江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
金太阳2020-2021年学年度上学期期中考试高二试题
2020-2021学年度上学期期中考试高二试题数学考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求.1.已知方程m y x =+32的曲线通过点()2,1-，则=m （）A 5B 8C 9D 102.已知向量()()4,,3,3,1,2k b a -=-=→→，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-⊥→→→b a a ，则k 的值为（）A 8-B 6-C 6D 103.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()()()M C B A ,2,5,6,1,6,2-为BC 的中点，则中线AM 所在直线的方程为（）A 02610=-+y xB 0228=-+y x C 0268=-+y x D 03410=--y x 4.已知点()()1,0,0,1B A ，圆()31:22=++y x C ，则（）A B A ,都在C 内B A 在C 外，B 在C 内C B A ,都在C 外D A 在C 内，B 在C 外5.在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为BC 的中点，则异面直线MD 与1AB 所成角的余弦值是（）A 55B 552C 510D 5156.已知椭圆()012:2222>=+m m y m x C 的左、右焦点分别为P F F ,,21为C 上任意一点，若1221≥+PF PF ，则必有（）A 2621≤F F B 2621≥F F C 921≤F F D 921≥F F 7.设直线03=+--k y kx 过定点A ，直线082=--k y kx 过定点B ，则直线AB 的倾斜角为（）A 65πB 32πC 3πD 6π8.设21,F F 分别为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，实轴为21A A ，若P 为C 的右支上的一点，线段1PF 的中点为M ，且2121127,A A M F PF M F =⊥，则C 的离心率为（）A 34B 35C 2D 37二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.以下关于向量的说法中正确的是（）A 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则中点围成一个球面B 若→→=b a ，则→→=ba C 若→a 与→b 共线，→b 与→c 共线，则→a 与→c 可能不共线D 若→→-=b a ，且→→=c b ，则→→=ca 10.已知双曲线16:22=-y x C ，则（）A C 的焦距为7B C 的虚轴长是实轴长的6倍C 双曲线1622=-x y 与C 的渐近线相同D 直线x y 3=上存在一点在C 上11.若过点()1,2-的圆M 与两坐标轴都相切，则直线01043=+-y x 与圆M 的位置关系可能是（）A 相交B 相切C 相离D 不能确定12.已知曲线C 的方程为()()()()0,1,3,0,3,0,101922--≤<=+D B A x y x ，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线5=x 交于点M ，直线BP 与直线5=x 交于点N ，则DMN ∆的面积可能为（）A 73B 76C 68D 72第Ⅱ卷三．填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13.若直线()0814=+++y m x 与直线0932=--y x 平行，则这两条平行直线间的距离为__________.14.在四棱柱1111D C B A ABCD -中，→→→→++=11AA z AC y AB x BC ，则=--z y x _________.15.设椭圆()*22221112N n n y n x ∈=+++的焦距为n a .，则数列{}n a 的前n 项和为___________.16.已知动圆Q 与圆()94:221=++y x C 外切，与圆()94:222=-+y x C 内切，则动圆圆心的轨迹方程为______四．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）在①它的倾斜角比直线13-=x y 的倾斜角小12π，②与直线01=-+y x 垂直，③在y 轴上的截距为1-，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知直线l 过点()1,2，且__________，求直线l 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且短轴长为72，离心率为43.（1）求C 的标准方程；（2）若C 的焦点在x 轴上，C 的焦点恰为椭圆M 长轴的端点，且M 的离心率与双曲线15422=-x y 的离心率互为倒数，求M 的标准方程.19.（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，E AB AA ,221==为1DD 的中点.（1）证明：⊥CE 平面E C B 11；（2）求二面角B E C B --11的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC D -中，⊥DA 平面BC AB ABC ⊥,且4,3,2===AD AB BC .（1）证明：BCD ∆为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且︒=∠=45,2EAD AE ，求AE 与平面BCD 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知P 是椭圆18:22=+y x C 上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，求直线PA 的斜率；（2）若Q 是圆()4911:22=++y x D 上的动点，求PQ 的最小值.22.（本小题满分12分）已知圆012:22=-+++Ey Dx y x C 过点()7,1-P ，圆心C 在直线022:=--y x l 上.（1）求圆C 的一般方程；（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于B A ,两点，且12-=⋅→→OB OA ，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.。
2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。
江苏省镇江市扬中高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
15．在曲线 的所有切线中，切线斜率的最小值为________.
16．已知函数 在区间 上有四个不同的零点，则实数 的取值范围为______.
四、解答题
17．已知集合 ，集合 .
19．已知函数 ．
当 时，求 的单调增区间；
若 在 上是增函数，求 得取值范围．
20．已知函数 .
（1）判断并证明函数 的奇偶性；
（2）判断当 时函数 的单调性，并用定义证明；
（3）若 定义域为 ，解不等式 .
21．如图所示，某建筑公司要在一块宽大的矩形地面上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线 的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点 ， ，交曲线于点 ，设 ．
把 代入 中，得 ，
故本题选D．
【点睛】
本题考查了回归直线方程过样本点的中心．
5．B
【分析】
根据个位是 和 分成两种情况进行分类讨论，由此计算出所有可能的没有重复数字的四位偶数的个数.
【详解】
当0在个位数上时，有 个；当2在个位数上时，首位从5，3中选1，有两种选择，剩余两个数在中间排列有2种方式，所以有 个所以共有10个．
江苏省镇江市扬中高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2020-2021学年江苏省镇江市七年级(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省镇江市七年级第一学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．的倒数是．2．我市某日的最高温度是7℃，最低温度是﹣1℃，则当天的最高温度比最低温度高℃．3．2020年10月11日至12月10日，第七次全国人口普查开展入户工作．上一次人口普查公告显示中国总人口截至当时约为1370000000人，1370000000用科学记数法表示为．4．下列三个日常现象：其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（填序号）．5．下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有个．6．已知∠α＝63°47′，则它的余角等于．7．若x＝﹣2是关于x的方程3m﹣2x+1＝0的解，则m的值为．8．已知线段AB＝11cm，C是直线AB上一点，若BC＝5cm，则线段AC的长等于cm．9．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝°．10．用火柴棒搭成如图所示的图形，第①个图形需要3根火柴棒，第②个图形需要5根火柴棒…，用同样方式，第n个图形需根火柴棒（用含n的代数式表示）．11．将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24．12．已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，那么关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解为y＝．二、选择题（共有6小题，每小题3分，共计18分.）13．下列计算结果正确的是（）A．2x2﹣3x2＝﹣1B．2x2﹣3x2＝x2C．2x2﹣3x2＝﹣x2D．2x2﹣3x2＝﹣5x214．如果直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为6cm，8cm，10cm，则点P到直线l的距离是（）A．不超过6cm B．6cm C．8cm D．10cm15．丁丁和当当用大小相同的圆形纸片分别剪成扇形（如图）做圆锥形的帽子，请你判断哪个小朋友做成的帽子更高一些（）A．丁丁B．当当C．一样高D．不确定16．一个几何体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．17．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点C，则∠ACE+∠BCD等于（）A．120°B．145°C．175°D．180°18．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（）人．A．38B．40C．42D．45三、解答题（本大题共有8小题，共计78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）19．计算：（1）|﹣6|﹣（+3）+1；（2）×（﹣32×﹣4）．20．解方程：（1）4（x﹣2）＝2﹣x；（2）1+＝．21．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，点A、B、C均在格点上．（1）过点C画线段AB的平行线CD；（2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点E；（3）线段AE的长度是点到直线的距离；（4）△ABE的面积等于．22．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF ＝25°．求：（1）∠BOD的度数；（2）∠COE的度数．23．一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情形如图所示．（1）A的对面是，B的对面是，C的对面是；（直接用字母表示）（2）若A＝﹣2，B＝|m﹣3|，C＝m﹣3n﹣，E＝（+n）2，且小正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．24．我校七年级各班组织了关于“元旦”期间的市场调查社会实践活动．甲、乙、丙三位同学组成的活动小组去A，B两大超市，调查了这两个超市近两年“元旦”期间的销售情况．请根据这三位同学的实践活动报告解决以下问题：（1）去年A、B两超市销售额共为万元；（2）分别求出这两个超市去年“元旦”期间的销售额．25．[读一读]如图1，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A、B分别对应实数a、b，我们能求出线段AB的长．过程如下：AB＝OA+OB＝|a|+|b|．因为a＜0，b＞0，所以|a|＝﹣a，|b|＝b．所以AB＝﹣a+b＝b﹣a．[试一试]如图2，若点A、B都在原点O的左侧，且点A距离原点更远，点A、B分别对应实数a、b．求线段AB的长．[用一用]数轴上有一条线段AB，若把线段AB上的每个点对应的数都乘以得到新的数，再把所有这些新数所对应的点都向左平移2个单位后，得到新的线段CD．（1）若点A表示的数是3，点B表示的数是﹣2，则线段CD的长等于；（2）如果线段AB上的一点P经过上述操作后得到的点P'与点P重合，线段AB上的一点Q经过上述操作后得到的点Q′表示的数是Q表示的数的，求线段PQ的长．26．[阅读]材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l平分这个角．材料2：如图2中，三角板OAB绕点O顺时针旋转60°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O顺时针旋转60°到OC、OD的位置；如图3中，三角板OAB 绕点O逆时针旋转90°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O逆时针旋转90°到OC、OD的位置．[问题解决]（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A、C重合）．现在将三角板OCD固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB转动的时间为t秒．①当三角板OAB转动到图5的位置时，它的一边OA平分∠COD，求t的值；②当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝秒；（直接写出结果）（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A、O、C在一条直线上）．在三角板OAB绕点O以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD绕点O以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB转动一周时停止转动，此时三角板OCD也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB转动的时间为t秒．当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝秒．（直接写出结果）参考答案一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）1．的倒数是2．【分析】根据倒数的定义，的倒数是2．解：的倒数是2，故答案为：2．2．我市某日的最高温度是7℃，最低温度是﹣1℃，则当天的最高温度比最低温度高8℃．【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．解：由题意可得：7﹣（﹣1），＝7+1，＝8（℃）．故答案为：8．3．2020年10月11日至12月10日，第七次全国人口普查开展入户工作．上一次人口普查公告显示中国总人口截至当时约为1370000000人，1370000000用科学记数法表示为1.37×109．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：1370000000用科学记数法表示为1.37×109，故答案为：1.37×109．4．下列三个日常现象：其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是②（填序号）．解：图①利用垂线段最短；图②利用两点之间线段最短；图③利用两点确定一条直线；故答案为：②．5．下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有4个．解：在所列实数中，有理数有﹣1、0、、3.14，故答案为：4．6．已知∠α＝63°47′，则它的余角等于26°13′．【分析】根据互余的概念：和为90度的两个角互为余角作答．解：根据定义∠a的余角度数是90°﹣63°47′＝26°13′．故答案为：26°13′．7．若x＝﹣2是关于x的方程3m﹣2x+1＝0的解，则m的值为﹣．解：∵x＝﹣2是关于x的方程3m﹣2x+1＝0的解，∴3m+4+1＝0，解得：m＝﹣，故答案为：﹣．8．已知线段AB＝11cm，C是直线AB上一点，若BC＝5cm，则线段AC的长等于6或16 cm．【分析】本题由于点C是直线上的一点，所以点C有可能在线段AB之间，有可能在线段AB的延长线上，从而容易得到答案为6cm或者16cm．【解答】解，当点C在线段AB之间时，AC＝AB﹣BC＝11﹣5＝6cm．当点C在线段AB的延长线上时，AC+BC＝11+5＝16cm．故答案为：6或16．9．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝45°°．【分析】根据角平分线的定义得到∠DOC＝∠BOC，∠COE＝∠COA，结合图形计算即可．解：∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC，∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠COA，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（∠BOC+∠COA）＝∠AOB＝45°．故答案为：45°．10．用火柴棒搭成如图所示的图形，第①个图形需要3根火柴棒，第②个图形需要5根火柴棒…，用同样方式，第n个图形需（1+2n）根火柴棒（用含n的代数式表示）．【分析】根据已知图形得出火柴棒的根数为序数2倍与1的和，据此可得答案．解：∵第①个图形中火柴棒的根数3＝1+2×1，第②个图形中火柴棒的根数5＝1+2×2，第③个图形中火柴棒的根数7＝1+2×3，……∴第n个图形中火柴棒的根数为1+2n，故答案为：（1+2n）．11．将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24．【分析】根据2×12＝3×8＝4×6＝24来构造即可．解：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝2×（4+3+5）＝2×12＝24，故答案为：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．12．已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，那么关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解为y＝1000．解：∵关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，∴关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b中y﹣1＝999，解得：y＝1000，故答案为：1000．二、选择题（共6小题）.13．下列计算结果正确的是（）A．2x2﹣3x2＝﹣1B．2x2﹣3x2＝x2C．2x2﹣3x2＝﹣x2D．2x2﹣3x2＝﹣5x2【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断即可．解：2x2﹣3x2＝（2﹣3）x2＝﹣x2；故选：C．14．如果直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为6cm，8cm，10cm，则点P到直线l的距离是（）A．不超过6cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】根据垂线段最短得出两种情况：①当4cm是垂线段的长时，②当4cm不是垂线段的长时，求出即可．解：∵6＜8＜10，∴根据垂线段最短得出：当6cm是垂线段的长时，点P到直线l的距离是6cm；当6cm 不是垂线段的长时，点P到直线l的距离小于6cm，即点P到直线l的距离小于或等于6cm，即不超过6cm，故选：A．15．丁丁和当当用大小相同的圆形纸片分别剪成扇形（如图）做圆锥形的帽子，请你判断哪个小朋友做成的帽子更高一些（）A．丁丁B．当当C．一样高D．不确定【分析】可得丁丁剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径大于当当剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径，由于母线长相等，根据勾股定理可得丁丁做成的帽子更高一些．解：由图形可知，丁丁剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径大于当当剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径，∵扇形的半径相等，即母线长相等，∴由勾股定理可得丁丁做成的圆锥形的帽子更高一些．故选：A．16．一个几何体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．解：从上面看该几何体，得到的是长方形，且中间有一条竖线，因此选项C中的图形，比较符合题意，故选：C．17．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点C，则∠ACE+∠BCD等于（）A．120°B．145°C．175°D．180°【分析】由题意可知∠ACB＝∠DCE＝90°，根据补角的定义可得∠ACE+∠BCD等于180°．解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝∠DCE+（∠ACD+∠BCD）＝∠DCE+∠ACB＝180°．故选：D．18．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（）人．A．38B．40C．42D．45【分析】可设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：根据（1）得分不足7分的平均得分为3分，可得xy﹣3x＝13①，根据（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，可得4.5x﹣xy＝21.5②，再把它们相加求得x，进一步可求七（1）班共有学生人数．解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：（1）得分不足7分的平均得分为3分，xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），xy﹣3x＝13①，（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），4.5x﹣xy＝21.5②，①+②得1.5x＝34.5，解得x＝2.3，故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．故选：A．三、解答题（本大题共有8小题，共计78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）19．计算：（1）|﹣6|﹣（+3）+1；（2）×（﹣32×﹣4）．【分析】（1）先算绝对值，再算加减法；（2）先算乘方，再算乘法，最后算减法；如果有括号，要先做括号内的运算．解：（1）|﹣6|﹣（+3）+1＝6﹣3+1＝4；（2）×（﹣32×﹣4）＝×（﹣9×﹣4）＝×（﹣6﹣4）＝×（﹣10）＝﹣5．20．解方程：（1）4（x﹣2）＝2﹣x；（2）1+＝．【分析】（1）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；（2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．解：（1）4（x﹣2）＝2﹣x，去括号，得4x﹣8＝2﹣x，移项，得4x+x＝2+8，合并同类项，得5x＝10，系数化为1，得x＝2；（2）1+＝，去分母，得6+3（3﹣x）＝2（2x+1），去括号，得6+9﹣3x＝4x+2，移项，得﹣3x﹣4x＝2﹣6﹣9，合并同类项，得﹣7x＝﹣13，系数化为1，得x＝．21．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，点A、B、C均在格点上．（1）过点C画线段AB的平行线CD；（2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点E；（3）线段AE的长度是点E到直线AB的距离；（4）△ABE的面积等于4．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据垂线的定义画出图形即可．（3）根据点到直线的距离的定义判断即可．（4）利用三角形的面积公式计算即可．解：（1）如图，直线CD即为所求作．（2）如图，直线AE即为所求作．（3）线段AE的长度是点E到直线AB的距离．故答案为：E，AB．（4）△ABE的面积＝×4×2＝4，故答案为：4．22．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF ＝25°．求：（1）∠BOD的度数；（2）∠COE的度数．