2017-2018学年山西省运城市高二下学期期中考试数学(理)试题 扫描版
【数学】山西省康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理) (1)
山西省康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，33ii+＝（ ） A.13412i - B.13412i + C.1326i + D.1326i - 2. 设()ln ,f x x x =若0()2f x '=，则0x ＝（ ） A. 2eB. eC.ln 22D. ln 23. 用反证法证明命题：“若,,,,1,1a b c d R a b c d ∈+=+=，且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”的假设为（ ） A. ,,,a b c d 中至少有一个正数 B. ,,,a b c d 全都为正数 C. ,,,a b c d 全都为非负数D. ,,,a b c d 中至多有一个负数4. 已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则a ＝（ ） A. －9B. －2C. 4D. 25. 函数xxy e =在[0，2]上的最大值是（ ） A.1eB.22e C. 0 D.12e6. 观察243()2,()4,(cos )sin x x x x x x '''===-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -＝（ ）A. ()f xB. －()f xC. ()g xD. －()g x7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（ ） A. 18B. 24C. 30D. 368. 直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） A.43B. 2C.83D.16239. 若函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为33，则a ＝（ ）A.31-B.34C.43D.31+10. 若数列{}n a 是等差数列，12...nn a a a b n+++=，则数列{}n b 也为等差数列，类比这一性质可知，若{}n c 是正项等比数列，且{}n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为（ ） A. 12...nn c c c d n+++=B. 12....nn c c c d n= C. 12...n n nnn c c c d n+++=D. 12....n n d c c c =11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（ ） A. 3965B. 3966C. 3968D. 398912.若函数211()ln ()2f x x x m x m=+-+在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则m 的取值范围（ ） A. 1(0,][4,)4+∞ B. 1(0,][2,)2+∞ C. 1(0,)(2,)2+∞D. 1(0,)(4,)4+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 复数(12)(3)z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 .14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .15. 设点P 、Q 分别是曲线xy xe -=和直线3y x =+上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 .16. 有*(2,)n n n N ≥∈粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为n S .例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现4S 为定值，请你研究n S 的规律，归纳n S ＝ .nn三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围． （2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．18.（本小题满分12分）已知曲线C ：，点，求过P 的切线与C 围成的图形的面积.19.（本小题满分12分）已知330,0,2a b a b >>+=.证明：（1）()()554a b a b ++≥；（2）2a b +≤.123223+--=x x x y )0,21(P l已知函数22()ln ,()f x x m x h x x x a =-=-+，（1）当0a =时，()()f x h x ≥在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； （2）当m ＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）是否存在常数,,a b c ，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++n a b c ，，已知函数())(,R x xe x f x∈=-（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；（3）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>.参考答案1-12、BBCDA DCCAD AB 13、5 14、112 15、223 16、2)1(-n n17.解：(1)设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，................4分还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. ...................7分(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i ＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i.因为a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数． ...........10分 18.解：设切点，则切线：过P （）∴即∴ 即 A （0，1）故即∴ B （）∴),(000y x P 266020--='x x y l ))(266(]1232[00200203x x x x x x x y ---=+---0,21]21[]266[]1232[002002030x x x x x x -⋅--=+---0)364(0200=+-x x x 1,000==y x )0(21:--=-x y l 切012=-+y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+--=22321123223y x x y x x x y 2,23-3227)23(3223=-⎰=dx x x S19.证明.++=+++556556(1)()()a b a b a ab a b b=+-++3323344()2()a b a b ab a b=+-2224()ab a b≥ 4. .......6分 （2）因为+=+++33223()33a b a a b ab b=++23()ab a b+≤++23()2(a b)4a b ...........12分20.解 (1)由f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，故g ′(e)＝0， 当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0； x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e. .......6分(2)由已知可知k (x )＝x －2ln x －a ，函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点，φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，故φ′(2)＝0，所以当x ∈[1,2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )单调递减， 当x ∈(2,3]时，φ′(x )>0，所以φ(x )单调递增． 所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2， 且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0， 所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]． .......12分21.解：假设存在，使得所给等式成立． 令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．（1）当时，由以上可知等式成立；（2）假设当时，等式成立，即，则当时，． 由（1）（2）知，等式对于一切正整数都成立． 22.（Ⅰ）解：/f ()(1)x x x e -=- 令/f (x)=0,解得x=1当x 变化时，/f (x)，f(x)的变化情况如下表a b c ，，123n =，，0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+n 1n =n k =22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-1n k =+222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·nX(,1-∞) 1 (1,+∞) /f (x)+ 0 - f(x)极大值所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。
2017-2018年山西省运城市高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年山西省运城市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．1+3i D．﹣1﹣3i 2．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确3．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．44．（5分）“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0B．﹣1C．1D．6．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）7．（5分）对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定8．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=﹣x3+2ax+a在（﹣1，0）内有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，3）C．（﹣∞，3）D．（0，+∞）10．（5分）若函数f（x）=lnx+ax2﹣2在区间（，2）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣，+∞）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）（xlnx2）＞2f（x），则（）A．6f（e）＞2f（e3）＞3f（e2）B．6f（e）＜3f（e2）＜2f（e3）C．6f（e）＞3f（e2）＞2f（e3）D．6f（e）＜2f（e3）＜3f（e2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1），在验证n=1时，左端计算所得的项为．14．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．15．（5分）曲线y=lnx上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．16．（5分）设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）设复数z和它的共轭复数满足：，求复数z；（2）设复数z满足：|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．18．（12分）设函数f（x）=ln（2x+3）+x2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[﹣1，0]上的最大值和最小值．19．（12分）观察下列方程，并回答问题：①x2﹣1=0；②x2+x﹣2=0；③x2+2x﹣3=0；④x2+3x﹣4=0；…．（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；（2）直接写出第2009个方程的根；（3）说出这列方程的根的一个共同特点．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）在上的最大值和最小值；（2）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．21．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a ∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．22．（12分）设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年山西省运城市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．1+3i D．﹣1﹣3i【解答】解：∵z===，∴z的共轭复数，故选：A．2．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选：A．3．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．4【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．4．（5分）“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a2﹣1+2（a+1）i为纯虚数，则a2﹣1=0，a+1≠0，∴a=1，反之也成立．∴“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的充要条件，故选：A．5．（5分）函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0B．﹣1C．1D．【解答】解：∵f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为1．故选：C．6．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选：C．7．（5分）对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【解答】解：由平面中关于正三角形的内切圆的性质：“正三角形的内切圆切于三边的中点”，根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质，我们可以推断在空间几何中有：“正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心”故选：B．8．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选：D．9．（5分）函数y=﹣x3+2ax+a在（﹣1，0）内有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，3）C．（﹣∞，3）D．（0，+∞）【解答】解：对于函数y=﹣x3+2ax+a求导可得y′=﹣3x2+2a，∵函数y=﹣x3+2ax+a在（﹣1，0）内有极小值，∴y′=﹣3x2+2a=0，则有一根在（﹣1，0）内，a＞0时，两根为±，若有一根在（﹣1，0）内，则﹣1＜﹣＜0即0＜a＜．a=0时，两根相等，均为0，f（x）在（﹣1，0）内无极小值．a＜0时，无实根，f（x）在（﹣1，0）内无极小值，综合可得，0＜a＜，故选：A．10．（5分）若函数f（x）=lnx+ax2﹣2在区间（，2）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣，+∞）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，+∞）【解答】解：f′（x）=+2ax，若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，则f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞，而g（x）=﹣在（，2）递增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：B．12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）（xlnx2）＞2f（x），则（）A．6f（e）＞2f（e3）＞3f（e2）B．6f（e）＜3f（e2）＜2f（e3）C．6f（e）＞3f（e2）＞2f（e3）D．6f（e）＜2f（e3）＜3f（e2）【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，故g（e）＜g（e2）＜g（e3），故6f（e）＜3f（e2）＜2f（e3），故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1），在验证n=1时，左端计算所得的项为1+a+a2．【解答】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a214．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．15．（5分）曲线y=lnx上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．【解答】解：因为直线2x﹣y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=，把x=代入曲线方程得：y=﹣ln2，即曲线上过（，﹣ln2）的切线斜率为2，则（，﹣ln2）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，即曲线y=lnx上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故答案为：16．（5分）设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）=﹣1．【解答】解：∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=﹣，则f'（）=+2×=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）设复数z和它的共轭复数满足：，求复数z；（2）设复数z满足：|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．【解答】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则，由可得：，所以，∴；（2）设复数z=x+yi（x，y∈R），由|z+2|+|z﹣2|=8得：，其轨迹是椭圆，此时2a=8，a=4，2c=4，c=2，b2=12，所求的轨迹方程为：．18．（12分）设函数f（x）=ln（2x+3）+x2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[﹣1，0]上的最大值和最小值．【解答】解：f（x）的定义域为，（1）求导函数可得：当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，从而f（x）在和单调递增，在单调递减；（2）由（1）知，f（x）在区间[﹣1，0]的最小值为又f（﹣1）=1，f（0）=ln3＞1，∴最大值为f（0）=ln3．19．（12分）观察下列方程，并回答问题：①x2﹣1=0；②x2+x﹣2=0；③x2+2x﹣3=0；④x2+3x﹣4=0；…．（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；（2）直接写出第2009个方程的根；（3）说出这列方程的根的一个共同特点．【解答】解：（1）由已知中的方程：①x2﹣1=0；②x2+x﹣2=0；③x2+2x﹣3=0；④x2+3x﹣4=0；…．归纳可得，第n个方程为：x2+（n﹣1）x﹣n=0，（2）第2009个方程为：x2+2008x﹣2009=0，此方程可化为：（x+2009）（x﹣1）=0，故第2009个方程的根为：1，﹣2009，（3）这列方程的根共有两个，一个是1，一个是﹣n．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）在上的最大值和最小值；（2）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx的导数为，函数f（x）在区间仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在的最大值是f（1）=2，又，故，故函数f（x）在上的最小值为f（2）=2﹣ln2；（2）f（x）的导数为f′（x）=﹣2x+a﹣=﹣，若f（x）既有极大值又有极小值，则必须f′（x）=0有两个不同正根x1，x2，即2x2﹣ax+1=0有两个不同正根，故a应满足．可得函数f（x）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是．21．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a ∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a，因为曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行，所以f′（）=+a=﹣，解得a=﹣1，所以f（x）=x3﹣x，设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x，又f（0）=0，所以f（x）=x3﹣x．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）=，f（1）=﹣，f（）=0，所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，等价于函数f（x）在[﹣3，]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣，0）．22．（12分）设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，令g（x）=（﹣）2﹣，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥∴a的最小值为．（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，∴a≥﹣．②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
