§1.5.2 估计总体的数字特征 导学案
数学ⅲ北师大版1.5.2估计总体的数字特征教案
数学ⅲ北师大版1.5.2估计总体的数字特征教案5.2可能总体的数字特征一可能总体的数字特征假设随机抽样得到的样本为x x x n 12,,, ，我们把nx x x x n+++=21和nx x x x x x s s 222212)()()(-++-+-==分别称为样本均值和样本标准差，用它们来分别可能总体的均值和标准差、 注意：〔1〕假如把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变；〔2〕假如把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍 注意：用样本的数字特征可能总体的数字特征分两类： a) 用样本平均数可能总体平均数、样本的平均数可能总体的平均数时，样本的平均数只是总体的平均数的近似、、b) 用样本方差、标准差可能总体方差、标准差、样本容量越大，可能就越精确、用样本可能总体时，假如抽样的方法比较合理，那么样本能够反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差、在上面的活动中，尽管所有的样本都来自同一总体，从这些样本中所得到的有关总体的可能仍然可能互不相同，这一现象是由抽样的随机性引起的、假如抽样方案没有问题的话，那么这些结论之因此不同，其缘故就在于样本的随机性、在随机抽样中，这种偏差是不可幸免的、尽管我们从样本数据得到的分布、均值和标准差〔通常称之样本分布、样本均值和样本标准差〕并不是总体真正的分布、均值和标准差，而只是总体的一个可能，但这种可能是合理的，特别是当样本特别大时，它们真的反映了总体的信息、例1为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换、某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试可能这种日光灯的平均使用寿命和标准差、解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267、9≈268(天)、这些组中值的方差为1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128、60(天2)、 故所求的标准差约466.2128≈〔天〕因此，可能这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天、例2甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下〔单位：t/hm 2〕，试依照这组数据可能哪一种水稻品种的产量比较稳定、解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为02.0])102.10()1010()101.10()109.9()108.9[(5122222=-+-+-+-+-⨯ 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为24.0])108.9()107.9()108.10()103.10()104.9[(5122222=-+-+-+-+-⨯ 因为0、24>0、02，因此由这组数据能够认为甲种水稻的产量比较稳定、 例3下面是某校日睡眠时间的抽样频率分布表〔单位：小时〕试可能该校学生的日睡眠平均时间、解1：可先要计算总睡眠时间，然后除以总人数，得样本的平均数、 因为该校这100名学生的总睡眠时间约为739275.8625.83775.73325.71775.6525.6=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯〔小时〕 因此样本的平均日睡眠时间约为39.7100739=÷〔小时〕 答：可能该校学生的日睡眠平均时间为39.7小时、解2：求组中值与对应频率之积的和、39.702.075.806.025.837.075.733.025.717.075.605.025.6=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯答：可能该校学生的日睡眠平均时间为39.7小时、例4为了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进行了测量结果如下〔单位：cm 〕：〔1〕列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图； 〔2〕可能该中学身高大于172cm 的概率及同年龄的高度； 〔3〕可能该中学那个年龄的平均身高和稳定程度、 解：〔1〕样本频率分布表为：频率分布直方图如图1—6—25所示：图1—6—25〔2〕因为数据大于172cm 的频率为48.012.036.0=+ 因此能够可能数据大于172cm 的概率为0、48、〔3〕因为样本的平均数为170、1cm ，标准差为5、6cm ，因此能够可能该中学那个同年龄的高度约为170、1cm ，偏差约为5、6cm 、例5〔2006年湖南卷，文〕某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班、其中甲班有40人，乙班50人、现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，那么该校数学建模兴趣班的平均成绩是分、解：填85、 练习题1、甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是〔〕A 、因为他们的平均分相等，因此他们的学习水平一样；B 、成绩尽管一样，方差较大，说明潜力大，学习态度踏实；C 、表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定；D 、平均分相等，方差不等，说明学习水平不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低、2、在方差的计算公式])20()20()20[(10121022212-++-+-=x x x s 中，数字10和20分别表示()A 、样本的容量和方差B 、平均数和样本的容量C 、样本的方差和平均数D 、样本的容量和平均数3、某市在非典期间一手抓防治非典，一手抓经济进展，下表是利群超市五月份一周的依照上述统计结果，你可能利群超市今年五月份的总利润是〔〕 A.6.51万元B.6.4万元C.1.47万元D.5.88万元4、某单位为了查找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种在五块试验田上试种，每块试验田的面积为0、7公顷，产量情况如下表，试评定哪一个品种既高产又稳定？人体产生危害、在30条鱼的样本中发明的汞含量是： 〔1〕用前两位数作为茎，画出样本数据的茎叶图； 〔2〕描述一下汞含量的分布特点；〔3〕从实际情况看，许多鱼的汞含量超标在于有些鱼在出售之前没有被检查过、每批这种鱼的平均汞含量都比1、00ppm 大吗？〔4〕求上述样本数据的平均数和标准差；〔5〕有多少鱼的汞含量在平均数与2倍标准差的和〔差〕的范围内？。
高中数学 第一章估计总体的数字特征导学案 北师大版必
