第一讲 复数的概念与运算
复数的基本概念与运算法则
复数的基本概念与运算法则复数是数学中的一种数形。
它由实部和虚部组成，可以表示在二维平面上的点。
复数的形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
一、复数的基本概念1. 实部和虚部：复数的实部和虚部分别用Re(z)和Im(z)表示，其中z是一个复数。
例如，对于复数2+3i来说，实部为2，虚部为3。
2. 共轭复数：对于复数z=a+bi，它的共轭复数z*定义为z的实部不变，而虚部取相反数，即z*=a-bi。
例如，对于复数2+3i来说，其共轭复数是2-3i。
3. 复数的模：复数z=a+bi的模表示为|z|，定义为实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a^2+b^2)。
例如，对于复数2+3i，它的模为√(2^2+3^2)=√13。
4. 平面表示：复数可以在复平面上表示为一个点。
复平面中，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数a+bi对应于复平面上的点(a, b)。
二、复数的运算法则1. 加减法：复数的加减法涉及实部和虚部的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的和为z+w = (a+c) + (b+d)i，差为z-w = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法：复数的乘法涉及实部、虚部和虚数单位的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的乘积为zw = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法：复数的除法一般涉及共轭复数和模的运算。
例如，对于非零复数z = a+bi和非零复数w = c+di，它们的商为z/w =(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。
4. 乘方：复数的乘方涉及实部、虚部和幂指数的运算。
例如，对于复数z = a+bi和非零正整数n，它们的乘方为z^n = (a+bi)^n =r^n(cos(nθ) + isin(nθ))，其中r = |z|，θ为z的辐角。
复数概念与运算
2kπ 4
k 0,1, 2, 3
w0 2(1 i ), w1 2(1 i ),
w2 2(1 i ), w3 2(1 i ).
1
一般情况下, n z z n n个根就是以原点为中心、
1
半径为 r n 的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数.
y
w1
w0
o
w2
x
w3
1.4 复数在几何上的应用举例
z x iy z x iy z x iy z x iy
共轭复数的性质
1 z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2
z1 z2
.
2 z z z
3 z z Re(z)2 Im(z)2 .
4 z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
z1 z3 z2 z1 z2 z1
z1z3z2 3
z1
z2
z2
z12
z22
i
z3 z2 e 3
i
z1 z3 e 3
z32 z1z2
z1 z2
z2 z3
z2 z3
z3 z1
z1 z3 z2 z3
1.5 复球面与无穷远点 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法
Argz2 .
两个复数相乘的几何意义
y •z
z1 z2
r
i sin(1 2 )].
复数的乘幂
zk rk (cosk i sink )
o
12
r1
•
r2
z2
x
k 1, 2, , n ,
z1z2 zn r1r2 rn[cos(1 2 n )
对虚数单位的规定：
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。
本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。
一、复数的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。
复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。
二、复数的运算。
1. 加减法，实部和虚部分别相加减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。
(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。
(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。
三、复数的指数形式。
复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。
四、复数的常见公式。
1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。
2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。
3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。
复数的概念及其运算法则
复数的概念及其运算法则复数是数学中的一个重要概念，它由实数部分和虚数部分构成。
在本文中，我们将介绍复数的概念、表示方法以及复数的运算法则。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形如 a+bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。
虚数单位 i 是定义为√-1，虚数部分b 可以是任意实数。
复数的实部和虚部分别表示为 Re(z) 和 Im(z)，其中 z 是一个复数。
如果复数 z=a+bi 中实数部分 a=0，则该复数被称为纯虚数；如果虚数部分 b=0，则该复数被称为实数。
复数的模表示为 |z|，即复数 z 的绝对值。
复数的表示方法有多种形式，常见的包括代数形式、三角形式和指数形式。
代数形式即复数的标准表示形式 a+bi；三角形式通过模和幅角来表示复数，形如|z|cosθ+|z|sinθi，其中θ 是复数的辐角；指数形式则是使用指数函数表示复数，形如|z|e^(iθ)。
二、复数的运算法则1. 复数的加法与减法复数的加法与减法可以通过实部和虚部分别进行运算。
