高数竞赛习题
高等数学竞赛试题含答案
１高等数学竞赛试题一、填空：1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x xx01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = －1 。
2．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上的最大值为332+π 。
3．()=+⎰--22d ex x x x26e 2-- 。
4．由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()230,,处的指向外侧的单位法向量为{}32051,,。
5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----xy z x x y z 所确定，则=z d ()y x x x xy z xy z d d e 1e 1-1+++---- 。
二、选择题：1． 设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ∆的（ A ） （A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小； （C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。
2． 设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ） （A ）f (a ) = 0，且()0='a f ； （B ）f (a )≠0，但()0='a f ； （C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ； （D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。
3． 曲线12+-+=x x x y （ B ）（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。
4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数，且()0≠'x,y y ϕ。
已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ； （B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ； （C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ； （D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。
数学竞赛高数试题及答案
数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。
试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。
试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。
试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。
试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。
对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。
高等数学竞赛试题及参考答案
九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题院系 班级 学号 姓名一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( )。
A. 3 B. 2 C. 1 D. 312 ⎰-=+116dx x sin 1xcos x （ ）A.2π B.π C.1D.03 设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x xx ln lim +∞→B.xxx 2cos lim∞→C.xxx -→1ln lim1D.x e x x ln lim -+∞→5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（ ） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a adx )x (f （ ）A. 0B. 2⎰adx )x (fC.⎰-+a0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--adx )]x (f )x (f [8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)， 有（ ） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x fD ．0)('0>x f9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16!B ．15!C ．14!D ．010=⎰])arctan ([673dx x x dx d （ ） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ .2 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+000)1ln(2x x xx ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n31sin n 1lim22n ∞→= ___________.5 设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x11(f x lim x =___________.6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 .7 dx xx x ⎰++221)(arctan = .8 曲线y =1222-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 .三、计算题 （每题8分，共16分） 1. 计算⎰10dx ex2. 设f(x)的一个原函数为x e x 2，计算dx x x f)(/⎰四、解答题（第1题10分，第2题12分）1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）.求D 的面积.2. 计算定积分⎰-+12.)2()1ln(dx x x九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( A )。
高数竞赛练习
高数竞赛练习试卷（一）1. 求极限1101lim21arctantt t te te t π→+-。
2. 求极限0tan(sin )sin(tan )lim tan sin t x x x x →--。
3. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0f f f '''>==，t 是曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在x 轴的截距，求0()lim()x xf t tf x →。
4. 设()f x 在[0,)+∞二阶可导，且(0)1,(0)1,()(),(0f f f x f x x '''=>>>.求证：()x f x e >。
5. 已知()234111ydx ydx y dx y dxdx y -+++=--⎰⎰⎰⎰⎰，求()x f y =的表达式。
6. 设tan 20()()x F x f tx dt=⎰，其中()f x 为连续函数，求()F x '，并讨论()F x '的连续性。
7. 计算ln(sin )x x dxπ⎰。
8. 设()f x连续可导，证明：[]10(1)(0)x dx f f π'=-⎰⎰。
9. 设非负函数()f x 在[]0,1上连续，且单调上升，[]0,1,()t y f x ∈=与直线(1)y f =及x t =围成图形的面积为1()S t ，()y f x =与直线(0)y f =及x t =围成图形的面积为2()S t .⑴ 证明：存在唯一的(0,1)t ∈,使得12()()S t S t =.⑵ t 取何值时两部分面积之和取最小值？ 10.求函数xyz ω=+()1,0,1P -处沿直线11:111x y z L --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线l 方向的方向导数。
