【精品】2018学年福建省厦门一中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

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2018学年福建省厦大附中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．（5分）命题“∃x∈R，x2+4x+5≤0”的否定是（）
A．∃x∈R，x2+4x+5＞0B．∃x∈R，x2+4x+5≤0
C．∀x∈R，x2+4x+5＞0D．∀x∈R，x2+4x+5≤0
2．（5分）抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）
A．y=2B．C．D．y=﹣2
3．（5分）某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）
A．20辆B．40辆C．60辆D．80辆
4．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
5．（5分）如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）
A．B．C．D．无法计算。

福建省厦门市高二上学期期中考试数学试题Word版含答案

考号_____________ 班级_________ 座号______ 姓名_____________厦门市翔安第一中学2016～2017学年第一学期高二年期中考试卷数学科命题人：郭志坚审核人：江雪华（考试时间： 120 分钟满分：150 ）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“若a ＞－3，则a ＞0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2.已知a <0，－1<b <0，则有( )A ．ab 2<ab <aB ．a <ab <ab 2C ．ab >b >ab 2D ．ab >ab 2>a 3.若数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 1＝12，则a 2016等于( )A.12B ．2C ．－1D ．1 4.边长为1( )A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°5.已知0,0a b >>，,,2a b -成等差数列，又,,2a b -适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于（）A ．3B ．4C ．5D ．66.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7.已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图像过点(1,2)，记1()n a f n =. 若数列{}n a 的前n 项和为S n ，则S n 等于( )A.1n B.11n + C. 1n n - D.1n n + 8.下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sinx ，(0,)2x π∈C ．y ＝42x x +，[0,)x ∈+∞D ．y ＝x 2＋3x 2＋29.一船以22 6 km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为( )A ．66 kmB ．96 kmC ． 132 kmD ．33 km 10.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 11.已知0x >，若2y x -=，则x y +的最小值是( )A ． 2233B ．3323C ．233 D ．32212．已知命题p ：m >2，命题q ：x 2＋2x -m ＞0对[1,2]x ∈恒成立.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．2<m ＜3B ．m ＞2C ．m ＜-1或m ＞2D ．m <-1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝40米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________米.14.设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的_________________条件.(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)15.已知正数x ，y 满足8x y xy +=，则x ＋2y 的最小值为__________.16.在公差不为零的等差数列{a n }中，18a =，且157,,a a a 成等比数列，则n S 最大时，13题图40n S =________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，π4A =,10cos 10B =．（1）求cosC ；（2）设5BC =，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -1∣.（1）在答题卷该题图中画出y = f (x )的图像；（2）求不等式f (x )+1﹥0的解集.19.（本小题满分12分）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润．该公司如何正确规划投资，才能在这两个项目上共获得的利润最大，最大利润是多少？20.（本小题满分12分）变量x 、y 满足430,35250,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩.(1)设z ＝1yx -，求z 的取值范围； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的最小值．21.（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．（1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围．22.（本小题满分12分）已知{}n a 是等比数列，21=a ，183=a ；{}n b 是等差数列，21=b ，203214321>++=+++a a a b b b b ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设23741-++++=n n b b b b P ，82141210+++++=n n b b b b Q ，其中 ,2,1=n ，试比较n P 与n Q 的大小，并证明你的结论．厦门市翔安一中2016-2017学年度第一学期高二年级期中试卷数学科参考答案与评分标准一、BDCCC BDCAA AA二、14.充分不必要 15.18 16.36三、解答题：17.解：（1）cos 10B =),0(π∈B ，sin 10B ∴==………………2分()C A B π=-+，)4cos(cos B C +-=∴π，B BC sin 4sincos 4cos cos ππ+-=∴2102105=-⋅+⋅=． …………5分（2）根据正弦定理得B ACA BC sin sin =， sin sin BCB AC A⋅∴=3=， ……8分又sin 5C =，……………9分 1sin 32ABC S AC BC C ∆∴=⋅⋅=，即ABC ∆的面积为3. ………………10分18.解：⑴2,1,1()3,1,212,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩………………3分如图所示：………………7分⑵ f (x )﹥-1由-x+2=-1，得x =3,由3x = -1，得13x =-,……………9分∵f (x )﹥-1，133x ∴-<<……………11分所以，不等式的解集为1(,3)3-……………12分19.解：设甲、乙两项目的投资分别为x ，y ，利润为z ， ……………1分则依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ＋y ≤60，x ≥23y ，5≤x ≤60，5≤y ≤60，……………3分目标函数为z ＝0.4x ＋0.6y ，……………4分可行域如下图阴影部分所示．……………6分z ＝0.4x ＋0.6y 化为2533y x z =-+， 213->-，直线2533y x z =-+经过点A 时，z 最大．……………8分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，x ＋y ＝60，得2436x y =⎧⎨=⎩，∴A (24,36)，……………10分所以z max ＝0.4×24＋36×0.6＝31.2……………11分答：投资甲、乙两个项目分别为24、36万元，获得的最大利润，且为31.2万元．……12分20.解：由约束条件430,35250,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩作出(x ，y )的可行域如图所示．…………………………3分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．…………………………5分(1)z ＝1y x -=01y x --表示的几何意义是可行域中的点与点M （1,0）连线的斜率. ∴z min ＝k MB ＝211512y x ==--，…………………………8分∴z 的取值范围为1[,)2+∞.…………………………9分(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． ∴可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，故z 的最小值为2．…………………………12分 21.（1）解法一：A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列B b A cC a cos 2cos cos =+∴……………………2分由正弦定理得，sin cos cos sin A C A C +2sin cos B B = 即B B C A cos sin 2)sin(=+π=++C B A ，B C A sin )sin(=+∴B B B cos sin 2sin =∴…………………………4分又在△ABC 中，,0sin ≠B 21cos =∴B ， π<<B 0 3π=∴B ………………6分解法二：A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列B b A c C a cos 2cos cos =+∴…………2分由余弦定理得，acb c a b bc a c b c ab c b a 2222222222222-+⋅=-++++化简得：ac b c a =-+222……………………4分212cos 222=-+=∴ac b c a B,0π<<B 3π=∴B ……………6分（2）解：3π=B 32π=+∴C A 222sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A π+-=-+-………………8分11cos 2cos 2222A A A =--+=A A 2cos 232sin 231-+)32sin(31π-+=A ……………………10分ABC ∆ 为锐角三角形，32320,26ππππ<-<<<∴A A0)13A π∴<-≤……………11分)cos(sin 22C A A -+∴的范围是（1，……………………12分22.解：（1）设{a n }的公比为q ，由a 3=a 1q 2得23193a q q a ===±，，………………2分当3q =-时，12326181420a a a ++=-+=<， 12320,a a a ++>与矛盾故舍去；………………3分当3q =时，12326182620,a a a ++=++=>符合题意；………………4分设数列的{}n b 的公差为,d123426b b b b +++=由得1434262b d ⨯+=， 12,3,b d ==又解得3 1.n b n =-所以………………6分（2）b 1,b 4,b 7,…,b 3n-2组成以3d 为公差的等差数列，所以21(1)953;222n n n P nb d n n -=+⋅=-………………7分又10121428,,,,n b b b b +组成2d 为公差的等差数列，1029,b =210(1)2326,2n n n Q nb d n n -∴=+⋅=+………………8分 22953()(326)(19),222n n P Q n n n n n n ∴-=--+=-………………9分当20n ≥时，;n m P Q > 当19n =时，;n n P Q =当18n ≤时，.n n P Q <………………12分。

