湖南省长沙一中九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙市九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙市九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数的大小关系正确的是（）
A．+0.3＜﹣0.1B．0＜﹣|﹣7|C．−√2＜−1.414D．−1
3＞−
1
4
2．（3分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（）
A．6.5×107B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣8D．6.5×10﹣7 3．（3分）下列运算正确的是（）
A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5
C．（a•b）2＝a2•b2D．√a+√b=√a+b
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
B．一组数据6，5，3，5，4 的众数是5，中位数是3
C．“367 人中必有2 人的生日是同一天”是必然事件
D．一组数据10，11，12，9，8 的平均数是10，方差是1.5
5．（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）
A．10B．9C．8D．7
6．（3分）若△ABC与△A1B1C1相似且对应中线之比为2：5，则周长之比和面积比分别是（）
A．2：5，4：5B．2：5，4：25C．4：25，4：25D．4：25，2：5 7．（3分）如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE 的度数为（）
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湖南省长沙一中九年级上学期期末考试数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙一中九年级上学期期末考试数学试卷
解析版
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．（3分）在数﹣（﹣3），0，（﹣3）2，|﹣9|，﹣14中，正数的有（）个．A．2B．3C．4D．5
【解答】解：﹣（﹣3）＝3是正数，
0既不是正数也不是负数，
（﹣3）2＝9是正数，
|﹣9|＝9是正数，
﹣14＝﹣1是负数，
所以，正数有﹣（﹣3），（﹣3）2，|﹣9|共3个．
故选：B．
2．随着我国金融科技的不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2135亿元．将数据“2135亿”用科学记数法表示为（）A．2.135×1011 B．2.135×107C．2.135×1012 D．2.135×103
【解答】解：2135亿＝213500000000＝2.135×1011，
故选：A．
3．（3分）已知点（3，﹣4）在反比例函数y=k
x的图象上，则下列各点也在该反比例函数图
象上的是（）
A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣2，6）D．（2，6）
【解答】解：∵点（3，﹣4）在反比例函数y=k
x的图象上，
∴k＝3×（﹣4）＝﹣12，
而3×4＝﹣3×（﹣4）＝2×6＝12，﹣2×6＝﹣12，
∴点（﹣2，6）在该反比例函数图象上．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．a2•a3＝a6B．a3÷a2＝a C．a2+a2＝a4D．（a2）3＝a5【解答】解：∵a2•a3＝a5，
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长沙市长沙市第一中学数学九年级上册期末试卷解析版
长沙市长沙市第一中学数学九年级上册期末试卷解析版一、选择题1．二次函数y ＝x 2﹣6x 图象的顶点坐标为（ ） A ．（3，0）B ．（﹣3，﹣9）C ．（3，﹣9）D ．（0，﹣6）2．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB 的宽为8cm ，水面最深的地方高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）A ．3cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm3．当函数2(1)y a x bx c =-++是二次函数时，a 的取值为（ ） A ．1a =B ．1a =-C ．1a ≠-D ．1a ≠4．在平面直角坐标系中，O 的直径为10，若圆心O 为坐标原点，则点()8,6P -与O的位置关系是（ ） A ．点P 在O 上B ．点P 在O 外C ．点P 在O 内 D ．无法确定5．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ） A ．213y y << B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<6．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）A ．BDC β∠=∠B ．2sin aAO β=C ．tan BC a β=D ．cos aBD β=7．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，则sin A 的值为（ ） A 10B 310C ．13D 108．如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结,BD CE 相交于点F ，则BFC ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．90︒9．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．26°10．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．A ．三条边垂直平分线B ．三条中线C ．三条角平分线D ．三条高11．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的众数是6D ．这组数据的方差是10.212．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）A ．一定相似B ．一定全等C ．不一定相似D ．无法判断13．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，，则:ADE ABC S S ∆∆=（ ）， A ．19B ．14C ．16D ．1314．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252 B ．25C ．251D 5215．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，6AB =，5AD =,则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2二、填空题16．如图，点A 、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动，且保持线段AB ＝4，点D 坐标为（4，3），点A 关于点D 的对称点为点C ，连接BC ，则BC 的最小值为_____．17．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______．18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．19．已知实数,,a b c 满足0a ≠，且0a b c -+=，930a b c ++=，则抛物线2y ax bx c =++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为__________．20．已知，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是________．21．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若5∠EAF=45°，则AF 的长为_____．22．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________ ．23．如图，在ABC 中，62BC =+，45C ∠=︒，2AB AC =，则AC 的长为________．24．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则tan ADC ∠=______．25．.甲、乙、丙、丁四位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是2.3，3.8，5.2，6.2，则成绩最稳定的同学是______.26．二次函数2y x bx c =-++的部分图像如图所示，要使函数值3y >，则自变量x 的取值范围是_______.27．一元二次方程x 2﹣3x+2＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝______．28．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____． x…﹣112…y … 0 3 4 3 …29．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．30．如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝3：4：5，⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，若⊙O 的半径为1，且圆心O 运动的路径长为18，则△ABC 的周长为_____．三、解答题31．如图，BD 是⊙O 的直径．弦AC 垂直平分OD ，垂足为E ． （1）求∠DAC 的度数； （2）若AC ＝6，求BE 的长．32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数13y x =-的图像与x 轴交于点A .二次函数22y x bx c =-++的图像经过点A ，与y 轴交于点C ，与一次函数13y x =-的图像交于另一点()2,B m -.（1）求二次函数的表达式；（2）当12y y >时，直接写出x 的取值范围；（3）平移AOC ∆，使点A 的对应点D 落在二次函数第四象限的图像上，点C 的对应点E 落在直线AB 上，求此时点D 的坐标.33．从甲、乙两台包装机包装的质量为300g 的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g ）甲：301，300，305，302，303，302，300，300，298，299 乙：305，302，300，300，300，300，298，299，301，305 （1）分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差； （2）比较这两台包装机包装质量的稳定性．34．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）： 小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，10，10． （1）填写下表：平均数（环） 中位数（环） 方差（环2） 小华 8 小亮83（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）35．如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.四、压轴题36．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．37．