11.已知01n <<，证明级数2211nn m a m n ∞∞==+∑∑收敛.12. 计算曲线积分[][]()cos ()sin ACBf y x y dx f y x dyππ'-+-⎰，其中ACB 为连结点(,2)A π与点(3,4)B π的线段AB 之下方的任意路线，且该路线与线段AB 所围图形的面积为1，()f x 是连续可导的函数.13. 设(),()f x g x 可微，且()()z yf xy dx xg xy dy =+. ⑴ 若存在u ，使du z =，求()()f x g x -；⑵ 若()()f x F x '=，求u ，使z du =.14. 设()f u 在[)1,+∞上有连续的二阶导数，(1)1f =-，3(1)2f '=，且函数()()222222x y z f x y z ω=++++满足：2222220x y z ωωω∂∂∂++=∂∂∂，求()f u 在[)1,+∞上的最小值。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、选择题1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（ B ）(A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a ρρρρρρ+-=+=2,，则以向量a ϖ、b ϖ为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰Ñ（k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰Ñ（ D ）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn xa 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n nnx n a 在0=x 处（ D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。
高等数学竞赛最新试题及答案
高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、选择题1.设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （C ）(A)存在且等于零;(B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在；(D)一定不存在.2.设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（A ）(A)当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数；(B)当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数；(C)当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数；(D)当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数.3.设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（B ）(A)0=I ;(B)0>I ;(C)0<I ;(D)不确定.4.设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，kx x F 与)('是同阶无穷小，则=k （B ）(A)4；(B)3；(C)2；(D)1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（D）(A)不连续；(B)连续但偏导数不存在；(C)可微；(D)连续且偏导数存在但不可微.6.设k j b j i a+-=+=2,，则以向量a、b为边的平行四边形的对角线的长度为（A ）(A)11,3；(B)3,11；(C)10,3；(D)11,2.7.设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰ （k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰（D）(A)等于k ；(B)等于k -；(C)大于k ；(D)不一定等于k ，与L 2的形状有关.8.设∑∞=0n nn x a 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n n nx n a 在0=x 处（D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。
高数竞赛题
1、设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = 0，f(b) = 1。
若存在ξ∈ (a,b) 使得 f'(ξ) = 2，则以下哪个结论必然成立？A. ∀x ∈ (a, b), f(x) ≤ 2x - aB. ∃x₁, x₂∈ (a, b), f(x₁) < f(x₂)C. ∀x ∈ (a, ξ), f(x) < (x - a)/(b - a)D. ∃x₀∈ (a, b), f(x₀) = 1/2 且 f'(x₀) = 0（答案）2、设数列 {a_n} 满足 a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 2/a_n，则以下关于数列 {a_n} 的说法正确的是？A. {a_n} 是递减数列B. 对任意正整数 n，有 a_n < n + 1C. 存在正整数 k，使得 a_k < k 但 a_{k+1} > k + 1D. 对任意正整数 n，有 a_n ≥√(2n + 1)（答案）3、设函数 f(x, y) = x2 + y2 - 2x - 2y + 1，则 f(x, y) 在区域 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2} 上的最小值为？A. -1B. 0C. 1 - √2（答案）D. 2 - 2√24、设向量 a = (1, 2)，b = (2, 1)，c = (1, -2)，若 (a + λb) ⊥ c，则实数λ的值为？A. -1/2B. 1/2（答案）C. -2D. 25、设函数 f(x) = x3 - 3x2 + 2，则 f(x) 的极值点个数为？A. 0B. 1C. 2（答案）D. 36、设矩阵 A = [1 2; 3 4]，B = [2 0; 1 1]，则 AB - BA =？A. [0 -2; 2 0]（答案）B. [2 2; -2 -2]C. [0 2; -2 0]D. [-1 -2; 3 4]7、设函数 f(x) = ex - x - 1，则不等式 ex > x2 + x + 1 的解集为？A. (-∞, 0)B. (0, +∞)（答案）C. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. (-1, 0) ∪ (0, 1)8、设函数 f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)，其中 a, b, c 是互不相等的实数。
高数竞赛试题集
高等数学竞赛一、填空题 若 lim sin x (cosx -b) =5，则 a = i 0e X -a 设 f(X)= lim (n 2 "x,贝U f (x)的间断点为 x= ______ . nx +1 曲线y=lnx 上与直线X+y=1垂直的切线方程为 ________________________________ . 已知 f (e X ) =xe 」，且 f(1)= 0,贝u f (X)= ___________ . l x =t 3+3t +1设函数y(x)由参数方程彳 3确定，则曲线y = y(x)向上凸的x 取值[y =t -3t +11. 2.3. 4.5.范围为6.i 2x 设y =arctane X - InV e 2x17.若 X T 0时，(1 -ax2)4 -1xe x 2设 f (x) - {-1与xsinx 是等价无穷小，则a=1 < —2，则2B f(x —1)dx =29. 由定积分的定义知，和式极限lim ^n n 2+k 210. '1 8 dx X J X 2-1 二、单项选 择题 X x -— X T 0 时的无穷小量 a = Lcost 2dt,P = T tan 寸tdt,Y = 11 .把是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【】(A)a ,P ,Y . (B) a ,Y , P . (C) P^J . 12•设函数f(x)连续，且f(0) :>0,则存在6 >0，使得 【 (A) f(x)在(0, 6)内单调增加. (C )对任意的 X 忘(0, 5)有 f(x)>f(0).13 .设 f(X)=|x(1-X)| ,贝U 【<x3 [si nt dt ,使排在后面的】(B ) f(x)在(-■& ,0)内单调减少.(D)对任 意的 X 亡(一6,0)有f(x)>f(0). (A ) (B) (C) (D ) =0是f (X)的极值点，但(0, 0)不是曲线y = f (X)的拐点. =0不是f (X)的极值点，但(0, 0)是曲线y = f(x)的拐点. =0是f (X)的极值点，且(0, 0)是曲 =0不是f (X)的极值点，(0, 0)也不 线y = 是曲线 f ( x)的拐点. y = f (x)的拐点. 14 . lim In 『(1+丄)2(1+2)2|II (1+卫)2等于 ¥ n n n 血X2 n2 (B) Zjxdx . [(c)2J In(1+x)dx .2 2(D)J In2(1 + x)dx15 .函数 (A)(一、| x |sin(x -2)亠 f(X)= --- --- 一在下列哪个区X (X -1)(X -2)21 , 0). (B ) (0 , 1).间内有界.【(C) (1 ,2). (D) (2,3).16.设 f(X)在(+ )内有定义，且lim f(x)=a ，ggJGw 0，则【】高等数学竞赛试卷Y ［ 0 ,x=0 (B) X = 0必是g(x)的第二类间断点. (D) g(x)在点X = 0处的连续性与a 的取值有关. 