《向量间的线性关系》PPT课件
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线性代数课件--第二节向量组的线性相关性-讲义
1(1 ,2 ,3 ,4 ),2(2 ,2 ,0 ,0 ),3(3 ,0 ,3 ,0 ),4(4 ,0 ,0 ,4 )．
解 考 虑 向 量 方 程 k 1 1 k 22 k 3 3 k 44 0 ，
比 较 两 端 分 量 ， 得 齐 次 线 性 方 程 组
k1 2k2 3k3 4k4 0,
由 定 理 5 知 ， m 可 由 2 ,,m 1 线 性 表 示 ，
即 存 在 数 k2, ,km 1 ， 使 得
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定理 1 m个 n维向量 i (ai1,ai2, ,ain), i 1,2,,m
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 a21x2 am1xm 0,
a12x1
a22x2 am2xm
0,
a1nx1 a2nx2 amnxm 0
(3.2)
有非零解．
精品
线性代数课件--第二节向量组的线性相 关性
特例： (1) 包 含 零 向 量 的 向 量 组 必 线 性 相 关 ．
(2 ) 单 独 一 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 0．
(3) 两 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 们 的 对 应 分 量
充 分 必 要 条 件 是 其 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余m1个 向 量
线 性 表 示 ．
证明
推 论1 m个n维 向 量1,2, ,m（m2） 线 性 无 关 的
充 分 必 要 条 件 是 其 中 任 一 向 量 都 不 能 由 其 余m1个 向 量 线
性 表 示 ． 推 论 2 任 何 n 1 个 n 维 向 量 必 线 性 相 关 ． 证明 从而向量个数大于向3
解 考 虑 向 量 方 程 k 1 1 k 22 k 3 3 k 44 0 ，
比 较 两 端 分 量 ， 得 齐 次 线 性 方 程 组
k1 2k2 3k3 4k4 0,
由 定 理 5 知 ， m 可 由 2 ,,m 1 线 性 表 示 ，
即 存 在 数 k2, ,km 1 ， 使 得
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定理 1 m个 n维向量 i (ai1,ai2, ,ain), i 1,2,,m
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 a21x2 am1xm 0,
a12x1
a22x2 am2xm
0,
a1nx1 a2nx2 amnxm 0
(3.2)
有非零解．
精品
线性代数课件--第二节向量组的线性相 关性
特例： (1) 包 含 零 向 量 的 向 量 组 必 线 性 相 关 ．
(2 ) 单 独 一 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 0．
(3) 两 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 们 的 对 应 分 量
充 分 必 要 条 件 是 其 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余m1个 向 量
线 性 表 示 ．
证明
推 论1 m个n维 向 量1,2, ,m（m2） 线 性 无 关 的
充 分 必 要 条 件 是 其 中 任 一 向 量 都 不 能 由 其 余m1个 向 量 线
性 表 示 ． 推 论 2 任 何 n 1 个 n 维 向 量 必 线 性 相 关 ． 证明 从而向量个数大于向3
线性代数(第二版)第三节向量间的线性关系
b1 b2
, ,
bs
.
以
下
从向量的角度，式子x11 + x22 + … + xss = 从形式上即为把 表示为向量组1 , 2 , … , s 的线 性组合. 由此可得，向量 能由向量组1 , 2 ,…, s
线性表示的充分必要条件是线性方程组 (2.7) 有解，
并且若方程组有唯一解，则表示式唯一；若方程组
例 3 判别下列各题中的向量 能否由其余向
量线性表出，若能，求出其表示式.
(1) 1 (4,3,11)T,2 (2, 1,3)T,3 (1, 2,0)T, (2,10,8)T ;
(2) 1 (2,1,0,1)T,2 (1, 3, 2, 4)T,3 (5,0, 1, 7)T, 4 (1, 6, 2,6)T , (8,9, 5,0);
2 1 5
A
( 1 ,
2 , 3,
4)
1
0 1
3 2 4
0 1 7
1
6
2 6
,
2 1 5 1
8
B
( 1 , 2 , 3 , 4 , )
1
0 1
3 2 4
0 1 7
6 2 6
9
5 0
将 B 化成行最简形，
(3) 解
构造矩阵 A 和 B :
1 1
A
( 1 ,
2 , 3 )
1
2 2
与 共线的情况下，不妨设存在常数 k ，使 =
k.
