数学试卷2
2024年高考数学试卷(新课标Ⅱ卷)(含答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知1i z =--，则z =（ ）A. 0B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--，则z ==.故选：C.2. 已知命题p ：x "ÎR ，|1|1x +>；命题q ：0x $>，3x x =，则（ ）A. p 和q 都是真命题 B. p Ø和q 都是真命题C. p 和q Ø都是真命题 D. p Ø和q Ø都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p Ø是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q Ø是假命题，综上，p Ø和q 都是真命题.故选：B.3. 已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -^r r r ，则b =r （ ）A.12B.C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】由()2b a b -^r r r 得22b a b =×r r r ，结合1,22a a b =+=r r r ，得22144164a b b b +×+=+=r r r r ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -^r r r ，所以()20b a b -×=r r r ，即22b a b =×r r r，又因为1,22a a b =+=r r r，所以22144164a b b b +×+=+=r r r r ，从而=r b 故选：B.4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ）A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【答案】C 【解析】【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计的算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100´´+´+´+´+´+´=，故D 错误.故选；C.5. 已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ¢，P ¢为垂足，则线段PP ¢的中点M 的轨迹方程为（ ）A. 221164x y +=（0y >）B. 221168x y +=（0y >）C. 221164y x +=（0y >）D. 221168y x +=（0y >）【答案】A 【解析】【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ¢，因为M 为PP ¢的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6. 设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x Î-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ）的A. 1-B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-Î-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x Î-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x Î-，则220,1cos 0x x ³-³，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-³，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--Î-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-Î-，又因为220,1cos 0x x ³-³当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ³，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7. 已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A.12B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】解法一：根据台体体积公式可得三棱台的高h =，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得AM =111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC .【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D，则11AD A D ==可知1111166222ABC A B C S S =´´==´=V V 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -=+=，解得h =，如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，的则1AA=，DN AD AM MN x=--=-，可得1DD==，结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-æö=+ç÷èø,即()221616433x x+=++，解得x=，所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC A B C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则11661832P ABCV d-=´´´=，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO^底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAOÐ==.故选：B.8. 设函数()()ln()f x x a x b=++，若()0f x³，则22a b+的最小值为（）A.18B.14C. 12D. 1【答案】C【解析】【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-£-a b ，当(),1x b b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ¥Î-+时，可知()0,ln 0x a x b +³+³，此时()0f x ³；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a Î--时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a æö+=++=++³ç÷èø，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b Î--时，()ln 0x b +<，故0x a +£，所以10b a -+£；()1,x b ¥Î-+时，()ln 0x b +>，故0x a +³，所以10b a -+³；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a æö+=++=++³ç÷èø，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()sin 2f x x =和π()sin(24g x x =-，下列正确的有（ ）A. ()f x 与()g x 有相同零点 B. ()f x 与()g x 有相同最大值C. ()f x 与()g x 有相同的最小正周期D. ()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =ÎZ ，即为()f x 零点，令π()sin(204g x x =-=，解得ππ,28k x k =+ÎZ ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+Û=+ÎZ ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+Û=+ÎZ ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC10. 抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A. l 与A e 相切B. 当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C. 当||2PB =时，PA AB^D. 满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A e 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A e 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ^，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)ABk --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ^不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22æöç÷èø，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360D =-´=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t æöç÷èø，由PB l ^可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360D =-´=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11. 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A. 当1a >时，()f x 有三个零点B. 当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C. 存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ¢=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ¥¥Î-È+时()0f x ¢>，故()f x 在()(),0,,a ¥¥-+上单调递增，(0,)x a Î时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ¢=-，a<0时，(,0),()0x a f x ¢Î<，()f x 单调递减，,()0x Î+¥时()0f x ¢>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为33332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=ìï-=íï-=-î，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax ¢=-，()126f x x a ¢¢=-，由()02af x x ¢¢=Û=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f æöæöç÷ç÷èøèø，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =Û=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =Û=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b Û+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ¢¢=的解，即,33bb f a a æöæö--ç÷ç÷èøèø是三次函数的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________.【答案】95【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=ìí+++=î，解得143a d =-ìí=î，则()10110910104453952S a d ´=+=´-+´=.故答案为：95.13. 已知a 为第一象限角，b 为第三象限角，tan tan 4a b +=，tan tan 1a b =+，则sin()a b +=_______.【答案】【解析】【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan a b +=-，再缩小a b +的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan a b a b a b ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m a b æöæöÎ+Î++ç÷ç÷èøèø，,Z k m Î，则()()()22ππ,22π2πm k m k a b +Î++++，,Z k m Î，又因为()tan 0a b +=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k a b æö+Î++++ç÷èø，,Z k m Î，则()sin 0a b +<，则()()sin cos a b a b +=-+，联立 ()()22sin cos 1a b a b +++=，解得()sin a b +=.