山西省太原市2017-2018学年高二下学期阶段性测评(期中)数学理试题(解析版)
2017～2018学年第二学期高二年级阶段性测评数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内，点表示的复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:一般利用复平面内复数的几何意义(复数x+yi（x,y∈R）在复平面内与点（x,y）一一对应)解答即可.详解：由复数的几何意义得点(0,-1)表示的复数为0+(-1)×i=-i.故选D.点睛：本题涉及到的知识点是复数的几何意义，复数x+yi（x,y∈R）在复平面内与点（x,y）一一对应.2. 已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：一般先求导，再求.详解：因为所以，所以=cos0-1=1-1=0,故选A.点睛：注意基本初等函数的导数，，有些同学容易记错.3. 下列结论正确的是（）A. 归纳推理是由一般到个别的推理B. 演绎推理是由特殊到一般的推理C. 类比推理是由特殊到特殊的推理D. 合情推理是演绎推理【答案】C【解析】分析：直接利用归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义分析判断.详解：对于A选项，由于归纳推理是从个别到一般的推理，所以A不正确；对于B选项，由于演绎推理是从一般到特殊的推理，所以B不正确；对于C选项，由于类比推理是从特殊到特殊的推理，所以C正确；对于D选项，由于合情推理是归纳推理和类比推理，所以D不正确.点睛：对于归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义要理解掌握，不要死记硬背，要理解它们之间的区别和联系.4. 已知是复平面内的平行四边形，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】D详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则因为，所以，解之得x=-1,y=4.所以点D的坐标为（-1，4），所以点D对应的复数为-1+4i,故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据求点D的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效.5. 已知推理：“因为所有的金属都能够导电，而铜能导电，所以铜是金属”.则下列结论正确的是（）A. 此推理大前提错误B. 此推理小前提错误C. 此推理的推理形式错误D. 此推理无错误【答案】C【解析】分析：一般利用三段论来分析解答. 如果三段论的大前提是范围对象A具有某性质，小前提应该是B元素属于范围对象A，结论是B具有某性质,这个推理的形式才是正确的.详解：已知推理的大前提是：因为所有的金属都能够导电，所以推理的小前提应该是说A材料是金属，结论是A能导电. 但是推理的小前提是说铜能导电，违背了三段论的推理要求，所以此推理的推理形式错误，故选C.点睛：三段论看似简单，但是遇到真正的问题，有些同学又比较含糊. 如果三段论的大前提是范围对象A具有某性质，小前提应该是B元素属于范围对象A，结论是B具有某性质,这个推理的形式才是正确的.6. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于”时的假设为（）A. 三个内角中至多有一个不大于B. 三个内角中至少有两个不大于C. 三个内角都不大于D. 三个内角都大于【答案】D【解析】分析：一般利用命题的否定来解答，三角形的三个内角中至少有一个不大于的否定应该是三个内角都大于.详解：由于“三角形的三个内角中至少有一个不大于”的否定是“三个内角都大于60°”，故选D.点睛：利用反证法证明时，首先要假设原命题不成立，原命题的反面成立，所以这里涉及到命题的否定，命题的否定就是只否定命题的结论，命题的否命题是条件和结论都同时否定，这两个大家要区分开来.7. 复平面内，若与复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：复数对应的点在第四象限，就是说复数的实部大于零，虚部小于零，得到关于m的不等式组，解不等式组即得m的取值范围.详解：由题得，解之得0＜m＜1，故选B.点睛：本题解答主要是根据复数的几何意义来解答的，复数x+yi（x,y∈R）与复平面内的点(x,y)一一对应.8. 观察下列各式：，，，……，则的末两位数字为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72018的末两位数．详解：根据题意得，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，发现：74k﹣2的末两位数字是49，74k﹣1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是07，（k=1、2、3、4、…），∵2018=504×4+2，∴72018的末两位数字为49，故选D.点睛：要解答本题，一定要多列举找到规律，不能只写几个就下结论,所以本题列举了8个式子，这样总结的结论才更准确.9. 函数的单调递减区间是A. B. 和 C. D.【答案】B【解析】分析：一般先求导得再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间.详解：由题得，令，所以x<1,因为x≠0，所以x＜1，且x≠0，所以函数的单调减区间为和，故选B.点睛：本题是一个易错题,容易漏掉函数的定义域,得到函数的减区间为,主要是因为没有考虑定义域{x|x≠0}.对于函数的任何问题，必须遵循定义域优先的原则，否则会出错.10. 已知函数在处的切线平行于轴，则的极大值与极小值的差为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求导，再求出，再解方程，求出a的值，再求函数的极大值和极小值，最后求极大值和极小值的差.详解：由题得，所以故a=0,所以，所以函数f(x)在（1，+∞）和（-∞，-1）上是增函数，在（-1,1）上是减函数.∴，∴的极大值与极小值的差为2+b+2-b=4,故选C.点睛：求函数的极值的一般步骤是：求定义域求导解方程列表下结论.11. 在直角坐标平面内，由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出直线y=x和曲线xy=1的交点的横坐标，再利用定积分求出曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积.详解：联立xy=1和y=x得x=1,(x=-1舍).由题得由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为，故选A.点睛：求曲线围成的不规则的图形的面积，一般利用定积分来求解.12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥在恒成立，令g（x）=，x∈，根据函数的单调性求出函数g(x)的最大值，即得实数a的范围．详解：：f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx），=2a﹣1+sin2x﹣a（cosx﹣sinx），若f（x）在递增，则≥0在恒成立，即a≥在恒成立，令g（x）=，x∈，则=，令＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞，令＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜，故g（x）在[0，）递减，在（，]递增，故g（x）max=g（0）或g（），而g（0）=1，g（）=，故a≥1，故选D．点睛：本题解答用到了分离参数的方法，把≥0在恒成立通过分离参数转化为a≥在恒成立,再求函数g（x）=，x∈的最大值.处理参数问题常用的有分类讨论和分离参数方法，如果分离参数不便，就利用分类讨论.大家要注意这两种方法的区别和联系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知复数满足，则复数的共轭复数为__________．【答案】【解析】分析:先由题得到，再利用复数的除法化简得到z,最后求z的共轭复数.详解:由题得.所以z的共轭复数为2-i.故填2-i.点睛：本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，解题时，不要求出z就直接填进去了，主要还要求z的共轭复数.14. 若，则实数__________．【答案】【解析】分析：直接利用微积分基本原理化简已知，得到m的方程，求出m的值.详解：由题得，所以，∴m=2.故填2.点睛：本题主要考查微积分基本原理，关键是找到的原函数.15. “扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数学是，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“”表示它的周围八个方块中有且仅有个雷.图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在这七个方块中，有雷的方块为__________．【答案】ADFG【解析】分析：解答时，先确定F和G有雷，再确定C,D中必有一个有雷，这时再利用假设法否定C有雷D无雷，后面再确定A和B是否有雷.详解：第4行第7个数字2，所以F、G方块有雷. 第4行第6个数字4，说明E方块没有雷.由于第4行第4个数字3，说明C、D中必有一个有雷. 假设C有雷，D无雷. 由于第6行第7个数字2，所以第7行6、7、8、9都没有雷，第5个有雷，但是第6行第4 个数字2，这样第6行第4个数字周围就有3个雷，与题目矛盾，故C无雷，D有雷.由于第4行第3个数字1，所以B五雷，由于第4行第2个数字1，所以A有雷. 故有雷的是A、D、F、G.故填A、D、F、G.点睛：本题主要考查推理论证，在推理时主要要从简单的入手，再讨论复杂的，如果不能确定可以进行假设分析，找到矛盾和答案.16. 设函数，观察下列各式：，，，，…，，……，根据以上规律，若，则整数的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先归纳得到f n（x）=f（f n﹣1（x））=，再求出f n（）=，最后解不等式，得到n的最大值.详解：由题意，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n.∴f n（x）=f（f n（x））=，﹣1∴f n（）=．∴，∴，∴整数的最大值为9.故填9.点睛：本题主要考查归纳推理，所以归纳出f n（x）=f（f n﹣1（x））=是关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数，，，是实数，为虚数单位.（1）若，求复数，；（2）若，求复数，.【答案】(1)，；(2)，.【解析】分析：（1）把代入，得到关于a、b的方程，根据复数相等的概念得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出复数、.(2) 把代入，得到关于a、b的方程，根据复数相等的概念得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出复数，.详解：（1）∵，∴，∴∴，；（2）∵，∴∴，∴，.点睛：本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，属于基础题.18. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求的值域.【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为；(2).【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求函数的单调区间. (2)先写出函数在的单调区间，再根据函数的单调区间写出函数f(x)的值域.详解：（1）由题意得，，令，则或；令，则；∴的单调增区间为和，单调减区间为；（2）由（1）得在和上单调递增，在上单调递减，∵，，，，∴的值域为.点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和函数的值域，属于基础题.19. 已知点，是椭圆的左右顶点，是椭圆上异与，的点，则直线与的斜率满足.（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论，并证明；（2）请利用（1）的结论解决以下问题：已知点，是双曲线的左右顶点，是该双曲线上异与，的点，若直线的斜率为，求直线的方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论,再证明.（2）先利用前面的结论得到再写出直线的点斜式方程化简即得直线的方程.详解：（1）已知点，是双曲线的左右顶点，双曲线上异与，的点，则直线与的斜率满足；证明：由题意得，，∴∵是双曲线上的点，∴，∴，∴直线与的斜率满足.（2）由（1）得，∵，∴，∵是双曲线的右顶点，∴，∴直线的方程为.点睛：本题主要考查类比推理的能力和圆锥曲线的基本运算，属于基础题.说明：请考生在（A）,（B）两个小题中任选一题作答.20. 已知数列满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.详解：（1）当时，；当时，；当时，，由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴当时猜想也成立；由①和②，可知猜想成立，即.点睛：在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.21. 已知数列的前项和为，且满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.详解：（1）当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴，∴，∴当时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.说明：请考生在（A）,（B）两个小题中任选一题作答.22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：在上至多有一个零点.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调性.(2)对a分类讨论，根据函数的图像分析每一种情况函数在上零点个数，即得在上至多有一个零点.详解：（1）由题意得①当时，令，则；令，则，∴在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，则或，（ⅰ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，，∴在上单调递增；（ⅲ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∵，∴此时在上至多有一个零点；当时，在上单调递增，∴此时在上至多有一个零点；当时，在和上单调递增，在上单调递减；∴在处取得极大值，∵，∴此时在上至多有一个零点；综上所述，当时，在上至多有一个零点.点睛：对于函数的零点问题，一般利用图像法分析解答.一般先求导，再求出函数的单调区间、最值、极值等，再画图分析函数的零点情况.23. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调区间. (2)对a分类讨论，作出函数的图像，分析出函数f(x)有两个零点所满足的条件，从而求出a的取值范围.详解:（1）由题意得①当时，令，则；令，则，∴在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，则或，（ⅰ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，，∴在上单调递增；（ⅲ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；当时，在上单调递增，∴此时不符合题意；当时，在和上单调递增，在上单调递减；∴的处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点，（ⅰ）当时，令，当时，∵，∴在上有一个零点，∴此时符合题意；（ⅱ）当时，当时，，∴在上没有零点，此时不符合题意；综上所述，实数的取值范围为.点睛：对于含参的问题，注意分类讨论思想的运用. 本题的导数，由于无法直接写出函数的单调区间，所以必须要分类讨论.分类讨论时，要注意分类的起因、分类的标准、分类的过程和分类的结论.。
山西省运城市2017-2018学年高二上学期期中考试数学文试卷(解析版)