设z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的加法和减法如下：- 加法：z1+z2=(a+c)+(b+d)i- 减法：z1-z2=(a-c)+(b-d)i2. 复数的乘法复数的乘法可以通过实部和虚部进行计算。
设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的乘法运算如下：z1*z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的形式来实现。
设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，z2 ≠ 0，则它们的除法运算如下：z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i需要注意的是，对于复数的运算，虚数单位 i 具有如下性质：- i^2=-1- i^3=-i- i^4=1这些性质在复数运算过程中应用广泛。
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
复变函数-复数的概念与定义
乘积的几何意义 :
y
z1 z2
1 2
z2
1
2Leabharlann z1x商:
z2 r2e i 2 r2 i ( 2 1 ) e i 1 z1 r1e r1
2. 乘幂与方根
n 个相同复数 z 的乘积 , 称为z 的 n 次幂, 记为z n
n z n z z ...z
2 i 2i ( 2 i )( i ) 2i (1 i ) 解: z i 1 i i (i ) (1 i )(1 i )
2i (1 i ) 2i 1 2 i 1 i 1 2 3 i 2
所以 Re z 2,
Im z 3
设 z1 , z2 , z3 , z C , 则有
(1) 交换律: z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1
(2) 结合律: z1 z2 z3 z1 z2 z3 , ( z1 z2 )z3 z1 ( z2 z3 )
(3) 分配律: z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3
5
3
z 的方根:
当 z 0 时， 若满足 wn z，则称 w 为 z 的 n 次方根， 记为 w n z
令 w e 有
i
ne in re i
于是 n r , n 2k (k 0,1,2,)
n r, 2k
n , ( k 0,1,2,)
x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
3. 商
z1 （x1 iy1 ) z z2 x2 iy2
( z2 0)
x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 x 2 y2 x 2 y2
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数无法涵盖的一些数值。
在本文中，我将介绍复数的定义与表示方式，并探讨复数运算的基本规则和性质。
一、复数的定义与表示方式复数是由实数和虚数共同构成的数，可以用(a+bi)的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i的平方为-1。
在复数的表示中，a和b都是实数。
二、复数的基本运算1. 加法运算两个复数的加法是将它们对应的实部和虚部分别相加。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的和为：z1+z2=(a+c)+(b+d)i2. 减法运算两个复数的减法是将被减数的实部和虚部分别与减数的实部和虚部相减。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的差为：z1-z2=(a-c)+(b-d)i3. 乘法运算两个复数的乘法运算遵循分配律和虚数单位的平方性质。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的积为：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 除法运算两个复数的除法运算需要进行乘法运算和除法运算的综合。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的商为：z1/z2=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的性质与应用复数运算具有如下性质：1. 加法和乘法运算满足交换律和结合律。
2. 复数的乘法满足分配律和幂运算的规则。
复数的应用广泛，特别是在电学和物理学领域中。
在电路分析中，复数的使用可以简化计算，例如在交流电路的分析中，可以将电压和电流表示为复数形式，从而方便地进行计算。
总结：复数是由实数和虚数构成的数，可以用(a+bi)的形式表示。
复数的加法、减法、乘法和除法运算分别是实部和虚部的相应运算。
复数运算具有交换律、结合律和分配律。
复数在电学和物理学中有着广泛的应用。
以上就是对复数的概念与运算的介绍。
复数作为数学中一个重要的概念，其应用领域十分广泛，并且在实际问题中有着重要的作用。
初中数学知识归纳复数的概念与运算
初中数学知识归纳复数的概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它可以用来表示一些无理数和虚数。
在初中数学中，学习复数的概念和运算是十分关键的。
本文将对初中数学中涉及的复数相关知识进行归纳总结。
一、复数的概念复数是由实数和虚数单位 i 组成的数。
其中，实数部分可以是任意的实数，虚数部分则为实数与 i 相乘得到的数。
复数通常用符号 a+bi来表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。
二、复数的表示形式1. 代数形式代数形式是复数的一种常见表示形式，即复数的实部和虚部分别用实数表示。
例如，复数 2+3i 就是采用代数形式表示的。
2. 几何形式几何形式是复数另一种重要的表示形式，它用平面向量的概念来表示复数。
复数 a+bi 可以看成是平面上点的坐标，其中实部 a 表示点的横坐标，虚部 b 表示点的纵坐标。
三、复数的运算1. 复数的加法复数的加法遵循实部相加、虚部相加的原则。
例如，(2+3i) + (4+5i) = 6+8i。
2. 复数的减法复数的减法与加法类似，实部相减，虚部相减。
例如，(2+3i) -(4+5i) = -2-2i。
3. 复数的乘法复数的乘法需要应用到乘法公式 (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
例如，(2+3i)(4+5i) = -7+22i。
4. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数，并应用乘法公式来实现。