5.2 估计总体的数字特征1．能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．2．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会数字特征的随机性．1．样本均值和样本标准差假设通过随机抽样得到的样本为x 1，x 2，…，x n ，则样本平均数为x ＝__________________，样本标准差为s ＝________________________.2．估计总体的数字特征利用随机抽样得到样本，从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差，而只是总体的一个________，但这个估计是合理的，特别是当样本容量________时，它们确实反映了总体的信息．【做一做】甲、乙两人学习成绩的茎叶图如图所示．(1)分别求出这两名同学学习成绩的平均数和标准差；(2)比较这两名同学的成绩，谈谈你的看法．方差和标准差有什么区别？剖析：方差和标准差的计算公式是：一般地，设样本为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，则样本方差s 2＝(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n. 样本标准差s ＝(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n .由计算公式来看样本方差是样本标准差的平方，即样本标准差是样本方差的平方根，这是它们的最本质区别，它们表达的意义和作用完全相同．但是由于标准差的单位与原始数据测量单位相同，在统计中，通常用标准差来刻画数据的离散程度．题型一 利用方差分析数据【例题t/hm 2)：9.4根据这组数据判断应该选择哪一种分析：从平均数和方差两个角度去考虑．反思：平均数和方差是样本的两个重要的数字特征，方差越大，表明数据越分散，相反地，方差越小，数据越集中稳定；平均数越大，表明数据的平均水平越高；平均数越小，表明数据的平均水平越低．题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例题2】甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．分析：利用平均数与方差公式分别进行计算，并作出判断．反思：平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．1在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的( )．A ．平均状态B ．分布规律C ．波动大小D ．最大值和最小值2用分层抽样抽取了容量为10的样本，其平均数为5.1，方差为0.2，则总体的平均数与方差分别估计是( )．A ．5.1,0.2B ．0.2,0.2C ．5.1,2D ．都不能估计3已知一组数据按从小到大的顺序排列为－3,0,5，x,9,16，且这组数据的中位数为7，那么这组数据的众数为( )．A ．0B ．9C ．16D ．9.54已知一个样本为1,3,2,5，x ，它的平均数是3，则这个样本的标准差是________． 5试估计该校学生的日平答案：基础知识·梳理1．x 1＋x 2＋…＋x n n 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] 2．估计 很大【做一做】分析：首先由茎叶图读出数据，计算平均数，注意用简便方法，然后求出标准差，最后依据结果比较，可以借助于计算器．解：(1)x 甲≈87，s 甲≈12.7；x 乙≈93，s 乙≈11.2.(2)由于x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙，所以甲的学习成绩没有乙的学习成绩好，也没有乙的学习成绩稳定．典型例题·领悟【例题1】解：甲种冬小麦的平均单位面积产量x 甲＝9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.25＝10， 乙种冬小麦的平均单位面积产量x 乙＝9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.85＝10， 则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同．甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为s 甲2＝15×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02， 乙种冬小麦平均单位面积产量的方差为s 乙2＝15×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，则s 甲2＝0.02＜s 乙2＝0.244，所以甲种小麦的平均单位面积产量比较稳定．因此选择甲种小麦进行推广．【例题2】解：(1)x 甲＝99＋100×3＋98＋1036＝100， x 乙＝99×2＋100×3＋1026＝100， s 甲2＝16[(99－100)2＋(100－100)2×3＋(98－100)2＋(103－100)2]＝73， s 乙2＝16[(99－100)2×2＋(100－100)2×3＋(102－100)2]＝1. (2)因为s 甲2＞s 乙2，说明甲机床加工的这种零件波动比较大，因此乙机床加工的这种零件更符合要求．随堂练习·巩固 1．C 2．A3．B 由中位数定义得，5＋x 2＝7，∴x ＝9.∴众数为9，故选B. 4． 2 1＋3＋2＋5＋x 5＝3，从而x ＝4，∴标准差为 2. 5．分析：利用这个样本来估计该校学生的日平均睡眠时间．要确定这100名学生的日平均睡眠时间，就必须计算总睡眠时间，由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示．解法一：总睡眠时间约为6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)．故平均睡眠时间约为739100＝7.39(h)．解法二：求组中值与对应频率之积的和：6.25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)．故该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.。
高中数学 5.2 估计总体的数字特征导学案 北师大版必修3
时间
第 周 星期 第 节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；
2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）并作合理的解释。
重点难点
能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）并作合理的解释。
7
8
6
8
6
5
9
10
7
4
5
6
67879 Nhomakorabea10
9
6
乙
9
5
7
8
7
6
8
6
7[
7
9
6
5
8
6
9
6
8
7
7
问谁射击的情况比较稳定？
作业
布置
习题1-5 2，3
学习小结/教学
反思
729[
721
731
778
768
761
773
764
736
741
乙
729
767
744
750
745
753
745
752
769
743
760
755
748
752
747
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
精讲互动
1.用样本平均数估计总体平均数
2.用样本标准差估计总体标准差
3.常用的变形公式
达标训练
1．若 的方差为3，则 的方差为 .