【分析】（1）根据角平分的定义和对顶角相等可得答案；（2）根据垂直的定义得∠AOE＝90°，然后由角的和差关系可得答案．解：（1）∵射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°，∴∠AOC＝2∠AOF＝50°，∴∠BOD＝∠AOC＝50°；（2）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝50°，∴∠COE＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°．23．一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情形如图所示．（1）A的对面是D，B的对面是E，C的对面是F；（直接用字母表示）（2）若A＝﹣2，B＝|m﹣3|，C＝m﹣3n﹣，E＝（+n）2，且小正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．【分析】（1）依据A与B、C、E、F都相邻，故A对面的字母是D；E与A、C、D、F 都相邻，故B对面的字母是E，进一步可求C的对面是F；（2）依据小正方体各对面上的两个数都互为相反数，可求m，n，进一步求出F所表示的数．解：（1）由图可得，A与B、C、E、F都相邻，故A对面的字母是D；E与A、C、D、F都相邻，故B对面的字母是E；故C的对面是F．故答案为：D，E，F；（2）∵字母A表示的数与它对面的字母D表示的数互为相反数，∴|m﹣3|+（+n）2＝0，∴m﹣3＝0，+n＝0，解得m＝3，n＝﹣，∴C＝m﹣3n﹣＝3﹣3×（﹣）﹣＝5，∴F所表示的数是﹣5．24．我校七年级各班组织了关于“元旦”期间的市场调查社会实践活动．甲、乙、丙三位同学组成的活动小组去A，B两大超市，调查了这两个超市近两年“元旦”期间的销售情况．请根据这三位同学的实践活动报告解决以下问题：（1）去年A、B两超市销售额共为200万元；（2）分别求出这两个超市去年“元旦”期间的销售额．【分析】（1）可设去年A、B两超市销售额共为x万元，根据两超市销售额今年共为242.8万元，列出方程求解即可得出答案；（2）可设A超市去年“元旦”期间的销售额为y万元，则B超市去年“元旦”期间的销售额为（200﹣y）万元，根据两超市销售额今年共为242.8万元，列出方程求解即可得出答案．解：（1）设去年A、B两超市销售额共为x万元，依题意有x+21.4%x＝242.8，解得x＝200．故去年A、B两超市销售额共为200万元．故答案为：200；（2）设A超市去年“元旦”期间的销售额为y万元，则B超市去年“元旦”期间的销售额为（200﹣y）万元，依题意得：（1+25%）y+（1+15%）（200﹣y）＝242.8，解得：y＝128，200﹣y＝200﹣128＝72．故A超市去年“元旦”期间的销售额为128万元，B超市去年“元旦”期间的销售额为72万元．25．[读一读]如图1，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A、B分别对应实数a、b，我们能求出线段AB的长．过程如下：AB＝OA+OB＝|a|+|b|．因为a＜0，b＞0，所以|a|＝﹣a，|b|＝b．所以AB＝﹣a+b＝b﹣a．[试一试]如图2，若点A、B都在原点O的左侧，且点A距离原点更远，点A、B分别对应实数a、b．求线段AB的长．[用一用]数轴上有一条线段AB，若把线段AB上的每个点对应的数都乘以得到新的数，再把所有这些新数所对应的点都向左平移2个单位后，得到新的线段CD．（1）若点A表示的数是3，点B表示的数是﹣2，则线段CD的长等于1；（2）如果线段AB上的一点P经过上述操作后得到的点P'与点P重合，线段AB上的一点Q经过上述操作后得到的点Q′表示的数是Q表示的数的，求线段PQ的长．解：[试一试]如图2，AB＝OA﹣OB＝|a|﹣|b|．∵a＜0，b＜0，∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b．∴AB＝﹣a+b＝b﹣a．[用一用]设点A、B分别对应实数a、b，则C表示的数为，D表示的数为；（1）∵点A表示的数是3，点B表示的数是﹣2，∴C表示的数为＝，D表示的数为＝，∴线段CD的长为：＝1．故答案为：1．（2）设点P表示的数为p，点Q表示的数为q，则P′表示的数为：，Q′表示的数为：．根据题意可得，＝p，＝，解得p＝，q＝﹣15，∴线段PQ的长＝﹣（﹣15）＝．26．[阅读]材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l平分这个角．材料2：如图2中，三角板OAB绕点O顺时针旋转60°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O顺时针旋转60°到OC、OD的位置；如图3中，三角板OAB 绕点O逆时针旋转90°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O逆时针旋转90°到OC、OD的位置．[问题解决]（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A、C重合）．现在将三角板OCD固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB转动的时间为t秒．①当三角板OAB转动到图5的位置时，它的一边OA平分∠COD，求t的值；②当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝60秒；（直接写出结果）（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A、O、C在一条直线上）．在三角板OAB绕点O以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD绕点O以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB转动一周时停止转动，此时三角板OCD也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB转动的时间为t秒．当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝15或37.5秒．（直接写出结果）解：（1）①由三角板可知∠DOC＝60°，∵三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°，∴t秒后，∠AOC＝5t．当OA平分∠DOC时，∠AOC＝30°，∴5t＝30°，解得t＝6．答：t的值是6．②∵OB平分∠DOC时，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴5t＝360°﹣60°＝300°，解得t＝60．故答案为：60．（2）设三角板OAB和三角板OCD旋转后分别为三角板OA′B′和三角板OC′D′，①线段OB平分∠DOC时，如图：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝60°，∴5t+3t+60°＝180°，解得t＝15；②直线OB平分∠DOC时，如图：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∠AOA′＝90°∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝90°+30°＝120°，∴5t+3t﹣120°＝180°，解得t＝37.5；故答案为：15或37.5．。
2020-2021学年江苏省部分市县期中英语高二下学期试题精选汇编 读后续写
2020-2021年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年-年年年年江苏扬州市2020-2021学年高二下学期期中考试英语试卷第二节读后续写（满分25分）阅读下面材料，根据其内容和所给段落开头语续写两段，使之构成一篇完整的短文。
Bales left the pavement of Base Road and stepped onto snow-covered Jewell Trail. She planned a six-hour hike through New Hampshire's Mount Washington State Park. She had packed for almost every emergency and intended to walk alone.She'd checked the weather forecast posted by the Mount Washington Observatory before she left. Based on her experience, Bales knew that her hike was realistic. Besides, she had two emergency plans and extra layers of clothing to better adjust her body temperature as conditions changed.The hike up the lower part of Jewell Trail was pleasant. Bales felt excited as she walked up into snowy paths. The sun shone through the trees and cast a shadow over her smiling face. Less than an hour later, loads of dark clouds had replaced the sunshine, and snow covered the surrounding trees.She still smiled. However, the weather was showing its teeth. Bales added even more layers to shelter herself from the cold winds and thick fog. She made her way across the snow-covered ridge (山脊) toward Mount Washington and began to think about calling it a day. Suddenly, she noticed something: a single set of footprints in the snow ahead of her, which had been made by a pair of sneakers一typically not the type for hiking.Meanwhile, Bales was getting colder, even though she was moving fast and generating some body heat. With strong gusts of wind screaming and attacking her back and left side, she decided to abandon her plan. The only thing that, however, kept her on the trail was the sneaker tracks in the snow.Paragraph 1:Bales faced a dilemma(进退两难的窘境) about whether to follow the tracks or not.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Paragraph 2:Her searching now turned into rescuing the man.______________________________________________________________________________________________________________________ _【答案】Paragraph 1：Bales faced a dilemma (窘境) about whether to follow the tracks or not. If she chose to follow the tracks, it would add time and risk to her hiking, compromising her safety. But the tracks ahead suggested someone might be in danger, and s he couldn’t let this go. Spinning around, she called out into the frozen fog, “Hello! Is anybody out there?”Cautiously, she then walked in the direction of the tracks. Hardly had she rounded a corner than she spotted a man sitting motionlessly.Paragraph 2：Her searching now turned into rescuing the man. She approached him instantly and found he was suffering from frostbite on his feet. Without any hesitation, she wrapped his body with warm clothes, and then poured him some sugary drink. The wind roared over and they would die soon if they didn’t get out of there. She supported the man and inched along the trail. With great efforts, Bales managed to save the man’s life. Exhausted, she felt that it was all worth it.江苏省常熟市2020-2021学年高二下学期期中英语试题第二节读后续写（满分20分）57. 阅读下面材料，根据其内容和所给段落开头语续写两段，使之构成一篇完整的短文。
江苏省镇江市镇江一中2020届高三上学期期初考试数学试题 Word版含解析
江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试数学试卷2019．9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}2x x <，B ＝{﹣2，0，1，2}，则A I B ＝ ． 答案：{0，1}考点：集合的运算 解析：∵2x <， ∴22x -<< ∴A ＝{}22x x -<< ∵B ＝{﹣2，0，1，2} ∴A I B ＝{0，1}2．已知i 是虚数单位，则复数212i(2i)2i++-对应的点在第 象限． 答案：二 考点：复数 解析：∵212i (12i)(2i)(2i)44i 2i (2i)(2i)++++=-+=-+--+， ∴该复数对应点在第二象限3．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.2，10.0，10.6，10.8，则这组样本数据的方差为 ． 答案：0.4考点：方差与标准差解析：这组样本数据的平均数为：x ＝15×(9.4＋9.2＋10＋10.6＋10.8)＝10 ∴这组样本数据的方差为：S 2＝15×[(9.4﹣10)2＋(9.2﹣10)2＋(10﹣10)2＋(10.6﹣10)2＋(10.8﹣10)2]＝0.44．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ．答案：10考点：伪代码（算法语句）解析：模拟程序的运行过程，得：s=1，i=1，满足条件i ≤5，执行循环s=1+1=2，i=3满足条件i ≤5，执行循环s=2+3=5，i=5满足条件i ≤5，执行循环s=5+5=10，i=7此时不满足条件i ≤5，退出循环，输出s=10．故答案为：10．5．在区间[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为 ． 答案：34考点：几何概型解析：∵直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2＝9相交 2531k k <+解得3344k -<< 则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2＝9相交”发生的概率P ＝322＝34．6．已知函数ln 20()0x x f x x a x ->⎧=⎨+≤⎩，，，若(())f f e ＝2a ，则实数a ＝ ．答案：﹣1考点：分段函数，函数求值解析：2(())(1)1a f f e f a ==-=-+，求得a ＝﹣1．7．若实数x ，y ∈R ，则命题p ：69x y xy +>⎧⎨>⎩是命题q ：33x y >⎧⎨>⎩的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）答案：必要不充分条件 考点：简易逻辑，充要条件解析：本题p 推不出q ，但q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．8．已知函数1(12)31()21x a x a x f x x --+<⎧=⎨≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．答案：[0，12) 考点：函数的值域解析：要使原函数值域为R ，则1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得0≤a ＜12．9．若a ＝21.4，b ＝80.2，c ＝2log 41()2-，则a ，b ，c 的大小关系是 （用“＞”连接）．答案：c ＞a ＞b考点：指数函数解析：a ＝21.4，b ＝80.2＝20.6，c ＝2log 41()2-＝24，因为4＞1.4＞0.6，所以c ＞a ＞b ．10．已知函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，且2()5a f m --＞2(22)f m m -+-，则实数m 的取值范围是 ．答案：1122m ≤<考点：单调性与奇偶性相结合解析：由函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，得2﹣a ＋3＝0，所以a ＝5． 所以2()5a f m --＞2(22)f m m -+-，即2(1)f m --＞2(22)f m m -+- 由偶函数()f x 在[﹣3，0]上单调递增，而21m --＜0，222m m -+-＜0∴22223103220122m m m m m m ⎧-≤--≤⎪-≤-+-≤⎨⎪-->-+-⎩，解得1122m ≤<．11．已知P 是曲线211ln 42y x x =-上的动点，Q 是直线324y x =-上的动点，则PQ 的最小值为 ． 答案：62ln 25- 考点：导数与切线 解析：当曲线211ln 42y x x =-在点P 处的切线的斜率为34，且PQ ⊥直线324y x =-时，PQ 最小，由21324x y x -'==，解得x ＝2（负值已舍），此时切点P(2，1﹣ln 22)，求得点P 到直线324y x =-的距离为62ln 25-，所以PQ 的最小值为62ln 25-． 12．若正实数m ，n ，满足226m n m n+++=，则mn 的取值范围为 ．答案：[1，4]考点：基本不等式解析：设mn ＝t ，则222(2)62t t t m t m t++++=≥，解得1≤t ≤4，其中当m ＝n t 时取“＝”．13．若关于x 的方程222(1)1+40x x x ax ---=恰有4个不同的正根，则实数a 的取值范围是 ．答案：(0，132) 考点：函数与方程解析：思路一：原方程可转化为223211452301x x x a x x x-⎧-≥⎪⎪=⎨-⎪-<<⎪⎩, , 恰有4个不同的正根，根据数形结合画图后即可求得0＜a ＜132． 思路二：原方程可转化为2112()40x x a x x---+=恰有4个不同的正根，从而转化为方程2240t t a -+=在(0，1)有两个不等的根，则有132040140a a a ->⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解得0＜a ＜132． 14．设()f x '和()g x '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()f x '·()g x '＜0在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反．若函数31()2(0)3f x x ax a =->与()g x =2x 2bx +在区间(a ，b )上单调性相反，则b ﹣a 的最大值为 ．答案：12考点：利用导数研究函数的性质，不等式 解析：∵31()2(0)3f x x ax a =->，()g x =2x 2bx +， ∴2()2f x x a '=-，()22g x x b '=+；由题意得()f x '·()g x '＜0在(a ，b )上恒成立，∵a ＞0，∴b ＞a ＞0，∴22x b +＞0恒成立，∴22x a -≤0恒成立，即2a -x2a 0＜a ＜x ＜b ，∴b 2a 0＜a 2a 0＜a ≤2；则b ﹣a2a a ＝221(22a -+，当a ＝12取最大值12． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）己知集合A ＝{}2320x x x -+≤，集合B 为函数22y x x a =-+的值域，集合C ＝{x }240x ax --≤．命题p ：A I B ≠∅，命题q ：A ⊆C ．（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围． 15．16．（本小题满分14分）已知函数2()(0)1xf x x x =>+． （1）求证：函数()f x 在(0，+∞)上为增函数； （2）设2()log ()g x f x =，求函数()g x 的值域；（3）若奇函数()h x 满足x ＞0时()()h x f x =，当x ∈[2，3]时，(log )a h x -的最小值为43-，求实数a 的值． 16．（3）实数a 3327． 17．（本小题满分14分）已知函数1()212xx f x =+-． （1）解关于x 的不等式()(2)f x f x ≥；（2）若对任意x ∈R ，不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，求实数k 的取值范围． 17．解：（1）∵()(2)f x f x ≥∴2211212122xxx x+-≥+- 化简得：211(2)(2)2022x xx x +-+-≤即11(22)(21)022x xx x +-++≤∵1212xx ++＞0∴1222xx +-＜0即2(21)0x -≤，又2(21)0x -≥，∴2(21)0x -=，∴x ＝0 ∴不等式()(2)f x f x ≥的解集为{1}． （2）要使不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，则222112112(2)922112222x xx x x x x xk +-+++<=++恒成立， 令122xx t =+，t ≥2，则min 9()6k t t<+=（当且仅当t ＝3时取“＝”）∴实数k 的取值范围是k ＜6．18．（本小题满分16分）设函数()(1)()f x x x x a =--(a ∈R)，()f x 的取得极值时两个对应点为A(α，()f α)，B(β，()f β)，线段AB 的中点为M ．（1）如果函数()f x 为奇函数，求实数a 的值，并求此时()f α·()f β的值； （2）如果M 点在第四象限，求实数a 的取值范围． 18．（1）所以3()f x x x =-，则2()31f x x '=-，令()0f x '=求得3α=，33β=- ∴()f α·3333334()[()][()]333327f β=--+=-． （2）19．（本小题满分16分）下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21：4，且点P 对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问：两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．19．20．（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()g x ax b =+，a ，b ∈R ．（1）若(1)0g -=，且函数()g x 的图象是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值； （2）若不等式2()f x x m >+对任意x ∈(0，+∞)恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0，+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围． 20．。
江苏省镇江市句容市、丹徒区2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷及参考答案
22. 已知：如图，AC=BD，∠1=∠2. 求证：△ADB≌△BCA. 23. 计算图中四边形ABCD的面积．
16. 如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，BC=10cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△CBD的周长C△BCD=____ ____.
17. 如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂பைடு நூலகம்为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝________.
18. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E.若AD=4，CE=3，则DE的长为___ _____.
二、填空题 9. △ABC中，AB=AC，且∠A=80°，则∠B=________°. 10. 如图，△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠B=50°，则∠DFB=________.
11. 如图，x=________.
12. 已知等腰三角形的周长为12，底边长为5，则腰长为________. 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D ， 若AC＝8，BC＝6，则CD＝________．
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
22. 23. 24.
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27.
（1） 若t=4，则CE=________； （2） 若x=2，当 t为何值时点E在CF的垂直平分线上； （3） 连接BF，直接写出点C与点E关于BF对称时x与t的值. 27. 如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连 接CF.
2020-2021学年江苏省镇江市八年级上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省镇江市八年级第一学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．（2分）如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝35°，∠C＝25°，则∠B'＝．2．（2分）如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为．3．（2分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是．4．（2分）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，添加一个条件：，使得△ABC≌△DEF．5．（2分）如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为．6．（2分）已知等腰三角形的一个内角是50°，则等腰三角形的顶角等于°．7．（2分）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝°．8．（2分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，若AB ＝7，BC＝5，则△BCE的周长等于．9．（2分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝5，DC＝7，DE＝16，则FG＝．10．（2分）如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，已知△ABC的面积为2cm2，则阴影部分的面积为cm2．11．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BD的垂直平分线交AB于点F，并且恰好经过点C，则∠A＝°．12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点B关于AD的对称点为B'，点A关于BC的对称点为A'，连接A'B'并延长，交AC于点E，若AB＝3，AC＝4，则线段CE的长为．二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）13．（3分）下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．14．（3分）小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（）A．21：10B．10：21C．10：51D．12：0115．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．3，4，5B．8，15，17C．1.5，2，2.5D．16．（3分）到三角形的三边距离相等的点是（）A．三角形三条高的交点B．三角形三条内角平分线的交点C．三角形三条中线的交点D．三角形三条边的垂直平分线的交点17．（3分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，Rt△ABC≌Rt△AB'C'，且∠ABC＝∠CAB'，连接BC'，并取BC'的中点D，则下列四种说法：①AC'∥BC；②△ACC'是等腰直角三角形；③AD平分∠CAB'；④AD⊥CB'．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）如图，AB、CD相交于点O，△AOC≌△BOD，点E在AC上，EO的延长线交BD于点F．求证：O是EF的中点．20．（10分）如图所示，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点处．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'；（2）直接写出△A'B'C'的面积等于；（3）在直线l上求作一点P，使PA+PC的长度最小，并写出这个最小值为．21．（9分）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且AC＝DF，BF＝CE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝65°，则∠DGC＝°．22．（9分）如图，AB＝AC，BD＝CD．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）连接BC，求证：AD⊥BC．23．（10分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AD．（1）作△ACD的高AE，点E为垂足（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在射线CD上找一点P，使△PCB与（1）中所作的△ACE全等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．并证明你所作出的△PCB与△ACE全等．25．（12分）如图，点E在等边△ABC的边AB所在直线上，以EC为一边作等边△ECF，顶点E、C、F顺时针排序．（1）点E在线段AB上，连接BF．求证：BF∥AC；（2）已知AB＝6，当△BCF是直角三角形时，求BE的长．26．（12分）如图1，∠MCN＝90°，点A在射线CM上滑动，点B在射线CN上滑动，且线段AB的长始终保持10cm不变．（1）若AC＝6cm，动点P从点A出发，从点A→点B→点C→点A，速度为2cm/s，设运动时间为ts．当t为何值时，△ACP为等腰三角形；（2）如图2，在滑动过程中，以AB为斜边在AB的右侧作Rt△ABE，在滑动的过程中EC的最大值为.（直接写出结果）参考答案一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）1．（2分）如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝35°，∠C＝25°，则∠B'＝120°．解：∵△ABC，∠A＝35°，∠C＝25°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣25°﹣35°＝120°，∵△ABC≌△A'B'C'，∴∠B＝∠B′＝120°，故答案为：120°．2．（2分）如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为2．解：作PE⊥OB于E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝2，故答案为：2．3．（2分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是5．解：已知直角三角形的两直角边为6、8，则斜边长为＝10，故斜边的中线长为×10＝5，故答案为5．4．（2分）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，添加一个条件：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF，使得△ABC≌△DEF．解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AB＝DE，添加∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEF；添加∠ACB＝∠DFE，利用AAS得出△ABC≌△DEF；添加BC＝EF，利用SAS得出△ABC≌△DEF；故答案为：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF．5．（2分）如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为36．解：由题意知，BD2＝100，BC2＝64，且∠DCB＝90°，∴CD2＝100﹣64＝36，正方形A的面积为CD2＝36．故答案为36．6．（2分）已知等腰三角形的一个内角是50°，则等腰三角形的顶角等于50或80°．解：如图所示，△ABC中，设AB＝AC．分两种情况：①顶角∠A＝50°；②当底角是50°时，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，综上所述，这个等腰三角形的顶角为50°或80°．故答案为：50或80．7．（2分）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝110°．解：由折叠的性质可得，∠1＝∠3，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，∵长方形纸片的两条长边平行，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠2＝110°，故答案为：110．8．（2分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，若AB ＝7，BC＝5，则△BCE的周长等于12．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝12，故答案为：12．9．（2分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝5，DC＝7，DE＝16，则FG＝4．解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF，∵BE＝5，DC＝7，DE＝16，∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝16﹣5﹣7＝4，故答案为：4．10．（2分）如图，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于点P，已知△ABC的面积为2cm2，则阴影部分的面积为1cm2．解：延长AP交BC于D，∵CP平分∠ACB，∴∠ACP＝∠DCP，∵AP⊥CP，∴∠APC＝∠DPC＝90°，在△ACP与△DCP中，，∴△ACP≌△DCP（ASA），∴AP＝DP，∴S△ABP＝S△ABD，S△ACP＝S△ACD，∴阴影部分的面积＝S△ABC＝2＝1（cm2），故答案为：1．11．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BD的垂直平分线交AB于点F，并且恰好经过点C，则∠A＝36°．解：连接CD，∵DE和CF分别是AC和BD的垂直平分线，∴DA＝DC＝BC，∴∠DCA＝∠A，∠CDB＝∠B，∵∠CDB＝∠DCA+∠A＝2∠A，∴∠B＝2∠A，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝2∠A，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+2∠A＝180°∴∠A＝36°，故答案为：36．12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点B关于AD的对称点为B'，点A关于BC的对称点为A'，连接A'B'并延长，交AC于点E，若AB＝3，AC＝4，则线段CE的长为．解：∵点B关于AD的对称点为B'，点A关于BC的对称点为A'，∴AD＝A′D，BD＝B′D，∵AD⊥BC，∠ADB＝∠A′DB′，∴△ABD≌△A′B′D（SAS），∴∠B＝∠A′B′D，∴A′B′∥AB，∴∠BAC＝∠A′EC＝90°，在△ABC和△EB′C中，∠C＝∠C，∠BAC＝∠B′EC，∴△ABC∽△EB′C，∴＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，∴AD＝＝，BD＝＝，∴B′D＝BD＝，∴B′C＝BC﹣BD﹣B′D＝5﹣﹣＝，∴＝，解得CE＝．故线段CE的长为．故答案为：．二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）13．（3分）下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；故选：A．14．（3分）小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（）A．21：10B．10：21C．10：51D．12：01解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是10：51，故选：C．15．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．3，4，5B．8，15，17C．1.5，2，2.5D．解：A、32+42＝52，能作为直角三角形三边长，故此选项不合题意；B、82+152＝172，能作为直角三角形三边长，故此选项不合题意；C、1.52+22＝2.52，能作为直角三角形三边长，故此选项不合题意；D、（）2+（）2≠（）2，不能作为直角三角形三边长，故此选项符合题意；16．（3分）到三角形的三边距离相等的点是（）A．三角形三条高的交点B．三角形三条内角平分线的交点C．三角形三条中线的交点D．三角形三条边的垂直平分线的交点解：到三角形的三边距离相等的点是：三角形三条内角平分线的交点．故选：B．17．（3分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：如图所示：，故选：C．18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，Rt△ABC≌Rt△AB'C'，且∠ABC＝∠CAB'，连接BC'，并取BC'的中点D，则下列四种说法：①AC'∥BC；②△ACC'是等腰直角三角形；③AD平分∠CAB'；④AD⊥CB'．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵Rt△ABC≌Rt△AB'C'，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠ABC＝∠AB'C'，∠ACB＝∠AC'B'＝90°，∵∠ABC＝∠CAB'，∴∠CAB'＝∠AB'C'，∴AC∥B'C'，∴∠CAC'+∠AC'B'＝90°，∴∠CAC'＝90°＝∠ACB，∴AC'∥BC，故①正确；∵AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∴△CAC'是等腰直角三角形，故②正确；若AB＝AC'时，∵点D是BC'中点，∴AD⊥C'B，∠BAD＝∠C'AD，∴∠CAD＝∠B'AD，即AD平分∠CAB'，∵AB≠AC'，∴③，④错误；故选：B．三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）如图，AB、CD相交于点O，△AOC≌△BOD，点E在AC上，EO的延长线交BD于点F．求证：O是EF的中点．【解答】证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠A＝∠B，OA＝OB，在△AEO与△BFO中，，∴△AEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，即O是EF的中点．20．（10分）如图所示，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点处．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'；（2）直接写出△A'B'C'的面积等于5；（3）在直线l上求作一点P，使PA+PC的长度最小，并写出这个最小值为5．解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；（2）△A'B'C'的面积＝3×4﹣﹣﹣＝12﹣2﹣2﹣3＝5；故答案为：5；（3）如图所示，点P即为所求，PA+PC的长度最小值等于A'C的长，由勾股定理得，A'C＝＝5，∴PA+PC的长度最小值等于5．故答案为：5．21．（9分）如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且AC＝DF，BF＝CE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝65°，则∠DGC＝50°．解：（1）证明：∵AB⊥BE，∴∠B＝90°，∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，即CB＝EF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）∵∠A＝65°，AB⊥BE，∴∠ACB＝90°﹣65°＝25°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ACB＝∠DFE＝25°，∴∠DGC＝∠ACB+∠DFE＝50°．故答案为：50．22．（9分）如图，AB＝AC，BD＝CD．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）连接BC，求证：AD⊥BC．【解答】证明：（1）在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；（2）∵△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC．23．（10分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．【解答】（1）证明：连接CD，∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，∴AD＝3，BD＝5，∴DC＝5，∴AC＝＝＝4．24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AD．（1）作△ACD的高AE，点E为垂足（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在射线CD上找一点P，使△PCB与（1）中所作的△ACE全等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．并证明你所作出的△PCB与△ACE全等．解：（1）如图，线段AE即为所求．（2）如图，点P即为所求．25．（12分）如图，点E在等边△ABC的边AB所在直线上，以EC为一边作等边△ECF，顶点E、C、F顺时针排序．（1）点E在线段AB上，连接BF．求证：BF∥AC；（2）已知AB＝6，当△BCF是直角三角形时，求BE的长．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECF为等边三角形，∴BC＝AC，CE﹣CF，∠BAC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠AEC＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CAE＝∠CBF，∵∠CAE＝60°，∴∠FBC＝60°，∴∠FBC＝∠ACB，∴BF∥AC；（2）解：①当E点在线段AB上时，∠BFC＝90°，∵BC＝AB＝6，∠CBF＝60°，∴BF＝BC＝3；②当E点在线段AB的延长线上时，∠BCF＝90°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝30°，∵∠ABC＝∠BCE+∠BEC＝60°，∴∠BEC＝30°＝∠BCE，∴BE＝BC＝6，综上，BE＝3或6．26．（12分）如图1，∠MCN＝90°，点A在射线CM上滑动，点B在射线CN上滑动，且线段AB的长始终保持10cm不变．（1）若AC＝6cm，动点P从点A出发，从点A→点B→点C→点A，速度为2cm/s，设运动时间为ts．当t为何值时，△ACP为等腰三角形；（2）如图2，在滑动过程中，以AB为斜边在AB的右侧作Rt△ABE，在滑动的过程中EC的最大值为10cm.（直接写出结果）解：（1）①AC＝AP时，AP＝AC＝6cm，则t＝6÷2＝3；②AC＝CP时，CP＝AC＝6cm，在Rt△ACB中，CB＝＝＝8（cm），∴BP＝CB﹣CP＝8﹣6＝2（cm），∴t＝（10+2）÷2＝6；③AP＝CP时，如图1，过点P作PD⊥AC于D，则D为AC中点，∵∠ADP＝∠ACB＝90°，∴DP∥CB，∴点P为AB的中点，∴AP＝AB＝×10＝5（cm），则t＝5÷2＝2.5．故当t＝3或t＝6或t＝2.5时，△ACP为等腰三角形；（2）如图2，连结CE，以AB为直径作⊙O，连结OC，OE，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，∴点C，点E在⊙O上，∴当EC为直径时有最大值，∵AB＝10cm，∴EC的最大值为10cm．故答案为：10cm．。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．4米B ．(827．过点()2,1M 的直线l 与圆:(C 的方程为（）A ．312-B ．512-二、多选题9．已知直线1:230l ax y a ++=，和直线A ．当25a =时12l l ⊥C ．直线1l 过定点(3,0)-，直线5131310．已知圆22:420C x y x +-+=，则下列说法正确的有（A ．直线10x y --=与圆C 的相交弦长为B ．圆C 关于直线0x y -=对称的圆的方程为C ．若点(),P x y 是圆C 上的动点，则D ．若圆C 上有且仅有三个点到直线11．已知双曲线221916y x -=的左、右焦点分别为正确的是（）A ．该双曲线的离心率为5三、填空题四、解答题17．（1）直线l 经过两直线280x y +-=与210x y -+=的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.（2）已知直线l 经过点(3,2)A -，且原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.18．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[)90,100，[)100,110，…，[]140,150分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．(1)求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知1AF B △的面积为21．已知圆C 的半径为2，圆心在(1)求圆C 的方程；(2)若过点()0,3-的直线l 与圆三角形AOB 的面积．22．已知椭圆的中心在原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）求证直线MA ，MB。
2020-2021学年江苏省镇江市句容市、丹徒区七年级(下)期中数学试卷(含答案)
