2019年10月自考高数公式汇编
专升本高数公式大全
专升本高数公式大全1.二次函数的图像方程：f(x)=a(x-h)²+k2.平面直角坐标方程：Ax+By+C=03.二次曲线方程：Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 04.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²5.椭圆的标准方程：(x-a)²/b²+(y-b)²/a²=16.双曲线的标准方程：(x-a)²/b²-(y-b)²/a²=17.抛物线的标准方程：(x-a)²=4p(y-b)8.三角函数的正余弦和差公式：(1) sin(A ± B)= sinAcosB ± cosAsinB(2) cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB(3) tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)9.三角函数的倍角公式：(1) sin2A = 2sinAcosA(2) cos2A = cos²A - sin²A(3) tan2A = (2tanA) / (1 - tan²A)10.三角函数的半角公式：(1) sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2](2) c os(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2](3) tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]注：±的选取根据A的象限确定。
11.三角方程的化简公式：(1) sin²x + cos²x = 1(2) 1 + tan²x = sec²x(3) 1 + cot²x = csc²x12.导数的基本公式：(1) (cf(x))' = cf'(x)(2)(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(3)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(4)(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²(5)(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)(6)(f(x)⋅g(x)⋅h(x))'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'( x)13.微分的基本公式：(1) dy = f'(x)dx(2) dy = dx/g'(y)(3) dy = p(x)dx + q(x)dx² + r(x)f'(x)14.积分的基本公式：(1) ∫cf(x)dx = c∫f(x)dx(2) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx(3) ∫f'(x)dx = f(x) + C(4) ∫f'(g(x))g'(x)dx = f(g(x)) + C15.牛顿-莱布尼兹公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)注：其中F(x)为f(x)的一个原函数。
自考高等数学全部公式
变限求导公式
（1） [ f (t )dt ] f ( x) ；
a x
（2） [
b x
f (t )dt ] f ( x) ；
（3） [
（4） [
（5） [
(x)
a b
f (t )dt ] f [ ( x )] ( x ) ；
g( x)
f ( t )dt ] f [ g( x )] g( x ) ；
自由项 f ( x )
e x pm ( x )
方程 y ay by f ( x ) 的特解 y
(1) 不是特征根
(2) 是单特征根
y Qm ( x )e x
y x Qm ( x )e x
y x 2 Qm ( x )e x
(3) 是二重特征根
(1) α iβ 不是特征根
e
x
y ex [Ql ( x )cosx Rl ( x )sinx ]
y xex [Ql ( x )cosx
[ Pm ( x )cos x
Pn ( x )sin x ]
(2) α iβ 是特征根
Rl ( x )sinx] 其中lmax{ ,n} m
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) y f ( x ) lim lim lim x 0 x x 0 x x0 x x x0
基本初等函数和常数的求导公式
（1）(c ) 0 ；
（2） ( x ) x 1 ；
1 1 x2 dx arcsinx C ;
(4)d(arctanx )
1 1 x 1
2
dx;
(5)d(arcsinx )
2019年全国自考高等数学复习资料
2019年全国自考高等数学复习资料第一章函数1.一元二次方程未知量x满足的形如的方程为一元二次方程，称为此方程的判别式。
由可知：当Δ>0时，方程有两个不同的实根；当Δ=0时，方程有一个二重实根；当Δ<0时，方程有一对共轭虚根根与系数之间的关系（韦达定理）：若记一元二次方程的两个根分别为，则有。
一元二次函数的图形——xOy平面上的一条抛物线——依据，当a>0时，抛物线的开口朝上；当a<0时，抛物线的开口朝下；抛物线的对称轴为垂直于x轴的直线，顶点坐标为。
2.数列（1）等差数列设是一个数列，若对所有的n都成立，则称为等差数列，d称为公差。
根据等差数列的定义，等差数列的通项为，前n项和为，且其通项满足。
最后一个式子说明：在等差数列中，任何一项都是其前后“对称”位置上的两项的算术平均值，这时又称为的等差中项。
（2）等比数列设是一个数列，且，若对所有的n都成立，则称是等比数列，q称为公比。
根据等比数列的定义，等比数列的通项为，前n项和为，且其通项满足。
最后一个式子说明：在等比数列中，任何一项的绝对值都是其前后“对称”位置的两项的几何平均值，这时。