福建省厦门第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学理试题

福建省厦门第一中学2017—2018学年度上期中考高二年理科数学试卷满分为150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．如果0a b <<，那么下列各式一定成立的是（）A ．0>-b aB ．bc ac <C ．22b a >D ．ba 11<2．已知命题p ：“若ab ＝1，则a ＋b ≥2”，则下列说法正确的是 ( ) A ．命题p 的逆命题是“若ab ≠1，则a ＋b <2” B ．命题p 的逆命题是“若a ＋b <2，则ab ≠1” C ．命题p 的否命题是“若ab ≠1，则a ＋b <2” D ．命题p 的否命题是“若a ＋b ≥2，则ab ＝1”3.已知数列{}n a 满足：11112n n a a ++=+，且22a =，则4a 等于（）A. B. 11 C. 12 D. 234. {}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =（）A.-10B. -5C. 0D. 55. 如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为 ( )A.1762海里/时 B ．346海里/时C.1722海里/时D ．342海里/时6. ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为.,,c b a 若c b a ,,成等比数列，且c=2a ，则cosB=（）A.41 B.43C.42D.327.已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是 ( )A. 2(,0)2-B. 3(,0)2- C. 32(,)22-- D. 22(,)22-9. 已知()20{,|20}360x y D x y x y x y +-≤⎧⎪=-+≤⎨⎪-+≥⎩，给出下列四个命题：()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥ ()2,,210;P x y D x y ∀∈-+≤：()31:,,4;1y P x y D x +∃∈≤-- ()224,,2;P x y D x y ∃∈+≥：其中真命题的是 ( )A. 12,P PB. 23,P PC. 34,P PD. 24,P P10.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC ，则c bb c+的最大值是 ( )D. 411.已知等差数列{}n a 满足20152017201620170,0a a a a +>+<,12323412n n n n T a a a a a a a a a ++=+++,若对任意正整数n ,恒有n k T T ≤,则正整数k 的值是 ( )A ．2014B ．2015C ．2016D ．201712．已知各项都为整数的数列{}n a 中， 12a =，且对任意的*N n ∈，满足1122n n n a a +-<+， 2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a = ( )A. 201732⋅B. 20172+2 C. 20172+1 D. 20172二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13. 命题p 的否定是“对∀x ∈(0，＋∞)，x >x ＋1”，则命题p 是． 14. 用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________．15．在△ABC 中，B ＝60°，AC ，则AB ＋2BC 的最大值为．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =， 2n n a n a =-， 211n n a a +=+，则100S =__________．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17.已知2()2f x ax bx =++,关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,2-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若0m >，解关于x 的不等式23(1)2()m m x m f x -+-++<18. 已知a R ∈，命题[]2:1,2,-0p x x a ∀∈≥，命题2q :22,-0x R x ax a ∃∈++=.（1）若命题“p q ∧”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.19. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos 0a B A =（1）求A ；（2）当2a b ==时，求ABC ∆的面积．20. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满sin sin [cos cos()]sin A B A B C π+=--⋅.（1）试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若1a b c ++=ABC ∆面积的最大值.21. 已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-.{}n b 是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且3b 是25,b b 的等比中项.（1）求,n n a b ；（2）若()112222n n a b a b a b n t +++≥-+，求实数t 的取值范围.22. 已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立．（1）若21,2n A n b ==，求n B ；（2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．福建省厦门第一中学2017—2018学年度上期中考高二年理科数学试卷答案卷一、选择题：1-5．CCBCA 6-10.BAADD 11-12.CD211sin 22S bc A ===，即2sin a A =，222222cos 2cos 4sin()4,63c b b c a a a A A A A A b c bc bc ππ+-++==+=+=+≤=取等.11. 由20152017201620a a a +=>得20160a >,由201620170a a +<得20170a <,所以等差数列{}n a 的公差0d <,故2016n ≤时0n a >,2017n ≥时0n a <,所以2014n ≤时120n n n a a a ++>, 2015201620170a a a <,2016201720180a a a >,当2017n ≥时120n n n a a a ++<,又()2015201620172016201720182016201720152018a a a a a a a a a a +=+()2016201720162017a a a a =+>0,所以2016n =时n T 最大,12. 12211112232122n n n n n n n n n a a a a a a +++++--<+++=⋅=-++，即 2321321n n n n a a +⋅<-<⋅+-，又2n n Z a a +-∈，则有232n n n a a +=-⋅.则320152017201713120172015()()23(222)2a a a a a a =+-++-=++++=二、填空题13. 00(0,1x x ∃∈+∞>+ 14. 615. 16. 130615. 由正弦定理可知，sin(120),sin ,sin sin AC ACAB A BC A B B=-= 则有AB ＋2BC =2sin(120)4sin 5sin )A A A A A ϕ-+=+=+≤.16. 由题设可得2211n n a a n ++=+，取1,2,3,,49n =⋅⋅⋅可得23456798992,3,4,,50a a a a a a a a +=+=+=⋅⋅⋅+=，将以上49个等式两边分别相加可得23456798992504912742a a a a a a a a +++++++⋅⋅⋅++=⨯=；又3163126251250251005012,31,65,16,2519,5031a a a a a a a a a a a a =+==-==-==+==-==-=，所以10011274311306S =++=.三、解答题17. 解：（1）根据题意得220ax bx ++=的两根为2,121=-=x x ，且0a < 由根与系数的关系可求得1,1a b =-=所以2()2f x x x =-++．（2）原不等式可化为23(1)2()m m x m f x -++++<，即223()0x m m x m -++<，即2()()0x m x m --<，又0m >，所以当2m m <，即01m <<时，2m x m <<；当2=m m ，即1m =时，原不等式的解集为∅；当2m m >，即1m >时，2m x m <<．综上所述，当01m <<时，原不等式的解集为{}2x m x m <<，当1m =时，原不等式的解集为∅，当1m >时，原不等式的解集为{}2x m x m <<．18.解：（1）命题p 为真命题时：令()2-f x x a =，根据题意，只要[]1,2x ∈时，()min 0f x ≥即可，也就是1-01a a ≥⇒≤；命题q 为真命题时，()24420a a ∆=--≥，解得2a ≤-或1a ≥；“p q ∧”为真命题，即,p q 都为真命题，则有(,2]{1}21a a a a ≤⎧⇒∈-∞-⎨≤-≥⎩1或. （2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，因为命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，所以命题p 与q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，12121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩,当命题p为假，命题q 为真时，1121或a a a a >⎧⇒>⎨≤-≥⎩.综上：(2,1)(1,)a ∈-⋃+∞19.解：(1)由正弦定理可得：sin cos 0sin sin cos 0a B A A B B A =⇔=，又sin 0B >，则有sin 0A A =，即tan A =又(0,),A π∈则有3A π=.（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==， 3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=，因为三角形的边0c >，所以3c =，则ABC S ∆=1sin 2bc A =．20.解：（1）依题意得sin sin (cos cos )sin A B A B C +=+法一：由正余弦定理可得：222222()22b c a a c b a b c bc ac+-+-+=+.化简整理可得：222()()()a b a b a b c ++=+，又0a b +>，则22290a b c C +=⇒=︒，即为直角三角形.法二：由正弦定理知：sin()sin()cos sin cos sin B C A C A C B C +++=+，展开化简得(sin sin )cos 0A B C +=，又sin sin 0A B +>，则cos 090C C =⇒=︒，即为直角三角形.（2）1a b c a b =++=+≥，当且仅当a b =时取等，≤1124ABC S ab ∆=≤，即ABC ∆面积的最大值为14，当且仅当a b =时取等.21.解：（1）1n =时，1111211a S a a ==-⇒=，1n >时111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-⇒=，所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，即12n n a -=.设{}n b 的公差为0d ≠，依题意有1231333b b b b d ++=+=，2253,b b b ⋅=即21111()(4)(2)0b d b d b d b d +⋅+=+⇒=，解得10,1b d ==，即1n b n =-.（2）由（1），可知， 12,1n n n a b n -==-，从而()112n n n a b n -=-⨯，令1122n n n T a b a b a b =+++，即()()122112222212n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，③×2，得()()231212222212n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，④ -④，得()231222212n n n T n --=++++--⨯()()221222212n n n n n -=--⨯=--⨯--，即(2)22nn T n =-+，故题设不等式可化为()22(2)nt n n -≥-，（*）当1n =时，不等式（*）可化为2t -≥-，解得2t ≥；当2n =时，不等式（*）可化为00≥，此时t R ∈；当3n ≥时，不等式（*）可化为2n t ≤，因为数列{}2n 是递增数列，所以8t ≤，综上， t 的取值范围是[]2,8.22.解：（1）1n =时，111a S ==，1n >时121n n n a S S n -=-=-，所以*21()n a n n N =-∈. 则有11n n b b +-=，即{}n b 是以2为首项，1为公比的等差数列，即1n b n =+，(1)(3)222n n n n n B n -+=+=. （2）依题意得112(),n n n n B B b b ++-=-即112()n n n b b b ++=-，即12n nb b +=，且111b B a == {}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，112n n b b -=, 11(12)(21)12n n n b B b -==--, 所以111111111n n n n n n n n n n n n b b B B a a B B B B B B +++++++-===-，则31211223112231111111111111111(1)21n n n n n n n b b b a a a a a a B B B B B B B B b b ++++++++=-+-++-=-=-<-，则111,3b ≤即13b ≥（3）由112()n n n n a a b b ++-=-得：112n n n a a ++-=，所以当2n ≥时，11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+132********n n n -+=+++++=-，当1n =时，上式也成立，则21242,22n n n n A n B ++=--=-，所以2124222221n n n n n A n nB ++--==---. 法一：假设存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列，即 111122212121212121t t s s s t t s A A A t s s tB B B +=⇔+=⇔=+-----. 又有2112121s t s t =+>--，即2120s s --<，设*()221,2,s f s s s s N =--≥∈.则有(1)()220sf s f s +-=->，即数列{()}f s 单调递增，又(2)10f =-<，(3)10f =>，则有()0f s <⇒ 2.s =当2s =时，21121213t s t s =-=--，即2310,3t t t --=≥.同理可证当3t ≥数列{231}tt --递增，当3t =时2312t t --=-舍去，当4t ≥时4231212130t t --≥--=>，即2310tt --=无解，综上所述，不存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列.法二：11111(1)2102121(21)(21)n n n n n n n n n A A n n n B B +++++-+-=-=>----，即数列{}n n A B 单调递增. 2[1,2)21n n n A nB =-∈-，又111123()222s t s t A A A B B B +=+<=，又123312431131,,3272A A A B B B ==<=>，则2,s =所以11523t s t s A A A B B B =-= 又3434115265,73153A AB B =<=>，34t ⇒<<，则这样的t 不存在. 综上所述，不存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列.。

福建省厦门一中高二上学期期中考试(数学理)

福建省厦门第一中学2008—2009学年度第一学期期中考试高二年理科数学试卷第Ⅰ卷命题教师：肖文辉审核教师：荆邵武、苏醒民2008.11A 卷（共100分）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1、某校有下列问题：①高三毕业班500名学生中，O 型血有200人，A 型血有125人，B 型血有125人，AB 型血有50人，为研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本；②高二年足球队有11名运动员，要从中抽出2人调查学习负担情况。

方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法. 其中问题与方法能配对的是（）A 、①Ⅰ ②ⅡB 、①Ⅲ ② ⅠC 、①Ⅱ ②ⅢD 、①Ⅲ ②Ⅱ2、从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是( )A 、至少1个白球，都是白球B 、至少1个白球，至少1个红球C 、至少1个白球，都是红球D 、恰好1个白球，恰好2个白球 3、设有非空集合A 、B 、C ，若“a A ∈”的充要条件是“a B ∈且a C ∈”，则“a B∈”是“a A∈”的（）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、第三组的频数和频率分别是 ( ) A 、14和0.14 B、0.14和14 C 、141和0.14 D 、31和1415、右边程序若输入x 的值是351，则运行结果是（） A 、135 B 、351 C 、153 D 、5136、有以下四个命题，其中真命题的个数是（）①“若3a =，则29a =”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1c ≤，则方程220x x c ++=有实根”； ④“若A B A =，则A B ⊆”的逆否命题。