例如
( 2 , 1) T ,
1,
1
T
,
则
1 .
2
2
在 与 共 线 的 情 况 下 ， 对 于 任 意 一 个 R2 中 的 向
线性代数(第二版)第三节向量间的线性关系
(3) 1 (1,1, 2, 2)T,2 (1, 2,1,3)T,3 (1, 1, 4,0)T, (1,0,3,1).
(1) 解 构 造 矩 阵 A 和 B :
4
2 1
4
2 1 2
A ( 1 , 2 , 3 ) 3 1 2 , B ( 1 , 2 , 3 , ) 3 1 2 10
O 123456 x
图1
a1OM 1(1,2)
a2OM 2(2,4)
a3 OM 3 (3,6)
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
2) 由 3 个 3 维向量构成的向量组线性相关的几 何意义是这 3 个向量共面. 如给定平面 : x+y+z =3.
这就是线性方程组的向量形式.
三
线 线 性 性 方 方 程 程 组 组 的 的 三 三 种 种 形 形 式 式
有
n
个未
种形式：
知
量
s 个方程的线性方程组，有
形 形 式 式 一 一
一般形式
a 11 x 1 a 21 x 1
a s1 x1
a 12 x 2
a 22 x 2
a s2 x2
a1n x n a 2n xn
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是: a = 0.
2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是: a1 , a2 的分量对应成比例. 如
向量组 :
1
3
a1 1 , a2 3 ,
2
6
1 3 3 3 因为 -3a1 + a2 = 313 330, 2 6 6 6
(1) 解 构 造 矩 阵 A 和 B :
4
2 1
4
2 1 2
A ( 1 , 2 , 3 ) 3 1 2 , B ( 1 , 2 , 3 , ) 3 1 2 10
O 123456 x
图1
a1OM 1(1,2)
a2OM 2(2,4)
a3 OM 3 (3,6)
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
2) 由 3 个 3 维向量构成的向量组线性相关的几 何意义是这 3 个向量共面. 如给定平面 : x+y+z =3.
这就是线性方程组的向量形式.
三
线 线 性 性 方 方 程 程 组 组 的 的 三 三 种 种 形 形 式 式
有
n
个未
种形式：
知
量
s 个方程的线性方程组，有
形 形 式 式 一 一
一般形式
a 11 x 1 a 21 x 1
a s1 x1
a 12 x 2
a 22 x 2
a s2 x2
a1n x n a 2n xn
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是: a = 0.
2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是: a1 , a2 的分量对应成比例. 如
向量组 :
1
3
a1 1 , a2 3 ,
2
6
1 3 3 3 因为 -3a1 + a2 = 313 330, 2 6 6 6
向量及其线性运算ppt课件
ax
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x
3
y
a,
其中
a
(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x
3
y
a,
其中
a
(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
《线性代数教学PPT》向量的线性相关性
等价,则向量组1, 2, , t与向量组1,2, ,s等ห้องสมุดไป่ตู้. 代
3) 传递性:若向量组1,2 , ,s与向量组1, 2, , t
等价,向量组1, 2 ,
, t与向量组1, 2 ,
,
等价,则
p
数
向量组1,2 ,
,s与向量组1, 2 ,
,
等价.
p
=
=
二、线性相关性
(B) 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0), 3 (0, 0,1)
线
显然有,1 1 2 3,2 1 3,3 2 3; 性 1 1 3, 2 1 2 , 3 1 2 3
所以这两个向量组等价.
则有
线
Ak1(1 2 A k Ak1 ) 0
从而
性
1 Ak1 0
代
由于 Ak1 0,所以 1 0,把1 0代入(*)式
再左乘Ak2可得 2 Ak1 0,由Ak1 0, 得 2 0 数
类似可证得3 4 k 0 故向量组 , A , , Ak1线性无关.
=
即k1(1 2 )+k2(2 +3 ) k3(3 +1)=0
=
也就是(k1+k3 )1+(k1+k2 )2 (k2 +k3 )3 0
k1+k3 0
由于1,2,3线性无关,故有 k1+k2 0
k2 +k3 0
线
101
性
由于该线性方程组的系数行列式 1 1 0 2 0
是否线性相关.