2020-2021学年江苏省镇江市句容市、丹徒区七年级（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题2分，共24分）1．清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为．2．计算：m3•m2＝．3．a m＝2，b m＝5，则（ab）m＝．4．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为．5．若x+y＝3，xy＝﹣4，则x2y+xy2＝．6．一个凸多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是边形．7．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为cm．8．如图，直径为3cm的圆O1平移4cm到圆O2，则图中阴影部分的面积为cm2．9．（﹣0.25）100×4101＝．10．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝度．11．16＝a4＝2b，则代数式a+2b＝．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E 是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是．二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．下列计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．a3•a2＝a6C．（﹣a3b）2＝a6b2D．a2b3÷a＝b314．数a＝﹣22，b＝（﹣3）﹣2，c＝﹣30，则a、b、c按从小到大的顺序排列（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a15．9x2+kxy+y2是一个完全平方式，那么k的值为（）A．3B．±3C．6D．±616．下列变形，属于因式分解的有（）①a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）②x2+3x﹣16＝x（x+3）﹣16③（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16④m2+2m+1＝（m+1）2A．1个B．2个C．3个D．4个17．规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝32，则x的值为（）A．29B．4C．3D．218．图（1）是一个长为a，宽为b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．a2B．b2C．（a﹣b）2D．（a﹣b）2 19．小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（）A．4041B．2021C．2020D．120．4张长为m，宽为n（m＞n）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m+n）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则m，n满足的关系式是（）A．m＝1.5n B．m＝2n C．m＝2.5n D．m＝3n三、解答题（本答题共7小题，共72分）21．（16分）计算：（1）（﹣3）2+（﹣2）0﹣（）﹣2；（2）2a2•a4+（﹣2a2）3﹣a8÷a2；（3）（x﹣1）2﹣x（x﹣2）；（4）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）．22．（16分）因式分解：（1）3x2﹣27；（2）a4﹣16；（3）2m3n+4m2n+2mn；（4）（x2+4）2﹣16x2．23．化简求值：（2a+b）2﹣（3a﹣b）2+5a（a﹣b），其中a＝，b＝．24．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A的对应为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF，则△DEF的面积为；（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是；（3）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图中作出线段CP．25．已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．26．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度数；（2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数．27．把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2；得a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值；（2）请直接写出下列问题答案：①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝；②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝4，两正方形的面积和S1+S2＝12，求图中阴影部分面积．参考答案一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）1．清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为8.4×10﹣6．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：0.0000084＝8.4×10﹣6，故答案为：8.4×10﹣6．2．计算：m3•m2＝m5．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n＝a m+n 计算即可．解：m3•m2＝m3+2＝m5，故答案为：m5．3．a m＝2，b m＝5，则（ab）m＝10．【分析】先根据积的乘方进行变形，再求出答案即可．解：∵a m＝2，b m＝5，∴（ab）m＝a m•b m＝2×5＝10，故答案为：10．4．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为45°．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠D＝45°，故答案为：45°．5．若x+y＝3，xy＝﹣4，则x2y+xy2＝﹣12．【分析】把x+y和xy看做整体，利用提公因式对x2y+xy2进行分解，代入可得．解：∵x+y＝3，xy＝﹣4，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣4×3＝﹣12，故答案为：﹣12．6．一个凸多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是6边形．【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和是它的外角和的2倍，则多边形的内角和是720度，根据多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．解：设多边形边数为n．则360°×2＝（n﹣2）•180°，解得n＝6．故答案为：6．7．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为23cm．【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．故答案为23．8．如图，直径为3cm的圆O1平移4cm到圆O2，则图中阴影部分的面积为12cm2．【分析】根据平移的性质得到图中阴影部分面积＝矩形ABCD的面积，根据矩形的面积公式计算即可．解：由平移的性质可知，图中阴影部分面积＝矩形ABCD的面积＝3×4＝12（cm2），故答案为：12．9．（﹣0.25）100×4101＝4．【分析】先转化为指数都是100的幂的乘法，再逆运用积的乘方的性质进行计算即可求解．解：（﹣0.25）100×4101＝（﹣0.25）100×4100×4＝（﹣0.25×4）100×4＝4．故答案为：4．10．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝120度．【分析】先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD ＝180°，∠2+∠BAE＝180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD＝150°，求得答案．解：如图，连接BF，BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，∴∠1＝30°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝120°．故答案为：120．11．16＝a4＝2b，则代数式a+2b＝10或6．【分析】根据16＝24，求出a，b的值，即可解答．解：∵16＝24，16＝a4＝2b，∴a＝±2，b＝4，∴a+2b＝2+8＝10，或a+2b＝﹣2+8＝6，故答案为：10或6．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E 是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是30°或70°．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝40°，根据角平分线的性质可得∠DBC＝20°，再分两种情况：∠EDC＝90°；∠DEC＝90°；进行讨论即可求解．解：∵在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝20°，当∠EDC＝90°时，∠BDE＝180°﹣20°﹣40°﹣90°＝30°；当∠DEC＝90°时，∠BDE＝90°﹣20°＝70°．故∠BDE的度数是30°或70°．故答案为：30°或70°．二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．下列计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．a3•a2＝a6C．（﹣a3b）2＝a6b2D．a2b3÷a＝b3【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方进行计算即可．解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a3•a2＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣a3b）2＝a6b2，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2b3÷a＝ab3，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．14．数a＝﹣22，b＝（﹣3）﹣2，c＝﹣30，则a、b、c按从小到大的顺序排列（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．解：∵a＝﹣22＝﹣4，b＝（﹣3）﹣2＝，c＝﹣30＝﹣1，∴a＜c＜b．故选：B．15．9x2+kxy+y2是一个完全平方式，那么k的值为（）A．3B．±3C．6D．±6【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．解：∵9x2+kxy+y2是一个完全平方式，∴k＝±（2×3×1），∴k＝±6．故选：D．16．下列变形，属于因式分解的有（）①a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）②x2+3x﹣16＝x（x+3）﹣16③（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16④m2+2m+1＝（m+1）2A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．解：①a2﹣9＝（a+3）（a﹣3），属于因式分解，②x2+3x﹣16＝x（x+3）﹣16，不属于因式分解；③（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，属于整式乘法，不属于因式分解；④m2+2m+1＝（m+1）2，属于因式分解；即属于因式分解的有2个，故选：B．17．规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝32，则x的值为（）A．29B．4C．3D．2【分析】根据规定可得关于x的一元一次方程，解方程即可．解：根据题意得：22×2x+1＝32，即22×2x+1＝25，∴2+x+1＝5，解得x＝2．故选：D．18．图（1）是一个长为a，宽为b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．a2B．b2C．（a﹣b）2D．（a﹣b）2【分析】由题意得所剪得的每个小长方形的长为，宽为，则可根据面积公式求得正确选项．解：由题意得所剪得的每个小长方形的长为，宽为，∴中间空余的部分的是一个边长为﹣的正方形，∴中间空余的部分的面积是（）2．故选：D．19．小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（）A．4041B．2021C．2020D．1【分析】依据完全平方公式求出c1和c2，即可得到c1﹣c2＝20212﹣20202，进而得出结论．解：∵（2020x+2021）2＝20202x2+2×2020×2021x+20212＝a1x2+b1x+c1，∴c1＝20212，∵（2021x﹣2020）2＝20212x2﹣2×2021×2020x+20202＝a2x2+b2x+c2，∴c2＝20202，∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，故选：A．20．4张长为m，宽为n（m＞n）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m+n）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则m，n满足的关系式是（）A．m＝1.5n B．m＝2n C．m＝2.5n D．m＝3n【分析】用含有m、n的代数式表示S1、S2，再根据S1与S2的关系得出m、n之间的关系即可．解：大正方形的面积为（m+n）2，阴影部分的面积S2＝n（m+n）×4＝S1，因此有（m+n）2＝S1+S2，即（m+n）2＝n（m+n）×4×2，整理得，m2﹣2mn﹣3n2＝0，∴（m﹣3n）（m+n）＝0，∵m＞0，n＞0，∴m﹣3n＝0，即m＝3n，故选：D．三、解答题（本答题共7小题，共72分）21．（16分）计算：（1）（﹣3）2+（﹣2）0﹣（）﹣2；（2）2a2•a4+（﹣2a2）3﹣a8÷a2；（3）（x﹣1）2﹣x（x﹣2）；（4）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值；（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果；（3）原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，整理即可得到结果．解：（1）原式＝9+1﹣4＝6；（2）原式＝2a6﹣8a6﹣a6＝﹣7a6；（3）原式＝x2﹣2x+1﹣x2+2x＝1；（4）原式＝9a2﹣（b﹣2）2＝9a2﹣b2+4b﹣4．22．（16分）因式分解：（1）3x2﹣27；（2）a4﹣16；（3）2m3n+4m2n+2mn；（4）（x2+4）2﹣16x2．【分析】（1）先提公因式3，再利用平方差公式分解因式可求解；（2）两次利用平方差公式分解因式即可求解；（3）先提公因式2mn，再利用完全平方公式分解因式即可求解；（4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式计算求解．解：（1）原式＝3（x2﹣9）＝3（x﹣3）（x+3）；（2）原式＝（a2﹣4）（a2+4）＝（a﹣2）（a+2）（a2+4）；（3）原式＝2mn（m2+2m+1）＝2mn（m+1）2；（4）原式＝（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）＝（x﹣2）2（x+2）2．23．化简求值：（2a+b）2﹣（3a﹣b）2+5a（a﹣b），其中a＝，b＝．【分析】原式前两项利用完全平方公式展开，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．解：原式＝4a2+4ab+b2﹣9a2+6ab﹣b2+5a2﹣5ab＝5ab，当a＝，b＝时，原式＝5××＝．24．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A的对应为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF，则△DEF的面积为8；（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是AD∥CF且AD＝CF；（3）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图中作出线段CP．【分析】（1）将三个顶点分别向右平移3个单位、向下平移2个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；（2）根据平移变换的性质求解即可；（3）根据中线的特点求解即可．解：（1）如图所示，△DEF即为所求，其面积为×4×4＝8，故答案为：8；（2）由平移变换的性质知AD∥CF且AD＝CF，故答案为：AD∥CF且AD＝CF；（3）如图所示，线段CP即为所求．25．已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵∠BAC和∠ACD的平分线交于E，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠1，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2+∠3＝90°．26．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度数；（2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数．【分析】（1）先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD ＝∠A′FE和∠A’的度数可求出答案．（2）分EA'∥BC和DA'∥BC两种情况讨论．当DA'∥BC时，先求出∠A′DA＝90°，再根据折叠可得出∠ADE＝45°；当EA'∥BC时，根据平行线的性质求出∠2＝∠ABC＝60°，由（1）得出∠1＝120°，再根据折叠可求出∠ADE的度数．解：（1）由折叠可知，∠A′＝∠A＝30°，在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE＝180°，∴∠2＝180°﹣∠A′﹣∠A′FE＝150°﹣∠A′FE，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°，在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD＝360°，∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠B﹣∠BFD＝210°﹣∠BFD，∵∠BFD＝∠A′FE，∴∠1﹣∠2＝210°﹣150°＝60°；（2）当DA'∥BC时，如图，∠A′DA＝∠ACB＝90°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE＝∠ADA′＝45°，当EA'∥BC时，如图，∠2＝∠ABC＝60°．由（1）知，∠1﹣∠2＝60°，∴∠1＝∠2+60°＝120°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE＝∠ADA′＝（180°﹣∠1）＝30°．综上所述∠ADE的度数为：45°或30°．27．把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2；得a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值；（2）请直接写出下列问题答案：①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝±1；②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝13．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝4，两正方形的面积和S1+S2＝12，求图中阴影部分面积．【分析】（1）根据完全平方公式的变形为xy＝代入计算即可；（2）①根据（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn，再代入计算即可；②换元后，依据（2）①的做法即可求出答案；（3）将题意转化为：已知x2+y2＝12，x+y＝4，求xy的值，依据上述方法进行解答即可．解：（1）∵x+y＝6，∴（x+y）2＝36，即x2+2xy+y2＝36，又∵x2+y2＝20，∴20+2xy＝36，∴xy＝8；（2）①∵2m+n＝3，mn＝1，∴（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn＝32﹣1＝1，∴2m﹣n＝±1，②设A＝4﹣m，B＝5﹣m，则A•B＝6，A﹣B＝﹣1，∴A2+B2＝（A﹣B）2+2AB＝1+12＝13，即（4﹣m）2+（5﹣m）2＝13；故答案为：①±1，②13；（3）设AC＝x，BC＝y，则S1＝x2，s2＝y2，∵S1+S2＝12，∴x2+y2＝12，又∵AB＝4＝x+y，∴S阴影＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]＝（42﹣12）＝2，答：图中阴影部分面积为2．。
2020-2021学年江苏省苏州中学高二(上)期初数学试卷
2020-2021学年江苏省苏州中学高二（上）期初数学试卷试题数：14，总分：1001.（单选题，5分）设A={x|x 2-x-2＜0}，B={y|y=3x }，则A∩B=（ ） A.（0，+∞） B.（0，2） C.（-1，0） D.（-1，2）2.（单选题，5分）如果f （ √x +1）=x+2 √x ，则f （x ）的解析式为（ ） A.f （x ）=x 2（x≥1） B.f （x ）=x 2-1（x≥0） C.f （x ）=x 2-1（x≥1） D.f （x ）=x 2（x≥0）3.（单选题，5分）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）等于（ ） A. −49B. −43C. 43D. 494.（单选题，5分）直线y=ax-a 是圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0的一条对称轴，过点A （ 4a， 2a）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A. √2 B.2 √2 C. √5 D.15.（单选题，5分）已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a （a+c ），则sin (B−A )sin 2A的取值范围是（ ）A. (√2，+∞)B. (√3，+∞)C. (√2，2)D. (√3，2)6.（单选题，5分）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（）A. V1＞V2B. V2＜V2C.V1＞V2D.V1＜V27.（多选题，5分）已知函数f(x)=(log2x)2−log2x2−3，则下列说法正确的是（）A.函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点B.函数y=f（x）的最小值为-4C.函数y=f（x）的最大值为4D.函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称8.（多选题，5分）已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线x+√5y=0的距离最小时，圆C的方程为（）A. (x+4)2+(y−√5)2=20B. (x−4)2+(y+√5)2=20C. (x+4)2+(y+√5)2=20D. (x−4)2+(y−√5)2=209.（填空题，5分）已知函数f（x）=cos2x+asinx+c在区间(−π6，π2)内是减函数，则实数a的取值范围是___ ．10.（填空题，5分）已知直线l1：ax-by-4=0和直线l2：（a-2）x+y-b=0，若l1 || l2，且坐标原点到这两条直线距离相等，则ab的值为___ ．11.（填空题，5分）如图，已知线段AB=4，四边形ABNM 的两顶点M 、N 在以AB 为直径的半圆弧上，且MN=2，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是___ ．12.（问答题，15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cosA a +cosBb =sinCc． （1）求证： 1tanA +1tanB 为定值；（2）若 b 2+c 2−a 2=65bc ，求tanC 的值．13.（问答题，15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，AB=AC ，SB=SC ，点M 是BC 上一点，P 是SB 上一点，N 是SC 的中点，且MN || 平面ASB ． （1）求证：BM=MC ；（2）若P 为SB 中点，求证：平面ANP⊥平面SAM ．14.（问答题，15分）已知圆C 1：（x+3）2+y 2=4，圆C 2：（x-4）2+（y-5）2=16． （1）过点M （1，3）作圆C 1的切线MA ，MB ，A ，B 为切点，求直线AB 的方程；（2）是否存在定点P ，使得过点P 有无穷多对互相垂直的直线l 1，l 2分别被圆C 1和圆C 2截得的弦长之比为1：2？若存在，求出点P 的坐标；否则，请说明理由．2020-2021学年江苏省苏州中学高二（上）期初数学试卷参考答案与试题解析试题数：14，总分：1001.（单选题，5分）设A={x|x 2-x-2＜0}，B={y|y=3x }，则A∩B=（ ） A.（0，+∞） B.（0，2） C.（-1，0） D.（-1，2） 【正确答案】：B【解析】：可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：A={x|-1＜x ＜2}，B={y|y ＞0}； ∴A∩B=（0，2）． 故选：B ．【点评】：考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2.（单选题，5分）如果f （ √x +1）=x+2 √x ，则f （x ）的解析式为（ ） A.f （x ）=x 2（x≥1） B.f （x ）=x 2-1（x≥0） C.f （x ）=x 2-1（x≥1） D.f （x ）=x 2（x≥0） 【正确答案】：C【解析】：把已知函数解析式配方，可得f （ √x +1）= (√x +1)2−1 ，从而得到函数解析式．【解答】：解：f （ √x +1）=x+2 √x = (√x +1)2−1 ， 令t= √x +1≥1 ， ∴f （t ）=t 2-1（t≥1）． 则f （x ）=x 2-1（x≥1）．故选：C ．【点评】：本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了配方法求函数解析式，是基础题． 3.（单选题，5分）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）等于（ ） A. −49 B. −43 C. 43 D. 49【正确答案】：A【解析】：由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】：解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴P 是三角形ABC 的重心 ∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =- |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 又∵AM=1 ∴ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 23∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =- 49故选：A ．