B、A、4B、3C、2D、17、某校经济管理类的学生学习《统计学》的时间(x)与考试成绩(y)之间建立线性回归方程ˆy=a+bx．经计算，方程为ˆy＝20-0.8x，则该方程参数的计算（）A、a值是明显不对的B、b值是明显不对的C、a值和b值都是不对的D、a值和b值都是正确的8、下图有四个游戏盘，撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，若你想增加中奖机会，应选（）9、用秦九韶算法计算多项式74)(6++=xf4.0时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )A、 6 ； 6B、 5 ； 6C、 5 ； 5D、6 ； 510、将389 化成四进位制数的末位是 ( )A、1B、2C、3D、011、图l是某市参加2008年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1A、2A、…、mA(如2A表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)，图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A、6i<B、7i<C、8i<D、9i<12、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，记者走访了四位歌手，甲说“我获奖了”；乙说“甲、丙未获奖”；丙说“是甲或乙获奖”；丁说“是乙获奖”。

福建省厦门市高二上学期期中数学试卷(理科)

福建省厦门市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·遵义模拟) 已知集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·海淀期中) 已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A . ∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B . ∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C . ∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D . ∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解3. （2分） (2019高二下·雅安期末) 函数的一个零点所在的区间是（）A . (0,1)B . (1,2)C . (2,3)D . (3,4)4. （2分）在中，则“A>B”是“”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分）(2017·河西模拟) 已知向量 =（，）， =（，），则∠ABC=（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 120°6. （2分）下列结论中，正确的是（）①命题“如果p2+q2=2，则”的逆否命题是“如果p+q>2，则”；②已知a,b,c为非零的平面向量．甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③p:y=ax(a>0)且是周期函数，q:y=sinx是周期函数，则是真命题；④命题p:的否定是：．A . ①②B . ①④C . ①②④D . ①③④7. （2分）(2017·六安模拟) 将一块边长为10的正方形铁片按图1所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个底面边长为x的正四棱锥形容器（如图2），则函数f（x）= 的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知双曲线（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点恰好是抛物线y2=4x的焦点，则此双曲线的渐近线方程是（）A . x y=0B . x y=0C . 3x y=0D . x3y=09. （2分） (2018高一下·重庆期末) 在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A . 5B . 13C . 9D . 711. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是（）A . ﹣B .C . ﹣D . 不能确定12. （2分）设a＞0，b＞0，A（1，﹣2），B（a，﹣1），C（﹣b，0），若A、B、C三点共线，则+的最小值是（）A . 3+2B . 4C . 6D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知数列是递增的等比数列，a1+a4=9,a2a3=8,则数列的前n项和等于________ 。

福建省厦门市第一中学高二数学上学期期中试题理

福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期期中考试高二年数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1. 已知,a b 是两个不相等的正数，A 是,a b 的等差中项，B 是,a b 的等比中项，则A 与B 的大小关系是A. A B < B. A B > C. A B = D. 11A B < 2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 等于A ．30o B ．60o C ． 30o 或150o D.60o 或120o3．若关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是 A ．2m ≤-或2m ≥ B. 22m -≤≤ C.2m <-或2m > D.22m -<<4．下列各函数中，最小值为2的是A ．1y x x =+ , 0x ≠且x R ∈B ．sin 22sin x y x =+，(0,)x π∈ C ．222y x =+, x R ∈ D ．x xy e e -=+ , x R ∈5.等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,若2610a a a ++为常数,则下列各数中恒为常数的是A ． 6SB ． 11SC ．12SD ． 18S6.已知变量,x y 满足约束条件02200x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为A ．2-B ．1-C ．2D ．1 7. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40° 的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里8.关于x 的不等式20x px q -+<的解集为(,)(0)a b a b <<，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．99. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b ()a b <，其全程的平均时速为v ，则A.a v ab <<2a b ab v +<<ab v b << D. 2a bv += 10．设等差数列的首项和公差都是非负的整数，项数不少于3，且各项和为297，则这样的数列共有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个第1页（共4页）第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 在等比数列{}n a 中，4525a a ==，，则128lg lg lg a a a +++L L 等于 ▲ .12. 已知ABC ∆的等比数列，则其最大角的余弦值为 ▲ . 13.设函数(1)()1(1)x x f x x >⎧=⎨-≤⎩，则不等式()2f x x x -≤的解集是 ▲ .14.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ▲ (单位：元)． 15.已知方程220x ax b ++=(,)a R b R ∈∈，其一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则31b a --的取值范围为 ▲ . 16．平面内有()n n N *∈个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n 个圆把平面分成()f n 个区域，那么()f n = ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共76分。

