2.3 幂函数 (课件)
课件14： 2.3 幂函数
[合作探究]
知识点一 幂函数的定义 幂函数 y＝xα(α∈R)，其中 α 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量， 指数 α 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 思考 1
y＝2x2 和 y＝x2＋x 是不是幂函数？
提示： 不是，形式不符合幂函数的定义要求．
思考 2 如何区分指数函数与幂函数？ 提示：指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的底数 a 为常数，指数 为自变量；幂函数 y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数 α 为常数．
知识点三 幂函数的性质及应用 1．比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要 利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调 性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用来进行比较． 2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与 0,1 等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利 用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．
【跟踪训练 1】 已知函数 f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m 为何值时，
f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
[解] (1)若 f(x)为正比例函数，则
m2＋m－1＝1，
m2＋2m≠0
⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则
m2＋m－1＝－1，
正确的是( )
A．T1<T2<T3
B．T3<T1<T2
C．T2<T3<T1
D．T2<T1<T3
2
2
2
[解析]
(1)构造函数
y＝x
2.3幂函数
Q x1 , x 2 [0, )，且 x1 x 2， x1 x 2 0, x1 x 2 0,
f ( x1 ) f ( x2 ) 0，即f ( x1 ) f ( x2 ), f ( x) x 在[0, )上是增函数.
四、练习巩固
P86 8、已知函数 f ( x ) ( m 2m ) x
y x
2
y x
y x
1 2
y x
1
x
二、基础知识讲解
几个幂函数的图象和性质
y x
定义域 值域
y x
2
y x
3
y x
1 2
y x
1
R R 奇
R
R R 奇
[ 0,+∞) ［0,+∞) 非奇非偶
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (0，+∞) ↘ (－ ∞,0)↘
[ 0,+∞)
偶
［0，+∞)↗
三、例题分析
例1 函数f ( x ) ( m m 1) x
2
m2 m 3
是幂函数，且当
x (0, )时，f ( x )单调递增，求f ( x )的解析式. 2 m2 m3 解： Q f ( x ) ( m m 1) x 是幂函数，
m m 1 1
0.125
1 3.375 8 R 定义域：_____________
x3
O
x
值
R 域：_____________
奇函数 奇偶性： _____________
在 R上是增函数 单调性： _____________
二、基础知识讲解 1
y
y x2
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
《集合与函数概念幂函数》高一上册PPT课件(第2.3课时)
办办公公资资源源精精品品系系列列课课件件
“ THANKS ”
人教版高中数学必修一精品课件
思 考1： 幂 函 数 与 指 数 函 数 的 自 变 量 有 何 区 别 ？
[提 示 ] 幂 函 数是 形 如y＝xα (α ∈R)， 自 变量 在 底 数上 ， 而 指数 函 数 是 形如y＝ ax(a>0且a≠ 1)， 自 变量
在 指 数 上 ．
人教版高中数学必修一精品课件
办公资源精品系列课件
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
人教版高中数学必修一精品课件
办公资源精品系列课件
[解 ] 设f(x)＝ xα ， g(x)＝ xβ . ∵ ( 2)α ＝ 2， (－ 2)β ＝ － 1， ∴ α ＝ 2， β ＝ － 1，
2
∴ f(x)＝ x2， g(x)＝ x－1.分 别 作 出 它 们 的 图 象 ， 如 图 所 示 ． 由 图 象 知 ， (1)当x∈ (－ ∞ ， 0)∪ (1， ＋ ∞ )时 ， f(x)>g(x)； (2)当x＝ 1时 ， f(x)＝ g(x)； (3)当x∈ (0,1)时 ， f(x)<g(x)．
小 关 系 是 ( )
A． d>c>b>a
B． a>b>c>d
C． d>c>a>b
D． a>b>d>c
图 2-3-2
人教版高中数学必修一精品课件
办公资源精品系列课件
高中数学2.3 幂函数 1优秀课件
- - 6 - 4 2 2 4 6
( - x -3 -2 1 -1 1 2 3 -
-2
1 - y x1 13 12
11 3 1 2 3
-4
探究二：幂函数图像和性质
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
么关系?
2
(
( 1 ( y x - y- = x0
- - 6 - 4 2 2 4 6
( - 在第一象限内1 ， 当k>0时，图象随x增大而上升
。 - 2 当k<0时，图象随x增大而下降
-3
。
-4
探究二：幂函数图像和性质
不管指数是多少( 4 y x 3 ( -
,图象都经过哪
y x 2
个定点?