数
1 20
解
线性代数向量间的线性关系
若向量组(1)与(2)可互相线性表示，则称向量组(1)与(2)等价
记作
{1,2, ,m} {1, 2, , n}
山东财经大学数学与数量经济学院
等价向量组具有的性质：
（1）反身性 即 {1,2 , ,m}{1,2, ,m}
（2）对称性 即 {1,2, ,m} {1, 2, , n}
（3）传递性
{1, 2, , n} {1,2, ,m}
山东财经大学数学与数量经济学院
例3.2.8 若向量组1,2, ,r线性相关,则向量组1,2, ,r , r1, ,s必线性相关.
证明： 因为 1,2 , ,r 线性相关， 则存在有不全为零的数 k1, k2 , , kr 使
k11 k22 krr o
从而存在一组不全为零的数 k1, k2 , , kr , 0, , 0, 使
(2)称为(1)的 向量表示形式
x11 x22 xnn (2)
山东财经大学数学与数量经济学院
1.线性组合
定义3.2.1 设 ,1,2, ,n是一组m维向量.如果存在数
k1, k2 , , kn , 使得
k11 k22 knn
称向量 是向量组1 , 2 ,
,
的线性组合，
n
或称可由向量组1,2 ,
解 设 =k11 k22 k33 , 即
(3, 2, 4) k1(1, 0, 1) k2(2, 1, 0) k3(1, 1, 2)
( k1 2k2 k3 , k2 k3 , k1 2k3 )
因此
k1 2k2 k3 3
k2 k3 2
k1 2k3 4
解方程组得
k1 k2
线性表出，并且表示法不惟一；
（3）方程组无解 不能够由向量组 j ( j 1, 2, , n)
解析几何_向量的线性关系与向量的分解PPT
则 a b .如果 b 0,由定理1.4.1知,a , b 共
线.若 b 0,则 a , b 共线. 必要性 设 a , b 共线,若b 0 ,则任取 0 ,
有0ab0,即 a , b 线性相关.若b 0 , 由定
理1.4.1,存在 ,使 a b,即1ab0, 所
以 a , b 线性相关.
如果 r 和 e1,e2,e3 中任意两个都不共面. 将 r,e1,e2,e3归结为到共同始点 O ,并设 OPr ,
O E i e i( i 1 ,2 ,3 ),过 r 的终点作三平面分别与
平面 O E 2 E 3 ,O E 3 E 1 ,O E 1 E 2 平行,且分别和直线 O E 1 ,
OE2,OE3相交于 A,B,C 三点,如图.则有
e1
y y' x' x
e2.
由定理1.4.1可知 e1 , e2 共线,矛盾. 同理有 y y '.
定理1.4.3 如果向量 e1,e2,e3 不共面, 那么 空间任意向量 r 可以由向量 e1,e2,e3 线性表示, 或说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1,e2,e3 的线性组合，即
r x e 1 y e 2 z e 3 .
余向量的线性组合.设这个向量为 a n ,即
a n 1 a 1 2 a 2 n 1 a n 1 ,
则 1 a 1 2 a 2 n 1 a n 1 ( 1 ) a n 0 .
因为 10,所以 a1,a2, ,an线性相关.
定理1.4.5 如果一组向量中的一部分向量
线性相关那么这一组向量就线性相关.
N P n N A n ( O A O N ) n ( a b ) ,
p a m ( b a ) ( 1 m ) a m b ,
向量线性相关-PPT课件
6.2 维数、基、坐标
一. 向量的线性相关、线性无关 二. 线性空间的维数、基、坐标
贵有恒何必三更眠五更起，最无益只 怕一日曝十日寒 与君共勉
1
一. 向量的线性相关（无关）
* 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.
定义 2
k11 k2 2
kn n ki i ( i V, ki P, i 1, 2,
定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性 无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=∞.
线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组
所含向量的个数. 例1 (1) V2：两相交矢量确定此平面 → dimV2=2； V3：三相交矢量确定此空间 → dimV3=3. (2) Pn ={(a1,a2,…,an)|ai∈P,i=1,2,…,n}是n维的，e1,e2,…,en是Pn 的一个极大无关组.