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求ab的值. 38．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，0是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与BC 边交于点E 、F ，连接OD ，已知BD=3，tan ∠BOD=34，CF=83．（1）求⊙O 的半径OD ； （2）求证：AC 是⊙O 的切线； （3）求图中两阴影部分面积的和．39．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）40．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，求当PAB△的面积为8时，求点P的坐标．（3）点G是抛物线上一个动点，点E从点B出发，沿x轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F由点M出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t．①若点G到AE和MF距离相等，直接写出点G的坐标．②点C是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG和FC为边做矩形FGDC，直接写出点E 恰好为矩形FGDC的对角线交点时t的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．【详解】解：∵y＝x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9＝（x﹣3）2﹣9，∴二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（3，﹣9）．故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.2．B解析：B【解析】【分析】先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD＝12AB，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．【详解】解：如图所示：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ， ∵OD ⊥AB ， ∴AD ＝12AB ＝4cm ， 设OA ＝r ，则OD ＝r ﹣2，在Rt △AOD 中，OA 2＝OD 2+AD 2，即r 2＝（r ﹣2）2+42， 解得r ＝5cm ．∴该输水管的半径为5cm ； 故选：B ．【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理及勾股定理的运用.3．D解析：D 【解析】 【分析】由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题. 【详解】解：∵2(1)y a x bx c =-++是二次函数,∴a-1≠0, 解得：a≠1, 故选你D. 【点睛】本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.4．B解析：B 【解析】 【分析】求出P 点到圆心的距离，即OP 长，与半径长度5作比较即可作出判断. 【详解】解：∵()8,6P -， ∴228610+= ， ∵O 的直径为10，∴r=5,∴点P 在O 外.故选：B.【点睛】本题考查点和直线的位置关系，当d>r 时点在圆外，当d=r 时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内,解题关键是根据点到圆心的距离和半径的关系判断. 5．A解析：A【解析】【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较.【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2,当x=1时，y 2= -4+3= -1,∴213y y <<.故选：A.【点睛】本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.6．B解析：B【解析】【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°∴AO=CO=BO=DO,∴∠OCD=∠ODC=β,A 、BDC DCA β∠=∠=∠,故A 选项正确；B 、在Rt △ADC 中，cos ∠ACD=DC AC , ∴cos β=2a AO ,∴AO=2cos a ，故B 选项错误； C 、在Rt △BCD 中，tan ∠BDC=BC DC , ∴ tan β=BC a∴BC=atan β，故C 选项正确； D 、在Rt △BCD 中，cos ∠BDC=DC DB , ∴ cos β=a BD ∴cos a BD β=，故D 选项正确. 故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.解析：A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义解答即可.【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，∴2210AB AC BC =+=， ∴10sin 1010BC A AB ===. 故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理和正弦的定义，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键. 8．C解析：C【解析】【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD 和∠BOE 的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC 和∠BCF 的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.【详解】解：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则∠COD =∠AOB =∠AOE =360725︒=︒， ∴∠BOE =144°，∴1362DBC COD ∠=∠=︒，1722BCE BOE ∠=∠=︒， ∴18072BFC DBC BCF ∠=︒-∠-∠=︒.故选：C.【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.9．B解析：B【解析】【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．【详解】解：如图，连接CO,∵CE＝OB＝CO=OD，∴∠E＝∠1，∠2＝∠D∴∠D=∠2＝∠E+∠1＝2∠E．∴∠3＝∠E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．由∠3＝72°，得3∠E＝72°．解得∠E＝24°．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．10．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.11．C解析：C【解析】【分析】先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可．【详解】解：数据从小到大排列为：1，2，6，6，10，中位数为：6；众数为：6； 平均数为：()112661055⨯++++=； 方差为：()()()()()2222211525656510510.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦． 故选：C ．【点睛】 本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键．12．A解析：A【解析】【分析】根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．【详解】解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴A DCH ∠∠=，∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴ADG CDH ∠∠=，继而可得出AGD CHD ∠∠=，∴ADG ~CDH ．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．13．A解析：A【解析】【分析】根据DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，再结合相似比是AD ：AB=1：3，因而面积的比是1：9．【详解】解：如图：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴S△ADE：S△ABC=1：9．故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．14．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：512APAB-=，得5142522AP-=⨯=- .故选A.15．B 解析：B 【解析】【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用ABD BED，得出DE DBDB AD=，从而求出DE的长，最后利用AE AD DE=-即可得出答案．【详解】连接BD,CD∵AB为O的直径90ADB∴∠=︒22226511BD AB AD∴=-=-∵弦AD平分BAC∠11 CD BD∴==CBD DAB ∴∠=∠ADB BDE ∠=∠ABD BED ∴DE DBDB AD∴=即115 11=解得115DE=115 2.85AE AD DE∴=-=-=故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．二、填空题16．6【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．解析：6【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．【详解】解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，由题可得，D 是AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2DE ，∵点D 坐标为(4，3)，∴OD 5，∵Rt △ABO 中，OE ＝12AB ＝12×4＝2， ∴当O ，E ，D 在同一直线上时，DE 的最小值等于OD ﹣OE ＝3，∴BC 的最小值等于6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形三条边的关系，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理．17．【解析】【详解】∵，由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形，∴它的内切圆半径，解析：【解析】【详解】∵22251213+=，由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形， ∴它的内切圆半径5121322r +-==， 18．－1＜x ＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，故答案为：－1＜x ＜3.【点睛解析：－1＜x ＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，故答案为：－1＜x ＜3.【点睛】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．19．