整式与方程
中考专题-整式方程与方程组
整式方程与方程组【重点、难点、考点】重点：了解方程的基本概念，掌握整式方程（组）的基本解法，灵活选用适当的解法。
难点：有关一元二次方程知识的综合运用是本节的难点。
考点：方程历来是中考命题的重点和热点，题目约占全卷的10%～20%，分数约占15%～25%，主要用填空题，选择题考查方程的基本概念和基础知识，用解答题考查方程的解法和方程知识的基本应用，用方程应用题考查数学应用能力。
【经典范例引路】例1 ①若方程组⎩⎨⎧=-=+222y x m y x 有两组相同的实数解，则m 的值是 。
（2001年，杭州中考题） 解 ①m=2②阅读材料解答问题 （2001年大连市中考题）为解方程（x 2－1）2－5(x 2－1)+4=0，设x 2－1=y ，则原方程化为y 2－5y+4=0 ① 解得y 1=1,y 2=4，当y=1时，x 2－1=0 ∴x 2=2 ∴x=±2 当y=4时，x 2－1=4,∴x 2=5,x=±5∴原方程的解为x 1=2,x 2=－2,x 3=5,x 4=－5解答问题（1）填空在由原方程得到①的过程中利用 法达到降次的目的，体现了 的数学思想。
解 （1）换元法，转化 （2）解方程x 4－x 2－6=0（2）设x 2=y ，则x 4=y 2，原方程可化为y 2－y －6=0，得y 1=3,y 2=－2 当y =3时,x 2=3，∴x=±3，当y 2= －2时，x 2=－2无实根 ∴原方程的解为x 1=3,x 2=－3【解题技巧点拨】（1）正确理解和运用方程及方程组的有关定义利用代入——消元的思想，将问题转化为关于参数的一个方程，求得m 的值。
（2）正确地换元，到达降次的目的，从而使问题迎刃而解。
例2 已知关于x 的方程kx 2+(2k －1)x+k －1=0，①只有整数根，且关于y 的一元二次方程(k －1)y 2－3y+m=0 ②有两个实数根y 1和y 2。
解整式方程的步骤
解整式方程的步骤
解整式方程的步骤主要包括以下几个方面：
1、去分母：方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。
这是解分式方程的基本方法，通过这一步，可以消除方程中的分母，使得方程更容易求解。
2、去括号：当方程中含有括号时，需要将括号内的项移到一边，使其成为一个整体。
如果括号前有"+"，则括号内不变符号；如果括号前有"-"，则括号内变号。
3、移项：对于含有未知数的项，将其移动到方程的左边，而常数项移动到方程右边。
这样做是为了简化方程，便于求解。
4、合并同类项：合并方程中的同类项，即将相同系数的项放在一起，以简化方程的结构。
5、系数化为1：对于含有未知数的项，将其系数化为1，这样可以直接求得未知数的值。
6、验根：最后一步是检验方程的解是否正确。
如果最简公分母为0，说明原方程无解，需要重新计算。
这个步骤确保了解题过程的正确性和有效性。
9.方程与整式、等式的区别,方程的解题技巧
学生姓名性别年级学科数学授课教师魏涛上课时间2013年月日第（）次课课时：2 课时教学课题方程与整式、等式的区别，方程的解题技巧教学目标结合方程特点进行有技巧的解题教学重点教学难点技巧性解题教学过程一、方程与整式、等式的区别（1）从概念来看：整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
如5x＋3＝11，等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。
两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。
但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。
二、规律方法指导1、判断一个式子是否是一元一次方程：（1）首先看是否是方程，（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。
三、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。
其中方程的个数是( )A、5B、6C、7D、8思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。
总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。
整式的运算与方程的解集
整式的运算与方程的解集整式的运算是数学中的重要内容之一，它涉及到多项式的加减乘除以及方程的解集求解。
通过对整式的运算与方程的解集的学习，能够帮助我们更好地理解代数中的基本概念和方法，并且在实际问题中能够灵活运用。
本文将从整式的运算和方程的解集两个方面进行论述。
一、整式的运算1. 整式的加减运算整式的加减运算是指将两个或多个整式进行相加或相减的操作。
在进行整式的加减运算时，需要按照同类项的原则进行合并。
同类项是指具有相同的字母和相同的指数的项。
例如，对于表达式3x^2 + 5x -2x^2 + 4，我们可以首先合并同类项，得到3x^2 - 2x^2 + 5x + 4，然后进行系数的运算，最终得到x^2 + 5x + 4。
2. 整式的乘法运算整式的乘法运算是指将两个或多个整式进行相乘的操作。
在进行整式的乘法运算时，需要使用分配律和合并同类项的原则。