例如，(2+3i) ÷ (4+5i) = (2+3i)(4-5i) ÷ (4+5i)(4-5i) = (23/41)-(2/41)i。
四、复数的性质1. 共轭复数两个复数的共轭复数指的是虚部相反的复数。
例如，复数 a+bi 的共轭复数为 a-bi。
2. 模复数的模指的是复数对应的向量的长度，即平面上从原点到该点的距离。
3. 模的性质复数 a+bi 的模的平方等于 a^2 + b^2，即 |a+bi|^2 = a^2 + b^2。
这个性质可以通过向量的长度公式得出。
1.1复数的表示及其运算
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0, 1, 2, )
当 k 0,1,2, ,n 1时,得到 n 个相异的根 :
w0
r
1 n
cos
n
i
sin
n
,
w1
r
1 n
cos
2π n
i
sin
2π n
,
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数.
实部（Real）
记做：Re(z)=x
虚部(Imaginary) 记做：Im(z)=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
n(cosn i sin n ) r(cos i sin )
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
显然 n 2kπ, (k 0, 1, 2, )
故
1
rn,
2kπ ,
n
w
n
z
r
1 n
z1 z2 z1 z2 z1 z2
等号成立的充要条件是 z1, z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z2 z1 z2
z1 z2
z1
o
x
5、 复数的三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos
y
复数的概念及运算-知识点+例题-全面分类
[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+[巩固1] 复数i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4[巩固2] 如果)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则ni m ni m -+的共轭复数为_________.i[例4] 计算：（1）3)2)(1(ii i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-[巩固] 计算：（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）ii 4321-+1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2．复数的模：22b a bi a z +=+=3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.[例1] 已知复数i i z -+=12，则._____=z 210[巩固1] 复数)0(21<+=a iai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.______=z i 5856-[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=（1）若z z =，求z ；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模精典例题透析[巩固] 已知z 为复数，i z 2+为实数，且z i )21(-为纯虚数，其中i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1=-z w ，求w 的最小值.题型一：复数的概念[例]（1）已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为_______. （2）若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 1 (2) 充分不必要条件解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1， 所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．[巩固]（1）设i 是虚数单位．若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为__________. （2）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的____________条件. （填充分不必要，知识模块4经典题型必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二：复数的运算[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________； （2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.（2）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1解析 (1)方法一 由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i＝－1.题型三：复数的几何意义[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：（1）AO →、BC →所表示的复数；（2）对角线CA →所表示的复数；（3）B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.答案 一解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．（2）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.答案 －1解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.答案 －3－4i解析 因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是______点. 夯实基础训练。
复数的定义与基本运算
复数的定义与基本运算复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
复数一般形式为a+bi，其中a 和b都是实数，i表示虚数单位，满足i²=-1。