【点评】：判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法： ① 定义：三条中线的交点． ② 性质： PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 或 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 取得最小值 ③ 坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．4.（单选题，5分）直线y=ax-a 是圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0的一条对称轴，过点A （ 4a ， 2a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A. √2 B.2 √2 C. √5 D.1【正确答案】：D【解析】：利用对称轴过圆心求得a ，从而确定点A ，结合图形即得切线长．【解答】：解：由圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0，得圆心C （2，1）， 则1=2a-a=a ，即a=1， ∴A （4，2）， 如图，B （4，1）， 可得切线长为|AB|=2-1=1， 故选：D ．【点评】：本题考查了圆的对称性，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 5.（单选题，5分）已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a （a+c ），则sin (B−A )sin 2A的取值范围是（ ）A. (√2，+∞)B. (√3，+∞)C. (√2，2)D. (√3，2) 【正确答案】：C【解析】：由b 2=a （a+c ）利用余弦定理，可得c-a=2acosB ，正弦定理边化角，在消去C ，可得sin （B-A ）=sinA ，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得sin (B−A )sin 2A的取值范围．【解答】：解：由b 2=a （a+c ）， 余弦定理，可得c-a=2acosB ，正弦定理边化角，得sinC-sinA=2sinAcosB ， ∵A+B+C=π，∴sin （B+A ）-sinA=2sinAcosB ， ∴sin （B-A ）=sinA ， ∵ABC 是锐角三角形， ∴B -A=A ，即B=2A ． ∵0＜B ＜ π2 ， π2 ＜A+B ＜π，那么： π6＜A ＜ π4，可得sinA∈（ 12， √22）， 则sin (B−A )sin 2A = 1sinA∈（ √2 ，2）． 故选：C ．【点评】：本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 6.（单选题，5分）如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）A. V 1＞V2B. V 2＜V2 C.V 1＞V 2 D.V 1＜V 2【正确答案】：D【解析】：根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．【解答】：解：设大球的半径为R，则小球的半径为：R2，由题意可得：V= 4π3R3 = 4•4π3(R2)3−V1+V2所以V2−V1=4π3R3−4•4π3(R2)3=2π3R3 =V2＞0即：V2＞V1故选：D．【点评】：本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．7.（多选题，5分）已知函数f(x)=(log2x)2−log2x2−3，则下列说法正确的是（）A.函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点B.函数y=f（x）的最小值为-4C.函数y=f（x）的最大值为4D.函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称【正确答案】：AB【解析】：求出函数的零点判断A；求解函数的最小值判断B；利用函数的值域判断C；函数的定义域判断D．【解答】：解：函数f(x)=(log2x)2−log2x2−3 =（log2x-1）2-4，令f（x）=0，解得log2x-1=±2，可得x=8，或x= 12，所以A正确；f（x）=（log2x-1）2-4≥-4，所以函数的最小值为-4，所以B正确，没有最大值，所以C不正确；函数的定义域为：x＞0，所以函数的图象不可能关于x=2对称，所以D不正确；故选：AB．【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.（多选题，5分）已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线x+√5y=0的距离最小时，圆C的方程为（）A. (x +4)2+(y −√5)2=20 B. (x −4)2+(y +√5)2=20 C. (x +4)2+(y +√5)2=20 D. (x −4)2+(y −√5)2=20 【正确答案】：AB【解析】：设圆心为C （a ，b ），半径为r ，由圆C 被x 轴分成两部分的弧长之比为1：2，得r=2|b|，再由圆被y 轴截得的写出为4，可得a 2+4=4b 2，说明C （a ，b ）在双曲线 y 2−x 24=1 上，求出双曲线 y 2−x 24=1 上与直线 x +√5y =0 平行的切线的切点坐标，即圆心坐标，由此可得圆的方程．【解答】：解：设圆心为C （a ，b ），半径为r ，圆C 被x 轴分成两部分的弧长之比为1：2，则其中劣弧所对圆心角为120°， 由圆的性质可得r=2|b|，又圆被y 轴截得的写出为4，∴a 2+4=r 2， ∴a 2+4=4b 2，变形为 b 2−a 24=1 ，即C （a ，b ）在双曲线 y 2−x 24=1 上，易知双曲线 y 2−x 24=1 上与直线 x +√5y =0 平行的切线的切点为（a ，b ），此点到直线 x +√5y =0 有最小距离．由 {x +√5y =m y 2−x 24=1 ，消去y 得x 2+8mx-（4m 2-20）=0．∴△=64m 2+4（4m 2-20）=0，解得m=±1． 当m=1时， {x =−4y =√5 ，当m=-1时， {x =4y =−√5 ．即切点为（-4， √5 ）或（4，- √5 ），半径r 为 2√5 ．∴圆的方程为 (x +4)2+(y −√5)2=20 或 (x −4)2+(y +√5)2=20 ． 故选：AB ．【点评】：本题考查圆的标准方程，考查导数的几何意义，解题的关键是圆心到直线 x +√5y =0 的距离的最小值的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题． 9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cos2x+asinx+c 在区间 (−π6，π2) 内是减函数，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-2]【解析】：由题意利用二倍角公式可得f （x ）=-2 (sinx −a 4)2 +c+1+ a 28 在区间 (−π6，π2) 内是减函数，再利用二次函数的性质可得 a 4 ≤- 12 ，由此求得a 的范围．【解答】：解：∵函数f （x ）=cos2x+asinx+c=-2sin 2x+asinx+c+1=-2 (sinx −a 4)2 +c+1+ a 28 在区间 (−π6，π2) 内是减函数． 由于 y=sinx 在区间 (−π6，π2) 内单调递增，且sinx∈（- 12 ，1），∴ a 4 ≤- 12 ，∴a≤-2，故答案为：（-∞，-2]．【点评】：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，二倍角公式的应用，属于中档题．10.（填空题，5分）已知直线l 1：ax-by-4=0和直线l 2：（a-2）x+y-b=0，若l 1 || l 2，且坐标原点到这两条直线距离相等，则ab 的值为___ ．【正确答案】：[1] 83 或-8【解析】：由题意利用两条直线平行的性质，线段的中点公式，求出a 、b 的值，可得ab 的值．【解答】：解：∵直线l 1：ax-by-4=0和直线l 2：（a-2）x+y-b=0，若l 1 || l 2，则 a−2a = 1−b ≠ −b −4 ，求得a=2b-ab ．∵直线l 1、直线l 2和y 轴的交点分别为（0，- 4b ）、（0，b ），直线l 1、直线l 2和x 轴的交点分别为（ 4a ，0）、（ b a−2 ，0），且坐标原点到这两条直线距离相等，∴b - 4b =0， 4a + b a−2 =0．求得 b=2，a= 43 ；或 b=-2，a=4，∴ab= 83 或 ab=-8，故答案为： 83 或-8．【点评】：本题考查两条直线平行的性质，线段的中点公式，考查运算求解能力，是基础题．11.（填空题，5分）如图，已知线段AB=4，四边形ABNM 的两顶点M 、N 在以AB 为直径的半圆弧上，且MN=2，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，2]【解析】：连接OM ，ON ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-2+ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+4cos ＜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ ，结合 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围即可求解．【解答】：解：连接OM ，ON ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BO ⃗⃗⃗⃗⃗ •OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4+2×2× 12 + AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-2+ AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+4cos ＜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ ， 当线段MN 在 AB ̂ 上运动时， AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角由 π3 到0再到 π3， 所以0≤ ＜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ ≤π3， 即可得 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为（0，2]． 故答案为：（0，2]．【点评】：本题考查向量数量积的运算，关键是对 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的变形，要尽量用知道模和夹角的向量来表示，是一道中档题．12.（问答题，15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosA a +cosB b =sinC c ． （1）求证： 1tanA +1tanB为定值； （2）若 b 2+c 2−a 2=65bc ，求tanC 的值．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理化简已知等式，由于sinAsinB≠0，可得sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB，进而根据同角三角函数基本关系式即可求得1tanA +1tanB=1，从而得解．（2）由已知利用余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，tanA的值，由（1）进而可求tanB的值，进而根据两角和的正切函数公式即可求解tanC的值．【解答】：解：（1）证明：因为：cosAa +cosBb=sinCc，所以由正弦定理可得：cosAsinA +cosBsinB= sinCsinC=1，①因为A，B为三角形的内角，所以sinAsinB≠0，所以① 式两边同时乘以sinAsinB，可得：sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB，所以1tanA +1tanB= cosAsinA+cosBsinB= sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=1，得证．（2）因为b2+c2−a2=65bc，所以2bccosA= 65 bc，可得cosA= 35，因为A为三角形内角，sinA＞0，所以sinA= √1−cos2A = 45，可得tanA= sinAcosA= 43，因为由（1）可得1tanA +1tanB= 34+ 1tanB=1，解得tanB=4，所以tanC=-tan（A+B）=- tanA+tanB1−tanAtanB =-43+41−43×4= 1613．【点评】：本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．13.（问答题，15分）如图，在三棱锥S-ABC中，AB=AC，SB=SC，点M是BC上一点，P是SB上一点，N是SC的中点，且MN || 平面ASB．（1）求证：BM=MC；（2）若P为SB中点，求证：平面ANP⊥平面SAM．【正确答案】：【解析】：（1）由线面平行的性质和平行线的性质，即可得证；（2）由等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面SAM，再由中位线定理和面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】：证明：（1）由MN || 平面ASB，MN⊂平面SBC，且平面SBC∩平面SAB=SB，可得MN || SB，又N是SC的中点，可得M为BC的中点，即BM=MC；（2）由SB=SC，M为BC的中点，可得BC⊥SM，由AB=AC，M为BC的中点，可得BC⊥AM，又SM∩AM=M，可得BC⊥平面SAM，由PN为△SBC的中位线，可得NP || BC，则NP⊥平面SAM，又NP⊂平面ANP，可得平面ANP⊥平面SAM．【点评】：本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．14.（问答题，15分）已知圆C1：（x+3）2+y2=4，圆C2：（x-4）2+（y-5）2=16．（1）过点M（1，3）作圆C1的切线MA，MB，A，B为切点，求直线AB的方程；（2）是否存在定点P，使得过点P有无穷多对互相垂直的直线l1，l2分别被圆C1和圆C2截得的弦长之比为1：2？若存在，求出点P的坐标；否则，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）求出以MC1为直径的圆的方程，C3是圆C1与圆C3的相交弦，将两圆方程相减即可的答案；（2）利用直线的垂直关系，进一步建立点到直线的距离公式的关系式，进一步建立方程组，求出点的坐标．【解答】：解：（1）因为M（1，3），C1（-3，0），以MC1为直径的圆C3的方程：（x-1）（x+3）+（y-3）y=0，又圆C1：（x+3）2+y2=4，圆C3和圆C1的方程相减可得：4x+3y+8=0．即直线AB的方程：4x+3y+8=0．（2）设P点坐标为（m，n），直线l1的斜率为k（依题意k≠0），则直线l1的方程为y-n=k（x-m），（x-m），即kx-y+n-km=0，直线l2的方程为y-n=- 1 k即x+ky-kn-m=0．因为直线l1被圆C1截得的弦长的2倍与直线l2被圆C2截得的弦长相等，且圆C2的半径是圆C1的半径的2倍，所以圆心C1到直线l1的距离的2倍与圆心C2到直线l2的距离相等，整理得：（2m+n+1）k+（m-2n-4）=0或（2m-n+11）k+（4-2n-m）=0．由于关于k的方程有无穷多解，所以m-2n-4=0，2m+n+1=0，或-m-2n+4=0，2m-n+11=0，解得n=- 95，m= 25，或m=- 185，n= 195，所以所有满足条件的P点坐标为（25，- 95）或（- 185，195）．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，方程组的解法，点到直线的距离公式的应用．属于中档题．。
2021-2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =-，则直线l 与平面α的位置关系是. A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行【答案】D【详解】∵直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =- ∴6(1)23300d n ⋅=⨯-+⨯+⨯= ∴直线l 在平面α内或平行 故选D.2．已知X 的分布列为：设Y =2X +1，则Y 的数学期望E (Y )的值是( )A ．16-B ．16C ．23D ．23-【答案】C【分析】根据分布列的性质及数学期望的运算公式及性质求解.【详解】由已知得()()()1111111,,,21263236a a E X E Y E X ++=∴=∴=-+=-=+，()23E Y ∴=. 故选：C.3．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ）A ．1021B ．1121C ．1142D ．521【答案】B【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为25271021C P C ==，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为101112121-=. 故选：B.4．将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为x 、y ，记事件A 为 “x y +为偶数”，事件B 为“7x y +<”，则(|)P B A 的值为（ ） A ．13B ．12C ．59D ．79【答案】B【分析】利用条件概率的公式求解即可. 【详解】根据题意可知，若事件A 为“x y +为偶数”发生，则x 、y 两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为()1,1，()1,3，()1,5，()2,2，()2,4，()2,6，()3,1，()3,3，()3,5，()4,2，()4,4，()4,6，()5,1，()5,3，()5,5，()6,2，()6,4，()6,6，一共18个基本事件，∴()181362P A ==, 而A 、B 同时发生，基本事件有当一共有9个基本事件，∴91()364P AB ==， 则在事件A 发生的情况下，B 发生的概率为()()()114122P AB P B A P A ===, 故选:B .5．五行是中国古代的一种物质观.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行指代：金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，且“木、土”不相邻排法的种数（ ） A ．72 B ．48C ．36D ．24【答案】A【分析】根据不相邻问题用插空法可以得到符合题意的共有323472A A =种排法．【详解】由题意先将“金、水、火”三种不同属性的物质任意排成一列，共有336A =种排法，此时共有四个位置可以插放“木、土”所以“木、土”不能相邻的排法共有323472A A =种排法，故选：A ．6．曲线()y f x =在1x =处的切线如图所示，则(1)(1)'-=f f （ ）A ．0B ．1-C ．1D ．12-【答案】C【解析】由图示求出直线方程，然后求出1(1)=2f -，1(1)=2f '，即可求解.【详解】由直线经过()0-1，，()2,0，可求出直线方程为：220x y --= ∵()y f x =在1x =处的切线 ∴21(1)=22x f -=-，1(1)=2f ' ∴11(1)(1)122f f ⎛⎫'-=--= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-； (2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,x y ，再写出切线方程：111()()y yf x x x '-=-.7．在()2391(1)(1)(1)x x x x ++++++⋯++的展开式中，2x 的系数等于A ．280B ．300C ．210D ．120【答案】D【分析】根据二项式定理，把每一项里2x 的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质11m m m n nnCCC-+=+，化简求值．【详解】解：在239(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++的展开式中，2x 项的系数为22222349C C C C ++++32223349CCCC =++++322449CCC =+++3239910120C CC==+==．故选D ．【点睛】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值． 8．已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e x f x <的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D【分析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可. 【详解】令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D. 二、多选题9．关于二项式5x⎛⎝的展开式，下列选项正确的有（ ）A ．总共有6项B ．存在常数项C ．2x 项的系数是40D ．各项的系数之和为243 【答案】ACD【分析】由题意利用二项式定理，二项式展开式的通项公式，得出结论． 【详解】解：关于二项式5(x+，它的展开式共计有6项，故A 正确；由于它的通项公式为53521552rrrr r r r T xC x C -+-=⋅⋅=，令3502r -=，求得310r =，无非负整数解，故不存在常数项，故B 错误；令3522r-=，即36r =，解得2r =，可得2x 项的系数是225240C ⋅=，故C 正确； 令1x =，可得各项的系数之和为53243=，故D 正确， 故选：ACD ．10．已知函数()31423f x x x =-+，下列说法中正确的有（ ）A ．函数()f x 的极大值为223，极小值为103- B ．若函数()f x 在[]2,a -上单调递减，则22a -<≤ C ．当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为103- D ．若方程()0f x c -=有3个不同的解，则102233c -<< 【答案】ABD【分析】可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论. 【详解】()f x 的定义域为2()4,,f x x R '=- 令()=0f x '，得2x =-或2，所以()f x 在(,2),(2,)-∞-+∞单调递增，在(2,2)-上单调递减，故B 正确，()f x 极大值3122(2)(2)4(2)2=33f =-=⨯--⨯-+，()f x 极小值3110(2)2422=33f ==⨯-⨯+-，故A 正确，方程()0f x c -=有3个不同的解，则102233c -<<，D 正确， 331122(3)34321,(4)4442333f f =⨯-⨯+=-=⨯-⨯+=，当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为1-，故C 不正确， 故选：ABD11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则下列正确的是（ ）A ．1122BM a b c =-+B ．1AC a b c =++ C ．1AC 5D ．16cos ,3AB AC =【答案】BD【分析】AB 选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C 选项，在B 选项的基础上，平方后计算出216AC =，从而求出16AC D 选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A 选项，()111111222BM BB B M AA BA BC b a c =+=++=-+，A 错误， 对于B 选项，11AC AB AD CC a b c =++=++，B 正确： 对于C 选项，1AC a b c =++，则222221()2226AC a b c a b c a b a c b c =++=+++⋅+⋅+⋅=，则16AC =C 错误：对于()212AB AC a a b c a a b a c ⋅=⋅++=+⋅+⋅=，则1116cos ,3AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅D 正确. 故选：BD.12．将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中.下列说法正确的是（ ）A ．共有44A 24=种放法B ．每个盒子都有球，有44A 24=种放法C ．恰好有一个空盒，有213443C C A 144=种放法D ．每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有1343C A 24=种放法【答案】BC【分析】根据每个选项的要求不同，分步讨论，结合排列组合的计算方法，即可得出答案.【详解】解：对于A ，将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1,2,3，4的盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有44256=种放法，故A 错误；对于B ，每个盒子都有球，有44A 24=种放法，故B 正确；对于C ，恰好有一个空盒，分2步进行分析：在4个球中任选2个，放入1个盒子中，有2144C C 24=种放法，在剩下的3个盒子中，任选2个，放入剩下2个两个小球，有23A 6=种放法，则有624144⨯=种放法，故C 正确；对于D ，每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，分2步进行分析：在4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有14C 4=种放法，剩下3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，则有428⨯=种不同的放法，故D 错误. 故选：BC. 三、填空题 13．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________． 