首先，使用分配律将乘法运算转化为加法运算，然后合并同类项得到最简整式。
例如，对于表达式3x(x + 2) - 2(x - 1)，我们可以先使用分配律展开括号，得到3x^2 + 6x - 2x + 2，然后合并同类项，最终得到3x^2 + 4x + 2。
3. 整式的除法运算整式的除法运算是指将一个整式除以另一个整式的操作。
在进行整式的除法运算时，需要使用带余除法的原则。
具体步骤是，首先将除数与被除数进行长除法运算，得到商式和余式，然后将商式与余式相加得到最简整式。
例如，对于表达式3x^2 + 5x - 2除以x + 2，我们可以进行长除法运算，得到商式3x - 1和余式4，最终得到整式的商式为3x - 1，余式为4。
二、方程的解集方程的解集是指使得方程成立的未知数的取值集合。
对于一元一次方程ax + b = 0，解集可以通过移项和化简来求解。
具体步骤是，首先将方程中的常数项移至等号右边得到ax = -b，然后将方程两边除以系数a得到x = -b/a，最终得到方程的解集为{x = -b/a}。
整式方程-
整式方程为了更好地帮助您进行学习，以下文章将简要介绍整式方程，包括它们的定义、性质和解法。
一、定义整式方程是将一个或多个整式相等的方程。
其中，整式是由常数和变量组成的表达式，例如x^2+2x+1、2x-3等都是整式。
二、性质1.整式方程的次数：整式方程的次数等于其最高次项的次数，例如4x^3-3x^2+7x=0是一个次数为3的整式方程。
2.整式方程的根：整式方程的根是使方程成立的数值。
例如，整式方程x^2-4=0的根是x=±2。
3.整式方程的解法：整式方程的解法一般有如下几种方式：（1）因式分解法：当整式方程可因式分解为若干个不可约的因式时，我们就可以通过将每个因式分别等于0来求得整式方程的根。
（2）配方法：当方程中存在类似于(a+b)^2或(a-b)^2一类的项时，我们可以使用配方法将其化简为二次方程再求解。
（3）待定系数法：当整式方程中未知数个数比较多的时候，我们可以使用待定系数法来求解。
（4）综合运用：不同的整式方程，可能需要采用不同的解法才能求解，因此我们需要根据具体情况选择合适的解法。
三、解题思路1.读题：首先，我们需要仔细阅读整式方程题目，明确要求、确定未知数、确定方程类型等。
例如，某整式方程中未知数只有一项，且是一元一次方程，则我们可以通过解一元一次方程来求解。
2.化简：有时候，我们需要先对方程进行化简，例如通过合并同类项、移项等方式，将方程转化为更简单的形式。
3.解方程：根据前面所提到的解法，选择合适的方法求解方程，并记录每一步的计算过程。
4.验证：将求得的解代入原方程中验证，看是否满足原方程中的等式关系。
四、例题解析例1：求解方程2x^2-5x+2=0的根。
解：首先，我们可以尝试将方程进行因式分解，得到(2x-1)(x-2)=0。
因此，方程的根为x=1/2和x=2。
例2：求解方程x^2-6x+8=0的根。
解：首先，我们可以尝试将方程配方，得到x^2-2*3x+3^2=1。
整式与方程重难点知识点讲解一
整式和方程重点知识例题讲解一例题一：方程mx+2x－12=0是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正数，则正整数m的值是多少？解析：我们首先将原方程变形（m+2）x=12我们必须清楚了了解这个方程的未知数是m还是x，这一点是至关重要的。
变形之后，根据题目所给的条件，我们必须找出其中隐含的条件：①因为方程mx+2x－12=0是关于x的一元一次方程，所以：m+2是不等于0的；②因为方程的解为正数，所以：m+2>0③因为要求的是正整数m的值，所以：m+2必须被12整除，且m>0弄清楚了这三个隐含的条件之后，我们就要结合小学学习到的分解因数的知识。
因为：12含有的（正整数）因数有：1, 2, 3, 4, 6，12 即：m+2可以等于1, 2, 3, 4, 6，12又因为m>0，所以：符合条件的值有m+2等于3, 4, 6，12，经过计算得出：m等于1 ，2 ，4 ，10例题二：某船在一条河中逆流行驶的速度是5Km/h，顺流速度是vKm/h，求这条河的水流速的2倍是多少？解析：该题首先要弄清楚静水速度、水流速度、顺流速度、逆流速度几个量的关系：顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度－水流速度该题我们利用静水速度一定作为等量关系。
设水流速度为xKm/h，根据题意列方程得：5+x=v－x解方程得：2x=v－5所以这条河的水流速的2倍是（v－5）Km/h。
例题三：已知x－2y+3=0,求整式（2y－x）2－2x+4y－1的值。
解析：该题是关于x、y的方程，所要求的值带有平方，用现在的知识是解不出来的，那么我们通过观察题目，发现整式中都涉及到2y－x这个式子，那么我们可以将2y－x当成一个整体去思考，问题便迎刃而解了。
因为：x－2y+3=0,所以：x－2y=－3整式（2y－x）2－2x+4y－1=（x－2y）2－2（x－2y）－1=（－3）2－2x（－3）－1=9+6－1=14例题四：已知单项式－32y x 与by x 22是同类项，2=a 且a b a b +=-，若（1322--ab b a ）+A=34222+--ab b a ,求A 的值。
初中整式方程知识点总结
