简单复合函数的导数
复合函数求导方法
复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。
对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下基本的导数求法。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。
而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。
链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。
简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。
假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。
首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。
按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。
然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。
最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。
通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。
除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。
人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3 简单的复合函数的导数
复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每 次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为 止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．
课时学案
题型一 明确复合关系
例 1 指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(2－x2)3；
(2)y＝sinx2；
(3)y＝cosπ4－x； (4)y＝lnsin(3x－1)．
2．若可导函数 f(x)满足 f′(3)＝9，则 f(3x2)在 x＝1 处的导数 值为_____54___．
解析 ∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)， ∴f(3x2)在 x＝1 处的导数值为 6×1×f′(3)＝54.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝sin22x＋π3； (2)y＝cos22x；
【解析】 (1)设 y＝u2，u＝－2x＋1，则 y′x＝y′u·u′x＝2u·(－ 2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设 y＝eu，u＝x－1，则 y′x＝y′u·u′x＝eu·1＝ex－1.
(3) 设
y ＝ log2u ， u ＝ 2x ＋ 1 ， 则
y′x
＝
y′u
·
u
′
x
＝
2 uln2
【解析】 ∵y＝ x21－3x＝(x2－3x)－12， ∴y′＝－12(x2－3x)－32·(x2－3x)′ ＝－12(x2－3x)－32·(2x－3)． ∴曲线 y＝ x21－3x在点4，12处的切线斜率为 k＝y′|x＝4＝－ 12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－156. ∴曲线在点4，12处的切线方程为 y－12＝－156(x－4)，即 5x ＋16y－28＝0.
【解析】 (1)函数的导数 f′(x)＝12· 3x12＋1·6x＝ 3x32x＋1， 则曲线在点(1，2)处的切线斜率 k＝f′(1)＝ 33＋1＝32，则对应 的切线方程为 y－2＝32(x－1)， 即 3x－2y＋1＝0. (2)y′＝x(1－x2)－32，令 y′＝0，得 x＝0，∴y＝1.
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则复合函数的求导是微积分中的重要概念之一，常用于解决实际问题中的导数计算。
在本文中，将介绍简单复合函数和复合函数的求导法则，以及一些例题的解答。
简单复合函数指的是由一个基本函数和一个简单函数复合而成的函数。
例如，如果有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，那么可以通过将这两个函数进行复合得到一个新的函数y=f(g(x))。
我们可以使用链式法则来计算这个复合函数的导数。
链式法则是求导中最基本的方法之一，它可以帮助我们计算复合函数的导数。
链式法则的表达式为：(dy/dx) = (dy/du)*(du/dx) 或者 f'(g(x))=f'(u)*g'(x)其中，dy/dx表示函数y关于x的导数，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。
举个例子，如果y=sin(3x)和u=3x，那么我们可以将它们复合为y=sin(u)，然后利用链式法则求导。
首先通过求导公式得到dy/du=cos(u)，然后通过将du/dx代入得到dy/dx=cos(u)*3、因此，我们得出了函数y=sin(3x)的导数为dy/dx=3*cos(3x)。
复合函数指的是由两个以上的函数复合而成的函数。
与简单复合函数不同，复合函数的求导需要使用多次链式法则来计算。
下面是一些常见的复合函数求导法则：1.和法则如果一个函数可以表示为两个函数之和的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
即，如果y=f(x)+g(x)，那么dy/dx=f'(x)+g'(x)。
比如，对于函数y=x^2+3x，我们可以将其分解为f(x)=x^2和g(x)=3x两个函数的和。
然后分别求导得到f'(x)=2x和g'(x)=3、最后，将两个导数相加得到dy/dx=2x+32.差法则如果一个函数可以表示为两个函数之差的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
新人教版高中数学选择性必修第二册第五章简单复合函数的导数
8.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__2___.
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)， 则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)， 又曲线的导数为 y′＝x＋1 a， ∴y |x＝x0 ＝x0＋1 a＝1，即 x0＋a＝1. 又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
课堂小结
1.知识清单： (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分 清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.