3
y 1 y x 2
探究一：幂函数定义
他们有以下共同特点： (1)都是函数； (2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂； 〔4〕自变量前的系数为1。
探究一：幂函数定义
一般地，函数 y x a 叫做幂函数(power function) ，
a 其中x为自变量， 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘＫ 的形式， 其特征可归纳为“两个1:系数为１，只有１项〞 ． 你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x- 3 3 -27 -8 -1 0 1 8 27
2.3幂函数
根指数,a称为被开方数,并且( )n=a(n>1,n为正整数) 。
例2
±24=16,±2叫做16的()次方根
±22=4,±2叫做4的()次方根
23=8,2叫做8的()次方根
16的4次方根为()
4的2次方根为()
8的3次方根为()
将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数，
增函数,在(0,+∞)上是减函数。
试结合函数y=x-2的图像，讨论函数的性质.
解：y=1 ,所以函数的定义域为{x|x≠0},列表描点画出图像.
2
(1)定义域:{x|x0};
(2)值域:()；
(3)函数是函数；
(4)函数在上是增函数,在上是
减函数。
谢谢大家的观看
3
6
2 3× 1.5× 12
1
33
2
1
2
1
6
=2×3 × ×(22 × 3)
1
2
1
-1 3
1 1 1
+ +
2 3 6
=2×3 ×(3×2 ) × 2
=21×2
1 1
−3+3
×3
1
2×6
×3
1
6
2.用计算器计算:
(1)2112(用科学计数法表示,保留四
位有效数字)
6
(2) 311(精确到0.001)
=6
(1)1511≈8.650×1012;
6
(2) 7≈1.383;
7
(3) −56.456≈-1.779.
5
5
10
=
(2)5=a2=
10
中职教育数学《幂函数》课件
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是
增函数
公共点
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
（1，1）
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
定义域：[0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
x y=x3
y=x1/2
… -2 … -8 …/
-1 0 -1 0 /0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2
-4 -6 -8
12 18 12 y=x3
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
1
x 水平的射线；
指数小于0,在第一象限为
双曲线型；
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
1 0
0 1
0 1
0
1
在上 (1,) 任取一点
作 x 轴的
垂线，与
幂函数的
图象交点
越高，
的值就越 大。
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
高中数学必修 ①人教版A
§2.3幂函数
一、幂函数的定义：
一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
幂函数，其中 x为自变量， 为常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
高中数学《幂函数》课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 判断函数为幂函数的方法 (1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才 是幂函数，否则就不是幂函数． (2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝ xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且： ①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝ (3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过 来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．
2 2
D． 2
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解析 设幂函数为 y＝xα，∵幂函数的图象经过点4，12，∴12＝
4α，∴α＝－12，∴y＝x－12
1
，∴f(2)＝2－2
＝
22，故选 C．
答案 C
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
1
A．y＝x3
1
B．y＝x－2
5
C．y＝x3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图 低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴(简 记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系，即根据幂函数在
D．－1,1,3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解析 当 a＝－1 时，y＝x－1 的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；
当 a＝1 时，函数 y＝x 的定义域是 R 且为奇函数；当 a＝12时，
1
2.3幂函数
1．幂函数的定义 y＝xa(a∈R) 的函数叫 一般地，形如
做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对 于幂函数，一般只讨论a＝1, 2, 3，，－1 时的情形．
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
2．幂函数的图象与性质
3.5
qx = x3
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息： ①f(x)＝(m2－m－1)x2m－1是幂函数； ②当x>0时，f(x)是增函数． 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
1.设
1 α∈－1，1，2，3，则使函数
解析：代入验证． 答案：－1或2
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
4．已知函数f(x)＝x ，且f(2x－1)<f(3x)， 则x的取值范围是________．
解析：由 2x－1< 1 ∴ x≥2．
2x－1≥0， 3x得：3x>0， 2x－1<3x，
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
5．已知f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值 时，f(x)是： (1)正比例函数； 解：(1)若 f(x)为正比例函数，则 (2)反比例函数； m ＋m－1＝1， ⇒m＝1. m ＋2m≠0 (3)二次函数； (2)若 f(x)为反比例函数，则 m ＋m－1＝－1， ⇒m＝－1. (4)幂函数． m ＋2m≠0
2 2 2 2
(3)若 f(x)为二次函数，则
m2＋m－1＝2， 2 m ＋2m≠0
⇒m＝
－1± 13 2
第二章 2.3 幂函数
