2017年佛山市高中数学青年教师基本功解题能力展示试题 - 副本
高中数学青年教师基本功大赛(笔试)试题
高中数学专业素养1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 笛卡尔 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。
2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 祖暅 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是 两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 叠加 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。
4、《江苏省20XX 年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理 这五个能力。
5、《江苏省20XX 年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、掌握 三个层次（分别对应A 、B 、C ）6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、情感、态度和价值观。
1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。
2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．3、已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________． 4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有 辆．5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 ．6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为频率第4图8、(本题满分15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =u r ，()1tan ,1tan n C C =-+r且m n ⊥u r r（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()f θ；②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．（Ⅰ）4π=A （5分） （Ⅱ）θπθθsin )4sin(250)(+=f ，bc c b g 42),(=（5分） （Ⅲ）)12(25max +=S （5分）9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t（1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=-- 令0,y =得22221121222at at at at x t at at at--++=+== 21(,0)2at M at+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+ MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at++=⋅+= （7分） (2) 2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at+-+-'== 0,0a t >>Q ,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时, ()0S t '>当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值已知在12t =处, ()S t 取得最小值,故有14,23a =∴= 故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅ （8分） 1、(,1),(2,)-∞+∞ 2、1 3、[3，9] 4、360 5、5 6、)2ln 1(22+ 1. 数学是研究__现实世界_________和____数量关系_______的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
2017年上半年教师资格考试高中数学真题和参考答案
2017年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1.若lim ()0x a f x k →=>，则下列表述正确的是（ ）A.(0,)r k ∀∈，0δ∃>，(,)x a a δδ∀∈-+，且x a ≠ ，有()f x r >B. (0,)r k ∀∈，(,)x a a δδ∀∈-+，且x a ≠ ，有()f x r >C. (0,)r k ∀∈，0δ∃>，(,)x a a δδ∀∈-+，有()f x r >D. (0,)r k ∃∈，(,)x a a δδ∀∈-+，有()f x r >2.下列矩阵所对应的线性变换为y x =-的对称变换的是（ ）A.1101⎛⎫⎪⎝⎭ B.1110⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 0110⎛⎫⎪-⎝⎭3.母线平行于x 轴且通过曲线 2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程是（ ）A.椭圆柱面 223216x z +=B.椭圆柱面 22216x y +=C.双曲柱面22316y z -=D. 双曲柱面22216y z -=4.若()f x 是连续函数，则下列表述不正确的是（ ）A. ()f x 存在唯一的原函数()xa f t dt ⎰B. ()f x 有无穷多个原函数C. ()f x 的原函数可以表示为()+x af t dt r ⎰（r 为任意数） D. ()xa f t dt ⎰ 是()f x 的一个原函数5.设A 和B 为任意两个事件，且A B ⊂,()0P B >,则下列选项中正确的是（）A.()(|)P B P A B <B. ()(|)P A P A B ≤C.()(|)P B P A B >D. ()(|)P A P A B ≥6.设102030201A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，下列向量中为矩阵A 的特征向量的是（ ）A.TB. (2,0,1)TC. (101)T -，，D. (0,0,1)T7.与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》（I-VI 卷）的我国数学家是（ ）A.徐光启B.刘徽C.祖冲之D.杨辉8.有一个角是直角的平行四边形是矩形，这个定义方式属于（ ）A.公理定义B.属加种差定义C.递归定义D.外延定义 二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.已知椭圆面方程2222+36x y z +=。
2017年5月广东省佛山市高三数学模拟考试(附答案)
2017年5月广东省佛山市高三模拟考试AB B =，则C ．{-3．下列各小题中，是的充要条件的是（ ） （1）:cos cos ;p αβ= :sin sin q αβ=； （2）():1;()f x p f x -=- :()q y f x =是奇函数； （3）:;p AB B = :U U qC B C A ⊆；（4）:2p m <或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点. A ．(1)(3)B ．(3)(4)C ．(3)D ．(4)4．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.9P ξ<=，则(02)P ξ<<=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.65．方程2212||3x y m m -=--表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．23m <<B ．30m -<<或02m <<或3m >C ．3m >或32m -<<D ．23m <<或3m <-6．一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若38a =且前4项和428S =，则此样本的平均数和中位数分别是（ ） A ．22,23B ．23,22C ．23,23D ．23,247．右面的程序框图中，若输出S 的值为126，则图中应填上的条件为（ ） A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤D ．8n ≤8．设函数π()sin(2)6f x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的图像关于直线π3x =对称 B ．()f x 的图像关于点π(,0)6对称 C ．()f x 的最小正周期为π，且在π[0,]12上为增函数 D ．把()f x 的图像向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图像 9．设,,,O A B M 为平面上四点，(1),(0,1)OM OA OB λλλ=+-∈，则（ ） A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．A BM 点在线段上D ．,,,O A B M 四点共线10．二项式33()6ax -的展开式的第二项的系数为32-，则22a x dx -⎰的值为（ ） A ．3B ．73C ．733或D ．1033或-11．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为（ ） A ．2B ．43C ．23D ．312．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有21()x x α--2121()()()f x f x x x α<-<-.下列结论中正确的是（ ） A .若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈ B .若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈ C .若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈ D .若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．设不等式组0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是________．14．已知命题2:[1,4],p x x a ∀∈≥ ,命题2:,220,q x R x ax a ∃∈++-=若命题“p q 且”是真命题,则实数a 的取值范围为________．15．如图，已知球O 的面上有四点,,,A B C D ，DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥，2DA AB BC ===，则球O 的体积与表面积的比为________．16．函数12()3sin πlog f x x x =-的零点的个数是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且1cos 2a C cb -=. (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若1a =,求ABC △的周长l 的取值范围． 18．（本小题满分12分）某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，BA AC ⊥，ED DG ⊥，EF DG ∥．且1,2AC AB ED EF ====，4AD DG ==．（Ⅰ）求证：BE ⊥平面DEFG ； （Ⅱ）求证：BF ∥平面ACGD ； （Ⅲ）求二面角F BC A --的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为前n 项和，5a 和7a 的等差中项为11，且25114a a a a =．令11,n n n b a a +=数列{}n b 的前n 项和为n T ．（Ⅰ）求n a 及n T ；（Ⅱ）是否存在正整数1,(1),,,m n m n m n T T T <<使得成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）设点(,)P x y 到直线2x =的距离与它到定点(1,0)的距离之比为2，并记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 22．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(x f x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[1,1]-上是减函数．