2017-2018学年山西省运城市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2．若直线l1：y=k（x﹣6）﹣2与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，2） B．（0，4） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）3．设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β4．若直线x+（1+m）y+m﹣2=0与直线2mx+4y+16=0平行，则m的值等于（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或﹣25．若直线mx+ny+3=0在x轴上的截距为﹣，且它的倾斜角是直线x﹣y=3的倾斜角的2倍，则（）A．m=，n=1 B．m=﹣，n=﹣3 C．m=，n=﹣3 D．m=﹣，n=16．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC中∠ABC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．若圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．（6，+∞）C．（﹣∞，4）D．[4，6]8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BFB．A1C⊥平面AEFC．异面直线AE，BF所成的角为定值D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值9．一个几何体的三视图如图，其俯视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．（4+π）10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．16πB．4πC．36πD．64π11．已知直线l：x﹣y=1与圆P：x2+y2﹣2x+2y+1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆P上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为（）A．2B．2 C．D．212．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，则AP+D1P的最小值为（）A．4 B．+C．8+4D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点A（2，﹣1，﹣3），则点A关于x轴对称点为．14．设P是直线y=2x﹣4上的一个动点，过点P作圆x2+y2=2的一条切线，切点为Q，则当|PQ|取最小值时点P的坐标为．15．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．则侧视图的面积是．16．若直线y=kx﹣1与曲线y=﹣有两个公共点，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．18．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为等腰梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）求证：PM∥平面AFC．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=2，PD⊥平面ABCD．（1）求证：AD⊥PB；（2）若三棱锥P﹣BCD的体积为，求BD与平面PBC所成角．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4．（1）若过点A（3，2）的直线与圆O相交，求直线l斜率的取值范围；（2）点B（1，1）是圆内一点，P，Q是圆上任意两点，若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．21．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰三角形，俯视图为直角梯形．求证：（1）BN⊥平面C1B1N；（2）求点A到平面CB1N的距离．22．（12分）已知圆C过B（2，0）．（1）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2=r2关于直线y=x对称，试判断圆D与圆C的位置关系；（2）若圆C过点A（0，2），圆心在圆x2+y2=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2，点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．①求圆C的方程；②求证：|AN|•|BM|为定值．2017-2018学年山西省运城市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【考点】L6：简单组合体的结构特征．【专题】31 ：数形结合．【分析】通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．【解答】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选D．2．若直线l1：y=k（x﹣6）﹣2与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，2） B．（0，4） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）【考点】IP：恒过定点的直线．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5B ：直线与圆．【分析】在直线l2恒上任意取一点A（x，y），根据题意以及直线关于某个点对称的性质，求得直线l2的方程，可得直线l2恒过定点的坐标．【解答】解：在直线l2恒上任意取一点A（x，y），则点A关于点（2，1）的对称点（4﹣x，2﹣y）在直线l1：y=k（x﹣6）﹣2上，故有2﹣y=k（4﹣x﹣6）﹣2，即kx﹣y+2k+4=0，即k（x+2）﹣y+4=0，令x+2=0，求得x=﹣2，y=4，可得直线l2恒过定点（﹣2，4），故选：C．3．设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】利用空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理对选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；故选C．4．若直线x+（1+m）y+m﹣2=0与直线2mx+4y+16=0平行，则m的值等于（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或﹣2【考点】I8：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据两条直线平行的充要条件，列出关系，分别验证选项即可．【解答】解：由题得，可知只有m=1时A正确，B中两条直线不平行；那么C、D也都不正确，符合条件，故选A．5．若直线mx+ny+3=0在x轴上的截距为﹣，且它的倾斜角是直线x﹣y=3的倾斜角的2倍，则（）A．m=，n=1 B．m=﹣，n=﹣3 C．m=，n=﹣3 D．m=﹣，n=1【考点】I2：直线的倾斜角．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5B ：直线与圆．【分析】对于直线mx+ny+3=0，令y=0求出x的值，即为直线在x轴上的截距，根据截距为﹣求出m的值，再由已知直线的斜率求出倾斜角，确定出所求直线的倾斜角，求出所求直线的斜率，即可求出n的值．【解答】解：对于直线mx+ny+3=0，令y=0，得到x=﹣，即=﹣，解得：m=∵x﹣y=3斜率为，则其倾斜角为60°，∴直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°，即斜率为﹣，∴﹣=﹣，即n=1，故选，A．6．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC中∠ABC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】LB：平面图形的直观图．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】根据斜二侧画法还原直线△ABC在直角坐标系的图形，进而分析出△ABC的形状，可得结论．【解答】解：根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2，AO=2A′O′=．故原△ABC是一个等边三角形．故选C．7．若圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．（6，+∞）C．（﹣∞，4）D．[4，6]【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5B ：直线与圆．【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|1﹣r|＞1，解此不等式求得半径r的取值范围．【解答】解：圆心（3，5）到直线4x+3y﹣2=0的距离等于=5，由|1﹣r|＞5得r＞6，故选：B．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BFB．A1C⊥平面AEFC．异面直线AE，BF所成的角为定值D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】在A中，由AC⊥平面B1D1DB，得AC⊥BF；在B中，推导出A1C⊥B1D1，A1C⊥AD1，从而A1C⊥平面AEF；在C中，设异面直线AE，BF所成的角所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，当F与B1重合时tanα=，从而异面直线AE、BF所成的角不是定值；在D中，△BEF的面积为定值，AO为棱锥A﹣BEF的高，从而三棱锥A﹣BEF的体积为定值．【解答】解：在A中，∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，∵BF⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BF，故A正确；在B中，∵平正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，A1C1∩CC1=C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，∴A1C⊥B1D1，同理，A1C⊥AD1，又AD1∩B1D1=D1，∴A1C⊥平面AEF，故B正确；利用图形设异面直线AE，BF所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故C错误；在D中，∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故D正确．故选：C．9．一个几何体的三视图如图，其俯视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．（4+π）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，且半圆锥的底面半径为1，根据俯视图与侧视图的形状可得侧视图等边三角形的边长，由此可得棱锥与圆锥的高，把数据代入锥体的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，且半圆锥的底面半径为1，由俯视图知底面是半圆和正方形，又正方形的边长为2，∴侧视图等边三角形的边长为2，∴半圆锥与四棱锥的高都为，∴几何体的体积V=××π×12×+×22×=．故选：B10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．16πB．4πC．36πD．64π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】35 ：转化思想；5U ：球．【分析】由题意∠AOB=90°，A，B是球O的球面上两点，可得0A=0B=R，那么△AOB是直角三角形，其面积为，只需三棱锥O﹣ABC的高最大值可得三棱锥O﹣ABC体积的最大值，所以三棱锥O﹣ABC的高最大值为R，体积的最大为=，即可求解球O的表面积．【解答】解：由题意∠AOB=90°，A，B是球O的球面上两点，可得0A=0B=R，可得：△AOB是直角三角形，其面积为，只需三棱锥O﹣ABC的高最大值可得三棱锥O﹣ABC体积的最大值，所以三棱锥O﹣ABC的高最大值为R，体积的最大为=，解得：R=2．球O的表面积S=4πR2=16π．故选：A11．已知直线l：x﹣y=1与圆P：x2+y2﹣2x+2y+1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆P上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为（）A．2B．2 C．D．2【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】11 ：计算题；39 ：运动思想；44 ：数形结合法；5B ：直线与圆．【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，画出图形，由图可知，当BD 为圆的直径，且BD⊥AC时，四边形ABCD面积最大，由此求得答案．【解答】解：圆P：x2+y2﹣2x+2y+1=0化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=1，如图，要使四边形ABCD面积取得最大值，则BD为圆的直径，且BD⊥AC，由题意可知：|AC|=，∴四边形ABCD面积的最大值为．故选：C．12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，则AP+D1P的最小值为（）A．4 B．+C．8+4D．2【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D1′，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′，AP+D1P的最小值为AD1′．【解答】解：如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D1′，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′，则AP+D1P的最小值为：AD1′==2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点A（2，﹣1，﹣3），则点A关于x轴对称点为（2，1，3）．【考点】JH：空间中的点的坐标．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4O：定义法；5H ：空间向量及应用．【分析】点A（a，b，c），则点A关于x轴对称点为（a，﹣b，﹣c）．【解答】解：∵点A（2，﹣1，﹣3），∴点A关于x轴对称点为（2，1，3）．故答案为：（2，1，3）．14．设P是直线y=2x﹣4上的一个动点，过点P作圆x2+y2=2的一条切线，切点为Q，则当|PQ|取最小值时点P的坐标为（，﹣）．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5B ：直线与圆．【分析】设直线y=2x﹣4为直线l，过圆心O作OP⊥直线l，此时|PQ|取最小值，由直线OP：y=﹣x，与直线y=2x﹣4联立，可得P的坐标．【解答】解：设直线y=2x﹣4为直线l，过圆心O作OP⊥直线l，此时|PQ|取最小值，由直线OP：y=﹣x，与直线y=2x﹣4联立，可得P（，﹣），故答案为：（，﹣）．15．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．则侧视图的面积是6．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得正三棱锥V﹣ABC的，侧棱长为4，底面棱长为2，进而可得该三棱锥的直观图，求出侧视图的底边边长和高，代入三角形面积公式，可得答案．【解答】解：该三棱锥的直观图，如图所示．根据三视图间的关系可得BC=2，∴侧视图中VA=2，=×2×2=6．∴S△VBC故答案为：6．16．若直线y=kx﹣1与曲线y=﹣有两个公共点，则k的取值范围是（0，] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5B ：直线与圆．【分析】根据题意得：y=kx﹣1为恒过定点（0，﹣1）的直线，曲线表示圆心为（2，0），半径为1的下半圆，由此利用数形结合思想能求出k的取值范围．【解答】解：根据题意得：y=kx﹣1为恒过定点（0，﹣1）的直线，曲线表示圆心为（2，0），半径为1的下半圆，如图所示，当直线与圆D相切时，有=1，解得：k=0或k=（不合题意，舍去）；把C（3，0）代入y=kx﹣1，得k=，∴k的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5B ：直线与圆．【分析】（1）求出P的坐标，求出l的斜率，代入点斜式方程整理即可；（2）通过讨论得到直线l的斜率存在，由距离相等得到关于斜率k的方程，解出k的值，求出直线方程即可．【解答】解：（1）由，解得P（2，1），由于l与x+3y﹣1=0垂直，则l的斜率为3，代入直线的点斜式方程得：y﹣1=3（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0；（2）由（1）知直线l过P（2，1），若直线l的斜率不存在，即x=2，此时，A，B的直线l的距离不相等，故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，由题意得=，解得：k=﹣1或k=﹣，故所求直线方程是：x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0．18．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为等腰梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）求证：PM∥平面AFC．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过证明CB⊥AB，推出CB⊥平面ABEF，得到CB⊥AF，利用余弦定理推出BF⊥AF，然后证明AF⊥平面CBF．（2）取BF的中点Q，连接PO，PQ，OQ，说明PO∥AC，证明PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，推出平面POQ∥平面AFC，即可证明PM∥平面AFC．【解答】证明：（1）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF，…．（1分）又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，…．（2分）因为AB=2AF，∠BAF=60°，设AF=a，由余弦定理得BF==，所以AB2=AF2+BF2，即BF⊥AF，…（4分）又CB∩BF=B，所以AF⊥平面CBF．…．（2）取BF的中点Q，连接PO，PQ，OQ，…（7分）因为P，O，Q分别是CB，AB，BF的中点，所以PO∥AC，PO⊄平面AFC，…（8分）从而PO∥平面AFC，同理PQ∥平面AFC，…（9分）又PO∩PQ=P，所以平面POQ∥平面AFC，…（10分）因为M为底面△OBF的重心，所以M∈OQ，从而PM⊂平面POQ．…（11分）所以PM∥平面AFC．…（12分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=2，PD⊥平面ABCD．（1）求证：AD⊥PB；（2）若三棱锥P﹣BCD的体积为，求BD与平面PBC所成角．【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】（1）由余弦定理得BD2=3，从而AB2=AD2+BD2，进而AD⊥BD，由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD，由此能证明AD⊥平面PBD，从而AD⊥PB；（2）过D作DE⊥PB，垂足为E，推导出BC⊥平面PBD，从而DE⊥平面PBC，BD与平面PBC所成角为∠DBE，由=，由此能求出∠DBP 即可．【解答】证明：（1）在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD=2，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠DAB=3，∴AB2=AD2+BD2，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．解：（2）过D作DE⊥PB，垂足为E，∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴由（1）得AD⊥平面PBD，∴BC⊥平面PBD，∴平面PBC⊥平面PBD，∴DE⊥平面PBC，∴BD与平面PBC所成角为∠DBE，∵=．∴PD=1，又BD=，PD⊥BD，∴∠DBP=30°∴BD与平面PBC所成角为300．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4．（1）若过点A（3，2）的直线与圆O相交，求直线l斜率的取值范围；（2）点B（1，1）是圆内一点，P，Q是圆上任意两点，若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5B ：直线与圆．【分析】（1）设出直线方程，根据点到直线的距离，点到关于k的不等式，解出即可；（2）设出线段PQ的中点，根据垂直关系点到关于x的方程，整理即可．