§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 知识点二 五个幂函数的图象与性质1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图.2.五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.1.y ＝－1x 是幂函数.( × )2.当x ∈(0,1)时，x 2>x3.( √ )3.32y x =与64y x = 定义域相同.( × )4.若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )题型一 幂函数的概念 例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x(a >1).其中幂函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 幂函数有①⑥两个. (2)已知y ＝22222()m x m m -＋－ ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值.考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数.跟踪训练1 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32 D.2 答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22， 解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A.2B.1C.12 D.0答案 A解析 因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0， 即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2. 题型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x ). 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2. 同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系中作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x ). 延伸探究若对于本例中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象.解 h (x )的图象如图所示：反思感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程.跟踪训练2 (1)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34B.－2，34，43C.－2，43，34D.34，43，－2 答案 C(2)下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭⎫α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，3的图象正确的是( )答案 C题型三 利用幂函数的性质比较大小 例3 设212333222,,335a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.b >c >aD.c >b >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴23132323⎛⎫<⎛⎫ ⎝⎪⎪⎭⎝⎭，即a <b ；∵f (x )＝23x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴23232325⎛⎫>⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭，即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量. 跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与25(0.3). 考点 比较幂值的大小 题点 利用中间值比较大小 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数. 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)∵y ＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴0.30.3>250.3.② 由①②知⎝⎛⎭⎫250.3>250.3.幂函数性质的应用典例 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足33(3(1)2)m m a a --<-+ 的a 的取值范围.考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为1133(31))(2a a --<-+.因为13y x-= 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32. [素养评析] (1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值. (2)通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养.1.下列幂函数中，定义域不是R 的是( ) A.y ＝x B.32y x = C.25y x = D.35y x = 答案 B2.以下结论正确的是( )A.当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 答案 D3.若a <0，则0.5a ,5a ,5－a的大小关系是( )A.5－a <5a <0.5aB.5a <0.5a <5－aC.0.5a <5－a <5aD.5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a 在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5，所以5a <0.5a<5－a.4.已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝________________________________________. 答案24解析 设幂函数f (x )＝x α. ∵f (4)＝4α＝2， ∴α＝12.即f (x )＝12x . ∴f ⎝⎛⎭⎫18＝1218⎛⎫ ⎪⎝⎭＝24. 5.若幂函数2223()(1)m m f x m m --=--在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.答案 2解析 令m 2－m －1＝1得：m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3符合要求. 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0不符合要求.1.幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸.3.在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.一、选择题1.下列函数中是幂函数的是( ) A.y ＝x 4＋x 2 B.y ＝10x C.y ＝1x3D.y ＝x ＋1考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 C解析 根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数.2.已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A.－3 B.2 C.－3或2 D.3 考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3. 3.已知幂函数()2232()2n nf x n n x-＝＋－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A.－3 B.1 C.2 D.1或2 考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性答案 B 解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B. 4.已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小答案 C 解析 因为函数f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a ，故选C. 5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A.y ＝x －2B.y ＝x －1C.y ＝x 2D.y ＝13x 答案 A6.在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )考点 幂函数的图象题点 幂函数有关的知图选式问题 答案 C解析 选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a 在y 轴上的截距为正，D 错误.7.