本文将介绍复数的定义以及基本运算。
一、复数的定义复数是包含实部和虚部的数。
其中，实部和虚部都是实数，可以用图象、代数或极坐标形式来表示。
复数的定义如下：z = a + bi其中，z表示一个复数，a是实部，b是虚部，i表示虚数单位。
二、基本运算1. 复数的加法复数的加法是将两个复数的实部和虚部分别相加。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的和可以表示为：z = (a+c) + (b+d)i2. 复数的减法复数的减法是将两个复数的实部和虚部分别相减。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的差可以表示为：z = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法复数的乘法是根据乘法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的乘积可以表示为：z = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad + bc)i4. 复数的除法复数的除法是根据除法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的商可以表示为：z = (a+bi) / (c+di)= (a+bi) * (c-di) / (c²+d²)= (ac+bd) / (c²+d²) + (bc-ad)i / (c²+d²)三、复数的共轭和模1. 共轭复数一个复数的共轭是将其虚部取负。
例如，给定一个复数z=a+bi，它的共轭可以表示为：z* = a-bi2. 复数的模一个复数的模表示复平面上从原点到该复数所对应点的距离。
复数z=a+bi的模可以表示为：|z| = √(a²+b²)四、实部、虚部和纯虚数在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它在实际应用中扮演着重要的角色。
本文将介绍复数的定义、运算规则以及一些实际应用。
一、复数的定义复数是由实数与虚数构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为单位虚数，满足i²=-1。
实数部分a与虚数部分bi可以是任意实数。
二、复数的运算规则1. 复数的加法复数的加法规则为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，即实部相加，虚部相加。
例如：(2+3i) + (4+5i) = 6 + 8i。
2. 复数的减法复数的减法规则为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i，即实部相减，虚部相减。
例如：(2+3i) - (4+5i) = -2 - 2i。
3. 复数的乘法复数的乘法规则为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i，即实部相乘减虚部相乘。
例如：(2+3i) * (4+5i) = -7 + 22i。
4. 复数的除法复数的除法规则为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
例如：(2+3i) / (4+5i) = 23/41 - 2/41i。
三、复数的实际应用复数在物理学、工程学、电路分析等领域中有着广泛的应用。
1. 复振幅在物理学中，复振幅描述了周期性运动的振幅和相位差，可以用复数表示。
通过复数的加法和乘法运算，可以方便地进行振幅和相位的计算。
2. 交流电路分析在电路分析中，交流电路中电流和电压是相位差90°的正弦函数，可以通过复数表示。
利用复数的乘法和除法运算，可以简化交流电路的分析过程。
3. 矢量运算在工程学中，矢量运算广泛应用于力学、电磁学等领域。
复数可以表示二维矢量，利用复数的加法和乘法运算，可以方便地进行矢量的计算。
初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算
初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算复数是数学中一个重要的概念，在初中数学学习中也是一项必须掌握的内容。
本文将对复数的概念以及复数的运算进行详细的归纳。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，通常记作a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
在复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部。
在实数范围内，有些方程是无法求根的，例如x²+1=0。
为了解决这类方程无解的问题，人们引入了虚数单位i。
虚数单位i具有i²=-1的性质，所以x²+1=0可以写成x²=-1，根据i的性质，我们可以得到x=i和x=-i两个解，这就是复数的引入。
复数既包括实数，也包括虚数，可以表示在复平面上，实部表示复数在实轴上的投影，虚部表示复数在虚轴上的投影。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的和为(a+c)+(b+d)i，差为(a-c)+(b-d)i。
复数的加法和减法运算就是分别对实部和虚部进行相加或相减。
2. 复数的乘法设有两个复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
使用分配律和虚数单位i的性质，将复数的乘法运算转化为实数之间的乘法运算，并根据i²=-1化简得到最终结果。
3. 复数的除法设有两个非零复数a+bi和c+di，它们的除法为：```(a+bi)(c-di)(a+bi) / (c+di) = ---------------(c+di)(c-di)```为了将除法转化为乘法，可以借助共轭复数的概念。
共轭复数是保持实部不变、虚部相反的复数，记作a-bi。
借助共轭复数的概念，我们可以将分子和分母都乘以共轭复数来进行除法运算。
三、复数的应用复数在数学中有广泛的应用，尤其是在电学和物理学中。
在电学中，电流和电压往往是复数形式的。
复数可以表示电流或电压的幅度和相位，方便进行电路分析和计算。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数是由实数与虚数构成的数。
它的基本形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用于描述一些实际问题，比如电路分析、信号处理和数学问题等。
本文将介绍复数的基本概念与运算。
一、复数的基本概念复数的实部和虚部分别是实数，实部用a表示，虚部用b表示。
实数是复数的一种特殊情况，当b=0时，复数退化为实数。
对于任意一个复数z=a+bi，其中a和b都是实数，可以将其表示为有序对(z=a,b)。