【解答】解：（1）由题意得直线l的斜率存在，设其方程为：y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，圆心O到直线l的距离为：d=，因为直线l和圆相交，故d=＜2，解得：0＜k＜；（2）设线段PQ的中点为M（x，y），在直角三角形PBQ中，|PM|=|BM|，∵O是坐标原点，连接OM，则OM⊥PQ，∴|OP|2=|OM|2+|PM|2=|OM|2+|BM|2，∴x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，∴点M的轨迹方程为：x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．21．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰三角形，俯视图为直角梯形．求证：（1）BN⊥平面C1B1N；（2）求点A到平面CB1N的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LW：直线与平面垂直的判定．【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】（1）由该几何体的三视图知AB⊥BC，AB⊥BB1，BC⊥BB1，推导出BC⊥平面ANBB1，B1C1⊥BN，BN⊥B1N，由此能证明BN⊥平面C1B1N．（2）设点A到平面CB1N的距离为h，由，能求出点A到平面CB1N的距离．【解答】证明：（1）由该几何体的三视图知AB⊥BC，AB⊥BB1，BC⊥BB1，由三视图的数据可知：AB=BC=4，BB1=CC1=8，AN=4，∵AB⊥BC，BC⊥BB1，∴BC⊥平面ANBB1，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ANBB1，∴B1C1⊥BN，在直角梯形BB1AN中，过N作NE∥AB，交BB1于E，则B1E=BB1﹣AN=4，∴是等腰直角三角形，∴∠B1NE=45°，又AB=4，AN=4，∴∠ANB=45°，∴∠BNB1=90°，∴BN⊥B1N，∵B1N∩B1C1=B1，∴BN⊥平面C1B1N．解：（2）∵CN==4，NB1==4，∴CB1==4，∴=CB12，∴CN⊥NB1，设点A到平面CB1N的距离为h，∵，∴•CB，解得h=．∴点A到平面CB1N的距离．22．（12分）已知圆C过B（2，0）．（1）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2=r2关于直线y=x对称，试判断圆D与圆C的位置关系；（2）若圆C过点A（0，2），圆心在圆x2+y2=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2，点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．①求圆C的方程；②求证：|AN|•|BM|为定值．【考点】JF：圆方程的综合应用．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；48 ：分析法；5B ：直线与圆．【分析】（1）求得D关于直线y=x的对称点，可得圆C的方程，代入（2，0），可得半径r，求得CD的距离，即可得到两圆的位置关系；（2）①可设圆心C（a，a），半径为r，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a的值，结合C在圆x2+y2=2的内部，可得a，进而得到所求圆C的方程；②讨论当直线PA的斜率不存在时，求得M，N的坐标，计算|AN|•|BM|；当直线PA，PB的斜率存在时，设P（x0，y0），求得直线PA，PB的方程，求得M，N的坐标，计算|AN|•|BM|为定值．【解答】解：（1）由D（1，0）关于直线y=x对称的点为（0，1），设圆C的方程为x2+（y﹣1）2=r2，（r＞0），由B（2，0）在圆C上，可得4+1=r2，解得r=，即圆C：x2+（y﹣1）2=5，圆D：（x﹣1）2+y2=5，可得|CD|=＜2，则圆D与圆C相交；（2）①由题设可得，圆心C在线段AB的中垂线y=x上，可设圆心C（a，a），半径为r，由直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2，且r=，由圆心C到直线3x+4y+5=0的距离为d===，解得a=0或a=170，圆心在圆x2+y2=2的内部，可得a2+a2＜2，即﹣1＜a＜1，则a=0，圆C的方程为x2+y2=4；②证明：当直线PA的斜率不存在时，可得N（0，﹣2），M（0，0），即有|AN|•|BM|=4×2=8；当直线PA，PB的斜率存在时，设P（x0，y0），直线PA：y=x+2，令y=0，可得M（，0），直线PB：y=（x﹣2），令x=0，可得N（0，），则|AN|•|BM|=（2﹣）×（2﹣）=4+4×=8．则|AN|•|BM|为定值．。
山西省康杰中学20172018学年高二数学下学期期中试题理
康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试高二数学（理）试题2018.4 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 33i+ ） A.134 B.134+ C.132+ D.132- 2. 设()ln ,f x x x =若0()2f x '=，则0x ＝（ ） A. 2eB. eC.ln 22D. ln 23. 用反证法证明命题：“若,,,,1,1a b c d R a b c d ∈+=+=，且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”的假设为（ ） A. ,,,a b c d 中至少有一个正数 B. ,,,a b c d 全都为正数 C. ,,,a b c d 全都为非负数D. ,,,a b c d 中至多有一个负数4. 已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则a ＝（ ） A. －9B. －2C. 4D. 25. 函数x xy e=在[0，2]上的最大值是（ ） A.1eB.22eC. 0 2e6. 观察243()2,()4,(cos )sin x x x x x x '''===-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -＝（ ）A. ()f xB. －()f xC. ()g xD. －()g x7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（ ） A. 18B. 24C. 30D. 368. 直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） A.43B. 2C.83D.239. 若函数2()(0)xf x a x a=>+在[1,)+∞上的最大值为33，则a ＝（ ） 31B.34C.433110. 若数列{}n a 是等差数列，12...nn a a a b n+++=，则数列{}n b 也为等差数列，类比这一性质可知，若{}n c 是正项等比数列，且{}n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为（ ） A. 12...nn c c c d n+++=B. 12....nn c c c d n=C. 12...n n nnn c c c d n+++=D. 12....n n d c c c =11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（ ） A. 3965B. 3966C. 3968D. 398912.若函数211()ln ()2f x x x m x m=+-+在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则m 的取值范围（ ） A. 1(0,][4,)4+∞B. 1(0,][2,)2+∞ C. 1(0,)(2,)2+∞D. 1(0,)(4,)4+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 复数(12)(3)z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 .14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .15. 设点P 、Q 分别是曲线xy xe -=和直线3y x =+上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 .16. 有*(2,)n n n N ≥∈粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为n S .例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2)nn→(1,1,1,1)，此时4S ＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现4S 为定值，请你研究n S 的规律，归纳n S ＝ .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围． （2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．18.（本小题满分12分）已知曲线C ：123223+--=x x x y ，点)0,21(P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.19.（本小题满分12分）已知330,0,2a b a b >>+=.证明： （1）()()554a b a b++≥；（2）2a b +≤. 20.（本小题满分12分）已知函数22()ln ,()f x x m x h x x x a =-=-+，（1）当0a =时，()()f x h x ≥在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； （2）当m ＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）是否存在常数,,a b c ，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数())(,R x xe x f x∈=-（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；（3）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>.高二理科数学答案1-12 BBCDA DCCAD AB 13、5 14、112 15、223 16、2)1(-n n 17.解：(1)设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，................4分还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. ...................7分(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i1＋a 2＋b 2＝－ba ＋1i.因为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数． ...........10分 18.解：设切点),(000y x P ，则266020--='x x y 切线l ：))(266(]1232[00200203x x x x x x x y ---=+---过P （0,21）∴ ]21[]266[]1232[002002030x x x x x x -⋅--=+---即)364(2=+-xxx∴1,0==yx即 A（0，1）故)0(21:--=-xyl切即12=-+yx∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+--=22321123223yxxyxxxyB（2,23-）∴3227)23(3223=-⎰=dxxxS19.证明.++=+++556556(1)()()a b a b a ab a b b=+-++3323344()2()a b a b ab a b=+-2224()ab a b≥4. .......6分（2）因为+=+++33223()33a b a a b ab b=++23()ab a b+≤++23()2(a b)4a b...........12分20.【解】 (1)由f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立， 得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1ln x2，故g ′(e)＝0，当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e. .......6分(2)由已知可知k (x )＝x －2ln x －a ，函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点，φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，故φ′(2)＝0，所以当x ∈[1,2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )单调递减， 当x ∈(2,3]时，φ′(x )>0，所以φ(x )单调递增． 所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2， 且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0， 所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]． .......12分 21.解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立． 令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数n都成立．（1）当1n =时，由以上可知等式成立；（2）假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-，则当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·． 由（1）（2）知，等式对于一切正整数n 都成立．22.（Ⅰ）解：/f ()(1)x x x e -=-令/f (x)=0,解得x=1当x 变化时，/f (x)，f(x)的变化情况如下表 X(,1-∞) 1 (1,+∞) /f (x)+ 0 - f(x)极大值所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。
山西省康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
康杰中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数12z i =+，那么1z等于 （ ）A.+B.C.1255i + D.1255i - 2. 下面说法正确的有（ ）①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知函数()y f x =的图像如图所示，设函数()y f x =从-1到1的平均变化率为1v ，从1到2的平均变化率为2v ，则1v 与2v 的大小关系为（ ）A. 12v v >B. 12v v =C. 12v v <D. 不确定4. 已知*111()()122f n n N n n n =++⋅⋅⋅+∈++,则(1)f n +=（ ） A. 1111221n n n ++⋅⋅⋅++++ B. 1111222n n n ++⋅⋅⋅++++ C. 1112321n n n ++⋅⋅⋅++++ D.1112322n n n ++⋅⋅⋅++++ 5. 已知函数()()cos sin 4f x f x x π'=+，则()4f π的值为（ ）A.1B. 1C.D.6. 函数2()2(,)f x x x m x m R =++∈的最小值为-1，则21()f x dx ⎰等于（ ）A.2B.163C. 6D. 77. 满足等式220z i z i --+=的复数z 对应的点所表示的图形是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 直线D.线段8. 已知0,0a b >>且2a b +>, 则11,b aa b++（ ） A. 两个都大于2 B. 两个都小于2 C. 至少有一个小于2D. 至多有一个小于29.已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A. 1B.C. 2D. 310. 设a R ∈，若函数3,()ax y e x x R =+∈有大于零的极值点，则（ ） A. 3a >-B. 3a <-C. 13a >-D. 13a <-11. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 如111111111,,,1222363412=+=+=+⋅⋅⋅，则第10行第3个数（从左往右数）为（ ） 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15....A. 1360B.1490C.1504D.184012. ()f x 是定义在R 上可导函数，且()()f x f x '>，则对任意正实数a ，下列成立的是（ ）A. (0)()af f a e <B. (0)()af f a e >C. ()(0)af a e f <D. ()(0)af a e f >二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知复数1z ai =+（,a R i ∈是虚数单位），3455z i z =-+，则a ＝ .14.10)x dx =⎰.15. 在ABC ∆中，AB AC ⊥，AD BC ⊥于D ，则222111AD AB AC=+，类比上述结论，在四面体ABCD 中，若,,AB AC AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则21AE＝ .16. 若函数321()(3)32a f x x x a xb =-+-+有六个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17. （本小题满分10分）已知a >0, 12a a+-.18. （本小题满分12分）求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积.19. （本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求,a b 的值及函数()f x 的单调区间;（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.20. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都有：2(1)n n n S a S -=.（1）求123,,;S S S（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明.21. （本小题满分12分）已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.22. （本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点(,())e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3. （1）求实数a 的值； （2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求整数k 的最大值.：王晋宏审题人：侯彦宁高二数学（理）答案一、1.D 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.C 8.C 9.C 10.B 11.A 12.D 二、13. -2 14.24π- 15.222111AB AC AD ++ 16.（2，3）三、17. 12a a ≥+-12a a≥++2分）因为0a > ，故只要证2212)(a a≥++，即22221114)2)2,a a a a a a++≥+++++…………（6分）从而只要证：1),a a≥+只要证2222114()2(2)a a a a +≥++， 即2212a a +≥，而上述不等式显然成立.…………（10分） 18.由方程组224y xy x⎧=⎨=-⎩，解得抛物线与直线的交点为（2，2）及（8，－4）取x 为积分变量，由图可得12S A A =+210(A dx =⎰13222200216|33x dx x ===…………（5分）38282222138[4((4)|233A x dx x x x =--=-+=⎰……（10分） 所以16381833S =+= ……（12分） 19.