幂函数与凸函数
幂函数的性质与像
幂函数的性质与像幂函数是一种数学函数，形式为f(x) = ax^n，其中a是常数，n是整数。
幂函数是数学中常见且重要的函数之一，具有多种性质和特点。
一、定义与基本性质幂函数的定义域是实数集，即对于任意实数x，都可以计算出幂函数的函数值。
在定义域内，幂函数具有以下基本性质：1. 如果n是正偶数，则当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于正无穷。
2. 如果n是正奇数，则当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于负无穷。
3. 如果n是负偶数，则当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于0；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于0。
4. 如果n是负奇数，则当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于负无穷。
二、图像和对称性幂函数的图像通常具有一种对称性。
对于正指数函数（即n为正数），当a>0时，图像关于y轴对称；当a<0时，图像关于原点对称。
对于负指数函数（即n为负数），当a>0时，图像关于x轴对称；当a<0时，图像既不关于x轴对称也不关于y轴对称。
三、单调性和极值点幂函数的单调性与指数n的正负性有关。
当n为正数时，随着x的增大，幂函数会逐渐增大；当n为负数时，随着x的增大，幂函数会逐渐减小。
当指数n为偶数时，幂函数具有一个最小值点；当指数n为奇数时，幂函数既不具有最大值点也不具有最小值点。
四、渐近线和交点幂函数的图像通常会与x轴和y轴有交点，并且具有一条或两条渐近线。
对于正指数函数（即n为正数），当a>0时，幂函数与y轴交于点(0, a)；当a<0时，幂函数与y轴交于点(0, a)。
当指数n为偶数时，幂函数具有一条水平渐近线，斜率为0；当指数n为奇数时，幂函数具有一条斜率为正（n为正数）或负（n为负数）的水平渐近线和一条斜率为正负相对的垂直渐近线。
五、函数图像的平移对于幂函数y = ax^n，若将x平移h个单位，则x变为x-h，函数变为y = a(x-h)^n。
幂函数的像与变化规律
幂函数的像与变化规律幂函数是数学中的一类重要函数，它的图像特点与变化规律一直是数学学习的重点之一。
幂函数的像可以通过对幂函数进行分析和变换来得到。
在本文中，我将介绍幂函数的基本性质、图像特点以及与参数相关的变化规律。
一、幂函数的基本性质幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
幂函数的定义域是实数集，a决定了函数的整体变化趋势，而b决定了函数在坐标系中的形状。
当b为正数时，函数呈现指数增长的趋势；当b为负数时，函数呈现指数衰减的趋势；当b为零时，函数为常数函数。
二、幂函数的图像特点1. 当a>0时，幂函数的图像在坐标系中从左下方向右上方运动，且图像会趋近于x轴正半轴；当a<0时，图像会从右上方向左下方运动，且也趋近于x轴正半轴。
2. 当b>1时，幂函数的图像在原点附近增长得非常迅速，呈现出陡峭的曲线；当0<b<1时，图像在原点附近增长较为缓慢；当b<0时，图像在原点两侧逐渐趋近于x轴。
3. 幂函数的对称轴是y轴，因此具有奇偶性。
对称性使得当幂函数表现递增或递减时，左右两侧的图像形状相似。
4. 幂函数在x轴上的零点称为幂函数的特殊点，特殊点的个数取决于指数b的奇偶性。
三、幂函数的参数对图像的变化规律的影响1. 参数a的变化：当a的绝对值变大时，函数图像的整体变化趋势会加大，增长或衰减的速度会变快；当a趋近于0时，函数图像会趋近于水平线。
2. 参数b的变化：当b的绝对值变大时，函数图像的形状会发生变化，曲线会更加陡峭或平缓；当b为负数时，函数呈现出对称轴对称的特点。
3. 特殊点的变化：当b为奇数时，幂函数有一个特殊点，即原点；当b为偶数时，幂函数没有特殊点。
特殊点的变化会对函数图像的形状产生明显的影响。
综上所述，通过对幂函数的分析和变换，我们可以获得幂函数的像及其变化规律。
幂函数的性质和图像特点使得它在数学和其他学科中都有广泛的应用，深入理解幂函数的性质对我们解决实际问题、优化函数运算具有重要意义。
凸函数的几种定义
凸函数的几种定义凸函数在优化和数学分析中有广泛的应用，其有多种定义，本文将介绍凸函数的几种定义。
1. 凸函数的一阶定义凸函数的一阶定义是指，定义域上的任意两个点之间的割线上，函数值的下凸性。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果对于所有的x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，那么f(x)为凸函数。
2. 凸函数的二阶定义凸函数的二阶定义是指，定义域上的所有点都满足函数的二阶导数大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果f''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
3. 凸函数的三阶定义凸函数的三阶定义是指，定义域上的所有点的曲率大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其曲率f'''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
4. 凸函数的凸集定义凸函数的凸集定义是指，函数图像的下方区间所形成的区间也是凸集。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其图像下方区间S={(x,y)| y≤f(x)}是凸集，并且S 在[a,b]上是凸的，那么f(x)为凸函数。
综上所述，凸函数的几种定义都指向了函数图像呈现的下凸性，即直线割过函数图像后位于函数图像下方的性质，其不同的定义方式体现了不同的性质和求解方法。
无论采用哪种定义方式，都需要考虑实际问题的特征和函数的定义域，以得到准确可靠的结果。
凸函数的性质有很多，例如在区间[a,b]上凸函数f(x)上，对于任意的x1,x2∈[a,b]和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，即凸函数的凸组合仍为凸函数。
此外，凸函数也有一些应用，例如在最优化问题中，将问题转化为凸函数求解可以更优effective。
然而，有些函数仅在部分定义域内为凸函数，而在另一部分定义域内则不是，因此在实际应用中必须慎重选择凸函数进行求解。
凸函数
凸函数,是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。
常见的凸函数
1 指数函数eax
2 幂函数xa,x∈R+,1≤a或者a≤0
3 负对数函数- log x
4 负熵函数x log x
5 范数函数||x||p
如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。
）
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。
当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。
如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。
如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。
如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。
如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。
幂函数知识点
幂函数1.幂函数：一般地，形如y=x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：（1）幂函数具有严格的形式，形如 y=mx a， y=（mx）a， y=x a+m，y=（x+m）a（以上m均为不等于零的常数，且前两个函数中的m也不等于1）的函数都不是幂函数，二次函数中只有y=x2是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，幂函数y=x a要满足三个特征：○1幂x a前的系数是1；○2底数只能是自变量x，指数是常数；○3项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数；（2）求函数解析式时，若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为f（x）=x a，根据条件求出a即可.（3）不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决.2.幂函数在第一象限的图象：幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝n／m (其中m∈N*，n∈Z且m，n互质)．(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．(3)当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限．3.幂函数当α＝1,2,3，0.5，－1时的图象与性质．(1)图象(如图所示)(2)性质(如表)4.