3.函数的定义4.（1）（2）函数的性质5.周期函数设函数f(x)的定义域为R，若存在正数T>0，是的对任意的都有，则称f(x)是一个周期函数，T称为函数f(x)的周期。
一般说的周期指的是最小正周期。
6.指数函数函数称为以a为底的指数函数，常用的以无理数e为底的指数函数。
指数函数的基本运算规则：。
7.反函数的概念8.对数函数9.复合函数10.常见的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，称为基本初等函数。
11.成本函数一般地，总成本C可分为两部分，分别是固定成本和可变成本。
是一个与产品数量无关的常数，与产品的数量q有关，是q的函数，记作。
所以总成本。
平均成本指的是总成本与产品数量之比，记作。
常见的成本函数模型是：（1）线性成本函数：，其中c是单位产品的可变成本。
2019年10月自考考试00020高等数学(一)真题试卷及参考答案
全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列函数为奇函数的是（）。
A. 2x sin x B. 2x cos x C. xsinx D. xcosx【正确答案】D【答案解析】已知奇函数满足()()f x f x ，因为D 选项中令()cos f x x x ，有()cos f x x x ，满足奇函数条件，故选择D 。
参见教材P31。
【知识点】函数的奇偶性。
2. 当0,0x y 时，下列等式成立的是（）。
A.ln ln ln xy x y gB. ln ln ln x y x yC. ln ln ln xy xyD. ln lnln x x yy 【正确答案】C【答案解析】因为对数函数有log ()log log a a a xy x y 的性质，故选C 。
参见教材P38。
【知识点】对数函数。
3. 3342lim 2nn nn（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】B【答案解析】3223421224limlimlim226112nnnn n n nnnn。
参见教材P96。
【知识点】洛必达法则。
4. 10()020xexf x x a x a x，已知函数在点处连续，则，（）。
A. 0B.12C. 1D. 2【正确答案】B【答案解析】因为函数在0x处连续，则有0lim ()x f x a ，带入可得0011lim ()lim lim 222xx x x ex f x xx，解得12a，故选B 。
参见教材P63。
【知识点】函数的连续性。
5. 221,1y x x 曲线在点处的切线方程为（）。
A. 32y xB. 34y xC. 22y xD. 24y x 【正确答案】A【答案解析】因为函数在一点处的导数值即为函数在该点处的切线斜率。
所以，先求导得()41f x x ，将1x 带入导数可得斜率(1)3k f 。
然后，设直线方程为，00()yy k xx ，将切线斜率3k和点(1,1)带入可得32yx 。
2019年自学考试《高等数学(一)》复习笔记精品文档12页
2019年自学考试《高等数学(一)》复习笔记一、函数1.知识范围(1)函数的概念函数的定义函数的表示法分段函数隐函数(2)函数的性质单调性奇偶性有界性周期性(3)反函数反函数的定义反函数的图像(4)基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数(5)函数的四则运算与复合运算(6)初等函数2.要求(1)理解函数的概念。
会求函数的表达式、定义域及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。
(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
(4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
(5)掌握基本初等函数的性质及其图像。
(6)了解初等函数的概念。
(7)会建立简单实际问题的函数关系式。
二、极限1.知识范围(1)数列极限的概念数列数列极限的定义(2)数列极限的性质唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理(3)函数极限的概念函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限函数极限的几何意义(4)函数极限的性质唯一性四则运算法则夹通定理(5)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶(6)两个重要极限2.要求(1)理解极限的概念(对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求)。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
-------------------------------------0114三、连续1.知识范围(1)函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类(2)函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性(3)闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值定理(包括零点定理)(4)初等函数的连续性2.要求(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。
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高等数学公式大全
(tgx)′ = sec2 x
(ctgx)′ = −csc2 x
(sec x)′ = sec x ⋅tgx
(csc x)′ = −csc x ⋅ ctgx
(a x )′ = a x ln a
(log x)′ = 1
a
x ln a
(arcsin x)′ = 1 1− x2
tg
(α
±
β
)
=
tgα ± 1µ tgα