, n )，使 k11 k11
1 , 2 ,
, r 线性无关 设
k11 k2 2
kr r 0 k1 k2
kr 0 .
常用结论的推广：共读 P247. 1 — 3： 1)
线性相关（无关） 0 ( 0) ；
1 , 2 ,
, r 线性相关 j { 1 , 2 , , r }，
j { 1 ,
1 , 2 ,
, j 1 , j 1 ,
,r }；
, r }，不能由
3
, r 线性无关 j { 1 , 2 ,
贵有恒何必三更眠五更起，最无益只
该向量组中其余向量线性表示 . 与君共勉 怕一日曝十日寒
一. 向量的线性相关、线性无关 二. 线性空间的维数、基、坐标
贵有恒何必三更眠五更起，最无益只 怕一日曝十日寒 与君共勉
1
一. 向量的线性相关（无关）
* 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.
定义 2
k11 k2 2
kn n ki i ( i V, ki P, i 1, 2,
定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性 无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=∞.
线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组
所含向量的个数. 例1 (1) V2：两相交矢量确定此平面 → dimV2=2； V3：三相交矢量确定此空间 → dimV3=3. (2) Pn ={(a1,a2,…,an)|ai∈P,i=1,2,…,n}是n维的，e1,e2,…,en是Pn 的一个极大无关组.
, n )，使 k11 k11
1 , 2 ,
, r 线性无关 设
k11 k2 2
kr r 0 k1 k2
kr 0 .
常用结论的推广：共读 P247. 1 — 3： 1)
线性相关（无关） 0 ( 0) ；
1 , 2 ,
, r 线性相关 j { 1 , 2 , , r }，
j { 1 ,
1 , 2 ,
, j 1 , j 1 ,
,r }；
, r }，不能由
3
, r 线性无关 j { 1 , 2 ,
贵有恒何必三更眠五更起，最无益只
该向量组中其余向量线性表示 . 与君共勉 怕一日曝十日寒
《向量及其线性运算》课件
详细描述
向量的模是衡量向量大小的量，用符号“| |”表示。向量的模可以通过勾股定理或向量 的点积等公式计算得出。向量的模具有一些基本性质，如非负性、传递性、三角不等式 等。了解向量的模对于解决实际问题非常重要，如物理中的力、速度和加速度等都可以
用向量表示，而向量的模则可以用来衡量这些量的大小。
02
CATALOGUE
向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量空间的基本运算之一，其定义基于平行四边形法则。向量加法 满足交换律和结合律，即向量加法不依赖于其运算的顺序。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是标量与向量的乘法运算，其结果仍为向量。数乘满足结合律和分配律，即 对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$。
总结词
向量积表示一个向量在另一个向 量上的投影面积。
详细描述
向量积的大小等于一个向量在另 一个向量上的投影面积，方向与 两向量的正交角有关，遵循右手 定则。
向量积的运算性质
要点一
总结词
向量积满足交换律和结合律，但不满足数乘分配律。
要点二
详细描述
根据向量的运算性质，我们有$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$，并且 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。但是，$lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) neq mathbf{A} times lambdamathbf{B}$， 其中$lambda$是标量。
《向量间的线性关系》PPT课件
n ]T (3)
k =[ka1,ka2 ,…, kan]T
(4) - = (-1) = [- a1,- a2 ,…,- an]T
(5) - = +(-1)
8
对任何的n维向量 , , 及任意实数k, l, 向
量 的加法及数乘运算统称为向量的线性运算.满足 下列的八条性质
(1) + = +
➢ 任意n+1个n维向量必线性相关
36
定理2.2.3
令 A 1,2, ,s ,则n维向量组 1,2 , ,s
线性无关的充分必要条件是s元齐次线性方程组
AX 0 仅有零解. 即向量组 1,2 , ,s
线性无关的充分必要条件是 R(A) s.