幂函数的性质：(1)所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）；(2)如果a＞0，则幂函数的图像过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数；(3)如果a＜0，则幂函数的图像在区间（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于零时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋向于无穷大时，图像在x轴上方无限逼近x轴；（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数.(5)①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，y=x a表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1))5.幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数y=x a的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数y=x a的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数y=x a的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
凸函数的性质
凸函数的性质凸函数是数学中非常重要的一类函数，它在经济学、物理学、计算机科学等领域中得到广泛应用。
在本篇文章中，我将会讲解凸函数的性质及其应用。
一、凸函数的定义首先，我们先来回顾一下凸函数的定义。
对于定义在$R^n$上的函数$f(x)$，若对任意$ x_1, x_2∈R^n $，以及$0≤λ≤1$都有$$ f(λx_1+(1−λ)x_2)≤λf(x_1)+(1−λ)f(x_2)$$则称$f(x)$为凸函数。
当$λ \in (0,1)$时，式子称为严格凸。
凸函数的定义很简单，但是它却有着非常重要的数学性质。
二、（一）一阶导数首先，我们来考虑凸函数的一阶导数。
对于一元函数$f(x)$而言，若其在点$x$处可导，则有：$$f(x + h) = f(x) + f'(x)h + o(h)$$其中$o(h)$为比$h$高阶的无穷小，即当$h$趋于0时，$o(h)/h$趋近于0。
因为$f(x)$是凸函数，所以有：$$ \begin{aligned} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} &≥ \frac{(1-λ)f(x) + λf(x + h) - f(x)}{λh} \\ &≥ \frac{(1-λ)f(x) + λf(x) + λhf'(x) + o(h) -f(x)}{λh} \\ &= f'(x) + \frac{o(h)}{h} \end{aligned} $$所以有：$$ f'(x+)≥f'(x) $$也就是说，凸函数的导数是单调非减的。
类似地，我们可以证明一阶导数单调非增的函数是凹函数。
（二）二阶导数接下来，我们来考虑凸函数的二阶导数。
对于一元函数$f(x)$而言，若其在$x$处二阶可导，则有：$$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(x)\frac{h^2}{2} + o(h^2)$$同时，因为$f(x)$是凸函数，所以有：$$\begin{aligned} f(λx_1+(1-λ)x_2)&≤λf(x_1)+(1-λ)f(x_2) \\f′(λx_1+(1-λ)x_2)&≥ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2−x_1} \end{aligned}$$对右边的式子取极限，得到：$$ f''(x_)≥0 $$也就是说，凸函数的二阶导数是非负的。
凸函数的若干性质及应用
凸函数的若干性质及应用凸函数是数学分析中的重要概念，具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来阐述凸函数的相关内容。
一、性质：1. 定义：凸函数的定义是指函数f(x)在定义域的任意两点x1和x2，对于任意的t∈[0,1]，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)成立。
这个定义也可以用来判定函数的凹凸性。
2. 凸函数的图像：凸函数的图像总是位于其切线的下方，且曲线向上凸起，在凸函数的图像上取任意两点，连接这两点与曲线的切线，切线位于曲线的下方。
3. 严格凸函数：如果函数f(x)在定义域内的每两个不同的点x1和x2之间，对于任意的t∈(0,1)，都有f(tx1+(1-t)x2)<tf(x1)+(1-t)f(x2)成立，则称函数f(x)为严格凸函数。
4. 凸函数的一次导数：凸函数的一次导数是非递减的，也就是说，若函数f(x)是凸函数，则它的导函数f'(x)是非递减的。
二、应用：凸函数在许多领域都有广泛的应用，以下介绍凸函数的一些常见应用：1. 最优化问题：凸函数在最优化问题中具有重要作用，特别是线性规划和凸规划。
通过建立优化问题的目标函数为凸函数，可以快速求得该问题的最优解。
2. 机器学习：在机器学习中，凸函数常用于构建损失函数和约束条件。
通过选择合适的凸函数作为损失函数，可以用来拟合模型和训练模型，如线性回归和逻辑回归等。
3. 经济学：凸函数在微观经济学中具有广泛的应用，特别是在效用函数和供求关系中。
凸函数可以描述消费者偏好和生产者的成本、收益等经济现象，为经济学家提供了重要的理论工具。
4. 几何学：凸函数与凸集有着密切的关系，可以通过凸函数来描述凸集。
凸函数在几何学中被广泛用于解决凸优化问题、凸包问题等凸几何相关的问题。
5. 图像处理：在数字图像处理中，凸函数常用于图像的分割、边缘检测、图像重建等问题。
通过构建合适的凸函数和优化算法，可以提高图像处理的效率和精度。
凸函数在教育学中的应用
凸函数在教育学中的应用凸函数是一种特殊的数学函数，具有许多独特的特性和应用。
在教育学中，凸函数也有着广泛的应用。
本文将探讨凸函数在教育学中的应用。
一、凸函数概述凸函数是指图像位于其切线上方的函数。
也就是说，对于一条切线，函数图像所有的点都在切线的上方。
凸函数具有多种特性。
其中最重要的是凸函数具有单峰性。
也就是说，凸函数图像在某个点上达到最大值，该点称为凸函数的极值点。
进一步，凸函数图像呈现出一条向上的曲线，而凹函数则呈现出一条向下的曲线。
二、凸函数在教育学中的应用1. 学习曲线分析学习曲线是指学习者在学习过程中知识掌握程度与学习时间的关系。
利用凸函数分析学习曲线，可以更好地把握学习过程的节奏，有效预测学生的学习成果。
具体而言，用凸函数分析学习曲线可以先得出其极值点，进而确定学生的学习阶段和适合学生的教学策略。
例如，对于初学者来说，由于知识掌握程度较低，学习曲线可能呈现出较缓的上升趋势，此时可以采用更为生动的教学方式，提高学生的学习积极性，激发学生的兴趣。
对于更为资深的学生，由于已经掌握了一定的知识，学习曲线可能会呈现出降角度逐渐减小的趋势，此时可以采用更多的知识联系、思维拓展等方式，提高学生的学习深度。
2. 学科评估分析凸函数还可以应用于学科评估分析中。
学科评估分析是指对于一门学科的学习情况进行综合评估，包含学生掌握情况、教学效果、考试成绩等多个方面。
利用凸函数分析学科评估可以先选择一定的指标，如学生掌握程度、教学效果等，将其综合计算得到一个凸函数。
进一步，通过比较不同学科的凸函数，可以得出各个学科的优劣情况。
例如，对于一门学科，若其凸函数呈现单峰性，则说明学生的学习有了明显的提升，教学效果较好，考试成果理应在良好水平上。
而若该学科的凸函数呈现出双峰性，则说明该学科教学可能存在问题，需要对教师教学方法、学生学习情况等方面进行深入的分析。
3. 学生成长趋势分析利用凸函数分析学生的学生成长趋势，可以更为科学地预测学生的发展方向，为学生的未来成长提供难得的机遇。
第12讲 幂函数-人教A版高中数学必修一讲义(解析版)
知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质： 幂函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 321x yy ＝x －1教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.幂函数的概念数学抽象水平1水平11.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数。
2.能够使用幂函数的简单性质实行实数大小比较。
3.通过作出一些简单幂函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函数的基本性质。
【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。