随堂演练
1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是
√A.y＝un，u＝x2－1
内容索引
一、复合函数概念的理解 二、求复合函数的导数 三、复合函数的导数的应用
随堂演练
课时对点练
一、复合函数概念的理解
问题1 函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？ 提示 y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位 置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则 函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数 函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它 只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思.
1234
3.设 f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则 f′(0)等于
A.1
√B.32
C.－1
D.－2
解析 f′(x)＝3x＋3 2－6x，故 f′(0)＝32－0＝32.
复合函数的导数 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x ) = c , 则 f' ( x ) = 0;
n
n -1
公式 2.若f ( x ) = x , 则 f' ( x ) = nx ;
公式 3.若f ( x ) = sinx , 则 f' ( x ) = cosx;
公式4.若f ( x ) = cosx , 则 f' ( x ) = -sinx;
x
1
x2, 由题意知, e = + =1,
∴x1=0, x2=1−b, 两切点分别为(0, 1+a), (1-b, a2);
两切点处的切线方程分别为y−(1+a)=x和y−a2=x−(1−b),
2
2
2
故a+1=a −1+b, 则b=−a +a+2=−(a−) + ≤ ,
∴b的取值范围是 −∞, .故选D.
=2e2xcos3x−3e2xsin3x
∴曲线在点(0, 1)处的切线的斜率为y′|x=0=2,
∴切线方程为y-1=2x，即y=2x+1.
−
设l的方程为y=2x+m, 则 = , 解得m=−4或m=6.
当m=−4时, l的方程为y=2x−4; 当m=6时, l的方程为y=2x+6.
所以l的方程为y=2x−4或 y=2x+6.
=2[cosx∙cosx+sinx∙(−sinx)]
=2(cos2x−sin2x) =2cos2x
另一方面，y′u＝(sinu)′＝cosu ，u′x＝(2x)′=2 ,
可以发现 y′x＝2cos2x=cosu×2=y′u×u′x .
简单复合函数的导数 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册
)
x
(
1
x
)
.
2
5 1 x
1 x
5 1 x
(1 x)
5
1
2 2
2
2
2
y
(2
x
3)
1
x
(2
x
3)(1 x ) ;
解:
1
2 2
讲
课
人
：
邢
启
强
1
1
y 4 x(1 x ) (2 x 2 3) (1 x 2 ) 2 2 x
2
2
3
即曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,
所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
讲
课
人
：
邢
启
强
13
典型例题
例4(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
A. 5
B.2 5
C.3 5
)
D.0
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'|= =2 求P(x ,y )→由点到直线的距离求最小值
复合导函数公式
复合导函数公式在我们学习数学的过程中，复合导函数公式可是个相当重要的家伙！它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多复杂问题的大门。
还记得我之前教过的一个学生小明，他在学习复合导函数公式的时候，那叫一个头疼。
一开始，他看到那些复杂的式子，眼睛瞪得老大，完全不知所措。
咱们先来说说复合导函数公式到底是啥。
简单来讲，复合函数的求导法则就是“链式法则”。
假设我们有一个复合函数 y = f(g(x))，那么它的导数就是 y' = f'(g(x)) * g'(x)。
比如说，有个函数 y = (2x + 1)^2 ，这就是个复合函数。
我们令 u =2x + 1 ，那原函数就变成了 y = u^2 。
先对 u 求导，u' = 2 ；再对 y 求导，y' = 2u 。
然后把 u = 2x + 1 带回去，得到 y' = 2(2x + 1) * 2 = 4(2x + 1) 。
再看一个例子，y = sin(3x) 。