】 (A) X = 0必是 (C) X = 0必是 17 .设f '(X)在［a , b ］上连续，且f "(a) >0, f'(b) v0，则下列结论中错误的是【 X 0 € (a, b)，X 0 (a,b)， X 0 丘(a,b)， X 0 亡(a,b)，g(x)的第一类间断点. g(x)的连续点. (A ) (B ) (C )(D ) 18 .设 (A) (B) (C) (D) 至少存在一点 至少存在一点 至少存在一点至少存在一点 使得 使得 使得 使得 f (X 0) > f (a). f (X 0)> f (b). f'(X 0)=O . f (X 0)=0. ,1, X >0 f(x) =40,x =0，F(x) ［-1, x <0 点不连续.)内连续，但在X = 0点不可导.)内可导，且满足 F(x) = f(x).)内可导，但不一定满足F'(X)= f (x). F(x)在 X = 0 F(x)在( F(x)在(F(x)在( 三、解答题 1 r< 2 19.求极限ljm —(一 20 •设函数f (X)在(—壬 +再上有定义，在区间［0, 2］上,f(X)= x(x — 4),若对任意的X 都满足 f(X)=kf(X +2),其中k 为常数.(I )写出f (X)在［—2, 0］上的表达式;(n )问k 为何值时，f(x)在x = 0处可导.21 .设f ( X )，g (X )均在［a, b :上连续，证明柯西不等式 2 + COSX f 「b (x)dx h a 2 2 2 4 22 .设 ecacbce ,证明 ln b-ln a 》一f(b-a). e f (x)g(x)dx i 兰 if f 2 g 2(x)dx j X 丄 — e 中e 23曲线y =— ---- --- 与直线x=0, x = t(t> 0)及 y = 0围成一曲 边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其 体积为V(t),侧面积为S(t),在x=t 处的底面积为F(t).( I )求 V(t) X X24 .设 f (X) , g(x)在［a , b ］上连续，且满足 J f (t)dt > Jg(t)dt ，x a a 的值;(n ) lim -S(^). t -就 F(t) bb［a ,b)，J a f(t)dt = J a g(t)dt .证明：［b xf(x)dx < f bxg(x)dx . •a 'a25. 速并停下.现有一质量为9000kg 飞机的速度成正比(比例系数为 表示千米/小时.尾部张开 减速伞，以增大阻 力，使飞机迅速减 经测试，减速伞打开后， 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的 瞬间，飞机的飞机，着陆时的水平 速度为 700km/h. k=6.0x106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？飞机所受的总阻力与 注 kg 表示 千克，km/h 一、单项选择题 2 X -ax — b 尸 0 1、若 ％+1 (A ) a =1, b =1(B) a=T, b =1 (C) a =1, b =—1 (D)a = —1, b=—1F（x ）2、设 F （x ）詔 x ，［f（0）,（A ） 连续点 （B ）3、设常数k A O ，函数 X 工0 c，其中f （x ）在X =0处可导且f '（0） H 0X ：= 0 第一类间断点（C ） 第二类间断点 （D ）以上都不X f （X ）= In X —一 +k 在（0, xc ）内零点的个数为e f (0) =0，贝U X = 0 是 F(X)的 (C) 4、若在［0,1］上有 f ( 0 > g (0=) 0, 4 g) = ab)且 f''X 另，0 g”(x)c0 ,I1 =f （X ）dx ，I 2 5、 1 = J o g(x)dx ，I 3 I 1 > l 2> 图形0<a<x<b, 0<y<f(x 绕y 轴旋转所成 的旋转体 bb(A) 由平面 (A) 6、 7、1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、1=f ax dx 的大小关系为 j 0 ------------------I 3 ( B ) I 2 > I 3 二 I 1 ( C )V =2兀 J xf(Mdx( B ) V =2和 f ( x) d X C )VP(1,3,4)关于平面 3x + y —2z =0的对称点是_( A ) (5, —1,0) 设D 为 X 2 + y 2<R 2，D 1 是 D 位于第一象限的部分，f (X)连续， 2(A)8JJf(X 2)dcrD 1(B ) 0( C )a 为常数，则级数二、填空题3 l ：m tan 2x （1 hm —4—（1X —30 X y r sin(na) 1 1n 2"T n J13 — 12 — 11 的体积为 ___________ b2=兀 Ja f (x)dX (B ) (5,1,0) 则 JJ f (x 2D R R 2Jdxjj(x+ y 2)dy(D)bV " Ja f (x)dx (C ) (-5,-1,0) ( D ) (-5,1,0) + y 2)dcr = _______ (D ) (D )4JJf(x 2 D 1+ y 2)db绝对收敛（B ）发散C ）条件收敛（D ）收敛性与a 的取值有关个。
高等数学竞赛练习题(含答案)
高等数学竞赛练习题1、单项选择题(1)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减，则2(4)f x +的单调递减区间是( C ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在(2)设函数(),0,x a x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数,10<<a ，则 ( B )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 (3)设函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=和()()()x g x f x G -=在0x 处 ( D )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数(4) 若ln x 是()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）A. ln axB. 1ln ax aC. ln x a +D. 21(ln )2x(5) 设()f x 连续，则[]sin ()()aax f x f x dx -+-⎰等于 ( A )A.0B.aC.a -D. 2a（6） 下列命题中正确的命题有几个？ （ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. （7）. 设1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是 （ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x .. （8） 设ξ为()arctan f x x=在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 22limb b ξ→=（ C ）(A) 1； (B) 12； (C) 13； (D) 14.（9） 设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()xF x f x t dt=-⎰，1() () G x x g xt dt =⎰, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的 （ D ）(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小； (D) 等价无穷小.（10） 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足 220(,)(0,0)lim31sin cos x y f x y f x x y y→→-=-+--，则),(y x f 在点)0,0(处 （ A ）(A) 取极大值；(B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. （11）设f 有连续的一阶导数，则 (1,2)(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=⎰（ B ）(A) 102() d f x x⎰； (B) 3() d f x x ⎰； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 .（12） 设任意项级数 1n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1n n b ∞=∑, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为1n n c ∞=∑，则1nn b ∞=∑与1n n c ∞=∑（ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.（13）设0()f x '存在，则下列四个极限中等于0()f x '的是（ B ） （A ）000()()lim x f x x f x x →-- ； （B ）000()()lim h f x f x h h →--；（C ）000()()limx x f x f x x x →--； （D ）000()()lim h f x h f x h h →+--.