A ）cos A ＝sin （90°－∠A ）tan A ·tan（90°－∠A ）＝1
互为余角的正弦与余弦函数值之间的关系是锐角三角函数的重要关系之一．掌握这一关系，对学生全面系统了解锐角三角函数以及后继的学习与应用都是十分重要的．。