初中整式方程知识点总结一、整式方程的基本概念1. 整式：整式是由数字与字母及它们的乘积、积的和组成的代数式。
整式通常是多项式的一种特殊形式，包括常数项、一次项、二次项等。
2. 方程：方程是一个等式，其中含有未知数，并通过等号将其与已知数或已知式连接在一起。
通过解方程，可以求出未知数的值。
3. 整式方程：整式方程是由整式构成的等式。
通常情况下，整式方程中包含一个或多个未知数，通过解方程，就可以求出这些未知数的值。
二、整式方程的解法1. 变形法：变形法是解整式方程的常用方法之一，通过对方程两边进行变形，将未知数的系数、常数项等进行整理，最终得到未知数的值。
2. 消元法：消元法是解多元一次方程组的常用方法，通过将方程组中的某些方程相减或相加，进行消元以解出未知数的值。
3. 代入法：代入法是解整式方程的简便方法，通过将已知的数值代入方程中，求得未知数的值。
三、整式方程的应用1. 实际问题的建立：在现实生活中，很多问题可以通过整式方程进行建模。
例如，某人每天都要花费一定数额的生活费，可以通过整式方程表示其消费情况。
2. 解决实际问题：通过解整式方程，可以得到未知数的值，从而解决实际生活中的问题。
例如，可以通过解整式方程得出某物品的单价或者某个角度的大小等。
四、整式方程的常见求解方法1. 一元一次方程：一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a和b为已知数，x为未知数。
通过变形法或代入法，可以求得x的值。
2. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a，b，c为已知数，x 为未知数。
通过配方法、求根公式或者因式分解，可以求得x的值。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是形如a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的方程组，其中a1，b1，c1为已知数，x，y为未知数。
通过消元法或代入法，可以求得x和y的值。
综上所述，初中整式方程是代数学中的重要内容，是学生进一步学习代数的基础。
通过对整式方程的学习，可以训练学生的逻辑思维能力，提高他们的数学解决问题能力。
苏教版初一数学教材中的常见难点剖析
苏教版初一数学教材中的常见难点剖析数学作为一门学科，常常给学生带来挑战和困惑。
在初一的学习阶段中，苏教版数学教材中存在一些难以理解的难点。
本文将对苏教版初一数学教材中的常见难点进行剖析和解答，以帮助学生更好地掌握数学知识。
第一章：整式与方程1.1 阶乘在初一数学教材中，阶乘是一个常见的难点。
阶乘常常出现在排列组合、概率等章节中。
学生容易将阶乘的概念和运算混淆，导致计算错误。
正确掌握阶乘的概念和运算法则，可以通过解题经验和实例来加深理解。
1.2 一元一次方程一元一次方程是数学学习的一项重点内容。
学生在解一元一次方程时，常常出现未知数项系数简单或系数为1的情况。
容易产生混淆和计算错误。
要特别注意方程两边同时加减同一个数值或变量时等式依然成立的原则。
第二章：图形与几何2.1 三角形的性质在三角形的性质中，学生常常混淆三边的关系以及角度与边长之间的关系。
理解和掌握三角形的角度和边长的对应关系，可以通过练习题目，多进行理性思考和解答。
2.2 平行线与垂直线平行线与垂直线的概念和性质是初中数学的基础内容。
学生容易将平行线的特点与垂直线的特点混淆，导致在证明过程中出错。
正确理解平行线和垂直线的定义和证明方法，可以通过画图辅助和实例分析来提升理解能力。
第三章：数据与统计3.1 平均数平均数是数据处理和统计学中的重要概念。
学生在计算平均数时，经常出现数据丢失或者计算错误的情况。
正确理解平均数的定义和计算方法，可以通过练习题目和实际生活中的例子来加深理解。
3.2 概率概率作为一个抽象的数学概念，常常给学生带来困惑。
在计算概率时，学生容易迷失在复杂的题目中，难以抓住核心思想。
正确理解概率的概念和计算方法，可以通过实际问题的分析和解答来提高计算能力。
第四章：函数4.1 函数与方程函数与方程是初中数学中的重要内容。
学生容易将函数与方程的概念混淆，导致在解题过程中出现错误。
要正确理解函数和方程的定义和性质，可以通过练习题目和实例分析来加深理解。
9.方程与整式、等式的区别,方程的解题技巧
学生姓名性别年级学科数学授课教师魏涛上课时间2013年月日第（）次课课时：2 课时教学课题方程与整式、等式的区别，方程的解题技巧教学目标结合方程特点进行有技巧的解题教学重点教学难点技巧性解题教学过程一、方程与整式、等式的区别（1）从概念来看：整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
如5x＋3＝11，等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。
两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。
但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。
二、规律方法指导1、判断一个式子是否是一元一次方程：（1）首先看是否是方程，（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。