（14）0()0f x ''=是曲线()y f x =有拐点00(,())x f x 的（ D ）（A ）充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；（C ）充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.（15）设2222{(,,),0},0x y z x y z R z a Ω=++≤≥≠，则I axdV Ω==⎰⎰⎰（ C ）( A )0I >； ( B )0I <； ( C )0I =； ( D ) I 的符号与a 有关.2、求极限201sin lim ln x xx x →答案： 22001sin 1sin limln lim ln 1(1)x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-3、设220()()()xF x x t f t dt '=-⎰，若0x →时，()F x '与2x 为等价无穷小，求(0)f '答案：220()()()xxF x xf t dt t f t dt ''=-⎰⎰，220()2()()()2()x x F x x f t dt x f x x f x x f t dt '''''=+-=⎰⎰， 由020002()()1limlim lim 2()2(0)xx x x f t dtF x f x f xx→→→''''====⎰，解得1(0)2f '=4、求220081(tan )dxx π+⎰ 答案：令2x t π=-，则2200801tan dx x π+⎰2008022008200802tan 1cot 1tan dt tdt t tππ-==++⎰⎰ 22200820080021tan 21tan dt dx t xππππ=-=-++⎰⎰所以220081tan 4dx x ππ=+⎰ 5、设函数()()10f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值和单调区间. 答案： 11220()()()()()xxxxf x t x t dt t t x dt tx t dt t tx dt =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰31323x x =-+ 21()2f x x '=-,令()0f x '=，得2x =.由()20(01)f x x x ''=><<知1(263f =-+为极小值，由21()2f x x '=-知，()f x的单调减区间是(0,2，单调增区间是 6、说明级数nn ∞=(1)(1)](1)1(1)11111n n n n n n n ----===----，而交错级数2(1)1nn ∞=-∑收敛，调和级数211n n ∞=-∑发散，故原级数发散 7、已知20()()8f x f x dx '=⎰，且(0)0f =，求2()f x dx ⎰及()f x答案：已知2()f x dx ⎰为一常数，由28()()f x f x dx'=⎰，积分得28()()f x x f x dx=⎰， 再积分得2()4f x dx =±⎰，所以()2f x x =±8、求内接于椭圆12222=+by a x ，而面积最大的矩形的边长答案：设内接矩形的边长分别为2,2u v ，则(,)u v 在椭圆上，所以22221u v a b+=，矩形面积()44S u uv u u a ==<<，222()S u '==，令()0S u '=，得唯一驻点u =，从而v =，由实际问题知，当u =时，有最大面积2S ab =，这时矩形边长分别为a 29、设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，求证在(0,1)内至少存在一点c ，使()0f c '=答案：由定积分中值定理得1232(0)3()3()(1)()3f f x dx f f ξξ==-=⎰，其中213ξ≤≤， 在[0,]ξ上应用罗尔定理，至少存在一点(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使()0f c '=10、设{}n a 是单调不减的数列，令12nn a a a b n+++=，若lim n n b a →∞=，试证lim n n a a →∞=.若去掉“单调不减”这个条件，试问这个结论是否成立？（要求说明理由）证：因对任意1,n n n a a +≤，故12n nn n a a a na b a n n+++=≤= .（夹逼）固定n ，并令m n >，则1111nk n mk m k k n k k n a m n b a a a m m m ===+-⎛⎫=+≥+ ⎪⎝⎭∑∑∑ 令m →∞，得lim m n m a b a →∞=≥，从而n n a a b ≥≥，令n →∞，得lim n n a a →∞=若去掉“单调不减”这个条件，则结论不一定成立.例如，取1(1),1,2,n n a n -=-= ，则12lim lim 0nn n n a a a b n→∞→∞+++== ，但数列{}n a 发散. 11、设在[0,](0)a a >上|()|f x M ''≤，且()f x 在(0,)a 内取得最大值，试证|(0)||()|f f a Ma ''+≤证：因()f x 在(0,)a 内取得最大值，由费马定理得存在(0,)b a ∈使()0f b '=.对()f x '使用拉格朗日中值定理得，111(0)()()(),(0,)f f b f b bf b ξξξ''''''=-=-∈222()()()()()(),(,)f a f b f a b a b f b a ξξξ''''''=+-=-∈ 从而(0)()()f f a Mb M a b Ma ''+≤+-=.12、设()f x 在[0,]n 上连续（n 为自然数，2n ≥），(0)()f f n =，试证存在,1[0,]n ξξ+∈，使()(1)f f ξξ=+证：令()(1)()g x f x f x =+-，则()g x 在[0,1]n -上连续 令[0,1][0,1]min (),max ()x n x n m g x M g x ∈-∈-==，则11(),0,1,2,,1,()n i m g i M i n m g i M n -=≤≤=-≤≤∑ ，1()()(0)0n i g i f n f -==-=∑，对函数()g x 应用介值定理得，存在[0,1]n ξ∈-，使11()()0n i g g i n ξ-===∑，即存在,1[0,]n ξξ+∈，使()(1)f f ξξ=+.13、设函数()f x 在[,]a b 上可积，且()0baf x dx >⎰，试证存在区间[,][,]a b αβ⊂使()0,[,]f x x αβ>∈.证：反证法. 若不然，则对于[,]a b 的任何子区间[,]αβ上都有点ξ，使()0f ξ≤，从而对于[,]a b 的任何分划T ：012n a x x x x b =<<<<= ，在每个子区间1[,]i i x x -上都有点i ξ，使()0i f ξ≤.那么由()f x 在[,]a b 上的可积性知，max 01()lim()0i nbiiax i f x dx f xξ∆→==∆≤∑⎰，矛盾.14、设()f x 在点0x =二阶可导，且0()lim 11cos x f x x→=-，求(0),(0)f f '和(0)f ''的值解：0()lim11cos x f x x→=- 0(0)lim ()0x f f x →∴==又00()()1lim lim 1cos sin x x f x f x x x→→'==- 0(0)lim ()0x f f x →''∴==000()(0)()()sin (0)lim lim lim .10sin x x x f x f f x f x xf x x x x→→→''''-''====-15、设(,)()z f x y x y g x ky =-+++，,f g 具有二阶连续偏导数，且0g ''≠，如果222222224z z z f x x y y ∂∂∂''++=∂∂∂∂，求常数k 的值 解：设,,x y u x y x ky w ν-=+=+=，则1212,z zf fg f f kg x y ∂∂''''''=++=-++∂∂ 2111221222zf f f fg x∂''''''''''=++++∂ 211122122zf f f f kg x y∂''''''''''=-+-++∂∂ 22111221222z f f f f k g y∂''''''''''=--++∂ ∴由222222224z z zf x x y y ∂∂∂''++=∂∂∂∂得2(1)0kg ''+=，故1k =-.16、设()f x 在[0,1]上可积，证明22()()01f x f y x y e dxdy π-≤+≤≥⎰⎰证： 2112!xe e x x x ξ=++≥+ ()()1()()f x f y e f x f y -∴≥+-[]2222()()01011()()f x f y x y x y e dxdy f x f y dxdy -≤+≤≤+≤≥+-⎰⎰⎰⎰ 22220101()()x y x y f x dxdy f y dxdy ππ≤+≤≤+≤=+-=⎰⎰⎰⎰17、设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，令21[()][()]L xI yf xy dx xf xy dy y y=++-⎰.要求：（1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当ab cd =时，求I 的值. 