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()1g x t λ≤-在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的最大值；2017年5月广东省佛山市高三模拟考试17．解(Ⅰ)由1cos 2a C c b -=得1sin cos sin sin 2A C CB -=………………………………（2分）又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+ ∴1sin cos sin 2C A C =-，∵sin 0C ≠∴1cos 2A =-………………………………………………………………………………………（4分）又∵0πA <<∴2π3A =……………………………………………………………………………………………（6分） (Ⅱ)由正弦定理得：sinsin a B b c c A ===,1sin )l a b c B C =++=+1sin())B A B =+++11sin )2B B =+1)3B π=++…………………………………………………………………（9分）∵2π3A =， ∴πππ2π(0,),(,)3333B B ∈∴+∈…………………………………………………………………（10分）∴πsin()3B +∈故ABC △的周长l 的取值范围为23(2,1]3+.…………………………………………………（12分） 18．解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21133-=.……………………………………（1分）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3，4局连胜，则12212114333381P C ==.………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6.……………………………………………………………（5分）则22215(2)()()339P ξ==+=……………………………………………………………………（6分）12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+=………………………………………………………（7分）1221216(6)()3381P C ξ===………………………………………………………………………（9分）所以随机变量ξ的分布列为ξ 246P5920811681…………………………………………………（10分）520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………（12分） 19．解：（Ⅰ）∵平面ABC ∥平面DEFG ,平面ABC 平面ADEB AB =,平面DEFG 平面ADEB DE =,∴AB DE ∥…………………………………………………………………………………………（1分） 又∵AB DE =∴四边形ADEB 为平行四边形，BE DE ∥……………………………………………………………………………………………（2分） ∵AD ⊥面DEFG 平∴BE ⊥面DEFG …………………………………………………………………………………（3分）（Ⅱ）设DG 的中点为M ，连接,AM MF ，则122DM DG ==，∵2,EF EF =∥DG ，∴四边形DEFM 是平行四边形………………………………………………………………………（4分） ∴MF DE MF DE =且∥，由（Ⅰ）知，ADEB 为平行四边形， ∴AB DE AB DE =且∥， ∴AB MF AB MF =且∥，∴四边形ABFM 是平行四边形，…………………………………………（5分） 即BF AM ∥，又BF ⊄平面ACGD ,故BF ∥平面ACGD ；…………（6分） （Ⅲ）由已知，,,AD DE DG 两两垂直，建立如图的空间坐标系，则(0,0,4),A (2,0,4),(0,1,4),(2,2,0)BC FABCD EGFM∴(0,2,4),(2,1,0)BF BC =-=- 设平面FBC 的法向量为122k k =，则1124020n BF y z n BC x y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩， 令1z =，则DE ，而平面ABC 的法向量2(0,0,4)n DA ==∴121212cos ,||||1n n n n n n ===由图形可知，二面角F BC A --的余弦值-2222(2)0k x kb x b +-+=．…………………………………………（12分）20．解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得571251411112221022()(4)(13)a a a d a a a a a d a d a a d +=⇒+=⎧⎨=⇒++=+⎩ 整理得111511212a d d a d a +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩所以1(1)221n a n n =+-⨯=-………………………………………………………………（3分） 由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+所以111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++…………………………………（5分） （Ⅱ）假设存在 由（Ⅰ）知，21n n T n =+，所以11,,32121m n m nT T T m n ===++ 若1,,m n T T T 成等比，则有222121()2132144163mn m n m nT T T m n m m n =⇒=⇒=+++++………………………………（8分） 2222441633412m m n m m m n n m++++-⇒=⇒=， （1） 因为0n >，所以2412011m m m +->⇒<<，…………………………………（10分） 因为,1,2,m m m ∈>∴=*N ，当2m =时，带入（1）式，得12n =；综上，当2,12m n ==可以使1,,m n T T T 成等比数列．……………………………………………（12分）21．解:=……………………………………………………（2分）整理得2212x y +=，所以曲线C 的方程为2212x y +=……………………………………………（4分）（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，所以可设直线的方程为(2)y k x =+. 设点,E F 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 线段EF 的中点为00(,)G x y ，由22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)8820k x k x k +++-= 由2222(8)4(12)(82)0k k k ∆=-+->解得22k -<<．…(1)……………………………（7分） 由韦达定理得2122812k x x k -+=+，于是 212024212x x kx k +==-+，0022(2)12k y k x k =+=+………………………………………………（8分） 因为2024012k x k=-≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线1211,C B C B ,方程分别为1,1y x y x =+=--所以点G 在正方形内（包括边界）的充要条件为000011y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩即22222224112122411212k k k k k k k k ⎧-≤+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩亦即2222102210k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩……………………………………（10分） 解得3131k ---≤≤，……(2) 由（1）（2）知，直线l 斜率的取值范围是3131[,]---…………………………………………（12分） 22．解：（Ⅰ）∵()ln(e 1)x f x a =++是实数集R 上奇函数，∴(0)0f =，即0ln(e 1)0211a a a ++=⇒+=⇒=-……………………………………………（2分） 将1a =-带入()ln e x f x x ==，显然为奇函数．……………………………………………………（3分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知()()sin sin g x f x x x x λλ=+=+， ∴'()cos ,[1,1]g x x x λ=+∈-∴要使()g x 是区间[1,1]-上的减函数，则有'()0g x ≤在[1,1]x ∈-恒成立，∴min (cos )x λ≤-，所以1λ≤-．……………………………………………………………………（5分） 要使()1g x t λ≤-在[1,1]x ∈-上恒成立，只需max ()(1)sin11g x g t λλ=-=--≤-在1λ≤-时恒成立即可．∴(1)sin110t λ++-≥(其中1λ≤-)恒成立即可．…………………………………………………（7分）l令()(1)sin11(1)h t λλλ=++-≤-，则10,(1)0,t h +≤⎧⎨-≥⎩即10,2sin10,t t +≤⎧⎨--+≥⎩∴sin12t ≤-，所以实数t 的最大值为sin12-………………………………………………………（9分） （Ⅲ）由（Ⅰ）知方程2ln 2e ()xx x m f x =-+，即2ln 2e x x x m x=-+， 令212ln (),()2e xf x f x x x m x==-+ ∵121ln '()xf x x -=当(0,e]x ∈时，1'()0f x ≥，∴1()f x 在(]0,e 上为增函数； 当[e,)x ∈+∞时，1'()0f x ≤， ∴1()f x 在[e,)+∞上为减函数； 当e x =时，1max 1()ef x =．……………………………………………………………………………（11分） 而2222()2e (e)e f x x x m x m =-+=-+-当(0,e]x ∈时2()f x 是减函数，当[e,)x ∈+∞时，2()f x 是增函数，∴当e x =时，22min ()e f x m =-．……………………………………………………………………（12分） 只有当21e e m -=，即21e em =+时，方程有且只有一个实数根………………………………………（13分）。
2018年佛山市高中数学青年教师基本功解题能力展示试题
11 已知点 F 为抛物线 C ： y = 2 px ( p 0 ) 的焦点，点 K 为点 F 关于原点的对称点，点 M 在抛物线 C 上，则下 列说法错误 的是 ．．
在这一周内，下列结论中正确的是（
）
300 250 200 150 100 50 21 22 23 24 25 26 27 t/时间
C．关于直线 x =
6
对称
D．关于直线 x =
3
对称
10. 如图， PAD 为等边三角形，四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ．若点 M 为平面 ABCD 内 P 的一个动点，且满足 MP = MC ，则点 M 在正方形 ABCD 及其内部的轨迹为 A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
A．使得 MKF = 12．如图 1，矩形 ABCD 中， AD = 3 .点 E 在 AB 边上， CE ⊥ DE 且 AE = 1 . 如图 2，△ADE 沿直线 DE
向上折起成 △A1DE ．记二面角 A − DE − A1 的平面角为 ，当 0 ， 1800 时，
) ① 存在某个位置，使 CE ⊥ DA1 ； ② 存在某个位置，使 DE ⊥ AC 1 ； ③ 任意两个位置，直线 DE 和直线 A1C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是 A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 2 4 6 8 10 12 14 AQI
(Ⅰ) 请给出该市创文前后的 CVLZN 数据的均值； (Ⅱ)如果 CVLZN 数据的均值同比降低了 80%，则可认为创文的效果显著. 根据上述数据，试判断该市创文效果 是否显著. 19． （本小题满分 12 分） 如图,四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中, A1 A ⊥ 底面 ABCD .四边形 ABCD 为梯形,
2017年教师资格证考试《高中数学》真题及答案
2017年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》(高级中学)真题及答案◇本卷共分为6大题17小题，作答时间为120分钟，总分150 分，90 分及格。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。