三、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。
其中方程的个数是( )A、5B、6C、7D、8思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。
总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。
第三讲整式、分式、函数,方程和不等式讲义
第二部分 初等代数第三讲 整式、分式和函数一、整式与分式1、⎧⎨⎩单项式：若干字母与数字之积整式多项式：若干单项式之和2、乘法运算（1）单项式×单项式 2x ·32x =63x （2）单项式×多项式 x （2x-3）=22x -3x （3）多项式×多项式（2x+3）（3x-4）=62x +x-12 3、乘法公式（重点） （1）222()2a b a ab b ±=±+（2）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ 2222()222a b c a b c ab bc ac --=++-+-（3）33322()33a b a b a b ab +=+++33322()33a b a b a b ab -=--+（4）22()()ab a b a b -=+-（5）3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++（6）2222221()()()2ab c ab bc ac a b b c a c ⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦ 4、分式：用A,B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成A B 的形式，如果B 中还有字母，式子AB就叫分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
在解分式方程的时候要注意检验是否有増根.5、有理式：整式和分式统称有理式.6、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.7、分式的约分：其目的是化简，前提是分解因式.8、分式通分：目的是化零为整，前提是找到公分母，也就是最小公倍式.9、分式的运算：加减法：a c a cb b b ±±= bdbc ad d c b a ±=±乘法：bdacd c b a =⋅除法：bcad c d b a d c b a =⋅=÷乘方：nnn ba b a =)(10、余式的定义（重点）：被除式=除式×商+余式F(x)=f （x ）g(x)+r(x)当r （x ）=0时，称为整除 11、()()()f x x a f x x a -⇔-含有（）因式能被整除. 12.因式定理（重点）：f(x)含有（ax-b ）因式⇔f(x)可以被（ax-b ）整除⇔f(ba)=0 f(x)含有（x-a ）因式⇔f(a)=0 13、余式定理（重点）： f(x ）除以ax-b 的余式为f(b a)二、因式分解常用的因式分解的方法 1、提公因式法 例 222224223)3(2)96(218122y x x y xy x x xy y x x -=+-=+-2、公式法))(()(33))(()(222333322322222b ab a b a b a b a b ab b a a b a b a b a b a b ab a +±=±±=±+±-+=-±=+±3、十字相乘因式分解，适用于2ax bx c ++.三、函数：指数和对数的性质（一）指数(,01)xa a a >≠指数函数且 1、n m n ma a a+=⋅ 2、n m n m a a a -=÷ 3、mn nm a a=)( 4、m m m b a ab =)(5、m m mb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 6、）（0.......1≠=-a a a n n 7、100=≠a a时，当（二）对数(log ,01)a x a a >≠对数函数且 1、对数恒等式 N N e N a N a ln log ==，更常用 2、N M MN a a a log log )(log += 3、N M NMa a a log log )(log -= 4、M n M a na log )(log =5、M nM a na log 1log =6、换底公式aMM b b a log log log =7、1log 01log ==a a a ，四、经典例题： 例1322()11f x x a x ax x a =++-+=能被整除，则( ).（A ）2或-1 （B ）2 （C ）-1 （D ）2± （E ）1±例2()f x 除以213x x ++余，除以余-1，则()f x 除以()()23x x ++的余式为( ).（A ）25x - （B ）25x + （C ）1x - （D ）2x + （E ）21x -例3 22223(ac )(),,b a b c a b c ++=++则的关系为 ( ).