【精】福建省厦门一中高二上学期期中数学试卷和解析理科

2018学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣33．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．4．（5分）执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）6．（5分）有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+B．4+C．4+D．4+π7．（5分）如图，四边形OABC的对角线OB与AC相交于点P，已知，且，则实数λ的值为．（）A．B．C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在第一象限，且，则△PF1F2内切圆半径为（）A．3 B．C．2 D．9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=若x∈[4，6]时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣，3]B．[1﹣，1+] C．[﹣1，3]D．[0，2]10．（5分）已知函数f n（x）=a n x3+b n x2+c n x，满足=q（q＞1，q为常数），n∈N*，给出下列说法；①函数f n（x）可以为奇函数；②若函数f1（x）在R上单调递增，则对于任意正整数n，函数f n（x）都在R上单调递增；③若x0是函数f n（x）的极值点，则x0也是函数f n（x）的极值点；+1④若b12＞3a1c1，则对于任意正整数n函数f n（x）在R上一定有极值．以上说法中所有正确的序号是（）A．①②③④B．②③C．②③④D．②④二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）二项式展开式中第三项的系数为．12．（4分）设向量=（sinθ+cosθ，1），=（5，1）垂直，且θ∈（0，π），则tanθ等于．13．（4分）若在区间[﹣1，6]上等可能的任取一实数a，则使得函数f（x）=x3﹣3x﹣a有三个相异的零点的概率为．14．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），在（﹣∞，0）上恒有2f（x）+xf′（x）＞x2成立，则不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集为．15．（4分）已知（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n中令x=0，就可以求出常数项，即1=a0．请你根据其中蕴含的解题方法研究下列问题；若e x=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n+…，且n≥2，n∈N，则a1+=．【选做题】（从（1）（2）（3）题中任选两题作答，并在答题卷上标明所选题号）．16．（4分）设矩阵，若曲线C：x2+4xy+2y2=1在矩阵M的作用下变换成曲线C'：x2﹣2y2=1，则矩阵M n=．（n∈N*）17．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的方程为（x﹣4）2+y2=1，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，过直线l上的任意点P作圆M的切线，则切线长的取值范围为．18．已知函数f（x）=2，若关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=2，若向量=（1，a）与向量=（2，b）共线，求a，b的值．20．（12分）如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求异面直线CB与AE所成角的大小；‚求平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小．21．（12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．22．（12分）已知函数的图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知f′（x）是函数f（x）的导函数．•若数列{a n}的通项，求其前n项和S n；‚若在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．23．（12分）已知点F是抛物线Γ：x2=2py（p＞0）的焦点，抛物线上点M（x0，1）到F的距离为2．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线AB：y=x+b与曲线Γ相交于A，B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为（0，4），求b的值．（Ⅲ）抛物线Γ上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．24．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2（其中a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，求由直线x=0、x=1、曲线y=f（x）及线段y=0（0≤x≤1）所围成的封闭区域的面积；（3）当时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．2018学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：由已知，x=（1+i）（1﹣yi），计算x=1+y+（1﹣y）i根据复数相等的概念，解得，x+yi=2+i，其共轭复数为2﹣i．故选：D．2．（5分）已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3【解答】解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，∴条件q：x＜﹣2或x＞1∵q是p的充分不必要条件∴a≥1故选：A．3．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．4．（5分）执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，该框图的含义是当x≤2时，得到函数y=x2﹣1；当x＞2时，得到函数y=log2x．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2﹣1=3，解之得x=±2②当x＞2时，得y=log2x=3，得x=8因此，可输入的实数x值可能是2，﹣2或8，共3个数故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=1∴∴当公比q＞0时，；当公比q＜0时，．∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故选：D．6．（5分）有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+B．4+C．4+D．4+π【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的几何体，∴V=π×12×2++2×2×1=4+．故选：A．7．（5分）如图，四边形OABC的对角线OB与AC相交于点P，已知，且，则实数λ的值为．（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，设，∴μ，∴，∵，∴，∴λ=．故选：A．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在第一象限，且，则△PF1F2内切圆半径为（）A．3 B．C．2 D．【解答】解：由题意，|PF1|﹣|PF2|=2，∵，∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴PF1⊥PF2，设△PF1F2内切圆半径为r，则|PF1|﹣r+|PF2|﹣r=|F1F2|，∴r=2．故选：C．9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=若x∈[4，6]时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣，3]B．[1﹣，1+] C．[﹣1，3]D．[0，2]【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2]时，f（x）=（x﹣2）x∈[﹣，0]∴当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为﹣，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[2，4]时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[4，6]时，f（x）的最小值为﹣1，∵x∈[4，6]时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，∴﹣1≥t2﹣2t﹣4∴（t+1）（t﹣3）≤0，解得：﹣1≤t≤3，故选：C．10．（5分）已知函数f n（x）=a n x3+b n x2+c n x，满足=q（q＞1，q为常数），n∈N*，给出下列说法；①函数f n（x）可以为奇函数；②若函数f1（x）在R上单调递增，则对于任意正整数n，函数f n（x）都在R上单调递增；（x）的极值点；③若x0是函数f n（x）的极值点，则x0也是函数f n+1④若b12＞3a1c1，则对于任意正整数n函数f n（x）在R上一定有极值．以上说法中所有正确的序号是（）A．①②③④B．②③C．②③④D．②④【解答】解：对于①，f n（x）+f n（﹣x）=a n x3+b n x2+c n x﹣a n x3+b n x2﹣c n x=2b n x2≠0，∴函数f n（x）不是奇函数，则①错；②f1（x）=a1x3+b1x2+c1x，则∵函数f1（x）在R上单调递增，∴f1′（x）=3a1x2+2b1x+c1＞0在R上恒成立，∴a1＞0，△＜0，由于=q（q＞1，q为常数），n∈N*，则a n＞0，b n＞0，c n＞0，且4b n2﹣12a n c n＜0，由于f n（x）=a n x3+b n x2+c n x，f′n（x）=3a n x2+2b n x+c n，则由判别式△＜0，a n＞0，可得，f′n（x）＞0恒成立，则函数f n（x）都在R上单调递增，则②对；③若x0是函数f n（x）的极值点，则f n′（x0）=3a n x02+2b n x0+c n x0=0，∵=q（q＞1，q为常数），n∈N*，′（x0）=q•（3a n x02+2b n x0+c n x0）=0，∴f n+1（x）的极值点，则③对；∴x0也是函数f n+1④由于f′n（x）=3a n x2+2b n x+c n=0，若b12＞3a1c1，则由条件可得4b n2﹣12a n c n＞0，则方程有两个不等的实数根，且在其左右附近导数的符号改变，∴函数f n（x）在R上有极值．则④对．综上可知，②③④正确．故选：C．二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）二项式展开式中第三项的系数为40．【解答】解：∵二项式展开式中，第三项为T2=•（x2）5﹣2•=（﹣2）2••x6•；+1∴第三项的系数为（﹣2）2×=40．故答案为：40．12．（4分）设向量=（sinθ+cosθ，1），=（5，1）垂直，且θ∈（0，π），则tanθ等于﹣．【解答】解：由于向量=（sinθ+cosθ，1），=（5，1），且垂直，则=0，即5（sinθ+cosθ）+1=0，即sinθ+cosθ=﹣，平方得，sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=，则2sinθcosθ=﹣1=﹣，且θ∈（0，π），则sinθ＞0，cosθ＜0，则s inθ﹣cosθ===，则有sinθ=，cosθ=﹣，则tan=﹣．故答案为：﹣．13．（4分）若在区间[﹣1，6]上等可能的任取一实数a，则使得函数f（x）=x3﹣3x﹣a有三个相异的零点的概率为．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x﹣a，构造g（x）=x3﹣3x，k（x）=a，f′（x）=3x2﹣3，∴f′（x）=3x2﹣3=0，x=±1，f′（x）=3x2﹣3＞0，x＞1，x＜﹣1，f′（x）=3x2﹣3＜0，﹣1＜x＜1，∴f（x）在（﹣1，1）单调递减，（1，+∞）（﹣∞，﹣1）单调递增，=f（﹣1）=2，∴f（x）极大值f（x）极小值=f（2）=﹣2∴g（x）=x3﹣3x，k（x）=a，有三个交点时，a的范围：﹣2＜a＜2，∵在区间[﹣1，6]上等可能的任取一实数a∴﹣1≤a≤2，区间长度为3，∴使得函数f（x）=x3﹣3x﹣a有三个相异的零点的概率为故答案为：14．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），在（﹣∞，0）上恒有2f（x）+xf′（x）＞x2成立，则不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣2017）．【解答】解：∵函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，2f（x）+xf′（x）＞x2，∴2xf（x）+x2f′（x）＜x3＜0，∴[x2f（x）]′＜0，∴函数y=x2f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∵（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0，∴（x+2015）2f（x+2015）＞（﹣2）2f（﹣2），∴x+2015＜﹣2，x＜﹣2017故答案为：（﹣∞，﹣2017）15．（4分）已知（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n中令x=0，就可以求出常数项，即1=a0．请你根据其中蕴含的解题方法研究下列问题；若e x=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n+…，且n≥2，n∈N，则a1+=2﹣．【解答】解：∵e x=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n+…，∴（e x）′=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+…+na n x n﹣1+…，令x=0，可得a1=1，同理，a2=，猜想a n=，∴a1+=1++﹣+…+﹣=2﹣，故答案为：2﹣．【选做题】（从（1）（2）（3）题中任选两题作答，并在答题卷上标明所选题号）．16．（4分）设矩阵，若曲线C：x2+4xy+2y2=1在矩阵M的作用下变换成曲线C'：x2﹣2y2=1，则矩阵M n=．（n∈N*）【解答】解：设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'（x'，y'），则又点P'（x'，y'）在曲线C'上，所以x'2﹣2y'2=1，则（x+ay）2﹣2（bx+y）2=1，即（1﹣2b2）x2+（2a﹣4b）xy+（a2﹣2）y2=1为曲线C的方程，…（5分）又已知曲线C的方程为x2+4xy+2y2=1，比较系数可得，解得b=0，a=2，∴a+b=2．∴M n=．故答案为：．17．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的方程为（x﹣4）2+y2=1，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，过直线l上的任意点P作圆M的切线，则切线长的取值范围为[，+∞）．【解答】解：∵直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，∴ρsinθcos+ρcosθsin=，∴y+x﹣1=0，∴直线l的直角坐标方程为：y+x﹣1=0，当圆心到直线距离d最短时，此时切线长最短，则d=，此时切线长为=，故答案为：[，+∞）．18．已知函数f（x）=2，若关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．【解答】由柯西不等式可得（2+）2≤（22+12）[（）2+（）2]=25，当且仅当，即x=4时等号成立；关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，等价于|m﹣2|≥5，∴m≥7或m≤﹣3．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）三、解答题：本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=2，若向量=（1，a）与向量=（2，b）共线，求a，b的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（x∈R）∴f（x）=sin2x++=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2z﹣）≤1，从而1﹣≤sin（2x﹣）+1≤2，则f（x）的最小值是1﹣，最大值是2；（2）∵f（C）=sin（2C﹣）+1=2，则sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，解得C=．∵向量=（1，a）与向量=（2，b）共线，∴b﹣2a=0，即b=2a①由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3②由①②解得a=1，b=2．20．（12分）如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求异面直线CB与AE所成角的大小；‚求平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF，又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，∵CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．（2）解：取CE的中点Q，连结FQ，∵F为CD的中点，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，由（1）知FD，FQ，FA两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，0，0），C（﹣1，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0），=（1，1，），=（1，2，﹣），∵=0，∴异面直线CB与AE所成角的大小为90°．=（1，1，），=（2，2，0），设平面BCE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得，又平面ACD的一个法向量为=（0，1，0），∴|cos＜＞|=||=，∴平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小为45°．21．（12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A 表示第4局甲当裁判．则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B 1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．P（X=2）=P（B 3）=P（）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．故X的分布列为从而EX=0×+1×+2×=．22．（12分）已知函数的图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知f′（x）是函数f（x）的导函数．•若数列{a n}的通项，求其前n项和S n；‚若在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）=ax2+a﹣2，由图象可知f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，则，解得，即f（x）=．（2）∵f′（x）=x2﹣1，∴=（﹣），则前n项和S n=（1+…+﹣）=．∵若=kx﹣﹣2lnx，∴g′（x）=k+=，∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴若函数g（x）在其定义域上为增函数，则g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即k≥在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，（x＞0），则h（x）==，当且仅当x=1时，取等号，∴k≥1，故k的取值范围是[1，+∞）．23．（12分）已知点F是抛物线Γ：x2=2py（p＞0）的焦点，抛物线上点M（x0，1）到F的距离为2．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线AB：y=x+b与曲线Γ相交于A，B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为（0，4），求b的值．（Ⅲ）抛物线Γ上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵F是抛物线Γ：x2=2py（y＞0）的焦点，∴F（），∵点M（x0，1）到F的距离为2，∴依抛物线定义知：1+=2，解得p=2，∴抛物线为x2=4y﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）由，得x2﹣4x﹣4b=0，∴△=16﹣16b＞0，x1+x2=4，∴AB的中点为（2，2+b），∴AB的中垂线为=﹣1，即y=﹣x+4﹣b，依题意可知（0，4）在垂线上，∴4=0+4﹣b，解得b=0．（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知A（0，0），B（4，4），假设抛物线L上存在异于点A、B的点满足题意，令圆的圆心为N（a，b），则由，得，整理，得，解得，（10分）∵抛物线L在点C处的切线斜率k=，（t≠0），（11分）又该切线与NC 垂直，∴，整理，得，∴，整理，得t 3﹣2t 2﹣8t=0，∵t ≠0，t ≠4，∴t=﹣2．故存在点C ，且坐标为（﹣2，1）．（13分）24．（14分）设函数f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣ax 2（其中a ∈R ）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当a=1时，求由直线x=0、x=1、曲线y=f （x ）及线段y=0（0≤x ≤1）所围成的封闭区域的面积；（3）当时，求函数f （x ）在[0，a ]上的最大值．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣ax 2（其中a ∈R ）． ∴f′（x ）=x （e x ﹣2a ）， ①当a ≤0时，∵e x ﹣2a ＞0， ∴x ＞0时，f′（x ）＞0， x ＜0时，f′（x ）＜0，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）， ②当0＜a时，f′（x ）=0，得出x=0．x=ln2a ，当x 变化时，如下表格：可求得（﹣∞，ln2a ）（0，+∞）为单调递增区间；（ln2a ，0）为单调递减； ③当a=时，f′（x ）=x （e x ﹣2a ）≥0，∴f （x ）在R 上单调递增． ④当a ＞时，f′（x ）=0，得出x=0．x=ln2a ，当x 变化时，如下表格：可求得（﹣∞，0），（ln2a，+∞）为单调递增区间；（0，ln2a）为单调递减；（2）由④和f（1）＜0知f（x）＜0，x∈[0，1]恒成立，∴区域面积S=∫[x﹣（x﹣1）e x]dx=[﹣（x﹣2）e x]|=e﹣，（3）f′（x）=x（e x﹣2a），f′（x）=0，得出x1=0．x2=ln2a，∵x∈[0，a]，时，∴令g（a）=ln2a﹣ag′（a）=＞0，∴g（a）=ln2a﹣a，，单调递增．g（a）≤ln2﹣1ln2﹣lne＜0，∴ln2a＜a，∴ln2a∈[0，a]，∴x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，x∈（ln2a，a]时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，ln2a）单调递减，在（ln2a，a]单调递增，∴函数f（x）在[0，a]上的最大值M=max{f（0），f（a）}=max{﹣1，（a﹣1）e a﹣a3，}，令h（a）=（a﹣1）e a﹣a3+1，h′（a）=a（e a﹣3a），令φ（a）=e a﹣3a，φ′（a）=e a﹣3＜0，∴φ（a）=e a﹣3a，，单调递减，φ（）•φ（1）＜0，存在x0∈[]时，∴φ（a）=0，∴[，x0]时，φ（a）＞0，即h′（a）＞0；[x0，1]时，φ（a）＜0，即h′（a）＜0；∴h（a）在[，x0]单调递增，在[x0，1]单调递减，∵h（）=，h（1）=0，∴当时，h（a）≥0恒成立，（a=1时等号成立）∴函数f（x）在[0，a]上的最大值为：（a﹣1）e a﹣a3，赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

