数学建模漫谈(续)

Safe Landing(安全着陆),Chad T. Kishimoto, Justin C. Kao, Jeffrey A. Edlund,California Institute of Technology, Pasadena, California 91125 Advisor: Darryl H. Yong摘要：我们考察了特技演员坠落到由瓦楞纸纸箱做成的护垫时的物理原理并建立了描述它们的数学模型。

该模型导致了特技演员撞击纸箱做的缓冲器(护垫，捕捉器)的计算机模拟。

模拟和模型使我们能够预测由于物理参数引起的纸箱缓冲器的行为，并由此设计最大安全和最低成本的纸箱缓冲器(the box catcher).我们提供了两个纸箱缓冲器设计的案例研究。

摩托车手在跳过大象后的撞击以及由David Blaine演的电影David Blaine: Vertigo(头晕眼花)。

这些都表明我们的模型处理高速撞击和很大重量物体的能力。

对于每一种情形，我们都计算了两种可能的纸箱缓冲器的设计，展示了改变设计参数后的效果。

空气阻力是高速撞击时的主要阻力，而在低速撞击的情形，纸箱的鼓起(弯曲)提供了更大的阻力。

我们还讨论了不同的纸箱缓冲器的变种。

表1 术语V m基本概念要求下落的特技演员有很大的动能212s s s U m u = 为了安全着陆，在表演者着地前大部分动能必须由缓冲器吸收。

所以，由Newton 第二定律，缓冲器必须施力以使表演者减速，s du F m dt =吸收的总能量应该等于表演者的初始能量(动能加势能)00s s Fdz U V =+⎰然而，缓冲器本身不能承受太大的力。

所以我们设定一个最大的力，max F . F 越小纸箱缓冲器就必须更大(从而更贵)。

所以，为了省钱又能保证生命安全，我们将取max (1)F F δ≈-其中(01)δδ<<安全余地(safety margin). 纸箱缓冲器(略)对纸箱建模我们详细考察了特技演员垂直撞击单个纸箱的过程。

这种分析是我们能够预测改变纸箱的参数(形状、大小，等)时对纸箱吸收的能量的影响。

假设：撞击过程中的主要阶段尽管撞击包含表演者的姿势、纸箱的结构、纸箱内的空气、纸箱的支撑、撞击的角度和位置，以及其他细节之间许多复杂的相互作用，对薄壳和可压缩湍流建模对于制作电影来说并不经济，所以为了写我们这样的一篇文章来说也不实际。

所以我们假定并分别描述撞击过程中的主要阶段。

阶段1 力作用在纸箱的顶部。

阶段2 该力造成纸箱边的弯曲，并使之失去结构的完整性。

阶段3 当纸箱被压碎时空气被挤出纸箱。

阶段4 纸箱被完全压平。

经过仔细分析发现阶段2和3是主要的，阶段1和3可以忽略。

阶段2中纸箱的顶H ∆部分发生变形，而在阶段3中其余部分发生变形。

由前面的分析可以得到222 2 2s s s s sT V z H m Y H du dt Au g z H m ρα⎧<∆⎪∆⎪=⎨⎪-<∆⎪⎩ （7）对纸箱缓冲器建模纸板的性质 包括张力强度、厚度和杨氏模量等 运动方程2top 2top 2 2 2s s s s s s A T V z z H m AY H du dt Au g z z H m ρα⎧-<∆⎪∆⎪=⎨⎪--≥∆⎪⎩ （8） 分析我们的模型在给定纸箱缓冲器参数时能够预测特技演员的下落过程。

我们想寻求解析结果来指导纸箱缓冲器的设计。

简化假设每个纸箱顶部都是正方形2()A w =，经分析，有232202()2(1)48s s s Y m g u gT A πτγαγρ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （10） 232()12s s A w A Y w w m g πτγ== （11） 通解求通解最大的困难是需要知道特技演员在撞击时的速度，有时间的话也可以做。