法二： 因为a 为第一象限角，b 为第三象限角，则cos 0,cos 0a b ><,cos a ==，cos b ==，则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )a b a b a b a b a b +=+=+4cos cos a b =====故答案为：14. 在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．【答案】 ①. 24 ②. 112【解析】【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124´´´=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．（1）求A ．（2）若2a =sin sin 2C c B =，求ABC V 的周长．【答案】（1）π6A =（2）2++【解析】【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A +=进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A +=可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ÎÞ+Î，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A +=，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=Û=，解得cos A =又(0,π)A Î，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =+<<，则π()2sin (0π)3f x x x æö=+<<ç÷èø，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin()3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A ¢==，即tan A =，又(0,π)A Î，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==r r ，由题意，sin 2a b A A ×==r r，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ×==r r r rr r r r ，则2cos ,2cos ,1a b a b =Û=r r r r ，此时,0a b =rr ，即,a b r r 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tanA A A×=Û=又(0,π)AÎ，故π6A=方法五：利用万能公式求解设tan2At=，根据万能公式，22sin21tA At==++，整理可得，2222(2(20((2t t t-+==-，解得tan22At==-，根据二倍角公式，22tan1tAt==-，又(0,π)AÎ，故π6A=小问2详解】由题设条件和正弦定理sin sin2sin2sin sin cosC c B B C C B B=Û=，又,(0,π)B CÎ，则sin sin0B C¹，进而cos B=π4B=，于是7ππ12C A B=--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cosC A B A B A B B A=--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sina b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c==故ABCV的周长为2++16. 已知函数3()e xf x ax a=--．（1）当1a=时，求曲线()y f x=在点()1,(1)f处的切线方程；（2）若()f x有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【答案】（1）()e110x y---=（2）()1,+¥【【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a £和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e ¢=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【小问1详解】当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1xf x ¢=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f ¢=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.【小问2详解】解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e ¢=-x f x a ，若0a £，则()0f x ¢³对任意x ÎR 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x ¢>，解得ln x a >；令()0f x ¢<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -¥内单调递减，在()ln ,a +¥内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a¢=+>，可知()g a 在()0,¥+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+¥；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e ¢=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e ¢=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a ¢=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x ¢>，解得ln x a >；令()0f x ¢<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -¥内单调递减，在()ln ,a +¥内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,¥+内单调递增，可知()g a 在()0,¥+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+¥.17. 如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC °Ð=，30BAD °Ð=，点E ，F 满足25AE AD = r r ，12AF AB =r r ，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =．（1）证明：EF PD ^；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ^，则,EF PE EF DE ^^，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ^，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【小问1详解】由218,,52AB AD AE AD AF AB ==== r r r r，得4AE AF ==，又30BAD °Ð=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ===,所以222AE EF AF +=，则AE EF ^，即EF AD ^，所以,EF PE EF DE ^^，又,PE DE E PE DE =ÌI 、平面PDE ，所以EF ^平面PDE ，又PD Ì平面PDE ，故EF ^PD ；【小问2详解】连接CE，由90,3ADC ED CD °Ð===，则22236CE ED CD =+=，在PEC V中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ^，由（1）知PE EF ^，又,EC EF E EC EF =ÌI 、平面ABCD ，所以PE ^平面ABCD ，又ED Ì平面ABCD ，所以PE ED ^，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,(2,0,PC PD PB PF =-=-=-=- r r r r，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为1122(,,),(,,)n x y z m x y z ==r r，则11100n PC n PD ì×==ïí×==ïî r r r r ，222224020mPB x m PF x ì×=+-=ïí×=-=ïî r r r r ，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-r r，所以cos =设平面PCD 和平面PBF 所成角为q ，则sin q ==即平面PCD 和平面PBF .18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设0p q <<，（i 15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【答案】（1）0.686（2）（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【解析】【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q éù=--ëû甲，331(1)P q p éù=--×ëû乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【小问1详解】甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，\比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.【小问2详解】（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q éù=--ëû甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p éù=--×ëû乙，0p q <<Q ，3333()()P P q q pq p p pq \-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq éù=-+++-×-+-+--ëû()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P \>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q éù==-+--×-ëû，()()()3213511C 1P X p q q éù==--×-ëû，3223(10)1(1)C (1)P X p q q éù==--×-ëû，33(15)1(1)P X p q éù==--×ëû，()332()151(1)1533E X p q p p p q éù\=--=-+×ëû记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+×()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q \-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，\应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19. 已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，的记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求22,x y ；（2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；（3）设n S 为12n n n P P P ++V 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.【答案】（1）23x =，20y = （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.【小问1详解】由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +æö-=ç÷èø.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.【小问2详解】由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n kxk y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n nn ky x k x y k y kx Q k k æö--+-ç÷--èø，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x ----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +æö+-+-ç÷--èø.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()22222121111n n n n n n n x k x kx k k k x y x y k k k+++++==-=----.