第六章随机信号分析与处理基础

2 A0 = cos w0τ 2 ∞
• 其中 τ
= t 2 − t1
，根据式（6-24）求得其自协方差函数为：
2 A0 C xx (t1 , t 2 ) = Rxx (t1 , t 2 ) − m x (t1 ) m x (t 2 ) = cos w0τ 2
• 根据式（6-25）求得该随机信号的方差为：
2 若平稳随机信号X(t)不含任何周期分量, 则R (∞ ) = m , C (∞ ) = xx x xx
0
例：
w 一个随机信号 X (t ) = A0 cos( w0 t + θ ) ，其中 A0 、 0
均为常数，θ 为区间均匀分布的随机变量， 求该随机信号x(t)的均值、均方值、方差、自 相关函数及自协方差函数。
∞
表明：随机信号的均方值 均方值是它的自相关函数在t1=t2时的特例。 均方值 对于平稳随机信号：
∞ Rxx (t1 ; t 2 ) = ∫−∞ ∫−∞ x1x2 p ( x1 , x2 ;τ ) dx1dx2 = Rxx (τ ) ∞
可见其自相关函数是时间间隔 τ 的函数。
2）自协方差函数 ）自协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、t2取值起伏 变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，表示为：
E[ X (t )] = ∫−∞ x 2 p ( x ) dx
2 ∞
2
∞
对于平稳随机信号： 其均方值仍为一个与时间无关的常数。
﹡方差：用于表明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，是随 机信号取值分散性的度量。表达式为：
D[ X (t )] = E[( X (t ) − m x (t )) ] = ∫−∞ [ x (t ) −mx (t )]2 p ( x; t ) dx = σ x (t )
2 σ x (t ) 2 2 A0 A0 = C xx (t1 , t 2 ) = cos w0 (t − t ) = 2 2
• 根据式（6-26）求得该随机信号的均方值为：
E[ X (t )] =
2
2 σ x (t )
+
2 m x (t )
2 A0 = 2
各态遍历性随机信号及其数字特征
﹡时间平均表征量： 1）随机信号x(t)的时间均值：
– 例
汽车车架垂直加速度时间 历程记录曲线
图中每一条曲线xi(t)都是加速度时间历程的一次试验 记录。 x1(t),x2(t),…,xn(t)构成加速度时间历程的集合， 称为样本空间，记作X（t）。每一记录曲线称为一个 样本，记作xn(t)。 由图可见，各条曲线互不相同，显然不可能用明 确的函数式描述。 在任意时刻t1，加速度量值X（t）是一个随机变 量。全部加速度记录的样本空间是无穷多个随机变量 的集合。 这种随机现象的进行过程用随机过程来描述。
可见互协方差函数也是时间间隔 τ 的函数。
平稳随机信号的均值、方差、 平稳随机信号的均值、方差、均方值是与时 均值 间无关的常量， 间无关的常量，相关函数及协方差仅是时移τ 的函数， 无关。 的函数，与随机信号的起止时刻t无关。 平稳随机信号最重要的特点是随机信 平稳随机信号最重要的特点是随机信 在不同时刻具有相同的统计特征。 号在不同时刻具有相同的统计特征。 与平稳随机信号相反，非平稳随机信 与平稳随机信号相反， 号的统计特性是随着时间的推移而变化 的。
X (t ) = lim
T →∞
1 T ∫ x (t )dt 2T −T
2）随机信号x(t)的时间相关函数：
X (t ) X (t +τ ) = lim
T →∞
1 T ∫ x (t ) x (t +τ )dt 2T −T
﹡各态遍历性随机信号： 在一定条件下，平稳随机信号的每一个样本都同样地经历了 平稳随机信号的每一个样本都同样地经历了 随机信号其它样本的各种可能状态，因而从一个样本的统计特性 随机信号其它样本的各种可能状态 从一个样本的统计特性 时间平均）就能得到全部样本的统计特性（集平均），此类信 （时间平均）就能得到全部样本的统计特性 号称为各态遍历性随机信号。 ﹡各态遍历性随机信号的数字特征： 先通过简单的实验方法或数学方法得到一个各态遍历性随机 信号的均值、自相关函数，再运用关系式得到其它数字特征量。
平稳随机信号的重要性质
2 R(0) = E[ X (t )], C (0) = σ xx x 2
R(τ ) = R(−τ ), C (τ ) = C (−τ ) xx xx
(0) ≥ Rxx (τ ) , C (0) ≥ C xx (τ ) xx xx 若X(t) = X(t + T), 则R (τ ) = R (τ + T ), C (τ ) = C (τ + T ) xx xx xx xx R
• 根据式（6-20）求得该随机信号的自相关函数为：