【考查题型】选择题、填空题、解答题【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分2.幂函数的图像与性质 直观想象 水平1 水平23.幂指数对图像的影响 数学运算 水平1 水平14.幂函数的凸凹性 数学运算 水平1 水平1第十二讲 幂函数知识通关{y|y∈R，且y≠0}奇x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减题型一幂函数的概念规律方法判断函数为幂函数的方法例1、(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3(2)若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数，则m＝________.解析：(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B．(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.答案(1)B (2)5或－1【变式训练1】（1）幂函数)(xf的图像过点)9,3(3，则)()8(=fA. 8B. 6C. 4D. 2（2）设}1,21,3,2,1{-∈α，则使函数αxy=的定义域为R且函数αxy=为奇函数的所有α的值为（）A .3,1- B. 1,1- C. 1,3 D. 3,1,1-2、(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在n 取±2，±12四个值，则相对C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点)21,2(--分别在幂函数f(x)，的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．（1）根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①幂函数图像在定义域(0,1)上的部分，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴 (简记为指大图低)； ②幂函数图像在定义域(1，＋∞)上的部分，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系， 即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或21x y =或y ＝x 3)来判断．（当0<α时，在第一象限内为双曲线型；当10<<α时，在第一象限内为抛物线型，且开口向右；当1>α时，在第一象限C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B ． （2）设f(x)＝x α，g(x)＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x 2，g(x)＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当x ＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x ∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 答案 B【变式训练2】如图是函数nm x y = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn>1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1解析：由图象可知y ＝x mn 是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇数，又当x ∈(1，＋∞)时，nm x y =的图象在y ＝x 的图象下方，故mn <1.答案 C题型三 利用幂函数的性质比较大小规律方法 比较幂值大小的三种基本方法例3、比较下列各组数中两个数的大小：(1)3.0)52(与3.0)31(；(2)1)32(--与1)53(--解析：(1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又3152>，所以3.03.0)31()52(>. (2)因为幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又5332-<-，所以11)53()32(--->-. 【探究1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为")31()52("3.03.0-与，则二者的大小关系如何？ 解析：因为3.03.03)31(=-，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又352<，所以3.03.03)52(<.即3.03.0)31()52(-<. 【探究2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为"3.0)52("523.0与，则二者的大小关系如何？ 解析：因为x y )52(1=在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以523.0)52()52(>，又因为函数522x y =在(0，＋∞)上为增函数，且3.052>，所以52523.0)52(>，所以523.03.0)52(>.【变式训练3】 比较下列各组数的大小：(1)33)5.2()2(----与；(2)8787)91(8---与；(3)533252)9.1()8.3()1.4(--与与.解析：(1)∵幂函数3-=x y 在)0,(-∞上为减函数， 又5.22->- ∴33)5.2()2(---<-(2)∵87x y =在),0(+∞上为增函数，9181,)81(88787>-=--，∴8787)91()81(-<-，∴8787)91(8-<--(3)∵11)1.4(5252=>，11)8.3(03232=<<--，0)9.1(53<-，533252)9.1()8.3()1.4(->>-∴考向一 幂函数的凸凹性 （1）上凸函数、下凸函数的定义设函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对于],[b a 中任意不同两点21,x x ，2)()()2(2121x f x f x x f +≥+都成立，则称)(x f 在],[b a 上是上凸的函数，即上凸函数。
浅谈幂函数
学习幂函数，图像是关键。
y=xa（a≠0、1）在第一象限的图像可以分为三类：
只要掌握了这三种情况，然后根据幂函数的奇偶性，就可作出y=xa（a≠0、1）在其定义域内的完整图像，这时它的一切属性将是直观、显然的。
幂函数的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
幂函数y=xa。
α只能从（±3，±2，±1，±1/2，±1/3）中取值。
幂函数y=x的图像表（见右表）：
在记忆这个表时要记住两点：
其一，图像的形态：
当n/m<1时，y=x在第一象限的图像下凹，呈上升趋势。
当0<n/m时，y=x在第一象限的图像下凸，呈上升趋势。
当n/m<0时，y=x在第一象限的图像下凹，呈下降趋势。
其二，图像所在的象限。
用一句话可以简单概括为：奇偶图在第一象限，偶奇图在第一、二象限，奇奇图在第一、三象限。
新人教A版数学必修第一册第三章知识点总结与例题讲解(续)
幂函数知识点总结与例题讲解本节主要知识点 （1）幂函数的概念. （2）幂函数的图象与性质. （3）一般幂函数的图象和性质. 知识点一 幂函数的概念一般地,函数αx y =叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数.幂函数的特征:（1）αx 的系数是1;（2）αx 的底数是单个的自变量; （3）αx 的指数为常数.判断幂函数的方法 看形式,明特征判断一个函数是否为幂函数,先看是否具有αx y =（α是常数）的形式,再看是否满足幂函数的三个特征,这三个特征缺一不可.知识点二 幂函数的图象和性质五个具体的幂函数:()12132,,,,-======x y x y x y x y x y x y ,在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如下.图（1） 五个具体幂函数的图象由五个具体幂函数的图象可知:（1）所有幂函数在()+∞,0上都有意义. （2）幂函数的图象必经过点()1,1. （3）幂函数的图象不会经过第四象限.（4）当0>α时,幂函数的图象还经过原点()0,0,且幂函数在[)+∞,0上为增函数;当0<α时,幂函数在()+∞,0上为减函数.（5）在第一象限内,直线1=x 右侧部分的图象,由下向上幂函数的幂指数越来越大,可简记为“指大图高”.五个幂函数在第一象限的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”,即对于αx y =,当0>α且1≠α时,其图象在第一象限内是抛物线型（当1>α时,其图象是竖直抛物线型;当10<<α时,其图象是横卧抛物线型）;当0<α时,其图象在第一象限内是双曲线型.高图（2） 第一象限 正抛负双 大竖小横幂函数αx y =在第一象限内图象的画法（1）当0<α,其图象可类似1-=x y 画出. （2）当10<<α,其图象可类似21x y =画出. （3）当1>α时,其图象可类似2x y =画出. 五个具体幂函数的性质如下页表（1）所示.表（1） 五个具体幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象和性质 表（2） 一般幂函数的图象和性质幂函数αx y =的定义域取决于α,具体见下页表（3）.