证明(1) 因为211[()]()()yf xy f xy xyf xy y y y ∂'+=-+∂2[()]xxf xy x y∂=-∂在上半平面内处处成立，所以曲线积分I 与上半平面内路径L 无关.解(2) 由于曲线积分I 与路径无关，所以可取积分路径L 为由点(,)a b 到点(,)c b ，再到点(,)c d 的折线段，从而2221[1()][()1]cd ab c I b f bx dx y f cy dyby =++-⎰⎰()()c d a b c a c cbf bx dx cf cy dy b d b -=+++-⎰⎰()()bc cd ab bc c a f t dt f t dt d b =-++⎰⎰ ()cd abc af t dt d b =-+⎰所以，当ab cd =时，c aI d b=-.18、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x ax x aF x f t t aG x f t t a +-==⎰⎰, 试求下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim ()()a F x f x →==； （4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m、,求证：()()F x f x M m -≤-.解（1）00111()()[()()][()()]222x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a ++--==-=+--⎰⎰⎰ （2）11()['()'()][()()]22F x G x a G x a f x a f x a a a'=+--=+--（3）000()()[()()][()()]lim ()lim lim22a a a G x a G x a G x a G x G x G x a F x a a→→→+--+-+--== 1['()'()]'()()2G x G x G x f x =+== （4）11|()()||()()||[()()]()()|22x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a aξ+--=-=+---⎰|()()|()f f x M m x a x a ξξ=-≤--≤≤+19、求曲线 ln ln 1x y += 所围成的平面图形的面积.[解1]去掉绝对值曲线为：,11,1,101,0111,0101xy e x y y x x y ey ex x y xy x y e =≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且11111()()e ee x A ex dx dx e ex x e e =-+-=-⎰⎰ [解2]令ln ,ln ,,,:||||1,uv x u y v x e y e D u v '====+≤则00uuv u v v uv x x e J e e y y e===⋅. ||DD dxdy J dudv '==⎰⎰⎰⎰u vD e e dudv '⋅=⎰⎰01111111u uu v u v u u e du e dv e du e dv e e+-----+=-⎰⎰⎰⎰. 20、设曲面S 为曲线 e 0yz x ⎧=⎨=⎩ (12y ≤≤) 绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分 24 d d 2 d d (1) d d SI zx y z z z x z x y =-+-⎰⎰[解1]S的方程为22(14)z x y =≤+≤补两平面2222212:(1,):(4,)S z e x y S z e x y =+≤=+≤下侧上侧122S S S VzdV ++=⎰⎰⎰⎰⎰ 2()2e eD z zdz d σ=⎰⎰⎰224252ln 22e ez zdz e e πππ==-⎰1222242(1)(1)(1)(1)xyS D zxdydz zdzdx z dxdy e dxdy e eππ-+-=--=--⋅=-⎰⎰⎰⎰；2121244225(1)4(1);(1)4(1)22xyS D S S S S S e dxdy e I e e e e πππππ44++=-=-=--=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 42332e e πππ13=--2 [解2]2(4,2,1)(,,1)x y DI zx z z z z dxdy =--⋅-⎰⎰222220142221(4cos 2sin 1)(41)1333(:14)22DD r edxdy dxdyd e r rdr e e D x y πθθθππππ⎡⎤⎥=+-⎥⎦=-+--=--≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰21、设幂级数 0n n n a x ∞=∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==; （1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值..解（1）令101(),()nn n n n n S x a x S x na x ∞∞-=='==∑∑则22222()(1)()n n n n n n n n n S x n n a x a x a x S x ∞∞∞---===''=-===∑∑∑，()()0S x S x ''-=1201()(0)4,(0)1x x S x c e c e S a S a -'=+====由，求得125353,,()2222x x c c S x e e -===+（2）由000531313()0ln ,()0,()(ln )222525x x S x e e x S x S x S -'''=-==>∴得又为极小值.22、设函数),(y x f 可微，(,), 0,12ff x y f x π∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭, 且满足()c o t y 1 ( 0, )lim e 0,nn f y n f y →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求 (,)f x y .解 1(0,)(0,)lim (0,)11(0,)(0,)(0,)lim lim 1(0,)(0,)n nnf y f y n f y nn n f y f y f y n n e f y f y →∞+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0,)(0,)y f y f y e = (0,)ln (0,)cot (0,)y f y d f y y f y dy==，对y 积分得ln (0,)lnsin ln (0,)sin f y y c f y c y =+= 代入(0,)112f c π==得，(0,)sin ff y y f x∂==-∂又已知(,)()x f x y c y e -⇒=，(0,)sin f y y = ，()sin (,)sin .x c y y f x y e y -∴==故23、如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。
答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。
答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。
解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。
所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。
2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。
解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。
令f’(x) = 0，可以解得x = 1。
再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。
所以x = 1是f(x)的极小值点。
代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。
所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。
四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。
高数竞赛练习试卷
x = t 围成图形的面积为 S1 ( t ) ， y = f ( x) 与直线 y = f (0) 及 x = t 围成图形的面积为 S2 (t ) .
⑴ 证明：存在唯一的 t ∈ (0,1) ,使得 S1 ( t ) = S2 (t ) . ⑵ t 取何值时两部分面积之和取最小值？ 10. 求函数 ω = xyz +
D1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积.
八. 设 shx ⋅ shy = 1，计算积分
∞
∫
+∞ 0
ydx .
九. 求函数 f ( x ) =
∑
n =1
nx 2e − nx 的定义域，并证明 f ( x ) 在定义域内有界.