tgβ ⋅ tgβ
ctg
(α
±
β
)
=
ctgα ⋅ ctgβ
ctgβ µ1 ± ctgα
·和差化积公式：
sinα + sin β = 2sin α + β cos α − β
2
2
sinα − sin β = 2cos α + β sin α − β
2
2
cosα + cos β = 2cos α + β cos α − β
=
−ctgx
+
C
∫sec x ⋅tgxdx = sec x + C
∫ csc x ⋅ctgxdx = −csc x + C
∫ a xdx = a x + C ln a
∫ shxdx = chx + C
∫ chxdx = shx + C
∫ dx = ln(x + x2 ± a2 ) + C x2 ± a2
引力：F
=
k
m1m2 r2
, k为引力系数
函数的平均值：y =
1
b
∫ f (x)dx
全国2019年10月高等教育(工本)自学考试试题、详细答案及考点分析
全国2019年10月高等教育自学考试高等数学(工本)试题、详细答案及考点分析课程代码：00023请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出。
1.在空间直角坐标系中，点()2,0,0-在A ．x 轴上B ．y 轴上C ．z 轴上D ．oxy 平面上解：使用空间直角坐标系坐标轴、坐标面特征进行讨论。
x 轴上点的坐标为()0,0,a ，y 轴上点的坐标为()0,,0b ，z 轴上点的坐标为()c ,0,0，oxy 平面上点的坐标为()0,,b a ，oyz 平面上点的坐标为()c b ,,0，oxz 平面上点的坐标为()c a ,0,，故选C.考核知识点：空间直角坐标系（识记）；考核要求：知道空间直角坐标系的定义及相关的概念.2.函数()y x y x f +=,在点()0,0处A ．连续B ．间断C ．偏导数存在D ．可微解：使用多元函数连续性方法进行求解。
由于()0,00lim 00f y x y x ==+→→因此函数()y x y x f +=,在点()0,0处连续，选A.考核知识点：二元函数的极限与连续（识记）；考核要求：知道二元函数连续的概念.3.已知ydy x ydx x sin sin cos cos -是某个函数()y x u ,的全微分，则()=y x u ,A ．xy cos sin B ．yx sin sin C ．yx cos sin -D ．yx cos sin 解：对各项使用全微分法进行求解。
对A ，B ，C ，D 选项进行全微分，可得A ：()()xdy y ydx x x y d y x du cos cos sin sin cos sin ,+-==B ：()()xdy y ydx x y x d y x du sin cos sin cos sin sin ,+==C ：()()ydy x ydx x y x d y x du sin sin cos cos cos sin ,+-=-=D ：()()ydy x ydx x y x d y x du sin sin cos cos cos sin ,-==故选D.考核知识点：全微分（领会）；考核要求：会求函数的全微分.4.下列微分方程中，属于一阶线性非齐次微分方程的是A ．()dx y x ydy +=3B ．()dx y x xdy 32+=C ．19sin =-y x dx dyD ．92=+xy dxdy解：使用微分方程的基本概念进行选择。
高等数学各章重要公式及知识点归总
第一章 函数类1. y=x 1，x ≠0 →y=□1，□≠0 （-∞，0）∪（0，+∞）类2.y=2n x ，x ≥0 →y=2n □，□≥0 [0,+∞）反函数（一一对应）1. 函数的定义域对应着反函数的值域 函数的值域对应着反函数的定义域2. 若f （x ）过（a ，b ），f -1（x ）过（b ，a ）3. f （x ）和f -1（x ）的图像关于y=x 对称4.Sinx sin[arcsinx]=x →arcsinx arcsin[sinx]=xEg.f[f -1(3)]=3基本初等函数幂函数：y=x u ，u 取任意的实数 共同点（1，1）偶函数：图像关于y 轴对称 y=x 2 指数函数（变化最快）：y=a x ，a ＞0且a ≠12共同点（0，1）对数函数：y=log a x ，a ＞0且a ≠1 y=a x →log a y=x →y=log a x1.a ＞1 （若a=e ≈2.71 →y=log e x=lnx ） 2.0＜a ＜1共同点（1，0）y=e x 反函数是 y=log e x=lnx反sinx ：ππcosx ：[2k π-π,2k π] k ∈z ，增函数 [2k π,2k π+π] k ∈z ，减函数tanx:单调增区间：z k k π2πk π2π-∈++），（cotx:→1.奇函数：sinx，tanx，cotx原点对称偶函数：cosx y=x对称2.有界函数：sinx，cosx 有界是根据值域定的3.周期函数：sinx，cosx→T=2πtanx，cotx→T=πtanx·cotx=1 sin0=0Sin2x=2sinxcosxCos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x2.特殊角度→函数值反三角函数：arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx arcsinx:arccox:arctanx ：arccotx:→1.奇函数：arcsinx ，arctanx2.有界函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotxarcsin1=2π arcsin 23=3π arctan1=4π arctan 3=3π定义域： -1≤x ≤1复合函数：y=f （u),u=g （x ） ， y=f[g(x)] Z ⊂D复合1.y=u 2，u=sinx →y=sin 2x2.y=u 3，u=cosv ，v=2x+3→y=cos 3（2x+3） 条件：3.y=arccosu ，u=x 2+3→y=arccos （x 2+3）×初等函数：由基本的初等函数经过有限次的四则运算及复合得到的函数 复合函数的分解：1.