设a ＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >c >b B.a >b >c C.c >a >b D.b >c >a 答案 A解析 因为y ＝25x (x >0)为增函数，所以a >c . 因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，所以c >b ，所以a >c >b . 8.已知幂函数y ＝223m m x --(m ∈Z )的图象与x 轴和y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m 等于( )A.1B.0,2C.－1,1,3D.0,1,2 答案 C解析 ∵幂函数y ＝223m m x--(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称，∴m 2－2m －3≤0，且m 2－2m －3(m ∈Z )为偶数， 由m 2－2m －3≤0，得－1≤m ≤3，又m ∈Z ， ∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意； 当m ＝0时，m 2－2m －3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意； 当m ＝2时，m 2－2m －3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m ＝3时，m 2－2m －3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意. 综上所述，m ＝－1,1,3. 二、填空题9.函数y ＝12x 与函数y ＝x －1的图象交点坐标为________.答案 (1,1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.10.函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________.考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的.∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3).11.已知幂函数f (x )＝21m x -(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________.考点 求幂函数的解析式 题点 求幂函数的解析式 答案 f (x )＝x －1解析 ∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1. ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1.三、解答题12.点(3，3)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 分别为何值时，有f (x )>g (x )；f (x )＝g (x )；f (x )<g (x )?解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.因为(3)α＝3，(－2)β＝－12， 所以α＝2，β＝－1，所以f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. 分别作出它们的图象，如图所示.由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；当x ＝1时，f (x )＝g (x )；当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x ).13.已知幂函数f (x )的图象过点(25,5).(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域.考点 幂函数的综合问题题点 幂函数的综合问题解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，∴α＝12，∴f (x )＝12x . (2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞).14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≤0，3a －12x ，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________.考点 幂函数的性质题点 幂函数的单调性答案 ⎝⎛⎦⎤0，13解析 当x ≤0时，由f (x )＝a x 为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －12x 为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，13. 15.已知幂函数f (x )＝223m m x--(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数. (1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由.考点 幂函数的综合问题题点 幂函数的综合问题解 (1)由于幂函数f (x )＝223m m x --在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3， 因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4. (2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )＝a ·x －4＋(a －2)x . 当a ＝0时，F (x )＝－2x (x ≠0)，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )， 所以F (x )＝－2x (x ≠0)是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )， 所以F (x )＝2x 4是偶函数； 当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2，因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)，所以F (x )＝a x 4＋(a －2)x 是非奇非偶函数.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修14
幂函数的图象及应用
(1)如图，图中曲线是幂函数 y＝xα在第一象限的大致图 象，已知 α 取－2，－12，12，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2， C3，C4 的 α 的值依次为( )
A．－2，－12，12，2 C．－12，－2，2，12
B．2，12，－12，－2 D．2，12，－2，－12
(2)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点 P2，14，试画出 f(x)的图象 并指出该函数的定义域与单调区间．
下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x3
B．y＝2x2－1
C．y＝1x
D．y＝x32
解析：选 C.y＝2x3 中，x3 的系数不等于 1，故 A 不是幂函数；y
＝2x2－1 不是 xα的形式
数；y＝x32＝3x－2 中 x－2 的系数不等于 1，故 D 不是幂函数．
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
奇偶性 _奇___
__偶__
_奇___
_非__奇___ _非__偶___
_奇___
单调性
_增___
x∈[0，＋∞)， _增___ x∈(－∞，0]， _减___
_增___
x∈(0，＋ _增___ ∞)，_减___
x∈(－∞， 0)，_减___
公共点
都经过点__(1_，__1_)__
2．比较下列各组数的大小： (1)3－52和 3.1－52； (2)－8－78和－1978； (3)4.125，3.8－23和(－1.9)35.
解：(1)函数 y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又 3＜3.1，所以 3－52 ＞3.1－52. (2)－8－78＝－1878，函数 y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，又18＞19， 则1878＞1978，从而－8－78＜－1978. (3)4.125＞125＝1；0＜3.8－23＜1－32＝1；(－1.9)35＜0， 所以(－1.9)35＜3.8－23＜4.125.