错选、多选或未选均无分。
A2 [单选题] 下列矩阵所对应的线性变换为旋转变换的是( )。
D3 [单选题]参考答案：C 参考解析：所求柱面的母线平行于x轴，则柱面方程中不含参数x，通过题中的方程组，消去x即可得到C选项。
考4 [单选题] 若ƒ(x)是连续函数，则下列命题不正确的是( )。
A5 [单选题]A.P(B)<P(A\B)B.P(A)≤P(A\B)C.P(B)>P(A\B)D.P(A)≥P(A\B)收藏本题参考答案：B6 [单选题]C7 [单选题] 与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》(I-Ⅵ卷)的我国数学家是( )。
A.徐光启B.刘徽C.祖冲之D.杨辉收藏本题参考答案：A 参考解析：明朝末年，《原本》传人中国。
1606年，由我国数学家徐光启执笔，意大利传教士利玛窦口译，合作翻译了《原本》的前六卷，并于1607年在北京印刷出版。
这是我国最早的汉译本，在翻译时，徐光启在“原本”前加上了“几何”一词．“几何原本”一词由此而来。
8 [单选题] “有一个角是直角的平行四边形是矩形”，这个定义方式属于( )。
A.公理定义B.属加种差定义C.递归定义D.外延定义收藏本题参考答案：B 参考解析：A项公理定义是由数学公理而对被定义项进行定义，如概率的公理化定义；B项属加种差定义是由被定义概念的邻近的属和种差所组成的定义，即“邻近的属+种差=被定义概念”，题干中“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，它邻近的属为平行四边形，种差为其一角为直角；C项递归定义也称归纳定义，是指用递归的方法给一个概念下定义，它由初始条件和归纳条件构成；D项外延定义是指通过揭示属概念所包括的种概念来明确该属概念之所指的定义，如有理数和无理数统称实数。
2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)
2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题参考答案13．79−14．31115． 16．4π 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =−=.由2212a b b =，可得222136a b b ==. 因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………2分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=.…………………………………3分于是当2n ≥时，n a =.将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n −=+，于是()241n b n =+. ………………………………………………4分由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n =+. ………………………………5分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+−.………………………8分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<− ⎪+−+⎝⎭（2n ≥）. 因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<−⇔<⇔+<+− ⎪+−++−+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+−>⇔−+>, 所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+−++−<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …10分 当1n =时，1277<.…………………………………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−+−−+−+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++−zF1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−+−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. ………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−−−+−+⎝⎭. 当4n ≥时,2111723441n n ++++−1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−−−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111272347147<+++<. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a ……………………………12分 18. 【解析】(Ⅰ)因为//BC AD ,BC ⊄平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以//BC 平面ADE , 同理//CF 平面ADE , 又BCCF C =,所以平面//BCF 平面ADE ,又BF ⊂平面BCF ,所以//BF 平面ADE . …………………………………………4分 (Ⅱ)以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz −如图所示, 则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ,设()0CF h h =>,则()1,2,F h ,()1,1,0BD =−,()1,0,2BE =−,(1,2,2CE =−−设平面BDE 的法向量为(),,x y z =n ,则00BD BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ,即020x y x z −+=⎧⎨−+=⎩,解得22x zy z=⎧⎨=⎩,令1z =,得()2,2,1=n ,设直线CE 与平面BDE 所成角为θ,则sin θ=4cos ,9CE CE CE ⋅<>==nn n ,所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. ……………………9分(Ⅲ)设(),,x y z =m 为平面BDF 的法向量,则00BD BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m ,即020x y y hz −+=⎧⎨+=⎩,解得2x yy z h =⎧⎪⎨=−⎪⎩,令y h =,得(),,2h h =−m ,依题意,1cos ,3⋅===⨯m n m n m n,解得87h =.所以线段CF 的长为87. …………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=． 所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ−−=−−，123212323(),3().x x x x y y y y λλ−=−⎧⎨−=−⎩解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ−⎧=+⎪⎪⎨−⎪=+⎪⎩ 因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ−−+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ−−+++−+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34−，所以121234y y x x ⋅=−，即1212043x x y y +=． 所以2291()1λλλ−+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………12分20. 【解析】(Ⅰ)方法1:设方案一中每组的化验次数为X ,则X 的取值为1,6．………………………1分所以()510.990.951P X ===,()5610.990.049P X ==−=, ……………………………………2分所以X 的分布列为所以1EX =⨯分故方案一的化验总次数的期望为:1111 1.24513.695EX ⨯=⨯=次． ………………………………4分 设方案二中每组的化验次数为Y ,则Y 的取值为1,12,所以()1110.990.895P Y ===,()111210.990.105P Y ==−=,……………………………………5分所以Y 的分布列为所以1EY =⨯分故方案二的化验总次数的期望为:55 2.15510.775EX ⨯=⨯=次． …………………………………7分 因13.69510.775>,所以方案二工作量更少．……………………………………………………………8分 方法2:也可设方案一中每个人的化验次数为X ,则X 的取值为15,65． 方案二中每个人的化验次数为Y ,则Y 的取值为111,1211． 同方法一可计算得0.249EX =,0.196EY =,因EX EY >,所以方案二工作量更少.(Ⅱ)设事件A :血检呈阳性；事件B :患疾病．…………………………………………………………9分则由题意有()0.01P A =,()0.004P B =,()0.99P A B =,…………………………………………10分 由条件概率公式()()()P AB P A B P B =,得()()()0.0040.99P AB P B P A B ==⨯, ………………11分故()()()0.0040.990.3960.01P AB P B A P A ⨯===,所以血检呈阳性的人确实患病的概率为39.6%.…12分21. 【解析】（I ）当0a =时，()sin cos f x x x x =+，[,]x ππ∈−.'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+−=.当x 在区间[,]ππ−上变化时，'()f x ，()f x 的变化如下表所以()f x 的单调增区间为(,)2ππ−−，(0,)2π；()f x 的单调减区间为(,0)2π−， (,)2ππ.……………………………………………………………………………4分（II ）任取[,]x ππ∈−.2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x −=−−+−+−=++=，所以()f x 是偶函数.'()cos (cos )f x ax x x x a x =+=+.当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,)π上恒成立，所以[0,)x π∈时，'()0f x ≥. 所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为(0)1f =，所以()f x 在[0,]π上有0个零点. 又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[,]ππ−上有0个零点. 当01a <<时，令'()0f x =，得cos x a =−. 由10a −<−<可知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0cos x a =−.所以当0[0,)x x ∈时，'()0f x ≥，()f x 单调递增； 当0(,)x x π∈时，'()0f x <，()f x 单调递减. 因为(0)1f =，0()1f x >，21()12f a ππ=−. ①当21102a π−>，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有0个零点. ②当21102a π−≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有2个零点. 综上，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.………………………………………………………………………………………12分22.写出来，谈的有想法就给分，采取加分原则.。
高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案
高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。
1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。
完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。
佛山市2017届普通高中高三教学质量检测(一)(理数)