令 u = 3x ，原函数变成 y = sin u 。
u' = 3 ，y' = cos u 。
所以 y' = cos(3x) * 3 = 3cos(3x) 。
回到小明这儿，我发现他最大的问题就是一看到式子就慌，根本不知道从哪儿下手。
我就告诉他，别着急，先把复合函数一层一层剥开，找到最里面的那个“芯”，然后从外到内一步一步求导。
我让他多做几道练习题，刚开始他做得磕磕绊绊，不是这儿错就是那儿错。
但慢慢地，他找到了感觉，做得越来越顺。
复合导函数公式在很多实际问题中都有大用处呢！比如说，在研究物理中的运动问题时，位移和时间的关系可能就是个复杂的复合函数，这时候就得靠复合导函数公式来求出速度。
总之，复合导函数公式虽然看起来有点复杂，但只要我们掌握了方法，多练习，就一定能把它拿下。
就像小明一样，只要不放弃，总会有突破的那一天。
希望大家在学习复合导函数公式的时候，都能有耐心，有信心，把这个难题变成自己的得分利器！。
复合函数求导举例
复合函数求导举例
复合函数求导是微积分中的重要概念之一。
当一个函数中包含另一个函数时，我们可以利用复合函数求导法则来求导。
举个简单的例子来说明这个概念：
假设我们有一个函数y = f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是可导的函数。
我们想要求这个复合函数关于自变量x的导数。
首先，我们根据复合函数求导的法则，可以得到dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
也就是说，复合函数的导数等于外函数对内函数求导后再乘以内函数对自变量求导。
举一个具体的例子来理解这个概念。
假设f(x) = x^2，g(x) = 2x。
那么，y = f(g(x)) = (2x)^2 = 4x^2。
现在我们来求y关于x的导数。
首先，f'(x) = 2x，g'(x) = 2。
根据复合函数求导法则，dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2(2x) * 2 = 8x。
所以，这个例子中复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数就是
8x。
复合函数求导在微积分中具有广泛的应用，尤其在物理、经济等领域中能够帮助我们分析问题和解决实际的数学模型。
因此，了解并掌握复合函数求导的方法对于学习和应用微积分都是非常重要的。
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5.2.3简单复合函数的导数课件高二上学期数学人教A版选择性
(4)y'=
2
1
1
(2-1) 2 -(2-1)2
-
=
2
=
1-
.
2 2-1
探究点三
与复合函数有关的切线问题
【例 3】 [人教 B 版教材习题]求正弦型曲线
方程.
解
π
∵y=sin(2x+2)=cos
2x,
∴y'=-2sin 2x,∴y'|=π =-2,
4
∴切线方程为
即
π
y=-2x+2.
变式训练1求下列函数的导数:
3x-2
(1)y=10
;(2)y=
1
4
(1-3)
π
(3)y=2sin(3x- );(4)y=
6
;
1
.
1-2
解 (1)令u=3x-2,则y=10u,所以yx'=yu'·ux'=10uln 10·(3x-2)'=3×103x-2ln 10.
(2)令 u=1-3x,则
所以 y'u=-4u
π
y=-2(x-4),
π
π
y=sin(2x+2 )在点(4 ,0)处的切线
规律方法 解此类问题的关键点:
(1)求复合函数的导数,这是正确解答的前提条件,要注意把复合函数逐层
分解,求导时不要有遗漏.
(2)求切线方程,注意切线所过的点是否为切点.
变式训练3[北师大版教材习题]求曲线y=ln(3x-2)在x=1处的切线的方程.
清是对哪个变量求导;(3)计算结果复杂化.
学以致用·随堂检测促达标
1.(多选题)函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是( AD )
5.2.3简单复合函数的导数
[解析]①y＝u5，u＝cosx ③y＝log2u，u＝x2－2x ⑤y＝eu，u＝x2－2
1
② y＝u4 , u＝3－lnx ④y＝sinu，u＝x2＋1
1
⑥ y＝lnu，u＝ v3 ,v＝ex＋2
4.复合函数的求导法则
即:y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积
有的同学会疑问：老师，这里复合函数的求导法则给人感觉是线性的。那世界的本源是线性 的还是非线性的。比如薛定谔方程是线性的，爱因斯坦场方程是非线性的。
（7） y 2(2x3) log2 x
不是
（8）
y
x2 2x 3
不是
注（7）不是复合函数，假如（7）是，则（5）也是。
尝试练习 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的．
①y＝cos5x
②y＝4 3－lnx
③y＝log2(x2－2x) ④y＝sin(x2＋1)
⑤ y ex22
⑥y＝ln3 ex＋2
例如,函数y 2x 32 由y u2和u 2x 3"复合"而成, 等等.