再由22119x y -=，就知道110x y -¹，所以数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列.【小问3详解】方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = r ，(),UW c d = r，则12UVW S ad bc =-V .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S =V ）1,2UW UV UW =× r r===12ad bc ===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +¹，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n mx y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+æöæö=-+-+-ç÷ç÷+-èøèø()22111211mmn n k k x y k k æö-+æöæö=--ç÷ç÷ç÷ç÷+-èøèøèø911211m mk k k k æö-+æöæö=-ç÷ç÷ç÷ç÷+-èøèøèø.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=-- r ，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+--V ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k æö-+-+-+æöæöæöæö=-+---ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷+-+-+-èøèøèøèøèø.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +¹，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n mx y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+æöæö=-+-+-ç÷ç÷+-èøèø()22111211mmn n k k x y k k æö-+æöæö=--ç÷ç÷ç÷ç÷+-èøèøèø911211mmk k k k æö-+æöæö=-ç÷ç÷ç÷ç÷+-èøèøèø.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+æö-=-=-ç÷+-èø，以及221313229121n n n n n n n n k x y y x x y y x k ++++++æö+æö-=-=-ç÷ç÷ç÷-èøèø.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=-- r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=-- r.所以3n n P P + r 和12n n P P ++ r平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++=V V ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。
成人高考数学试卷高数二
一、填空题（每空2分，共10分）1. 若函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1在x=1处的切线斜率为______。
2. 若lim(x→0) (sinx/x) = 1，则x→0时，sinx与x的关系是______。
3. 设a > 0，函数f(x) = x^3 - 3ax在x=a处的导数为______。
4. 设向量a = (1, 2, 3)，向量b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的点积为______。
5. 若数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 4，则数列{an}的极限为______。
二、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，在x=0处连续且可导的是（）A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2C. f(x) = sinxD. f(x) = x/(x^2 + 1)2. 已知函数f(x) = e^x - x，则f'(0) =（）A. 1B. eC. e - 1D. 03. 设向量a = (1, 2, 3)，向量b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 14. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-1, 1]上单调递增，则f'(x)的符号为（）A. 恒正B. 恒负C. 有正有负D. 不确定5. 设数列{an}的通项公式为an = n(n+1)，则数列{an}的前n项和S_n =（）A. n(n+1)(n+2)/3B. n(n+1)(n+2)/2C. n(n+1)(n+2)D. n(n+1)三、解答题（共80分）1. （20分）求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在区间[-1, 3]上的最大值和最小值。
2. （20分）设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 12x + 1，求f'(x)的零点，并判断f(x)在零点两侧的单调性。
2024年高二入学摸底考试和数学试卷(解析版)(2)
数新高二开学摸底考试卷学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种【答案】B【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】相同的那一本有5种可能选法，不同的一本有4312⨯=种可能选法，故共有51260⨯=种选法.故选：B.2．设随机变量()21,,(02)0.6X N P X σ~<<=，则(2)P X >=（）A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.6导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（）A ．102种B ．105种C ．210种D ．288种【答案】C【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可得解.【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有38A 种，其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有1237C A 种，故符合条件的选法共有312837A C A 210-=种.故选：C4．下列求导运算中错误的是（）A ．()33ln 3xx '=B ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．1(sin ln )cos x a x a'+=+D ．()e e x x--'=-献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（）A ．25B ．12C ．15D ．3106．若的二项式展开式中2x 的系数为10，则=a （）A ．1B ．-1C ．±1D ．±2【答案】A【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得.【详解】由5()x a +的通项公式可知二项式展开式中2x 的系数为335C a ，则得335C 10a =，解得1a =.故选：A.7．已知函数()y f x =，其导函数()y f x ='的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0∞-上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,∞+上单调递减D ．当1x =时取得最小值【答案】C【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案.【详解】由图可知，0x <时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；01x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0x =时，()f x 有极大值，不一定为最大值；13x <<时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；当1x =时，()f x 有极小值，不一定为最小值；3x >时，()0f x '<，()f x 为减函数；综上可得只有C 正确.故选：C8．下列说法正确的序号是（）①在回归直线方程 0.812y x =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 y 平均增加0.8个单位；②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得()21ni i i y bx a =--∑最小的原理；③已知X ，Y 是两个分类变量，若它们的随机变量2K 的观测值k 越大，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小；④已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()020.3P ξ<<=.A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①②④【答案】D【分析】根据回归方程的定义和性质即可判断①②；随机变量2K 的观测值越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小，即可判断③；根据正态曲线的对称性即可判断④【详解】对于①，在回归直线方程ˆ0.812yx =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.8个单位，故①正确；对于②，用随机误差的平方和，即()()2211ˆnni i i i i i Q y yy a bx ===-=--∑∑，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条，由于平方又叫二乘，所以这种使“随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得()21ni i i y bx a =--∑最小的原理，故②正确；对于③，对分类变量X 与Y ，对它们的随机变量2K 的观测值越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③错误；对于④，随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()()()022440.50.3P P P ξξξ<<=<<=<-=，故④正确.故选：D.9．已知偶函数()2e 1ln ex ax f x +=，则下列结论中正确的个数为（）①1a =；②()f x 在()0,∞+上是单调函数；③()f x 的最小值为ln2；④方程()12f x =有两个不相等的实数根A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．10．若函数()2()e xf x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，则实数a 的取值范围是．【答案】(,1]-∞【分析】求出导数()f x '，由题意得()0f x '≤在(1,0)-上恒成立，由分离参数思想可得结果.【详解】由()2()e xf x x ax a =-+得()()()2e 2e 2x x f x x a x x x a ⎡⎤=+-'=+-⎣⎦，由于函数()2()e xf x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，即()0f x '≤在(1,0)-上恒成立，即20x a +-≥，即得2a x ≤+在(1,0)-恒成立，所以1a ≤.故答案为：(,1]-∞11．已知1021001210(32)x a a x a x a x +=++++L ，则0a =，012310a a a a a -+-++=L .【答案】10241【分析】利用赋值法分别令0x =和=1x -代入计算即可求得结果.【详解】令0x =，可得()0100121024302a =⨯+==，令=1x -，可得()()()()102100121032111a a a a -⨯+=+⨯+-+⨯-+-L ，即()1001231011a a a a a -=-+-++=L .故答案为：1024,112．从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有个.【答案】30【分析】根据题意，分0在个位与0不在个位2种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2种情况讨论：①0在个位，在剩下的4个数字中任选2个，安排在百位、个位，有24A 12=种选法，②0不在个位，需要在2、4中选1个，个位有2种选法，0不能在首位，则首位有3种选法，则十位有3种选法，此时有23318⨯⨯=种选法，则一共可以组成121830+=个无重复数字的三位偶数.故答案为：3013．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是.x0134ya4.34.86.7若x ，y 具有线性相关关系，且回归方程为ˆ0.95 2.6yx =+，则=a ．，若0，0，则实数k 的最大值是．