【解析】【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵，，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线上，∴抛物线的对称轴是直线：x=1，∴点关于直线x=解析：(4,4)【解析】【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵0a b c -+=，930a b c ++=，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线2y ax bx c =++上，∴抛物线的对称轴是直线：x =1，∴点(2,4)-关于直线x =1对称的点为：（4，4）.故答案为：（4，4）.【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，根据题意判断出点（－1，0）与（3，0）在抛物线上、熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键.20．【解析】【分析】直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．【详解】解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．故答案为：解析：13x【解析】【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案．【详解】解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（3，0），故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜3．故答案为：-1＜x＜3．【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．21．【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的解析：410 3【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴2x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵5AB=2，∴BE=1，∴222BM BE+=∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AM ME FN AN=，=，解得：x=4 3∴=故答案为3．点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，22．.【解析】试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DA E可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE∴△AB解析：10 3.【解析】试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE∴AC：AE=BC：DE∴DE=83∴103AD=考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.23．【解析】【分析】过点作的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求的长. 【详解】过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．【点睛】本题考查勾股定解析：2 【解析】 【分析】 过A 点作BC 的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求AC 的长.【详解】过A 作AD BC ⊥于D 点，设2AC x =，则2AB x =，因为45C ∠=︒，所以AD CD x ==，则由勾股定理得223BD AB AD x =-=，因为62BC =+，所以362BC x x =+=+，则2x =．则2AC =．【点睛】本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.24．【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠A DC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=求得所求的值了.详解：∵AB 是解析：34【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=AC BC 求得所求的值了. 详解：∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵AC=3，AB=5，∴22534-=，∴tan ∠ABC=34AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ，∴tan ∠ADC=34. 故答案为：34. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.25．甲【解析】【分析】方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断.【详解】∵2.3<3.8<5.2<6.2,∴，∴成绩最稳定的是甲.故答案为：甲.【点睛】本题考查了方差解析：甲【解析】【分析】方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断.【详解】∵2.3<3.8<5.2<6.2,∴2222甲乙丁丙<<<S S S S ，∴成绩最稳定的是甲.故答案为：甲.【点睛】本题考查了方差的概念，正确理解方差所表示的意义是解题的关键.26．【解析】【分析】根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可.【详解】根据二次函数的图象可知：对称轴为，已知一个点为，根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称解析：20x -<<【解析】【分析】根据3y >，则函数图象在直线3y =的上方，所以找出函数图象在直线3y =的上方x 的取值范围即可.【详解】根据二次函数的图象可知：对称轴为1x =-，已知一个点为()03，， 根据抛物线的对称性，则点()03，关于对称性对称的另一个点为()23-，， 所以3y >时，x 的取值范围是20x -<<．故答案为：20x -<<．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对称轴求出点()03，的对称点是解题的关键． 27．1【解析】【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，所以x1+x2-x1x2=3-2=解析：1【解析】【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1x 2=2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得：x 1+x 2=3，x 1x 2=2，所以x 1+x 2-x 1x 2=3-2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 28．（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可． 详解：∵抛物线y=ax2+bx+c 经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）解析：（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x=0+22=1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为（3，0）．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．29．①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛解析：①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；④m＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.30．30【解析】【分析】如图，首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形，由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG ，且与△ABC 三边相切，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ解析：30【解析】【分析】如图，首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形，由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG ，且与△ABC 三边相切，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ，根据切线性质可得：AG ＝AH ，PC ＝CQ ，BN ＝BM ，DG 、EP 分别垂直于AC ，EQ 、FN 分别垂直于BC ，FM 、DH 分别垂直于AB ，继而则有矩形DEPG 、矩形EQNF 、矩形DFMH ，从而可知DE ＝GP ，EF ＝QN ，DF ＝HM ，DE ∥GP ，DF ∥HM ，EF ∥QN ，∠PEF ＝90°,根据题意可知四边形CPEQ 是边长为1的正方形，根据相似三角形的判定可得△DEF ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可知：DE ∶EF ∶FD ＝AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5，进而根据圆心O 运动的路径长列出方程，求解算出DE 、EF 、FD 的长，根据矩形的性质可得：GP 、QN 、MH 的长，根据切线长定理可设：AG ＝AH ＝x ，BN ＝BM ＝y ，根据线段的和差表示出AC 、BC 、AB 的长，进而根据AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5列出比例式，继而求出x 、y 的值，进而即可求解△ABC 的周长．【详解】∵AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5，设AC ＝3a ，CB ＝4a ，BA ＝5a （a ＞0）∴()()()222222=345AC CB a a a BA ++==∴△ABC 是直角三角形，设⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，如图所示，连接DE 、EF 、DF ，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ，根据切线性质可得：AG ＝AH ，PC ＝CQ ，BN ＝BMDG 、EP 分别垂直于AC ，EQ 、FN 分别垂直于BC ，FM 、DH 分别垂直于AB ，∴DG ∥EP ，EQ ∥FN ，FM ∥DH ,∵⊙O 的半径为1∴DG ＝DH ＝PE ＝QE ＝FN ＝FM ＝1，则有矩形DEPG 、矩形EQNF 、矩形DFMH ，∴DE ＝GP ，EF ＝QN ，DF ＝HM ，DE ∥GP ，DF ∥HM ，EF ∥QN,∠PEF ＝90°又∵∠CPE ＝∠CQE ＝90°, PE ＝QE ＝1∴四边形CPEQ 是正方形，∴PC ＝PE ＝EQ ＝CQ ＝1，∵⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，∴DE+EF+DF＝18，∵DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，∴∠DEF＝∠ACB，∠DFE＝∠ABC，∴△DEF∽△ABC，∴DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，设DE＝3k（k＞0），则EF＝4k，DF＝5k，∵DE+EF+DF＝18，∴3k+4k+5k＝18，解得k＝32，∴DE＝3k＝92，EF＝4k＝6，DF＝5k＝152，根据切线长定理，设AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，则AC＝AG+GP+CP＝x+92+1＝x+5．