判断下列函数哪些是复合函数
（1）
y
sin(2
x
3
)
是
（2） y 3x3 x 5 不是
（3） y 2x sin x
不是 （4） y ln(2x 3) 是
（5） y (2x 3)log2 x 不是 （6） y (2x 3)5 是
公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a(a 0);
公式6.若f ( x) ex , 则f '( x) ex ;
公式7.若f
( x)
loga
x, 则f
'( x)
高中数学课件-3.6.1简单复合函数的求导法则(最经典)
练3 求曲线y 3 (3x2 1)在点（1，3 4）处的切线方程。
【解析】
复习检测
复习检测
复习检测
复习检测
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
y cosx
y sin x
y
1 c os2
x
2.导数的四则运算法则：
设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
1) (u(x) v(x)) ' u '(x) v '(x)
2) (u(x) v(x)) ' u '(x)v(x) u(x)v '(x)
(2) y e0.05x1
解：(1)函数y e0.05x1可以看作函数y eu和 u 0.05x 1的复合函数。根据复合函数求导法则有
yx ' yu '• ux ' (eu ) '• (0.05x 1) ' 0.05eu 0.05e0.05x1
(3)y sin( x )(其中，均为常数)
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
3)
u(x)
v(x)
u
'(x)v(x) u(x)v v2 ( x)
'(x)
14:44:49
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ((x)), 令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
3)设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
例 3 设 y 1 x2 , 求 y .
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
简单复合函数的导数
选修2-2 导数及其应用§1.2.3 简单复合函数的导数 (总第52课时)一、【目的要求】（1）掌握求复合函数()f ax b +的导数的法则 ； （2）熟练求简单复合函数的导数。
二、【重点难点】 复合函数的求导法则是本节课的重点与难点。
三、【知识回顾】 1、常见函数的导数公式：=+‘)(b kx ； ='C ；(C 为常数) =')(αx ；（α为常数）=')(x a ； =')(log x a ； =')(x e ；=')(ln x ； =')(sin x ； =')(cos x 。
2、导数的四则运算法则：')(v u ±=________ ________)('=uv ________)('=vu四、引入：1、试求：2)13()(-=x x f 的导数。
解法1：展开后求导知618)('-=x x f ；解法2：26)13(2)('-=-=x x x f ，两者得到的结论不一致，显然解法2是存有问题的。
那究竟存有什么问题呢？我们先从今天学的复合函数说起。
2、什么是复合函数？由几个基本初等函数复合而成的函数，叫复合函数．上述函数由2)(u u f =，u=3x-1复合而成； 又如y=sin2x 由y=sinu ，u=2x 复合而成。
由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量，f(u)为外函数，u(x)为内函数。
对于2)13()(-=x x f ，因为)13(22)('-==x u u f ，而3'=x u ，因而x u u f x f ''')()(⋅==2(3x-1)×3=6(3x-1)=18x-6，这样与解法1是一致的。
3、我们考察y=sin2x ，x y 2cos '=对吗？一方面''')cos (sin 2)cos sin 2(x x x x y ===……=2cos2x ，所以上述解法是不对的，但此法繁琐。
高中数学人教A版选择性必修二11导数的运算——简单复合函数的导数
编号：11 高二数学 ◆选修 2◆ 例 3：求下列函数在给定点处的导数
（1） y e2x1在x= 1 处的导数 2
（2） y ln(5x 2)在x=1处的导数
课后巩固
1、设 f x ln x2 1 ，则 f 2 （ ）
A． 4 5
B． 1 5
C． 2 5
D． 3 5
2、已知函数 f (x) 2ln(3x) 8x 则 lim f (1 2x) f (1) 的值为（ ）
x0
x
A． 20
B． 10
C．10
D．20
3、已知 f (x) ln x ，则 f '(1) （
2x
2
A． 2 ln 2
B． 2 ln 2
）
C． 2 ln 2
D． 2 ln 2
4、已知 f x ln2x 1 ax ，且 f 2 1，则 a （ ）
4
编号：11 A． 7
5
高二数学 ◆选修 2◆
（2） y log1 (3x 1)
2
（3） y (2x 3)2
（4） y 3x 1
（5） y e3x
（6） y 2x2 3
（7） y sin 2x
例 2：求下列函数的导函数
（1） y xnex
（8） y cos(x ) 3
（2） y 3x e3x
2
编号：11 高二数学 ◆选修 2◆
B．设函数 f x xln x ，若 f x0 2 ，则 x0 e C．已知函数 f x 3x2e2x ，则 f 1 12e
D．设函数 f x 的函数为 f x ，且 f x x2 3xf 2 ln x ，则 f 2 9
4
7、函数 f x 1 x ln(1 2x) 的导函数是 f x ，则 f x ______________.