三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828(1)完成22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？(2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是34，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量X 表示戏迷乙正确完成题的个数，求X 的分布列及数学期望．【详解】（1）补全的22⨯列联表如下：(1)求函数()f x 在2x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间和极值.【详解】（1）函数()32692f x x x x =-+-的定义域为R .导函数()23129f x x x =-+'.所以()2122493f =-+=-'，()3222629220f =-⨯+⨯-=，所以函数()f x 在点2x =处的切线方程为()32y x =--，即36y x =-+.（2）令()0f x '=，解得：1x =或3x =.列表得：比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题目的概率为3 4，答对“应急救援”题库中题目的概率为23．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为23，答对“应急救援”题库中题目的概率为12，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率；(2)求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率．间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为14，14；两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列、均值()E X 、方差()D X 20．已知函数()22ln f x a x x=--，()()21ln g x ax a x x =-+-，其中a ∈R ．(1)若()20f '=，求实数a 的值(2)当0a >时，求函数()g x 的单调区间；(3)若存在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得不等式()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考II)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（5分）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．2．（5分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（ ）A．2B．1C．D．﹣1【答案】B【解答】解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，当a﹣2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；当2a﹣2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．故选：B．3．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）A．种B．种C．种D．种【答案】D【解答】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，∴人数比例为400：200＝2：1，则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有种．故选：D．4．（5分）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．D．1【答案】B【解答】解：由＞0，得x＞或x＜﹣，由f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），得（﹣x+a）ln＝（x+a），即（﹣x+a）ln＝（﹣x+a）ln（）﹣1＝（x﹣a）ln＝（x+a），∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，得a＝0．故选：B．5．（5分）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|﹣﹣x M|＝2|﹣x M|，解得x M＝或x M＝3，∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3不符合题意，故m＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝ae x﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）A．e2B．e C．e﹣1D．e﹣2【答案】C【解答】解：对函数f（x）求导可得，，依题意，在（1，2）上恒成立，即在（1，2）上恒成立，设，则，易知当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（1，2）上单调递减，则．故选：C．7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cosα＝，则cosα＝，故＝1﹣cosα＝，即＝＝，∵α为锐角，∴，∴sin＝．故选：D．8．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）A．120B．85C．﹣85D．﹣120【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1，设首项为a1，则＝﹣5①，＝②，化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），代入①得＝，所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．故选：C．二、选择题：本大题共小4题，每小题5分，共计20分。
2024年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅱ)正式版含答案解析
绝密★启用前2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=−1−i，则|z|=( )A. 0B. 1C. √ 2D. 22.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足：|a⃗|=1，|a⃗⃗+2b⃗⃗|=2，且(b⃗⃗−2a⃗⃗)⊥b⃗⃗，则|b⃗⃗|=( )A. 12B. √ 22C. √ 32D. 14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表：据表中数据，结论中正确的是( )A. 100块稻田亩产量中位数小于1050kgB. 100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )A. x 216+y24=1(y>0) B. x216+y28=1(y>0)C. y 216+x24=1(y>0) D. y216+x28=1(y>0)6.设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax(a为常数)，当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=( )A. −1B. 12C. 1D. 27.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )A. 12B. 1C. 2D. 38.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )A. 18B. 14C. 12D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
八年级(下)数学期末试卷(2)
八年级（下）数学期末试卷（2）一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）1．（3分）“漏壶”是一种古代计时器，如图所示．在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能表示y与x对应关系的是（）A．B．C．.D．2．（3分）在一篇文章中，“的”、“地”、“得”三个字共出现100次．已知“的”和“地”的频率之和是0.7，那么“得”字出现的频数是（）A．28B．30C．32D．343．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位平均成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（）甲乙丙丁平均数80858580方差42455459 A．甲B．乙C．丙D．丁4．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列各式中，无意义的是（）A．B．C．D．6．（3分）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值是（）A．6B．8C．26D．207．（3分）下列命题中，真命题是（）A．任何数的零次幂都等于1B．对角线相等且垂直的四边形是正方形C．有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D．有两直角边对应相等的两个直角三角形全等8．（3分）如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠DCF的度数为（）A．20°B．15°C．30°D．45°9．（3分）如图，点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，AC＝BC，∠DBA＝25°，则∠DCE的度数是（）A．20°B．30°C．35°D．40°10．（3分）顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形11．（3分）函数y＝2x+3的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）12．（3分）小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是．13．（3分）在平行四边形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，则平行四边形ABCD的周长等于．14．（3分）有5位教师和一群学生一起去公园，教师的全票票价是每人7元，学生票收半价．如果买门票共花费206.5元，那么学生有多少人？设学生有x人，填写下表：人数/人票价/元总票价/元教师学生根据题意，得方程，所以学生有人．15．（3分）直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x﹣nx＞4n﹣m的解集为．三．解答题（共4小题，满分30分）16．（11分）计算：（1）；（2）．17．（6分）如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．18．（6分）如图，任意四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别为BC、AD的中点．说明∠1与∠2的大小关系．19．（7分）排球垫球是体育中考的项目之一，下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）运动员甲测试成绩的众数为；运动员乙测试成绩的中位数为；运动员丙测试成绩的平均数为；（2）经计算三人成绩的方差分别为S甲2＝0.8，S乙2＝0.4，S丙2＝0.6，如果在他们三人中选择一位垫球成绩较为稳定的接球能手作为自由人，则运动员更合适；（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）四．解答题（共3小题，满分23分）20．（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E．点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是菱形；（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，则AC＝．21．（8分）计算：（1）（+）÷﹣6；（2）﹣（1+）（2﹣）．22．（8分）某城市有一类出租车，在5时到23时的时间段内运营，计费规定如下：行驶里程不超过3千米付费14元，超过3千米且不超过15千米的部分每千米付费2.50元；总里程超过15千米的部分每千米付费3.80元（等候时间管不计费）．（1）该类出租车起步价为多少元？在多少千米内只收起步价？（2）某人乘该类出租车行驶了x千米，试写出当x（千米）超过3（千米）但不超过15（千米）时，乘车费用y（元）关于里程数x（千米）的函数解析式，并求当所付费用为26元时出租车行驶的里程数．（3）当乘车费用为82元时，出租车行驶了多少千米？五．解答题（共2小题，满分22分）23．（10分）（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．24．（12分）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．（1）如图1，当点P与点C重合时，则线段EB＝，EF＝；（2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA．①求证：四边形MEPF是平行四边形；②当tan∠MAD＝时，求四边形MEPF的面积．。
小学六年级数学试卷(二)含参考答案
小学六年级数学试卷含参考答案一.选择题(共8题，共16分)1.一幢大楼共18层，地面以下有3层，地面以上第8层记作＋8层，地面以下第2层记作（）。