5，BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y+7，AB＝AH+HM+BM＝x+152+y＝x+y+7．5，∵AC：BC：AB＝3：4：5，∴（x+5．5）：（y+7）：（x+y+7．5）＝3：4：5，解得x＝2，y＝3，∴AC＝7．5，BC＝10，AB＝12．5，∴AC+BC+AB＝30．所以△ABC的周长为30．故答案为30．【点睛】本题是一道动图形问题，考查切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是确定圆心O的轨迹，学会作辅助线构造相似三角形，综合运用上述知识点．三、解答题31．（1）30°；（2）33【解析】【分析】（1）由题意证明△CDE ≌△COE ，从而得到△OCD 是等边三角形，然后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解；（2）由垂径定理求得AE=12AC=3，然后利用30°角的正切值求得DE=3，然后根据题意求得OD=2DE=23，直径BD=2OD=43，从而使问题得解.【详解】解：连接OA,OC∵弦AC 垂直平分OD∴DE=OE ，∠DEC=∠OEC=90°又∵CE=CE∴△CDE ≌△COE ∴CD=OC又∵OC=OD∴CD=OC=OD∴△OCD 是等边三角形∴∠DOC=60°∴∠DAC =30°（2）∵弦AC 垂直平分OD∴AE=12AC=3 又∵由（1）可知，在Rt △DAE 中，∠DAC =30°∴tan 30DE AE =，即333DE = ∴3∵弦AC 垂直平分OD∴3∴直径3∴-【点睛】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质及锐角三角函数，掌握相关定理正确进行推理判断是本题的解题关键.32．（1）2y x 2x 3=-++；（2）2x <-或3x >；（3）()4,5D -.【解析】【分析】（1）先求出A,B 的坐标，再代入二次函数即可求解；（2）根据函数图像即可求解；（3）先求出C 点坐标，再根据平移的性质得到3EF FD ==，设点(),3E a a -，则()3,6D a a +-，把D 点代入二次函数即可求解.【详解】解：（1）令0y =，得3x =，∴()3,0A .把()2,B m -代入3y x =-，解得()2,5B --. 把()3,0A ，()2,5B --代入2y x bx c =-++， 得093542b c b c =-++⎧⎨-=--+⎩，∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式为2y x 2x 3=-++.（2）由图像可知，当12y y >时，2x <-或3x >.（3）令0x =，则3y =，∴()0,3C .∵平移，∴AOC DFE ∆≅∆，∴3EF FD ==.设点(),3E a a -，则()3,6D a a +-，∴()()263233a a a -=-++++，∴11a =，26a =-（舍去）. ∴()4,5D -.【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用.33．（1）甲平均数301，乙平均数301，甲方差3.2，乙方差4.2；（2）甲包装机包装质量的稳定性好，见解析【解析】【分析】（1）根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数；根据方差公式计算即可； （2）方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可．【详解】解：（1）x 甲＝110（1+0+5+2+3+2+0+0﹣2﹣1）+300＝301，x 乙＝110（5+2+0+0+0+0﹣2﹣1+1+5）+300＝301， 2s 甲＝110[（301﹣301）2+（301﹣300）2+（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣303）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2]＝3.2； 2s 乙＝110[（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2+（301﹣301）2+（301﹣305）2]＝4.2； （2）∵2s 甲＜2s 乙，∴甲包装机包装质量的稳定性好．【点睛】本题考查了平均数和方差，正确掌握平均数及方差的求解公式是解题的关键.34．（1）8，8，23；（2）选择小华参赛．（3）变小 【解析】【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；（2）根据方差的意义求解；（3）根据方差公式求解．【详解】（1）解：小华射击命中的平均数:7+8+7+8+9+96=8, 小华射击命中的方差:2222122(78)2(88)2(98)63S ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦, 小亮射击命中的中位数:8+8=82； （2）解：∵x 小华＝x 小亮，S 2小华＜S 2小亮∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．35．（1）265y x x =-+-；（2）1258S =，点P 坐标为515,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为7837,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭， 6055,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2020-2021学年湖南省长沙市九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙市九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列各组数的大小关系正确的是（）
A．+0.3＜﹣0.1B．0＜﹣|﹣7|C．−√2＜−1.414D．−1
3＞−
1
4
2．随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（）
A．6.5×107B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣8D．6.5×10﹣7
3．下列运算正确的是（）
A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5
C．（a•b）2＝a2•b2D．√a+√b=√a+b
4．下列说法正确的是（）
A．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
B．一组数据6，5，3，5，4 的众数是5，中位数是3
C．“367 人中必有2 人的生日是同一天”是必然事件
D．一组数据10，11，12，9，8 的平均数是10，方差是1.5
5．已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）
A．10B．9C．8D．7
6．若△ABC与△A1B1C1相似且对应中线之比为2：5，则周长之比和面积比分别是（）A．2：5，4：5B．2：5，4：25C．4：25，4：25D．4：25，2：5 7．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（）
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2022-2023年湖南省某校 初三(上)期末考试数学试卷(含答案解析)024000
2022-2023年湖南省某校 初三(上)期末考试数学试卷试卷考试总分：148 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 在同一平面直角坐标系中，函数与为常数，的大致图象是( )A.B.C.D.2. 邵东市是全国重要的打火机生产基地．质检部门对市内某企业生产的型打火机的质量进行抽样检测，随机抽查盒（每盒个打火机），盒中合格打火机（单位：个）分别为，，，，个，则估计某企业该型号的打火机的合格率为（ ）A.B.C.D.y =k xy =kx+1(k k ≠0)A 5305262929302792%94%96%98%3. 已知的一边在轴上，另一边经过点 、点 ，则的值是（ ）A.B.C.D.4. 若，则，的值分别是 A.，B.，C.，D.，5. 关于的一元二次方程的根的情况是 （ ）A.有两不相等实数根B.有两相等实数根C.无实数根D.不能确定6. 二次函数的图象上最低点的坐标是( )A.B.C.D.7. 如图，与 全等，点，，，在同一条直线上，且点和点是对应点，点和点是对应点，下列结论中错误的是 （ ）∠ABO x A(2,4)B(−1,0)sin ∠ABO 255–√53545−6x+11=(x−m +nx 2)2m n ()m=3n =−2m=3n =2m=−3n =−2m=−3n =2x −(k +3)x+k =0x 2y =(x−1−2)2(−1,−2)(1,−2)(−1,2)(1,2)△ACF △BDE A B C D F E A BA.B.C.D.8. 如图，已知梯形的底边在轴上，，，过点的双曲线()交于点，且，若的面积等于，则的值为( )A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）9. 已知，则________．10. 点在反比例函数的图象上，则的值是________．11. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则抛物线的顶点所在的象限是第________象限．AF//BECF//DEAB =CD∠ACF =∠EBDABCO AO x BC//AO AB ⊥AO C y =k x k ≠0OB D OD :DB =1:3△OBC 3k 25343545=a b 53a −b 2b (−1,4)k y =(x−−2b b 2)2x <1y x12. 已知，是一元二次方程＝的两个数根，且＝，则＝________．13. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形，、为梯形的高，其中迎水坡的坡角＝，坡长米，背水坡的坡度＝（为与的比值），则背水坡的坡长为________米．14. 在中，，，，则值是________．15. 如图所示，，若，，，则________．16. 如图，，那么________．三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ）17. 解方程：．18. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过作轴于点，过点作轴于.求，的值及反比例函数的解析式；请问：在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．m n −2x−4x 20(7−14m+a)(3−6n−7)m 2n 2100a ABCD AE DF AB α45∘AB =62–√CD i 1:3–√i DF FC CD △ABC ∠C =90∘sinA =25BC =4AB AB//EF CE =4CF =3AE =BC BC =DE//BC,AB =15,AC =9,BD =4AE =x(2x−5)=6x−15y =−x+2y =(k ≠0)k x A(−1,m)B(n,−1)A AC ⊥x C B BD ⊥x D (1)m n (2)y =−x+2P =S △ACP S △BDP P19. 如图，图中的小方格都是边长为的正方形，与是关于点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点；求出与的位似比；以点为位似中心，再画一个，使它与的位似比等于．20. 