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导假设有函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)是数学上已知的函数，g(x)是一个部分能够被简化的函数。
那么我们想要求解复合函数y=f(g(x))的导数。
首先，我们将复合函数的导数表示为dy/dx。
根据链式法则，dy/dx 等于dy/du再乘以du/dx。
根据定义，dy/du是函数f(u)的导数，可以表示为df/du。
而du/dx是函数u=g(x)的导数，可以表示为dg/dx。
这样，我们可以将复合函数的导数表示为：dy/dx = (df/du) * (du/dx)现在我们需要分别求解df/du和du/dx。
我们首先考虑求解df/du。
根据定义，导数df/du等于f(u)在u点的斜率，即：df/du = lim(h->0) [f(u+h) - f(u)] / h我们可以对该式进行变形，将f(u+h)表示为f(u)+Δf(u)，其中Δf(u)是一个趋近于0的小量。
这样，我们可以将上式表示为：df/du = lim(h->0) [Δf(u) / h]接下来，我们将考虑求解du/dx。
假设我们有一个关于x的微小变化Δx，那么对应的u的微小变化Δu可以表示为：Δu=g(x+Δx)-g(x)我们可以对Δu进行变形，将g(x+Δx)表示为g(x)+Δg(x)，其中Δg(x)是一个趋近于0的小量。
这样，我们可以将Δu表示为：Δu=Δg(x)接下来，我们将du/dx定义为：du/dx = lim(Δx->0) [Δu / Δx]将Δu表示为Δg(x)，我们可以将上式表示为：du/dx = lim(Δx->0) [Δg(x) / Δx]现在，我们已经得到了du/dx的表达式。
接下来，我们将求解df/du 和du/dx。
根据定义，当h趋近于0时，我们可以将函数f(u)在u点的斜率df/du表示为：df/du = f'(u) = lim(h->0) [f(u+h) - f(u)] / h同样地，我们可以将du/dx表示为：du/dx = lim(Δx->0) [Δg(x) / Δx]现在，我们可以将复合函数的导数dy/dx表示为：dy/dx = (df/du) * (du/dx) = [lim(h->0) (f(u+h) - f(u)) / h] * [lim(Δx->0) (Δg(x) / Δx)]我们可以对上式进行分析，根据极限的性质，我们可以得到：dy/dx = lim(h->0) [f(u+h) - f(u)] / h * lim(Δx->0) (Δg(x) / Δx)进一步简化，我们可以将h表示为Δu，并将Δx表示为dx，得到：dy/dx = lim(Δu->0) [f(u+Δu) - f(u)] / Δu * lim(dx->0) (Δg(x) / dx)注意到，当Δu趋近于0时，g(x)的极限等于g(x)，即lim(Δu->0) g(x) = g(x)。
5.2.3简单复合函数的导数
l
为 =
2
18(
3
解：函数 =
− ).求函数在
2
2
18(
3
= 3 时的导数，并解释它的实际意义.