佛山市2017届普通高中教学质量检测（一）数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集为R ，集合{}1 1 2 4M =-，，，，{}223N x x x =->，则()R M C N =（ ）A ．{}1 1 2-，， B ．{}1 2， C ．{}4 D ．{}12x x -≤≤ 2．复数z 满足()23z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q =”是“23n S S =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．变量 x y ，满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．4 C.5 D ．65．在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量。
一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如图是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图.第1、2问满分均为6分.图1中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（ ）A ．此题没有考生得12分；B ．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏；C ．分数在[)40 50，的考生此大题的平均得分大约为4.8分； D ．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差.6．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体 的体积为（ ）A ．6B ．203C.7 D ．2237．如图3所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．1516B ．1512C.138 D ．1348．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E ，F ，且交其对角线AC 于K ，若2AB AE =，3AD AF =，()AC AK R λλ=∈，则λ=（ ）A ．2B ．52C.3 D ．5 9．下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，01212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当63x ππ-<<时，()'0f x >”的一个函数是（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．二项式()*nn N ∈展开式中只有一项的系数为有理数，则n 的可能取值为（ ）A ．6B ．7 C.8 D ．911．对任意的a R ∈，曲线()212x y e x ax a =++-在点()0 12P a -，处的切线l 与圆22:2120C x x y ++-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切 C.相离 D ．以上均有可能12．已知函数()32f x x ax bx c =+++，()232g x x ax b =++（ a b c ，，是常数），若()f x 在()0 1，上单调递减，则下列结论中：①()()010f f ⋅≤； ②()()010g g ⋅≥； ③23a b -有最小值. 正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
青年教师基本功大赛演讲题目及答案参考
青年教师基本功大赛试题一填空题（10分）1、新课标强调“从双基变四基”四基是指、、、。
2、、、。
3、初中数学新课程的四大学域是、、、。
学生是数学学习的，教师是数学学习的、与。
4、初中阶段《课标》中“数与代数”主要包括、_和三部分5、我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧……得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线（如下图），已知点P1（0，1），P2（－1，0），P3（0，－1），则该折线上的点P9的坐标为二选择题（10分）6、教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，学会------------------------- （）A、教教材B、用教材教7、《数学课程标准》中使用了“了解、理解、掌握、运用”等表述----------------------（）A、学习过程目标B、学习活动结果目标。
8、新课程的核心理念是--------------------------------------------------------------------------------（）A、联系生活学数学,B、培养学习数学的爱好,C、一切为了每一位学生的发展9、教学评价是指----------------------------------------------------------( )A.对学生学业成绩的评价B.对教师教学质量的评价C.对教师教和学生学的评价D.对教师、学生及课程的评价10、如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有------------------------------------（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上三解答题11 请你结合教学实际谈一下“预设”和“生成”的关系。
高中数学青年教师解题比赛试卷(附答案)
高中数学青年教师解题比赛试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷共5页， 满分为150分．考试时间120分钟． 第I 卷（选择题共60分）参考公式：三角函数和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式 2c o s2s i n2s i n s i n φθφθφθ-+=+ ()l c c S +'=21台侧 其中c '、c 分别表示 2sin2cos2sin sin φθφθφθ-+=- 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长2c o s2c o s2c o s c o s φθφθφθ-+=+ 台体的体积公式：()h S S S S V +'+'=31台体 2sin2sin2cos cos φθφθφθ-+-=- 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.区（县级市） 学校 考生号 姓名密 封 线 内 不 要 答 题（1）常数T 满足()x x T cos sin -=+ 和()x x T g ctg t =-,则T 的一个值是（ ）．（A ）π- （B ）π （C ）2π-（D ）2π（2）在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ,则1092a a - 的值为（ ）．（A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-（3）设点P 对应复数是i 33+,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）．（A）34π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B）54π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）33,4π⎛⎫-⎪⎝⎭（4）设A 、B 是两个非空集合，若规定：{}B x A x x B A ∉∈=-且,则()B A A --等于（ ）．（A ）B （B ）B A （C ）B A （D ）A （5）函数()x f y =的图象与直线1=x 的交点个数为（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或1（6）设函数()()ϕω+=x A x f sin （其中R x A ∈>>,0,0ω）,则()00=f 是()x f 为奇函数的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC ＝90°，AC BC ⊥1，过1C 作⊥H C 1底面ABC ，垂足为H ，则（ ）．（A ）H 在直线AC 上 （B ）H 在直线AB 上（C ）H 在直线BC 上 （D ）H 在△ABC 内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超1C 1B 1A AB C过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象可表示为（ ）．（A ） （B ）（C ） （D ）（9）以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相 切的圆的方程为（ ）．（A ）091022=+-+x y x （B ）091022=--+x y x （C ）091022=-++x y x （D ）091022=+++x y x（10）已知()nx 21+的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x 项的系数是（ ）．（A ）56 （B ）80 （C ）160 （D ）180（11）AB 是过圆锥曲线焦点F 的弦，l 是与点F 对应的准线，则以弦AB 为直径的圆与直线l 的位置关系（ ）．（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）由离心率e 决定 （12）定义在R 上的函数()x f y -=的反函数为()x fy 1-=，则()x f y =是（ ）．（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶函数 （D ）满足题设的函数()x f 不存在第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．（13）函数)23(sin ππ≤≤=x x y 的反函数是 ． （14）已知抛物线的焦点坐标为()12，，准线方程为02=+y x ,则其顶点坐标为 ．（15）如图，在棱长都相等的四面体A —BCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，则直线 AF 、CE 所成角的余弦值为 ．（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你 和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析， 5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）已知复数2cos 2cos 2Ci A u +=，其中A 、C 为△ABC 的内角，且三个内角 满足2B ＝A ﹢C .试求i u -的取值范围.封 线 内 不 要 答 题ABCDEF（18）（本小题满分12分）已知曲线C上的任一点M()y x,（其中0≥x）,到点()02，A的距离减去它到y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线02=x于N.+（I）求曲线C的方程；（II）求证：N Q平行于x轴.（19）（本小题满分12分） 是否存在一个等差数列{}n a ,使对任意的自然数n ，都有212a a n ⋅…n n n P a 2=.（20）（本小题满分12分）南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线OCD与地面成锐角θ.（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，才能使遮影△ABD面积最大？（II）当AC＝3，BC＝4，AB＝5，θ＝30°时，试求出遮影△ABD的最大面积.（21）（本小题满分14分）名姓甲、乙、丙三种食物维生素A 、B 含量及成本如下表：千克丙种食物 配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000 单位维生素B .试用x 、y 表示混合物的成本M （元）；并确定x 、y 、z 的值， 使成本最低.（22）（本小题满分14分）定义在()1,1-上的函数()x f 满足：①对任意x 、()1,1-∈y ,都有()+x f ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=xy y x f y f 1；②当()0,1-∈x 时，有()0>x f .证明：（I ）函数()x f 在()1,1-上的图象关于原点对称；（II ）函数()x f 在()0,1-上是单调减函数；（III ）⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .()z n ∈高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛2,1 （15）3 （16）54三、解答题：（17）（本小题满分10分） 解：由△ABC 的内角关系2602C A B C B A CA B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π， 又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos 2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A 从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知： 曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴） （II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在， 设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅1616Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立 （19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则 1=n 时，有121121=⇒=a P a ；2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ； 3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .()2-=⇒PPN x y y（证Q 、N 点纵坐标相等）∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设， 即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABD又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CE AB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大 而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值） 所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，AB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒DE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角.()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分） （I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++= ()()y x y x -+++=33224001301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0 ()()0=-+⇒x f x f()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x 及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x①② ⇒⇒<<<-01又21x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f 则有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f . 由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f 故⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .条件①。
2017年高中数学青年教师综合素质大赛2017解一套题与命一道题2
2017年高中数学青年教师综合素质大赛“解一套题”试题一、选择题：(每小题8分，满分32分)1.若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x 为区间[]1 1-，上的一组正交函数.给出下列四组函数：①()1=sin 2f x x ，()1cos 2g x x =；②()1f x x =-，()1xg x x =-；③()22x x f x -=-，()11221xg x =+-；④()()(2ln 3f x x g x x ==+，． 其中为区间[]1 1-，上的正交函数的组数是( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)32.函数()()s i n f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，其中P 为图像与y 轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内任取一点，则此点落在ABC ∆的概率为( ).(A)2πω (B)2π (C)πω(D)4π3.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足D A D B D C ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP =，PM MC =，则2BM 的最小值是( ).(A)254 (B)4944.若对任意实数x 都有223x a x a a -+-≥，则实数a 的取值范围为( ). (A)11 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， (B)11 23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， (C)11 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， (D)11 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二、填空题：(每小题8分，满分32分)5.已知棱长为a 的正四面体ABCD 的内切球球心为O ，经过该棱锥A BCD -的中截面为α，则O 到平面α的距离为 .6.在ABC ∆中，sin 2sin cos 0A BC +=，则t a n A 的最大值为 . 7.设12345x x x x x ，，，，是5个正整数，从中任取4个数其和组成的集合为{}44 45 46 47，，，，则这5个正整数分别为 .8.甲、乙、丙、丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一，设n P 表示经过n 次传递后球回到甲手中的概率，则n P = (用n 表示).三、解答题：(满分36分)9.(本小题满分16分)如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12F F ，为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点，且21AF F ∠为钝角.若172AF =，252AF =. (Ⅰ)求曲线1C 和2C 的方程；(Ⅱ)过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线1C ，2C 依次交于B 、C 、D 、E 四点.若G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.10.(本小题满分20分)我们知道，如果1nn k k S a ==∑，那么111()2,k k k S k a k N S S k *-=⎧=∈⎨-≥⎩，，，反之，如果()1*112k kk S k a k N S S k -=⎧=∈⎨-≥⎩，，，那么()1112n n k k k n k k a S S S S -===+-=∑∑.后者常称为裂项法求数列前n 项和.(Ⅰ)用裂项法证明：2311()nn k k k k n N *==⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∑∑；(Ⅱ)裂项法显然可以类比到一类不等式的证明，请你写出该类比结论；(Ⅲ)证明：()1111ln 1n ()1nnk k n N k k*==<+<∈+∑∑.参考答案1.C解析：由定积分的性质知，只需要()()f x g x ⋅为奇函数即可，易知，①④满足条件，故选C. 2.D解析：由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω∆=⋅=，设A B ，的横坐标分别为a b ，.设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S ，则()()()()sin sin 2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知，该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ∆===，故选Ｄ. 3.A解析一：甴已知易得102A D C A D B B D C ∠=∠=∠=，2DA DB DC ===，以D 为原点，直线DA为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(-1，)，C(-1设()P x y ，，由已知1AP =，得()2221x y -+=，又PM MC=，∴12x M ⎛- ⎝⎭，∴12x BM ⎛+= ⎝⎭，∴()(22214x y BM -++=，它表示圆()2221x y -+=上点()x y ，与点(1--，距离平方的14，∴()22min125144BM ⎫==⎪⎭，故选A.解析二：甴已知易得102ADC ADB BDC ∠=∠=∠=，2DA DB DC ===， ∴AB BC CA ===由1AP =知，点P 的轨迹是以 A 为圆心半径为1的圆，PM MC =，点M 是PC 的中点，所以点M 的轨迹为AC 的中点N 为圆心，直径为12的圆，()22m i n 12524BM BN ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选A.4.C解析：23232322333a a a a a a ax a x a x x x x x x x -+-=-+-=-+-+-+-+-，由绝对值不等式的性质可知，x取 22333a a a a a，，，，的中间值时，有最小值，故当3a x =，23x a x a -+-最小值3a ，所以23a a ≤，由13a ≤得1133a -≤≤，故选C.(注：本题也可以化为分段函数求解)解析：由题意可求得球O，且点O 分高的比为3︰1，所以O 到中.解析：∵sin 2sin cos 0A BC +=，sin 0 sin 0A B >>，，∴c o s 0C <，∴ 022C B πππ<<<<，.由()sin 2sin cos 0B C B C ++=得3sin cos sin cos 0B C C B +=，∴t a n 3t a n C B =-. 由斜三角形ABC得，tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，2tan tan 2tan 2tan 1tan tan 113tan 3tan tan B C B A B C BB B+===≤-++t a n A7.10，11，11，12，13解析：由题意可知，有两个和相等，不妨设为S ，则()12345444454647x x x x x S ++++=++++，123451236444444S Sx x x x x ++++++++=+=+，依次取S=44，45，46，47，得S=46满足条件，故1234564644574x x x x x +++++=+=，故5个正整数分别为10，11，11，12，13.8.1111443n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭解析：由题意知，第n 次传递后球回到甲手中，则第1n -次传递后球不在甲的手中，且第1n -次传递后球不在甲的手中概率为11n P --，所以，()1113n n P P -=-，其中，10P =， 因为1111434n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，1111434n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，1111111144343n n n P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1111443n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.9.(Ⅰ)解法一：设椭圆方程为22221x y a b+=，则12752622a AF AF =+=+=，得3a =.设A (x y ，)，1F (c -，0)，2F (c ，0)，则()22272x c y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，()22252x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，两式相减得32cx =，由抛物线定义可知，252AF x c =+=，则1c =，32x =或 1x =，32c =(舍去). ∴椭圆1C 方程为22198x y +=(32x ≤)，抛物线2C 方程为24y x =(32x ≤).