学习
过程
与方
用样本的数字特征估计总体的数字特征学案
2.已知一组数据按从小到大的顺序排列为-1,0,4,x,6,15,且这 组数据中位数为 5,那么数据中的众数为( A.5 B.6 C.4 ) D.5.5
3.一组数据的标准差为 s,将这组数据每一个数据都扩大到原 来的 2 倍,所得到的一组数据的方差是( A. ) C.2s
2 2
s 2
2
B.4s
2
D.s
周工资
2 200
250
220
200
100
人数
1
6
5
10
1
23
合计
2 200
1 500
1 100
2 000
100
6 900
班级
姓名
(1)指出这个问题中的众数､中位数､平均数; (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗?为什么?
变式训练 1:在一次歌手大奖赛中,6 位评委现场给每位歌手打 分,然后去掉一个最高分和一个最低分,其余分数的平均数作 为该歌手的成绩,已知 6 位评委给某位歌手的打分是: 9.2,9.5,9.4,9.6,9.8,9.5. 求这位歌手的得分及 6 位评委评分的众数和中位数.
问:(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?
总结提升 学习评价 当堂检测 1.已知一组数据为 20､30､40､50､50､60､70､80,其中平均数､ 中位数和众数的大小关系是( A.平均数>中位数>众数 C.中位数<众数<平均数 ) B.平均数<中位数<众数 D.众数=中位数=平均数
4
题型二 平均数､方差的应用 例 2:对划艇运动员甲､乙二人在相同的条件下进行了 6 次测试, 测得他们最大速度(m/s)数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36. 根据以上数据,试判断他们谁更优秀.
用样本的数字特征估计总体的数字特征 学案 导学案 课件
用样本的数字特征估计总体的数字特征（一）基础知识点1．众数、中位数与平均数的定义:（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.（3）平均数：样本数据的算术平均数，即=x 2．众数、中位数与平均数的异同:①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． ②平均数与每一个样本数据有关，任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变.③众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．④某些数据的变动对中位数可能没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．2．利用频率分布直方图估计样本的数字特征：(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值． (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．3．样本方差与标准差：设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，(1)样本方差： s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． (2)样本标准差： s ＝ 1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2].平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
推论：若1,2,,n x x x 的平均值为x ，方差为2s ，则12,,,n ax b ax b ax b +++的平均值为ax b +，方差为22a s ⋅。
（二）典型例题例1．甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．解：（1）x 甲＝ 13，x 乙＝13，s 2甲＝4，s 2乙＝0.8（2）由s 2甲＞s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．例2．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）试估计这60名学生物理成绩的众数和中位数；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．解：（1）分数在[70，80）内的频率为1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3， 故03.0103.0 ，如图所示， （2）众数为75；中位数为73.3（3）平均分为x =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71；例3.某工厂人员及工资构成如下表: (1)指出这个工厂人员周工资的众数、中位数、平均数;(2)这个问题中, 平均数能客观地反映该工厂人员的工资水平吗？为什么？ 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计周工资 2200 250220 200 100 人数 1 65 10 1 23 合计 2200 1500 1100 2000 1006900 解：(1)由表格可知：众数为200，中位数为220，平均数(2200+250×6+220×5+200×10+100)÷23=300；(2)虽然平均数为300元/周，但从表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平．。
高中数学必修3《用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)》导学案
数学（高二上）导学案必修三第二章第二节课题：用样本估计总体二、合作探究归纳展示任务1 标准差问题平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7879549107 4乙：9578768677如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？思考1甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？答经计算得：x甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x乙＝7.思考2观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？答直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中．思考3对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其它方法来说明两组数据的分散程度？答还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度．甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略．思考4 如何用数字去刻画这种分散程度呢？答 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示 . 思考5 所谓“平均距离”，其含义如何理解？答 假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数．x i 到x 的距离是|x i －x |(i ＝1,2，…，n )．于是，样本数据是x 1，x 2，…，x n 到x 的“平均距离”是S ＝|x 1－x |＋|x 2－x |＋…＋|x n －x |n .由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 思考6 标准差的取值范围如何？若s ＝0表示怎样的意义？答 从标准差的定义可以看出，标准差s ≥0，当s ＝0时，意味着所有的样本数据等于样本平均数． 任务2 方差思考1 方差的概念是怎样定义的？