由内到外，分解的每一步必须为基本初等型 2.遇到四则运算或基本初等型则停止 e x ,x ≥0 分段函数：f （x ）=X+1，x ＜0取整函数：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作：[x] Eg: [1.5]=1 [2.8]=2 [4.5]=4 [e]=2 [π]=3[-1.5]=-2 [-2.8]=-3 [-4.5]=-5 x-1＜[x]≤x 隐函数：x+y=2，sinx+cosy=3参数方程： x=sint x=t 2+2→y 与x →y 与xy=cost y=3t引入参数，导致y 与x 有联系幂指函数：y=u （x ）v （x ）→1.lny=lnu （x ）v （x ）=v （x ）lnu （x ）2.）（）（）（）（x lnu x v x lnu e ey x v ==，恒等变形函数的性质：必须在所给的定义域内单调性，有界性，周期性，奇偶性1.常见的有界函数：sinx，cosx，arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx2.有界函数的运算：有界+有界=有界有界-有界=有界有界×有界=有界无穷大量±有界一定＞0+∞+有界=+∞－∞+有界=-∞周期函数：sinx→T=2πcosx→T=2πtanx→T=πcotx→T=π奇偶性：1.偶函数：图像关于y轴对称，f（x0）=f（-x0）2.奇函数：图像关于原点对称，f（x0）=-f（-x0）常见的奇函数：sinx，tanx，cotx，arcsinx，arctanx，x n（n为奇数）常见的偶函数：cosx，x n（n为偶数），|x|常熟C C,C≠0→偶函数0，可奇可偶奇偶运算规则：偶偶：+ - ×÷是偶函数→x2，1-x2，x2（1-x）2，1+x2，，cosx1=secx奇奇：+ - 是奇函数x+x3×÷是偶函数x×x=x2x·sinx sin4x=sinx·sinx·sinx·sinx 1+x21+x2 1-x2奇偶：×÷是奇函数x×x2=x3+ - 可奇，可偶，非奇非偶极限等差数列： 1，2，3，4，……，n ，…… 公差d=1，通项x n =n=1+（n-1）×1通项x n =x 1+（n-1）d →等差数列：首项x 1，公差d前n 项和，（求和公式）：2nxn +x1）（等比数列：2，22，23，24，……，2n 公比q=2，x n =2n =2·2n-1 X n =x 1·q n-1 →等比数列：首项x 1（x 1≠0），公比q （q ≠1）前n 项和公式：s n 特殊数列前n 项和：1.2n 1n n 4321k z n 1k ）（+=+⋯⋯++++== 2.=+=+⋯⋯+++==21)n-2n (11)-2n 5311-2k z n 1k （）（n 2 3.1k z n =k 2=12+22+32+……+n 2=61-2n 1n n ））（（+ 4.1k z =∞k 3=13+23+33+……+n 3=]2n 1n [）（+ 2 5.1n 1-n 131-2121-111n n 12?11?11k k 1z n 1k ++⋯⋯++=++⋯⋯++=+=）（）（=1n 1-1+ =1n n + 数列极限的定义：若不存在常数a ，则极限不存在，或x n 发散1-q几何含义：当n>N 时，所有的点x n 都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N 个）在其外数列的性质：极限存在的充要条件：左极限=右极限1.唯一性2.有界性：|x n -a|＜ξ3.保号性：∀ξ＞0，∃n ＞N ，使得|x n -a|＜ξ 若a ＞0，n ＞N 时，x n ＞0 若a ＜0，n ＞N 时，x n ＜0 去心领域：只考虑点a 邻近的点，不考虑点a ，即考虑点集（a-δ，a ）∪（a ，a+δ），称这个点集为点a 的去心邻域函数的极限性质：1.函数极限的唯一性：若A =∞→→）（x f lim x x0x ，则极限必唯一2.函数极限的局部有界性3.函数极限的局部保号性：若A =→）（x f lim x0xA ＞0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＞0A ＜0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＜0无穷小（无穷小量）与无穷大常数的极限永远是本身关系：1.∞=→）（x f lim x0x →0x f 1limx0x =→）（互为倒数关系2.0x f 0x f lim x0x ≠=→）（且）（→∞=→）（x f 1limx0x01=∞ ∞=01总结：极限不存在的三种情形 1.limf （x ）=∞ 2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→方法一：000=⨯=⨯有界）无穷小量（即无穷小量有界函数 方法二:四则运算：（极限存在，则可以拆） 1.lim[f （x ）±g （x ）]=limf （x ）±limg （x ）=A ±B 2.lim[f （x ）·g （x ）]=limf （x ）·limg （x ）=A ·B 3.）（）（）（）（）（0x lim g x lim f x g x f lim≠==B BA 4.limC ·f （x ）=C ·limf （x ）=C ·A C 是常数 5.lim[f(x)]n =limf （x ）·limf （x ）……=A n总结：x →x 0时，x 0在初等函数定义域内，可直接将值代入求极限 方法三：消0因子法（0）方法四：抓大头思想（∞∞） 方法五：利用分子有理化求极限 方法六：先求和再求极限 方法七：先求积再求极限方法八：利用夹逼准则求极限（找两边） 极限存在准则：1.夹逼准则（1）x n ≤y n ≤z n ，且a zn lim a xn lim n n ==∞→∞→，→a yn lim n =∞→（2）g （x ）≤f （x ）≤h （x ），且A A ==）（，）（x lim h x lim g →A =）（x limf2.