某市共有余名学生参加中考体育测试，为了解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用，，，表示）四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表．（1）________，________，________，________；在扇形图中，等级所对应的圆心角是_________度；如果该校九年级共有名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩等级达到优秀和良好的人数．21. 如图，在教学楼距地面米高的窗口中处，测得正前方旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为，升旗时，国旗上端悬挂在距地面米处．若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据，，）1△ABC △A'B'C'O (1)O (2)△ABC △A'B'C'(3)O △A 1B 1C 1△ABC 1.5500050A B C D m=n =x =y =(2)C (3)5008C A 37∘B 45∘240sin ≈0.6037∘cos ≈0.8037∘tan ≈0.7537∘22. 兴盛小区去年年底的绿化面积为平方米，预计到明年年底增加到平方米，求这两年绿化面积的年平均增长率．23. 如图，在中，．垂足为点．点是边约中点．与相交于点，，连接．求证．．如图．座接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中长度与长度相等的所有线段（不包括线段）． 24. 在一块矩形的空地上划一块四边形进行绿化，如图，四边形的顶点在矩形的边上，且，已知矩形的边，边，为大于的常数，设四边形的面积为.求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；若，求的最大值，并求出此时的值；若，请直接写出的最大值．25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线＝与轴交于、两点，且与直线＝相交于、两点，点为抛物线的顶点．（1）求、两点的坐标；（2）求四边形的面积；500072001△ABC AD ⊥BC D E AB EM//BC AD F EF =FG DC (1)∠B =∠G (2)2BF AG =BF CD =DF 2AP AF ABCD MNPQ AN =AM =CP =CQ =x m BC =200m AB =a m a 200MNPQ Sm 2(1)S x x (2)a =400S x (3)a =800S y 1−x 2x x O B y 2−x+m A B C A B OABC（3）直接写出当时，的取值范围． 26. 如图一，矩形， ，点是的中点，联结．将沿着翻折，点落在点处，连接并延长交于点处．如图二联结，求证：；如图三，联结，若，①求证：；②求的长.≥y 1y 2x ABCD BC =4E AB CE △EBC CE B P AP CD F (1)BP △ABP ∽△ECB (2)DP △CPF ∽△CDP DP ⊥AF AB参考答案与试题解析2022-2023年湖南省某校 初三(上)期末考试数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】D【考点】反比例函数的图象【解析】比例系数相等，那么这两个函数图象必有交点，进而根据一次函数与轴的交点判断正确选项即可．【解答】解：当时，一次函数过一、二、三象限，反比例函数过一、三象限；当时，一次函数过一、二、四象限，反比例函数过二、四象限；故选.2.【答案】B【考点】用样本估计总体【解析】用合格打火机的数量除以打火机的总数量即可．【解答】估计某企业该型号的打火机的合格率为＝，3.【答案】y k >0k <0D ×100%94%D【考点】锐角三角函数的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：作轴于点，由题意得，，，由勾股定理得，，则.故选.4.【答案】B【考点】解一元二次方程-配方法【解析】已知等式左边配方后即可求出出与的值．【解答】解：，得到，．故选．5.【答案】A AC ⊥x C BC =3AC =4AB =5sin ∠ABO ==AC AB 45D m n −6x+11=−6x+9+2=(x−3+2=(x−m +nx 2x 2)2)2m=3n =2B【考点】根的判别式【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．【解答】解：∵，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根．故选.6.【答案】B【考点】二次函数y=ax^2 、y=a （x-h ）^2+k (a≠0)的图象和性质【解析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．【解答】解：二次函数开口向上，最低点的坐标即为顶点坐标．故选．7.【答案】D【考点】相似三角形的性质与判定【解析】要判断各选项的正误，要从已知开始思考，结合全等三角形的性质与找对应关系的方法对选项逐个验证．【解答】解：因为与全等，△=−4ac b 2a =1b =−(k +3)c =k Δ=[−(k +3)−4×1×k ]2=+2k +9k 2=(k +1+8>0)2A y =(x−1−2)2(1,−2)B △ACF △BDE可得：，可得：，故正确；同理可得，故正确；因为与全等，可得，可得：，即，故正确；但不能得出，故错误；故选．8.【答案】A【考点】相似三角形的性质与判定反比例函数系数k 的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，∵梯形的底边在轴上，，，∴四边形是矩形，∴，∵过点的双曲线交于点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∠A =∠EBD AF //BE A CF //DE B △ACF △BDE AC =BD AC −BC =CD−BC AB =CD C ∠ACF =∠EBD D D C CE ⊥y E D DF ⊥x F ABCO AO x BC//AO AB ⊥AO OABE =S △OBE S △OAB C y =k x OB D =S △OCE S △ODF ==3S 四边形ABDF S △OBC DF //AB △ODF ∼△OBA OD :DB =1:3OD :OB =1:4:=1:16S △ODF S △OAB :=1:15S △ODF S 四边形ABDF ==×3=S △ODF 115S 四边形ABDF 11515=2∴.故选.二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）9.【答案】【考点】比例的性质【解析】根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵，∴设，，∴．故答案为：．10.【答案】【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】四k =25A 13a =5kb =3k(k ≠0)=a b 53a =5k b =3k(k ≠0)==a −b 2b 5k −3k 2⋅3k 1313−4二次函数y=ax^2 、y=a （x-h ）^2+k (a≠0)的图象和性质【解析】根据次函数，开口向上，对称轴为，顶点坐标为及二次函数的性质分析解答即可．【解答】解：二次函数的开口向上，对称轴为，顶点坐标为，∵，随的增大而减小，∴，∴，∴，，∴顶点坐标在第四象限．故答案为：四．12.【答案】【考点】根与系数的关系【解析】根据一元二次方程的根的定义，把＝，＝分别代入方程，等式成立，然后代入将所求代数式得到关于的方程，解方程即可得出结果．【解答】∵，是一元二次方程＝的两个数根，∴＝，＝，即＝，＝，∵＝，∴＝，解得＝．13.【答案】y =−2b (x−)b 22x =b 2(，−2b)b 2y =−2b (x−)b 22x =b 2(,−2b)b 2x <1y x ≥1b 2b ≥2>0>0b 2−2b <0(,−2b)b 2−8x m x n a m n −2x−4x 20−2m−4m 20−2n−4n 20−2m m 24−2n n 24(7−14m+a)(3−6n−7)m 2n 2100(28+a)(12−7)100a −812解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】由题意可得四边形是矩形，由的坡角＝，得出的长，利用背水坡的坡度＝（为与的比值）得出的度数，即可求解．【解答】∵迎水坡的坡角＝，坡长米，∴＝＝，∵背水坡的坡度＝（为与的比值），∴，∴＝，则＝＝＝，14.【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据正弦函数的定义得出，即，即可得出的值．【解答】解：∵，即，∴．故答案为：．15.【答案】【考点】平行线分线段成比例【解析】AEFD AB α45∘AE CD i 1:3–√i DF FC ∠C AB α45∘AB =62–√AE 6×sin 2–√45∘6(m)CD i 1:3–√i DF FC tan ∠C ==13–√3–√3∠C 30∘DC 2DF 2AE 12m 10sinA =BC AB=254AB AB sinA =BC AB =254ABAB =101012根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】∵，∴．∵，，，∴，则．16.【答案】【考点】相似三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ）17.【答案】解：方程移项得：，方程整理得：，AB//EF =CE AC CF BC CE =4CF =3AE =BC =44+BC 3BC BC =12335DE//BC ∠ADE =∠B ∠AED =∠C △ABC ∼△ADE =AB AD AC AE AD =AB−BD =15−5=11=15119AE AE =335335x(2x−5)−6x+15=0x(2x−5)−3(2x−5)=0分解因式得：，可得或，解得：，．【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】无【解答】解：方程移项得：，方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．18.【答案】解：把，分别代入得，或，∴，，∴，.把，代入得，∴.存在．设，则到，的距离分别为，，∵，即，，即，∴或，解得，或，∴或．【考点】反比例函数与一次函数的综合待定系数法求反比例函数解析式【解析】（1）把、代入解答即可；(2x−5)(x−3)=02x−5=0x−3=0=3x 1=x 252x(2x−5)−6x+15=0x(2x−5)−3(2x−5)=0(2x−5)(x−3)=02x−5=0x−3=0=3x 1=x 252(1)A(−1,m)B(n,−1)y =−x+2m=1+2−1=−n+2m=3n =3A(−1,3)B(3,−1)A(−1,3)y =k xk =−3y =−3x (2)P(x,−x+2)P AC BD |x+1||x−3|=S △ACP S △BDP AC×|x+1|=BD×|x−3|1212AC×|x+1|=BD×|x−3|=|x+1||x−3|13=x+1x−313=−x+1x−313x =−3x =0P(−3,5)(0,2)A(−1,m)B(n,−1)（2）根据两点间的距离公式解答即可．【解答】解：把，分别代入得，或，∴，，∴，.把，代入得，∴.存在．设，则到，的距离分别为，，∵，即，，即，∴或，解得，或，∴或．19.【答案】解：如图．正方形方格边长为，，与的位似比为;如图所示.(1)A(−1,m)B(n,−1)y =−x+2m=1+2−1=−n+2m=3n =3A(−1,3)B(3,−1)A(−1,3)y =k xk =−3y =−3x (2)P(x,−x+2)P AC BD |x+1||x−3|=S △ACP S △BDP AC×|x+1|=BD×|x−3|1212AC×|x+1|=BD×|x−3|=|x+1||x−3|13=x+1x−313=−x+1x−313x =−3x =0P(−3,5)(0,2)(1)(2)∵1∴OA =6，O =12A ′∴△ABC △A'B'C'1:2(3)【考点】位似的性质作图-位似变换【解析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心；（2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为；（3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于．