（A ）a b b c +=+ （B ）1a b c ++= （C ）a b c ==（D ）1ab bc ac === （E ）1abc =例4 2222,22,,236A x yB y zC z x A B C πππ=-+=-+=-+,,则( ).（A ）至少有一个大于0 （B ）都大于0 （C ）至少有一个小于0 （D ）都小于0 （E ）至少有两个大于0例5 已知22(2000)(1998)1999(2000)(1998)a a a a --=-+-=,则( ).（A ）4002 （B ）4012 （C ）4020 （D ）4022 （E ）4000例6 2214,28x xy y y xy x x y ++=++=+=，则( ).（A ）6或-7 （B ）6或7 （C ）-6或-7 （D ）-6或7 （E ）6例7 22213102xx x x-+=+-=，则( ). （A ）2 （B ）3 （C ）1 （D ）2 （E ）5例8(252)(472)(692)(8112)(201420172)(142)(362)(582)(7102)(201320162)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+（ ）.（A ）1002 （B ）1008 （C ）1028 （D ）988 （E ）968例9 3322015220152013201520152016-⨯-=+-（ ）.例10 已知11252000,802000x yx y==+=，则( ). （A ）12（B ）32（C ）1 （D ）2 （E ）3例11 已知0.30,log 33,,a b c a b c ππ===，,则关系为( ).（A ）a b c >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）a c b >> （E ）c b a >>例12 已知log 2log 20,a b a b <<,则关系为( ).（A ）01a b <<< （B ）01b a <<< （C ）1a b >> （D ）1b a >> （E ）1b a >>例13 已知3342727xx x x --+=+=，则( ).（A ）64 （B ）60 （C ）52 （D ）48 （E ）36方程 不等式一、基本定义1、元：方程中未知数的个数； 次：方程中未知数的最高次方数.2、一元一次方程 ()0ax b a =≠ 得b x a=3、一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax⇔一元二次方程02=++c bx ax ，因为一元二次方程就意味着0≠a。
整式的运算与方程的综合应用
整式的运算与方程的综合应用在代数学中，整式是由变量、常数和运算符组成的表达式，其中变量可以是一个或多个字母，而常数则是不变的数值。
整式的运算是代数学中的基础概念之一，它的应用涉及到解方程、化简表达式以及推导代数公式等方面。
本文将介绍整式的基本运算以及它在方程的综合应用中的具体应用。
一、整式的基本运算1. 加法和减法：对于两个或多个整式，可以通过将相同项的系数进行相加或相减来进行整式的加法和减法运算。
例如，将3x² + 5x + 2与2x² - 4x + 1相加，我们可以将相同次数的项合并，得到5x² + x + 3。
2. 乘法：整式的乘法运算是将每一项的系数进行相乘，并将相同次数的项进行合并。
例如，将2x² + 3x + 1与4x² - 2x + 5相乘，我们可以得到8x⁴ + 4x³ + 22x² - 4x + 5。
3. 除法：对于整式的除法运算，我们通常使用长除法的方法进行计算。
将被除式除以除式，得到商式和余数。
例如，将6x³ + 11x² + 3x - 2除以3x + 2，我们可以得到商式为2x² + x - 1，余数为0。
二、方程的应用整式的运算与方程的应用密切相关，方程是等号连接的代数式，其中包含一个或多个未知数。
通过运用整式的运算规则，可以解决各种类型的方程，包括一元一次方程、一元二次方程以及多项式方程等。
下面以具体例子说明整式在解决方程中的应用。
1. 一元一次方程的应用：一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知常数，x为未知数。
通过整式的运算，我们可以利用平衡法则解决该方程。
例如，对于方程3x - 4 = 2x + 1，我们可以将同类项进行整理，得到x = 5。
2. 一元二次方程的应用：一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。
九年级数学重点归纳知识点
九年级数学重点归纳知识点一、整式与方程1. 整式的概念与运算规则：- 整式：由常数、变量及它们的乘积和幂的和组成的代数式。
- 整式的运算规则：加法、减法、乘法的结合律和分配律。
2. 一元一次方程与一元一次不等式：- 一元一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a、b为实数且a≠0。
- 一元一次不等式：形如ax + b > 0（或≥、<、≤）的不等式，其中a、b为实数且a≠0。
二、平面图形与空间几何1. 平面图形的性质与计算：- 矩形、正方形、长方形、平行四边形、菱形的性质和计算公式。
- 三角形的性质和计算公式。
- 圆的性质和计算公式。
2. 空间几何体的性质与计算：- 直线、线段、射线、角的定义。