【答案】1()y x ππ=--【分析】由题意可得2cos sin 'x x xy x ⋅-=，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：2cos sin 'x x xy x ⋅-=，所求切线的斜率为：2cos sin 1'x k y ππππππ=-===-， 由于切点坐标为(),0π，故切线方程为：()1y x ππ=--.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14．中国传统文化博大精深，民间高人更是不计其数，为推动湘西体育武术事业发展，加强全名搏击健身热度，让搏击这项运动融入人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月23-日在花垣县体育馆举行，某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人通过考核的概率分别为23、34、45，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为___________. 【答案】1330【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设小郑、小汤、小王三人通过考核分别为事件A 、B 、C ， 设这三人中仅有两人通过考核为事件Q ， 依题意()23P A =，()34P B =，()45P C =， 所以()13P A =，()14P B =，()15P C =，所以，()()()()2312141341334534534530P Q P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故答案为：1330. 15．设a Z ∈，且013a ≤<，若200251a +能被13整除，则a =___________. 【答案】12【分析】直接利用二项式定理求解即可. 【详解】由已知得202251a +1202202022020211020222022202220222022(521)C 52(1)C 52(1)C 52(1)a a =-=⋅-+⋅-++-++020*********202020212022202220222022C 52C 52(1)52C 521C a =⋅⋅⋅-+⋅+⋅⋅⋅-⋅++-即202251a +被13整除的余数为1a +，而a Z ∈，且013a <， 若202251a +能被13整除，则113a +=，即12a =， 故答案为：12. 四、双空题16．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”． （1）设()sin f x x =，则()f x 在()0,π上的“新驻点”为_________（2）如果函数()()ln 1g x x =+与()xh x x e =+的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是_________．【答案】4παβ< 【解析】（1）求得方程()()f x f x '=在()0,x π∈上的根即可得解；（2）利用零点存在定理可求得α所在区间，并求出β的值，进而可得出α与β的大小关系.【详解】（1）()sin f x x =，()cos f x x '∴=，令()()f x f x '=，即sin cos x x =，得tan 1x =，()0,x π∈，解得4x π=，所以，函数()y f x =在()0,π上的“新驻点”为4π； （2）()()ln 1g x x =+，()xh x x e =+，则()11g x x '=+，()1xh x e '=+， 令()()1ln 11x x x ϕ=+-+，则()()211011x x x ϕ'=+>++对任意的()1,x ∈-+∞恒成立， 所以，函数()()1ln 11x x x ϕ=+-+在定义域()1,-+∞上为增函数， ()010ϕ=-<，()11ln 2ln 202ϕ=-=->，由零点存在可得()0,1α∈，令()()h x h x '=，可得1x =，即1β=，所以，αβ<. 故答案为：（1）4π；（2）αβ<. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查了零点存在定理的应用，属于中等题. 五、解答题17．已知()1nn N x *⎛+∈ ⎝的展开式的二项式系数和为64.(1)求n 的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)6 (2)32160x -【分析】（1）利用二项式系数的性质求解即可；（2）由（1）求出6n =，根据展开式中间项的二项式系数最大，即可知道二项式系数最大的项为4T ，即可求解.【详解】(1)由题意()*1nn N x ⎛+∈ ⎝的展开式的二项式系数和为64，即264n =，解得6n =；(2)因为6n =，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为4T ，即33332461C 160T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭.18．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动．(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ (2)如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ (3)如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】(1)100 (2)140 (3)200【分析】（1）由组合知识结合分步乘法计数原理求解即可；（2）先计算10人中选取4人的选法，从中除去男生甲与女生乙都不参加的选法即可； （3）先计算10人中选取4人的选法，从中除去4人全是男生和4人全是女生的选法即可.【详解】(1)第一步，从5名男生中选2人，有25C 种选法；第二步，从5名女生中选2人，有25C 种选法．根据分步乘法计数原理，共有2255C C 100=种选法．(2)从10人中选取4人，有410C 种选法；男生甲与女生乙都不参加，有48C 种选法．所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有44108C C 140-=种选法．(3)从10人中选取4人，有410C 种选法；4人全是男生，有45C 种选法；4人全是女生，有45C 种选法．所以4人中既有男生又有女生，共有4441055C C C 200--=种选法．19．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，∠BAD =∠ABC =90°，E 是PD 的中点.(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析 10【分析】（1）取P A 的中点为F ，连接EF ，BF ，证得CE //BF ，进而线面平行得判定定理即可得出结论；（2）法一：取AD 的中点O 连接PO ，CO ，证得PCO ∠为直线PC 与平面ABCD 所成角，解三角形求出3PCO π∠=，作NQ AB ⊥于Q ，连接MQ 证得MQN ∠为二面角M AB D --的平面角，求出 MQN ∠的余弦值即可.法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-，()0,0,1n =，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --10【详解】(1)证明：取PA 的中点F ，连结,,EF BF E 是PD 的中点，//EF AD ∴，11,,90,//,//,,22EF AD AB BC AD BAD ABC BC AD EF BC EF BC ∠∠=====∴=∴四边形BCEF 是平行四边形，//,CE BF BF ∴⊂平面,PAB CE ⊄平面PAB ，∴直线CE //平面PAB .(2)法一：四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，1,90,2AB BC AD BAD ABC E ∠∠====是PD 的中点.取AD 的中点,O M 在底面ABCD 上的射影N 在OC 上，设2AD =，则1,3,60AB BC OP PCO ∠===∴=，直线BM 与底面ABCD 所成角为45，可得：3,,1BN MN CN BC ===， 可得：22113BN BN +=，66BN MN ==NQ AB ⊥于Q ，连接,MQ AB MN ⊥，所以MQN ∠就是二面角M AB D --的平面角，22610122MQ ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，二面角M AB D --的余弦值为：110.5102=法二：由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，(013P ，，， (103PC =，,()100AB =，，则()(1,13BM x y z PM x y z =-=-，，，，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，是底面ABCD 的法向量，所以 cos ,sin45BM n =()222z21x y z =-++即()22210x y z -+-=又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则x ,1,y z λ===由①，②得=1x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩（舍去）或=1=1x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩所以12M ⎛- ⎝⎭，从而1AM ⎛= ⎝⎭设()000,,=m x y z 是平面ABM 的法向量，则(0000220·0·00x y m AM m AB x ⎧+=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即所以可取(0,2)m =.于是·10cos ,5m n m n m n==因此二面角M-AB-D 20．已知23n n C C =，且230123(12)n n x a a x a x a x a -=+++++.(1)求()()()()0102030n a a a a a a a a ++++++++；(2)求122222nn a a a +++的值； (3)求12323n a a a na ++++的值.【答案】(1)3 (2)1- (3)10-【分析】（1）由23n n C C =，可得5n =，得到52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，再分别令0x =，1x =，即可求出答案. （2）令12x =，即可得出答案. （3）两边对52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++中关于x 的函数求导可得()4234123455(12)22345x a a x a x a x a x --=++++，再令1x =，即可求出答案.【详解】(1)因为235n n C C n =⇒=，则52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++令001x a =⇒=，令01234511x a a a a a a =⇒+++++=-则()()()()01020303n a a a a a a a a ++++++++=.(2)令12x =，则5512120252501222222a a a a a a a =+++⋯+⇒++⋯+=-.(3)两边对52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++中关于x 的函数求导()4234123455(12)22345x a a x a x a x a x ⇒--=++++再令1x =可得1232310n a a a na ++++=-.21．“学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为14，参与“双人对战”获胜的概率为23，且每次答题相互独立.(1)求该人在一天的“四人赛”中积4分的概率；(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为ξ，求ξ的分布列和()E ξ. 【答案】(1)516(2)分布列见解析，5912【分析】（1）根据已知条件，将原事件分为第一局拿3分，第二局拿1分和第一局拿2分，第二局拿2分，分别求出两个事件的概率，并对两个概率相加，即可求解． （2）由题意可得ξ取值可能为3，4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可得分布列，再结合期望公式，即可求解．【详解】(1)解：依题意可知，若该人积分为4分，则在“四人赛”中首局积3分，第二局积1分，或者首局积2分，第二局积2分，所以131********P =⨯+⨯=.(2)解：由题意知，ξ的可能取值为3，4，5，6，7，()1311344316P ξ==⨯⨯=，()132131111344432444348P ξ⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1311113112195442432444348P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111131121164434424348P ξ⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1121744324P ξ==⨯⨯=. 故ξ的分布列为：所以()113191115934567164848482412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．设函数()1,xf x ae x a R =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当()0,x ∈+∞时， ()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：当()0,x ∈+∞时， 1ln 2x e xx ->. 【答案】（1）()f x 的单调递减区间为(),0-∞； ()f x 的单调递增区间为[)0,+∞；（2）[)1,+∞；（3）见解析．【详解】试题分析：（1）直接对函数()1x f x e x =--求导得()'1xf x e =-，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式()0f x >中参数分离分离出来可得：1e x x a +>，再构造函数()1xx g x e +=， ()0,x ∈+∞，求导得()'x xg x e =-，借助0x >，推得()'0xxg x e =-<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减， ()()01g x g <=，进而求得1a ≥；（3）先将不等式1ln 2x e xx ->等价转化为210x x e xe -->，再构造函数()()21,0,xx h x e xe x =--∈+∞，求导可得()22'12x xx h x e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由（2）知()0,x ∈+∞时， 10xe x -->恒成立，所以2102xx e -->，即()22'102x x x h x e e ⎛⎫=-->⎪⎝⎭恒成立，故()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00h x h >=，因此()0,x ∈+∞时，有1ln 2x e xx ->：试题解析：（1））当1a =时，则()1xf x e =-，令()'0f x =得0x =，所以有即1a =时， ()f x 的单调递减区间为(),0-∞； ()f x 的单调递增区间为[)0,+∞. （2）由()0f x >，分离参数可得： 1e xx a +>， 设()1xx g x e +=， ()0,x ∈+∞， ∴()'xxg x e =-，又∵0x >， ∴()'0xxg x e =-<，则()g x 在()0,∞+上单调递减， ∴()()01g x g <=，∴1a ≥ 即a 的取值范围为[)1,+∞.（3）证明： 1ln 2x e xx ->等价于210x x e xe --> 设()()21,0,xx h x e xe x =--∈+∞，∴()22'12xxx h x e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由（2）知()0,x ∈+∞时， 10x e x -->恒成立，所以2102x xe -->，∴()22'102xx x h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭恒成立∴()h x 在()0,∞+上单调递增，∴()()00h x h >=，因此()0,x ∈+∞时，有1ln 2x e xx ->.点睛：解答本题的第一问时，先对函数()1x f x e x =--求导得()'1xf x e =-，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式()0f x >中参数分离出来可得1e x x a +>，再构造函数()1x x g x e+=， ()0,x ∈+∞，求导得()'x x g x e =-，借助0x >，推得()'0x xg x e=-<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减， ()()01g x g <=，进而求得1a ≥；第三问的证明过程中，先将不等式1ln 2x e xx ->等价转化为210xx e xe -->，再构造函数()()21,0,x xh x e xe x =--∈+∞，求导可得()22'12xx x h x e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由（2）知()0,x ∈+∞时， 10x e x -->恒成立，所以2102x x e -->，即()22'102xx x h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭恒成立，故()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00h x h >=，因此证得当()0,x ∈+∞时，不等式1ln 2x e xx ->成立．。
江苏省连云港市东海县2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
1
所以， an a1qn1 1 2n1 2n1 ························································6 分
（2） bn 2n an2 2n 4n1
Sn b1 b2 b3 bn 2 40 4 41 6 42 2n 4n1
解：（1）依题意得 g(x) f (x) 0 对任意 x [3, 3] 恒成立， 即 k x2 6x 对任意 x [3, 3] 恒成立，
则 k ≥(x2 6x)max , x 3,3 ，
当 x 3 时， (x2 6x)max 27 ， 所以 k 27 ． ···············································································5 分
余 2），五五数之剩三（除以 5 余 3），问物几何？”现将 1 到 2020 共 2020 个整数中，
高二数学 第 1 页（共 4 页）
同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数
列{ an }，则该数列共有
A．132 项
B．133 项
C．134 项
D．135 项
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项
2
AF 2FB (1 x1, y1) 2(x2 1, y2 ) y1 2y2
由
y1y1
y2 4t 2 y2 ,
,
y1 y2
8t, 4t
,
代入 y1 y2 4 ，
因
y1
0
，所以 t
0
，解得 t
1 22
，
AB所在直线方程为2 2x y 2 2 0 ·············································6 分
2020-2021学年高二上册数学期中数学试卷带答案
2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. 命题p：“∃n∈N，则n2>2n”的否定是（）A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∀n∈N，n2<2n2. 双曲线x24−y25=1的渐近线方程为( )A.y=±√52x B.y=±2√55x C.y=±54x D.y=±32x3. 不等式ax2−5x+c<0的解集为{x|2<x<3}，则a，c的值为（）A.a＝6，c＝1B.a＝−6，c＝−1C.a＝1，c＝6D.a＝−1，c＝−64. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466−485年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同．已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺．A.4 7B.1629C.815D.455. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（）A.+＝1B.+＝1C.+x2＝1D.+y2＝16. 不等式x2+3x+2>0成立的一个必要不充分条件是（）A.(−1, +∞)B.[−1, +∞)C.(−∞, −2]∪[−1, +∞)D.(−1, +∞)∪(−∞, −2)7. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＝1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆方程为（）A.x2+y2＝9B.x2+y2＝7C.x2+y2＝5D.x2+y2＝48. 已知数列{a n}的首项a1=21，且满足(2n−5)a n+1=(2n−3)a n+4n2−16n+15，则{a n}的最小的一项是()A.a5B.a6C.a7D.a8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。
江苏省2020-2021学年高二上学期期中考试化学试题含解析
试卷主标题姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共30题）1、“五千年文化，三千年诗韵。
我们的经典从未断流”，明代诗人于谦在《石灰吟》中写道：“千锤万凿出深山，烈火焚烧若等闲。
粉身碎骨浑不怕，要留清白在人间。
”这首脍炙人口的诗篇不仅蕴含了深刻的人文精神，还蕴藏了有趣的化学知识，下列有关说法中，错误的是A ．化学反应过程中同时存在着物质变化和能量变化，其中物质变化是基础B ．这首诗说明化学能与热能在一定条件下可以相互转化C ．石灰石的分解是熵增反应，因此在任何条件下都能自发进行D ．“要留清白在人间”涉及反应中的化学物质有强电解质、弱电解质和非电解质 `2、有 5 种元素 X 、 Y 、 Z 、 Q 、 T 。
X 原子 M 层上有 2 个未成对电子且无空轨道；Y 原子的特征电子构型为 3d 6 4s 2 ； Z 原子的核外电子总数等于 Q 原子的最外层电子数；Q 原子的 L 电子层的 p 能级上只有一对成对电子； T 原子有 1 个 3p 空轨道。
下列叙述错误的是A ．元素 Y 和 Q 可形成化合物 Y2 Q3B ．气态氢化物的稳定性： Q>Z>TC ． T 和 Z 的最高价氧化物均为酸性氧化物D ． X 和 Q 结合生成的化合物晶体类型为离子晶体3、下列关于热化学反应的描述中正确的是A ．需要加热才能发生的反应一定是吸热反应B ．在一定的条件下将 1molSO2 和 0.5molO2置于密闭容器中充分反应，放出热量 79.2kJ ，则反应的热化学方程式为 2SO2 (g)+O2(g)⇌2SO3(g) Δ H =-158.4kJ/molC ． HCl 和 NaOH 反应的中和热Δ H =-57.3kJ/mol ，则 H 2 SO 4 和 Ca(OH) 2 反应的中和热Δ H =2×(-57.3)kJ/molD ． CO(g) 的燃烧热是 283.0kJ/mol ，则 2CO2 (g)=2CO(g)+O2(g) 反应的Δ H=+2×283.0kJ/mol4、下列操作能实现相应目的的是A ．将 FeCl3 溶液加热蒸干制备无水 FeCl3B ．用干燥的 pH 试纸测定 NaClO 溶液的 pHC ．用饱和氯化铵溶液作焊接金属时的除锈剂D ． SO2 的催化氧化反应，升高温度能提高 SO2的转化率5、下列事实不能用平衡移动原理解释的是A ．高压比常压有利于 SO2 合成 SO3的反应B ．氯水在光照条件下颜色变浅，最终变为无色C ．红棕色的 NO2，加压后颜色先变深后变浅，但比原来要深D ．恒温恒容下，在合成氨平衡体系中充入 He ，使压强增大，则平衡正向移动， NH3增多6、已知反应① CO(g)＋CuO(s) CO2 (g)＋Cu(s) 和反应② H2(g)＋CuO(s) Cu(s)＋H2O(g) 在相同的某温度下的平衡常数分别为K 1 和K 2 ，该温度下反应③ CO(g)＋H 2 O(g)CO2 (g)＋H2(g) 的平衡常数为K 。
2020-2021学年江苏省镇江市高一(上)学情调查数学试卷(10月份)及答案