福建省厦门第一中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷一、选择题。

1.在复平面内，复数1i i 对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先化简复数1i i，再由复数的几何意义即可得出结果. 【详解】因为21(1)1i i i i i i ，所以其对应点为(1,1)，位于第四象限.故选 D 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记运算法则与几何意义即可，属于常考题型.2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则“4X ”表示试验的结果为（）A. 第一枚为5点，第二枚为1点B. 第一枚为5或6点，第二枚为1点C. 第一枚为6点，第二枚为1点 D. 第一枚为1点，第二枚为6点【答案】C【解析】【分析】由题意，“4X ”即是“5X ”，利用随机事件的定义直接求解.【详解】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，所以，“4X ” 即“5X ”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”．故选 C【点睛】本题主要考查随机事件，熟记概念即可，属于常考题型.3.已知曲线C 的方程为22121x y m m ，现给出下列两个命题：p ：210m 是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：21m是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（）A.()()p q 刭? B. ()p q 刭C. p q D. pq 【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假。

【详解】若曲线C 为双曲线，则210m m ，可解得102m 若102m ，则210m m ，所以命题p 为真命题若曲线C 为椭圆，则12m且m ≠１，所以命题q 为假命题因而p q 为真命题所以选 C【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题。

福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题

福建省厦门第一中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷命题教师：审核教师：2019.4.25一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.在复平面内，复数1ii+对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则“4X >”表示试验的结果为A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚为5或6点，第二枚为1点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为1点，第二枚为6点3.已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是 A.()()p q ⌝∧⌝B.()p q ⌝∧C.()p q ∧⌝D.p q ∧4.二项式()521x -的展开式的各项中，二项式系数最大的项为 A.20xB.20x 和240x -C.240x -和380xD.380x5.已知函数()1ln xf x x+=在区间(),2a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 A.()1,1-B.[]0,1C.[)0,1D.10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6.正方体1111ABCD A B C D -中，N 为1BB 中点，则直线AN 与1B C 所成角的余弦值为A.10B.5C.10D.107.五名学生排成一队，要求其中甲、乙两名学生相邻，且都不站在排头，则不同排法的种数为 A.18B.24C.30D.368.函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A.()sin f x x x =+B.()cos xf x x =C.()cos f x x x =D.()322f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭9.已知区域()11,,11x x y y ⎧-≤≤⎫Ω=⎨⎬-≤≤⎩⎭，区域()[]1,0,1,12x A x y y e x -⎧⎫=≤≤∈-⎨⎬⎩⎭，在Ω内随机投掷一点M ，则点M 落在区域A 内的概率是A.1112e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1114e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1118e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11e-10.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .2F 也是抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为1C.3111.已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A ，B ，C ，每个探测器仅发回一张照片.甲说：照片A 是α发回的；乙说：β发回的照片不是A 就是B ；丙说：照片C 不是γ发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B 的探测器是 A.αB.βC.γD.以上都有可能12.定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()2019g x x =，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-.的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为A.αβγ>>B.βαγ>>C.γαβ>>D.βγα>>二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知复数z 满足()132z i i -=+，则z =_______14.设()9210012101241b x x a a x a x a x x x ⎛⎫+-=+++++ ⎪⎝⎭，则10120210222a a a a ++++=_______. 15.已知直线l ：1y kx k =-+与函数()ln 1y x =-的图象恰有1个公共点，则正数．．k 的取值范围是______ 16.已知函数()xf x xe =，()2422x ax a g x ee --=-，若存在实数0x 使()()0011f x g x e+=--成立，则实数a 的值为________.三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17.（本题满分10分）某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X 为选出的2位老师中女老师的人数，写出X 的分布列.18.（本题满分12分）设曲线()0xy ex -=≥在点(),t M e e 处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为()S t .（1）求切线l 的方程；（2）求()S t 的最大值.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC .2AB BC ==，4AD PD ==，60BAD ∠=︒，120ADP ∠=︒，点E 为PA 的中点.（1）求证：//BE 平面PCD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线BE 与平面PAC 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点(，离心率为2. （1）求E 的方程；（2）过E 的左焦点F 且斜率不为0的直线l 与E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC 与直线4x =-相交于点D ，若ADF ∆为等腰直角三角形，求l 的方程.21.（本题满分12分）已知函数()()ln 1f x x x ax a R =-+∈. （1）讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在()1,x ∈+∞，使()()()13f x e a <--，求实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数，其值为2.71828……）22.（本题满分12分）已知函数()()()24x f x x emx m R -=-+∈.（1）当2x >时，()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）证明：当[)0,1a ∈时，函数()()()2222x e ax ag x x x --+=>-有最小值；设()g x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.福建省厦门第一中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二理科数学参考答案一、选择题 1—6：DCCCCD7—12：DCBBAC11【详解】如果甲对，则β发回的照片是C ，故丙也对，不符合条件，故甲错误；如果乙对，则丙错误，故照片C 是γ发回的.得到照片A 是由β发回，照片B 是由α发回.符合逻辑，故照片B 是由α发回；如果丙对，则照片C 是由β发出，甲错误，可以推出α发出照片B ，γ发出照片A ，故照片B 是由α发出. 12.【解析】∵()2019g x '=，()11h x x '=-，()2x x ϕ'=，由题意得： 1α=，()1ln 11ββ+=+，3213γγ-=， ①∵()1ln 11ββ+=+，作图，由1ln 22ln11⎧>⎪⎨⎪<⎩，可知01β<<； ②∵32130γγ-=>，∴1γ>.综上，1γαβ>=>. 二、填空题13.214.515.21k e>16.12-15.【解析】作图分析，当直线l ：1y kx k =-+与函数()()ln 12y x x =->相切时，不妨设切点为()()00,ln 1x x -，于是可得切线方程为()()0001ln 11y x x x x =-+--，代入点()1,1，解得201x e -=， ∴21k e =切，故当正数21k e>时，直线l ：1y kx k =-+与函数()()ln 12y x x =->的图象恰有1个公共点.16.【解析】函数()xf x xe =，()2422x ax a g x ee --=-，所以()()2422x x a x af xg x xe e e --+=+-令()xh x xe =，则()()1xh x ex '=+，令()0h x '=解得1x =-且当1x <-时，()0h x '<，()xh x xe =单调递减；且当1x >-时，()0h x '>，()xh x xe =单调递增因而最小值为()min 11h e -=，又因为()224222111x a x a x a e e e ----=--≥- 所以()()11f x g x e+≥--，所以当1x =-时，210x a e --=，即12a =-三、解答题17.【解析】（1）不妨设男老师总共有x 人，则女老师共有8x -人，（18x ≤≤，*x N ∈）从这8位老师中选出至少1名女老师，共有()228128182x x x C C --=-=种不同的方法，即有：()120x x -=，解得5x =，83x -=所以该支教队共有男老师5人，女老师3人.………………………………………………………………4分（2）X 可取值为0，1，2，3………………………………………………………………………………5分0X =表示选派2位男老师，这时()252810028C P X C ===，……………………………………………6分 1X =表示选派1位男老师与1位女老师，这时()11532815128C C P X C ===，…………………………7分 2X =表示选派2位女老师，这时()23283228C P X C ===，…………………………………………8分 X 的分布列为：…………………………………………………………………………10分18.【解析】（Ⅰ）因为()tf x e -'=-，所以切线l 的斜率为t e --……………………………………2分故切线l 的方程为()tt y ee x t ---=--，即()10t t e x y e t --+-+=………………………………4分（Ⅱ）令0y =得1x t =+，又令0x =得()1tty e t -=+…………………………………………6分所以()()()()21111122t t S t t e t t e --=+⋅+=+⋅……………………………………………………8分从而()()()1112tS t e t t -'=-+.……………………………………………………………………10分∵当()0,1t ∈时，()0S t '>，当()1,x ∈+∞时，()0S t '<……………………………………11分所以()S t 的最大值为()21S e=.……………………………………………………………………12分19.【解析】（Ⅰ）取PD 中点F ，连结CF ，EF .因为点E 为PA 的中点，所以//EF AD 且12EF AD =，…1分，又因为//BC AD 且12BC AD =，所以//EF BC 且EF BC =，…2分所以四边形BCFE 为平行四边形，……3分，所以//BE CF ，……………………………………4分又BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD .……………………………………5分（Ⅱ）在平面ABCD 中，过D 作DG AD ⊥，在平面PAD 中，过D 作DH AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，所以DG ⊥平面PAD ，所以DG DH ⊥，所以DA ，DG ，DH 两两互相垂直.………………………………………………6分以D 为原点，向量DA ，DG ，DH 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()4,0,0A，()B，()C，(P -，(E ，……7分所以()AC =-，(AP =-，(EB =，……………………………………8分设(),,n x y z =是平面ACP 的一个法向量，则0,0,n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,60,x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩…………………………………………………………………………9分取1x =，得(n =.…………………………………………………………………………………10分设直线BE 与平面PAC 所成角为θ.则sin cos ,35n EB θ===，………………………………………………………………11分所以直线BE 与平面PAC 所成角的正弦值为35.…………………………………………………………12分20.【解析】（Ⅰ）依题意，得22222,421,2a b c a b c a ⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩2分，解得2,2,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩……………………………………3分所以E 的方程为22184x y +=.………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）易得()2,0F -，可设直线l 的方程为2x ky =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222,1,84x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()222440k y ky +--=，由韦达定理，得12242k y y k +=+，12242y y k -=+，……………………………………………………6分所以122222y y k k +=+，()1212242222k y y x x k ++-=-=+，即2242,22k C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，……… 7分所以直线OC 的方程为2ky x =-，令4x =-，得2y k =，即()4,2D k -，……………………8分所以直线DF 的斜率为2042k k -=--+，所以直线DF 与l 恒保持垂直关系，……………………9分故若ADF ∆为等腰直角三角形，只需AF DF ===，解得12y =±，又2211184x y +=，所以10x =，…………………………………………………………11分所以1k =±，从而直线l 的方程为：20x y -+=或20x y ++=.…………………………12分 21.【解析】（1）解法一：原函数的定义域为()1,+∞，()1ln 10a f x x a x e -'=+-=⇒=，……………………………………………………………………2分 1︒当1a ≤时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在()1,+∞上是增函数；注意到()110f a =-≥，故而()()10f x f >≥，()f x 在()1,+∞上无零点；……………………4分2︒当1a >时，()1ln 10a f x x a x e -'=+->⇒>；()101a f x x e -'<⇒<<，()f x 在()1,a e -+∞上是增函数；在()11,a e -上是减函数；注意到()110f a =-<；()10af e=>，且()f x 连续不断，从而在区间()1,ae 上，()f x 存在唯一零点.…………………………………………………………………………………………………………6分综上所述，当1a ≤时，()f x 在()1,+∞上无零点；当1a >时，()f x 在()1,+∞存在一个零点.解法二：构造函数()1ln g x x x=+，依题即讨论直线y a =与曲线()y g x =的交点个数，……1分 ∵()22111x g x x x x -'=-=，()0g x '>在()1,+∞上恒成立，故()1ln g x x x=+在()1,+∞上单调递增，()()1,g x ∈+∞，……………………………………………………………………………………4分又()g x 连续不断，所以当1a ≤时，()f x 在()1,+∞上无零点；当1a >时，()f x 在()1,+∞上存在一个零点.……………………………………………………………………………………………………6分（2）解法一：当1a >时，由（1）得()()11min 1a a f x f e e--==-，………………………………7分故应有()()1113a ee a --<--成立，即()()11310a e e a -+--->不等式成立，………………8分构造函数()()()1131x h x e e x -=+---，求导得()110x h x e e -'=+->在()1,x ∈+∞上恒成立，故()()()1131x h x ee x -=+---在()1,x ∈+∞上单调递增，………………………………………10分注意到()20h =，所以()02h x x >⇒>.故实数a 的取值范围为()2,+∞.…………………………………………………………………………12分解法二：分离参变量，转化为ln 321x x e a x e +->+-在()1,x ∈+∞上有解，请同学们自行完成。