表（3） 幂函数的定义域注 我们可以这样理解幂函数qp x y =的定义域,就是把qpx y =化为qp x y =的形式,把qp xy -=化为qpxy 1=的形式.幂函数αx y =的奇偶性的判断见下表（4）.表（4） 幂函数奇偶性的判断方法注 当q 是偶数时,幂函数qp x y =（q p ,互质, ∈q p ,Z ）的定义域是[)+∞,0或()+∞,0,不关于原点对称,因此幂函数既不是奇函数,也不是偶函数.幂指数对幂函数图象的影响当0=α时,()010≠==x x y ,其图象是一条不包含点()1,0的直线.当1=α时,幂函数x y =的图象是一条经过原点的直线. 当0≠α且1≠α时,幂函数的图象如下表（5）.表（5） 幂函数的图象补充知识点 上凸函数和下凸函数设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义,若对于[]b a ,上任意两个不同的实数21,x x ,都有⎪⎭⎫⎝⎛+221x x f ≥()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是上凸函数;若都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f ≤()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是下凸函数.如下图所示.我们已经知道,对于幂函数αx y =,当10<<α时,在第一象限是上凸函数;当0<α或1>α时,在第一象限是下凸函数.图（3） 上凸函数f f 2图（4） 下凸函数f f 2例题讲解例1. 已知幂函数()32225---+=m m xm my ,当()+∞∈,0x 时,y 随x 的增大而减小,求此时幂函数的解析式.分析 本题考查幂函数的概念和性质.（1）判断一个函数是否为幂函数,要“看形式,明特征”:先看函数是否具有αx y =（α为常数）的形式,再看函数是否具有幂函数的三个特征,这三个特征缺一不可.（2）幂函数αx y =在()+∞,0上都有定义:当0>α时,幂函数都在()+∞,0上单调递增;当0<α时,幂函数都在()+∞,0上单调递减. 解:∵函数()32225---+=m mx m m y 是幂函数∴152=-+m m ,解之得:3,221-==m m ∵当()+∞∈,0x 时,y 随x 的增大而减小∴()()031322<-+=--m m m m ,解之得:31<<-m ∴2=m∴此时幂函数的解析式为3-=x y . 例2. 已知幂函数()32221----=m mx m m y ,求此幂函数的解析式,并求出其定义域.分析 本题考查幂函数的概念和定义域的确定.对于幂函数αx y =（α为常数）,其定义域取决于α,如果给出的幂函数是qp x y =（q p ,互质, ∈q p ,Z ）的形式,可先把幂函数化为根式的形式,再确定其定义域.解:∵函数()32221----=m mx m m y 是幂函数∴112=--m m ,解之得:2,121=-=m m当1-=m 时,幂函数的解析式为0x y =,其定义域为()()+∞∞-,00, ; 当2=m 时,幂函数的解析式为3-=x y ,其定义域为()()+∞∞-,00, .综上所述,幂函数的解析式为0x y =或3-=x y ,它们的定义域都是()()+∞∞-,00, . 例3.（多选）已知函数()αx x f =的图象经过点()2,4,则下列命题正确的有【 】 （A ）函数为增函数 （B ）函数为偶函数 （C ）若1>x ,则()1>x f （D ）若210x x <<,则()()⎪⎭⎫⎝⎛+<+222121x x f x f x f分析 本题考查求幂函数的解析式（概念）、幂函数的图象和性质以及幂函数的凸性（上凸函数还是下凸函数）.设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义,若对于[]b a ,上任意两个不同的实数21,x x ,都有⎪⎭⎫⎝⎛+221x x f ≥()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是上凸函数;若都有⎪⎭⎫⎝⎛+221x x f ≤()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是下凸函数.对于幂函数αx y =,当10<<α时,在第一象限是上凸函数;当0<α或1>α时,在第一象限是下凸函数.解:对于（A ）,∵函数()αx x f =的图象经过点()2,4 ∴2242==αα,求得21=α ∴此幂函数的解析式为()21x x f =（即()x x f =）,其定义域为[)+∞,0,且在[)+∞,0上为增函数.故（A ）正确.对于（B ）,因为该函数的定义域并不关于原点对称,所以既不是奇函数,也不是偶函数.故（B ）错误.对于（C ）,因为该函数在[)+∞,0上为增函数,且经过点()1,1,所以当1>x ,则()1>x f .故（C ）正确.对于（D ）,对于幂函数αx y =,当10<<α时,在第一象限是上凸函数,所以若210x x <<,则有()()⎪⎭⎫⎝⎛+<+222121x x f x f x f .故（D ）正确.综上,答案为【ACD 】.例4. 已知函数()()m x m m x f 12-+=是幂函数,且在()+∞,0上是减函数. （1）求实数m 的值;（2）请在图中画出()x f 的草图;（3）若()()a f a f >-12,求实数a 的取值范围.分析 本题考查幂函数的概念、幂函数图象的画法以及利用幂函数的图象和性质求解不抽象等式.幂函数αx y =在第一象限内图象的画法（1）当0<α,其图象可类似1-=x y 画出. （2）当10<<α,其图象可类似21x y =画出. （3）当1>α时,其图象可类似2x y =画出.最后,结合幂函数的定义域和奇偶性,画出整个定义域上幂函数的图象.解:（1）∵函数()()m x m m x f 12-+=是幂函数 ∴112=-+m m ,解之得:1,221=-=m m ∵该幂函数在()+∞,0上是减函数 ∴2-=m ;（2）有（1）可知,()2-=x x f ,其定义域为()()+∞∞-,00, ,是偶函数,图象关于原点对称,且在第一象限是减函数,所以其图象的草图如图所示;（3）由（2）可知:函数()2-=x x f 是偶函数,且在()+∞,0上是减函数 ∴()()()()a f a f a f a f =-=-,1212 ∵()()a f a f >-12 ∴()()a f a f >-12∴a a <-12,原不等式同解于()2212a a <-∴()()0113<--a a ,解之得:131<<a∵012,0≠-≠a a ∴0≠a 且21≠a ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2121,31 .注意 在利用函数的奇偶性和单调性解决问题时,不能忽视函数的定义域. 例5. 若()()2121123+>-m m ,则实数m 的取值范围是__________. 分析 本题考查幂函数的单调性,一定要注意函数的定义域.解:∵函数21x y =在[)+∞,0上是增函数,()()2121123+>-m m∴⎪⎩⎪⎨⎧+>-≥+≥-12301023m m m m ,解之得:1-≤32<m∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-32,1.例6. 若()()3131231---<+a a ,则实数a 的取值范围是_________.分析 幂函数31-=x y 的定义域是()()+∞∞-,00, ,是奇函数,图象位于第一、三象限,关于原点对称,在()+∞,0上是减函数.对于幂函数31-=x y ,其图象上横坐标是()1+a 和()a 23-的点可能在同一象限,也可能在不同的象限,应注意分类讨论.解:∵函数31-=x y 在()0,∞-和()+∞,0上单调递减,()()3131231---<+a a∴⎪⎩⎪⎨⎧->+<-<+a a a a 23102301或⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+a a a a 23102301或⎩⎨⎧>-<+02301a a 解之得:无解或2332<<a 或1-<a ∴实数a 的取值范围是()1,23,32-∞-⎪⎭⎫⎝⎛ .例7. 若关于x 的不等式ax x >21的解集是{}20<<x x ,则实数a 的值为【 】 （A ）21 （B ）42 （C ）1 （D ）22 分析 本题主要考查幂函数的图象和数形结合思想. 幂函数21x y =的定义域为[)+∞,0,且在[)+∞,0上 是增函数.解:由题意在同一平面直角坐标系中画出函数21x y =和函数ax y =的大致图象如图所示.显然,函数ax y =的图象经过点()2,2,所以22=a . ∴选择答案【 D 】.例8. 已知函数()x f 既是二次函数又是幂函数,函数()x g 是R 上的奇函数,函数()()()11++=x f x g x h ,则()()()()()()()=-+-++-+++++2018201710120172018h h h h h h h 【 】（A ）0 （B ）2018 （C ）4036 （D ）4037分析 本题考查了幂函数的概念、奇函数的性质,注意发现求值式子的规律:求值式子中共出现了2018对互为相反数的自变量的值,故考虑计算()()x h x h -+的结果,以期找到解决问题的突破口. 