【解答】解：如图．正方形方格边长为，，与的位似比为;如图所示.AA'BB'O △ABC △A'B'C'AB A'B'AB A'B'3:6=1:2△A 1B 1C 1A 1△A 1B 1C 1△ABC 1.5O =1.5OA A 1O =9A 1A 1//AB A 1B 1OB'B 1A 1//AC A 1C 1OC'C 1(1)(2)∵1∴OA =6，O =12A ′∴△ABC △A'B'C'1:2(3)20.【答案】,,,（3）（人），（人）．【考点】频数（率）分布直方图用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）故答案为：（2）故答案为21.【答案】国旗应以米/秒的速度匀速上升．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题2080.400.1657.619+20=39500×=390395050×40%=20,20÷50=0.40,50−19−20−3=8,8÷50=0.1620，8，0.40，0.160.16×360=57.6∘57.6∘0.3【解析】通过解直角和直角分别求得、以及的长度，则易得的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度上升的高度除以时间”进行解答即可．【解答】在中，米，，则米．在中，米，，则（米）．所以，米，整个过程中旗子上升高度是：（米），因为耗时，所以上升速度（米/秒）．22.【答案】【考点】一元二次方程的应用——增长率问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】证明：∵，∴∵，∴又∵．∴∴ ∵，∴．∴．解：图中，由知，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，△BCD △ACD BD CD AD AB =Rt △BCD BD =8∠BCD =45∘BD =CD =8Rt △ACD CD =8∠ACD =37∘AD =CD ⋅tan ≈8×0.75=637∘AB =AD+BD =1414−2=1240s v =12÷40=0.3(1)EG//BC =.AE BE AF DF AE =BE AF =DF.EF =FG ，∠AFE =∠DFG △AFE ≅△DFG.∠G =∠AEF.EG//BC ∠B =∠AEF ∠B =∠G (2)2(1)AF =DF AF =DF =AD 12CD =DF AF =DF =CD AD ⊥BC ∠ADC =∠BDF =90∘AC =BF Rt △ADC ≌Rt △BDF AD =BD BDGE EG =BD∴，∴，∵，∴，故图中长度与长度相等的所有线段有．【考点】相似三角形的性质相似三角形的判定锐角三角函数的定义【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵，∴∵，∴又∵．∴∴ ∵，∴．∴．解：图中，由知，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，故图中长度与长度相等的所有线段有．24.【答案】AD =EG AD =EG 1212EF =FG =EG 12EF =FG =AF =DF =CD AF DF 、CD 、EF 、FG(1)EG//BC =.AE BE AF DF AE =BE AF =DF.EF =FG ，∠AFE =∠DFG △AFE ≅△DFG.∠G =∠AEF.EG//BC ∠B =∠AEF ∠B =∠G (2)2(1)AF =DFAF =DF =AD 12CD =DF AF =DF =CD AD ⊥BC ∠ADC =∠BDF =90∘AC =BF Rt △ADC ≌Rt △BDF AD =BD BDGE EG =BD AD=EG AD =EG 1212EF =FG =EG 12EF =FG =AF =DF =CD AF DF 、CD 、EF 、FG =200a −2⋅−2⋅(200−x)(a −x)11解：由题意，∴，．当，，，∴当时，的值最大，最大值为平方米．当时，．∵，∴时，平方米．【考点】根据实际问题列二次函数关系式二次函数的最值【解析】（1）根据矩形的面积的面积的面积计算即可，根据的最大值、最小值即可确定自变量取值范围．（2）利用配方法结合自变量取值范围即可解决问题．（3）利用配方法结合自变量取值范围即可解决问题．【解答】解：由题意，∴，．当，，，∴当时，的值最大，最大值为平方米．当时，．∵，∴时，平方米．25.【答案】令＝，即＝，∴＝或＝，∴，∵直线＝经过点，∴＝，∴直线＝，联立＝与＝，得到点，）；点为抛物线的顶点，∴（，-），∴四边形的面积＝+＝；(1)S =200a −2⋅−2⋅(200−x)(a −x)12x 212S =−2+(200+a)x x 20<x ≤200(2)a =400S =−2+600x x 2S =−2(x−150+45000)2x =150S 45000(3)a =800S =−2+1000x =−2(x−250+125000x 2)20<x ≤200x =200S 最大值=120000S =ABCD −2⋅△DMQ −2⋅△AMN AN (1)S =200a −2⋅−2⋅(200−x)(a −x)12x 212S =−2+(200+a)x x 20<x ≤200(2)a =400S =−2+600x x 2S =−2(x−150+45000)2x =150S 45000(3)a =800S =−2+1000x =−2(x−250+125000x 2)20<x ≤200x =200S 最大值=120000y 10−x 2x 0x 4x 3B(3,2)y 2−x+m B m 3y 7−x+3y 2−x+5y 1−x 2x A(−C C OABC ×3×由图象可知，当时，或．【考点】二次函数与不等式（组）抛物线与x 轴的交点【解析】（1）令＝求出点坐标，再将点坐标代入直线＝中，求出的值，最后联立将直线与抛物线的解析式联立即可求出点坐标；（2）求出点坐标，四边形的面积可以转化为和的面积和；（3）由图象，满足抛物线部分在直线部分上方时的取值即为所求．【解答】令＝，即＝，∴＝或＝，∴，∵直线＝经过点，∴＝，∴直线＝，联立＝与＝，得到点，）；点为抛物线的顶点，∴（，-），∴四边形的面积＝+＝；由图象可知，当时，或．26.【答案】解：如图，∵，∴，由翻折的性质可得，，≥y 2y 2x ≥3x ≤−y 10B B y 2−x+m m A C △AOB △BOC x y 10−x 2x 0x 4x 3B(3,2)y 2−x+m B m 3y 7−x+3y 2−x+5y 1−x 2x A(−C C OABC ×3×≥y 2y 2x ≥3x ≤−(1)AE =EB =EP ∠APB =90∘PB ⊥EC ∴∠ABP =−∠PBC =∠ECB 90∘，∴ .由①得，可得.∵ ，∴，而，∵ ，∴，∴ ，即.②∵，且四边形为平行四边形，设，则，∵，∴，即，则.【考点】矩形的性质相似三角形的判定翻折变换（折叠问题）相似三角形的性质平行四边形的性质与判定【解析】由翻折，得到，， ，即可求证；【解答】解：如图，∵，∴，由翻折的性质可得，，，∴ .∵∠APB =∠EBC =90∘△ABP ∽△ECB (2)∠APB =∠EHB AF//CE △CPF ∽△CDP ∠CDP =∠CPF ∠CPF =∠PCE =∠ECB AF//EC ∠PFD =∠ECF =−∠ECB 90∘∠DPF =−∠PFD−∠PDF 180∘=90∘DP ⊥AF BC =CP =4AEFC AB =DC =2x AE =FC =x △PFC ∼△DPC =PC CF DC CP 16=2x 2AB =2x ==42×2x 2−−−−−−√2–√(1)PB ⊥EC ∠ABP =−∠PBC =∠ECB 90∘∠APB =∠EBC △ABP ∼△ECB (1)AE =EB =EP ∠APB =90∘PB ⊥EC ∴∠ABP =−∠PBC =∠ECB 90∘∵∠APB =∠EBC =90∘△ABP ∽△ECB由①得，可得.∵ ，∴，而，∵ ，∴，∴ ，即.②∵，且四边形为平行四边形，设，则，∵，∴，即，则.(2)∠APB =∠EHB AF//CE △CPF ∽△CDP ∠CDP =∠CPF ∠CPF =∠PCE =∠ECB AF//EC ∠PFD =∠ECF =−∠ECB 90∘∠DPF =−∠PFD−∠PDF 180∘=90∘DP ⊥AF BC =CP =4AEFC AB =DC =2x AE =FC =x △PFC ∼△DPC =PC CF DC CP 16=2x 2AB =2x ==42×2x 2−−−−−−√2–√。
2019-2020学年人教新版湖南长沙一中九年级第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级第一学期期末数学试卷一、选择题1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元2．神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）A．2.8×103B．28×103C．2.8×104D．0.28×1053．反比例函数y＝的图象过点（﹣2，3），那么k的值是（）A．﹣2B．3C．6D．﹣64．下列计算中，结果是a6的是（）A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2D．（a2）35．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（）A．B．C．D．6．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．27．如果a+b＝2，那么代数（a﹣）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下面所列的方程中正确的是（）A．560（1﹣x）2＝315B．560（1+x）2＝315C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝3159．若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（）A．a2+b＞0B．a﹣b＞0C．a2﹣b＞0D．a+b＞010．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点11．如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n＝﹣2m B．n＝﹣C．n＝﹣4m D．n＝﹣12．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC 交于点F，若AB＝7，3DF＝4FC，则BC的长为（）A．7﹣1B．4+2C．2+5D．4+3二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）13．分解因式：3m2﹣27＝．14．一元二次方程x2﹣2x＝0的解为．15．若反比例函数y＝﹣的图象经过点A（m，3），则m的值是．16．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB＝4，CD＝3，OD＝2，那么线段OA 的长为．17．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为．18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：其中正确结论有．①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a；⑤b＜c．三、解答题（共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25，26题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（﹣2）3++10+|﹣3+|．20．先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝．21．黎托社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户10月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；C.6天；D.7天）．（1）扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是；（2）12月份雨花区将举行一场各社区之间“垃圾分类”知识抢答赛，黎托社区准备从甲、乙、丙、丁四户家庭以抽签的形式选取两户家庭参赛，求甲、丙两户家庭恰好被抽中的概率．22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．23．湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？24．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2＝PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．（1）求证：△PAE∽△PEC．（2）过点O作OM⊥PC，垂足为M，∠B＝30°，AP＝AC，求证：OD＝PD．25．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．（1）计算：F（253），F（417）；（2）小明在计算F（n）（时发现几个结果都为正整数，小明猜想所有的F（n）均为正整数，你觉得这个猜想正确吗？请判断并说明理由；（3）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+45，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y 都是正整数），当F（s）+F（t）＝20时，求的最大值．26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C 点，对称轴为x＝﹣1，直线y＝﹣x+3与抛物线相交于A、D两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，且位于y＝﹣x+3的下方，求出△ADP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设点Q在y轴上，且满足∠OQA+∠OCA＝∠CBA，求CQ的长．参考答案一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确答案）1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．2．神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）A．2.8×103B．28×103C．2.8×104D．0.28×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：28000＝2.8×104．故选：C．3．反比例函数y＝的图象过点（﹣2，3），那么k的值是（）A．﹣2B．3C．6D．﹣6【分析】直接把点（﹣2，3）代入反比例函数解析式中就可求出k的值．解：把点（﹣2，3）代入y＝得k＝﹣2×3＝﹣6．故选：D．4．下列计算中，结果是a6的是（）A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2D．（a2）3【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．B：根据同底数幂的乘法法则计算即可．C：根据同底数幂的除法法则计算即可．D：幂的乘方的计算法则：（a m）n＝a mn（m，n是正整数），据此判断即可．解：∵a2+a4≠a6，∴选项A的结果不是a6；∵a2•a3＝a5，∴选项B的结果不是a6；∵a12÷a2＝a10，∴选项C的结果不是a6；∵（a2）3＝a6，∴选项D的结果是a6．故选：D．5．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（）A．B．C．D．【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可．解：∵共有10个数字，∴一共有10种等可能的选择，∵一次能打开密码的只有1种情况，∴一次能打开该密码的概率为．故选：A．6．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．2【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．故选：B．7．如果a+b＝2，那么代数（a﹣）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．解：∵a+b＝2，∴原式＝•＝a+b＝2故选：A．8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下面所列的方程中正确的是（）A．560（1﹣x）2＝315B．560（1+x）2＝315C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x）元，第二次后的价格是560（1﹣x）2元，据此即可列方程求解．解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2＝315，故选：A．9．若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（）A．a2+b＞0B．a﹣b＞0C．a2﹣b＞0D．a+b＞0【分析】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题．解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，a2+b＞0，故A正确，a﹣b＜0，故B错误，a+b不一定大于0，故D错误．故选：A．10．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．解：∵二次函数y＝﹣+x﹣4可化为y＝﹣（x﹣2）2﹣3，又∵a＝﹣＜0∴当x＝2时，二次函数y＝﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．故选：B．11．如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n＝﹣2m B．n＝﹣C．n＝﹣4m D．n＝﹣【分析】首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A的坐标、点B的坐标；然后根据AO、BO所在的直线的斜率相同，求出m，n满足的关系式即可．解：由反比例函数的性质可知，A点和B点关于原点对称，∵点C的坐标为（m，n），∴点A的坐标为（，n），∴点B的坐标为（﹣，﹣n），根据图象可知，B点和C点的横坐标相同，∴﹣＝m，即n＝﹣．故选：B．12．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC 交于点F，若AB＝7，3DF＝4FC，则BC的长为（）A．7﹣1B．4+2C．2+5D．4+3【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．解：延长EF和BC，交于点G，∵3DF＝4FC，∴＝，∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝7，∴直角三角形ABE中，BE＝＝7，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEF，∴∠BEG＝∠G，∴BG＝BE＝7，∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，∴△EFD∽△GFC，∴＝，设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7+4x＝BC，∵BG＝BC+CG，∴7+4x+3x＝7，解得x＝﹣1，∴BC＝7+4x＝7+4﹣4＝3+4，故选：D．二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）13．分解因式：3m2﹣27＝3（m+3）（m﹣3）．【分析】应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：3m2﹣27，＝3（m2﹣9），＝3（m2﹣32），＝3（m+3）（m﹣3）．故答案为：3（m+3）（m﹣3）．14．一元二次方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣2）＝0，可得x＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝215．若反比例函数y＝﹣的图象经过点A（m，3），则m的值是﹣2．【分析】直接把A（m，3）代入反比例函数y＝﹣，求出m的值即可．解：∵反比例函数y＝﹣的图象经过点A（m，3），∴3＝﹣，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．16．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB＝4，CD＝3，OD＝2，那么线段OA 的长为．【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA：OD＝AB：CD，然后利用比例性质计算OA的长．解：∵AB∥CD，∴OA：OD＝AB：CD，即OA：2＝4：3，∴OA＝．故答案为．17．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为4．【分析】直接利用垂径定理得出AP的长，再利用勾股定理得出OP的长．解：连接AO，∵AB＝6，OP⊥AB，∴AP＝3，∵AO＝5，∴OP＝＝＝4．故答案为：4．18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：其中正确结论有①③④．①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a；⑤b＜c．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．解：抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，故b＜0，与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，即﹣2＜c＜﹣1，所以abc＞0，故①正确；抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，因此与x轴的另一个交点为（3，0），当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，所以②不正确；由对称轴为x＝1，与y轴交点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，因此顶点的纵坐标小于﹣1，即＜﹣1，也就是4ac﹣b2＜﹣4a，又a＞0，所以4ac﹣b2＜8a是正确的，故③是正确的；由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，又x1•x2＝，即c＝﹣3a，而﹣2＜c＜﹣1，也就是﹣2＜﹣3a＜﹣1，因此＜a＜，故④正确，抛物线过（﹣1，0）点，所以a﹣b+c＝0，即，a＝b﹣c，又a＞0，即，b﹣c＞0，得，b ＞c，所以⑤不正确，综上所述，正确的结论有三个：①③④，故答案为：①③④．三、解答题（共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25，26题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（﹣2）3++10+|﹣3+|．【分析】原式利用乘方的意义，算术平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解：原式＝﹣8+4+1+3﹣＝﹣．20．