解法二：过1F 作垂直于x 轴的直线x c =-，即抛物线的准线，作AH 垂直于该准线， 作AH ⊥x 轴于M ，则由抛物线的定义得2AF AH =，∴AM ====212F M =，得1251222F F =-=，∴1c =，32OM =，2228b a c =-=，12752622a AF AF =+=+=，∴3a =， ∴椭圆1C 方程为22198x y +=(32x ≤)，抛物线2C 方程为24y x =(32x ≤). (Ⅱ)设B (11x y ，)，E (22x y ，)，C (33x y ，)，D (44x y ，)，把直线()1y k x =-代入22198x y +=得()2228916640k y ky k ++-=，则1221689k y y k +=-+，21226489k y y k =-+. 同理将()1y k x =-代入24y x =得，2440ky y k --=，∴344y y k+=，344y y =-， ∴34212234121212y y BE GF y y CD HF y y y y+⋅-=⋅=⋅-+3=为定值. 10.(Ⅰ)证明：因为231212⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭()()222223(1)(1)112224k k k k k k k k k N k +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+--=∈≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，. 所以222233312212(1)(1)(1)1.2222nnn k k k k k k k n n k k ===⎧⎫⨯+-+⎪⎪⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+-=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑∑又∵1(1)2nk n n k =+=∑，∴2311nn k k k k ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑.(Ⅱ)类比结论：(1)如果1112k k k S k a S S k -=⎧≤⎨-≥⎩，，，那么1112()n n k k k n k k a S S S S -==≤+-=∑∑；(2)如果1112k kk S k a S S k -=⎧≥⎨-≥⎩，，，那么1112()n n k k k n k k a S S S S -==≥+-=∑∑.(Ⅲ)证明：①先证明：1111ln(1)ln ln 12111kk k k N k k k kk⎛⎫=<+-=+<∈≥ ⎪+⎝⎭+，，. 令()()()()ln 1ln 11xf x x xg x x x=+-=+-+，，其中1x >-， 则()()()221111 11111x x f x g x x x x x x -⎛⎫''=-==-= ⎪++++⎝⎭+，. 当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，()0g x '<，()g x 单调递减， 当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，()0g x '>，单调递增， 又∵(0)0(0)0f g ==，，∴当0x >时，()0f x <，()0g x >，即l n (1)1xx x x<+<+. 取102x k N k k =>∈≥，，，得111ln 111k k k k⎛⎫<+< ⎪⎝⎭+，∴11ln(1)ln 21k k k N k k k<+-<∈≥+，，.②显然，11ln(11)ln 111e <+<=+. 综上所述， []()122111ln(11)ln(1)ln ln 11111nn nk k k k k n k k ====+<+++-=++++∑∑∑，[]()122111ln(11)ln(1)ln ln 11nn n k k k k k n k k ====+>+++-=+∑∑∑，所以，1111ln(1n)1n nk k k k==<+<+∑∑.。
2017年4月广东省佛山市高三数学模拟考试(附答案)
2017年4月广东省佛山市高三模拟考试数学5．已知函数1()(e e)2x xf x-=-，则()f x的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．关于直线y x=对称6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．7．已知椭圆方程了22143x y+=，双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为（）8．设实数x ，y满足不等式组110330x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为（）A．13B．19C．24D．299．已知等比数列{}na满足2135632,4,a a a a a==则的值为（）A．12B．1C．2D．1410．非零向量a，b使得||||||a b a b+=-成立的一个充分非必要条件是（）A．a b∥B．20a b+=C．||||a ba b=D．a b=11．设函数()2xf x=，则如图所示的函数图象（）A．(||)y f x=B．|()|y f x=-C．|()|y f x=--D．|()|y f x=-12．已知定义在R上的函数()f x，对任意x∈R，都有(6)()(3)f x f x f+=+成立，若函数(1)y f x=+的图象关于直线1x=-对称，则(2013)f=（）A．0B．2013C．3D．2013-第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．221x dx⎰________．14．已知程序框图如右图所示，则输出的i=________．15．若圆C以抛物线24y x=的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是________．16．根据下面一组等式11S=2235S=+=345615S=++=47891034S=+++=5111213141565S=++++=6161718192021111S =+++++=722232425262728175S =++++++= ……………………可得13521n S S S S -+++⋯⋯+=________． 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．且满足(2)cos cos b c A a C -=．（1）求角A 的大小；（2）若2b =，3c =，求||AB AC +． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，35a =，636S =， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分） 设函数()e sin x f x x =，（1）求函数()f x 单调递增区间；（2）当π[]0,x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值. 20．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AB CD ∥，AD AB ⊥，112AD AB CD ===，PD ABCD ⊥面，2PD =，E PC 是的中点．（1）证明：BE PAD ∥面；（2）求二面角E BD C --的大小． 21．（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==． （1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点． 22．（本小题满分13分）设函数2()ln .f x x ax x =+-．（1）若a l =，试求函数()f x 的单调区间；（2）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为1；（3）令(())e xf xg x ，若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数，求a 的取值范围．2017年4月广东省佛山市高三模拟考试数 学·答案一、选择题1~5．DABDA 6~10．CCABB 11~12．CA二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．73 14．915．22(1)13x y -+= 16．4n 三、解答题17．解：（1）由正弦定理可得：2sin cos sin cos cos sin B A C A C A =+，……………………（3分） ∴2sin cos sin()sin B A A C B =+=…………………………………………………………………（5分） ∵sin 0B ≠， ∴1cos 2A =. ∴π3A =.……………………………………………………………………………………………（8分） （2）222||||||2||||cos AB AC AB AC AB AC A +=++7=+………………………………………………………………………（11分）∴||7AB AC +=…………………………………………………………………………（12分） 18．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，∴36535a S =⎧⎨=⎩；则1125656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩…………………………………………………………………（3分） 即1125536a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩……………………………………………………………………（6分）=1+2(1)21,()n a n n n -=-∈*N .………………………………………………………………（8分）（Ⅱ）2122n a n n b -==， ∴135212222n n T -=++++…………………………………………………………………（10分）2(14)2(41)143n n --==-…………………………………………………………………………（12分） 19．（Ⅰ）()e (sin cos )x f x x x '=+………………………………………………………………（2分）πsin()4x x =+………………………………………………………………（4分）()0f x '≥∴πsin()04x +≥．………………………………………………………………………………（6分）∴π2π2ππ4k x k ≤+≤+，即π32π2ππ44k x k -≤≤+， ()f x 单调递增区间为π3[2π,2ππ],44k k k -+∈Z ………………………………………………（8分）（2）[0,π]x ∈，由（1）知，3[0,π]4x ∈是单调增区间，3[π,π]4x ∈是单调减区间………（10分）343(0)0,(π)0,(π)e 4f f f π==所以34max 3π()e 4f f π==，min (0)(π)0f f f ===…………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PD 的中点为F ，链接EF ．1,2EF CD EF CD =∥，………………………………………………………………………（2分）又12AB CD AB CD =∥且∴,EF AB EF AB =∥，∴ABCD 是平行四边形，∴BE AF ∥，……………………………………………………………………………………（4分） 又,BE PAD AF PAD ⊄⊂面面∴BE PAD ∥面．………………………………………………………………………………（6分） （2）建系：以,,DA DB DP 分别为,,x y z 轴轴轴．(1,1,0),(0,2,0),(0,1,)2B C P E 则…………………………………………………（7分）(1,1,0),(1,0,)2DB BE ==-，……………………………………………………………（8分） 设平面EDB 的法向量为(,,)n x y z =00x y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩∴(,)(1,n x x x =-=-……………………………………………………………（10分） 令1x =，则∴(1,1,n =-又因为平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =∴2cos ,m n =二面角E BD C --为45︒．……………………………………………………………………（12分）21．解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，…………………………（1分）由题意知b=1，且()()()2222222a b c +=，又222a b c =+得23a =.…………………………………………………………………………………………（3分）所以椭圆的方程为2213x y +=.