复数可以用复平面上的点来表示，其中实轴是实数轴，虚轴是虚数轴。
实部对应着实轴上的点，虚部对应着虚轴上的点。
二、复数的运算1. 加法与减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只是需要对实部和虚部进行独立的运算。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的和z₃=z₁+z₂为(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i，差为z₄=z₁-z₂为(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i。
2. 乘法复数的乘法运算可以通过分配律展开，然后利用i²=-1化简。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的乘积z₃=z₁z₂可以计算为(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
3. 除法复数的除法可以通过将除数和被除数都乘以共轭复数的形式进行。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的商z₃=z₁/z₂可以计算为[(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)]+[(a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)]i。
三、复数的性质1. 共轭复数给定一个复数z=a+bi，它的共轭复数记为z*，即a-bi。
共轭复数的实部相同，虚部符号相反。
2. 模或绝对值对于一个复数z=a+bi，它的模记为|z|，可以计算为√(a²+b²)，表示复数到原点的距离。
3. 平方根复数的平方根是一个复数，它满足平方后等于给定的复数。
复数的概念和运算法则
复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。
一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。
2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。
2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。
例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。
复数的概念与运算
复数的概念与运算一:知识点详析1．复数的有关概念和性质：(1)i 称为虚数单位,规定21i =-,形如a+bi 的数称为复数,其中a ，b ∈R ． (2)复数的分类(下面的a ，b 均为实数)(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a b i z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．(4)复数的几何表示复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi (),a b R ∈．在复平面内还可以用以原点O 为起点，以点Z(a ，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O ，看成零向量)． (7)复数与实数不同处①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻． 3．有关计算：⑴n i ()*n N ∈怎样计算？（先求n 被4除所得的余数，r r k i i =+4 ()*,k N r N ∈∈） ⑵i i 2321232121--=+-=ωω、是1的两个虚立方根，并且：13231==ωω221ωω=122ωω=211ωω=121ωω=21ωω=12ωω=121-=+ωω⑶ 复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。
⑷ 棣莫佛定理是：[]))(sin (cos )sin (cos Z n n i n r i r n n ∈+=+θθθθ ⑸ 若非零复数)sin (cos ααi r z +=，则z 的n 次方根有n 个，即：)1210)(2sin2(cos-=+++=n k nk i nk r z nk ，，，， απαπ它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为n r 的圆上，并且把这个圆n 等分。
复数基础知识及其运算规律
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
第十七章 第1讲 复数的概念及运算
解析：因为(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，根据复数相等的条件可知
a＝1，b＝－1.
答案：D 复数的加、减法，形式上与多项式的加、减法类 似．复数的除法运算，先把两个复数相除写成分式形式，然后把
分子、分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后化
简．
【互动探究】
i－2 3．(2011 年北京)复数 ＝( A ) 1＋2i A．i 4 3 C．－5－5i B．－i 4 3 D．－5＋5i
D．1
1＋i 1＋i 1＋i2 2 011 解析：因为 ＝ ＝i，所以 ＝i2 011＝i4×502＋3＝i3 1－i 1－i 1－i2
＝－i，故选 A.
答案：A
③(2011 年湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，
则(
) A．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 B．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－1
M∩N＝[0,1)． 故
②(2011 年辽宁)a 为正实数，i ＝( ) A．2 B. 3 C. 2
a＋i 为虚数单位， i ＝2，则
a
D．1
a＋i 解析：∵ i ＝|1－ai|＝
1＋a2＝2，即 a2＝3，∴a＝ 3.
答案：B
i ③(2011 年安徽合肥一模)在复平面内，复数 (i 是虚数单 3－i
(3)a＋bi 的共轭复数为 a－bi(a，b∈R)． (4)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面的点 Z(a，b)一一对应． (5)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝ a2＋b2.