福建省厦门第一中学2018学年高二上学期期中考试数学文

高二文科数学试卷一、选择题：(共12题,每题5分,共60分)1.设集合{}33|0,|log 15x M x N x x x +⎧⎫=>=≥⎨⎬-⎩⎭，则M N =（）A ．[)3,5B ．[]1,3C ．()5,+∞D ．(]3,3- 2.下列命题中，正确的是（） A ．3sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭B ．常数数列一定是等比数列C ．若10a b <<，则1ab < D ．12x x+≥ 3.已知等比数列{}n a 的公比q =，其前4项和460S =，则3a 等于（） A ．16 B ．8 C ．-16 D ．-84.数列{}n a 的通项公式为323n a n =-，当n S 取到最小时，n =（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．85.设0,0,4x y xy >>=，则22x y y x+取最小值时x 的值为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．86.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a ，成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（）A ．-3B ．-2C ．3D ．27.在ABC ∆中，,,a b c ，分别是角,,A B C 的对边，若角A B C 、、成等差数列，且3,c 1a ==，则b 的值为（）A ．B ．2 CD ．78.若实数,x y 满足不等式组102200x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则321z x y =++的最小值为（）A ．2B ．3C ．6D ．79.已知三角形ABC ∆的三边长是公差为2，则这个三角形的周长是（）A ．18B ．21C ．24D ．1510.已知点()()(),3,01,1P x y A B 、、在同一直线上，那么24xy+的最小值是（）A ．B ．C ．16D ．2011.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*3113,21,n n S a S n N +==+∈，则符合5n S a >的最小的n 值为（）A ．8B ．7C ．6D ．512.已知()y f x =是定义在R 上的增函数且满足()()f x f x -=-恒成立，若对任意的,x y R ∈，不等式()()2262180f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值范围是（）A ．（3，7）B ．（9，25）C ．（13，49）D ．（9，49）二、填空题：（共4题，每题5分共20分）13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、．若21,3b c C π==∠=，则ABC ∆的面积为______________．14.已知函数()()()221691x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，则不等式()()1f x f >的解集是___________．15.已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足：121111,,3n n n n b b a b b nb ++==+=，则{}n b 的前n 项和为______________．16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时，生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品的利润为2100元，生产一件产品的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A B 、的利润之和的最大值为____________元．三、解答题：（共6题，共70分）17.（本小题满分10分）已知不等式20ax x c ++>的解集为{}|13x x <<．（1）求,a c 的值；（2）若不等式2240ax x c ++>的解集为A ，不等式30ax cm +<的解集为B ，且A B ⊂，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知实数,x y 满足约束条件：2101070x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，（1）请画出可行域，并求1yz x =-的最小值；（2）若z x ay =+取最大值的最优解有无穷多个，求实数a 的值. 19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3542a S +=，1413,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、、、所对的边分别为a b c 、、sin cos 0B b A -=，（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆周长的最大值. 21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()*12211,4,23n n n a a a a a n N ++==+=∈. （1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和n S ，求使得212n S n >-成立的最小整数n . 22.（本小题满分12分）某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第x 天的实验需投入实验费用为()280px +元()*x N ∈，实验30天共投入实验费用17700元.（1）求p 的值及平均每天耗资最少时实验的天数；（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验x 天共赞助()250000qx -+元()0q >.为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求q 的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）参考答案一、选择题 ACACB DCBDB DC 二、填空题{}|12x x x <>或 15. 31123n ⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 216000 三、解答题17.解：（1）依题意得，1、3是方程20ax x c ++=的两根，且0a <，．．．．．．．．．．．．．．．1分所以，011313a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分解得1434a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）由（1）得13,44a c =-=-，所以，2240ax x c ++>即为212304x x -+->，解得，26x <<，∴{}|26A x x =<<，又30ax cm +<，即为0x m +>解得x m >-，∴{}|B x x m =>-，．．．．．．．．．．．．8分∵A B ⊂，∴{}{}|26|x x x x m <<⊂>-， ∴2m -≤，即2m ≥-，∴m 的取值范围是[)2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．10分 18.解：（1）如图求画出可行域：．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分∵1yx -表示(),x y 与()1,0连线的斜率，如图示，∵当z x ay =+取得最值的最优解有无穷多个时，直线0l 与可行域边界所在直线平行，如图所示，当12BC k a -==，即12a =-时，z 取最小值的最优解有无穷多个，不合题意，．．．．．．．．．．．．．． 8分当11AC k a-==，即1a =-时，z 取最大值的最优解有无穷多个，符合题意．．．．．．．．．．．．．．．10分当11AB k a-==-，即1a =时，z 取最大值的最优解有无穷多个，符合题意．综上得，1a =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）依题意得()()1121115425422312a d a d a d a a d ⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得132a d =⎧⎨=⎩…………………………4分 ∴()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）()1113,3213n n n nn n nb b a n a ---===+．．．．．．．．．．．．．．7分 ()()2135373213213n n n T n n -=++++-++．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ()()()12131323232323213322132313n n nn n n T n n n ----=++++-+=+-+=--，∴3n n Tn =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1sin cos 0B b A -=sin cos B b A =，sin sin cos AB B A =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又0B π<<，sin 0B ≠cos A A =，即tan A =．．．．．．．．．．．．．．．．4分又0A π<<，∴6A π=．．．．．．．．．．．．6分（2）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即221cos 62b c bcπ+-=，221b c +=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()2222b c b c bc +=+-，()212b c bc +=+-，∴bc =．．．．．．．．．8分∵22b c bc+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()24b c +≤，当且仅当b c =时取等号成立，解得()(22428b c +≤=+=，∴b c +≤b c =时取等号），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴1a b c ++≤+（当且仅当b c =时取等号），∴ABC ∆周长的最大值为1+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）证明：∵()*2123n n n a a a n N +-+=∈，∴2132n n n a a a ++=-， ∴2111111132222n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++++----===---为常数，又214130a a -=-=≠，∴{}1n n a a +-是以3为首项，2为公比的等比数列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴1132n n n a a -+-=⨯，∴2310112322132,32,,32,32n n n n n n a a a a a a a a ------=⨯-=⨯-=⨯-=⨯，叠加得()()()01012112123222332112n n n n a a -----=+++=⨯=--，∴()111321322n n n a --=+-=⨯-，即()1*322n n a n N -=⨯-∈．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）得()1*322n n a n N -=⨯-∈， ∴()()00112123222232322312n n n n S n n n --=+++-=⨯-=⨯---，．．．．．．．．．．．．．．10分∴212n S n >-，即为3223212n n n ⨯-->-， ∴28n >，∵*n N ∈，∴4n ≥，∴最小整数n 为4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为p ，首项为280p +，∴试验30天共花费试验费用为()302930280177002p p ⨯++⨯=，解得，20p =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分设试验x 天，平均每天耗资为y 元，则()110000030020100000210290x x x y x x x-++⨯==++．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分2902290xx≥+=，当且仅当10000010x x=，即100x =时取等号，综上得，20p =，试验天数为100天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）设平均每天实际耗资为y 元，则()()()21100000300205000050000210290x x x qx y q x x x-++⨯--+==+++．．．．．．．．．．．8分当50x =≥，即010q <≤时，()29021050000290yxq x≥+=++，因为010q <≤，所以，min 2902290y =+≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分当50x =<，即10q >时，当50x =时，y 取最小值，且()min 500001050290229050y q =+++>，综上得，q 的取值范围为(]0,10．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