2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）学情调查数学试卷（10月份）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{﹣2，﹣1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B＝{x∈Z|﹣3＜2x﹣1＜3}，则集合A∩B ＝（）A．{1}B．（﹣1，1]C．[﹣2，2）D．{0，1}3．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜2B．1＜a≤2C．a＜2D．a≤24．（5分）已知集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于19世纪末创立的．在他的集合理论中，用card（A）表示有限集合中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card（A）＝3．若对于任意两个有限集合A，B，有card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A．28B．23C．18D．166．（5分）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b7．（5分）若x＞0，则恒成立的一个充分条件是（）A．a＞80B．a＜80C．a＞100D．a＜1008．（5分）我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．设A＝M∪N，B＝M∩N，若M＝[﹣1，3]，N＝（0，4），则差集A﹣B是（）A．[﹣1，0]B．（3，4）C．[﹣1，0]∪（3，4）D．（﹣1，0）∪[3，4]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣dB．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则D．若a＞b＞c＞0，则10．（5分）下列命题为真命题的是（）A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C．A∩B＝B是B⊆A的必要不充分条件D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件11．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则下列结论正确的是（）A．不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜﹣3}B．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集是C．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞﹣}D．不等式cx2+bx+a＞0的解集是12．（5分）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（）A．x＝10时最小值B．x＝45时最小值C．最小值为850万元D．最小值为360万元三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）若“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题，则a的取值范围为．14．（5分）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为．15．（5分）已知集合A，B，定义集合A与B的一样运算A⊗B，其结果如表所示：A{1，2，3，4}{﹣1，1}{﹣1，3}{﹣1，0，1}B{2，3，5}{﹣1，1}{﹣2，﹣1，0，2}{﹣2，﹣1，0，1}A⊗B{1，4，5}∅{﹣2，0，2，3}{﹣2}按照上述定义，若M＝[﹣1，1]，N＝（0，2），则M⊗N＝．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}．（1）求A∩B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）集合C满足（A∩B）⊆C⊆（A∪B），请写出所有满足条件的集合C．17．（12分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．18．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）若x∈[1，+∞）时，y≤2x2﹣（t+3）x+6恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）要设计一张矩形广告，该广告含有左、右全等的两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为200，四周空白的宽度为2，两栏之间的中缝空白的宽度为4．请设计广告的长与宽的尺寸，使矩形广告面积最小，并求出最小值．20．（12分）在①A∪B＝B，②A∩B≠∅，③B⊆∁R A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣a）＜0，x∈R}，B＝，是否存在实数a，使得_____成立．21．（12分）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v≤120）的下列数据：v0406080120F01020为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型F＝av3+bv2+cv．（1）求函数解析式；（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）学情调查数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{﹣2，﹣1}C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，∵∁U A＝{1，2}，∴（∁U A）∩B＝{l，2}．故选：C．【点评】本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、V enn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B＝{x∈Z|﹣3＜2x﹣1＜3}，则集合A∩B ＝（）A．{1}B．（﹣1，1]C．[﹣2，2）D．{0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，∴A∩B＝{0，1}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）已知集合A＝{x|1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜2B．1＜a≤2C．a＜2D．a≤2【分析】根据A∩B＝A可得出A⊆B，从而可讨论A：A＝∅时，a≤1；A≠∅时，1＜a≤2，从而可得出a的取值范围．【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B，①A＝∅时，a≤1；②A≠∅时，，即1＜a≤2；综上得，实数a的取值范围是：a≤2．故选：D．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）已知集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】变形集合B＝{x|x＝6z，z∈N}＝{x|x＝3•2z，z∈N}，即可判断出集合A，B的关系．【解答】解：∵集合B＝{x|x＝6z，z∈N}＝{x|x＝3•2z，z∈N}，集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，∴B⫋A．∴“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了集合之间的关系、数的整除，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于19世纪末创立的．在他的集合理论中，用card（A）表示有限集合中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card（A）＝3．若对于任意两个有限集合A，B，有card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A．28B．23C．18D．16【分析】直接根据定义即可得到结论．【解答】解：∵参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，∴高一（1）班参加本次运动会的人数共有：14+9﹣5＝18，故选：C．【点评】本题主要考查集合中元素个数的计算，比较基础．6．（5分）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b【分析】举特值计算，排除选项可得．【解答】解：取a＝1且b＝4，计算可得＝2，＝，选项A、B、D均矛盾，B符合题意，故选：B．【点评】本题考查特值法比较式子的大小，属基础题．7．（5分）若x＞0，则恒成立的一个充分条件是（）A．a＞80B．a＜80C．a＞100D．a＜100【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果．【解答】解：由于x＞0，≈88，故当a＜80时，恒成立．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（5分）我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．设A＝M∪N，B＝M∩N，若M＝[﹣1，3]，N＝（0，4），则差集A﹣B是（）A．[﹣1，0]B．（3，4）C．[﹣1，0]∪（3，4）D．（﹣1，0）∪[3，4]【分析】根据差集的定义知，差集中的元素是集合A中的元素并且不能属于集合B，即A 中去掉B中的元素．【解答】解：∵M＝[﹣1，3]，N＝（0，4），∴A＝M∪N＝[﹣1，4），B＝M∩N＝（0，3]，∴差集A﹣B＝[﹣1，0]∪（3，4）．故选：C．【点评】本题考查了新定义的集合运算的运用，关键抓住定义的本质，即元素的性质进行求解，考查了分析和解决问题的能力．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣dB．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则D．若a＞b＞c＞0，则【分析】A、若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，由可加性得，a﹣c＞b﹣d；B、若a＞b＞0，c＜d＜0，同向同正才能相乘，则﹣c＞﹣d＞0，才能得出﹣ac＞﹣bd，即ac＜bd；C、若a＞b＞0，则0＜＜，由同向同正可乘方性即可得出；D、若a＞b＞c＞0，则0＜＜，由于c为正数，则．【解答】解：A、若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，由可加性得，a﹣c＞b﹣d；故A正确；B、若a＞b＞0，c＜d＜0，同向同正才能相乘，则﹣c＞﹣d＞0，才能得出﹣ac＞﹣bd，即ac＜bd；故B错误；C、若a＞b＞0，则0＜＜，由同向同正可乘方性即可得出；故C正确；D、若a＞b＞c＞0，则0＜＜，由于c为正数，则，故D正确．故选：ACD．【点评】考查了不等式的基本性质，可乘性，可加性，可乘方性，需注意不等式成立适用的条件，属于基础题．10．（5分）下列命题为真命题的是（）A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C．A∩B＝B是B⊆A的必要不充分条件D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断各命题是否为真命题．【解答】解：对于A，根据点与圆的位置关系可知A是真命题；对于B，两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故B为假命题；对于C，A∩B＝B是B⊆A的充要条件，故C为假命题；对于D，若x为有理数或y为有理数，则xy不一定是有理数，例如x＝1，y＝，若xy为有理数，x，y可得都不是有理数，例如x＝，y＝，故x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件，故D为真命题，故选：AD．【点评】本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题．11．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则下列结论正确的是（）A．不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜﹣3}B．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集是C．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞﹣}D．不等式cx2+bx+a＞0的解集是【分析】由不等式ax2+bx+c＞0的解集求出a＜0且b＝﹣7a，c＝12a；分别代入选项中，求对应不等式的解集即可．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|3＜x＜4}，所以方程ax2+bx+c＝0的解是3和4，且a＜0；所以，解得b＝﹣7a，c＝12a，且a＜0；对于A，不等式ax2﹣bx+c＞0化为ax2+7ax+12a＞0，即x2+7x+12＜0，解得﹣4＜x＜﹣3，所以不等式的解集是{x|﹣4＜x＜﹣3}，A正确；对于B和C，不等式cx2﹣bx+a＞0化为12ax2+7ax+a＞0，即12x2+7x+1＜0，解得﹣＜x＜﹣，所以不等式的解集是{x|﹣＜x＜﹣}，B正确、C错误；对于D，不等式cx2+bx+a＞0化为12ax2﹣7ax+a＞0，即12x2﹣7x+1＜0，解得＜x＜，所以不等式的解集是{x|＜x＜}，D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．12．（5分）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（）A．x＝10时最小值B．x＝45时最小值C．最小值为850万元D．最小值为360万元【分析】根据题意列出总费用之和等于4x+，然后利用基本不等式求出最小值，核对四个选项得答案．【解答】解：由题知一年总运费为；一年的总运费与总存储费用之和为4x+≥2＝360，当且仅当4x＝，即x＝45时，等号成立，∴当x＝45时一年的总费用与总存储费用之和最小，为360万元．故选：BD．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）若“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题，则a的取值范围为{a|a≥2或a≤﹣2}．【分析】根据全称命题的性质即可得到结论．【解答】解：若“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题，∴判别式△＝a2﹣4≥0，解得a≥2或a≤﹣2，故{a|a≥2或a≤﹣2}故答案为：{a|a≥2或a≤﹣2}【点评】本题主要考查全称命题的应用，根据一元二次不等式恒成立是解决本题的关键．14．（5分）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4．【分析】设提价后的杂志每本x元，则由题意可得，解出不等式的解集，即可求出定价的最大值．【解答】解：设提价后的杂志每本x元，则，即2x2﹣13x+20≤0，解得：2.5≤x≤4，所以定价的最大值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了函数的实际应用的运用，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）已知集合A，B，定义集合A与B的一样运算A⊗B，其结果如表所示：A{1，2，3，4}{﹣1，1}{﹣1，3}{﹣1，0，1}B{2，3，5}{﹣1，1}{﹣2，﹣1，0，2}{﹣2，﹣1，0，1}A⊗B{1，4，5}∅{﹣2，0，2，3}{﹣2}按照上述定义，若M＝[﹣1，1]，N＝（0，2），则M⊗N＝[﹣1，0]∪（1，2）．【分析】由给出的定义可知A⊗B＝{x|x∈A且x∉B或x∈B且x∉A}，从而求出M⊗N．【解答】解：由给出的定义可知集合A⊗B的元素是由所有属于集合A但不属于集合B 和属于集合B但不属于集合A的元素构成，即A⊗B＝{x|x∈A且x∉B或x∈B且x∉A}，因为M＝[﹣1，1]，N＝（0，2），所有M⊗N＝[﹣1，0]∪（1，2），故答案为：[﹣1，0]∪（1，2）．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，考查了新定义问题，是基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}．（1）求A∩B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）集合C满足（A∩B）⊆C⊆（A∪B），请写出所有满足条件的集合C．【分析】（1）结合集合的交集，补集的定义分别进行求解即可．（2）直接根据集合子集的定义求解即可．【解答】解：（1）∵全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}．∴A∩B＝{1，3}，A∪B＝{1，2，3，4}，（∁U A）∩（∁U B）＝∁U（A∪B）＝{0，5，6，7}；（2）∵（A∩B）⊆C⊆（A∪B），A∩B＝{1，3}，A∪B＝{1，2，3，4}，∴C＝{1，3}，{1，2，3}，{1，3，4}，{1，2，3，4}．【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集，交集，并集的定义是解决本题的关键．17．（12分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出集合B的取值范围，根据p是q的必要非充分条件，即可求得m的取值范围，（2）由若∀x∈A，得不等式的定义域，解关于m的不等式，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．18．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）若x∈[1，+∞）时，y≤2x2﹣（t+3）x+6恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式；（2）由题意可知t≤＝x+对任意x∈[1，+∞）恒成立，再利用基本不等式求出x+的最小值，从而得到t的取值范围．【解答】解：（1）因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2），所以，解得a＝1，b＝﹣3，c＝2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+2．（2）因为x∈[1，+∞）时，y≤2x2+4恒成立，即t≤＝x+对任意x∈[1，+∞）恒成立，∵x+≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，∴t≤4，∴实数t的取值范围是（﹣∞，4]．【点评】本题主要考查了二次函数的解析式，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．19．（12分）要设计一张矩形广告，该广告含有左、右全等的两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为200，四周空白的宽度为2，两栏之间的中缝空白的宽度为4．请设计广告的长与宽的尺寸，使矩形广告面积最小，并求出最小值．【分析】设这个矩形栏目的长为x，广告的面积为S，则宽为，根据题意广告的面积S＝（2x+8）（），再利用基本不等式即可求出S的最小值，以及S取最小值时x 的值．【解答】解：设这个矩形栏目的长为x，广告的面积为S，由两栏的面积之和为200，得宽为，广告的长为2x+8，宽为，其中x＞0，广告的面积S＝（2x+8）（）＝232+8（x+）≥232+8×2＝392，当且仅当x＝即x＝10时，等号成立，此时广告的宽为2x+8＝28，高为＝14，S取得最小值392，所以广告的长为28，长为14时，可使广告的面积最小，最小值为392．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．20．（12分）在①A∪B＝B，②A∩B≠∅，③B⊆∁R A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣a）＜0，x∈R}，B＝，是否存在实数a，使得_____成立．【分析】分析题目，首先解出集合A和集合B，从而找出A和B两者之间的关系．题目不难，主要是三个条件需分开作答，易混淆条件．【解答】解：B＝{x|≤0}＝[﹣2，2），A＝{x|（x+2）（x﹣a）＜0，x∈R}．当a＞﹣2时，A＝（2，a）．当a＝﹣2时，A＝∅．当a＜﹣2时，A＝（2，a）．若选择①A∪B＝B，则A⊆B．当a＞﹣2时，A＝（﹣2，a）⊆[﹣2，2 ），则a≤2，所以﹣2＜a≤2．当a＝﹣2时，A＝∅，满足题意．当a＜﹣2时，A＝（﹣2，a），不满足题意．所以选择①，则实数a的取值范围是[2，2]．若选择②A∩B≠∅．当a＞﹣2时，A＝（﹣2，a），B＝[﹣2，2），满足题意．当a＝﹣2时，A＝∅，不满足题意．当a＜﹣2时，A＝（a，﹣2），B＝[﹣2，2），不满足题意．所以选择②，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．若选择③B⊆∁R A．当a＞﹣2时，A＝（﹣2，a），∁R A＝（﹣∞，2]∪[a，+∞），而B＝[﹣2，2），不满足题意．当a＝﹣2时，A＝∅，∁R A＝R，而B＝[﹣2，2），满足题意．当a＜﹣2时，A＝（a，﹣2），∁R A＝（﹣∞，a]∪[﹣2，+∞），而B＝[﹣2，2），满足题意．所以选择③，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【点评】遇见集合问题时，首先判断集合的表达形式能否简化．无参数的集合应先解出来；有参数的集合，在用参数表达集合解集时，一定要注意参数的可能结果，并对参数进行分类讨论．21．（12分）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v≤120）的下列数据：v0406080120F01020为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型F＝av3+bv2+cv．（1）求函数解析式；（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？【分析】（1）根据题目数据，列出方程组，解出a，b，c的值，从而得出函数解析式；（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：y＝F•t＝（）＝，再利用二次函数的性质即可算出结果．【解答】解：（1）由已知数据得：，解得：，所以F＝（0≤v≤120）；（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：y＝F•t＝（）＝＝，因为0≤v≤120，所以当v＝80时，y有最小值为30，所以这辆车在该测试路段上以80km/h速度行驶时总耗油量最少，最少为30L．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，以及二次函数的性质，是中档题．。
江苏省昆山中学2020～2021学年第一学期期中考试高二数学试卷
江苏省昆山中学2020～2021学年第一学期期中考试高二数学 2020．11注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包括单项选择题(第1题～第8题)、多项选择题(第9题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)四个部分．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将各小题的唯一正确．．．．选项填涂在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1．不等式(2)8x x -<的解集是 ·································································· ( ▲ ) A ．{|42}x x -<<B ．{|42}x x x <->或C ．{|24}x x -<<D ．{|24}x x x <->或2．已知命题p ：0x ∀≥，2x ≥1，则命题p 的否定是 ···································· ( ▲ ) A ．0x ∃≥，21x <B ．0x ∀≥，21x <C ．0x ∃<，21x <D ．0x ∀<，21x <3．已知a b <，则下列结论正确的是 ··························································· ( ▲ ) A ．22a b <B ．33a b <C ．2b ab >D ．11a b> 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，38522a a a +=+，则1a 等于 ··· ( ▲ ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知x 为实数，则“0x >”是“451x x +-≥”的 ···································· ( ▲ ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知关于x 的不等式|||2|3x a x a -+-≥对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围 是 ···································································································· ( ▲ ) A ．11a -≤≤ B ．1a -≤或1a ≥ C ．33a -≤≤D ．3a -≤或3a ≥7．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐， 齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十 七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则二马相逢时，良马比驽马 多走了多少路程 ················································································· ( ▲ ) A ．440里B ．540里C ．630里D ．690里8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是 ···················· ( ▲ )A ．若20210S >，则130a a +>B ．若20200S >，则130a a +>C ．若20210S >，则240a a +>D ．若20200S >，则240a a +>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将各小题的所有正确．．．．选项填涂在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．．（选出全部正确选项得5分，漏选正确选项得3分，错选得0分） 9．