37
例 已知
1
0
2
1
1
，
2
2
，
3
4
，
1
5
35
推论2.2.3
令 A [1, 2 ,, n ] ,则n维向量组 1,2 , ,n
线性相关的充分必要条件是n元齐次线性方程组
AX 0 的系数行列式等于零
例7 任意s(>n)个n维向量必线性相关
设 1,2, ,s F n 令 A [1,2 , ,s ]
则
R(A) s
AX 0 有非零解
向量组 1,2 , ,s 必线性相关
设向量组为 0, 1,2,…,s 对任意的数 k 0，有
k0 + 01 + 02 +…+0n = 0
40
例11 如果n维向量组 1,2 , ,s (s 2)
线性无关, 试判断向量组
1 2 ,2 3, ,s1 s ,s 1
向量间的线性关系
2.3 向量间的线性关系
定义2.8 1,2 ,, s Rn , k1, k2 ,, ks R
线性组合： k11 k2 2 ks s 线性表出： k11 k2 2 ks s 1 如 (2,1,1),1 (1,0, ), 2 (0,3,0), 2 1 21 2 . 3 注： 1. 零向量可由任一向量组线性表出. 2. 向量组中的任一向量都可由此向量组线性表出.
a11 a21 r a m1 a12 a22 am 2 a1n a11 a2 n a21 r a amn m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b1 b2 . bm
定理2.7 设向量可由向量组1 , 2 ,, s 线性表出， 则表出方式唯一 1 , 2 , , s 线性无关.
向量组必线性相关 ; 例7 (1)某一部分组线性相关的 (2)线性无关的向量组的任 一部分组必线性无关 .
例9 设向量组1 , 2 ,, s 线性无关, 而1 , 2 ,, s , 线性相关, 则可由1 , 2 , , s 唯一线性表出 . 例10（1）在线性无关的向量组的每个向量的相同位置上 都添加任意一个分量所得的向量组仍线性无关. （2）在线性相关的向量组的每个向量的相同位置上都去 掉一个分量所得的向量组仍线性相关. 注：可推广到添加或去掉多个分量的情形.
s s 1 , 试判断1 , 2 ,, s的线性相关性 .
解 : s为奇数时 , 线性无关; s为偶数时 , 线性相关 .
▌
a11 a12 a1s a21 a22 a2 s , , s 线性相关 定理2 向量组1 , 2 a a a m1 m2 ms a11 x1 a12 x2 a1s xs 0 a x a x a x 0 2s s 线性方程组 21 1 22 2 有非零解， am1 x1 am 2 x2 ams xs 0 线性无关 仅有零解.
定义2.8 1,2 ,, s Rn , k1, k2 ,, ks R
线性组合： k11 k2 2 ks s 线性表出： k11 k2 2 ks s 1 如 (2,1,1),1 (1,0, ), 2 (0,3,0), 2 1 21 2 . 3 注： 1. 零向量可由任一向量组线性表出. 2. 向量组中的任一向量都可由此向量组线性表出.
a11 a21 r a m1 a12 a22 am 2 a1n a11 a2 n a21 r a amn m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b1 b2 . bm
定理2.7 设向量可由向量组1 , 2 ,, s 线性表出， 则表出方式唯一 1 , 2 , , s 线性无关.
向量组必线性相关 ; 例7 (1)某一部分组线性相关的 (2)线性无关的向量组的任 一部分组必线性无关 .
例9 设向量组1 , 2 ,, s 线性无关, 而1 , 2 ,, s , 线性相关, 则可由1 , 2 , , s 唯一线性表出 . 例10（1）在线性无关的向量组的每个向量的相同位置上 都添加任意一个分量所得的向量组仍线性无关. （2）在线性相关的向量组的每个向量的相同位置上都去 掉一个分量所得的向量组仍线性相关. 注：可推广到添加或去掉多个分量的情形.
s s 1 , 试判断1 , 2 ,, s的线性相关性 .
解 : s为奇数时 , 线性无关; s为偶数时 , 线性相关 .
▌
a11 a12 a1s a21 a22 a2 s , , s 线性相关 定理2 向量组1 , 2 a a a m1 m2 ms a11 x1 a12 x2 a1s xs 0 a x a x a x 0 2s s 线性方程组 21 1 22 2 有非零解， am1 x1 am 2 x2 ams xs 0 线性无关 仅有零解.