先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝．【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将a的值代入即可求出答案．解：原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8＝2a+2，∵a＝，∴原式＝1+2＝3．21．黎托社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户10月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；C.6天；D.7天）．（1）扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是108°；（2）12月份雨花区将举行一场各社区之间“垃圾分类”知识抢答赛，黎托社区准备从甲、乙、丙、丁四户家庭以抽签的形式选取两户家庭参赛，求甲、丙两户家庭恰好被抽中的概率．【分析】（1）先由A类别户数及其所占百分比求得总户数，再由各类别户数之和等于总户数求出B类别户数，继而用360°乘以B类别户数占总人数的比例即可得；（2）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．解：（1）被调查的总户数为9÷15%＝60（户），∴B类别户数为60﹣（9+21+12）＝18（户），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°×＝108°；故答案为：108°；（2）根据题意画图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种结果，所以恰好选中甲和丙的概率为＝．22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；（2）由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C．∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴＝，∴DE＝＝＝12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．23．湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题（2）根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+）盒，再列出关系式即可．解：（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，则有，解得故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意总利润W＝（120﹣m﹣72）（10+）+800化简得W＝m2+6m+1280＝﹣（m﹣9）2+1307∵a＝＜0∴当m＝9时，取得最大值为1307，故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．24．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2＝PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．（1）求证：△PAE∽△PEC．（2）过点O作OM⊥PC，垂足为M，∠B＝30°，AP＝AC，求证：OD＝PD．【分析】（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；（2）构造全等三角形，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出OM＝PE，得出△ODM≌△PDE即可．解：（1）∵PE2＝PA•PC，∴∵∠APE＝∠EPC，∴△PAE∽△PEC；（2）如图，过点O作OM⊥AC于M，∴AM＝AC，∵BC⊥AC，∴OM∥BC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOM＝30°，∴OM＝AM＝AC，∵AP＝AC，∴OM＝AP，∵PC＝AC+AP＝2AP+AP＝3AP，∴PE2＝PA×PC＝PA×3PA，∴PE＝PA，∴OM＝PE，∵∠PED＝∠OMD＝90°，∠ODM＝∠PDE，∴△ODM≌△PDE，∴OD＝PD．25．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．（1）计算：F（253），F（417）；（2）小明在计算F（n）（时发现几个结果都为正整数，小明猜想所有的F（n）均为正整数，你觉得这个猜想正确吗？请判断并说明理由；（3）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+45，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y 都是正整数），当F（s）+F（t）＝20时，求的最大值．【分析】（1）由题意可得F（253）＝（235+352+523）÷111＝10，F（417）＝（471+714+147）÷111＝12；（2）设n的三个数位数字分别为x、y、z，即n＝100x+10y+z，则F（n）＝x+y+z，再由已知条件即可证明；（3）由已知可得F（s）＝（100x+54+540+x+405+10x）÷111＝x+9，F（t）＝（105+10y+100y+51+510+y）÷111＝y+6，可求出x+y＝5，则满足条件的有或，或，求出对应的k值即可求解．解：（1）F（253）＝（235+352+523）÷111＝10，F（417）＝（471+714+147）÷111＝12；（2）猜想正确；理由如下：设n的三个数位数字分别为x、y、z，即n＝100x+10y+z，F（n）＝（100x+10z+y+100z+10y+x+100y+10x+z）÷111＝x+y+z，因为x、y、z均为正整数，所以任意F（n）为正整数；（3）∵s，t都是“相异数”，∴F（s）＝（100x+54+540+x+405+10x）÷111＝x+9，F（t）＝（105+10y+100y+51+510+y）÷111＝y+6，∵F（s）+F（t）＝20，∴x+9+y+6＝20，∴x+y＝5，∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x、y都是正整数，∴或或或∵s是“相异数”，∴x≠4；∵t是“相异数”，∴y≠1，∴满足条件的有或，或，∴k＝＝1或k＝＝或k＝＝，∴k的最大值为．26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C 点，对称轴为x＝﹣1，直线y＝﹣x+3与抛物线相交于A、D两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，且位于y＝﹣x+3的下方，求出△ADP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设点Q在y轴上，且满足∠OQA+∠OCA＝∠CBA，求CQ的长．【分析】（1）由已知可得：﹣＝﹣1，再由y＝﹣x+3与x轴交于点A（3，0），将点A代入y＝ax2+2ax﹣5可得a＝；（2）y＝x2+x﹣5与y＝﹣x+3的交点D（﹣6，9），则AD＝9，设P（m，m2+m ﹣5），则过点P与直线y＝﹣x+3垂直的直线解析式为y＝x+m2﹣m﹣5两直线的交点为T（﹣m2+m+4，m2﹣m﹣1），求出三角形的高为TP＝|m2+m﹣4|＝|（m+）2﹣|，当m＝﹣时，TP有最小值为，即可求点P与三角形面积最小值；（3）当Q点在y轴正半轴上时，过点Q作AC的垂线交AC延长线于点G，连接QA，由题意可求：△BOC是等腰直角三角形，再由∠QAG＝∠OCA+∠AQO，∠OQA+∠OCA ＝∠CBA，可得△AQG是等腰直角三角形，证明△OAC∽△GQC，利用相似边的比可求CQ＝17；在y轴负半轴上截取OQ'＝OQ，连接AQ'，则∠OQA＝∠OQ'A，由于∠OQ'A+∠OCA ＝∠OQA+∠OCA＝∠CBA＝45°，则Q'也满足题意．解：（1）∵对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴y＝ax2+2ax﹣5，∵y＝﹣x+3与x轴交于点A（3，0），将点A代入y＝ax2+2ax﹣5可得a＝；（2）y＝x2+x﹣5与y＝﹣x+3的交点D（﹣6，9），∴AD＝9，设P（m，m2+m﹣5），则过点P与直线y＝﹣x+3垂直的直线解析式为y＝x+m2﹣m﹣5，两直线的交点为T（﹣m2+m+4，m2﹣m﹣1），∴TP＝|m2+m﹣4|＝|（m+）2﹣|，∴当m＝﹣时，TP有最小值为，∴P（﹣，﹣），S＝9×＝；（3）当Q点在y轴正半轴上时，过点Q作AC的垂线交AC延长线于点G，连接QA，由题意可求：OA＝3，BO＝5，OC＝5，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠CBA＝45°，∵∠QAG＝∠OCA+∠AQO，∠OQA+∠OCA＝∠CBA，∴∠QAG＝45°，∴△AQG是等腰直角三角形，∴GQ＝AG，∵∠OCA＝∠QCG，∠QGC＝∠AOC，∴△OAC∽△GQC，∴＝，在Rt△AOC中，AC＝，∴＝，∴AG＝，∴＝，∴＝，∴CQ＝17；在y轴负半轴上截取OQ'＝OQ，连接AQ'，则∠OQA＝∠OQ'A，∴∠OQ'A+∠OCA＝∠OQA+∠OCA＝∠CBA＝45°，∴Q'也满足题意，此时Q'C＝OQ﹣OC＝CQ﹣OC﹣OC＝17﹣5﹣5＝7；综上所述：OQ的长为7或17．。
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2020-2021学年湖南省长沙一中九年级上学期期末考试数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．在数﹣（﹣3），0，（﹣3）2，|﹣9|，﹣14中，正数的有（ ）个．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．随着我国金融科技的不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，
今年“双十一”天猫成交额高达2135亿元．将数据“2135亿”用科学记数法表示为（ ）
A ．2.135×1011
B ．2.135×107
C ．2.135×1012
D ．2.135×103 3．已知点（3，﹣4）在反比例函数y =k x 的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的
是（ ）
A ．（3，4）
B ．（﹣3，﹣4）
C ．（﹣2，6）
D ．（2，6）
4．下列运算正确的是（ ）
A ．a 2•a 3＝a 6
B ．a 3÷a 2＝a
C ．a 2+a 2＝a 4
D ．（a 2）3＝a 5
5．在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球8个，黄球n 个，搅匀后随
机从中摸取一个恰好是黄球的概率为13，则放入的黄球个数n ＝（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
6．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O 点F 为BC
̂的中点，直线AP 与⊙O 相切于点A ，则∠F AP 的度数是（ ）
A ．36°
B ．54°
C ．60°
D ．72° 7．如果a ﹣b ＝5，那么代数式（
a 2+
b 2ab −2）•ab a−b 的值是（ ） A ．−15 B ．15 C ．﹣5
D ．5 8．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设
每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台其他电脑，由题意列方程应为（ ）
A ．1+2x ＝100
B ．x （1+x ）＝100
C ．（1+x ）2＝100
D ．1+x +x 2＝100
9．如图，已知直线y 1＝k 1x +m 和直线y 2＝k 2x +n 交于点P （﹣1，2），则关于x 的不等式（k
1。