人教A版必修4《平面向量的基本定理》同步练习(B)含答案.doc

专题八平面向量的基本定理（B 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】如图，在ABC ∆中， D 为线段BC 的中点， ,,E F G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，若4AB AC AP +=，则（ ）A. 点P 与图中的点D 重合B. 点P 与图中的点E 重合C. 点P 与图中的点F 重合D. 点P 与图中的点G 重合 【答案】C2.已知向量)2,1(),3,2(-==b a ，若n m +与2-共线，则=nm（ ） A ．21 B ．2 C ．-21D ．2- 【答案】C 【解析】231-2≠，所以a 与b不共线，那么当b n a m +与b a 2-共线时，21-=n m ，即得21-=n m ，故选C. 3. 已知点，，则与向量同方向的单位向量为（ ） A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：,所以与同方向的意念向量为，故选A.4已知→a =（-2，1），→b =（x ，21-），且→a //→b ，则x =( )A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【解析】因为→a //→b ，直接由共线定理知， x =-⨯-)21(2，即1=x ，故应选A. 5. 已知向量)3,1(-=a ,)4,1(-+=x b ,且)(b a +∥b ，则=x （ ） A.3 B.31 C.3- D.31-【答案】B【解析】()1(,1),//(1)(4)03a b x a b b x x x +=-∴+=-+--=∴=r r r r r Q .6.已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( )C ．5D ．13【答案】B【解析】由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q |＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|7.【2018届河北省石家庄二中高三八月模拟】已知点D 是ABC ∆所在平面内的一点，且2BD DC =-，设AD AB AC λμ=+，则λμ-= ( ) A. 6 B. 6- C. 32- D. 3- 【答案】D【解析】由题意作图：C 是线段BD 的中点.()222AD AB BD BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+AB .又AD AB AC λμ=+，由平面向量基本定理可知： 12λμ=-=，， ∴3λμ-=-. 故选：D.8.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．2 【答案】B9.已知平面向量a =（2，-1），b =（1，1），c =（-5，1），若()a kb +∥c ，则实数k 的值为（ ）A ．2 B.12 C.114 D.114- 【答案】B【解析】∵a =21-（，），b =11（，）， ∴a kb +＝2111()()(21)k k k -++-，，＝，，又c =51-（，），且()a kb +∥c ，∴12510k k ⨯+--⨯-=（）（）（），解得：k 10.已知△ABC 的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，则点D 的坐标为( )A ．(－95，75)B ．(92，－75)C ．(95，75)D ．(－92，－75)【答案】C11.【2018届江西省六校高三上学期第五次联考】在等腰直角ABC 中， ,AC BC D =在AB 边上且满足： ()1CD tCA t CB =+-，若30ACD ︒∠=，则t 的值为（ ）1 【答案】C 【解析】()1CD tCA t CB =+-，∴A ，B ，D 三点共线，∴由题意建立如图所示坐标系,设AC=BC=1，则C(0,0),A(1,0),B(0,1)，直线AB 的方程为x+y=1，直线CD 的方程为3y x =，故联立解得, 3122x y ==，故D ⎝⎭， 故()()3331,,1,0,0,1CD CA CB ⎛⎫--=== ⎪⎝⎭，故()()1,1tCA t CB t t +-=-，故()3331,1t t ⎛⎫--=-⎝⎭，故t =. 本题选择C 选项.12. 如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．1B ．31C ．19D ．3 【答案】C第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

）13.【2017届西藏自治区拉萨中学高三第八次月考】已知()1,3a =， ()2,b k =-，且()()2//3a b a b +-，则实数k =__________． 【答案】-6【解析】解析：因()()1,3,2,a b k ==-，故()23,32a b k +=-+， ()35,9a b k -=-，由题设可得()()39532k k --=+，解之得6k =-，应填答案6-.14.已知点()1,2P -，线段PQ 的中点M 的坐标为()1,1-．若向量PQ 与向量(),1a λ=共线，则λ= _____________．【答案】23- 【解析】由题设条件，得(3,4)Q -，所以(4,6)PQ =-．因为向量PQ 与向量(),1a λ=共线，所以416λ⨯=-，所以23λ=-． 15.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】向量a ， b ， c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+（λ， R μ∈），则λμ=__________．【答案】4【解析】以向量,a b 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得116213a b c =-==--（，），（，），（，）161113{32c a b R λμλμλμλμλμ--+=+=-+--∈∴-+＝（，）（，）（，），＝ ，解之得122λμ=-=-且， 因此，4λμ= 16.