- 空间几何体的表面积和体积的计算公式：- 立方体、长方体、正方体的表面积和体积计算。
- 圆柱体、圆锥体、球体的表面积和体积计算。
三、统计与概率1. 统计：- 调查与统计：样本的概念、样本调查的方法及步骤。
- 统计图与图表的制作及分析。
2. 概率：- 事件与概率：基本概念，计算概率的方法。
- 互斥事件和对立事件的概念和计算公式。
四、函数与图像1. 函数的概念与表示：- 函数的定义与性质。
- 函数的表示方法：函数关系式、函数图、对应表。
2. 一次函数与二次函数：- 一次函数的图像、性质和方程。
- 二次函数的图像、性质和方程。
3. 线性函数、反比例函数与平方根函数：- 线性函数的图像、性质和方程。
- 反比例函数的图像、性质和方程。
- 平方根函数的图像、性质和方程。
五、三角函数1. 三角函数的基本概念与计算：- 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质。
- 三角函数在直角三角形中的应用。
2. 三角函数图像与性质：- 三角函数图像的波形、周期、振幅。
- 三角函数图像的平移、伸缩与反转。
六、导数与微分1. 导数与函数的变化率：- 导数的定义与计算。
- 函数的单调性及极值的判定。
2. 微分与微分中值定理：- 微分的定义与计算。
初高中数学最难知识点总结
初高中数学最难知识点总结一、整式与方程整式与方程是初中数学中的一个重要知识点，也是学生们较为困惑的概念之一。
整式是由常数、变量及它们的乘积与商的有限次运算得到的代数式。
而方程则是表示两个代数式之间的关系，通常用符号“=”连接。
1.1 整式的加减整式的加减是初中数学中的常见运算，但由于整式中包含着变量，因此学生往往容易在整式的加减运算中出现错误。
其中，整式的加减运算主要包括单项式的加减、多项式的加减、合并同类项等。
1.2 一元一次方程一元一次方程是指方程中只包含一个未知数，并且该未知数的最高次数为一。
在解一元一次方程时，需要运用到整式的加减法、移项变换、合并同类项等方法，因此对于初学者来说，这是一个较难掌握的知识点。
1.3 一元一次方程的应用一元一次方程的应用是数学中的一个重要内容，它常常涉及到实际生活中的问题，如利用一元一次方程解决购物、商贩等实际问题。
对于学生来说，不仅需要掌握一元一次方程的解法，还需要理解如何将实际问题转化为方程，并正确地解释方程的解所代表的意义，这是学生们较难掌握的知识点。
二、分式分式是数学中的一个重要概念，它是表示两个整式的商的代数式。
分式在初中数学中占有重要地位，并且涉及到比、倍数、分数的加减乘除等内容，因此也是学生们较难掌握的知识点之一。
2.1 分式的加减分式的加减是初中数学中的一个难点，主要表现在如何求解分式的最小公倍数以进行通分，以及如何进行分子的加减运算等方面。
学生容易在计算过程中出现错漏等问题，因此需要持续练习才能掌握。
2.2 分式的乘除分式的乘除也是学生们较难掌握的知识点之一，主要涉及到分式乘法的交换律、分式除法的乘法倒数等概念，以及如何化简分式等内容。
在进行分式的乘除运算时，学生们容易混淆分子分母的位置以及求解分式的最简形式等问题，因此需要认真学习和练习。
2.3 分式方程分式方程也是初中数学中的一个难点，它常常涉及到如何将实际问题转化为分式方程，以及如何解决带有分式的方程等内容。
九年级数学上册课本答案 (3)
九年级数学上册课本答案第一章：整式与方程1.2 绝对值的概念1.绝对值的定义–对于任意实数a，如果a大于等于0，则|a|等于a本身；–如果a小于0，则|a|等于a的相反数。
–例如：|3| = 3，|-5| = 5，|0| = 0。
2.绝对值的性质–① |a| ≥ 0，即绝对值永远大于等于0；–② |a| = |-a|，即绝对值的值不受正负号影响；–③ |ab| = |a|·|b|，即绝对值的乘积等于绝对值的积；–④ |a + b| ≤ |a| + |b|，即绝对值的和不大于绝对值的和。
1.3 一元一次方程1.一元一次方程的定义–一元一次方程是指未知数只有一个，并且未知数的最高次数是1的方程。
–通常表示为ax + b = 0的形式，其中a和b是已知的系数，x是未知数。
2.解一元一次方程–解一元一次方程的步骤：•① 将方程化为ax = c的形式；•② 求出未知数x的值。
3.一元一次方程的解存在唯一性–一元一次方程的解存在唯一性，即要么无解，要么有唯一解。
–如果方程的系数满足a ≠ 0，则方程有唯一解；–如果方程的系数满足a = 0，且b ≠ c，则方程无解；–如果方程的系数满足a = 0，且b = c，则方程有无穷多解。
1.4 一元一次不等式1.一元一次不等式的定义–一元一次不等式是指未知数只有一个，并且未知数的最高次数是1的不等式。
–通常表示为ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0等形式。
2.解一元一次不等式–解一元一次不等式的步骤：•① 将不等式化为ax > c、ax < c、ax ≥ c、ax ≤ c等形式；•② 求出未知数x的解区间。
3.一元一次不等式的解区间表示–解一元一次不等式的解区间可以用区间表示法表示。
–例如，设一元一次不等式为ax > c，则解区间为(x > c/a)（其中a ≠ 0）。
1.5 一元一次不等式组1.一元一次不等式组的定义–一元一次不等式组是指由若干个一元一次不等式组成的方程组。