− )可以看作函数
2
= 18 和 =
2
3
−
的复合函数，
2
根据复合函数的求导法则，有：
’
=
’
∙
’
= (18
2
’
) ∙ (
3
−
’
)=
2
18 ×
2
3
=
2
12(
3
3
2
当 = 3时， ’ = 12( ) = 0.
它表示当 = 3时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 /.
− ).
2
练习
题型一：求复合函数的导数
例1.求下列函数的导数：
l
示成的函数，那么称这个函数为函数 = ()和 = ()的复合函数，记作
= (()).
l
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函
数 = (2 − 1)由 = 和 = 2 − 1复合而成.又如，函数 = 2由
= 和 = 2复合而成.
如何求复合函数的导数呢？我们先来研究 = 2的导数.
新知探索
一个合理的猜想是，函数 = 2的导数一定与函数 = ， = 2的导
l
数有关.下面我们就来研究这种关系.
l
以 ’ 表示对的导数， ’ 表示对的导数，’ 表示对的导数.一方面，
5.2 5.2.3 简单复合函数的导数
5．2.3简单复合函数的导数考点学习目标核心素养复合函数的导数能够利用导数的运算法则推导出简单复合函数f(ax＋b)的导数，并能利用它求其他复合函数的导数数学抽象、数学运算复合函数的导数的应用会用复合函数的导数求解相关问题数学运算问题导学预习教材P78倒数第一行～P80的内容，并思考下列问题：1．复合函数的定义是什么？2．如何求复合函数的导数？1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．■名师点拨在复合函数定义中，y是因变量，x是自变量，u是中间变量，因变量y是中间变量u的函数，中间变量u是自变量x的函数．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x ＋5＋ln x ，y ＝ln(2x ＋5)和y ＝sin(x ＋2)都是复合函数．( ) (2)函数y ＝ln(3x ＋1)是函数y ＝ln u ，u ＝3x ＋1的复合函数．( ) 答案：(1)× (2)√2．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1答案：A3．已知f (x )＝sin n x ，则f ′(x )＝( ) A ．n sin n －1x B ．n cos n －1xC.cos n x D ．n sin n －1x ·cos x解析：选D.由于f (x )＝sin n x ，由函数y ＝t n ，t ＝sin x 复合而成，所以y ′x ＝y ′t ·t ′x ＝nt n －1·cos x ＝n sin n －1x ·cos x .4.已知f (x )＝ln(2x ＋5)，则f ′(1)＝____________． 解析：因为f ′(x )＝12x ＋5(2x ＋5)′＝22x ＋5， 所以f ′(1)＝22×1＋5＝27.答案：27探究点1 简单复合函数求导求下列函数的导数． (1)y ＝e cos x ＋1；(2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6；(4)y ＝11－2x . 【解】 (1)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y′x＝y′u·u′x＝e u·(－sin x)＝－e cos x＋1·sin x.(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2u ln 2＝2（2x＋1）ln 2.(3)设y＝2sin u，u＝3x－π6，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos(3x－π6)．(4)设y＝u－12，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝(u－12)′·(1－2x)′＝－12u－32×(－2)＝(1－2x)－32.(1)求复合函数导数的步骤(2)求复合函数导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．求下列函数的导数．(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(e x＋x2)；(3)y＝sin4x＋cos4x.解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u，所以y′x＝y′u·u′x＝10u ln 10·(3x－2)′＝3×103x－2·ln 10.(2)令u＝e x＋x2，则y＝ln u，所以y′x＝y′u·u′x ＝1 u·(e x＋x2)′＝1e x＋x2·(e x＋2x)＝e x＋2xe x＋x2.(3)因为y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－14(1－cos 4x)＝34＋14cos 4x，所以y′＝⎝⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x′＝－sin 4x.探究点2复合函数与导数的运算法则的综合应用求下列函数的导数．(1)y＝ln 3xe x；(2)y＝x1＋x2；(3)y＝x cos(2x＋π2)sin(2x＋π2)．【解】(1)因为(ln 3x)′＝13x×(3x)′＝1x，所以y′＝（ln 3x）′e x－（ln 3x）（e x）′（e x）2＝1x－ln 3xe x＝1－x ln 3xx e x.(2)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝（1＋2x2）1＋x21＋x2.(3)因为y＝x cos(2x＋π2)sin(2x＋π2)＝x(－sin 2x)cos 2x＝－12x sin 4x，所以y′＝⎝⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x′＝－12sin 4x－x2cos 4x·4＝－12sin 4x－2x cos 4x.(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．求下列函数的导数．(1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (3)y ＝11－x；(4)y ＝x ln(1＋x )． 解：(1)因为y ＝1－cos 23x2，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－cos23x 2′＝13sin 23x . (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3 )′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3. (3)y ′＝0－（1－x ）′1－x＝－12（1－x ）－12（1－x ）′1－x＝12（1－x ）1－x.(4)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′＝ln(1＋x )＋x 1＋x. 探究点3 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R)，曲线y＝f(x)与直线y＝3 2x在(0，0)点相切，求a，b的值．【解】由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a＝32，故a＝0.