2.3向量间的线性关系-1(线性表示)
k 3= 3
b a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 ... a 1 n x n a 11 x 1 a 12 x 2 ... a 1 n x n b1 1 a 2 1 x 1 a 2 2 x 2 ... a 2 n x n b 2 a 21 x 1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b 2 (3.1) a m 1 x 1 a m 2 x 2 ... a m n x n b m a m 1 x 1 a m 2 x 2 ... a mn x n b m
( a 1 , 0 , 0 , ..., 0 ) ( 0 , a 2 , 0 , ..., 0 ) ( 0 , 0 , a 3 , ..., 0 ) ... ( 0 , 0 , 0 , ..., a n ) a 1 (1, 0 , 0 , ..., 0 ) a 2 ( 0 , 1, 0 , ..., 0 ) a 3 ( 0 , 0 , 1, ..., 0 ) ... a n ( 0 , 0 , 0 , ..., 1 )
1
kn ... a 1 n x n b1
... a 2 n k n b 2 (3.1) x
n
线性方程组(3.1)有解 存在一组数 x1=k1, x2=k2,…, xn=kn 使(3.1)式成立 存在一组数 x1=k1,x2=k2,…,xn=kn 使(3.10)式成立 可以由向量组 1 ,2 , …,n 线性表示.
2
kn ... a mn x n b m
b1 a 11 a 12 a1n b2 a 21 a 22 a2n 即 x x ... xn k 1 k 1 k22 n bm am1 am 2 a mn
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0 1 2 6 3
0 0 0 0 0
5 4 3 1 2
0 0 0 0 0
1 行 0
0
0 1 0
-1 2 0
-5 6 0
-2
3
由R A R A, =2 5,
0 故可以表为1,2,3,4
0 0
0
0
0
的线性组合，且表示法
不唯一.
Ax 的同解方程组为
x1 x2
x3 5x4 -2 2x3 6x4 3
m1 1
m2 2
a x
0,
1n n
a x
0,
2n n
a x
0.
mn n
向量组1,2 ,
,
线性相关
n
齐次线性方程组有非零解. R( A) n
向量组1,2 ,
,
线性无关
n
齐次线性方程组有仅有零解.
R( A) n
a x a x
a x a x 如果m
n,即
11 1
12 2
21 1
,
2
1 ,
,n
0
0
0
1
则 可由 1,2, ,n 线性表出
a1
a2
a11
a22
ann
13
an
例5 向量组A: 1,2,…,s中的任一向量都可以由 这个向量组线性表示
i 01 0i1 1i 0i1 0s (1 i s)
14
• 已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示？ • 或者说：一个已知的向量是否可以表示为已知向量的线性组合。
线
的充分必要条件是
R(A) R(A, )
其中 A 1,2, ,n
26
例6 设 = [1,1,1]T, = [1,3,0]T, = [2,4,1]T 试将向量 用向量 与 线性表出
27
➢向量组的线性相关与线性无关的概念 定义2.2.5
对于向量组 1,2,…,s如果存在
不全为零的数 k1,k2,…,ks ,使得
a2 j
an a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
2
5
,
3 4,
4
1.
3
0
1
2
4
➢ 若干个维数相同的列向量(或维数相同的行向量) 所构成的集合叫做向量组
➢由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该 向量组的部分组
5
向量组在本课程中的重要性
例矩如阵A
(a
ij
) mn
有n个m维列向量
a1
a11
A
a21
a2 a12 a22
aj a1 j
设向量组为 0, 1,2,…,s 对任意的数 k 0，有
k0 + 01 + 02 +…+0n = 0
40
例11 如果n维向量组 1,2 , ,s (s 2)
线性无关, 试判断向量组
1 2 ,2 3, ,s1 s ,s 1
的线性相关性
解 设存在数 k1, k2 , , ks ,使得
k1(1 2 ) k2 (2 3) ks1(s1 s ) ks (s 1) 0
使得
k11 k22 kss
则称向量 可以表为 1,2 , ,s 的线性组合, 或称
可由向量组 1,2, ,s 线性表出(或线性表示)
11
例3 n维零向量0是任一n维向量组 1,2 , ,s
的线性组合
0 01 02 0s
12
例4 设 Rn n维单位坐标向量组为
1 0
0
1
0
(1)确定当a为何值时， 不能由向量组 1, 2 , 3的线性表出?