十. 设 L : x = x( t ), y = y( t ) （ 0 < t < 1 ）是区域 D 内的光滑曲线， f ( x , y ) 在 D 内有连续 的偏导数，若 P0 ∈ L 是 向导数为零. 十一. 以 yoz 坐标上的平面曲线段 y = f ( z ) （ 0 ≤ z ≤ h ）绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和
。 。
8、设 Ω 是由 z
= xy ， x + y + z = 1与 z = 0 围成的区域，则 ∫∫∫ xdV =
Ω
二、设函数 f ( x ) 满足 f (1) = 1 ，且对 x ≥ 1 时，有 f ′( x ) =
1 ， x + f 2 ( x)
2
证明： （1） lim f ( x) 存在， （2） lim f ( x) ≤ 1 +
Σ
3 4 Rx − x 2 − y 2 （ R ≥ 1 ）在柱面 ( x − ) 2 + y 2 = 1 之内部分的上侧。 2
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、计算题 1．求9解 原积分=55551155==3522(1)15x c + 2．求1120(1)(12)limsin xxx x x x→+-+解 由洛比塔法则，原极限=112220(1)ln(1)12(12)ln(12)lim (1)(12)(1)2(12)x xx x x x x x x x x x x x x →⎡⎤-++-+++-+⎢⎥++⎣⎦而20(1)ln(1)1lim(1)2x x x x x x →-++=-+2012(12)ln(12)lim 12(12)x x x x x x →-++=-+ 2e∴原极限=3．求p 的值，使22007() ()0bx p ax p e dx ++=⎰解：当取p 满足()a p b p +=-+即2b ap +=-时 积分2222007()2007200722()0b a bb px p x x b a aa px p edx xe dx x e dx -++-+-+===⎰⎰⎰4．设(,)x ∀∈-∞+∞，''()0f x ≥，且20()1x f x e -≤≤-，求()f x 的表达式 解：由条件'()f x 单调增。
且(0)0f =易知'()0f x ≡，若不然，不妨设0x ∃ 0'()0f x >则当0x x >时0000()()'()'()()'()x xx x f x f x f x dx f x dx x x f x -=≥=-→+∞⎰⎰矛盾'()0f x ∴≤ 同理可让'()0'()0f x f x ≥⇒≡()(0)0f x f ∴≡='A'B 5．计算2()sx y dS+⎰⎰，其中S为圆柱面224x y+=，（0≤z≤1）解：S圆柱面关于y对称，且y是奇函数∴原积分=22221()2482s s sx ds y ds x y dsππ==+=⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、设1211211212345632313nun n n=+-++-+++---111123nvn n n=+++++求（1）1010uv（2）limnnu→∞解：111121113()(32313323133n nnk kUk k k k k k k===+-=++-----∑∑111111111()32313123n nn k kVk k k k n n n===++-=+++=--++∑∑（1）10101UV=（2）22111111n nnk kUkn k nn====++∑∑21lim ln31nxU dxx→∞∴==+⎰三、有一张边长为4π的正方形纸（如图），C、D分别为'AA、'BB的中点，E为'DB的中点，现将纸卷成圆柱形，使A与'A重合，B与'B重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点O重合，D落在Y轴正向上，此时，求：（1）通过C，E两点的直线绕Z轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所围成的立体体积。
高等数学竞赛选拔考核试卷
A.定积分的换元法可以简化被积函数
B.定积分的换元法需要引入雅可比行列式
C.定积分的换元法只能用于线性换元
D.定积分的换元法可以推广到多变量函数的积分
17.关于向量场的散度和旋度，以下说法正确的是（）
A.散度描述了向量场源和汇的性质
B.旋度描述了向量场的旋转性质
A. f(x)在[0,1]上的平均值
B. f(x)在[0,1]上的定积分
C. f(x)在[0,1]上的变上限积分
D. f(x)在[0,1]上的原函数
17.三阶行列式的值为0，则（）
A.行列式的三行（或三列）线性相关
B.行列式的三行（或三列）线性无关
C.行列式至少有一行（或一列）为零向量
D.行列式的元素至少有一个为零
A. 1/3
B. 1/6
C. 1/12
D. 1/24
5.设f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，则f(x)的极大值为（）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
6.矩阵A的行列式为0，则（）
A. A一定是奇异矩阵
B. A一定可逆
C. A的列向量线性无关
D. A的行向量线性相关
7.若f(x) = (sin x)/x，则f'(π/2)等于（）
A.必有极大值
B.必有极小值
C.必有拐点
D.以上都不一定
3.若级数∑(n=1 to ∞) a_n的收敛半径为R，则级数∑(n=1 to ∞) a_n^2的收敛半径是（）
A. R
B. R/2
C. 2R
D. √R
4.二重积分∬_D f(x,y) dσ中，区域D为y=x^2，x属于[0,1]，则该二重积分的值为（）
高等数学竞赛练习题(多元函数微分)
≤
1，证
明对一切a与
b(a
<
b)有
b a
f (x)dx
≤
b−a 2
+
1.
24、设D : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.
(1) 求B = |xy − 1|dxdy;
D
(2) 设 f (x, y)在D上连续，且 f (x, y)dxdy = 0, xy f (x, y)dxdy = 1，试证：存
为n次齐次函数，求证： f (x, y, z)是n次齐次函数的充要条件是 x fx(x, y, z)+y fy (x, y, z)+
z fz (x, y, z) = n f (x, y, z).
3、设有方程
x2 a2+u
+
y2 b2+u
+
z2 c2+u
=
1,
试证：|grad
u|2
=
2A
·
grad
u,
有 f (x, y)dxdy = 0, 证明在D上 f (x, y) ≡ 0.
D(a,b)
2
D
D
在(ξ, η)
∈
D,
使
| f (ξ, η)|
≥
1 B
.
25、 设 函 数 f (x, y)在D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1上 连 续 ， 对 任 意(a, b) ∈ D，
设D(a, b)是 以(a, b)为 中 心 含 于D 内 且 各 边 与D的 边 平 行 的 最 大 正 方 形 ， 若 总
2
d xdy.