云南成人高考数学知识点
云南成人高考数学知识点云南成人高考是一项为那些渴望通过考试改变自己职业道路的成年人提供的机会。
数学是其中一门重要的科目，对于想要成功通过考试的考生来说，掌握数学知识点是至关重要的。
因此，在本文中，我们将讨论，以帮助考生更好地准备这门科目。
一、整式与方程整式与方程是数学的基础，了解和掌握这些概念是解决复杂问题的关键。
整式包括多项式和单项式，而方程是一个等式，其中含有未知数。
在成人高考数学考试中，经常会出现一些关于整式与方程的综合题，考察考生对这些概念的理解和运用能力。
二、函数与图像函数与图像是数学中的核心概念之一。
函数描述了两个集合之间的对应关系，通过绘制图像，我们可以更直观地理解函数。
在考试中，常见的函数包括一次函数、二次函数和指数函数等等。
考生需要能够分析函数的性质，如定义域、值域和图像的变化趋势。
三、几何与三角几何与三角是数学的另一个重要分支，涵盖了图形的属性和角的关系。
考生需要熟悉不同图形的性质，如三角形、四边形和圆等，以及它们的周长、面积和体积的计算方法。
此外，三角函数也是云南成人高考中经常涉及的内容。
例如，考生需要掌握常见角度的正弦、余弦和正切值，以及它们的性质和运算规则。
四、概率与统计概率与统计是数学中的实际应用领域，帮助我们更好地理解事件的发生概率和大量数据的分析处理。
在云南成人高考数学考试中，考生将会遇到一些与概率与统计相关的题目。
例如，考察事件间的独立性、联合概率和条件概率等。
此外，统计学的知识也是必不可少的，包括样本调查、数据收集和数据处理等。
五、解析几何与空间向量解析几何与空间向量是数学中的高级概念，对于想要在云南成人高考中取得好成绩的考生来说，了解这些知识点是必要的。
在解析几何中，我们需要掌握点、直线和曲线的方程，以及它们的性质和变化规律。
而空间向量则涉及到空间中点的坐标、向量的模长和方向等。
理解这些概念将使考生在解决几何问题时更加游刃有余。
总之，云南成人高考数学考试需要考生熟练掌握各个具体的知识点，同时还要能够将其应用到实际问题中。
整式方程与式方程
北辰教育学科老师辅导讲义学员姓名：年级：初二辅导科目：数学学科教师：陆军授课日期授课时段授课主题整式方程，分式方程与无理方程教学内容知识梳理整式方程：方程中含有未知数且两边都是关于未知数的整式（方程中也可以含有根号和分母，含有未知数的项是整式）一元整式方程：只含一个未知数的整式方程。
包括:一元一次方程，一元二次方程，高次方程n>2含有字母系数的一元一次方程与一元二次方程，mx+n=0,ax2+bx+c=0,（m,n,a,b,c是用字母表示的已知数，叫做字母系数）解法同正常一次整式方程一致。
二项方程：形如ax n+b=0(a≠0,b≠0,n是正整数），一类特殊的整式方程。
当n为奇数时，方程有且只有一个根。
当n为偶数时，如果ab>0,那么方程有二个实数根，且二个根互为相反数；如果ab<0,那么方程没有实数根。
分式方程：分母中含有未知数的方程。
一元一次方程的解法：1.去分母：方程两边都乘各系数分母的最小公倍数2.去括号：利用乘法对加法的分配律去括号3.移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，注意变号4.合并同类项：把方程化为ax=b(a≠0)的形式5.系数化为1，在方程两边同除以a，得到方程的解。
一元二次方程的解法：公式法：1.将方程化为ax2+bx+c=0的形式2.可用求根公式求解（注意a≠0)直接开平方法：1.对于ax2=b的这种形式可以直接开方解决配方法：1.根据完全平方公式将方程化为a(x+b)2=c的形式，再看a,c是否同号再开方。
因式分解法：利用因式分解的方法把方程化为乘积为零的形式系数带字母的方程：注意二次系数和一次系数是否为零的讨论分式方程解法：1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．2．解这个方程．3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．最简公分母：把所有分母因式分解后不同项的乘积换元法解方程：目的：简化方程为熟悉的方程组或者方程。
分式方程与整式方程
分式方程与整式方程在数学中，分式方程与整式方程是我们经常遇到的两类方程。
它们之间有着明显的区别，下面我将从不同的角度来介绍它们的特点和应用。
一、定义和形式1. 分式方程：分式方程是指方程中含有分式的方程。
一般形式为a/b = c/d，其中a、b、c、d为整数，b和d不为0。
分式方程的特点是方程中含有未知数的分数形式。
2. 整式方程：整式方程是指方程中只含有整数和未知数的方程。
一般形式为ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0，其中a、b、c、d 为整数，n为非负整数。
整式方程的特点是方程中只含有未知数的整数形式。
二、解的形式1. 分式方程：分式方程的解一般为有理数。
通过对分子和分母进行因式分解，我们可以求得方程的解。
2. 整式方程：整式方程的解可以是有理数或无理数。
通过代数运算，我们可以求得方程的根。
三、求解方法1. 分式方程：求解分式方程时，我们通常采用通分的方法，将方程中的分式转化为整式方程。
然后通过解整式方程，得到方程的解。