解（1）32()f x x ax bx c =+++ 2()32f x x a x b '=++ 由2()03f '-=，且(1)0f '=，得1,22a b =-=-……（2分） 2()32(32)(1)f x x x x x '=--=+-，()f x 单调区间如下：所以函数()f x 递增区间为(,)3-∞-和(1,)+∞，递减区间为(,1)3-……（6分） （2）321()2,[1,2],2f x x x x c x =--+∈-当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2()([1,2])f x c x <∈-恒成立，只须2(2)2c f c >=+ 得1c <-或2c >…………（12分） 20. 解（1）由2211(1)S S -= ，得112S =； 由21212(1)()S S S S -=-，得223S =； 由23323(1)()S S S S -=-，得334S =；………………（4分）（2）猜想：1n nS n =+.证明：①当1n =时，显然成立；②假设当n k =（1k ≥，且*k N ∈）时，1k kS k =+成立. ………………（6分） 则当1n k =+时，由2111(1)k k k S a S +++-=，得11112221k k k S k S k k ++===-+-+. 从而1n k =+时，猜想也成立.综合①②得结论成立. …………………………（12分）21.（4分）（5分）22.解：（1）因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++.……（1分） 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点(,())e f e 处的切线斜率为3， 所以()3f e '=，即ln 13a e ++=，所以1a =.…………（4分） （2）由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-等对任意1x >恒成立， 即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立.令()g x ＝ln 1x x x x +-，则()g x '＝2ln 2(1)x x x --- 令()ln 2(1)h x x x x =-->，11()10x h x x x-'=-=>. 所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增.…………（7分） 因为(3)1ln30,(4)22ln 20h h =-<=->，所以函数()h x ＝0在(1,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足0(3,4)x ∈. 当01x x <<时，()0h x <，即()g x '<0；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>.…………（9分） 所以函数()g x ＝ln 1x x xx +-在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增.00min 00(1ln )[()]()1x x g x g x x +==-＝0000(12)(3,4)1x x x x +-=∈-所以min 0[()](3,4)k g x x <=∈，故整数k 的最大值是3. ……（12分）。
2017-2018学年山西省运城市高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷
2017-2018学年山西省运城市高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z=3−i1+i(i为虚数单位)的共轭复数等于()A. 1+2iB. 1−2iC. 1+3iD. −1−3i【答案】A【解析】解：∵z=3−i1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−4i2=1−2i，∴z的共轭复数z=1+2i，故选：A．根据复数的运算法则将复数进行化简，然后根据共轭复数的概念，即可得到结论．本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数的概念，比较基础．2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0，所以，x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中()A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】解：∵大前提是：“对于可导函数f(x)，如果，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f(x)的极值点，∴大前提错误，故选：A．在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A. 2B. 4C. 2D. 4【答案】D【解析】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫ 02(4x−x3)dx，而∫ 02(4x−x3)dx=(2x2−14x4)| 02=8−4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．4.“a=1”是“复数z=(a2−1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵a2−1+2(a+1)i为纯虚数，则a2−1=0，a+1≠0，∴a=1，反之也成立．∴“a=1”是“复数z=(a2−1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件，故选：A．利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数f(x)=e x cos x在点(0,f(0))处的切线斜率为()A. 0B. −1C. 1D. 22【答案】C【解析】解：∵f′(x)=e x cos x−e x sin x，∴f′(0)=e0(cos0−sin0)=1，∴函数图象在点(0,f(0))处的切线的斜率为1．故选：C．先求函数f(x)=e x cos x的导数，因为函数图象在点(0,f(0))处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率．本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于综合题．6.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A. (13,+∞) B. (−∞,13] C. [13,+∞) D. (−∞,13)【答案】C【解析】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4−12m≤0，∴m≥13．故选：C．对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系.即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．7.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？()A. 正三角形的顶点B. 正三角形的中心C. 正三角形各边的中点D. 无法确定【答案】B【解析】解：由平面中关于正三角形的内切圆的性质：“正三角形的内切圆切于三边的中点”，根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质，我们可以推断在空间几何中有：“正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心”故选：B．由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质.故我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形的内切圆切于三边的中点”，推断出一个空间几何中一个关于内切球的性质．本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．8.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选：D．本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．考查函数的单调性问题．9.函数y=−x3+2ax+a在(−1,0)内有极小值，则实数a的取值范围为()) B. (0,3) C. (−∞,3) D. (0,+∞)A. (0,32【答案】A【解析】解：对于函数y=−x3+2ax+a求导可得y′=−3x2+2a，∵函数y=−x3+2ax+a在(−1,0)内有极小值，∴y′=−3x2+2a=0，则有一根在(−1,0)内，a>0时，两根为±6a，3<0若有一根在(−1,0)内，则−1<−6a3即0<a<3．2a=0时，两根相等，均为0，f(x)在(−1,0)内无极小值．a<0时，无实根，f(x)在(−1,0)内无极小值，综合可得，0<a<3，2故选：A．由函数y=−x3+2ax+a在(−1,0)内有极小值，求导可得，导函数在(−1,0)内至少有一个实数根，分a>0、a=0、a<0三种情况，求得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．10.若函数f(x)=ln x+ax2−2在区间(12,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−2]B. (−18,+∞) C. (−2,−18) D. (−2,+∞)【答案】D【解析】解：f′(x)=1x+2ax，若f(x)在区间(12,2)内存在单调递增区间，则f′(x)>0在x∈(12,2)有解，故a>(−12x)min，而g(x)=−12x 在(12,2)递增，g(x)>g(12)=−2，故a>−2，故选：D．求出函数的导数，问题转化为a>(−12x2)min，而g(x)=−12x2在(12,2)递增，求出g(x)的最小值，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．11.已知函数f(x)=ax3−3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A. (2,+∞)B. (−∞,−2)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)【答案】B【解析】解：(i)当a=0时，f(x)=−3x2+1，令f(x)=0，解得x=±33，函数f(x)有两个零点，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)=3ax2−6x=3ax(x−2a)，令f′(x)=0，解得x=0或2a．①当a<0时，2a <0，当x<2a或x>0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当2a<x<0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．∴2a是函数f(x)的极小值点，0是函数f(x)的极大值点．∵函数f(x)=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0，且x0>0，则：2a<0f(2a)>0；即：a<04a<1，可得a<−2．②当a>0时，2a >0，当x>2a或x<0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；当0<x<2a时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．∴2a是函数f(x)的极小值点，0是函数f(x)的极大值点．不满足函数f(x)=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0，且x0>0，综上可得：实数a的取值范围是(−∞,−2)．故选：B．(i)当a=0时，f(x)=−3x2+1，令f(x)=0，解得x=±33，两个解，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)=3ax2−6x=3ax(x−2a )，令f′(x)=0，解得x=0或2a.对a分类讨论：①当a<0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a>0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为，且2f(x)'/>，则()A. 6f(e)>2f(e3)>3f(e2)B. 6f(e)<3f(e2)<2f(e3)C. 6f(e)>3f(e2)>2f(e3)D. 6f(e)<2f(e3)<3f(e2)【答案】B【解析】解：令g(x)=f(x)ln x2，则g′(x)=f′(x)⋅(x ln x2)−2f(x)x(ln x2)2>0，故g(x)在(0,+∞)递增，故g(e)<g(e2)<g(e3)，故6f(e)<3f(e2)<2f(e3)，故选：B．令g(x)=f(x)ln x，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数值的大小比较，构造新函数g(x)是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用数学归纳法证明1+a+a2+⋯+a n+1=1−a n+21−a(a≠1)，在验证n=1时，左端计算所得的项为______．【答案】1+a+a2【解析】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+⋯+a n+1=1−a n+21−a(a≠1)”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a2首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a2+⋯+a n+1=1−a n+21−a(a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项.把n=1代入等式左边即可得到答案．此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题．14.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程是________．【答案】2x+y+1=0【解析】解：f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，f′(x)=1x−3，可得f(1)=ln1−3=−3，f′(1)=1−3=−2，则曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程为y−(−3)=−2(x−1)，即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．由偶函数的定义，可得f(−x)=f(x)，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．15.曲线y=ln x上的点到直线2x−y+3=0的最短距离是______．【答案】5【解析】解：因为直线2x−y+3=0的斜率为2，所以令y′=1x =2，解得：x=12，把x=12代入曲线方程得：y=−ln2，即曲线上过(12,−ln2)的切线斜率为2，则(12,−ln2)到直线2x−y+3=0的距离d=22=5，即曲线y=ln x上的点到直线2x−y+3=0的最短距离是5．故答案为：5直线2x−y+3=0在曲线y=ln x上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x−y+3=0的距离即为所求的最短距离.由直线2x−y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键.同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用．16.设，是f(x)的导函数，则【答案】−1【解析】解：，，令x=π3，可得：，解得，则．故答案为：−1．，可得，令x=π3，可得：，进而得出本题考查了等导数的运算法则、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)设复数z和它的共轭复数z满足：4z+2z=33+i，求复数z；(2)设复数z满足：|z+2|+|z−2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．【答案】解：(1)设z=x+yi(x,y∈R)，则4z+2z=6x+2yi，由4z+2z=33+i可得：6x+2yi=33+i，所以x=32,y=12，∴z=32+12i；(2)设复数z=x+yi(x,y∈R)，由|z+2|+|z−2|=8得：(x+2)2+y2+(x−2)2+y2=8(8>4)，其轨迹是椭圆，此时2a=8，a=4，2c=4，c=2，b2=12，所求的轨迹方程为：x216+y212=1．【解析】(1)设复数z，通过4z+2z=33+i，结合复数相等的充要条件列出方程，即可求复数z；(2)设复数z，通过|z+2|+|z−2|=8，列出方程，利用椭圆的定义，转化求解复数z 对应的点的轨迹方程．本题考查复数的相等，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．18.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[−1,0]上的最大值和最小值．【答案】解：f(x)的定义域为(−32,+∞)，(1)求导函数可得：f′(x)=22x+3+2x=2(2x+1)(x+1)2x+3当−32<x<−1时，0'/>，当−1<x<−12时，，当x>−12时，0'/>，从而f(x)在(−32,−1)和(−12,+∞)单调递增，在(−1,−12)单调递减；(2)由(1)知，f(x)在区间[−1,0]的最小值为f(−12)=ln2+14又f(−1)=1，f(0)=ln3>1，∴最大值为f(0)=ln3．【解析】(1)确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间；(2)由(1)知f(x)在区间[−1,0]的最小值为f(−12)，比较端点的函数值，可得函数的最大值．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．19.观察下列方程，并回答问题：①x2−1=0；②x2+x−2=0；③x2+2x−3=0；④x2+3x−4=0；…．(1)请你根据这列方程的特点写出第n个方程；(2)直接写出第2009个方程的根；(3)说出这列方程的根的一个共同特点．【答案】解：(1)由已知中的方程：①x2−1=0；②x2+x−2=0；③x2+2x−3=0；④x2+3x−4=0；…．归纳可得，第n个方程为：x2+(n−1)x−n=0，(2)第2009个方程为：x2+2008x−2009=0，此方程可化为：(x+2009)(x−1)=0，故第2009个方程的根为：1，−2009，(3)这列方程的根共有两个，一个是1，一个是−n．【解析】(1)由已知中的方程：①x2−1=0；②x2+x−2=0；③x2+2x−3=0；④x2+3x−4=0；….分析出方程左边多项式项及系数的变化规律，可得答案；(2)将所得的第2009个方程左边进行因式分析，可得第2009个方程的根；(3)根据已知中的方程：①x2−1=0；②x2+x−2=0；③x2+2x−3=0；④x2+3x−4=0；…根的特点，可得答案归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．20.已知函数f(x)=−x2+ax−ln x(a∈R)(1)当a=3时，求函数f(x)在[12,2]上的最大值和最小值；(2)函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)当a=3时，f(x)=−x2+3x−ln x的导数为f′(x)=−2x+3−1x =−2x2−3x+1x=−(2x−1)(x−1)x，函数f(x)在区间(12,2)仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[12,2]的最大值是f(1)=2，又f(2)−f(12)=(2−ln2)−(54+ln2)=34−2ln2<0，故f(2)<f(12)，故函数f(x)在[12,2]上的最小值为f(2)=2−ln2；(2)f(x)的导数为f′(x)=−2x+a−1x =−2x2−ax+1x，若f(x)既有极大值又有极小值，则必须f′(x)=0有两个不同正根x1，x2，即2x2−ax+1=0有两个不同正根，故a应满足△>0a2>0⇒a>0a2−8>0⇒a>22．