解:∵函数()x f 既是二次函数又是幂函数 ∴()2x x f =,为R 上的偶函数,()()x f x f -= ∵函数()x g 是R 上的奇函数 ∴()()()00,=-=-g x g x g ∵()()()11++=x f x g x h∴()()()()()1111++-=++--=-x f x g x f x g x h∴()()()()()()21111=++-++=-+x f x g x f x g x h x h∴()()()()()()()2018201710120172018-+-++-+++++h h h h h h h()()[]()()()()[]()0112017201720182018h h h h h h h +-+++-++-+= 1222++++=120182+⨯=4037= ∴选择答案【 D 】.例9. 已知幂函数()()242222+---=m m x m m x f 在()+∞,0上单调递减.（1）求出m 的值并写出()x f 的解析式;（2）试判断是否存在0>a ,使得函数()()()112+--=x f ax a x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-.若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由. 解:（1）∵函数()()242222+---=m mx m m x f 是幂函数∴1222=--m m ,解之得:3,121=-=m m ∵该幂函数在()+∞,0上单调递减∴0242<+-m m ,解之得:2222+<<-m ∴()1,3-==x x f m ;（2）由（1）可知:()()()111121+-=+--=-x a x ax a x g ①当01>-a ,即1>a 时,函数()x g 为R 上的增函数 ∵函数()x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-∴()()⎩⎨⎧=-=-11241g g ,即⎩⎨⎧=+--=++-11122411a a ,解之得:6=a ;②当01=-a ,即1=a 时,函数()1=x g ,不符合题意; ③当01<-a ,即1<a 时,函数()x g 为R 上的减函数 ∵函数()x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-∴()()⎩⎨⎧-==-42111g g ,即⎩⎨⎧-=+-=++-41221111a a ,解之得:无解. 综上所述,存在实数6=a ,使得函数()x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-.例10. 已知函数()121222+--+-=x x m mx mx x f （∈m R ）,试比较()5f 与()π-f 的大小.分析 本题考查函数图象的对称变换、平移以及幂函数的单调性.解:()()()()222222111121121212---=--=+--+-=+--+-=x m x m x x x x m x x m mx mx x f . 先将函数2-=x y 的图象作关于x 轴作对称变换,得到函数2--=x y 的图象,再将函数2--=x y 的图象向右平移1个单位长度,得到函数()21---=x y 的图象,最后将函数()21---=x y 的图象向上（m ≥0）或向下（0<m ）平移m 个单位长度,即可得到函数()()21---=x m x f 的图象,如下图所示.由函数图象可知,函数()x f 的图象关于直线1=x 对称 ∴()()35-=f f∵函数()x f 在()1,∞-上单调递减 ∴()()π-<-f f 3 ∴()()π-<f f 5.对应练习求函数()122222++++=x x x x x f 的单调区间,并比较⎪⎪⎭⎫⎝⎛-26f 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23f 的大小.例11. 证明:（1）若()b ax x f +=,则()()222121x f x f x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+; （2）若()b ax x x g ++=2,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ≤()()221x g x g +. 证明:（1）∵()b ax x f +=∴()()()=+=+++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+22222221212121x f x f b ax b ax b x x a x x f ()()221x f x f +; （2）∵()b ax x x g ++=2∴()()b x x a x x x x b x x a x x x x g +++++=+++⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+242222212221212122121 ()()()b x x a x x b ax x b ax x x g x g ++++=+++++=+222221222122212121∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ()()221x g x g +-()442221222121x x x x x x --=-+-= 显然,()4221x x --≤0,当且仅当21x x =时取等号∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ()()221x g x g +-≤0 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ≤()()221x g x g +. 例12. 已知幂函数()()()()k k x k k x f +--+=1221在()+∞,0上单调递增. （1）求实数k 的值,并写出函数()x f 的解析式; （2）设函数()()()21++-+=xaax x f x f x h ,若不等式()x h ≥0对任意的(]3,1∈x 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵函数()()()()k k x k k x f +--+=1221∴112=-+k k ,解之得:1,221=-=k k ∵该幂函数在()+∞,0上单调递增 ∴()()012>+-k k ,解之得:21<<-k ∴1=k ,函数()x f 的解析式为()2x x f =;（2）由（1）可知:()41121222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-+=x x a x x x a ax x x x h设xx t 1-=,则t 在()0,∞-∈x 和()+∞∈,0x 上为增函数 ∵(]3,1∈x ,∴⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t∵不等式()x h ≥0对任意的(]3,1∈x 恒成立∴42+-at t ≥0对任意的⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t 恒成立,即a ≤t t 4+恒成立只需a ≤min 4⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ,⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t 即可.∵⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t ,∴t t 4+≥442=⋅t t ,当且仅当t t 4=,即2=t 时成立∴44min =⎪⎭⎫⎝⎛+t t∴a ≤4,即实数a 的取值范围是(]4,∞-.函数的应用（一）知识点总结与例题讲解本节主要知识点（1）常见的几种函数模型.（2）实际问题函数建模的一般步骤. （3）建模时确定函数解析式的基本方法. 知识点一 常见的几种函数模型（1）一次函数模型 b ax y +=（b a ,为常数）,也叫做线性函数模型. （2）二次函数模型 c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数）.当研究的问题呈现先增长后减少的特点,0<a ;当研究的问题呈现先减少后增长的特点,0>a .（3）反比例函数模型 b xky +=（b k ,为常数,且0≠k ）. （4）幂函数模型 b ax y n +=（n b a ,,为常数,1,0≠≠n a ）. （5）对勾函数模型 xbax y +=（0,0>>b a ）. （6）分段函数模型 以上几种函数模型的综合. 知识点二 实际问题函数建模的一般步骤 分为审题、建模、求解和还原四部.（1）审题 弄清题意,分清条件和结论,理清数量关系,初步选择模型.分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,确定自变量与因变量的意义,尝试将实际问题函数化.审题时要抓住题目中的关键量,勇于尝试、探索,敏于发现、归纳,善于联想、化归,实现实际问题向数学问题的转化.（2）建模 将自然语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的函数模型. 一般地,设自变量为x ,因变量为y ,通过认真审题,将与自变量有关的量用x 表示出来,找到等量关系,列出y 关于x 的函数解析式,即建立了与实际问题相对应的函数模型.注意函数自变量x 的取值范围.