已知梯形中，是边上一点，且.当在边上运动时，的最大值是________________．【答案】【解析】设，则，故．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈. （1）若23m n==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1. 【解析】 （1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C(1,2)AB ∴=，(2,1)AC =OP mAB nAC =+又23m n==22(2,2)33OP AB AC ∴=+= ||=22OP ∴（2）OP mAB nAC =+(,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n =+⎧⎨=+⎩两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.x18.（本小题12分）已知向量()()1cos ,sin 02,,2a b αααπ⎛=≤<=-⎝⎭，且a 与b 不共线. （1）设,,OA a OB b OC OA OB ===+，证明：四边形OACB 为菱形； （2）当两个向量4a b +与4a b -的模相等时，求角α. 【答案】(1)证明见解析；(2) 6πα=或76π.试题解析：（1）证明：∵OC OA OB =+，∴四边形OACB 为平行四边形， 又1OA OB ==，∴四边形OACB 为菱形. （2）解：由题意44a b a b +=-，得()()2244a ba b+=-.又由（1）知 ， 220a b -=，∴0a b ⋅=，∴13022cos sin αα-+=，得33tan α=.又02απ≤<，∴6πα=或76π. 19.（本小题12分）在平行四边形ABCD 中，E ，G 分别是BC ，DC 上的点且BE BC 3=,CG CD 3=.DE与BG 交于点O. （1:；（2）若平行四边形ABCD 的面积为21，求BOC ∆的面积.【答案】（171=;（2）23=∆BOC S 【解析】（1）设,==，据题意可得)(=∈R λDEλOE 32-=，从而有λλλ32-=)32-(=.由G ,O ,B 三点共线，则存在实数m ,使得m m )-1(+=，即)31-32)(1-(+31=])-1(+-[=a b m b m EG m EB m OE b m a m 32-3+3-1=，由平面向量基本定理，1323233m m λλ-⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩解得71=λ71=； （2）由（1）可知71=ΔΔBDC BOC h h ,所以23221717171=⨯==⇒=∆∆∆∆BDC BOC BDC BOC S S S S . 20.（本小题12分）已经向量()4,3AB =，()3,1AD =--，点A ()1,2--. （1）求线BD 的中点M 的坐标；（2）若点P ()2,y 满足()PB BD R λλ=∈,求y 和λ的值. 【答案】（1）)1,12M ⎛-- ⎝ （2）17λ=,37y =【解析】（1）设点B 的坐标为()11,y x ，∵()4,3AB = ，A ()1,2--，∴()111,2yx ++=()4,3.∴{111423x y +=+=，解得{1131x y ==，∴点()3,1B ,同理可得()4,3D --. 设线段BD 的中点为()22,yx ，234122x-==-，21312y -==-,∴)1,12M ⎛-- ⎝（2）()()()3,12,1,1PB y y =-=-，()())4,33,17,4BD =---=--, ∵,PB BD λ= ∴()()1,17,4y λ-=--. 即{1714y λλ=--=-，得1737y λ=-=⎧⎨⎩.21.（本小题12分）在平面直角坐标系中，给定ABC ∆，点M 为BC 的中点，点N 满足2=AN NC ，点P 满足,==AP AM BP BN λμ. （1）求λ与μ的值；（2）若AB C 、、三点坐标分别为(2,2),(5,2),(3,0)--，求P 点坐标. 【答案】（1）4535⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ；（2）P 点的坐标为62(,)55.【解析】（1）设,==BM a CN b则3,2=+=--=+AM AC CM a b BN a b3==--AP AM a b λλλ，2==+BP BN a b μμμ，故(2)(3)=-=+++BA BP AP a b λμλμ 而23=+=+BA BC CA a b由平面向量基本定理得2233+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得4535⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ22.（本小题12分）设G 为ABC ∆的重心，过G 作直线l 分别交线段,AB AC (不与端点重合)于Q P ,．若,A P AB A Q AC λμ==． （1）求11λμ+的值；（2）求,的取值范围．【答案】(1) 113λμ+=；(2)【解析】(1)连结AG 并延长交BC 于M,则M 是BC 的中点，设==,，则 )(21)(21c b AC AB AM +=+=， )(3132c b AM AG +== ① 又,AP AB b AQ AC c λλμμ===⋅=⋅， ②b c u AP AQ PQ λ-=-=∴，c b b c b AP AG PG 31)31()(31+-=-+=-=λλ Q G P ,, 三点共线，故存在实数t ，使t =，11()33b c t c t b λμλ∴-+=- 1313t t λλμ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 消t 得：13λλμ-=-，即113λμ+= 或者另一种解法由②式得1,b AP λ=1c AQμ=， ③ 将③代入①得1133AG AP AQ λμ=+．Q G P ,, 三点共线， 故11133λμ+=,即 113λμ+=．。