单调有界数列必有极限→{x n }单调增且有上届→则{x n }必有极限 数列是以点的形式→{x n }单调减且有下届→则{x n }有极限 方法九：利用两个重要极限求极限0·∞ 谁简单就把谁往下放 ① 1□□sin lim 1x sinx lim0□0x =→=→→1.sin □和分母中的□必须保持一致 → 12xsin2xlim 0x =→2.□→00·∞→∞⨯=⨯→001000 →01⨯∞=∞⨯∞→∞∞②e x 1limx1x =+→）（ ①∞1 e x11limxx =+∞→）（ ②1+形式→e □1lim 0□□1=+→时）（e n 11lim nn =+∞→）（ ③互为倒数总结：若今后遇到∞1型①若)()](1[lim x g x f + 为∞1，则原式=）（）（x g x limf e②若）（x g )]([lim x f 为∞1，则原式=）（x g ]1)([lim e ⨯-x f方法十：利用等价无穷小求极限 → 无穷小的比较→型→0，∞，c （c ≠0） 常用的等价无穷小的公式：前提条件 ： □→0Sin □~□ ， tan □~□ ， arcsin □~□ ， arctan □~□注意1.因子：只有乘除关系，等价必须是因子 2.非0因子直接代入方法十一：利用左右极限求极限左极限：0-0x x x x x f lim -0＜），（→ 右极限：+→+00x x x x x f lim 0＜），（极限存在的充要条件：若A A =→→=+→→→）（）（）（x f lim x f lim x f lim 0-0x x x x x x左极限=右极限极限不存在：1.limf （x ）=∞2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→注意：分段函数分界点要分左右极限 已知极限求反参数幂指函数方法处理：连续与间断→极限的应用设f （x ）在x 0的邻域内又定义，如果）（）（0x x x f x f lim 0=→，则称f （x ）在x 0处连续。
专升本高等数学必备公式(修订版)
（3）
1 x2
dx
1 x
C
（5）
1dx x
ln
x
C
指数函数：（6）
a
x dx
ax ln a
C
1）
（4） x 1 2x
（6） (e x ) e x （8） (ln x) 1
x （10） (cos x) sin x
（12） (cot x) csc2 x
（14） (csc x) csc x cot x
（6）1 tan 2 x sec2 x
（7） 1 cot 2 x csc2 x
（8） sin x 1 csc x
（10） tan x 1 cot x
（9） cos x 1 sec x
4、等价无穷小（11 个)：
当 0时： sin~
arcsin~
tan~
e 1 ~
ln(1) ~
1 cos~ 2 2
（16） sec xdx ln sec x tan x C
（17） csc xdx ln csc x cot x C
（18） 1 dx arcsin x C
1 x2
（20）
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
（19）
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
（21）
a2
1
x2 dx
1 a
arctan
x a
C
（22）
1 dx ln x x2 a2 C x2 a2
（23）
1 dx ln x x2 a2 C x2 a2
（24）
x2
1
a2
dx
1 ln 2a
专升本数学公式汇总
专升本高等数学公式一、求极限方法：1、当x 趋于常数0x 时的极限：02200x x lim(ax bx c)ax bx c →++=++；00000ax bcx d ax b limcx d cx d x x ++≠+−−−−−−→++→当； 00000cx d ,ax b ax b lim cx dx x +=+≠+−−−−−−−−−−−→∞+→当但； 2220020ax bx f cx dx e ,ax bx f lim x x cx dx e++++=++=−−−−−−−−−−−−−−→→++当且可以约去公因式后再求解。
2、当x 趋于常数∞时的极限：3、可以使用洛必达发则：0f (x)f (x)x f (x)g(x)lim lim g(x)g (x)x x '→∞→∞−−−−−−−−−−−−−−−→'→∞→∞当时，与都或；对0x →也同样成立。
而且，只要满足条件，洛必达发则可以多次使用。
二、求导公式：1、0c '=；2、1n n (x )nx -'=；3、x x (a )a lnx '=；4、x x (e )e '=；5、1(log x)a xlna'=6、1(ln x)x '=；7、(sin x)cos x '=；8、(cos x)sin x '=-；9、2(tan x)sec x '=10、2(cot x)csc x '=-；11、(sec x)sec xtan x '=；12、(cscx)cscxcot x '=- 13、(arcsin x)'=；14、(arccos x)'=；15、211(arctan x)x '=+；16、211(arccot x)x'=-+；17、(shx)chx '=；18、(chx)shx '=；19、2(thx)ch x -'=；20、(arshx)'=；21、(archx)'=；22、211(arthx)x'=-； 三、求导法则：(以下的5、7、8三点供高等数学本科的学员参阅) 1、(u(x)v(x))u (x)v (x)'''±=±；2、(kv(x))kv (x)''=； 3、(u(x)v(x))v(x)u (x)v (x)u(x)'''⋅=+；4、2u(x)u (x)v(x)v (x)u(x)()v(x)v (x)''-'=4、复合函数y f[]ϕ=（x ）的求导：f []=f (u)u (x),u=(x)ϕϕ'''（x ）其中。
全国2019年10月共5页word资料
第 1 页 全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（工专）试题课程代码：00022一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