1
14、利用函数组u
=
y2 x
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高数竞赛习题例1（1）ln ln ln (1ln )(1ln )(ln )x x x x x x xx x x dx e x dx e d x x eC x C +=+==+=+⎰⎰⎰（2）dx xx x dx x x x ⎰⎰+++=+++22221)1ln(1)1ln( )1l n ()1l n (22⎰++++=x x d x x()C x x +++=232)1ln(32（3）2ln tan ln tan 11ln tan ln tan (ln tan )sin 22sin cos 24x x dx dx xd x x C x x x ===+⎰⎰⎰ （4）⎰⎰⎰+=+=+=+C x x x d dx x x x dx x x )arctan(cos )(cos 1cos )(cos 1cos sin 2cos 12sin 2222224 （5）C ex d edx exx x x x +=+=++++⎰⎰2221211211例2、（1）（06年真题） dx x x x x ⎰-++)1(1884解：（法一）4881(1)x x dx x x ++=-⎰dx x x x dx x x x ⎰⎰-+-+)1()1(18884 7447484811(1)1(1)1x x x x dx dx dx dx x x x x x x -+=+=+----⎰⎰⎰⎰3748111x x dx dx dx x x x =++--⎰⎰⎰ 4811ln ln 1ln 148x x x C =----+ （法二） dx x x x x x dx x x x x ⎰⎰-++-=-++)1(21)1(1884888437881211x x dx dx dx x x x =++--⎰⎰⎰ 而 dx x x dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰⎰++-=+-=-434344383121121)1)(1(1 4444441(1)1(1)11ln ||818181d x d x x C x x x-++=-+=+-+-⎰⎰从而 4848841111ln ||ln ||ln |1|(1)814x x x dx x x C x x x +++=+--+--⎰ 4811ln ln 1ln 148x x x C =----+ （2）22(1)ln(1)111x x x x x x x xx x x e e e e d e dx dx e dx e e C e e e+-+==-=-+++++⎰⎰⎰⎰ （3）（07年的真题）求⎰+dx x x 159解：⎰+dx x x 1593555552112(1)5515x C ===+ （4）（资料中的发挥题）求x dx x x ⋅⎰4ln 2lnx d x x x d x x x dx x x ln 4ln ln 2ln ln ln 4ln 2ln 4ln 2ln ⎰⎰⎰++==⋅ln ln 2ln 4ln 4ln ln ln 4x d x x ++-==+⎰11ln ln (ln ln 4)2ln ln 4d x d x x +⋅++⎰⎰ ln ln 2ln |ln 4|x x C =-⋅+例3、224222111()11)111()2d x x x x dx dx x C x x x x x x +-+===-+++-+⎰⎰⎰224222111()1111()2d x x x x dx dx C x x x x x -+-===++++-⎰⎰⎰ 2224441111211x x x d x d x d xx x x ⎛⎫+-=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰1)x C x =-++2244411111211x x dx dx dx x x x ⎛⎫+-=- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰1)x C x =-+（03年 真题）2224440001111211x x x dx dx dx x x x +∞+∞+∞⎛⎫+-=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰01)4x x +∞+∞=-=例4 （1）211sin 1sin tan sec 1sin (1sin )(1sin )cos x xdx dx dx x x C x x x x --===-+++-⎰⎰⎰（类似地，求⎰⎰⎰--+dx x dx x dx x sin 11,cos 11,cos 11等）（2）⎰⎰⎰+=++=++)1()()1()1()1(1x xx x x x x xe xe xe d dx xe xe e x dx xe x x ()()ln 11x x xxx x d xe d xe xe C xe xe xe =-=+++⎰⎰ （4）C x x dx x xdx x x +-+=--=+-⎰⎰221arcsin 1111*例5 若01()(0,0),st xI f t dx s t s s=+>>⎰则I 之值（ C ） （A ）依赖于x t s ,, （B ）依赖于t s , （C ）只依赖于t （D ）依赖于x s ,解： 令s x t u +=，则x su st =-，201()()st t t xI f t dx f u du s s=+=⎰⎰例5（1）（资料中的发挥题）计算120ln(1)1x dx x ++⎰ 解：换元t x tan =， 则 14422000ln(1)ln(1tan )tan ln tan 1sec x t dx d t tdt x tππ++==+⎰⎰⎰ 再令u t -=4π，有444001tan ln(1tan )ln(1tan())ln(1)41tan ut dt u du du uππππ-+=+-=++⎰⎰⎰4440002lnln 2ln(1tan )1tan du du u du uπππ==-++⎰⎰⎰ 从而 14200ln(1)ln(1tan )1x dx t dt x π+=++⎰⎰＝2ln 8π（2）（07经管类真题）20(1)(1)dxx x α+∞++⎰)0(≠α 解：12220011(1)(1)(1)(1)(1)(1)x tdxt dt t I dt x x t t t t ααααα=+∞+∞+∞+-===++++++⎰⎰⎰ 0220011arctan |1(1)(1)2dt dt t I I t t t απ+∞+∞+∞=-=-=-+++⎰⎰ 移项解得 20(1)(1)4dx I x x απ+∞==++⎰*（2）（05年数学类真题）计算220051tan dxxπ+⎰解：令tan x t = 则2200501tan dx x π+⎰220050(1)(1)dt t t +∞=++⎰ 1200520052200522005220050011(1)(1)(1)(1)(1)(1)x tdxt dt t I dt x x t t t t =+∞+∞+∞+-===++++++⎰⎰⎰ 02220050011arctan |1(1)(1)2dt dt t I I t t t π+∞+∞+∞=-=-=-+++⎰⎰ 移项解得 4I π=，从而2200501tan dx x π+⎰220050(1)(1)4dt t t π+∞==++⎰（3）（首届高数竞赛真题） :证明：0)sin(202>⎰dx x π证明：22220)t x x dx ππππ===+⎰⎰⎰而20t u ππππ=+=⎰⎰从而 