第二讲 复数的模及其几何意义

第二讲 复数的模及其几何意义

（一）复数模的运算

复数()R b a bi a ∈+,的模：z = ；

例1. 已知84z z i +=-，求复数z 。

例2. 已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+，求12z z ⋅的最值。

运算律： ； ； ；

例1：已知()()()

2321331i i i z --+=，则—z =

例2：复数()()()223321i a i a i z ---=，则3

2=z ，则a =

（二）复数的几何意义

1. 复数加法，减法的运算的几何意义满足 ；

2. 21z z -表示复平面上 ；

例1：复平面内，说出下列复数z 对应的点的集合构成的图形；

（1）1z = （2）1z i -+=（3）4z i z i ++-= （4）|1|||z z i +=-

例2：（1）若

2=z ，则i z +-1的取值范围为 。

（2）已知C z ∈，且132=--i z ，求cos sin z i θθ--⋅的最大值和最小值。

（3）若

622=-++i z i z ，则i z 5-的取值范围为 。

（4）复平面内，曲线11=+-i z 关于直线x y =的对称曲线方程为 。

例3：已知1z =，设2

1u z i =-+，求u 的取值范围。

例4：已知123,5z z ==，126z z +=，求12z z -的值。

（三）综合问题

例1. 已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ=+∈，2z 的虚部为2．

（1）求复数z ；

（2）设22

z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ⋅的值．

课后练习：

1.

= ；

2. 已知()()()

2444331001i i ai --=-，则a = 。

3. 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）

A ．(15)，

B ．(1

3)， C ．(1

D ．(1

4. 复数Z 与点Z 对应，21,Z Z 为两个给定的复数，21Z Z ≠，则21Z Z Z Z -=-决定的Z 的轨迹是（ ）A ．过21,Z Z 的直线 B. 线段21Z Z 的中垂线

C. 双曲线的一支

D. 以Z 21,Z 为端点的圆

5. 设复数z 满足条件,1=z 那么i z ++22的最大值是 。

6. ,,21C Z Z ∈,2,3,222121===+Z Z Z Z 则=-21Z Z 。

7. 在复数范围内解方程i i i z z z +-=

++23)(2。

8. 设复数z 满足1z =,且()Z i ⋅+43是纯虚数,求z -.