（一）（每小题1分，共20分）1.函数y=xsinx 在其定义域内是（ ）A.有界函数B.周期函数C.无界函数D.奇函数2.函数2x 1x 1y --=的定义域是（ ）A.[)(]1,0,0,1-B.[)0,1-C.(][)+∞-∞-,1,1,D.(]1,03.函数2e e y xx --=是（ ）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.周期函数4.设|q|<1，则n n q lim ∞→=（ ）A.不存在B.-1C.0D.15.若函数f(x)在点x 0处可导且0)x (f 0≠'，则曲线y=f(x)在点（x 0, f(x 0)）处的法线的斜率等于（）A.)x (f 0'-B.)x (f 10'-C. )x (f 0'D. )x (f 10'6.设y=x 4+ln3，则y '=（ ）A.4x 3B.31x 43+C.x 4lnxD. x 4lnx+31第 2 页 7.设y=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3，则y '''=（ ）A.6B.a 3C.0D.6a 38.设⎩⎨⎧-=+=t 1y t1x ，则=dx dy （） A.t 1t 1-+ B.- t 1t1-+ C. t 1t 1+- D.- t 1t1+-9.函数f(x)=arctgx 在[0，1]上使拉格朗日中值定理结论成立的c 是（） A. ππ-4 B.-ππ-4 C.ππ-4 D.- ππ-410.函数y=x+tgx 在其定义域内（ ）A.有界B.单调减C.不可导D.单调增11.函数2x e y -=的图形的水平渐近线方程为（ ）A.y=1B.x=1C.y=0D.x=0 12.⎰x dx=（ ） A.C x 2+ B.2x C.23x 32 D. 23x 32+C13.设⎰=Φ1x tdt sin )x (，则)x (Φ'=（ ）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx第 3 页14.广义积分⎰-112dx x 1（ ） A.收敛B.敛散性不能确定C.收敛于-2D.发散15.方程组⎩⎨⎧==-8z z 8y 4x 22在空间表示（ ）A.双曲柱面B.（0，0，0）C.平面z=8上的双曲线D.椭圆 16.二元函数xy1cos z =的所有间断点是（ ） A.{}0y 0x |)y ,x (==或 B.{}0x |)y ,x (=C.{}0y |)y ,x (=D.（0，0） 17.设y x z +=，则)1,1(x z ∂∂=（ ） A.4 B.2C.1D.21 18.设（σ）是矩形域：a ≤x ≤b,c ≤y ≤d ，则⎰⎰σσ)(d =（ ）A.a+b+c+dB.abcdC.(b-a)(d-c)D.(a-b)(d-c)19.微分方程x(y ')2-2y y '+x=0是（ ）A.二阶微分方程B.一阶微分方程C.二阶线性微分方程D.可分离变量的微分方程20.等比级数a+aq+aq 2+…+aq n-1+…(a ≠0)（ ）A.当|q|<1时发散；当|q|≥1时收敛B.当|q|≤1时发散；当|q|>1时收敛C.当|q|≤1时收敛；当|q|>1时发散D.当|q|<1时收敛；当|q|≥1时发散（二）（每小题2分，共20分）第 4 页 21.=→x1sin x lim 20x （ ） A.2 B.1C.0D.不存在 22.=-→x 1x )x 1(lim （ ） A.e -1B.eC.+∞D.1 23.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x ,则f(x)在x=0是（ ） A.可微的B.可导的C.连续的D.不连续的 24.⎰=+dx 1e e x 2x（ ） A.ln(e 2x +1)+CB.arctg(e x )+CC.arctgx+CD.tge x +C25.函数y=xe -x 的单调增区间是（ ）A.（-∞,+ ∞）B.[)+∞,1C.(]1,∞-D.(1+∞) 26.过两点P 1(1,1,1),P 2(2,3,4)的直线方程为（ ） A.31z 21y 11x -=-=- B.x-1+2(y-1)+3(z-1)=0 C.41z 31y 21x -=-=- D.11z 11y 11x -=-=- 27.微分方程0y y =+''的通解为（ ）A.y=sinx+cosxB.y=cosxC.y=sinxD.y=C 1cosx+C 2sinx 28.级数∑∞=1n 2n na sin （ ） A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性不能确定第 5 页 29.微分方程xy 2y x y 2-='是（ ）A.一阶线性非齐次微分方程B.齐次微分方程C.可分离变量的微分方程D.二阶微分方程30.当|x|<1时，幂级数1+x+x 2+…+x n +…收敛于（ ） A.x1x 2- B.1-x C.x 1x - D.x11- 二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）31.求xx xx x e e e e lim --+∞→-+. 32.设y=x x (x>0)，求y '.33.求⎰x dx ln x .34.求⎰πθθ402d tg .35.求微分方程sinxcosydx=cosxsinydy 满足初始条件y|x=0=4π的特解. 36.计算二重积分⎰⎰σσ+)(22d )y x (, 其中(σ)是圆环:1≤x 2+y 2≤4. 37.判别级数∑∞=-+1n )n 1n (的敛散性.三、应用和证明题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）38.求由抛物线y 2=4ax(a>0)及直线x=x 0(x 0>0)所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.39.求函数f(x)=xln x 的极值. 40.设z=)xy(F , 其中F(u)为可导函数, 求证0y z y x z x =∂∂+∂∂.。
自考高等数学全部公式25页PPT