【精品】2020学年福建省厦门市高二上学期期中数学试卷和解析

2018学年福建省厦门市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．2．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．1013．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）A．1 B．3 C．±1 D．±36．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）A．B．C． D．7．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为（﹣2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．8．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．129．（5分）已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥410．（5分）若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，]D．[﹣4，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）（1）不等式的解集是（2）函数的定义域是．12．（4分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．14．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x2+（y﹣3）2的最小值为．15．（4分）已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式恒成立的实数m的范围是．三．解答题（本大题共6小题，共80分）16．（14分）（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0．（2）在△ABC中，已知，b=6，A=30°，求B及S△ABC17．（14分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．18．（12分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．19．（12分）已知△ABC的面积S=（b2+c2﹣a2），其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，（1）求角A的大小；（2）若a=2，求bc的最大值．20．（14分）某服装制造商现有300m2的棉布料，900m2的羊毛料，和600m2的丝绸料．做一条大衣需要1m2的棉布料，5m2的羊毛料，1m2的丝绸料．做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．（1）在此基础上生产这两种服装，列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．（2）若生产一条大衣的纯收益是120元，生产一条裤子的纯收益是80元，那么应采用哪种生产安排，该服装制造商能获得最大的纯收益；最大收益是多少？21．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n=2a n﹣3n．（1）设b n=a n+3，求证：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和．2018学年福建省厦门市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．===．【解答】解：S△ABC故选：B．2．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．101【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}是首项为a1=1，公差为a n+1﹣a n=2的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a51=2×51﹣1=101．故选：D．3．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：C．4．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选：D．5．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=，a5=9，则a3=（）A．1 B．3 C．±1 D．±3【解答】解：∵a1=，a5=9，由等比数列的性质可知，=1∴a3=±1当a3=﹣1时，=﹣9不合题意∴a3=1故选：A．6．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）A．B．C． D．【解答】解：∵，∴cosC==﹣又∵C为三角形内角∴C=故选：D．7．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为（﹣2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为（﹣2，1），∴a＜0，且﹣2，1是对应方程ax2﹣x﹣c=0的两个根，∴（﹣2，0），（1，0）是对应函数f（x）=ax2﹣x﹣c与x轴的两个交点，∴对应函数y=f（x）的图象为B．故选：B．8．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．12【解答】解：正项等比数列{a n}中，设S6=x，∵S3=3，S9=39，∴（x﹣3）2=3×（39﹣x），解得x=12，或x=﹣9（舍）．故S6为12．故选：D．9．（5分）已知函数的定义域R，则实数a的取值范围为（）A．a≤0或a≥4 B．0＜a＜4 C．0≤a≤4 D．a≥4【解答】解：要使函数的定义域R，则ax2﹣ax+1≥0恒成立，若a=0，则不等式ax2﹣ax+1≥0等价为1≥0恒成立，此时满足条件．若a≠0，要使ax2﹣ax+1≥0恒成立，则，即，解得0＜a≤4，综上0≤a≤4．故选：C．10．（5分）若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，]D．[﹣4，]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域OBC．因为，所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，﹣2）两点直线的斜率．所以由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．由题意知C（4，0），所以k OP=﹣2，，所以的取值范围为或z≤﹣2，即（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）（1）不等式的解集是{x|x＞2或x＜0}（2）函数的定义域是{x|x≥1或x＜﹣2} ．【解答】解：（1）若x＜0，则不等式成立．若x＞0，则由得x＞2，综上不等式的解为x＞2或x＜0，∴不等式的解集为{x|x＞2或x＜0}．（2）要使函数有意义，则，即（x﹣1）（x+2）≥0且x+2≠0，解得x≥1或x＜﹣2．故函数的定义域为：{x|x≥1或x＜﹣2}．故答案为：（1）{x|x＞2或x＜0}．（2）{x|x≥1或x＜﹣2}．12．（4分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=16．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a4+a8=16，∴由等差数列的性质，得a2+a10=a4+a8=16．故答案为：16．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=2n．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．14．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x2+（y﹣3）2的最小值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：∵z=x2+（y﹣3）2，∴z的几何意义是动点P（x，y）到定义A（0，3）的距离的平方，由图象可知当点P位于D处时，距离最大，当P为A在直线y=2x﹣1的垂足时，距离最小，由点到直线2x﹣y﹣1=0的距离公式得d=|AP|=，∴z的最小值为d．故答案为：．15．（4分）已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式恒成立的实数m的范围是．【解答】解：由题意知两个正数x，y满足x+y=4，则==++≥+1=，当=时取等号；∴的最小值是，∵不等式恒成立，∴．故答案为：．三．解答题（本大题共6小题，共80分）16．（14分）（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0．（2）在△ABC中，已知，b=6，A=30°，求B及S△ABC【解答】解：（1）不等式变形得：x2﹣4x﹣5＞0，即（x﹣5）（x+1）＞0，解得：x＞5或x＜﹣1，则不等式的解集为{x|x＞5或x＜﹣1}；（2）∵a=2，b=6，sinA=sin30°=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＞a，∴B＞A，∴B=60°或120°，当B为60°时，可得C=90°，即三角形为直角三角形，此时S=ab=6；△ABC当B=120°时，可得C=30°，即三角形为等腰三角形，此时S=×6×=3．△ABC17．（14分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为18．（12分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：19．（12分）已知△ABC的面积S=（b2+c2﹣a2），其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，（1）求角A的大小；（2）若a=2，求bc的最大值．【解答】解：（1）∵S=bc•sinA cosA=即b2+c2﹣a2=2bc•cosA∴S=（b2+c2﹣a2）变形得×2bc•cosA=bc•sinA∴tanA=1又0＜A＜π，∴A=．（2）由（1）bc=（b2+c2﹣a2）≥（2bc﹣4）=bc﹣2∴（1﹣）bc≥﹣2∴bc≤4+2∴bc的最大值为4+2．20．（14分）某服装制造商现有300m2的棉布料，900m2的羊毛料，和600m2的丝绸料．做一条大衣需要1m2的棉布料，5m2的羊毛料，1m2的丝绸料．做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．（1）在此基础上生产这两种服装，列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．（2）若生产一条大衣的纯收益是120元，生产一条裤子的纯收益是80元，那么应采用哪种生产安排，该服装制造商能获得最大的纯收益；最大收益是多少？【解答】解：（1）生产大衣x条，裤子y条，则根据条件建立不等式组，作出不等式组对应的平面图象如图：（2）设收益为z，则目标函数z=120x+80y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z也最大，由，解得，即B（100，200），代入目标函数z=120x+80y得z=120×100+80×200=28000（元）．即z的最大值为28000元．21．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n=2a n﹣3n．（1）设b n=a n+3，求证：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣3n，对于任意的正整数都成立，∴S n=2a n+1﹣3n﹣3，+1=2a n+1﹣2a n﹣3，即a n+1=2a n+3，两式相减，得a n+1+3=2（a n+3），∴a n+1所以数列{b n}是以2为公比的等比数列，由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，∴a n=6•2n﹣1﹣3=3•2n﹣3．（2）∵na n=3×n•2n﹣3n∴S n=3（1•2+2•22+3•23+…+n•2n）﹣3（1+2+3+…+n），2S n=3（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），∴﹣S n=3（2+22+23+…+2n﹣n•2n+1）+3（1+2+3+…+n）=∴S n=赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

