椭圆几何性质的应用

练习

1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率 为
2 2
。

3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为
1 3
。
归纳总结
【思路点拨】
化为标准形式 → 确定焦点位置
→ 求a，b，c → 求椭圆几何性质
课堂练习
若本例中椭圆方程变为：“4x2＋y2
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＝4”，试求解长轴长、焦距、焦点坐标、顶点 坐标和离心率．
解：已知方程为
y2 x²＋ 4 ＝1，所以
a＝2，b＝1， c
＝ 4 1 ＝ 3 ，因此，椭圆的长轴的长和短轴的
c 3 长分别为 2a＝4,2b＝2，离心率 e＝ ＝ ，两个 a 2 焦点分别为 F1
(0,
3 )，F2(0,- 3 )，椭圆的四个
顶点是 A1(0，－2)，A2(0,2)，B1(-1,0)，B2(1,0).
求适合下列条件的椭圆的标准方程： 2 (1)长轴长是 6，离心率是 ； 3 (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连
2.1.2 椭圆几何性质的应用
复习引入
定义:│PF1│+│PF2│=2a （2a＞|F1F2|)
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 范围
x 2 y2 ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2
y2 x 2 ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2
|x|≤a，|y|≤b ____________
|____________ x|≤b，|y|≤a
例2
线互相垂直，且焦距为 6.
x2 y2 y2 【解】 (1)设椭圆方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)或 2＋ a b a x2 ＝1(a>b>0)．由已知得 2a＝6，∴a＝3. b2 c 2 又 e＝ ＝ ，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. a 3 x2 y2 y 2 x2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1. 9 5 9 5 (2)由题意知焦点在 x 轴上， x2 y2 故可设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)， 且两 a b 焦点为 F′(－3,0)，F(3,0)．
焦点的位置 顶点 轴长
焦点在x轴上 (±a,0)，(0，±b) _________________
焦点在y轴上 (±b,0)，(0，±a) ________________
长轴A1A2，长度为2a， 短轴B1B2，长度为2b
焦点
焦距
F1(－c,0)，F2(c,0)
F 1(0，－c)，F2(0，c) __________________
如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形，
OF 为斜边 A1A2 的中线， 且|OF|＝c， |A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3. ∴a2＝b2＋c2＝18. x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 18 9
例3
若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构 成正三角形，则其离心率 1 为 。 2
【思路点拨】求椭圆的离心率的常见思路 ：一是先求a，c，再计算e；二是依据条 件中的关系，结合有关知识和a、b、c的 关系，构造关于e的方程，再求解．注意e 的范围：0<e<1.
|F1F2|＝2c 坐标轴 ，对称中心：____ (0,0) 对称轴：_______
对称性
离心率
c a 椭圆的焦距与实轴长的比，即e＝___
课堂互动讲练 例1 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点
坐标、顶点坐标和离心率．
【解】 x2 y2 将椭圆方程变形为 ＋ ＝1， 9 4
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6,2c＝2 5； 焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)；顶点坐标 为 A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)；离 c 5 心率 e＝ ＝ . a 3