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
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31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 前时 ，我继 续拼搏 。
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
专升本数学公式大全
专升本高等数学公式大全导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
10月全国高等数学(二)自考试题及答案解析
1全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（二）试题课程代码：00021第一部分 选择题（共40分）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．若必有A T =A ，矩阵A 为（ ）A.正交矩阵B.对称矩阵C.可逆矩阵D.三角形2．若A ，B 均为n 阶方阵，且AB=0，则（ ）A.A=0或B=0B.A+B=0C.|A|=0或|B|=0D.|A|+|B|=03．设A 为m ⨯n 矩阵，秩为r ，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵B=AC ，秩(B)=r 1，则（） A.r 1>r 2 B.r<r 1C.r=r 1D.r 1与C 有关4．)1,1,1(),0,1,1(),3,1,2(),3,2,1(4321=α-=α=α=α，则（ ）A.1α线性相关B.21,αα线性相关C.线性相关321,,αααD.线性相关421,,ααα5．n 个未知量的齐次线性方程组的方程个数m>n ，则对该方程组正确的（ ）A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.有解6．若矩阵A 与B 是合同的，则它们也是（ ）A.相似B.相等C.等价D.满秩7．实二次型f(x 1，…，x n )=x T Ax 为正定的充要条件是（ ）A.f 的秩为nB.f 的正惯性指数为nC.f 的正惯性指数等于f 的秩D.f 的负惯性指数为n8．实二次型f(x 1,x 2,x 3)的秩为3，符号差为-1，则f 的标准形可能为（ ）A.332221y y y -+-B.332221y y 2y +-2 C.332221y y 2y -+ D.21y -9．当根据样本观察值画出的频率直方图为一矩形（即各“条形”高相同）时，则（ ）A.这组数据的极差为零B.这组数据的平均偏差为零C.这组数据的方差为零D.这组数据的极差、方差都不一定为零10．将一枚均匀硬币反复抛掷10次，已知前三次抛掷中恰出现了一次正面，则第二次出现正面的概率为（ ） A.31 B.21 C.41D.103 11．设随机变量ηζ和的密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=ζ其它,01x 0,x 3)x (p 2 ⎩⎨⎧≤>=-η0y ,00y ,e 3)y (p y 3，若ηζ和不相关，E(ζη)=（ ） A. 41 B.21 C.43 D.1 12．设离散型随机变量ζ的分布列为（ ）A.32B.31C.0D.32- 13．设随机变量ζ的密度函数p(x)=⎩⎨⎧π∈其他,0],0[x ,ASinx ，则常数A=（ ） A.41 B.21 C.1D.214．设随机变量ζ的概率密度为p(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其他,a x a ,a 21，其中a>0，要使P{ζ>1}=31，则a=（ ）3A.1B.2C.3D.415．设ζ的分布函数为F(x)=A++∞<<∞-πx x arctan 1，则常数A=（ ） A.21B.1C.2D.π 16．设总体X~N(2,σμ)，X 1，X 2是总容量为2的样本，2,σμ为未知参数，下列样本函数不是统计量的是（ ）A.X 1+X 2B.22221X X 4X ++C.2221X X +D.μ+1X17．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若E(θˆ)=θ，则θˆ是θ的（ ） A.极大似然估计B.矩估计C.无偏估计D.有偏估计18．设总体X 为参数为λ的动态分布，今测得X 的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数λ的矩估计值λˆ为（ ） A.0.2B.0.25C.1D.419．作假设检验时，在以下哪种情形下，采用Z -检验法（ ）A.对单个正态总体，已知总体方差，检验假设00:H μ=μB.对单个正态总体，未知总体方差，检验假设00:H μ=μC.对单个正态总体，已知总体均值，检验假设2020:H σ=σD.对两个正态总体，检验假设22210:H σ=σ20．一元线性回归分析中F=)2n /(Q U -的值较小，则说明x 与y 之间（ ） A.有显著的线性相关关系B.没有显著的线性相关关系4C.不相关D.线性相关关系不可判定第二部分 非选择题（共60分）二、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）21．设33A ⨯的行列式|A|=2，试问能确定出|A -1|AA *的具体结果吗？为什么？若能得出结果，结果是什么？22．)4,2,0,3(=β能否由)1,1,1,0(),3,1,7,2(),2,0,4,1(321--=α=α=α线性表示？为什么？23．全年级120名学生中有男生（以A 表示）100人，来自北京的（以B 表示）40人，这40人中有男生30人，试写出P(A)、P(B)、P(B|A )，和P(B |A )24．设随机变量N ~ζ(5,5)，η在[0，π]上均匀分布，相关系数21=ρζη，求（1）)2(E η-ζ；（2）)2(D η-ζ三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）25．A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111222111能否相似于对角阵？为什么？26．加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%，3%，5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