可得函数f(x)既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是a>22．【解析】(1)求得a=3的f(x)的解析式和导数，以及极值点，极值和端点处函数值，比较可得f(x)的最值；(2)由题意可得f′(x)=0有两个不同正根x1，x2，即2x2−ax+1=0有两个不同正根，运用判别式大于0和两根之和大于0，两根之积大于0，可得a的范围．本题考查导数的运用：求极值和最值，考查二次方程实根的分布，以及化简整理的运算能力，属于中档题．21.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=13x3+ax(a∈R)，且曲线f(x)在x=12处的切线与直线y=−34x−1平行．(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若函数y=f(x)−m在区间[−3,3]上有三个零点，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)当x>0时，f′(x)=x2+a，因为曲线f(x)在x=12处的切线与直线y=−34x−1平行，所以f′(12)=14+a=−34，解得a=−1，所以f(x)=13x3−x，设x<0则f(x)=−f(−x)=13x3−x，又f(0)=0，所以f(x)=13x3−x．(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(−3)=−6，f(−1)=23，f(1)=−23，f(3)=0，所以函数y=f(x)−m在区间[−3,3]上有三个零点，等价于函数f(x)在[−3,3]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f(x)在区间[−3,上大致图象可知，实数m的取值范围是(−23,0)．【解析】(Ⅰ)首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a 的值，由此求得函数f(x)的解析式；(Ⅱ)将问题转化为函数f(x)的图象与y=m有三个公共点，由此结合图象求得m的取值范围．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查数形结合的数学思想，属于中档题．22.设函数f(x)=xln x−ax．(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数，求实数a的最小值；(2)若存在x1，x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由已知得f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，∵f(x)在(1,+∞)上为减函数，∴f′(x)=−a+ln x−1(ln x)≤0在(1,+∞)上恒成立，−a≤1(ln x)2−1ln x=(1ln x−12)2−14，令g(x)=(1ln x −12)2−14，故当1ln x =12，即x=e2时，g(x)的最小值为−14，∴−a≤−14，即a≥14∴a的最小值为14．(Ⅱ)命题“若存在x1，x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立”，等价于“当x∈[e,e2]时，有f(x)mi n≤f′(x)max+a”，由(Ⅰ)知，当x∈[e,e2]时，ln x∈[1,2]，1ln x ∈[12,1]，f′(x)=−a+ln x−1(ln x)2=−(1ln x−12)2+14−a，f′(x)max+a=14，问题等价于：“当x∈[e,e2]时，有f(x)min≤14”，①当−a≤−14，即a≥14时，由(Ⅰ)，f(x)在[e,e2]上为减函数，则f(x)min=f(e2)=−ae2+e22≤14，∴−a≤14e2−12，∴a≥12−14e．②当−14<−a<0，即0<a<14时，∵x∈[e,e2]，∴ln x∈[12,1]，∵f′(x)=−a+ln x−1(ln x)，由复合函数的单调性知f′(x)在[e,e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈(e,e2)，使f′(x0)=0且满足：f(x)min=f(x0)=−ax0+x0ln x0，要使f(x)min≤14，∴−a≤14x−1ln x0<14−12=−14，与−14<−a<0矛盾，∴−14<−a<0不合题意．综上，实数a的取值范围为[12−14e,+∞)．【解析】(1)由已知得f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)=−a+ln x−1(ln x)2在(1,+∞)上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；(2)命题“若存在x1，x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立”，等价于“当x∈[e,e2]时，有f(x)min≤f′(x)max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．本题主要考查函数、导数等基本知识.考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．第11页，共11页。
(100所名校)山西省运城市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题word版含答案
山西省运城市2017-2018学年高二下学期期中考试试题数学（文）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数21z i=-+，则复数z 的虚部为( ) A. 1 B. 1- C. i - D. i2．某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错的，是因为( )A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误3．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A. 48,49B. 62,63C. 75,76D. 84,854．用反证法证明某命题时，对结论“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A. ,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数B. ,,a b c 都是奇数C. ,,a b c 中至少有两个偶数D. ,,a b c 都是偶数 5．已知,x y 的取值如下表：y 与x 线性相关，且线性回归直线方程为0.95y x a ∧=+，则a =( )A. 3.35B. 2.6C. 2.9D. 1.956．如图是选修1-2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中( )A. “①”处B. “②”处C. “③”处D. “④”处7．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：经计算2K 的观测值7.8k ≈. 参照附表，得到的正确结论是( )附表：A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 8．下列参数方程中与方程2y x =表示同一曲线的是( )A. 2{x t y t== (t 为参数) B. 2sin {x y sin θθ== (θ为参数)C. {x t y ==(t 为参数) D. 1cos2{1cos2x y tan θθθ-=+= (θ为参数) 9．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=” 类比推出“若,a b C ∈, 则0a b a b -=⇒=”； ②“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>” 类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b ->⇒>”；③“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则,a c a c b d +=+==”； ④“若,,a b c R ∈，则()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯”类比推出“若,,a b c 是非零向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅”. 其中类比结论正确的个数是( ) A. B.C. 3D. 410．已知,a b R ∈， 20191223biia i--=+，若复数z 满足()z a bi -+=z 的最大值为( )A.B.C.D. 11．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=，求证：”“索”的“因”应是( )A. 0a b ->B. 0a c ->C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<12．已知函数()2321f x x x =--+, ()g x =(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数的a 取值范围是( )A. (]0,2B. (]2,3C. []3,6D. [)4,+∞第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知i 为虚数单位，复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，且123z i =-，则2z =__________.14．若,x y a b >>，则在①a x b y ->-，②a x b y +>+，③ ax by >，④22x b y a ->-，⑤a by x>这五个不等式中， 恒成立的不等式的序号是____________.15．定义某种运算S a b =⊗，运算原理如流程图所示，则式子1512tan ln lg10045e π-⎛⎫⎛⎫⊗+⊗⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为______.16．已知曲线1C 的参数方程是2{x cos y sin θθ== (θ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=.若点12,M M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，则2211||||OA OB +的值为________三、解答题17．为了解心脑血管疾病是否与年龄有关，现随机抽取了50人进行调查，得到下列的列联表：试问能否在犯错的概率不超过5%的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关？ 附表：参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++18．随着经济的发展，某城市市民的收入逐年增长，该城市某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）如下表：（I ）求出y 关于x 的线性回归方程；（II ）用所求的线性方程预测到2020年底，该银行的储蓄存款额为多少？参考公式： 其中()()()1122211ˆ,n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxyb x x x nx ====---==--∑∑∑∑ ˆˆa y bx =- 19．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线21:4cos 30C ρρθ-+=，曲线2:cos 4C ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （I ）求曲线1C 及2C 的直角坐标方程；（II ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上的点的距离最大值.20．在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为{x cos y αα==（α为参数），曲线2C 的参数方程为{1x y ==+（t 为参数）. （I ）求曲线1C 和2C 的普通方程；（II ）设()0,1P ，若曲线1C 和2C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅及AB 的值. 21．已知()224f x x x =-++.（I ）求不等式()7f x <的解集；（II ）若关于x 的不等式()23f x m m ≤-有解，求实数m 的取值范围.22．已知,,a b c 均为正实数.（I ）求证：32a b c b c a c a b ++≥+++； （II ）求证：1≥.山西省运城市2017-2018学年高二下学期期中考试试题数学（文）答案1．B【解析】由题意得()()()2121111iz ii i i--===---+-+--，所以复数z的虚部为1-．选B．2．C【解析】试题分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论．解：∵大前提的形式：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选：C．点评：本题考查演绎推理，主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3．D【解析】由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D 符合条件． 故选D4．A【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定为：“,,a b c ”中“0 个、2 个、3 个偶数”即,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数，故选C. 5．B【解析】由题意得()()1101342, 2.2 4.3 4.8 6.7 4.544x y =+++==+++=， ∴样本中心为()2,4.5．又回归直线0.95y x a ∧=+过点()2,4.5， ∴4.50.952a =⨯+， 解得 2.6a =．选B ． 6．B【解析】试题分析：首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，分析法是直接证明的一种方法，从而可得结论．解：分析法是直接证明的一种方法故“分析法”，则应该放在“直接证明”的下位． 故选C ．点评：本题主要考查了结构图，解题关键是弄清分析法属于直接证明，属于基础题． 7．A【解析】由列联表中的数据可得()22110403020207.820 6.63560505060K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．选A ． 8．D【解析】选项A 中，消去方程2{x t y t== (t 为参数)中的参数可得2y x =，不合题意．选项B 中，消去方程2sin {x y sin θθ== (θ为参数)中的参数可得2x y =，但01,11x y ≤≤-≤≤，故与方程2y x =不表示同一曲线，不合题意．选项C中，消去方程{x t y ==(t 为参数)中的参数可得2y x =，但0y ≥，故与方程2y x =不表示同一曲线，不合题意．选项D 中，由于()()222112sin 1cos2tan 1cos212cos 1x θθθθθ---===++-，故消去参数后得2y x =，且,x R y R ∈∈，故与方程2y x =表示同一曲线，符合题意．综上选D ． 9．B【解析】对于①，由复数知识可得类比正确．对于②，由于当两个复数不都为实数时，不能比较大小，故类比不正确，即②不正确．对于③，由a c +=+(0a c b d -+-=，从而可得,a c b d ==，所以类比正确，即③正确．对于④，由于()a b c ⋅表示与向量a 共线的向量，而()a b c ⋅表示与c 共线的向量，所以()()a b c a b c ⋅=⋅不一定正确，即类比不成立．综上可得①③正确．选B ． 10．C【解析】∵2019450433i i i i ⨯+===-，∴2019122323biii a i--=+=+， ∴()()()12232332bi i a i a a i -=++=-++， ∴231{322a a b-=+=-，解得2{4a b ==-． ∴()()24z a bi z i -+=--=∴复数z 表示的点在以()2,4-∴z=C ．点睛：（1）在复数中，只要把(),z a bi a b R =+∈与向量OZ 对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．（2）解题中注意()()24z a bi z i -+=--=z 对应的点在以()2,4-故z 的最大值，即复数z 对应的点到原点的距离是圆心到原点的距离加上半径． 11．C【解析】试题分析：因,即,故应选C ．考点：分析法及推证格式． 12．A【解析】由题意得“对(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立”等价于“()()max max f x a g x +≤”．∵()()()232123214f x x x x x =--+=≤--+=，当且仅当()()23210x x -⋅+≥时等号成立．∴()max 4f x =．在()g x =10{ 70x x -≥-≤，解得17x ≤≤．令[]43cos ,0,x θθπ=+∈， 则()g x ==sin 6222θθθϕ⎛⎫⎛⎫=+=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（其中tan ϕ=∴()max 6g x =．由46a +≤，解得2a ≤， 又0a >，故02a <≤，∴实数的a 取值范围是(]0,2．选A ． 点睛：（1）对于求y x a x b ＝－＋－或y x a x b ＝＋－－型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y x a x b ＝－＋－的函数只有最小值，形如y x a x b ＝＋－－的函数既有最大值又有最小值．（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解． 13．23i --【解析】由题意得复数123z i =-对应的点为（2，-3），它关于原点的对称点为（-2,3），故223z i =-+，所以223z i =--．答案： 23i -- 14．②④【解析】对于①，由于同向不等式不能相减，（或举反例），故①不正确． 对于②，根据同向不等式可以相加，故②正确．对于③，由于不等式不一定都为正不等式，不能两边相乘，故③不正确．对于④，由a b >得22b a ->-，根据同向不等式的可加性知22x b y a ->-成立，即④正确．对于⑤，由于x y ，的符号不确定，故不等式不一定成立，即⑤不正确． 综上可得② ④正确． 答案：② ④15．12【解析】由题意得1512tan 2,ln 1;lg1002,545e π-⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，∴1512tan 2ln 1;lg1002545e π-⎛⎫=>==<= ⎪⎝⎭，∴()()1512tanln lg1002112511245e π-⎛⎫⎛⎫⊗+⊗=⨯++⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 答案： 12 16．54【解析】消去参数可得曲线1C 的普通方程为2244x y +=；曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=，即为22in ρρθ=，故其直角坐标方程为2220x y y +-=．由题意得,P Q 为圆2220x y y +-=直径的两个端点，故由OP OQ ⊥. 设射线OP 的极坐标方程为θα=，则射线OQ 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-，又曲线1C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=，即22413sin ρθ=+，∴22222444|,|13sin 13cos 13sin 2OA OB πααα===++⎛⎫+± ⎪⎝⎭， ∴22221113sin 13cos 5||||444OA OB αα+++=+=． 答案： 54点睛：（1）曲线的极坐标方程的常见命题角度：①求曲线的极坐标方程；②在极坐标下求点到直线的距离；③在极坐标下求线段的长度． （2）求解与极坐标有关的问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标． 