（3）求解 运用所学的知识对函数模型进行解答,求出结果.（4）还原 实际问题不是单纯的数学问题,既要符合数学学科背景,又要符合实际背景,因此得出的结果要代入原问题中进行检验、评判,最后得出结论并作答.还原过程是自我复核、评判、检验的过程,如定义域是否符合实际,结果是否合理等.知识点三 建模时确定函数解析式的基本方法（1）待定系数法 如果题目给出了函数解析式（含参数）或可以确定函数类型,那么用待定系数法求解.列出关于参数的方程或方程组,求出参数的值,回带即可得到函数解析式;已知函数类型,先设出函数解析式,再求解.（2）归纳法 先让自变量取一些特殊值,计算出对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数解析式. 用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点（1）原则 一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下按照“问什么、设什么、列什么”的原则来处理,求解过程比较简单.（2）关注点 用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象的应用题,可先结合图象利用待定系数法求出函数解析式.对于一次函数b ax y +=（b a ,为常数）,当0>a 时为增函数,当0<a 时为减函数.另外,还要结合题目理解()b ,0或⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,a b 这些特殊点的意义.例1. 为了预防疾病的发生,某种消毒液广宁需要6吨,怀集需要8吨,正好端州储备有10吨,四会储备有4吨,市防疫中心决定将这14吨消毒液调往广宁和怀集,消毒液的运费价格如下表（单位:元/吨）.设从端州调运x 吨到广宁.（1）求调运14吨消毒液的总运费y 关于x 的函数解析式; （2）求出总运费最低的调运方案,最低运费为多少?解:（1）由题意可知:四会需要调运()x -6吨消毒液到广宁,端州需要调运()x -10吨消毒液到怀集,四会需要调运()[]()264-=--x x 吨或()[]()2108-=--x x 吨消毒液到怀集,则有:=y ()()()107052701010063560+-=-+-+-+x x x x x .由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≥-0201006x x x 可得:2≤x ≤6,即[]6,2∈x ; （2）∵05,10705<-+-=x y ,[]6,2∈x ∴y 在[]6,2上单调递减∴当6=x 时,总运费y 最低,为1040107065=+⨯-=y （元）∴总运费最低的调运方案为: 从端州调运6吨消毒液到广宁,调运4吨消毒液到怀集;四会的消毒液全部（4吨）调运到怀集.最低运费为1040元. 二次函数模型的解题策略（1）根据实际问题建立二次函数关系式;（2）利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求二次函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题;（3）解决二次函数的最值问题时最好结合二次函数的图象;（4）利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值的条件及自变量的值是否符合实际意义.例2. 某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售量y （支）与销售单价x （元/支）之间存在如图所示的关系. （1）求出y 与x 的函数关系式;（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?（3）该店主决定从每天获得的利润中抽出 200元捐赠给某所希望小学,为了保证捐款 后每天的剩余利润不低于550元,如何确定 该款电动牙刷的销售单价? 解:（1）由函数图象可设b ax y += 把()()50,35,100,30分别代入b ax y +=得:⎩⎨⎧=+=+503510030b a b a ,解之得:⎩⎨⎧=-=40010b a ∴y 与x 的函数关系式为40010+-=x y ; （2）设每天的销售利润为()x W 元,则有:()()()80006001040010202-+-=+--=x x x x x W∴()()100030102+--=x x W∴()()100030max ==W x W （元）∴当销售单价定为30元/支时,每天销售利润最大,最大利润是1000元; （3）由题意可得:2008000600102--+-x x ≥550整理得:875602+-x x ≤0,即()230-x ≤25解之得:25≤x ≤35∴该款电动牙刷的销售单价定为不低于25元,不高于35元时,可保证捐款后每天的剩余利润不低于550元. 幂函数模型的常见题型和解题策略（1）给出含参数的函数关系式,利用待定系数法求出参数,得到函数解析式. （2）根据题意直接列出相应的函数关系式.例3. 众所周知,大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干,其100克装的售价为1. 6元,其400克装的售价为4. 8元.假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m ,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n ,利润率为20%,求该种饼干900克装的合理售价.解:设饼干的质量为x （克）,售价为y （元）,则有:()()()x n mx x n mx y +=++=2.12.01∵当100=x 时,6.1=y ,当400=x 时,8.4=y∴⎩⎨⎧=+=+8.4244806.112120n m n m ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1511501n m∴x x y 2521251+=∴当900=x 时,6.99002529001251=⨯+⨯=y答:这种饼干900克的合理售价为9. 6元. 解决对勾函数应用题的关键 解决对勾函数型()()0,0>>+=b a xbax x f 的应用题时,需关注函数的定义域和单调性等.该函数在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b ,和⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,a b 上单调递增,在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,b a 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上单调递减.例4. 为了在冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某栋房屋要建造能使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造费用是6万元.该栋房屋每年的能源消耗费用C （单位:万元）与隔热层厚度x （单位:cm ）满足关系:()83+=x kx C （0≤x ≤10）.若无隔热层,则每年能源消耗费用为5万元.设()x f 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. （1）求()x C 和()x f 的表达式;（2）当隔热层修建多厚时,总费用()x f 最小?并求出最小值. 解:（1）由题意可知:()580==kC ,解之得:40=k ∴()8340+=x x C （0≤x ≤10） ()8380066834020++=++⨯=x x x x x f （0≤x ≤10）∴()()1683800832-+++=x x x f ≥()6416838008322=-+⋅+x x 当且仅当()83800832+=+x x ,即4=x 时,等号成立. ∴当隔热层修建4 cm 厚时,总费用()x f 最小,为64万元.分段函数模型的三个注意点（1）分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.（2）分段函数的定义域为每一段自变量取值范围的并集.（3）分段函数的值域的求法为:逐段求函数值的范围,最后再下结论.例5. “硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技,属于由科技创新构成的物理世界,是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术,具有极高技术门槛和技术壁垒,难以被复制和模仿.最近十年,我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备,并从2024年起全面发售.经测算,生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元,每生产x 百台高级设备需另投入成本y 万元,且⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+<≤+=10040,225018000165400,4022x xx x x x y , ∈x 100N ,每百台高级设备售价为160万元,假设每年生产的高级设备能够全部售出,且高级设备年产量最大为10 000台.