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12. 重积分的应用公式：
1. 曲顶柱体的体积：V f (x, y)dxdy, 曲面 : z f (x, y) D
4
2. 设 V 为 的体积：V dv
3.设 为曲面 z f (x, y)
曲面的面积为 S
1
f
2 x
f
2 y
d
D
第四章 曲线积分与曲面积分
3. 利用球面坐标计算：
为
y
r
sin
sin
y r cos
f (x, y, z)dv
d
d 2 ( )
r2 (,) f (r cos sin , r sin sin , r cos)r 2 sin dr
1 ( )
r1 ( , )
2 (t) 2 (t)dx
L
（3）当 f (x, y) 1 时，曲线 L 由 B 的弧长为 S dl 。 L
14. 对坐标的曲线积分
（1） P(x, y)dx b P[x,(x)]dx
LAB
a
L AB
:
y
(x)
A(a)起点 B(b)终点
（2） P(x, y)dx P(t), (t) (t)]dt
通解 y e [ p(x)dx Q(x)e p(x)dx dx C]
13. 对弧长的曲线积分
（1）若 L： y f (x), a x b ，则 f (x, y)dl b f [x,(x)] 1 2 (x)dx a L
（2）若
x L：
y
((tt)),
t
则
f (x, y)dl
f [(t), (t)]
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
: z z(x, y)
Dxy
18. 对坐标的曲面积分
R(x, y, z)dxdy R[x, y, z(x, y)]dxdy
Dxy
:
z
z(x,
上侧取正号 y)
下侧取负号
第五章 常微分方程
19. 微分方程基本概念 20. 三类一阶微分方程
(1)一阶线性微分方程： y p(x) y Q(x)
2.
f (x, y)d
b
dx
1(x) f (x, y)dy
c
dy
1( y) f (x, y)dx
D
a
2 (x)
d
2 ( y)
3. f (x, y)d d 1( ) f (r cos, r sin)rdr
D
2 ( )
11. 三重积分计算公式：
bx by bz
ab 2. sin
ab
3. a // b 的充要条件是 a b 0
4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线
平面方程公式： M o (xo , yo , zo ) n {A, B,C}
2
点法式： A(x xo ) B( y yo ) C(z zo ) 0
1.
利用直角坐标系计算，
为
z1 (x, y) y1 (x)
y
z
y
z2 (x, 2 (x)
y
)
a x b
f (x, y, z)d
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x,y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
z Fx x Fz
z Fy y Fz
全微分公式：设 z f (x, y), dz z dx z dy x y
7. 复合函数与隐函数的偏导数
8. 偏导数的应用：二元函数极值
9. 高阶导数
3
第三章 重积分
10. 二重积分计算公式：1. kd kA （ A 为 D 的面积） D
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
2. 设 z f (u, v),u (x, y), v (x, y)
dz z du z dv dx u dx v dx
3.设 F (x, y, z) 0
1. a b axbx a yby azbz
2. a b 的充要条件是： a b 0
3. cos( ab)
ab
ab
向量的数量积公式：
i jk 1. a b ax a y az (a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
LAB
x (t) A( )起点
L AB
:
y
(t)
B(
)终点
15. 格林公式及其应用
格林公式：
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中 L 是沿正向取的闭区域的边界曲线。16. 姻亲的种类（P66）
5
17. 对面积的曲面积分
f (x, y, z)ds f [x, y, z(x, y)]
x r cos 2. 利用柱面坐标计算： 为 y r sin
y z
f (x, y, z)dv 2 dx r2() rdr z2(r,) f (r cos, r sin, z)dz
1
r1 ( )
z1 (r, )
x r cos sin
1
2019 年自考高等数学公式
第一章 空间解析几何与向量代数
1. 空间两点间的距离公式 p1 p2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
2. 向量的投影3. 数量积 Nhomakorabea向量积：
向量的数量积公式：设 a {ax , a y , az }, b {bx , by , bz }
直线方程公式： S {l, m, n} ， M o (xo , yo , zo )
点向式： x xo y yo z zo
l
m
n
5. 二次曲面
第二章 多元函数微分学
6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分
偏导数公式：
1. z f (u, v),u (x, y), v (x, y)