福建省厦门科技中学2018-2019学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年福建省厦门科技中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列，，，，的一个通项公式为A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由已知中数列，，，，可得数列各项的分母为一等比数列，分子，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为故选：D．根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用来控制各项的符号，再由各项的分母为一等比数列，分子，由此可得数列的通项公式．本题考查数列的通项公式的求解，找出其中的规律是解决问题的关键，属基础题．2.若，那么下列命题中正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，若，则A，B不成立，C不一定成立，例如取，．而，解得，因此D正确．故选：D．利用不等式的基本性质即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若a：b：：7：8，则的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：中，a：b：：7：8，可设，，，其中，则，又，，．故选：B．利用余弦定理求出与B的值，再求的值．本题考查了余弦定理与三角形内角和定理的应用问题，是基础题．4.若不等式的解集不是空集，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：不等式的解集不是空集，，，实数m的取值范围是故选：B．根据题意，利用判别式求得m的取值范围．本题考查了一元二次不等式解集的应用问题，是基础题．5.已知x，y满足约束条件，则的最大值为A. 3B. 4C.D.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，代入目标函数得．即目标函数的最大值为4．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6.已知数列中，，，且数列是等差数列，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，且数列是等差数列，，，，，．故选：A．由数列是等差数列及，的值可求公差d，然后代入等差数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式在求解项中的简单应用，要灵活应用公式．7.在中，，BC边上的高等于，则A. B. C. D. 3【答案】A【解析】解：如图所示：在中，，BC边上的高AD等于，设，则：，由于：，所以为等腰直角三角形．故：，，利用勾股定理得：，，则：，解得：由于：，所以：，故：，所以：，则：，故选：A．根据题意，首先利用勾股定理，求出三角形的三边关系式，进一步利用三角形的面积公式求出A的正弦值，进一步利用同角三角函数的关系式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，解三角形知识的应用，勾股定理的应用和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为A. 3里B. 6里C. 12里D. 24里【答案】D【解析】解：设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得里，里．故选：D．设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，求出里，由此能求出该人第四天走的路程．本题考查等比数列的第4项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．9.已知，则有A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，故选：D．利用对数函数的性质，比较、与1的大小，可得结论．本题考查对数值大小的比较，是基础题．10.已知的三边长为a、b、c，满足直线与圆相离，则是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上情况都有可能【答案】C【解析】解：直线与圆相离，圆心到直线的距离，即，故是钝角三角形，故选：C．由题意可得，圆心到直线的距离，即，故是钝角三角形．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，得到圆心到直线的距离，是解题的关键．11.已知数列是各项均为正数的等差数列，其前13项和，则的最小值为A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】解：数列是各项均为正数的等差数列，，，，，则，当且仅当且，即，时取等号，故选：B．由已知及数列的求和公式可求，然后结合等差数列的性质可求，从而，然后利用基本不等式可求．本题主要考查了等差数列的求和公式及性质，还考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是1的代换．12.若直线与圆交于M，N两点，且点M，N关于直线对称，动点在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：、N两点，关于直线对称，又的圆心在直线上原不等式组变为不等式组作出不等式组表示的平面区域，如图又因为表示点与点连线的斜率．故当过点时，则取最小值．当过时，则取最大值．的取值范围是．故选：B．由M与N关于对称得到直线与垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为，得到k的值；设出M与N的坐标，然后联立与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据MN的中点在上得到两横坐标之和等于，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，先由条件求出，，再画出对应的平面区域，把看成平面区域内的点与连线的斜率，利用图形可得结论．本题是简单的线性规划与直线和直线以及直线与圆的位置关系的一道综合题，是对知识的综合考查利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与的斜率的取值范围．二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.不等式的解集为______．【答案】【解析】解：根据题意，且，解可得：，即不等式的解集为；故答案为：根据题意，原不等式变形可得且，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式，属于基础题．14.在等差数列中，，则______．【答案】6【解析】解：等差数列中，，则由等差数列的性质可知，，求出，然后代入可求．本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．15.设，，则的最小值为______．【答案】【解析】解：，，则．当且仅当，且即，时取等号．故答案为：．由已知可得，，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB等于______．【答案】解：在中，，由正弦定理，得，所以在中，．所以塔高AB为m．【解析】先根据三角形内角和为，求得，再根据正弦定理求得BC，进而在中，根据求得AB本题考查了解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题．17.先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知，，，求证．【证明】构造函数则因为对一切，恒有．所以，从而得，若，，，，，请写出上述结论的推广式；参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【答案】解：若，，，，，求证：，证明：构造函数因为对一切，都有，所以从而证得：【解析】由已知中已知，，，求证，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若，，，，，则．但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想对归纳得到的一般性结论进行证明．18.如图，在中，，，，P为内一点，Ⅰ若，求PA；Ⅱ若，求．【答案】解：Ⅰ由已知得，，在中，由余弦定理得，．Ⅱ设，由已知得，，在中，由正弦定理得，化简得，，．【解析】Ⅰ由已知得，可得，在中，由余弦定理即可得出．设，由已知得，，在中，由正弦定理得，化简整理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列．问：249是数列的项吗？请说明理由；若，求数列的前n项和．【答案】解：公差d不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列，可得，即，即为，，由，即有，可得，，由，可得，即249为数列中的第125项；，则前n项和．【解析】公差d不为零的等差数列的前n项和为，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，由通项公式解方程可得249是否为数列中的项；求得，运用数列的裂项相消求和，即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.已知的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．求角A的大小；设AD为BC边上的高，，求AD的取值范围．【答案】本题满分为12分解：由，得：，分，分在中，，，且，分，即，分，分，分解法一：，分，分根据余弦定理有，即分又，，即分分的取值范围为分解法二：，分，分由正弦定理得，所以，，分又，，分，，，即AD 的取值范围为分【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合，可求得，由范围，可得A 的值．解法一：利用三角形面积公式可求，根据余弦定理，基本不等式可求，即可得解．解法二：利用三角形面积公式可求，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，，结合，，利用正弦函数的性质可求AD 的取值范围．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的性质等知识的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．21. 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1t A ，1t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：在现有原料条件下，生产，两种产品各多少时，才能使利润最大？每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【答案】解：设生产A 、B 两种产品分别为xt ，yt ，其利润总额为z 万元，根据题意，可得约束条件为；作出可行域如图所示：目标函数为，作直线：，再作一组平行于的直线l ：，当直线l 经过P 点时取得最大值，由，解得交点，所以生产A产品，B产品时，才能使利润最大，最大值为万元；设B产品的利润为a万元，则利润函数为，其斜率为；且直线，斜率为；直线，斜率为；根据题意得，，解得；所以每吨B产品的利润在～范围变化时，原最优解不变；当超出这个范围时，最优解将变为或．【解析】设生产A、B两种产品分别为xt，yt，其利润总额为z万元，列出约束条件，作出可行域，求出最优解，计算目标函数的最大值；设B产品的利润为a万元，写出利润函数，利用斜率值列出不等式，求出a的取值范围，根据图形求超出这个范围时最优解的变化．本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．22.已知数列的前n项和和通项，且，，在数列中，，，．求数列，的通项公式；数列满足，求证：当时，．【答案】解：当时，，即，所以分由，得当时，，此时，即又，，当时，分从第二项起，是公比为的等比数列，此时，分分由得，又因为，，所以，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，分，即分证明：当时，，设，则，，分，分，分，分，，分，即当时，分【解析】求出，推出从第二项起，是公比为的等比数列，然后求解数列的通项公式说明数列是首项为1，公差为1的等差数列，得到通项公式．设，利用错位相减法求解数列的和，然后推出不等式即可．本题考查数列的应用，通项公式的求法，数列求和，以及不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力．。

福建厦门一中18-19学度高二上年中考试-数学(理)

福建厦门一中18-19学度高二上年中考试-数学（理）第一学期期中考试高二年数学试卷〔理科〕第一卷〔共50分〕一. 选择题：本小题共10小题，每题5分，共50分。

1、2,,,,4a b c 成等比数列，那么b 的值为A 、B 、-C 、±D 、82、对R x ∈且0x ≠都成立的不等式是A 、12x x +≥B 、12x x +≤-C 、2||112x x ≥+D 、1||2x x +≥ 3、,a b 是不等的两个正数，A 是,a b 的等差中项，B 是,a b 的正的等比中项，那么A 与B 的大小关系是A. A B <B. A B >C. A B =D. 不能确定4、假设函数()f x =R ，那么k 的取值范围是A.[0,4]B.(4,0)-C.[4,0]-D.(,4][0,)-∞-+∞5、假设正项数列{}n a 是首项为2，公比为10的等比数列，那么数列{lg }na 是A 、公差为的等差数列B 、公差为lg 2的等差数列C 、公比为的等比数列D 、公比为lg 2的等比数列A 、“p q ∨”为假B 、“p q ∧”为真C 、“()p q ∨⌝”为假D 、“()()p q ⌝∧⌝”为真7、以下命题是真命题的是A 、假设2:,0p x R x ∃∈≤,那么2:,0p x R x ⌝∀∈≥B 、“||||a b >”是“22a b >”的充要条件C 、假设p ：每一个素数基本上奇数,那么p ⌝：每一个素数都不是奇数D 、命题“假设实数0x ≠，那么||0x >”的逆否命题是假命题8、某商场今年销售笔记本电脑5000台，平均每年的销售量比上一年增加10%，假设要使总销量超过30000台，那么从今年起至少需要通过〔参考数据：lg1.60.2041,lg1.10.0414≈≈〕A.4年B.5年C.6年D.7年9.条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，那么p ⌝是q ⌝的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10.定义在R 上的函数()y f x =既是奇函数又是减函数，假设，满足不等式22(2)(2)f s s f t t -+-<0、那么当14s ≤≤时，t s的取值范围是A 、1[,1]4-B 、1(,1)4-C 、1[,1]2-D 、1(,1)2- 第1页〔共4页〕第二卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分。

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2018-2019学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
1．（5分）已知a，b是不等的两个正数，A是a，b的等差中项，B是a，b的正的等比中项，则A与B的大小关系是（）
A．A＜B B．A＞B C．A=B D．不能确定
2．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若（a2+b2﹣c2）tanC=ab，则角C 等于（）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
3．（5分）若关于x的二次不等式x2+mx+1≥0的解集为实数集R，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣2或m≥2 B．﹣2≤m≤2 C．m＜﹣2或m＞2 D．﹣2＜m＜2
4．（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）
A．，x≠0且x∈R B．，x∈（0，π）
C．，x∈R D．y=e x+e﹣x，x∈R
5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a10为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是（）
A．S6B．S11C．S12D．S13
6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
7．（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．
A．10B．20C．10D．20
8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（5分）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．B．C．D．
10．（5分）设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）在等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则lga1+lga2+…+lga8等于．
12．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．
13．（4分）函数f（x）=，则不等式xf（x）﹣x≤2的解集为
14．（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）15．（4分）已知方程x2+ax+2b=0（a∈R，b∈R），其一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，
2）内，则的取值范围为．
16．（4分）平面内有n（n∈N*）个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成f（n）个区域，那么f（n）=．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA．（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若a=b，且BC边上的中线AM长为，求△ABC的面积．。

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