A.＋2层B.-2层2.关于“0”的说法正确的是（）。
A.0是正数B.0是负数C.0既不是正数，也不是负数3.一种皮衣，原价1200元，现在85折出售.现在一件这样的皮衣（）。
A.1002元B.1000元C.696元D.1020元4.如果一个足球的质量超过标准15克记作＋15克，那么“－10克”就表示（）。
A.质量超过标准10克B.质量低于标准10克5.下列各种关系中，成反比例关系的是（）。
A.某人年龄一定，他的身高与体重。
B.平行四边形的面积一定，它的底和高。
C.圆的面积一定，它的半径与圆周率。
D.三角形的高不变，它的底和面积。
6.下面说法正确的是（）。
A.一条直线长10m。
B.圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积小。
C.一年中有6个大月、6个小月。
D.把一根木头锯成7段，若锯每一段所用的时间都相等，那么锯每一段的时间是锯完这根木头所用时间的。
7.给一个房间铺地砖，所需砖的块数与每块砖的（）成反比例。
A.边长B.面积C.体积8.一个非零自然数与它的倒数一定（）关系。
A.成正比例B.成反比例C.不成比例二.判断题(共8题，共16分)1.3个圆锥的体积等于一个圆柱的体积。
（）2.一辆汽车以每小时60千米的速度向前行驶，汽车行驶的路程和时间的关系用图像表示是一条射线。
（）3.一个非0自然数与它的倒数成反比例关系。
（）4.煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量成正比例关系。
（）5.像0、-1、-2、-3这样的数都是负数。
（）6.在直线上，+3和－3到0的距离相等。
（）7.一种商品降价30%就是打7折出售。
（）8.在比例里，如果两个外项互为倒数，那么两个内项也互为倒数。
（）三.填空题(共8题，共21分)1.如果减少2千克记作－2千克，那么增加2千克应记作________千克；如果有20吨粮食运进仓库记作＋20吨，那么有15吨粮食运出仓库应记作________吨。
2020年普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试卷二(含答案)
2020年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(考试时间:90分钟满分:100分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页。
考生注意:1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷(选择题45分)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个选项符合题目要求)1.设集合A=｛1，2，3｝，B=2，3，4｝，则AUB=()A.｛1，2，3，4｝B.｛1，2，3｝C.｛2，3，4｝D.｛1，3，4｝2.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递的是()A.y=x12B.y=2−xC.y=log12x D.y=533.在等差数列｛a n｝中，a1=2，a3+a5=10，则a7=()A.5B.8C.10D.144.已知向量BA =(BA =(12,32)，则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°5.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.a c>b dB.a c<b dC.a d>b cD.a d<b c6.已知互相垂直的平面α，β交于直线l。
若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n7.对任意等比数列｛a n｝，下列说法一定正确的是()A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列8.在x轴上与点(3，2，1)的距离为3的点是()A.(-1,0,0)B.(5,0,0)C.(1,0,0)D.(5，0，0)和(1，0，0)9.设 = ,0< <1,2 −1, 1，，若 =2，则a=()A.2B.4C.6D.810.若tanα=13,tanα+β=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.5611.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.2212.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π813.在△ABC中,a，b，c分別为内角A，B，C所対边的边长，若c2=（a-b）2-+6，C=π3，则ab的值是()A.3B.6C.9D.1214.平行于直线2x+y+1=0，且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=015.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
成人高考数学试卷二
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √2B. 0.1010010001…（循环小数）C. 3.14159265358979323846…D. 2/32. 若m、n是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则m+n的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -1C. 1D. 54. 下列各式中，等式成立的是（）A. 3x + 5 = 2x + 7B. 2x^2 - 3x + 1 = 0C. 5x - 3 = 2x + 4D. x^2 + 2x + 1 = 05. 若等差数列{an}的第一项a1=2，公差d=3，则第10项an的值为（）A. 25B. 27C. 30D. 336. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 47. 下列各式中，绝对值最小的是（）A. |-3|B. |3|C. |-5|D. |5|8. 若a、b是方程x^2 - 2x - 3 = 0的两个根，则a^2 + b^2的值为（）A. 7B. 9C. 11D. 139. 已知等比数列{an}的第一项a1=3，公比q=2，则第5项an的值为（）A. 24B. 12C. 6D. 310. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2在x=1处的导数等于3，则f(1)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知等差数列{an}的第一项a1=1，公差d=2，则第10项an的值为______。
12. 若函数f(x) = 2x + 1在x=3处的导数等于______。
13. 已知方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根分别为2和3，则方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为______。
2022-2023学年辽宁省沈阳市三年级下册数学期末检测试卷(卷二)含解析
2022-2023学年辽宁省沈阳市三年级下册数学期末检测试卷（卷二）一、判断对错。
（对的打“√”，错的打“×”）（5分）1．（1分）40×56与560×4的积相等。
2．（1分）读作：五分之八．．3．（1分）1吨＝1000千克．．4．（1分）边长是4dm的正方形，周长和面积相等．5．（1分）分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大。
二、选一选。
（将正确答案的字母涂黑）（10分）6．（2分）估算6□×3□的积是（）A．三位数B．四位数C．可能是三位数或四位数7．（2分）一个正方形的边长是5分米，它的面积是（）平方分米。
A．10B．20C．258．（2分）一只母鸡大约重2（）A．克B．千克C．吨9．（2分）如图，涂色部分占整个长方形的（）A．B．C．10．（2分）下面汉字，（）组都是轴对称图形。
A．丰田B．儿童C．春天三、填空。
（第7题2分，其余每空1分，共20分）11．（2分）4000平方分米＝平方米5千克﹣250克＝克12．（2分）□83÷5，要使商是两位数，□里填，要使商是三位数，□里最小填。
13．（2分）把一个蛋糕平均分成8份，每份是这个蛋糕的，5份是这个蛋糕的。
14．（4分）在横线上填合适的单位。
（1）一颗葡萄大约重4（2）淘气朗读一篇课文用了3（3）数学书封面的面积约500（4）教室门的面积约215．（1分）爸爸驾车从博罗出发，到广州大学城要2时30分，如果爸爸想要9：00到达，他最迟就要出发。
16．（2分）一个长方形的周长是36厘米，它的长是12厘米，宽是厘米，它的面积是平方厘米。
17．（2分）在横线上填“＞”“＜”或“＝”。
（1）4090克44千克（2）25×4040×25（3）800dm 280m 2（4）18．（2分）□÷6＝14……〇，〇里是，这时的□是。
19．（2分）钟面上的分针的运动属于现象，拉动抽屉的运动属于现象。
全国新高考二卷数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的零点为：A. 0B. 1C. -1D. 32. 在等差数列{an}中，若a1=2，公差d=3，则第10项an等于：A. 25B. 27C. 29D. 313. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且a+b+c=0，则a、b、c的符号关系为：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b < 0，c > 0C. a < 0，b > 0，c < 0D. a < 0，b < 0，c > 04. 在直角坐标系中，点A(2,3)，B(-1,1)，C(4,5)，则△ABC的面积S为：A. 4B. 5C. 6D. 75. 若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第n项an等于：A. 2 3^(n-1)B. 2 3^nC. 2^nD. 3^n6. 已知复数z=1+i，则|z|的值为：A. √2B. 2C. 1D. 07. 若向量a=(2,3)，b=(4,5)，则a·b的值为：A. 13B. 14C. 15D. 168. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC的周长为：A. 12B. 13C. 14D. 159. 已知函数f(x) = ln(x)在x>0的区间上单调递增，则f(x)在x<0的区间上：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增10. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d=2，则Sn关于n的函数图像为：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 指数函数11. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，则∠C的度数为：A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴为：A. x=2B. x=1C. x=0D. x=-2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷(新课标Ⅱ卷)含答案
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅱ卷）1.已知，则( ).1i z =--||z =A.0B.1 D.22.已知命题：，，命题，，则( ).:R p x ∀∈|1|1x +>:0q x ∃>3x x =A.p 和q 都是真命题 B.和q 都是真命题p ⌝C.p 和都是真命题D.和都是真命题q ⌝p ⌝q ⌝3.已知向量，满足，，且，则( ).a b ||1a = |2|2a b += (2)b a b -⊥ ||b =A. D.1124.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.kg 亩产[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1150)[1150,1200)频数612182410根据表中数据，下列结论正确的是( )A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过1100kg 40%C.100块稻田亩产量的极差介于到之间200kg 300kg D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间900kg 1000kg 5.已知曲线，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线，为垂足，则线段22:16(0)C x y y +=>PP 'P '的中点M 的轨迹方程为( ).PP 'A. B.221(0)164x y y +=>221(0)168x y y +=>C. D.221(0)164y x y +=>221(0)168y x y +=>6.设函数，，当时，曲线和2()(1)1f x a x =+-()cos 2g x x ax =+(1,1)x ∈-()y f x =恰有一个交点，则( )()y g x =a =A.-1 B. C.1 D.2127.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC 所成角的正111ABC A B C -5236AB =112A B =1A A 切值为( ).A. B.1 C.2D.3128.设函数，若，则的最小值为( ).()()ln()f x x a x b =++()0f x ≥22a b +A. B. C. D.11814129.对于函数和，下列正确的有( ).