17．见解析【解析】试题分析：根据列联表中的数据求得2K 的值，然后判断此值是否大于3.841即可得到结论． 试题解析： 由列联表可得()2250221288 5.556 3.84130203020K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关．18．（I ） 1.209.8ˆ24yx =-；（II ）14.2千亿元. 【解析】试题分析：（I ）由于条件中的数据较大，故可采用引入新变量的方法，将数据减小．故令2012,6t x z y =-=-，结合所给数据求得t z ，，51i i i t z =∑和521ii t=∑，然后根据参考公式求得回归方程，最后在代换为原变量即可得到y 关于x 的线性回归方程 1.209.8ˆ24y x =-．（II ）在（I ）中的回归方程中，令2020x =，可得ˆ14.2y=，即为所求的估计值． 试题解析：（I ）令2012,6t x z y =-=-得到下表55由题意知： 1234535t ++++==， 12352.25z +++==，511021324355=45i ii t z==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑，522222211234555i i t ==++++=∑， ∴4553 2.21.255ˆ59b-⨯⨯==-⨯，∴ 2.2 1.23 1.4ˆˆaz bt =-=-⨯=-， ∴z 关于t 的回归方程为 1.2.4ˆ1zt =- ∴()6 1.22012 1.ˆ4yx -=--， 整理得 1.209.8ˆ24yx =-， ∴y 关于x 的线性回归方程为 1.209.8ˆ24yx =-． （II ）当2020x =时， 1.220202409.ˆ814.2y=⨯-=， ∴ 到2020年年底，该银行的储蓄存款额可达14.2千亿元． 点睛：求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)求系数ˆb ：公式有两种形式， ()()()1122211ˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑，根据题目具体情况灵活选用；(3)求ˆa： ˆˆa y bx =-； (4)写出回归直线方程．说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求ˆb． 19．（I ）1C 的直角坐标方程为()2221x y -+=； 2C 的直角坐标方程为80x y --=；（II）1.【解析】试题分析：（I ）根据极坐标方程和代换公式可得所求的直角坐标方程．（II ）求出圆心到直线的距离，加上半径长后即可得到所求的最大距离．试题解析：（I ）把222cos x y x ρρθ=+=，代入方程24cos 30ρρθ-+=，得22430x y x +-+=，即()2221x y -+=．由cos 4ρθ=+ ⎪⎝⎭得cos sin ρθθ⎛= ⎝⎭ 即cos sin 8ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式可得80x y --=．∴1C 的直角坐标方程为()2221x y -+=，2C 的直角坐标方程为80x y --= （II ）∵点()2,0到直线80x y --=的距离d ==∴点P 到2C上点的距离最大值为1．20．（I ）曲线1C 的普通方程为2213y x +=；曲线2C 的普通方程为10x y +-=；（II）AB =. 【解析】试题分析：（I ）由参数方程消去参数可得曲线1C 和2C 的普通方程．（II ）结合（I ）中的结论，利用直线的参数方程中参数的几何意义求解即可．试题解析：（I）由{ x cos y αα== 消去参数α可得2213y x +=；由{12x y ==+消去参数t 得1x y +=，即10x y +-=．∴曲线1C 的普通方程为2213y x +=，曲线2C 的普通方程为10x y +-=．（II）将2{1x y =-=（t 为参数）代入2213y x +=整理得2220t -=，设A B 、对应参数分别为12,t t ，则12121t t t t +==-， ∴121PA PB t t ⋅==，122AB t t =-===． 点睛：（1）涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．（2）经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00{x x tcos y y tsin αα=+=+ (t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2．线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ．注意以下几个常用的结论：①1202t t t +=；②1202t t PM t +==；③21AB t t ＝－；④12·PA PB t t ＝．21．（I ）{}|3 1 x x -<<；（II ）4m ≥或1m ≤-.【解析】试题分析：（I ）根据分类讨论将不等式化为三个不等式组求解即可．（II ）画出函数()f x 的图象，由图象求得函数()f x 的最小值为4，解不等式234m m -≥可得所求范围．试题解析：（I ）不等式()7f x <即为2247x x -++<，等价于()2{2247x x x ≤---+< ①或22{ 2247x x x -<<-++< ② 或2{ 2247x x x ≥-++<③由①得32x -<≤-； 由②得21x -<<； 由③得此不等式组无解． 综上31x -<<．∴不等式()7f x <的解集为{}|3 1 x x -<<．（II ）由题意得()32,2{6,22 32,2x x f x x x x x --≤-=+-<<+≥，画出函数()f x 的图象如图所示：其中()2,4M -， ()2,8N由图象可得函数()f x 的最小值为4．由题意知234m m -≥，即2340m m --≥ ，解得4m ≥或1m ≤-．∴实数m 的取值范围为][(),14,-∞-⋃+∞． 22．（I ）见解析；（II ）见解析.【解析】试题分析：（I ）将分式通分后，在分子中运用基本不等式后可得不等式a b a b b c a c a c b c +>+++++， b c b c a c a b a b a c +≥+++++， c a a c a b b c a b b c+≥+++++，然后求和后利用基本不等式可得结论成立．（II ）在所给不等式的每个分母中利用基本不等式进行化简，然后再利用基本不等式求解．试题解析： （I ）()()()()()()()()222a b c b a c a b a b ac bc ab ac bc a bb c a c b c a c b c a c b c a c a c b c +++++++++=≥==+++++++++++， ∴a b a bb c a c a c b c+≥+++++． 同理b c b c a c a b a b a c +≥+++++② c a a c a b b c a b b c+≥+++++③ 由①+②+③得： 23a b c a c b c a b b c a c a b a c b c a b+++⎛⎫++≥++=⎪++++++⎝⎭， 当且仅当a b c ==时各个等号同时成立． ∴32a b c b c a c a b ++≥+++． （II222a b c b c a c a b b c a c a b ≥+++++++++++23a b c b c a c a b ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭23≥2231332≥⋅=⋅=， 当且仅当a b c ==时各个等号同时成立．1≥．。
2017-2018年山西省运城市高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年山西省运城市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）已知点A（2，﹣1，﹣3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为（）A．2B．6 C． D．43．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β4．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（）A．4 B．6 C．2+2D．85．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4x=0的公切线条数（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．（5分）如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A．4 B．4 C．4 D．87．（5分）若圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．（6，+∞）C．（﹣∞，4）D．[4，6]8．（5分）已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是（）A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣10．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．11．（5分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8πB．6πC．11πD．5π12．（5分）曲线y﹣1=（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2x+4有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（）A．（，]B．（，+∞） C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a=．14．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论正确的是（填上所有你认为正确的结论的序号）．①AC⊥BF②直线AE，BF所成角为定值③EF∥平面ABC④三棱锥A﹣BEF的体积为定值．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k （x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M是OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求点M到平面OCD的距离．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E是CC1上的中点，且BC=1，BB1=2．（Ⅰ）证明：B1E⊥平面ABE（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEA1的体积是，求异面直线AB和A1C1所成角的大小．20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．21．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：平面CNB⊥平面CNB1；（2）求直线BB1与平面CNB1所成角的正弦值．22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．2017-2018学年山西省运城市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：将已知直线化为y=，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为150°，故选：D．2．（5分）已知点A（2，﹣1，﹣3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为（）A．2B．6 C． D．4【解答】解：∵点A（2，﹣1，﹣3），点A关于x轴的对称点为B，∴B（2，1，3），∴|AB|==2．故选：A．3．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；故选：C．4．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（）A．4 B．6 C．2+2D．8【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，∵O′A′=1，∴原图形中OA=O′A′=1，对角线O′B′=，则原图形中OB=2O′B′=2，且△OBC为直角三角形，则OC==3，则原图形的周长是2（3+1）=8，故选：D．5．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4x=0的公切线条数（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0的圆心（1，0）半径为1；圆O2：x2+y2﹣4x=0的圆心（2，0），半径为2，O1O2=1=2﹣1，∴两个圆内切，所以圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4x=0的公切线条数：1．故选：A．6．（5分）如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（ ）A ．4B ．4C ．4D ．8【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然S △PCD ＞S △ABC ．由三视图特征可知PA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AB=AC=4，DB=2， ∴BC=4，∴S △ABC ==8，S △PAC ==8，S △BCD ==4．S 梯形PABD ==12． ∴△BCD 的面积最小．故选：B ．7．（5分）若圆（x ﹣3）2+（y ﹣5）2=r 2上有且只有四个点到直线4x +3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A ．（4，6）B ．（6，+∞）C ．（﹣∞，4）D ．[4，6]【解答】解：圆心（3，5）到直线4x +3y ﹣2=0的距离等于=5，由|1﹣r |＞5得r ＞6，故选：B．8．（5分）已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是（）A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内【解答】解：平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即平面ABC∥α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A在平面α一侧，另两点B、C在平面α另一侧，此时存在一条中位线DE∥BC，DE在α内，所以平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等时，存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．故选：D．9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．10．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：如图，∵在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，AB=AC=1，BD=2，∴，＜＞=120°，∴==1+1+4+2×1×2×cos120°=4．∴|CD|=．故选：C．11．（5分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8πB．6πC．11πD．5π【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．12．（5分）曲线y﹣1=（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2x+4有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（）A．（，]B．（，+∞） C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【解答】解：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时1=﹣2k+4﹣2k，解得k=，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d==2，解得k=，要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，则直线l夹在两条直线之间，如图所示：因此＜k≤，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a=﹣2．【解答】解：∵直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是100．【解答】解：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积=3×6×6﹣=108﹣8=100．故答案为：100．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论正确的是①③④（填上所有你认为正确的结论的序号）．①AC⊥BF②直线AE，BF所成角为定值③EF∥平面ABC④三棱锥A﹣BEF的体积为定值．【解答】解：对于①，如图①，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F是线段B1D1上的两个动点，∴AC⊥BD，AC⊥BB1，且BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BDD1B1，又BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF，①正确；对于②，异面直线AE、BF所成的角不为定值，如图②，当F与B1重合时，令上底面中点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，②错误；对于③，EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，③正确；对于④，由图①知，AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离为，又EF=，且B到EF的距离为1，∴△BEF的面积为××1=，∴三棱锥A﹣BEF的体积为××=为定值，④正确．综上，正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k （x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵C的方程为x2+y2﹣4x=0，故圆心为C（2，0），半径R=2．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=R=2，∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，即≤2，解得k2≤8，可得﹣2≤k≤2，故答案为：[﹣2，2]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．【解答】解：（1）由，解得P（2，1），由于l与x+3y﹣1=0垂直，则l的斜率为3，代入直线的点斜式方程得：y﹣1=3（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0；（2）由（1）知直线l过P（2，1），若直线l的斜率不存在，即x=2，此时，A，B的直线l的距离不相等，故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，由题意得=，解得：k=﹣1或k=﹣，故所求直线方程是：x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0．18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M是OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求点M到平面OCD的距离．