第二章 2.3幂函数
§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案 底数为x ，指数为常数．梳理 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)12y x ＝；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．1．y ＝－1x 是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ )3．32y x =与64y x =定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )类型一 幂函数的概念例1 已知222(22)23m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值． 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 B解析 因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数． 类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )． 引申探究若对于本例中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象．解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，则αβ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质 答案 A解析 由条件知，M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， ∴23＝⎝⎛⎭⎫13β，13＝⎝⎛⎭⎫23α， ∴⎝⎛⎭⎫13αβ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13βα＝⎝⎛⎭⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.类型三 幂函数性质的应用 命题角度1 比较大小 例3 设212333222,,,335a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >b >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴21332233⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a <b ；()23f x x ＝∵在(0，＋∞)上为增函数，∴223322,35⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与25(0.3). 考点 比较幂值的大小 题点 利用中间值比较大小 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数． 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)∵y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， 又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数，20.350.30.3.∴>②由①②知0.32520.3.5⎛⎫> ⎪⎝⎭命题角度2 幂函数性质的综合应用例4 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足33(1)(32)m m a a <－－＋－的a 的取值范围．考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为1133(1)(32).a a <－－＋－因为13y x－＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32. 反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．跟踪训练4 已知幂函数()21*()mmf x x m +∈N ＝．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式 解 (1)∵m ∈N *，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数． 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数． (2)2112222,mm+==∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)， ()12f x x ∴＝，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数， ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0， 解得1≤a <32.1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值 答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22， 所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 答案 D3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 考点 幂函数的定义域和值域 题点 幂函数的定义域 答案 A4．若a <0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5，所以5a <0.5a <5－a . 5．先分析函数23y x ＝的性质，再画出其图象． 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 23y x ＝＝3x 2，定义域为R ，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性，当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.一、选择题1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x3D ．y ＝x ＋1考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 C解析 根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3B ．2C ．－3或2D ．3考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3. 3．已知幂函数()223(22)n nf x n n x－＝＋－ (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2D ．1或2考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )考点 幂函数的图象题点 幂函数有关的知图选式问题 答案 C解析 选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a 在y 轴上的截距为正，D 错误．5．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1bB ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1aD ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 C解析 因为函数()12f x x ＝在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a ，故选C. 6．设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，＝，＝，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 A解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，25y x ＝在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝⎝⎛⎭⎫25x在x >0时是减函数，所以c >b ，所以a >c >b .7．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12考点 幂函数的图象 题点 幂指数大小关系问题 答案 B解析 令x ＝2，由图知C 1，C 2，C 3，C 4对应纵坐标依次减小，而1122222222->>>－，故选B.8．对于幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2 B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2 C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2 D ．无法确定 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质 答案 A解析 幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1,0)，C (x 2,0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.∵|EF |>12(|AB |＋|CD |)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，故选A. 二、填空题9．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)考点 比较幂值的大小 题点 利用中间值比较大小 答案 >解析 ∵y ＝x －1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. 10．函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________．考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．11．已知幂函数f (x )＝x 21m －(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________． 考点 求幂函数的解析式 题点 求幂函数的解析式 答案 f (x )＝x －1解析 ∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1. ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1. 三、解答题12．已知幂函数f (x )＝x 223m m －－(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由． 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 解 (1)由于幂函数f (x )＝x223m m －－在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3，因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4. (2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x ) ＝a ·x －4＋(a －2)x .当a ＝0时，F (x )＝－2x ，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )， 所以F (x )＝－2x 是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )，所以F (x )＝2x4是偶函数；当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2， 因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)， 所以F (x )＝ax 4＋(a －2)x 是非奇非偶函数．13．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0＜x ≤100. ∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)． 四、探究与拓展14．(2017·黄冈检测)为了保证信息的安全传输需使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．考点 求幂函数的解析式 题点 求幂函数的解析式后再求值 答案 9解析 依题意有2＝4α，∴α＝12.∴当y ＝3时，x 12＝3，得x ＝9.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≤0，3a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 ⎝⎛⎦⎤0，13 解析 当x ≤0时，由f (x )＝a x为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，13.。
2.3幂函数
例5. 作出下列函数的图象：
(1).
y log 2 | x |
(2).
y | log2 x |
1
2.3 幂函数
2
思考：这 我们先看下面几个具体问题： 些函数有 什么共同 的特征？ (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需
要支付 元； (2) 如果正方形的边长为x，那么正方形的面积
利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 当不能直接进行比较时, 可在两个数中间插入一个中间数, 间接比较上述两个数的大小
12
练习 (1) 1.5 和 1.7
2 3 1 3 1 3
2 ( 2) ( ) 和 ( ) 3 6 ( 3 ) 4 .1 , 和 3 . 8
2 5 2 3
2 3
13
例3 证明幂函数 f ( x)
x在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f ( x1 ) f ( x2 )
x1 x2 ( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0, 所以f ( x1 ) f ( x2 ),即幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数 .