作为替代，我们利用模型来定性地说明纸箱的制作。

方程（10）告诉我们对于特技演员的比较高速度，就需要比较高的（较大的）纸箱以承受作用在特技演员上的最大容许的力。

这就意味着为了节约成本和保证安全，应该把比较高的纸箱堆放在顶部，然后是比较矮的纸箱。

（11）表明纸箱的最优宽度与高度成反比2()w -∝. 因此，最窄的纸箱应该放在顶部，而较宽的纸箱则应该放在下面（底部）。

由此得出：最优纸箱缓冲器在底部是矮而宽的纸箱，在顶部是高而窄的纸箱。

此外，在空气逸出阶段运动方程（8）包含2u ，但是在弯曲阶段没有依赖于速度的项。

因此，对于高的撞击速度，空气逸出是控制减速的主要因素，而对于比较低的速度，纸箱的弯曲是更重要的。

结果摩托车特技演员非洲象的平均高度是4米.摩托车的质量(重量)为230公斤.我们假设特技演员越过大象的距离约为2米，所以其撞击速度为8米/秒.选择参数1/3, 1/2w ==，3米高的纸箱缓冲器在特技演员和摩托车下落2.33米时就能停住他们.David Blaine’s Vertigo (略)其他因素着陆带的考虑(略)纸箱和纸箱缓冲器的构造(结构) (略)结论我们提出了一个由于单个纸箱坍塌引起的能量耗散模型，指出了两个关键阶段•纸箱壁弯曲把主要的外力作用于它。

剪力造成了纸箱壁的撕裂，最终导致坍塌。

•纸箱中的空气逸出，在这个过程中吸收了下落特技演员的能量。

我们考虑了每个阶段的与另一个阶段无关的机理。

通过求解每个阶段的运动方程，我们预测了特技演员通过单个纸箱的轨迹，然后推广为整个纸箱缓冲器。

表演者能否在触地(从而受伤)前停下来有赖于纸箱缓冲器的结构和纸箱的尺寸。

高的纸箱比较安全，矮的纸箱比较便宜，必须在安全和成本及尺寸之间取得平衡。

我们提出一种解决办法，9层纸箱，每个高1/3米，宽1/2米。

但这是比较差的方法，作用在下落特技演员身上的力不是最优的。

我们也提出了8层纸箱的方法并概述了连续优化的原则。

最后，我们观察到高速时空气阻力是主要因素，低速时纸箱的变形提供了更大的阻力。

模型的优点程序中的参数是灵活的；算法是稳健(鲁棒)的；运行时间短。

模型的缺点不是最优的纸箱设计；演员受到的力没有好的估计。

进一步的研究(略)附录: 关于弯曲的公式(2)的导出(略)参考文献Encyclopedia of Materials Science and Engineering, v. 2, 1986.David Blaine’s Vertigo, Television special, 2002. Encyclopedia Britannica Online, 2003.ODE Software for MATLAB, 4th Runge-Kutta demonstration, 2002.Physics, 1992.Applications of Classical Physics, Unpublished lecture notes, 2002.我认为他们获得SIAM Prize当之无愧的。

另外5篇优秀论文是：A Time-Independent Model of Box Safety for Stunt Motorcyclists, Harvard University Thinking Outside the Box and Over the Elephant, Harvey Mudd CollegeYou Too Can Be James Bond, 东南大学Cardboard Comfortable When It Comes to Crashing, University of WashingtonFly with Confidence, 浙江大学***********************************MCM-2003 B 题: Gamma刀治疗方案立体定位放射外科, 用单一高剂量离子化射束在X光机精确界定下照射颅内的一个小的3D 脑瘤, 与此同时, 并没有处方剂量的任何显著份额伤及周边的脑组织. 在这个领域中,一般有三种形式的射束可以采用，分别是Gamma刀单元, 带电重粒子射束, 以及来自直线加速器的外用高能光子束.Gamma刀单元具备的单一高剂量离子化射束, 是201个钴-60单位源通过厚重的盔状物发射出来的。