……………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由题意设01122(0,),(,0),(,),(,)P m Q x M x y N x y ，设l 方程为()x t y m =-.由1111011(,)(,)PM MQ x y m x x y λλ=-=--知 ∴1111,0y m y λλ-=-≠由题意， ∴11=1my λ-…………………………………………………………………………………………（7分） 同理由222=1mPN NQ y λλ=-知 ∵123λλ+=-，∴1212()0y y m y y ++= （*）…………………………………………………（8分）联立222222233(3)230()x y t y mt y t m x t y m ⎧+=+-+-=⎨=-⎩得∴需2422244(3)(3)0m t t t m ∆=-+-> （**）且有22212122223,33mt t m y y y y t t -+==++ （***）………………………………………………（10分） （***）代入（*）得222320t m m mt -+=， ∴2()1mt =，由题意0mt <，∴1mt =-（满足（**））……………………………………………………………………………（12分） 得l 方程为1x ty =+，过定点(1,0)即P 为定点.…………………………………………………（13分） 22．解：（1）1a =时，2()ln (0)f x x x x x =+->.………………………………………………（1分）∴1(21)(1)()21x x f x x x x-+'=+-=………………………………………………………………（3分） 11(0,),()0,(,),()022x f x x f x ∈'<∈+∞'>()f x 的减区间为1(0,)2，增区间1(,)2+∞…………………………………………………………（5分）（2）设切点为1(,()),()2M t f t f x x ax x'=+-切线的斜率12k t a t=+-，又切线过原点()f t k t =()12f t t a t t=+-，即：22ln 21t at x t at +-=+- ∴21ln 0t t -+=………………………………………………………………………………………（7分）1t =满足方程21ln 0t t -+=，由21y x =-，ln y x =图像可知21ln 0x x -+=有唯一解1x =，切点的横坐标为1…………………………………………………………………（8分） 或者设12()1ln ,()20t t t t t tϕϕ=-+'=+>()t ϕ在(0,)+∞递增，且(1)0ϕ=，方程21ln 0t t -+=有唯一解…………………………………（9分）（3）()()()e xf x f xg x '-'=，若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数.则(0,1],g ()0x x ∀∈'≤，即：()()f x f x '≤，所以212ln (1)0x x x a x x-+-+-≥ （*）…………………………………………（10分） 设21()2(1)h x x x a x x =-++-22211(1)(221)()222x x x h x x a a x x x -++'=---+=-+若2a ≤时，则()0,()(0,1],()(1)0h x h x h x h '≤≥=在递减即不等式()(),(0,1]f x f x x '≤∀∈，恒成立…………………………………………………………（11分） 若2a >，∵211()22x x x xϕ=--- ∴3221()20x x x ϕ'=++> ()(0,1]x ϕ在上递增，()(1)2x ϕϕ≤=-00(0,1),()=x x a ϕ∃∈-使得00(,1),(),()0,()(,1],()(1)0x x x a h x h x x h x h ϕ∈>-'>≤=即在上递增这与21(0,1],2ln (1)0x x x x a x x∀∈-+-+-≥矛盾…………………………………………………（12分） 综上所述，2a ≤………………………………………………………………………………………（13分）解法二：2()()()e f x f x g x '-'=，若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数，则(0,1]x ∀∈，()0,g x '≤即：()()f x f x '≤，所以212ln (1)0x x x a x x-+-+-≥………………（10分）显然1x =，不等式成立当(0,1)x ∈时，212ln 1x x xx a x -+-≤-恒成立……………………………………………………（11分） 设22221112ln 21ln (),()1(1)x x x x x xx x x h x h x x x -+--+--+-='=-- 设22311(1)(2)()21ln ,()2(1)0x x x x x x x x x x x ϕϕ-+=-+--+-'=-+> ()x ϕ在(0,1)上递增，()(1)0x ϕϕ<=所以()0h x '<……………………………………………（12分）()h x 在(0,1)上递减，223312ln 11()(1)limlim(22)21x x x x xx h x h x x x x→→-+->==-+++=- 所以2a ≥…………………………………………………………………………………………（13分）。
高中数学青年教师基本功大赛笔试试题1
射阳县2010年高中数学青年教师基本功大赛笔试试题(一)(考试时间:90分钟；满分:120分)一、基础知识（共10小题，每题3分，计30分）1. 新课程提倡的学习方式有(请列举三个)：(1)_____________________；(2)______________________； (3)______________________________，改变过去的那种单纯接受式的学习方式.2. 新课程的“三维目标体系”是指：(1)________________________；(2)_________________________； (3)_____________________________.3. 请连线:4. 我们常说要重视“数学思想方法”的教学，请列举三个常见的“数学思想”：(1)_________________________；(2)__________________________；(3)________________________.5.《江苏高考说明》的命题指导思想中提出“重视数学基本能力的综合能力的考查”,请你列举三个“数学基本能力”: (1)___________________；(2)_____________________；(3)____________________.6. 我们常说要“数学地思维”，而良好的思维品质是具有一些特性的,请列举其中的三个特性：(1)_______________________；(2)_________________________；(3)_________________________. 7. 数学史上的三次数学危机是指(不必太详细): (1)____________________________________________； (2)_______________________________________；(3)________________________________________. 8. 华罗庚先生在强调“数形结合”的重要性时曾说过的一句话是:“______________________________, ______________________________________.”9. 高中数学选修课程系列4包括10个专题,请列举其中的三个: (1)______________________________； (2)_____________________________________；(3)____________________________________. 10. 波利亚在“怎样解题”表中把数学题的求解过程分为四个阶段，即第一阶段:弄清问题；第二阶段：______________________；第三阶段：______________________；第四阶段：___________________.二、解题能力测试（共5题，每题18分，计90分）11.请建立适当的模型来推导“两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+”.12. 已知一个函数的解析式为2y x =,它的值域为[0,4],这样的函数有多少个?试写出其中两个函数.欧几里德 勾股定理毕达哥拉斯 形式主义数学希尔伯特 《几何原本》学校:_________姓名:_________13.一半径为,水轮圆心O 距离水面2米.已知水轮按逆时针方向旋转,每分钟转动5圈.现在当水轮上点P 从水中浮现时(图中点0P )开始计时.试探究:(Ⅰ)OP 旋转的角速度ω是多少?(单位:弧度/秒)(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,设点P 距离水面的高度z (米)与时间t (秒)的函数关系为()sin()2z f t A t ωϕ==++,其中0A >,而(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边, 0OP 为终边的角.请写出函数()f t 的解析式；(Ⅲ)点P 第二次到达最高点需要的时间是多少秒?14. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足22222345a a a a +=+, 77S =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (Ⅱ)试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.15. 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .(Ⅰ)过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；(Ⅱ)求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为 4的⊙M 的方程；(Ⅲ)设P 为（Ⅱ）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应 的定值；若不存在，请说明理由.第15题第13题。
2017年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)
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4 x0 8 y0 2 (4 x0 2 4 x0 8) 2 2 4 y0 x0
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8 y0 2 4 x0 2 8 4(2 y0 2 x0 2 ) 8 4 2 8 y y0 2 0． 0 2 2 2 2 2 4 y0 x0 4 y0 x0 4 y0 x0
2017 年佛山市普通高中数学青年教师基本功 解题能力展示试题参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7 C 8 A 9 B 10 C 11 B 12 D
二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．
所以 S OAB
当且仅当
x0 2 2 时， OAB 面积的最小值为 2 ． … 7 分 y0 2 ，即 x0 1, y0 2 2
（Ⅲ）①当 x0 0 时， P(0, 1) ． 当直线 l : y 1 时，易得 Q(1, 2) ，此时 kF2 P 1 ， kF2Q 1 ． 因为 k F2Q k F2 P ，所以三点 Q, P, F2 共线． 同理，当直线 l : y 1 时，三点 Q, P, F2 共线． ②当 x0 0 时，设点 Q(m, n) ，因为点 Q 与点 F1 关于直线 l 对称，
3 1 < b6 ， 32 64 3 ． 64 3 ， ) ．…………………………………………10 分 64
0.3y，……………………1 分
∴ bn 的最大值是 b6
∴ 实数 k 的取值范围是 [
18. 解：（Ⅰ）随机变量 的可能取值为 0.6y，0， 随机变量 的分布列为
2017上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》(高级中学)附答案解析
A.公理定义
B. 属加种差定义
C.递归定义
D.外延定义
【答案】B
【解析】
A项公理定义是由数学公理而对被定义项进行定义，如概率的公理化定义；
B项属加种差定义是由被定义概念的邻近的属和种差所组成的定义，即“邻近的属+种差=被定义概念”，题干中“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，
13.书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“数列”一章为例，说明设计数学书面测验试卷应关注的主要问题。
【答案】
【解析】