（1）求企业所获年利润P （单位:万元）关于年产量x （单位:百台）的函数关系式;（2）当年产量为多少时,企业所获年利润最大?并求最大年利润.解:（1）当0≤40<x 时()()800302100012021000402160222+--=-+-=-+-=x x x x x x P ; 当40≤x ≤100时12501800051000225018000165160+--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x x P ∴()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+--<≤+--=10040,1250180005400,8003022x xx x x P ,∈x 100N ; （2）当0≤40<x 时,()8003022+--=x P ∴当30=x 时,P 取得最大值为800max =P ;当40≤x ≤100时12501800051250180005+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=x x x x P ≤62512501800052=+⋅-x x 当且仅当x x 180005=,即60=x 时,等号成立. ∴625max =P∵625800>∴当年产量为30百台时,企业所获年利润最大,最大年利润为800万元.。
高中《导数》知识点总结
高中《导数》知识点总结导数是高中数学中的一个重要概念，它用于描述函数在其中一点处的变化率。
在一个数学函数中，每一个点都有一个导数，它告诉我们函数在该点的变化速度。
一、导数的定义与计算方法导数的定义：对于函数y=f(x)，如果函数在点x处有导数，则导数定义为f'(x)=lim(h→0)[(f(x+h)-f(x))/h]。
导数的计算方法：常用的导数运算法则有：常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则、除法法则、复合函数的导数、反函数的导数等。
二、基本初等函数的导数1.常数函数的导数：常数函数的导数为0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数y=x^n，当n≠0时，导数为y'=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：对于指数函数y=a^x，导数为y'=a^x*ln(a)。
4. 对数函数的导数：对于对数函数y=log_a(x)，导数为y'=(1/x)log_a(e)。
5. 三角函数的导数：正弦函数的导数为y'=cos(x)，余弦函数的导数为y'=-sin(x)，正切函数的导数为y'=sec^2(x)。
三、导数的几何意义及几何应用导数的几何意义：导数表示了函数曲线在其中一点处的切线的斜率。
导数的几何应用：导数可以用于求切线和法线方程，可以用于确定函数的单调性和极值点，可以用于求曲线的凹凸性和拐点。
四、函数的增减性与极值1.函数的增减性：如果一个函数在区间内的导数大于0，则函数在该区间内是递增的；如果一个函数在区间内的导数小于0，则函数在该区间内是递减的。
2.极值与最值：函数在极值点上的导数为0或不存在，导数由正变负时，函数有极大值，即局部最大值；导数由负变正时，函数有极小值，即局部最小值。
五、函数的单调性与事件点1.函数的单调性：函数在区间内的导数大于0，则函数在该区间内是单调递增的；如果导数小于0，则函数在该区间内是单调递减的。
2.事件点：函数的极值点、拐点和不可导点称为函数的事件点。
凸函数简介——精选推荐
凸函数简介凸函数简介凸函数凸函数是⼀个定义在某个向量空间的凸⼦集C（区间）上的实值函数f，⽽且对于凸⼦集C中任意两个向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2。
于是容易得出对于任意(0,1)中有理数p,f(px1+(1-p)x2)≤pf(x1)+(1-p)f(x2)。
如果f连续，那么p可以改成任意(0,1)中实数。
若这⾥凸集C即某个区间I,那么就是：设f为定义在区间Ｉ上的函数，若对Ｉ上的任意两点Ｘ１，Ｘ２和任意的实数λ∈（０，１），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则f称为Ｉ上的凸函数。
判定⽅法可利⽤定义法、已知结论法以及函数的⼆阶导数对于实数集上的凸函数，⼀般的判别⽅法是求它的⼆阶导数，如果其⼆阶导数在区间上恒⼤于等于0，就称为凸函数。
（向下凸）如果其⼆阶导数在区间上恒⼤于0，就称为严格凸函数。
性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。
如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。
⼀元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调递减。
⼀元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上⽅：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y x)。
特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x)的最⼩值。
⼀元⼆阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的⼆阶导数是⾮负的；这可以⽤来判断某个函数是不是凸函数。
如果它的⼆阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成⽴。
例如，f(x) = x4的⼆阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。
更⼀般地，多元⼆次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的⿊塞矩阵在凸集的内部是正定的。
凸函数的任何极⼩值也是最⼩值。
严格凸函数最多有⼀个最⼩值。
对于凸函数f，⽔平⼦集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。
幂函数的导数与凹凸性
幂函数的导数与凹凸性幂函数是高等数学中常见的一种函数类型。
在本文中，我们将探讨幂函数的导数以及其在凹凸性质方面的特点。
一、幂函数的定义与导数幂函数的一般形式为f(x) = ax^n，其中a为常数，n为实数指数。
对于幂函数，我们有如下定理：定理1：对于幂函数f(x) = ax^n，当n≠0时，其导数为f'(x) =anx^(n-1)。
定理2：对于幂函数f(x) = ax^0，其中a不等于零，其导数为f'(x) = 0。
通过上述定理可以看出，幂函数的导数与其指数n有着密切的关系。
具体而言，指数n越大，导数的幅度变化越大。
二、导数与幂函数的增减性根据定理1，我们可以进一步分析幂函数的增减性质。
当n>0时，幂函数f(x) = ax^n在整个定义域上是递增的；而当n<0时，幂函数在整个定义域上是递减的。
当n=0时，由于f'(x) = 0，幂函数在定义域上是常数函数。
三、导数与幂函数的凹凸性凹凸性是描述函数曲线形状的一个重要概念。
在分析幂函数的凹凸性质时，我们需要借助二阶导数的信息。
定理3：对于幂函数f(x) = ax^n，其二阶导数为f''(x) = an(n-1)x^(n-2)。
根据定理3，我们可以得出以下结论：1. 当n>1时，幂函数f(x)在整个定义域上是凹的。
因为f''(x) = an(n-1)x^(n-2)>0，说明二阶导数恒大于零。
2. 当0<n<1时，幂函数f(x)在整个定义域上是凸的。
因为f''(x) = an(n-1)x^(n-2)<0，说明二阶导数恒小于零。
3. 当n=1时，幂函数f(x)在整个定义域上既不是凹的也不是凸的。
四、举例讨论为了更好地理解幂函数的凹凸性质，我们以两个具体的例子进行讨论。
例1：考虑幂函数f(x) = x^2，其导数为f'(x) = 2x，二阶导数为f''(x) = 2。
如何判断一个函数是否是凸的
如何判断一个函数是否是凸的要判断一个函数是否是凸的，我们需要了解什么是凸函数以及凸函数的性质。
在数学中，一个函数被称为凸函数，如果对于任意两个取值在定义域上的点，连接这两个点的线段上的函数值不大于这两个点各自的函数值之间的线性插值。
简而言之，凸函数的图像在两点之间的部分，在这两点之间的连线上。
下面详细介绍凸函数的定义和相关性质，以及判断函数是否是凸函数的方法。
一、凸函数的定义：给定一个定义域为D的函数f，如果对于D上的任意两个点x1和x2，以及任意实数λ（0≤λ≤1），都满足如下条件：f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则函数f被称为凸函数。
这个定义可以理解为，对于连接函数f上任意两点连线上的点x，函数f(x)的取值都不会超过连接这两个点的线段上函数值的线性插值。
如果函数f满足这个定义，则称f为凸函数。
二、凸函数的性质：1.凸函数的图像上的任意两个点之间的连线都在函数图像的上方或者是函数图像本身。
这可以由凸函数的定义推导得出。
2.凡是非空凸集的非空凸组合，对于凸函数f都有f(凸组合)≤凸组合的f值之和。
三、判断函数是否是凸的方法：1.一阶导数法：对于定义在实数集上的函数f，如果f在定义域上是可导的，那么对于凸函数来说，它的一阶导数是递增的。
我们可以通过计算函数的一阶导数来判断其递增性。