若正实数a ，b 满足a +b =4ab ，则下列不等式一定成立的是 ·························· ( ▲ ) A ．14ab ≥B ．14ab ≤C ．1a b +≥D ．1a b +≤10．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合{50,20,22,40,85}--中，则公比q 的值可以是 ········································· ( ▲ ) A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-11．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，0d <，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 有最大值C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值12．若关于x 的不等式21ax bx c ++0≤≤(0a >)的解集为{|12}x x -≤≤，则3a +2b +c的值可以．．是······················································································ ( ▲ ) A ．13B ．23C ．45D ．54三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．若命题“∃x ∈R ，使得20x ax a ++<”是真命题，则实数a 的取值范围是▲． 14．已知正实数a ，b 满足1ab =，则118a b a b+++的最小值为▲． 15．已知等比数列{}n a 单调递增，若147a a +=，236a a +=，则12a a +=▲． 16．在数列{}n a 中，11a =，131n n n a a n++=+(n ∈N *)，则3a =▲，n a =▲．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知集合{|||1}A x x a =-<，2{|230}B x x x =+-<． （1）若x A ∈是x B ∈充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数x ，使得x A ∈和x B ∈同为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，▲． ①382a a +=-；②728S =-；③245,,a a a 成等比数列．请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值并指明相应n 的值．19．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足a 1＝1，na n +1＝2(n ＋1)a n ，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和n S ．20．（本题满分12分）如图，设矩形ABCD (AB >BC )的周长为20cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ．设AB =x (cm)，DP =y (cm)，△ADP 的面积为S ． （1）请用x 表示y ，并指明x 的取值范围； （2）求出S 的最大值及相应的x 的值．21．（本题满分12分）已知函数()||f x x x m =-．（1）若3m =，解不等式()2f x >；（2）若0m >，且()f x 在[0,2]上的最大值为3，求正实数m 的值．22．（本题满分12分）数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，记数列{}n b 的 前n 项和为n S ．已知11a b =，221a b a =≠．（1）若k m b a =(m ，k 是大于2的正整数)，求证：11(1)k S m a -=-；（2）若3i b a =(i 是某个确定的正整数)，求证：数列{}n b 中每个项都是数列{}n a 的项．2020~2022学年第一学期期中调研测试试卷高二数学参考解答与评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．EPDCBA(第20题)1．C 2．A 3．B 4．C 5．B6．D7．B8．A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．AC10．BD11．ABD12．BC三、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．13．0a <或4a > 14． 15．4 16．272，2(3)4n n +四、解答题：本大题共6小题，共计70分． 17．(本题满分10分)解：（1）∵{|||1}{|11}A x x a x a x a =-<=-<<+． ········································· 2ʹ又∵2{|230}{|31}B x x x x x =+-<=-<<． ·············································· 4ʹ ∵x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，∴A B ⊆．······································· 5ʹ ∴1311a a --⎧⎨+⎩≥≤， ·················································································· 6ʹ 解得：20a -≤≤．∴实数a 的取值范围是[2,0]-． ································ 7ʹ （2）∵存在实数x ，使得x A ∈和x B ∈同为真命题，∴AB ≠∅． ············· 8ʹ∴1311a a +>⎧⎨-<⎩， ···················································································· 9ʹ 解得：42a -<<．∴实数a 的取值范围是(4,2)-． ································· 10ʹ18．(本题满分12分)解：（1）∵12n n n S S a +=++，∴12n n a a +-=． ··············································· 2ʹ∴数列{}n a 是公差d =2的等差数列． ························································ 3ʹ 选①，∵382a a +=-，∴1292a d +=-，解得：110a =-． ························ 5ʹ ∴212n a n =-． ·················································································· 6ʹ 选②，∵728S =-，∴1767282a d ⨯+=-，解得：110a =-． ······················ 5ʹ ∴212n a n =-． ·················································································· 6ʹ 选③，∵245,,a a a 成等比数列，∴2425a a a =，即2111(3)()(4)a d a d a d +=++．解得：110a =-． ················································································ 5ʹ ∴212n a n =-． ·················································································· 6ʹ（2）解法一：令100n n a a +⎧⎨⎩≤≥，即21202100n n -⎧⎨-⎩≤≥，解得：56n ≤≤．∴12345,,,,0a a a a a <，60a =，78,,0a a ⋅⋅⋅>． ··········································· 8ʹ∴当n =5或n =6时，n S 可取得最小值． ····················································· 10ʹ ∴min 56()(10)(8)(2)30n S S S ===-+-+⋅⋅⋅+-=-． ······························· 12ʹ解法二：∵2(1)102112n n n S n n n -=-+⨯=-(n ∈N *) ································ 8ʹ ∴当n =5或n =6时，n S 可取得最小值． ····················································· 10ʹ ∴2min 56()511530n S S S ===-⨯=-． ·················································· 12ʹ19．(本题满分12分) 解：（1）∵12(1)n n na n a +=+，∴121n n a a n n+=+． 又∵nn a b n=，∴12n n b b +=． ································································· 2ʹ∵111b a ==，∴12n nb b +=． ·································································· 3ʹ ∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列． ······································· 4ʹ ∵12n nb -=． ······················································································ 5ʹ （2）∵12n nn a nb n -==⋅． ·································································· 6ʹ 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴121122322n n S n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①．∴12312122232(1)22n n nS n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+⨯②．由①－②可得：121112222n n nS n ---=+++⋅⋅⋅+-⨯． ······························· 8ʹ ①②1221(1)212nn n n S n n --=-⨯=----．∴(1)21n n S n =-+． ··········································································· 12ʹ20．(本题满分12分)EPDCBA (第20题)解：（1）∵矩形ABCD ，且△ABC 沿AC 向△ADC 折叠．∴AD=EC ，∠ADP=∠CEP=90°，∠APD =∠CPE ． ∴△ADP ≌△CEP ，∴AP =CP ．························· 2ʹ 在直角三角形ADP 中，∵AB =x (cm)，DP =y (cm)，∴AP =CP =x －y (cm)． 又∵矩形ABCD (AB >BC )的周长为20cm ，∴AD =10－x (cm)． 由勾股定理可得：222(10)()x y x y -+=-． ············································ 4ʹ 化简可得：2010050102x y x x-==-． ····················································· 5ʹ ∵AB >BC ，∴50010x x<-<，解得：510x <<． ···································· 6ʹ （2）∵115050(10)(10)5[15()]22S AD DP x x x x=⋅=--=-+． ················ 8ʹ ∵510x <<，由基本不等式：50x x+≥ ······································ 10ʹ∴75S -≤当且仅当x =时，等号成立)． ································ 11ʹ∴当x =时，S可取得最大值75- ······································· 12ʹ21．(本题满分12分)解：（1）∵m=3，∴()|3|2f x x x =->．1°当3x <时，原不等式可化为：(3)2x x ->，即：2320x x -+<，解得：12x <<．∴12x <<符合题意． ···················· 2ʹ 2°当3x ≥时，原不等式可化为：(3)2x x ->， 即：2320x x -->，解得：32x <或32x +>．∴32x +>符合题意． ······································································ 4ʹ综上所述：原不等式的解集为：{|12x x x <<>或． ······················ 5ʹ （2）解法一：∵m >0，∴f (x )的大致图像如下图所示：∴函数y=f(x)在[0,2]上的最大值只可能 在2mx =或x =2处取得． ······················· 6ʹ 1°若()32m f =，则||322m mm -=，即212m =，∵m当m =()|f x x x =-，此时(2)1)<3f =，符合题意． ·· 8ʹ 2°若(2)3f =，则2|2|3m -=，解得：12m =或72m =． ····························· 9ʹ 当12m =时，1()||2f x x x =-，此时11()()32416m f f ==<，符合题意． ····· 10ʹ 当72m =时，7()||2f x x x =-，此时749()()32416m f f ==>，不符合题意． ·· 11ʹ综上可知：正实数m 的值为12m =或m = ········································ 12ʹ 解法二：1°当22m≥时，即4m ≥时． 函数()||f x x x m =-在[0,2]上单调递增，∴max ()(2)2|2|3f x f m ==-=解得：12m =或72m =，均不符合题意，舍去． ··········································· 7ʹ2°当1222m m <≤时，即44m <≤时．函数()||f x x x m =-在[0,]2m ，[,)m +∞上单调递增，在[,]2mm 上单调递减， 且(2)()2m f f ≤．∴max ()()||3222m m mf x f m ==-=解得：m = ···································································· 9ʹ3°当122m >时，即4m <时函数()||f x x x m =-在[0,]2m ，[,)m +∞上单调递增，在[,]2mm 上单调递减， 且(2)()2mf f >．∴max ()(2)2|2|3f x f m ==-=，解得：12m =或72m =(不符合题意，舍去)．∴12m =．······························· 11ʹ综上可知：正实数m 的值为12m =或m = ········································ 12ʹ22．(本题满分12分)解：（1）∵11a b =，22a b =且12a a ≠．∴11a d a q +=，∴1(1)d a q =-且1q ≠．∵km b a =，∴111(1)k a q a m d -=+-，即11(1)(1)k a q m d --=-． ················ 2ʹ又∵11111(1)(1)(1)(1)(1)111k k a q m a q m d S m a q q q--------====----． ············· 4ʹ （2）首先证明q 为整数∵3i b a =，∴211(1)a qa i d =+-，即21(1)(1)a q i d -=-又∵211(1)d a a a q =-=-，∴211(1)(1)(1)a q a i q -=--．∵10a ≠且1q ≠，∴11q i +=-，即2q i =-． ······································ 6ʹ∴q 为整数．再证明数列{}n b 中的任意一项m b 都在数列{}n a 中1°当m =1或m =2时，∵11a b =，22a b =，∴结论成立． 2°当3m ≥时，只要证明：对任意的3m ≥，m ∈N*， 总存在正整数k 使得等式m k b a =，即111(1)m a q a k d -=+-成立． ················· 7ʹ令111(1)m mb a q a k d -==+-，则111(1)(1)(1)m a q a k q --=--∴1221121m m q k q q q q ---=+=+++⋅⋅⋅+-． ··············································· 9ʹ ∵2q i =-．（i ）若1i =，则1q =-，22m q qq -++⋅⋅⋅+=－1或0，此时k=1或k=2． ···· 10ʹ （ii ）若2i =，则0q =，不符合题意． ··················································· 11ʹ （iii ）若3i ≥，则q 为正整数，∴k 为正整数． ······································· 12ʹ ∴对任意的3m ≥，m ∈N*，总存在正整数k 使得等式m k b a =．∴原命题得证．。
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江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、未知
1．已知数列265,n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．若椭圆22
125x y m
+=与双曲线221515x y -=的焦点相同，则m 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 3．已知等差数列{}n a 的前11项和1188,S =则210a a +=（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19 4．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院，由美籍华人建筑师设计，已成为巴黎的城市地标｡金字塔为正四棱锥造型，四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成，能成为地下设施提供良好的采光，创造性地解决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题，取得极大成功，金字塔塔高21米，底宽34米，如果每块玻璃面积为2.72平方米，不计安装中的损耗，请你估算，建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为（ ）
A ．575
B ．625
C ．675
D ．725 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为AC 上的动点，则1PB 与平面11DA C 的位置关系是（ ）
A ．线在面内
B ．平行
C ．相交
D ．不能确定 6．抛物线24y x =的准线与双曲线2241x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积为（ ）
A ．12
B ．2 C
．D ．4 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且
639,S S =则42a a 的值为（ ） A
B ．2 C
．D ．4 8．降雨量是气象部门观测的重要数据，日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度(单位：毫米)｡我国古代就有关于降雨量测量方法的记载，古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：天池盆(圆台形状)盆口直径二尺八寸，盆底直径为一尺二
寸，盆深一尺八寸｡若盆中积水深九寸，则平地降雨量是几寸(注：一尺等于十寸，一寸等于10厘米)?已知某隧道的积水程度与日降水量的关系如下表所示：
如果某天该隧道的日降水量按照“天池盆测雨”题中数据计算，则该隧道的积水程度为（ ）
A ．一级
B ．二级
C ．三级
D ．四级 9．下列说法正确的有（ ）
A ．正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行
B ．设m 为圆锥的一条母线，则在该圆锥底面圆中，有且只有一条直径与m 垂直
C ．对于任意一个正棱柱，都存在一个球，使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上
D ．设AB ，CD 分别为圆柱上､下底面的弦，则直线AB ，CD 间距离等于该圆柱母线长 10．已知等差数列{}n a 的公差不为0.其前m 项和为,n S 且1892,,a S S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ）
A ．59823a a S +=
B ．27S S =
C ．5S 最小
D ．50a =
11．已知椭圆22
142
x y +=的左､右焦点为12,,F F 点P 在椭圆上，且不与椭圆的左､右顶点重合，则下列关于12PF F △的说法正确的有（ ）
A ．12PF F △的周长为4+
B ．当1290PF F ︒∠=时，12PF F △的边12PF =
C ．当1260F PF ︒∠=时，12PF F △
D ．椭圆上有且仅有6个点P ，使得12PF F △为直角三角形
12．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒
的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）
A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
13．抛物线2:2C y px =的焦点F 是圆2220x y x +-=的圆心，P 为抛物战C 上在第一象限内的点，且PF =3，则P 点的坐标为_______.
14．已知等差数列{}n a 的首项和公差都为2.则数列{}n a 的通项公式=____，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
上的前2020项和为_______. 15．已知长方体1111ABCD A B C D -的所有顶点都在球O 的表面上，且AB =BC =3，异面直线1CC 与1AD 所成的角为60°，则球O 的表面积为_______.
16．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4
，侧面积均为.记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD .已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为_______.
17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11190B AC ∠=︒，
P 、Q 分别是棱1111,A B B C 的中点.求证：
（1）AC //平面BPQ ；
（2）AC ⊥BP .
18．在①313S =；②32n
n S =-；③312n n S -=；这三个条件中，请选择一个条件将下面的题目补充完整并解答本题.
题目：设等比数列{}n a 的各项都为正数，11a =，前n 项和为n S ，且_________. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令31log n n b a +=，求数列{}n n a b 的前n 项和.
19．已知椭圆22122:1(0x y C a b a b +=>>）的长轴长为8，一条准线方程为x =与椭圆1C 共焦点的双曲线2,C 其离心率是椭圆1C 的离心率的2倍.
（1）分别求椭圆1C 和双曲线2C 的标准方程；
（2）过点M (4，1)的直线l 与双曲线2,C 交于P ，Q 两点，且M 为线段PQ 的中点，求直线l 的方程.
20．已知数列{},{}n n a b 的各项均为正数，前n 项和分别为,,n n S T 且对任意正整数，
21,n n n a S =+1n b =+恒成立.
（1）分别求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2）若对于任意的正整数,(1)n n n T k S ≤+恒成立，求实数k 的取值范围.
21．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =60°，四边形P ACQ 为矩形，P A =1，且平面P ACQ ⊥平面ABCD .
（1）求BP 与平面ACQP 所成角的余弦值；
（2）求二面角B -PQ -D 的大小；
（3）求点C 到平面BPQ 的距离.
22．在平面直角坐标系xOy 中，有三条曲线：①22
1(04)4x y m m
+=<<；②22
1(0)4x y n n
-=>；③22(0)y px p =>.请从中选择合适的一条作为曲线C ，使得曲线C 满足：点F (1，0)为曲线C 的焦点，直线y =x -1被曲线C 截得的弦长为8. （1）请求出曲线C 的方程；
（2）设A ，B 为曲线C 上两个异于原点的不同动点，且OA 与OB 的斜率之和为1，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为H ，问是否存在定点M ，使得线段MH 的长度为定值?若存在，请求出点M 的坐标和线段MH 的长度；若不存在，请说明理由.。