Rxx (t1 ; t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E[ A0 cos( w0 t1 + θ ) ⋅ A0 cos( w0 t 2 + θ )] = ∫−∞ A0 cos( w0t1 +θ )⋅ A0 cos( w0t2 +θ ) ⋅ p (θ ) dθ
2 2 ∞
其中， (t ) —均方差； σx 对于平稳随机信号：
D[ X (t )] = ∫−∞ ( x − mx ) 2 p ( x ) dx = σx
2 ∞
可见其方差也为一个与时间无关的常数。
﹡相关函数与协方差函数 相关函数与协方差函数： 1）自相关函数：用于反映随机信号在不同时刻的内在联系，表 ）自相关函数 达式为：
∞ Rxy (t1 ; t 2 ) = E[ X (t1 )Y (t 2 )] = ∫−∞ ∫−∞ x (t1 ) y (t2 ) p ( x , y ;t1 ,t2 ) dxdy ∞
其中， p ( x , y ;t1 ,t2 ) 表示两随机信号的二维联合概率密度函数；
Rxy (t1 ; t 2 ) 表示两随机信号之间的线性依赖关系。
C xx (t1 ; t 2 ) = E[( X (t1 ) − m x (t1 ))( X (t 2 ) − m x (t 2 ))] = Rxx (t1 ; t 2 ) − m x (t1 ) m x (t 2 )
当t1=t2=t时，有：
C xx (t ; t ) = E[( X (t ) − m x (t )) ] = σ x (t )
2 2
方差
对于平稳随机信号：
C xx (t1 ; t 2 ) = Rxx (t1 ; t 2 ) − m x (t1 ) m x (t 2 ) = C xx (τ )
可见其自协方差函数也是时间间隔 τ 的函数。
3）互相关函数 ）互相关函数：用于研究两个随机信号x(t)和y(t)的相互关系，表 达式为：
概率结构： 概率结构： 随机信号是随时间变化的随机变量，用概率结构来 随机信号是随时间变化的随机变量， 描述。 描述。 对于离散型随机变量，用概率描述； 对于离散型随机变量，用概率描述； 对于连续型随机变量，用概率密度描述。 对于连续型随机变量，用概率密度描述。 1）一维概率分布函数 F ( x1; t1) = P[ X (t1) ≤ x1] 表示随机信号X(t) X(t)在 时刻的取值不大于x 的概率。 表示随机信号X(t)在t1时刻的取值不大于x1的概率。 2）一维概率密度函数
• 解：随机变量 θ 在 [0, 2π ] 区间均匀分布，它与时间无关，故其一 维、二维概率密度均为：
1 p (θ ) = , 0 ≤ θ ≤ 2π 2π
• 根据式（6-15）求得该随机信号的均值为：
E[ X (t )] =
∞ ∫−∞
xp (θ ) dθ =
2π ∫0
1 A0 cos( w0t +θ ) ⋅ dθ = 0 = m x 2π
mx (t) 为随机变量x(t)各个样本的摆动中心。
= mx (t )
∞ 对于平稳随机信号： E[ X (t )] = ∫−∞ xp ( x ) dx = mx
均值为一个与时间无关的常数，相当于信号的直流分量。 均方值：用于表示随机信号的平均功率，表达式为： ﹡均方值
E[ X (t )] = ∫−∞ x 2 (t ) p ( x; t ) dx
1n µx(ti ) =lim ∑xk (ti ) n→ n ∞ k=1
若不依赖于采样时刻ti，µx(ti)为常值，即µx(ti)=µx，则这 种随机信号为平稳信号。
1.随机信号在时域的数字特征
• 数字特征包括均值(或数学期望)、均方值、方 均值( 均值 或数学期望) 均方值、 差、相关函数、协方差函数、功率谱等。 相关函数、协方差函数、功率谱等 连续时间随机信号的数字特征 离散时间随机信号的数字特征
对于平稳随机信号，当满足下面条件时：
τ = t 2 − t1
有：
∞ Rxy (t1 ; t 2 ) = ∫−∞ ∫−∞ xy p ( x , y ;τ ) dxdy = Rxy (τ ) ∞
4）互协方差函数 ）互协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、t2取值起伏 变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，表示为：
∂F ( x1;t1) P[ x1≤ X (t1)≤ x1+∆ ] p ( x1; t1) = = lim ∆→ 0 ∂x1 ∆
表示随机信号在t1时刻的取值落入[x1,x1+ 表示随机信号在t1时刻的取值落入[x1,x1+ △]极小区 t1时刻的取值落入 间的平均概率。 间的平均概率。 维联合概率分布函数： 3）n维联合概率分布函数： 维联合概率密度函数： 4）n维联合概率密度函数： 在实际中， 在实际中，往往只考虑一维和二维的概率分布函数和 概率密度函数。 概率密度函数。
∞ Rxx (t1 ; t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = ∫−∞ ∫−∞ x (t1 ) x (t2 ) p ( x1 , x2 ;t1 ,t2 ) dx1dx2 ∞