(2)确定当a为何值时，能由向量组 1, 2 , 3的线性表出?
(3)确定当a为何值时，能由向量组 1, 2 , 3的唯一地线性表出?
解
1 1 1 1
1 1 1 1
A, 2 a 2 5
3
行
0
a
3
1
0 3a a 6 3
解由
1
2
1 8,6,9T
2
1,1, 2T
3,
2,
5 2
T
10
三、线性相关性
定义2.2.4 设1,2 , ,s Fn ,则对任意常数
l1, l2 , , ls F, 向量
l11 l22 lss
称为这s个向量的一个线性组合
设 1,2 , ,s , F n 若存在常数 k1, k2 , , ks F
35
推论2.2.3
令 A [1, 2 ,, n ] ,则n维向量组 1,2 , ,n
线性相关的充分必要条件是n元齐次线性方程组
AX 0 的系数行列式等于零
例7 任意s(>n)个n维向量必线性相关
设 1,2, ,s F n 令 A [1,2 , ,s ]
则
R(A) s
AX 0 有非零解
向量组 1,2 , ,s 必线性相关
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
证
例 已知向量组1,2,3 线性无关 , b1 1 2 , b2 2 3, b3 3 1,
定理2.2.2
设 1,2, ,s F n 令 A 1,2, ,s
X x1, x2, , xs T 则向量组 1,2 , ,s
线性相关的充分必要条件是s元齐次线性方程组
AX 0
有非零解. 推论2.2.2
设 A 1,2, ,s 则向量组 1,2, ,s
线性相关的充分必要条件是 R(A) s.
22 2
a x a x
n1 1
n2 2
a x
0,
1n n
a x
0,
2n n
a x
0.
nn n
x x
11
22
x
0
nn
向量组1,2 ,
,
线性相关
n
det(齐次 1,线2, 性,方 n程 )=组 0.有非零解.
向量组1,2 ,
,
线性无关
n
齐de次 t(线1,性 2方 , 程,组 n )有 0仅. 有零解.
1
0 3a a 6 3
0 0 a-3 0
(2()2当)确a=定13,时当 ，2a,为 A,3的 何线 值行 性 时表 ，10出 能?10 由0向 1 量1233 组
0 0
0
0
此时，R( A) R( A, ) 2, 能由向量组
1, 2 , 3的线性表出,但表示法不唯一.
x1
2 3
Ax
的通解为
试证ห้องสมุดไป่ตู้1,b2,b3线性无关 .
例 n 维向量组
1 0
1
0
,
2
1 ,
0
0
0
,n
0
1
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
且Rn中的任意向量均可表示
为1 , 2 ,
,
的线性组合.
n
x x
11
22
x
0
nn
a x a x a x a x
11 1
21 1
12 2
22 2
a x a x
行向量
a1
或
a2
=[a1,a2
,…,
an]
T
an
列向量
2 本节中，n维向量均指n维列向量
➢ 数域F上的全体n维列向量构成的集合记作 Fn
➢分量都是0的n维向量称为零向量，记作0
➢向量 [a1, a2 , , an ]T 称为n维向量 [a1, a2 , , an ]T的负向量, 记作
n ]T (3)
k =[ka1,ka2 ,…, kan]T
(4) - = (-1) = [- a1,- a2 ,…,- an]T
(5) - = +(-1)
8
对任何的n维向量 , , 及任意实数k, l, 向
量 的加法及数乘运算统称为向量的线性运算.满足 下列的八条性质
(1) + = +
故Ax 的通解为
x1=k1+5k2 -2
x2
=-2k1-6k2 x3 =k1
+3 ,
k1,
k2
R.
x4 =k2
故 =k1+5k2 -21+-2k1-6k2 +32+k13+k24
其中k1, k2 R.
1 1 1 1
例
设1
2
,2
a
2
,3
5
,
3
,
0
3a
a 6 3
x2
1 3
c ,其中c
R
x3 c
故
=
2 3
1 +
1 3
+c
2
c3,
其中c R.
1 1 1 1
1 1 1 1
A, 2 a 2 5
3
行
0
a
3
1
0 3a a 6 3