所有的201条射束同时交汇于一个等中心(最大放射剂量点)，从而在有效剂量的水平上形成一个近似球形的剂量分布. 照射这个等中心来达到处方剂量称为一个“shot”. 多个shot可以表述为不同的球. 四个可以互换的外部校准的盔状物分别具有4，8，14 和18mm的射束通道直径, 都可以用来照射不同尺寸的体积. 对于大于一个“shot”的目标体积，可以用多个shot来覆盖整个目标. 实际上, 大多数目标体积要用1到15个“shot”加以处理. 在这里,目标体积是一个有界的通常包含数百万个点的三维数字图象。

放射外科学的目的是消除肿瘤细胞同时保存正常的结构. 由于治疗过程中会涉及物理限制和生物不确定性，一个治疗方案就需要考虑到所有那些限制和不确定性。

一般而言，一个最优的治疗方案需要符合如下的要求：1. 穿过目标体积的剂量梯度最小2. 为目标体积配置特异性的相同剂量轮廓线3. 为目标和关键器官配置特异性的剂量-体积限制条件4. 对正常组织或器官的整个体积照射要剂量总和最小5. 对指定的正常组织点的剂量要限制在忍耐剂量以下6. 使关键体积所需的最大剂量达到最小在Gamma单元治疗方案中，有以下限制：1. 禁止“shot”伸展到目标以外2. 禁止“shot”交迭（避免热点）3. 用有效的剂量覆盖尽可能多的目标体积，但至少90%目标体积要被“shot”覆盖4. 用尽可能少的“shot”你的任务是用球体填充问题模型来建立最优的Gamma刀治疗方案，并且提出一个求解的算法. 在设计算法时你要记住: 它必须是相当有效率的.(本题的作者为Jie Wang)Jie Wang, PhD, Professor and ChairDepartment of Computer ScienceDirector, Center for Network and Information Security University of Massachusetts at Lowell 马萨诸塞州州立马萨诸塞大学洛厄尔分校Lowell, MA 01854Expertise: Systems and Network Security, Computational Complexity Theory, Applied AlgorithmsEmail: wang@中山大学学士，中山大学工程硕士，Boston University(波士顿大学)博士University of Washington，华盛顿州州立华盛顿大学Informs Prize RecipientUniversity of Colorado at Boulder 州立科罗拉多大学博尔德分校SIAM Prize RecipientPeking University北京大学数学科学学院Dong Hua University上海东华大学Youngstown State University俄亥俄州立扬斯敦大学MAA Prize RecipientThe Genetic Algorithm-based Optimization Approach gor Gamma Unit Treatment, 东华大学Sun Fei, Yang Lin, Wang Hong; Advisor: Ding Y ongsheng摘要引言假设最优化模型问题的分析装球问题的以几何为基础启发方法骨骼生成遗传算法注射(shot)的位置编码方法执行评价遗传算子以剂量为基础的最优化模拟结果和模型测试敏感性分析优缺点结论参考文献另外4篇优秀论文是：A Sphere-Packing Model for the Optimal Treatment Plan, 北京大学The Gamma Knife Problem, U. of Colorado Shelling Tumors with Caution and Wiggles摆动状线, U. of WashingtonShoot to Kill!Youngstown State University如果找不到以下文献，能做得好吗？Ferris, M. C., and D. M. Shepard, 2000, Optimization of gamma knife radio-surgery. In Discrete Mathematical Problems with Medical Applications, vol. 55 of DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, edited by D.-Z. Du(堵丁柱), P. Pardolas, and J. Wang, 27-44. Providence, RI, AMS.ftp:///pub/dmi/tech-reports/00-01.pdf Wang, Jie, 1999, Packing of unequal spheres and automated radio-surgical treatment planning, Journal of CombinatorialOptimization, 3: 453-463.在编者注中引用了SIAM News, v. 36(2003), no.4 的报道，州立科罗拉多大学博尔德分校队的指导教师Anne Dougherty的想法(观点)，她强调竞赛“实际上从年前的秋季学期的后半学期就开始”，当学生被召来，举办培训班时，“就要给学生时间互相了解并开始组成他们的参赛队。