(1)对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须要准确把握课程内容中的要求。学生在学习数列这一章的时候应该掌握数列的概念，等差数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和计算方法，等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和计算方法。所以在设计题型的时候，涵盖的知识点应包括以上知识点，达到全面性要求.以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度。
(1)求t的值；(3分)
(2)求出该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。(4分)
【答案】
【解析】
11. 有甲、乙两种品牌的某种饮料，其颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放在外观相同的6个杯子中，每种品牌各3杯，作为试验样品。
(1)从6杯样品饮料中随机选取3杯作为一次试验，若所选饮料全部为甲种
它邻近的属为平行四边形，种差为其一角为直角；C项递归定义也称归纳定义， 是指用递归的方法给一个概念下定义，它由初始条件和归纳条件构成；D项外
延定义是指通过揭示属概念所包括的种概念来明确该属概念之所指的定义，如有理数和无理数统称实数。
二、简答题
9.已知椭球面方程2x2+y2+3z2=6。
2017下半年高中教资考试《数学学科》真题及解析
教师资格考试备考资料2017年下半年中小学教师资格考试数学学科与教学能力试题（高级中学）注意事项:1.考试时间为120分钟,满分为150分。
2.请按规定在答题卡上填涂、作答。
在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。
错选、多选或未选均无分。
1.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛021-103210的秩为（）A.0 B.1C.2D.32.当x→x 0时，与x-x 0是等价无穷小的为（）A.sin(x-x 0)B.ex-x0C.(x-x 0)2D.In|x-x 0|3.下列四个级数中条件收敛的是（）A.∑∞=11n nB.∑∞=121n nC.()∑∞=-1211n n n D.()∑∞=-111n n n 4.下列关于椭圆的论述，①平面内到两个定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆②平面内到定直线和直线外的定点距离之比为大于1的常数的动点轨迹是椭圆③从椭圆的一个焦点发出的射线，经椭圆反射后通过椭圆另一个焦点④平面与圆柱面的截线是椭圆正确的个数是（）A.0B.1C.2D.35.下列多项式为正定二次型的是（）A.x 12+x 22-x 32B.x 12+2x 1x 2-x 2x 3+5x 22+x 32C.3x 1x 2+x 22-x 32D.3x 1x 2+2x 2x 3-4x 1x 36.已知随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，设随机变量Y=2X-3,则Y 服从的分布是（）A.N(2μ-3,2σ2-3)B.N(2μ-3,4σ2)C.N(2μ-3,4σ2+9)D.N(2μ-3,4σ2-9)7.“等差数列”和“等比数列”概念之间的关系是（）A.交叉关系B.同一关系C.属种关系D.矛盾关系8.在集合、三角函数、导数及其应用、平面向量和空间向量五个内容中，属于高中数学必修课程内容的有（）A.1个 B.2个C.3个D.4个二、简答题(本大题共5小题，每小题7分,共35分)9.在线性空间R 3中,已知向量α1=(1,2,1),α2=(2,1,4),α3=(0,-3,2),记V 1={λα1+α2)|λ,μ∈R },V 2={k α3|k∈R }。
佛山市2017届普通高中高三教学质量检测(一)(理数)
佛山市2017届普通高中教学质量检测（一）数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集为R ，集合{}1 1 2 4M =-，，，，{}223N x x x =->，则()R M C N =（ ）A ．{}1 1 2-，， B ．{}1 2， C ．{}4 D ．{}12x x -≤≤ 2．复数z 满足()23z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q =”是“23n S S =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．变量 x y ，满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．4 C.5 D ．65．在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量。
一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如图是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图.第1、2问满分均为6分.图1中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（ ）A ．此题没有考生得12分；B ．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏；C ．分数在[)40 50，的考生此大题的平均得分大约为4.8分； D ．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差.6．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（ ） A ．6 B ．203C.7 D ．2237．如图3所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．1516B ．1512C.138 D ．1348．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E ，F ，且交其对角线AC 于K ，若2AB AE =，3AD AF =，()AC AK R λλ=∈，则λ=（ ）A ．2B ．52C.3 D ．5 9．下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，01212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当63x ππ-<<时，()'0f x >”的一个函数是（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．二项式()*nn N ∈展开式中只有一项的系数为有理数，则n 的可能取值为（ ）A ．6B ．7 C.8 D ．911．对任意的a R ∈，曲线()212x y e x ax a =++-在点()0 12P a -，处的切线l 与圆22:2120C x x y ++-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切 C.相离 D ．以上均有可能12．已知函数()32f x x ax bx c =+++，()232g x x ax b =++（ a b c ，，是常数），若()f x 在()0 1，上单调递减，则下列结论中：①()()010f f ⋅≤； ②()()010g g ⋅≥； ③23a b -有最小值. 正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD． ABC 的外接圆半径为
2 3 3
x3 9． 函数 y x 的图象大致是( 3 3 x
x 1 ，则 A
R
B ＝(
) D． x 1 x 2 ) A. ) 10．已知 , 为锐角,且 tan A. B. C. ) D.
A． x 1 x 2 2． 复数 z
2017 年佛山市普通高中数学青年教师基本功 解题能力展示试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页． 满分 150 分． 考试用时 120 分钟． 注意：请将选择题部涂在答题卡，主观题在答题卷中作答.请在答卷侧边栏填写考号和相关事项.
8． ABC 的三边分别为 a, b, c .若 c 2, C A． b 2 a C． ABC 的面积为
)
3 C. 2
与双曲线的渐近线交于点 M ．若点 P ， M ， F 三点共线，且 MFO 的面积是 PMO 面积的 5 倍，则双曲线 C 的离 D. 3 心率为____________.
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三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 10 分） 设数列 an 满足 a1 1 , a1 a2 an 1 an 1 ( n 2 , n N )
*
21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f x x sin x cos x . （Ⅰ）判断 f x 在区间 2,3 上零点的个数，并证明您的结论； （参考数据： 2 1.4, 6 2.4 ） （Ⅱ）若存在 x
(Ⅰ) 求数列 an 的前 n 项和 S n ； （Ⅱ）若对任意的 n N ，不等式 k S n 1 2n 9 恒成立，求实数 k 的取值范围.
3 5 5
) B.3 C.
6 5 5
1 ， 2 | | 非零向量 a 1e1 2 e2 , 1 , 2 R ，则 1 的最大值为( |a|
5． 设 e1 ， e2 为单位向量，满足 e1 e2
D. 3 2
)
b 1? a
ba
第二部分
非选择题（共 90 分）
A. C. 1
2
0 ,则实数 a 的取值范围
是
.
15．在三棱锥 P ABC 中，底面是边长为 3 的正三角形， PA 3, PB 4, PC 5 .则三棱锥 P ABC 的体积
V ____________.
16．已知 F 是双曲线 C ：
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的右焦点， P 是 y 轴正半轴上一点，以 OP 为直径的圆在第一象限 a 2 b2
2 5 1 , cos ,则 cos 2 ( 5 7
D．既不充分也不必要条件 开始
k 1
2 a ,b 0 3 2 a k ( )k 3
k k 1
4． 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则 输出的结果是( )
3 5
B.
2 3
C.
4 5
)
D.
7 2 10
1 2
B. D.
3 2
2 3 3
是
二、填空题：本大题共 4 小题， 每小题 5 分，满分 20 分． 13．为了研究某班学生的脚长 x (单位:厘米)和身高 y (单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10 名学生,根据测量数据 的 散 点 图 可 以 看 出 y 与 x 之 间 有 线 性 相 关 关 系 , 设 其 回 归 直 线 方 程 为 y bx a . 已 知
11．现要登上 10 级台阶，每次可以登 1 级或 2 级，则不同的登法共有(
1 A. 2 8 C. 9
2 B. 3
D. 1
A. 123
B. 89
C. 55
D. 21
12．已知直线 l1 : y x a 分别与直线 l2 : y 2 x 1 及曲线 C : y x ln x 交于 A ， B 两点，则 A ， B 两点间距 离的最小值为( A.
3
的是( , 且 sin C sin B A 2sin 2 A 0 ，则下列结论错误 ．． B． ABC 的周长为 2 2 3
)
第一部分 选择题（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目 要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上． 1. 已知集合 A x 1 2 4 ， B x y
线的焦点到其准线的距离为 (
3 A. 6 3 B. 3
x
i 1
10
i
ˆ 4 .该班某学生的脚长为 24,据此估计其身高为____________. 225 , yi 1600 , b
i 1
10
14．已知函数 f x x x e e
3 x
x
,其中 e 是自然对数的底数.若 f a 1 f 2a
否 输出 b
6．将函数 y 2sin 2 x 的图像向左平移 0 个单位长度， 结束 6 5 得到函数 y f x 的图像.若 f x 在区间 , 上单调递减，则 的最小值为( ) 12 12 A． B． C． D． 6 4 3 12 7．等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB AD DC 2 ， B 60 ．若抛物线 恰过 A, B, C , D 四点，则该抛物
B． x 0 x 1
C． x 0 x 1
10i (其中 i 为虚数单位), z 为 z 的共轭复数,则 z 在复平面内对应的点在( 1 3i
B．第二象限 C．第三象限
A．第一象限
D． 第四象限
3． 设 an 为等差数列， p, q, m, n 为正整数，则“ p q m n ”是“ a p aq am an ”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件