本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目的隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．曲线y＝e sin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．解：设u＝sin x，则y′＝(e sin x)′＝(e u)′(sin x)′＝cos x·e sin x，即y′|x＝0＝1，则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.因为直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.两平行线间的距离d＝|c－1|2＝2⇒c＝3或c＝－1.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.1．函数y ＝(2 016－8x )3的导数等于( ) A ．3(2 016－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 016－8x )2D ．24(2 016－8x )2解析：选C.y ′＝3(2 016－8x )2×(2 016－8x )′ ＝3(2 016－8x )2×(－8)＝－24(2 016－8x )2.2．函数y ＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的导数为( )A ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 B ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ′＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选 B.y ′＝(x 2)′cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 3．函数y ＝1（3x －1）2的导数是( )A.6（3x －1）3B.6（3x －1）2C ．－6（3x －1）3D ．－6（3x －1）2解析：选C.y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（3x －1）2′＝－2（3x －1）3·(3x －1)′＝－6（3x －1）3，故选C. 4．己知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝__________ . 解析：因为f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，所以f ′(1)＝32. 答案：325．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝__________．解析：由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.答案：2[A 基础达标]1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4解析：选BCD.A 中的函数是一个多项式函数；B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数；C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u 的复合函数；D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选BCD.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5的导数为( )A ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4B ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xC ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2D ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x解析：选C.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5是函数y ＝u 5与u ＝x ＋1x 的复合函数，所以y ′x＝y ′u ·u ′x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2.3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5解析：选 B.y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B.设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln （x 0＋a ），解得x 0＝－1，a ＝2.5．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13 B.12 C.23 D ．1解析：选A.y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，解得x ＝y ＝23，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以围成的三角形的面积为12×23×1＝13.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是__________． 解析：因为y ＝sin 2x cos 3x ， 所以y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x7．曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线的斜率为__________．解析：y ′x ＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1，1)处的切线的斜率为2.答案：28．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2且f ′(2)＝20，则a ＝________．解析：令u ＝2x ＋a ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，所以a ＝1.答案：19．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ，b 是常数)的导数．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x 3，又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x ，所以y ＝a sin x3＋b cos 2 2x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .10．曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解：由y ′＝(e 2x cos 3x )′ ＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x ) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )， 得y ′|x ＝0＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.因为直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5⇒c ＝6或c ＝－4.故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.[B 能力提升]11．己知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：选D.y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e x （e x ）2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x＋1e x ≥2，所以e x ＋1e x ＋2≥4， 所以y ′∈[－1，0)，即tan α∈[－1，0)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．在等比数列{}a n 中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝__________．解析：因为f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)·…·(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x (x －a 2)·…·(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 7)，所以f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4 096.答案：4 09613．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________．解析：设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝014．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程；(2)求S (t )的解析式．解：(1)因为y ＝e －x ，所以y ′x ＝(e －x )′＝－e －x ，当x ＝t 时，y ′x ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0.(2)令y ＝0，得x ＝t ＋1.令x ＝0，得y ＝e －t (t ＋1)．所以S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．[C 拓展探究]15．设曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．解：作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1， 所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，P (1，0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1，0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，|2×1－0＋3|22＋12＝55＝ 5.最短距离d＝。
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简单复合函数的导数
1. 函数f(x)=cos(−2x)的导函数是( )
A.2cos2x
B.−2cos2x
C.2sin2x
D.−2sin2x
2. 已知函数f(x)=e2x+1−3x，则f′(0)=( )
A.0
B.−2
C.2e−3
D.e−3
3. 设函数f(x)=−cos x−x4的导函数为g(x)，则|g(x)|的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4. 设f(x)=sin x cos x，则f(x)在点(π
6,f(π
6
))处的切线的斜率为( )
A.1
2B.√3
2
C.−1
2
D.−√3
2
5. 函数f(x)=ln x
x
，则f′(e)值为( )
A.0
B.1
C.1
e D.1
e2
6. 若函数f(x)=(2x−x2)e x的导数为f′(x)，则f′(x)=（）
A.2(x+1)e x
B.(2−x2)e x
C.(2+x−x2)e x
D.2(x−1)e x
7. 已知函数f(x)=x3−2x2+x−3，则f′(2)=( )
A.−1
B.5
C.4
D.3
8. 已知函数，则的导函数()
A. B. C. D.
9. 函数y=x2sin x的导函数为________.
10. 函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=x2+2f′(0)x+tan x，则f′(0)+f(0)=________.
11. 设函数f(x)=x2+1
e x
.
(1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程．
12. 求下列函数的导数：
(1)f(x)=x3+6x−2
；
x
(2)f(x)=cos x
；
e x
x.
(3)f(x)=(x−1)2log
2
13. 已知函数f(x)=(2x−1)2+5x．
(1)求f′(x)；
(2)求曲线y=f(x)在点(2,19)处的切线方程．14. 分别求下列函数的导数.
(1)y=e x
；
x
(2)y=(2x2−1)(2x+1)+2sin x⋅cos x.
参考答案
一、选择题
1.D
2.C
3.D
4.A
5.A
6.B
7.B
8.B
二、填空题
9. y′=2x sin x+x2cos x
10.−1
三、解答题
11.解：(1)∵f(x)=x2+1
e x
，x∈R，
∴f′(x)=(x2+1)′e x−(x2+1)(e x)′
(e x)2
=2xe x−(x2+1)e x
(e x)2=−x2+2x−1
e x
.
(2)因为f′(0)=−1，f(0)=1，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−1=−x，即y=−x+1.
12.解：(1)f′(x)=(x3)′+(6x)′−(2
x )
′
=3x2+6+2
x2
．
(2)f′(x)=(cos x)′e x−(e x)′cos x
(e x)2
=−sin x⋅e x−e x⋅cos x
e2x
=−sin x+cos x
e x
.
(3)∵f(x)=(x2−2x+1)log
2x，
∴f′(x)=[(x2−2x+1)log
2
x]′
=(x2−2x+1)′⋅log
2x+(x2−2x+1)⋅(log
2
x)′
=2(x−1)log
2x+x2−2x+1
x ln2
.
13.解：(1)f′(x)=4(2x−1)+5=8x+1.
(2)f′(2)=17，
故切线方程是：y−19=17(x−2)，
即17x−y−15=0．
14.解：(1)y′=(e x)′⋅x−e x⋅x′
x2=e x⋅x−e x
x2
.
(2)y=(2x2−1)(2x+1)+2sin x⋅cos x =4x3+2x2−2x−1+sin2x，
∴y′=(4x3+2x2−2x−1+sin2x)′=12x2+4x−2+2cos2x.。