2. 整式方程：求解整式方程时，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法，根据方程的形式选择合适的方法求解。
四、应用领域1. 分式方程：分式方程常常出现在实际问题中，例如涉及到比例、速度、浓度等方面的问题。
求解分式方程可以帮助我们解决实际生活中的实际问题。
2. 整式方程：整式方程广泛应用于各个数学领域，包括代数、几何、概率等。
解整式方程可以帮助我们深入理解数学的基本概念和原理。
总结：分式方程与整式方程在定义、解的形式、求解方法和应用领域上都有所区别。
了解它们的特点和应用，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
无论是在实际生活中还是学术研究中，掌握分式方程与整式方程的区别都是非常重要的。
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整式与方程练习
第一天
1、减去m 3-等于5352--m m 的式子是（ ）
A 、)1(52-m
B 、5652--m m
C 、)1(52+m
D 、)565(2-+-m m
2、下列去括号错误的共有（ ）
①c ab c b a +=++)(；②d c b a d c b a +--=-+-)(；③c b a c b a -+=-+2)(2；④b a a b a a b a a +-=+--+---222)]([
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
3、)32(2[)3(1yz x x xy +-+--
4、)(2)(2b a b a a +-++
5、3（x-2）=2-5(x-2)
6、12
131=--x
自我总结 错误
第二天
1、若七个连续整数中间的一个数为n ，则这七个数的和为（ ）
A 、0
B 、7n
C 、－7n
D 、无法确定
2、式子223b a -与2
2b a +的差是（ ）
A 、22a
B 、2222b a -
C 、24a
D 、2224b a -
3、若4243b a b a m n 与是同类项，则m ＝＿＿＿＿，n ＝＿＿＿＿。
4、单项式ab b a ab ab b a 3,4,3,2,3222--的和为＿＿＿＿
5、 2(x+3)－5(1－x)=3(x －1)
6、 2x －13 =x+22
+1
自我总结
第三天
1、下列各题去括号所得结果正确的是（ ）
A ．22(2)2x x y z x x y z --+=-++;
B ．(231)231x x y x x y --+-=+-+
C ．[]35(1)351x x x x x x ---=--+;
D ．22(1)(2)12x x x x ---=---
2、减去3x -得236x x -+的式子为（ ）
A ．26x + B. 236x x ++ C. 26x x - D. 266x x -+
3、()()()()233232222x y x xy y
x ÷-+-⋅ 4、22225(3)2(7)a b ab a b ab ---
5、3157146
x x ---= 6、322126x x x -+-=-
自我总结
第四天
1、若4)13(22+-=+--a a A a a ，则A ＝＿＿＿＿＿。
2、_______2,3,2=-+=-=-c b a c b c a 则
3、)377()5(322222a b ab b ab a a ---+--
4、22222323xy xy y x y x -++-
5、42331+-=--y y y
6、4
2311212--=+-x x x
自我总结
第五天
1、若
21|2x －1|＋3
1|y －4|＝0，试求多项式1－xy －x 2y 的值
2、化简求值
①2),45()54(3223-=--++-x x x x x 其中
②4
3,32),12121()3232(==+----
y x xy x y xy 其中
3、31257243y y +-=-
4、5
2221+-=--y y y
自我总结
第六天
1. 如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都 ( )
（A ）等于6 （B ）不大于6 （C ）小于6
（D ）不小于6
2. 已知 21421842
m m x y x y +-++是一个七次多项式，则m=
3、
22232)2(21c b a bc a -⋅ 4、)(5)2
1(22222ab b a a b ab a -++-
5、13421+=-x x
6、29
6182+=--y y y
自我总结
第七天
1、已知222222324,c b a B c b a A ++-=-+=，且A ＋B ＋C ＝0。
求（1）多项式C 。
（2）若3,1,1=-==c b a ，求A ＋B 的值
2、已知ABCD 是长方形，以DC 为直径的圆弧与AB 只有一个交点，且AD=a 。
（1）用含a 的代数式表示阴影部分面积；
（2）当a ＝10cm 时，求阴影部分面积 （π取3.14，保留两个有效数字）
3、x x 3221221413223=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ 4、3157146x x ---=
自我总结。