()sin 2f x x =π()sin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭A.与有相同零点B.与有相同最大值()f x ()g x ()f x ()g xC.与有相同的最小正周期D.与的图像有相同的对称轴()f x ()g x ()f x ()g x 10.拋物线的准线为l ，P 为C 上的动点，对P 作的一条切线，Q2:4C y x =22:(4)1A x y +-= 有切点，对P 作C 的垂线，垂足为B .则( ).A.l 与相切B.当P ，A ，B 三点共线时，A ||PQ =C.当时，D.满足的点A 有且仅有2个||2PB =PA AB⊥||||PA PB =11.设函数，则( ).32()231f x x ax =-+A.当时，有一个零点1a >()f x B.当时是的极大值点0a <0x =()f x C.存在a ，b 使得为曲线的对称轴x b =()y f x =D.存在a 使得点为曲线的对称中心(1,(1))f ()y f x =12.记为等差数列的前n 项和，若，，则__________.n S {}n a 347a a +=2535a a +=10S =13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则αβtan tan 4αβ+=tan tan 1αβ=+__________.sin()αβ+=14.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有44⨯__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.ABC △sin 2A A +=（1）求A ；（2）若，求周长.2a =sin 2C c B =ABC △16.已知函数.3()e x f x ax a =--（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1,(1))f （2）若有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.()f x 17.如图，平面四边形ABCD 中，，，，，，点E ，F 满足，8AB =3CD =AD =90APC ∠=︒30BAD ∠=︒25AE AD =，将沿EF 对折至，使得，12AF AB = AEF △PEF △PC =（1）证明：：EF PD ⊥（2）求面PCD 与PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率；0.4p =0.5q =（2）假设，0p q <<（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线，点在C 上，k 为常数，，按照如下公式依22:(0)C x y m m -=>1(5,4)P 01k <<次构造点，过点作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点，令为关于(2,3,)n P n = 1n P -1n Q -n P 1n Q -y 轴的对称点，记的坐标为.n P (),n n x y （1）若，求，；12k =2x 2y （2）证明：数列是公比为的等比数列；{}n n x y -11k k +-（3）设为的面积，证明：对任意的正整数n ，.n S 12n n n P P P ++△1n n S S +=2024年普通高等学校招生全国统一考试数学答案答案：C解析.||z =1.答案：B解析：时，，错误，和q 是真命题.1x =-|1|1x +<p ∴P ∴⌝2.答案：A解析：，(2)0b a b -⋅= 220b a b ∴-⋅= 又，，||1a = |2|4a b += 得.1||2b = 3.答案：C解析：中位数错误，标差介于之间，选C.200kg ~300kg ∴4.答案：A解析：设，将坐标代入原方程联立，得M 方程.(,)P x y 221(0)164x y y +=>5.答案：D解析：联立，，代入方程，恰好得到一个极点，()()f x g x =2(1)1cos 2a x x ax ∴+-=+2a =.2a ∴=6.答案：B解析：，.πtan 4α=tan 1α∴=7.答案：C 解析：，，，()()ln()f x x a x b =++()()()f x x a h x =+⋅(1)0g b -=，，10b a -+= 1a b ∴=-.222221(1)2212a b b b b b +=-+=-+=8.答案：BC 解析：A.令，，零点不同；()0f x =()0g x =B.，最大值相同；()f x ()g x C.，，C 正确；π()sin 22f x x Tf ===π()2g x =∴D.，对称轴显然不同，D 错误.()f x ()g x ∴9.答案：ABD解析：依次代入抛物线方程，联立求解，所以C 错，ABD 对.10.答案：D解析：依次带入质检即可后为直角三角形，，，，12AF F△12212c F F =≥=6C =22||8a AF AF =-=4a =.32c e a ==11.答案：95解析：命题意图是考察正确应用等差数列的通项公式和求和公式以及会解相关方程得，3412512573475a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩143a d =-⎧⎨=⎩10110931040135952S a ⨯⨯∴=+=-+=12.解析：考察三角恒等式变形tan tan tan()1tan tan αβαβαβ⋅+===--⋅222sin ()cos ()19cos ()1a αββαβ+++=⇒+=1cos()3αβ∴+=-1sin()3αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭13.答案：24；58解析：（1）41432124=⨯⨯⨯=（2）分别列出，13，14，15，16最大，.1314151658+++=14.答案：（1）π6A =（2）2ABC C =+△解析：（1）sin 2A A=2R ===2sin()2A φ+=π2A φ+=.tan φ=π6A =（2）24πsin 6aR ==sin 2sin cos C c B B=⋅，2cos B =π4B ∴=54sin π12c=⋅22ABC C a b c ∴=++=++=+△15.答案：（1）(e 3)2y x =-+（2）2e 8a >解析：（1）(1)e 1f =-当，时1a =1x =(1)e 3f '=-(e 1)(e 3)(1)y x --=--(e 3)3e e 1y x ∴=-+-+-；(e 3)2x =-+（2），2()e 3x f x ax '=-()0f x '=2e 30x ax -=2e 3x ax =，，()e 6x f x ax ''=-2e 3x ax = ()3(2)f x ax x ''=-时，2x =2e 12a =232(2)e 2e 8f a a=-⋅=-代入，得2222e 2e (2)e 8e e 1233k f =-⋅=-=(2)0f < 2e 80a ∴-<28e a >2e 8a >.2e ,8a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭16.答案：（1）EF PD⊥（2）正弦值为0解析：（1）证明：设A 的坐标为，则B 为，(0,0)(8,0)依次求出，，，E (4,0)F (1,EF = 152D ⎛ ⎝P 关于EF 的中点M 对称，34722M ⎛⎛+== ⎝⎝设，，(,)P xy 7(2x t =+⋅1y t =⋅15922C ⎛⎛=-= ⎝⎝PC ∴=将x ，y表达式代PC ==152PD x y ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭0EF PD ⋅= EF PD∴⊥建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为0证明垂直（2）(8,0)PC = 求出面PCD 与面PBF 的法向量，1a 2a 又1212sin 0||a a a a θ⋅==⋅ 正弦值为0.∴17.答案：（1）0.686（2）（i ）乙（ii ）甲18.答案：（1），23x =20y =（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）设(),n n n P x y 2221n n x x a m∴-=()n n y y k x x -=-.()12n n y y x x -=--22211221n n x x y x a m⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-=1122n y x xn yn -=-++2n nx x y =-代入得，.222()1x yn y a m+-=23x =20y =（2）()2221n n kx y kx x a m +--=22222222221n n n n n n k x kxx kx y k x y k x x a m++-+∴-=111n n x k x k++=-利用等性证明。
2022数学(二)试题及解析
2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：302）考试时间：180分钟，试卷总分：150分考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.当()()0,,x x x αβ→是非零无穷小量，给出以下四个命题.()()()()22,.x x x x αβαβ ①若则()()()()22.x x x x αβαβ ②若，则()()()()()(),.x x x x o x αβαβα-= ③若则()()()()()().x x o x x x αβααβ-= ④若，则所有真命题的序号：A. B. C. D.①③①④①③④②③④【答案】选C.【解析】①2200()()lim 1lim 1()()x x x x x x ααββ→→=⇒=，正确；③()()()()()0000()()()lim 1lim lim lim 110,()x x x x x x x x x x x x x αβααββααα→→→→-=⇒=-=-=正确④()()()()()()0000()()()lim0lim lim 0lim 1x x x x x x x x x x x x x αβαββαααα→→→→-=⇒-=⇒=,即()()x x αβ ,正确；而00()()(())limlim 1,()()x x x x o x x x αβαββ→→+==(),(),x x x x αβ==-取则②错误,故选C.2.22d d yy x =⎰⎰A.6B.13C.3D.23【答案】选D.【解析】()()()22201233221321d 211d 16112211.633xx y x xx x x -==⋅=++=⋅+=-=⎰⎰⎰⎰原式故选D.3.设函数()f x 在0x x =处有2阶导数，则A.当()f x 在0x 的某邻域内单调增加时，()00f x '>B.当()00f x '>时，()f x 在0x 的某邻域内单调增加C.当()f x 在0x 的某邻域内是凹函数时，()00f x ''>D.当()00f x ''>时，()f x 在0x 的某邻域内是凹函数【答案】B.【解析】由于()f x 在0x x =处有2阶导数，故()00lim ()0x x f x f x →''=>，()00,()ox U x f x δ'∈⇒>，()f x 在0x 的某邻域内单调增加，选择B4.设函数()f t 连续，令0(,)()()d x yF x y x y t f t t -=--⎰，则A.2222,F F F Fx y x y ∂∂∂∂==∂∂∂∂B.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂C.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂D.2222,F F F F x y x y∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂【答案】选C.【解析】0(,)()d ()d ()d x yx yx yF x y xf t t y f t t t f t t---=--⎰⎰⎰0()d ()()()()()d x y x y F f t t xf x y yf x y x y f x y f t tx --∂=+------=∂⎰⎰22()Ff x y x∂⇒=-∂00()()d ()()()()d x y x y Fxf x y f t t yf x y x y f x y f t ty--∂=---+-+--=-∂⎰⎰22()Ff x y y∂⇒=-∂，故F F x y ∂∂=-∂∂，故选C.5.设p 为常数，若反常积分()110ln d 1ppx x x x --⎰收敛，则p 的取值范围是()()()()A.1,1B.1,2C.,1D.,2---∞-∞【答案】选A.【解析】11211102ln d d d (1)(1)p pp p x x x x x x x x --+--⎰⎰原式为100120ln (1)lim lim ln (0)011d 1p px x p p x x x x x x x p x εεεε++-→→++-=⋅>=⇒<⎰收敛12111ln 1(1)lim 1 d 1,1(1)(1)p pp x pxx x x p x x ---→---=⇒>----⎰与同收敛故选A.ππ6.{},22A.lim cos(sin )limB.lim sin(cos )limC.lim cos(sin )lim sin limD.lim sin(cos )lim cos lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-≤≤已知数列则()当存在时，存在当存在时，存在当存在时，存在，但不一定存在当存在时，存在，但不一定存在【答案】选D 【解析】{}(1)4πnn n x x =-⋅⇒发散.