【解答】证明：（1）取OB中点E，连结ME、NE，∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD，又ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，∴ME∥平面OCD，∵OB中点E，N为BC的中点，∴EN∥OC，∵EN⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，∴EN∥平面OCD，∵EN∩EM=E，EN，EM⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面OCD，∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD．解：（2）∵M是OA的中点，∴M到平面OCD的距离是点A到平面OCD距离的，取CD的中点为P，连结OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长是点A到平面OCD的距离，∵OP===，AP=，∴AQ===．∴点A到平面OCD的距离为，∴点M到平面OCD的距离为．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E是CC1上的中点，且BC=1，BB1=2．（Ⅰ）证明：B1E⊥平面ABE（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEA1的体积是，求异面直线AB和A1C1所成角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）连接BE，∵BC=1 BB1=2，E是CC1上的中点△BCE，△B1C1E为等腰直角三角形，即，∴，即BE⊥B1E∵AB⊥面BB1C1C．B1E⊂面ABC，∴B1E⊥AB，且AB∩BE=B，∴B1E⊥平面ABE；解：（Ⅱ）∵AB∥A1B1，∴A1、B1到面ABE的距离相等，由（Ⅰ）得BE=B1E=故V=V=V==解得AB=∵AC∥A1C1，∴异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB，在Rt△ABC中，tan，∴∠CAB=30°∴异面直线AB和A1C1所成角的大小30°．20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由圆C与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0），可得圆心C在AB的中垂线上，即C在直线x=﹣2上，与x﹣2y+4=0联立，可得C（﹣2，1），半径r==，则圆C的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=10，圆心到直线x﹣y+1=0的距离d==，则|EF|=2=2=4；（2）设M（x，y），M为PQ的中点，且Q（2，1），可得P（2x﹣2，2y﹣1），由P在圆C上运动，将其坐标代入圆C的方程可得，（2x﹣2+2）2+（2y﹣1﹣1）2=10，即为x2+（y﹣1）2=．则线段PQ中点M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=．21．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：平面CNB⊥平面CNB1；（2）求直线BB1与平面CNB1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BC，BA，BB1两两垂直，∴BC⊥平面ANB1B，又B1N⊂平面ANB1B，∴BC⊥B1N，由正视图和俯视图可知AN=4，AB=4，BB1=8，∴BN=B1N=4，∴BN2+B1N2=BB12，即BN⊥B1N，又BN∩BC=B，∴B1N⊥平面CNB，又B1N⊂平面CNB1，∴平面CNB⊥平面CNB1．（2）解：过B作BH⊥CN于H，连结B1H，由（1）可知平面CNB⊥平面CNB1，又BH⊥CN，平面CNB∩平面CNB1=CN，∴BH⊥平面CNB1，∴∠BB1H为直线BB1与平面CNB1所成的角，由正视图可知BC=4，在Rt△BCN中，CN==4，∴BH===．∴sin∠BB1H==．22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP 为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0 (11)分点M到直线AB 的距离…13分相交弦长即：当时，AB 有最小值…16分．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
山西省运城市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
山西省运城市2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）调研测试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,,故选D.考点：复数的运算与复数相关的概念.2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（）A. 三个内角都不大于B. 三个内角都大于C. 三个内角至多有一个大于D. 三个内角至多有两个大于【答案】B【解析】试题分析：命题的反面是：三个内角都大于，故选B.考点：反证法.3.下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数在上是增函数，是指数函数，所以在上是增函数，该结论显然是错误的，其原因是（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 以上都可能【答案】A【解析】分析：分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案.详解：根据题意，该演绎推理的大前提是：指数函数在上是增函数，小前提是是指数函数，结论是在上是增函数.其中大前提是错误的，因为时，函数在上是减函数，致使得出的结论错误，故选A.点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小前提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结果.4.学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：细读题意，本题可根据自左往右的连线表示所属关系，接下来根据已知条件中的参数之间的关系结合结构图的设计规则以及所给选项即可选出正确答案.详解：教师和后勤人员都属于学校教职成员，理科教师和文科教师是并列关系，属于教师，故B中结构图正确，A、C、D不正确，故选B.点睛：本题是一道关于结构图设计的题目，解答本题的关键是熟悉结构图的设计规则.5.已知的取值如下表所示：若从散点图分析，与线性相关，且，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先求出这组数据的横坐标和纵坐标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入回归直线方程求出的值.详解：根据回归直线过均值点，将其代入求得，故选A.点睛：该题考查的是有关回归直线过样本中心点，即均值点的结论，所以求其横纵坐标的平均值，得到样本中心点，代入方程求参数即可.6.分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（）A. 必要条件B. 充分条件C. 必要条件D. 必要条件或成分条件【答案】B【解析】试题分析：分析法是果索因，基本步骤：要证…只需证…，只需证…,分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题．因此“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.考点：1.必要条件、充分条件与充要条件的判断；2.分析法和综合法．7.如图所示的5个数据，去掉后，下列说法错误的是（）A. 相关系数变大B. 残差平和变大C. 变大D. 解释变量与预报变量的相关性变强【答案】B【解析】分析：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项．详解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，变大，残差平方和变小．故选B．点睛：本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r，相关指数R2及残差平方和，属基础题.8.下列说法正确的是（）A. 在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的，，一个点C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 在回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差【答案】C【解析】分析：首先对每个选项一一进行分析，需要明确独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，回归直线可能不过任何一个样本数据点，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟精度越高，相关指数越大，拟合效果越好的结论，就可以正确选出结果.详解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所以A错；对于B，线性回归方程对应的直线可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；对于D，回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果好，所以D错误.故选C.点睛：根据概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程以及残差图与相关指数的概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.9.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位A. k＞4?B. k＞5?C. k＞6?D. k＞7?【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为，故选C.考点：程序框图.10.下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A. ②④B. ①③C. ①④D. ①②【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.11.已知下表：则的位置是（）A. 第13行第2个数B. 第14行第3个数C. 第13行第3个数D. 第17行第2个数【答案】C【解析】分析：根据数阵，第n行的最后个数为第项，从而求得结果.详解：根据题中所给的条件，可以发现第n行最后一项为，故当时，最后一个数为，所以是第13行第3个数，故选C.点睛：该题考查的是有关数列的问题，需要从数阵中关察，得出其特征，将数列的项顺次往下写，所以关键是清楚第n行的最后一个数是第多少项，也可以从第n行的第一个数去分析，这样都可以求得结果.12.满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆【答案】C【解析】因为，所以，因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟.要完成这些事情，小明要花费的最少时间为__________．【答案】17【解析】分析：根据统筹安排可得小明在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播最节省时间，进而得到答案.详解：由题意可知，在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播，故小明花费最少时间为分钟，故答案为17分钟.点睛：该题考查的是有关统筹安排的问题，在解题的过程中，需要明确哪些项目是必须独立完成的，哪些是可以边做还可以边做其他任务的，从而求得结果.14.若复数满足，则的最大值为__________．【答案】2【解析】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合原的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.详解：依题意，设复数，因为，所以有，由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，因为表示圆周上的点到原点的距离，所以的最大值为，所以答案为2.点睛：该题考查的是有关复数z的模的问题，利用复数的几何意义，结合题中的条件，最后将其转化为圆上的点到某个点的距离的最值问题，等于圆心到对应点的距离加半径，从而求得结果.15.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______【答案】B【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．16.下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量的性质，类比得到复数的性质；③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比错误的是__________．【答案】②③【解析】分析：①由两者运算规则判断；②由定义判断；③可由两者运算特征进行判断；④由两者加法的几何意义判断. 详解：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，两者用的都是合并同类项的规则，可以类比；②由向量的性质，类比得到复数的性质，两者属性不同，一个是数，一个是既有大小又有方向的量，不具有类比性，故错误；③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是，数的概念的推广后，原有的概念在新的领域里是不是成立属于知识应用的推广，不是类比，故错误；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确；综上，②③是错误的，故答案为②③.点睛：该题考查的是有关类比推理的问题，在解题的过程中，需要对相关的结论要熟悉，再者就是对类比推理要清楚对应的结果是什么，从而判断其正确与否.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.证明：.【答案】见解析【解析】分析：首先观察式子，实质问题是比较大小，题中不等号两侧各有两个根号，所以利用不等式的性质，对其两边进行平方运算然后化简，结合分析法的步骤完成任务.详解：要证：，只要证：，只要证：只要证：，即证：，即证：也就是要证：，该式显然成立，所以得证. 点睛：该题考查的是证明不等式的方法，在解题的过程中，可以应用分析法，结合不等式的性质证得结果，也可以移项，将不等式变为，之后对式子进行分子有理化，再应用不等式的性质证明即可.18.设复数，试求取何值时，（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第一象限.【答案】（1）或；（2）；（3）或【解析】分析：首先分析该复数的实部和虚部是什么，之后结合复数是实数、纯虚数以及复数在复平面内对应的点所在的象限，对其实部和虚部进行对应的约束，求得其范围，得出结果即可.详解：（1）当复数的虚部且时，即或时，复数表示实数；（2）当实部等于零且虚部不为零时，复数表示纯虚数，由，得：时，复数表示纯虚数；（3）由，复数对应的点位于复平面的第一象限，解得：或，故当或时，复数对应的点位于复平面的第一象限.点睛：该题考查的是有关复数的概念性的问题，要明确复数是实数的条件为虚部为零，复数为纯虚数的条件为实部为零，且虚部不为零，复数对应的点落在第一象限即为实部和虚部都大于零，最后求得相应的结果即可.19.已知数列的前项和为，，满足，计算，并猜想的表达式.【答案】见解析【解析】分析：首先根据题中所给的条件，对赋上相应的值，一一计算，得出结果，首先令，结合求得，之后利用，再结合题中所给的条件，分别对赋值，最后求得的值，然后根据式子的特征，猜想出结果.详解：，即，即，，同理解得：，，可猜想：.点睛：该题考查的是有关数列的项与和之间的关系，利用题中所给的递推关系式，结合有关结论，对n赋值，求得结果，下一步就需要对所求的式子进行分析，判断其对应的关系，之后猜想出相应的结果即可.20.某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员工的工作满意程度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女工，14名男工）的得分，如下表：（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平局得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：【答案】（1）240；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：第一问首先从表中查找得分大于45分的人数，求得比值即为概率，应用对应的关系式求得相应的人数；第二问按照条件，将男女员工对应的分数分析比较，进行分类，从而将相应的数据填入表中，得到列联表；第三问利用公式求得观测值，判断出结果即可.详解：（1）从表中可知，30名员工有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他（她）的得分大于45分的概率是，所以估计此次调查中，该单位约有名员工的得分大于45分；（2）依题意，完成列联表如下：（3）假设：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得的观测值：查表得能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满意有关.点睛：该题考查的是有关统计的问题，一是利用样本数据中满足条件的人数所占的比例估计对应的概率，再用总人数乘以概率得到总体当中满足条件的人数，二是利用分数要求将对应的分类，得到列联表，三是应用公式求得观测值，再与表中的临界值比较得出结果.21.禽流感一直在威胁我们的生活，某疾病控制中心为了研究禽流感病毒繁殖个数（个）随时间（天）变化的规律，收集数据如下：作出散点图可看出样本点分布在一条指数型函数的周围.保留小数点后两位数的参考数据：，，，，，，，，其中（1）求出关于的回归方程（保留小数点后两位数字）；（2）已知，估算第四天的残差.参考公式：【答案】（1）；（2）0.58【解析】分析：第一问首先利用相应的公式，对其式子进行变形，利用线性回归分析取解决非线性回归分析的问题，注意公式的正确使用，二是要明确残差的定义，残差是确切值域估计值的差，所以将变量代入回归方程，求得对应的值，作差即可得结果.详解：（1）因为，令，则，，，，所以关于的回归方程为；（2）当时，，，，所以第四天的残差估计为0.58.点睛：该题考查的是有关回归分析的问题，要明确利用线性回归分析作为桥梁解决非线性回归方程的问题的方法，再者要明确残差的定义，认真运算即可得结果.22.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线上有一点，设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：第一问首先利用平方关系将参数消掉，将其化为普通方程，将与直线l的极坐标方程对比，代入，即可得其直角坐标方程；第二问将直线的参数方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求得两根积，结合直线参数方程中其几何意义求得结果.详解：（1）曲线的参数方程为（为参数），利用可得普通方程：，由直线的极坐标方程为，可得直角坐标方程为：（2）由于在直线上，可得直线的参数方程：（为参数）代入椭圆方程可得：，，所以点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，应用直线的参数方程中参数的几何意义求其有关线段所满足的条件，要认真分析，细心求解.23.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：第一问利用零点分段法将绝对值符号去掉，将绝对值不等式转化为三个不等式组，最后对其解集取并集求得结果；第二问将对应的不等式解集非空，转化为其函数的最小值满足条件，从而将问题转化为求函数的最值问题，利用绝对值不等式的性质求得其最小值，之后解关于a的不等式即可.详解：（1）由可化为：或或不等式解集为：（2）因为，所以，即的最小值为；要使不等式解集非空，需从而，解得或所以的取值范围为点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的的过程中，一是利用绝对值表达式，通过x的范围，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集；二是利用绝对值三角不等式，转化求解最小值，然后求解即可.。