2．复数的运算 复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i； z1z2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i； z1 ac＋bd＋bc－adi 2 2 (c ＋d ≠0)． 2 2 z2＝ c ＋d 3．常用结论 1＋i ①(1± ＝± i) 2i；② ＝i；③in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈Z)． 1－i
复数及其运算
复数及其运算复数是数学中的一个重要概念，它在代数和几何中都扮演着重要的角色。
本文将对复数的定义、运算法则以及复数的性质做出详细的解释和说明。
一、复数的定义复数由实部和虚部组成，可以用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部都可以是实数。
二、复数的运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法法则：复数的减法满足减法的定义，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法按照分配律和乘法公式进行，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法法则：复数的除法要利用到共轭复数的概念，即(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
三、复数的性质1. 共轭复数：一个复数的共轭复数是指虚部符号变反，即(a+bi)的共轭复数为(a-bi)。
2. 模：复数的模是指其到原点的距离，在复平面中可以用勾股定理得到。
对于复数a+bi，其模为根号下(a²+b²)。
3. 平方根：复数的平方根可以通过求解二次方程来得到。
对于复数a+bi，其平方根为±根号下[(根号下(a²+b²)+a)/2]+[(根号下(a²+b²)-a)/2]i。
4. 范数：复数的范数是指其模的平方，也就是模的平方根。
对于复数a+bi，其范数为a²+b²。
综上所述，复数是由实部和虚部组成的数，并且复数的运算遵循特定的法则。
复数的共轭、模、平方根和范数等概念对于理解和应用复数有着重要的作用。
在代数和几何的研究中，复数的运算与复平面的结构密切相关，大大拓展了数学的领域。
通过学习复数及其运算法则，可以帮助我们更好地理解和解决涉及到复数的问题，如解方程、计算向量等。
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第一讲 复数的概念与运算
1. 复数的分类
复数()R b a bi a ∈+,是纯虚数⇔ ⇔ ； 复数()R b a bi a ∈+,是实数⇔ ⇔ ；
例1.复平面内，若()()i m m m m z 23222+-+--=所对应的点在虚轴上，则实数m = .
例2. 设复数()()i x x x x z ⋅+-+--=6log 5log 3log log 32
32323， 当x 为何值时，复数z 为： （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
例3．若z 为虚数，且1=z ，求证：1
1+-z z 为纯虚数
例4. 复数与实数的异同点
以下哪些结论对于实数成立，但对于虚数不成立？写出其序号
（1）02≥x （2）y x y x >⇒>-0 （3）y x y x -=⇒=+0
（4）0022==⇒=+y x y x （5）()2222y xy x y x ++=+ （6）22x x =
2. 两个复数相等
若12z z =⇔ ；
例1：复数z 满足i z z +=+2__
，求复数z 。
例2. 已知实数y x a ,,满足()()0222=-++++i y x xy a i a ，求点()y x ,的轨迹方程。
例3. 已知方程()02122=-+--i p x i x 有实根，则实数p =
3. 复数运算中的常用量
（1）()()101011i i --+= 。
（2）当z =21i
-时，z 100＋z 50＋1的值等于
（3） 20061()1i i -+=
（4） 当n 取遍正整数时，n n i i -+可表示 个不同值。
（5）i 表示虚数单位，则2008321i i i i ++++ 的值是
（6）1的立方虚根为1,23
213=±-=w i w ，特性：__22;01w
w w w ==++
应用：
① 计算10
2321⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-i 的值为
② 已知i w 23
21
+-=，则100321w w w w +⋅⋅⋅++++=
4. 复数的运算
例1. 求复数i 125+的平方根
例2：已知i i z z b az z i z -=++-+++=11,149
22，求实数b a ,的值。
课后练习
1. 如果两个数不能比较大小，那么这两个复数（ ）
A ．都是虚数 B.至少有一个是实数 C.至少有一个是虚数 D.最多有一个是虚数
2. 设()()2225322z t t t t i =+-+++，t R ∈，则一下结论中正确的是（ ）
A ．z 的对应点在第一象限 B.z 一定不是纯虚数
C.z 对应的点在实轴的下方
D. z 一定不是实数
3. 已知ni i m
-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=-ni m ；
4. 计算()
()
44
1111i i i i +-+-+= ；
5. 复数z 满足方程1zi i =-，则z = ；
6. 如果复数i bi
212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于 ；
7. 求复数2410i -的平方根；
8．设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，求z z。