()2cos sin cos,l 2im n n x →∞=()lim sin cos sin2n n x →∞=，lim sin (1π)4n n →∞⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭不存在，故选D.111123000123213132321ln(1)27.d ,d ,d .2(1cos )1cos 1sin A. B. C. D. x x x I x I x I x x x xI I I I I I I I I I I I +===+++<<<<<<<<⎰⎰⎰已知则【答案】选A 【解析】()ln(1)2xf x x =-+，111()0,(0,1)212(1)x f x x x x -'=-=<∈++(0)0f =12ln(1),.2xx I I ⇒≤+<现比较2I 和3I ，即比较2ln(1)22(1cos )1sin x xx x+++与22223cossin ,(0,1)222cos cos sin 2224cos 1sin 22(1cos )1sin 112(1cos )1sin 2ln(1)2(0,1).x xx x x x xxx x x xx x x I I >∈⎛⎫⎛⎫⇒>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒>++>+<+++<∈<即而则故选A.8.设A 为3阶矩阵，100010,000⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Λ则A 的特征值为1，1-，0的充分必要条件是A.存在可逆矩阵P,Q ,使得=A P Q ΛB.存在可逆矩阵P ,使得-1=A P P ΛC.存在正交矩阵Q ,使得-1=A Q Q ΛD.存在可逆矩阵P ,使得T=A P P Λ【答案】选B【解析】根据相似对角化定义，B 选项可以直接推出A 的特征值为1，1-，0，又若A 的特征值为1，1-，0，互不相同，则A 一定可相似对角化，可推出B.故选B.9.设矩阵2211111,2,14a a b b b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭A =则线性方程组x =b A 解的情况为A.无解B.有解C.有无穷多解或无解D.有唯一解或无解【答案】选D【解析】22111(,)1214b A b a a b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()()22111||1111A a a b a b a b b ==---()||0(,)3A r A r A b ≠⇒==，有唯一解()||0(,)A r A r A b =⇒≠无解，故选D.10.设123421111,,1,,11λααλααλλλ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪====⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭若向量组123124,,,,αααααα与等价，则λ的取值范围是{}{}{}{}A.0,1B.,2C.,1,2D.,1λλλλλλλλλλ∈≠-∈≠-≠-∈≠-R R R 【答案】选C 【解析】()222111111011110(2)(1)0()111λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭()()()12312412341,,,,,,, 1 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()()12312412340 ,,,,,,, 3 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()1231241 ,,3,, 2 r r λαααααα=-⇒==，，不等价()()1231242 ,,2,, 3 r r λαααααα=-⇒==，，不等价其他时，()()()1231241234,,,,,,, 3 r r r αααααααααα===，等价故{,1,2}λλλλ∈≠-≠-∣R ，故选C.二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分）11.cot 01e lim 2xx x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【答案】12e【解析】cos sin 0000cos 1e cot sin 200cos 1e cos (e 1)lim1limsin 22sin (e 1)1lim lim22212ln 1e 1e lim lim lim 22e eeeeeexx x x x x x x x x x xx x xx x x x x x xxx x→→→→⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭→→→⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====== 原式12.已知函数()y y x =由方程233x xy y ++=确定，则(1)y ''=.【答案】3132-【解析】223230()13,131,14x xy y y y x x xy y y x y y ''+++⋅==++=='===-①将代入得将代入,得对①两边求导：22630,31,1,,431(1)32++y xy y y y y y y y x y y ''''''''++⋅⋅+⋅='===-''=-代入解得13.1223d 1x x x x +=-+⎰.【答案】83π9【解析】()()1122001122200112200122023214d d 1114d 1d 111ln 14d 1114d 21322π.932x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +-+=-+-+=-++-+-+=-++-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰14.250,y y y ''''''-+=通解()y x =.【答案】123e (cos 2sin 2)xC C x C x ++【解析】特征方程为32250r r r -+=，分解因式，则2(25)0r r r -+=，得12,30,12r r i ==±，则通解为123e (cos 2sin 2)x y C C x C x =++.15.已知曲线L 的极坐标方程为sin 303r θθπ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则L 围成有界区域的面积为.【答案】π12【解析】ππ2330π20211sin 3sin 3d32611π1πsin d 2662212S d u u θθθθ====⨯⨯⨯=⎰⎰⎰16.设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵211110100--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则1-A 的迹()1tr -=A .【答案】1-【解析】100100211001110110010001100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ()11100211100=001110110010100001211100111100110100110001010010001; 1.111tr ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭A A A 三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知函数()f x 在1x =处可导，且()()222e 31sin lim2,x x f f x x →-+=求(1).f '【解析】()()222e 31sin lim2→-+=x x f f x x 由题意，得：()()220lim e 31sin 0(1)0x x f f x f →⎡⎤-+=⇒=⎣⎦()()()()2222222022220e 31sin e (1)e 1limlim e 11sin (1)sin 3lim sin (1)3(1)2(1)1x x x x x x x f f x f f x x f x f x x x f f f →→→-+--=⋅-+--⋅''=-='⇒=-18.（本题满分12分）设函数()y x 是微分方程242ln 1,xy y x '-=-满足条件1(1)=4y 的解，求曲线()()1e y y x x =≤≤的弧长.【解析】22d d 2322ln 1e e d 22ln 1d 21ln 2x xx x x y x C x x x x C x x Cx -⎡⎤-⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰代入1=x ，得：14C =，所以：211ln 24=-+y x x .则：1e 1211d 2211e 44s x x x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=+⎰⎰19.（本题满分12分）已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算y x y x y x I Dd d )(222⎰⎰+-=.【解析】已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算222()d d Dx y I x y x y -=+⎰⎰.222222222d 21d 2d d D D D Dx xy y I x y xy x y xyx y σσσσ-+=+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰补线2+=x y （图中虚线），根据对称性2222220sin cos 2202202d d 2d 2cos sin d 424cos sin d (sin cos )2sin 222sin 2d d 1sin 22222 2.DD xyx yr rθθσσθθθθθθθθθθθθθπ+πππ=-+=π+-⎛⎫=π+-- ⎪+⎝⎭=π+-++=π+-+π-=π-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.（本题满分12分）已知可微函数(,)f u v 满足()()(,)(,)2e ,u vf u v f u v u v u v -+∂∂-=-∂∂且2(,0)e u f u u -=.（1）记(,)(,)g x y f x y x =-，求(,)g x y x∂∂；（2）求(,)f u v 的表达式和极值.【解析】(1)(,)2()e 2(2)e u v yyg x y f f xx y x x y --∂''=-∂=-+=-(2)2()(,)2(2)e d 2e 2e ()(,)2()e ()(,)(,)2e ()y y y y u v g x y x y xx xy y f x y x x x y y f x y x f u v uv u v ϕϕϕ-----+=-=-+=-=-+=-=-++⎰代入0v =，得2()euu u ϕ-=，有：()()2()22()(,)2e ()e e u v u v u v f u v uv u v u v -+-+-+=-++=+()()()22()()22()2e e 2e e u v u v u u v u v v f u u v f v u v -+-+-+-+'=-+'=-+22222020⎧--=⇒=⎨--=⎩u u v u v v u v 代回有：(1)0-=u u 得：0==u v 或 1==u v ()()()()()()()()22()22()()()22()22()22()2e 2e 2e e 24e 2e 2e e 22e 24e u v u v u v u v uuu v u v u v u v u v u v vvA f u u u v u u vB u v u v u v u vC f v v u -+-+-+-+-+-+-+-+-+-+''==--++=-++=--++=+--''==-++代入坐标有：()()()()()()20,021,100,001,12e 0,021,10-====-==A A B B C C 对于()0,0点，有240,0AC B A -=>>，这一点取得极小值0，对于()1,1点，有20AC B -<，不是极值.21.（本题满分12分）设函数()f x 在∞+∞（-，）内具有2阶连续导数，证明：()0f x ''≥的充分必要条件是对不同的实数,a b ，1(()d .2baa b f f x x b a +≤-⎰【解析】证明：由泰勒公式：()21()()()()()22222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++'''=+-+-，ξ介于x 与2a b +之间()()221()d (()((d 222221()()d 222ξξ++++⎡⎤'''=+-+-⎢⎥⎣⎦++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰bb aa b a a b a b a b a b f x x f f x f x xa b a b f b a f x x必要性：若()0f x ≥''，则()0f ξ≥''，有()1d 2()+⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰b aa b f f x x b a 充分性：若存在0x 使得0()0f x ''<，因为()f x 有二阶连续导数，故存在0δ>使得()f x ''在[]00,x x δδ-+内恒小于零，记00,a x b x δδ=-=+,此时：()21()d ()()()d ()()2222ξ+++⎡⎤''=-+-<-⎢⎥⎣⎦⎰⎰bb aa ab a b a bf x x f b a f x x f b a 矛盾，故()0f x ≥''.综上，充分性必要性均得证.22.（本题满分12分）已知二次型22212312313(,,)3432f x x x x x x x x =+++.(1)求正交变换x =Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形;(2)证明()Tmin2f 0x x x x≠=.【解析】(1)已知：301040103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A()()222(30104010331(4)134)691(4)68(2)(4)λλλλλλλλλλλλλλλ=----=-----==--+---+---=-E A 2 λ=时，1011012020010101000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，解得：3101-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α；4λ=时，1014000000-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭E A ，解得：121,01100⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα；已正交，直接单位化：3211232301,00,0⎛ ⎛⎫⎪===== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭=ααααββαβ令：01000⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Q 得标准型：222123442=++f y y y (2)证明：因为Q 可逆：T T T002221232220123minmin()min 442min x y y y fffy y y y y y ≠≠≠≠==++=++x x y yy yQ Q 2222221231232222221231234422222++++=++++y y y y y y y y y y y y 令：21222301y y y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩得：2=f 故最小值为2.。