2
m2 m1
是
6
二、常见幂函数图象
在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2， y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象：
7
y x2
Y
y x3
4 3 2
y x
y x
y x 1
1 2
-3 -2 -1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案： D
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1 α 3．设α∈ －1，1，2，3 ，则使函数 y ＝ x 的定义域为R且
为奇函数的所有α值为________．
解析： 当α＝1,3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函 1 1 数；当α＝－1时，y＝ 的定义域是{x|x∈R且x≠0}；当α＝ x 2
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解析： (1)∵f(x)是幂函数， 故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. (2)若f(x)是正比例函数， 4 则－5m－3＝1，解得m＝－ . 5 4 此时m －m－1≠0，故m＝－ . 5
在 ( － ∞ ， 0) 上是减函数，在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数，故 C 不正 确． 答案： D
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
2．在下列四个图形中，y＝x
－
1 2
的图象大致是(
)
解析： 函数y＝x 数．故选D.
－
1 2
的定义域为(0，＋∞)，是减函
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
[ 边听边记 ] 幂函数，故选B.
(1)②⑦为指数函数，③中系数不是 1 ，④中
解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是 (2)∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
(2)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈ (0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解析： (1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出
5 1 3 5 －3 的六个函数中，只有y＝ x3 ＝x 和y＝ x ＝x 3 符合幂函数的定
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故 所 求 幂 函 数 的 解 析 式 为 y ＝ x － 3 ， {x|x≠0} 或 y ＝ x0 ， {x|x≠0}．
答案： (1)B
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
答案： (1)B
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
幂函数的图象
幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角 坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如
1 图所示)，那么幂函数y＝x2
的图象经过的“卦限”是( B．④⑧ D．①⑤
－1
1 或y＝x2
或y＝x3)来判断．
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
2．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图 1 1 象，已知α取－2，－ ， ，2四个值，则相应于曲线C1，C2， 2 2 C3，C4的α的值依次为( 1 1 A．－2，－ ， ，2 2 2 1 1 C．－ ，－2,2， 2 2 ) 1 1 B．2， ，－ ，－2 2 2 1 1 D．2， ，－2，－ 2 2
B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数 C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数 D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解析：
函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－
1 在 ( － ∞ ， 0) 及 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数，故 B 不正确；函数 y ＝ x2
(1)α是奇数时，幂函数为奇函数；α是偶数时，幂函数是偶函数 (2)幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，必出现在第 一象限内，一定不会出现在第四象限内
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．下列结论正确的是(
)
A．幂函数图象一定过原点
[ 规范解答]
∵函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，
∴3m－9<0， 解得m<3. 又m∈N*，∴m＝1,2. 又函数图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数，故m＝1.
1 ∴有(a＋1)－3
4分
8分 .
<(3－2a)
1 － 3
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1.幂函数的判断方法
(1) 幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种 “ 形式定
义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才 是幂函数． (2)如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化 为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1) 上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在 (1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图 高)． (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数 在第一象限内的图象(类似于y＝x
2
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
(3)若 f(x)是二次函数，则－5m－3＝2， 即 m＝－1，此时 m2－m－1≠0，故 m＝－1.
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1 时，y＝x2
＝ x的定义域是{x|x≥0}．
答案： 1,3
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
4．已知函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m 为何值时，f(x)： (1)是幂函数． (2)是正比例函数． (3)是二次函数．
数学 必修1
又∵y＝x
－
1 3
在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a 或a＋1<0<3－2a. 2 3 解得 <a< 或a<－1. 3 2 10分 12分
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．给出下列函数： 1 3 5 4 2 ①y＝ 3 ；②y＝3x－2；③y＝x ＋x ；④y＝ x ；⑤y＝(x x －1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有( A．1个 C．3个 B．2个 D．4个 )
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
幂函数的概念
一 般 地， 函 数 ____________ 叫 做 幂 函 数 ，其 中 x 是 自 变 y＝xα α 是常数． 量，_____
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
(2)根据幂函数定义得m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数， 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要 求． 故f(x)＝x3.
合作探究 课堂互动
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
幂函数的概念
(1)下列函数：①y＝x ；②y＝
4
1 －1 x ；③ y ＝ 3 x ； 3
④y＝x6＋1；⑤y＝(x－1)3；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函 数的个数为( A．1 C．3 ) B．2 D．4
(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析 式，并指出定义域．
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
[思路探究] 1．判断一个函数是不是幂函数的依据是什么？
2．根据幂函数定义可知，题2中的字母应满足哪些条件？
数学 必修1
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解析：
1 令x＝2，则22>22
>2
－
1 2
>2－2，故相应于曲线C1，
1 1 C2，C3，C4的α值依次为2， ，－ ，－2.故选B. 2 2
答案： B
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
判断．
数学 必修1
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升