原式=0dt π>⎰例6（1）计算992sin cos 17sin cos x xdx x xπ-+⎰解：999922200sin cos sin cos 17sin cos 17sin cos 17sin cos x x x x dx dx dx x xx x x x πππ-=-+++⎰⎰⎰而99222cos sin 17sin cos 17cos sin t x xtdx dt x xt tπππ=-=++⎰⎰从而999922200sin cos sin cos 017sin cos 17sin cos 17sin cos x x x x dx dx dx x x x x x xπππ-=-=+++⎰⎰⎰（2）（04 年真题）计算2cos 2004xdx x x πππ+-+⎰解：222022cos sin 2004()()200422t x xtdx dt x x t t ππππππππππ=--++=-+---+⎰⎰ 222222222222sin sin 200420042004444tt dt dt dt t t t πππππππππππ---+==++-+-+-⎰⎰⎰22022020044dt t πππ=+=+-⎰420042arctan420042arctan 22220ππππππ--=a t a（3）（资料中的发挥题）计算2sin 1cos x xdx xπ+⎰解：222202()cos sin 21cos 1sin t xt t x x dx dt xt πππππ=---=++⎰⎰ 222222cos cos 21sin 1sin tt t dt dt t t πππππ--=-++⎰⎰220sin 01sin d t dt t ππ=-+⎰ 22a r c t a n (s i n)4t πππ==例7（1）* C x e e x xe dx e x xe x d xe dx x xe x xx x x x x ++=++-=++-=+-=+⎰⎰⎰11111)1(2（2）（资料中的发挥题）设101x e dx a x =+⎰ 求120(1)xe dx x +⎰ 11110200011(1)1112x x xxe e e e dx e d dx a x x x x =-=+=-+++++⎰⎰⎰（3）dx xxe xcos 1sin 1++⋅⎰解： 2tan 2sec 212cos 22cos2sin 21cos 1sin 122x x x xx x x +=+=++ 从而 21sin 1sec tan tan tan 1cos 22222x x x x x x x x x x e dx e dx e dx e d e dx x +⋅=+=++⎰⎰⎰⎰⎰ t a n t a n t a n t a n 2222x x x xx x x x e e d x e d x e C =-+=+⎰⎰ （4）（首届高数竞赛真题）计算12121(1)x x x e dx x ++-⎰解：11122211122211(1)()x x x x xx x e dx x e dx e dx x x ++++-=-+⎰⎰⎰1122112221(1)x x x x x e dx e dx x ++=-+⎰⎰112211221()x x xx xed xe dx x ++=++⎰⎰11221122x x xxxdeedx ++=+⎰⎰1212x x xe+=-1212x xedx +⎰＋1212x xedx +⎰5232e =（5）设0(()"())sin 5.f x f x xdx π+=⎰.2)(=πf 求)0(f解：(()"())sin ()sin sin ()f x f x xdx f x x dx x df x πππ'+=+⎰⎰⎰00()sin sin ()cos ()f x xdx x f x x df x πππ'=+-⎰⎰00()sin cos ()sin ()f x xdx x f x x f x dx πππ=--⎰⎰cos0(0)cos ()5f f ππ=⋅-⋅=从而 (0)3f =例8 （1）21(1)dxx x +∞=+⎰（ C ）. （A ）∞ （B ）2ln - （C ）2ln （D ）2ln 3121221111()(ln ln 1)(1)12dx x dx x x x x x x +∞+∞+∞=-=-+==++⎰⎰ 不能分（2）（06年文专科真题）计算dx x x x x ⎰+++-+23)1ln()2ln(2解： 21112312+-+=++x x x xdx x x x x ⎰+++-+23)1ln()2ln(211[ln(2)ln(1)]()12x x dx x x =+-+-++⎰ [ln(2)ln(1)][ln(1)ln(2)]x x d x x =+-++-+⎰21[ln(2)ln(1)]2x x C =-+-++（3）2ln ln(1)111(ln ln(1))()[ln ln(1)](1)12x x dx x x dx x x C x x x x -+=-+-=-++++⎰⎰ 例9（1）（05年真题）计算sin 3cos 4sin xdx x x +⎰解： )sin 4cos 3()sin 4cos 3(sin '+++=x x B x x A x43(3cos 4sin )(3cos 4sin )2525x x x x '=+-+ 从而 sin 3cos 4sin x dx x x =+⎰⎰⎰+'+-++dx xx x x dx x x x x sin 4cos 3)sin 4cos 3(253sin 4cos 3)sin 4cos 3(254 43(3cos 4sin )25253cos 4sin d x x dx x x +=-+⎰⎰ 43ln |3cos 4sin |2525x x x C =-++ （2） sin 11(sin cos )11ln |sin cos |sin cos 22sin cos 22x d x x dx dx x x x C x x x x +=-=-++++⎰⎰⎰ （3）4222222221sec (tan 1)tan (sin 2cos )(tan 2)(tan 2)x x dx dx d x x x x x +==+++⎰⎰⎰ 2tan 22222111(2)2(2)x tt dt dt dt t t t =+==-+++⎰⎰⎰24(2)t C t =++2tan 4(tan 2)xC x =-++ （4） （08年真题）cos(3)sin(5)dxx x +⋅+⎰解：cos(3)sin(5)cos(3)[sin(3)cos2cos(3)sin2]x x x x x +⋅+=++++2c o s (3)s i n (5)s i n 2c o s (3)c o s 2s i n (3)c o sd xd xx x x x x =+⋅+++++⎰⎰2sec (3)1ln tan(3)tan 2sin 2tan(3)cos 2cos 2x dx x C x +==+++++⎰例10（1）11326611((428x dx x x x dx --=+-+=⎰⎰（2）sin 1221212212(1)(1)cos2(1)cos x tnn n nn x dx tdt tdt πππ=++---=-=-⎰⎰⎰2224(2)!!(1)12(1)21213(21)!!nn n n n n n n -=-⋅⋅⋅⋅=-+-+ （3）（05年真题）设 2222(1sin )1sin x A dx x ππ--=+⎰，22222sin cos x B dx x xππ-=+⎰, 2222210(1sin )4x C dx x πππ-+=+⎰,试,,A B C 的大小。