2024新课标二卷数学试卷
2024新课标二卷数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={x∈ Z - 1≤slant x≤slant 3}，则A∩ B = (_ )A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {1,2,3}2. 已知复数z = 1 + i，则frac{z^2}{z - 1}=(_ )A. 2B. 2iC. -2D. -2i3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x = (_ )A. -2B. -(1)/(2)C. (1)/(2)D. 24. 在等差数列{a_n}中，a_1=1，公差d = 2，则a_5=(_ )A. 9B. 11C. 13D. 155. 函数y=sin(2x+(π)/(3))的最小正周期是(_ )A. πB. 2πC. (π)/(2)D. (2π)/(3)6. 从5名男生和3名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中至少有1名女生的选法有(_ )种。
A. 46B. 56C. 70D. 807. 已知双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=(1)/(2)x，且过点(4,√(3))，则双曲线的方程为(_ )A. frac{x^2}{4}-y^2=1B. frac{x^2}{16}-frac{y^2}{4}=1C. frac{x^2}{8}-frac{y^2}{2}=1D. frac{x^2}{32}-frac{y^2}{8}=18. 若log_a2=(1)/(3)（a>0且a≠1），则a^3=(_ )A. 2B. 4C. 8D. 169. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx + c，f(-1)=0，f'( - 1)=0，则b = (_ )A. -1B. 0C. 1D. 210. 在ABC中，A = 60^∘，AB = 2，AC = 3，则BC=(_ )A. √(7)B. √(10)C. √(13)D. 411. 已知圆C:x^2+y^2-2x + 4y - 4 = 0，直线l:3x - 4y + m = 0与圆C相切，则m = (_ )A. -19或11B. -11或19C. -21或9D. -9或2112. 已知函数y = f(x)的图象关于直线x = 1对称，当x≥slant1时，f(x)=x^2-2x，则当x<1时，f(x)=(_ )A. x^2-2xB. x^2-1C. -x^2+2xD. -x^2+1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
新课标全国卷2数学
新课标全国卷2数学新课标全国卷2数学试卷是面向全国高中学生的标准化考试，旨在全面考察学生对高中数学知识的掌握程度和应用能力。
试卷通常包含选择题、填空题、解答题等多种题型，覆盖了代数、几何、概率统计等多个数学领域。
试卷结构：新课标全国卷2数学试卷一般由三个部分组成：选择题、非选择题和解答题。
1. 选择题：这部分通常包含10-15个问题，每个问题有四个选项，考生需要从中选择一个正确答案。
选择题考察学生对数学概念的理解和基本计算能力。
2. 非选择题：这部分包括填空题和判断题，要求学生填写答案或判断命题的正确性。
填空题可能需要学生填写数值、公式或数学表达式，而判断题则需要学生对给定的数学命题进行正确或错误的判断。
3. 解答题：解答题是试卷中最具挑战性的部分，通常包含几个大题，每个大题下设若干小题。
解答题要求学生展示其解决问题的能力和数学思维过程，包括但不限于证明题、应用题和综合题。
考试内容：新课标全国卷2数学试卷的内容涵盖了高中数学的主要知识点，包括：- 代数：包括函数、方程、不等式、数列、极限等。
- 几何：包括平面几何、立体几何、解析几何等。
- 概率统计：包括统计数据的收集、整理和分析，以及概率的基本概念和计算。
- 微积分：包括导数、积分、微分方程等基础概念和计算。
考试技巧：为了在新课标全国卷2数学考试中取得好成绩，学生需要掌握以下技巧：- 时间管理：合理分配时间，确保有足够的时间完成所有题目。
- 审题：仔细阅读题目，理解题目要求，避免因误解题意而失分。
- 计算准确：在解答数学题时，计算的准确性至关重要。
- 逻辑推理：在解答证明题和综合题时，需要运用逻辑推理能力，展示解题思路。
结尾：新课标全国卷2数学试卷是对学生数学能力的全面检验，通过系统的复习和练习，学生可以提高自己的数学素养和解题能力。
希望每位考生都能在考试中发挥出自己的最佳水平，取得满意的成绩。
初2试卷数学试题及答案
初2试卷数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. 0.33333...C. √2D. 0.5答案：C2. 一个数的平方等于9，这个数是？A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不是答案：C3. 以下哪个表达式的结果为正数？A. (-3) × (-2)B. (-3) × 2C. 3 × (-2)D. (-3) × (-2) × (-1)答案：A4. 计算 (x+2)(x-2) 的结果是什么？A. x^2 - 4B. x^2 + 4C. -x^2 + 4D. -x^2 - 4答案：A5. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果顶角为80°，那么底角的度数是多少？A. 50°B. 70°C. 80°D. 100°答案：A6. 一个数的立方等于-8，这个数是？A. 2B. -2C. 8D. -8答案：B7. 以下哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：B8. 一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是多少？A. 10π厘米B. 20π厘米C. 25π厘米D. 30π厘米答案：B9. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 矩形C. 梯形D. 不规则多边形答案：B10. 一个数除以-1/3等于乘以多少？A. -3B. 3C. 1/3D. -1/3答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______或______。
答案：5或-512. 一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。
答案：60°13. 一个数的相反数是-7，那么这个数是______。
答案：714. 一个数的倒数是2/3，那么这个数是______。
答案：3/215. 一个三角形的内角和是______。
初中二试卷数学
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，最小的数是（）A. -3.5B. -2.1C. -1.9D. 02. 下列代数式中，正确的是（）A. 2x + 3 = 5x - 2B. 3(x + 2) = 3x + 6C. 4x - 2 = 2x + 4D. 5x -3 = 2x - 53. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 梯形4. 已知等边三角形的边长为6cm，则其高为（）A. 3cmB. 4.5cmC. 6cmD. 9cm5. 下列各数中，能被3整除的数是（）A. 16B. 21C. 27D. 326. 一个数的平方根是4，则这个数是（）A. 16B. -16C. 8D. -87. 下列方程中，x=3是它的解的是（）A. 2x + 1 = 7B. 3x - 4 = 5C. 4x + 2 = 10D. 5x - 3 = 28. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)² = a² + 2ab + b²B. (a - b)² = a² - 2ab + b²C. (a + b)² = a² - 2ab + b²D. (a - b)² = a² + 2ab - b²9. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √3610. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √25二、填空题（每题2分，共20分）11. 3的平方根是__________。
12. 下列各数中，最小的数是__________。
13. 下列代数式中，正确的是__________。
14. 下列图形中，不是轴对称图形的是__________。
15. 一个数的平方根是-5，则这个数是__________。
16. 下列方程中，x=3是它的解的是__________。
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小学六年级数学上册期末测试卷（人教版）
一、填空：
1、小学女生有25人，男生有20人。
男生人数占女生的( )%。
2、实际造林面积比原计划增产20%，实际造林面积相当于原计划的( )%。
3、最大的两位数的倒数是( )，和( )互为倒数。
4、用圆规画一个周长为18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离应取( )厘米，所画圆的面积是( )平方厘米。
5、有80吨煤，第一次用去，第二次用去吨，还剩下( )吨煤。
6、( )的25%是25，25的25%是( )。
7、在，0.333，33%，0.3中，最大的数是( )，最小的数是( )。
8、从一个边长是20分米的正方形纸里剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。
二、选择题：
1、一个不为0的数除以，这个数就( )。
A、扩大7倍
B、缩小7倍
C、减少7倍
2、a是一个不为0的自然数，在下面的各算式中，( )的得数最小。
A、a×
B、a÷
C、a÷
3、把30%的百分号去掉，原来的数就( )。
A、扩大100倍
B、缩小100倍
C、不变
4、7÷9的商化成百分数约等于( )。
A、77%
B、77.8%
C、77.7%
5、甲数是乙数的1.25倍,乙数比甲数少( )%。
A、25
B、75
C、20
三、判断题：
1、圆的周长与它的直径的比值是π。
…………………………………………( )
2、一批试制产品，合格的有180件，不合格的有50件，合格率是80%。
…( )
3、第一根绳子长米，第二根绳子比第一根长，第二根绳子长1米。
…( )
4、因为1的倒数是1，所以0的倒数是0。
………………………………………( )
5、一个数乘分数的意义与整数乘法的意义不同。
……………………………( )
四、计算题：
1、直接写出得数。
÷= ×= 1.8×= ÷3=
3.2- = + = 10÷10%= 6.8×80=
2、怎样简便就怎样算。
6÷- ÷6 ×÷( - )
×3.2+5.6×0.5+1.2×50% [ -( + )]÷
98×11.58-(7 +1.58)
3、解方程：
χ+ χ= 17-120%χ=5
4、列式计算：
(1) 与的差是它们的和的几分之几?
(2)最小的两位数的倒数，加上与的积，和是多少?
五、动手操作：
1、画一个半径是2厘米的圆，并用字母标出圆心、半径、直径。
再求出这个圆的周长和面积。
2、在下图中标出点D(3，4)、E(7，3)、F(9，1)、G(4，3)，再依次连成封闭图形，看看是什么图形?
六、解决问题：
1、挖一条20千米的水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了全长的。
(根据下面问题列式计算)
(1)两天共挖了多少千米?
(2)第一天比第二天多挖多少千米?
(3)还剩下多少千米?
2、一种电脑，现价2800元，比原价降低了700元，降低了百分之几?
3、用电脑打一份稿件，甲单独打要8小时，乙单独打10小时，现在甲、乙合打，几小时完成这份稿件的?
4、一堆化肥的重量等于这堆化肥的再加上吨，这堆化肥有多少吨?
5、鸡兔同笼，鸡兔共40个头，鸡脚比兔脚多32只，问鸡兔各多少只?
6、电影院门前的一根圆柱子，外围周长是31.4厘米,求这根柱子的横截面积是多少平方厘米?。