如果一阶导数始终大于等于零，则函数是凸的；如果一阶导数始终大于零，则函数是严格凸的。
2.二阶导数法：对于定义在实数集上的函数f，如果f在定义域上是二阶可导的，并且其二阶导数大于等于零，那么函数f是凸的；如果二阶导数大于零，则函数是严格凸的。
通过计算函数的二阶导数来判断其凸性。
3.利用判别凸函数的性质：通过判断函数图像上的连线是否在函数上方，可以直观地判断函数是否是凸的。
四、凸函数的常见类型：1. 线性函数：f(x) = ax + b，其中a和b为实数。
线性函数是凸函数也是凹函数。
2.常数函数：f(x)=c，其中c为实数。
92. 什么是凸函数？如何判断？
92. 什么是凸函数？如何判断？92、什么是凸函数？如何判断？在数学的广袤世界里，凸函数是一个重要的概念，它在优化理论、经济学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
那么，究竟什么是凸函数呢？又该如何去判断一个函数是否为凸函数呢？简单来说，凸函数是一种具有特殊性质的函数。
想象一下，在函数的图像上，如果连接任意两点的线段都在这两点之间的函数曲线之上，那么这个函数就是凸函数。
更严谨地，对于定义在某个区间上的函数 f(x)，如果对于区间内任意的两个点 x₁和 x₂，以及介于 0 和 1 之间的任意实数λ ，都满足不等式f(λx₁＋（1 λ)x₂) ≤ λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) ，那么这个函数就是凸函数。
为了更直观地理解凸函数，我们来看几个具体的例子。
比如，最简单的凸函数之一是二次函数 f(x) ＝ x²。
在其图像上，很容易发现任意两点之间的线段都在曲线之上。
再比如，函数 f(x) ＝｜x| 也是凸函数。
那如何判断一个给定的函数是否为凸函数呢？这有多种方法。
一种常见的方法是通过函数的二阶导数来判断。
如果函数 f(x) 的二阶导数 f'＇（x) ≥ 0 在其定义域内恒成立，那么这个函数就是凸函数。
以函数 f(x) ＝ x²为例，它的一阶导数为 f'（x) ＝ 2x ，二阶导数为f'＇（x) ＝ 2 ，因为 2 恒大于 0 ，所以 f(x) ＝ x²是凸函数。
另一种方法是利用定义来直接判断。
对于给定的函数，选取定义域内的任意两点，计算出λx₁＋（1 λ)x₂对应的函数值，并与λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) 进行比较。
但这种方法在实际操作中往往比较繁琐，特别是对于复杂的函数。
还有一种方法是通过函数的性质来判断。
例如，如果一个函数是由多个凸函数相加组成的，那么这个函数也是凸函数。
凸函数在实际应用中有着重要的价值。
在优化问题中，凸函数的性质使得我们能够更容易地找到最优解。
幂函数的像及其特点
幂函数的像及其特点幂函数是一类常见的函数类型，在数学中具有重要的应用和特点。
本文将探讨幂函数的像以及其特点，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、幂函数的定义和表示方式幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
在这种函数中，x表示自变量，f(x)表示因变量，a表示系数，b表示指数。
幂函数在数学中有广泛的应用，例如在物理学、经济学和工程学等领域常见。
二、幂函数的像幂函数的像是指函数取值的范围。
由于幂函数没有明确的定义域和值域，因此讨论幂函数的像时需根据具体情况而定。
1. 当指数b为正数时，幂函数的像为正实数集合(0,+∞)。
这是因为当b为正数时，无论自变量x取何值，幂函数永远大于0。
2. 当指数b为负数时，幂函数的像为(0, +∞)的补集U {-∞}。
这是因为当b为负数时，幂函数的取值从正无穷逐渐逼近0，但不包含0本身。
3. 当指数b为0时，幂函数的像只包含一个值1。
这是因为对于幂函数f(x) = ax^0，当x不等于0时，由于任何非零数的0次幂都等于1，因此幂函数的像只能是1。
三、幂函数的特点幂函数有许多重要的特点，下面将介绍其中的几个关键特点。
1. 对比a的正负性对幂函数图像的影响：- 当a为正数时，幂函数呈现增长趋势。
随着x的增大，函数图像逐渐上升。
- 当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
随着x的增大，函数图像逐渐下降。
2. 对比b的大小对幂函数图像的影响：- 当b大于1时，幂函数的增长速度会加快。
随着x的增大，函数图像上升得更快。
- 当0<b<1时，幂函数的增长速度会减慢。
随着x的增大，函数图像上升得更缓慢。
- 当b小于0时，函数图像会呈现下降趋势，且下降速度随着x的增大而减慢。
3. 幂函数的对称性：- 当指数b为偶数时，幂函数关于y轴对称。
即f(-x) = f(x)。
- 当指数b为奇数时，幂函数关于原点对称。
即f(-x) = -f(x)。
幂函数图象规律
..幂函数图象有规律幂函数 y = x n (n ? Q ) 的图象看似复杂，其实很有规律。
假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。
那么幂函数图象有哪些规律呢？1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。
2．n＝1 时，过（0，0）、（1，1）的射线。
3． 0＜ n＜1 时，过（ 0， 0）、（ 1， 1）抛物线型，上凸递增。
4．n＝ O 时，变形为 y＝1（ x≠ 0），平行于 x 轴的射线。
5．n＜ 0 时过（ 1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。
2．第一象限内图象走向之规律（如图1）：x≥1 部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O＜ x＜ 1 部分图象反之，此二部分图象在（ 1， 1）点穿越直线y＝ x 连成一体。
3．各个象限内图象分布之规律：设n =p，p, q互质，p挝Z,q N 。
q1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。
2． n＝奇数 /偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。
3． n＝偶数 /奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。
4． n＝奇数 /奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。
5.当 n<0 时，图像与 x 轴， y 轴没有交点。
知识点：幂函数的图象特征 :（ 1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．先根据函数特征画出第一象限图象；①所有的幂函数在（ 0， +∞）都有定义，并且图象都过点（1， 1）；②0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 [ 0,) 上是增函数．③0 时，幂函数的图象在区间(0, )上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当 x 趋于时，图象在 x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（ 2）如果幂函数是奇函数，在第象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第象限内有其轴（ y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内．（ 3）常见幂函数性质y=x y= x 2y=x 31y=x 1 y=x2定义域值域奇偶性;..单调性定点例 2请把相应的幂函数图象代号填入表格。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
幂函数与凸函数
考察幂函数)R (2∈=x x y 和)0(2
1≥=x x y 的图象，你发现它们有什么不同？ 在图象上任意取两个点),(),(222111y x M y x M 、，连结21M M ，函数)(x f 在区间],[21x x 上的图象与线段21M M 的位置有什么关系？变化21M M 、两点的位置，你能发现什么规律？（几何特征或代数特征）
画图考察，也可以在计算机上作图、探索．
我们发现，函数2
x y =的图象是向下凸的，)(x f 在],[21x x 上的图象总是在线段21M M 的下方；函数2
1x y =的图象是向上凸的，)(x f 在],[21x x 上的图象总是在线段21M M 的上方． 通常我们把图形向下凸的函数称为凸函数，把图形向上凸的函数称为凹函数．
关于函数的凸凹性，也可以用它的代数特征来描述：设线段21M M 所对应的
函数为],[),(21x x x x g y ∈=当],[210x x x ∈时，关于函数2)(x x f =总有)()(00x g x f ≤；关于函数2
1)(x x f =总有)()(00x g x f ≥． 凸（凹）函数是与函数的定义域密切相关的．例如，3x y =在]0,(-∞上为凹函数，在),0[+∞上为凸函数．
可以证明：幂函数),0[,+∞∈=x x y α，当1≥a 时为凸函数，当10≤<α时为凹函数，（自己举几个例验证一下．）
凸函数理论在现代分析和控制论中起着非常重要的作用．。