答 人们有时用标准差的平方s 2—方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具，方差：s 2＝1n ·[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．思考2 对于一个容量为2的样本：x 1，x 2(x 1＜x 2)，它们的平均数和标准差如果分别用x 和a 表示，那么x 和a 分别等于什么？ 答 x ＝12(x 1＋x 2)，a ＝12(x 2－x 1)．思考3 在数轴上，x 和a 有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？答 x 和a 的几何意义如下图所示．说明了标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围．思考4 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的．如何求得总体的平均数和标准差呢？答 通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．例1求出问题中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明他们的成绩谁比较稳定？解x甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x乙＝7.根据标准差的公式，s甲＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋…＋(4－7)2]＝2；同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙．因此说明甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定．跟踪训练1如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．答案 6.8任务3标准差及方差的应用例2画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点．(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.解四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是：0.00，0.82，1.49，2.83.它们有相同的平均数，但它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的．跟踪训练2从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解(1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，x甲＜x乙．即乙种玉米的苗长得高．(2)由方差公式得：s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，同理s2乙＝128.8，∴s2甲＜s2乙.即甲种玉米的苗长得齐．答乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐．例3甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．4625.3225.4525.3925.3625．3425.4225.4525.3825.4225．3925.4325.3925.4025.44的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．四、作业布置 1、基础知识：1．下列说法正确的是( )A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 答案 B2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C ．36D.677答案 B3．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是x ＝2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为( )A ．2，13B ．2,1C ．4，13D ．4,3答案 D4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．。
1.5.2估计数字特征-导学案
5.2估计总体的数字特征使用说明：1.阅读探究课本3936-p页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
【学习目标】1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征【重点难点】重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
一、知识链接1．我们已经学习了如何用样本的频率分布来估计总体的分布，但在很多情况下，我们往往不需要了解总体的分布，而是更关心总体的某一数字特征，算出样本的数字特征，用样本的数字特征（如平均数、标准差等）来估计总体的数字特征。
2．平均数和标准差是工业生产中检测产品质量的重要指标，当样本的平均数和标准差超过了规定界限时，说明这批产品质量距生产要求有较大的偏差。
二、教材助读1．在一组数据中，出现次数的数据叫做这组数据的众数（若有两个或几个数据出现的最多，且出现的次数一样，则；若每个数据出现的次数一样多，则）。
2.将一组数据按从小到大的顺序排列，把处在位置的一个数据（或中间两个的）叫做这组数的中位数。
3．n个数x1 , x 2 ,x 3 …x n 的平均数-x=________________.4．考察样本数据分散程度的大小最常用的统计量是，它是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s来表示，s= ，标准差的平方叫做方差，2s= 。
5．标准差、方差越大，数据的离散程度越；标准差、方差越小，数据的离散程度越，稳定性越好。
三、预习自测1．下列能反映一组数据的离散程度的是( C )A.数B. 平均数C. 标准差D.中位数2．数据5,7,7,8,10,11的标准差为（ A）A. 2B.4C.6D.83．样本10321,,,,aaaa 的平均数为-a，样本10321,,,,bbbb 的平均数为-b，那么样本1010332211,,,,,,,babababa 的平均数为（B）A. -a+-b B.)(21--+ba C. )(2--+ba D. )(101--+ba4．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（D）A．484.0,4.9B．016.0,4.9C．04.0,5.9D．016.0,5.9基础知识探究①若给定一组数据n21x,,x,x ，方差为s2，则n21ax,ax,ax 的方差为22sa②若给定一组数据n21x,,x,x ，方差为s2，则bax,bax,baxn21+++ 的方差为22sa；特别地，当1=a时，则有bx,,bx,bxn21+++ 的方差为s2，这说明将一组数据的每一预习案探究案个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的 ，即不影响这组数据的 波动性 ； ③方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度；对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差 越大 ；④方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。
11 1.5.2估计总体的数字特征 教案
1.课本39页练习
2.为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．
天数
151180
181210
211240
241270
271300
301330
331360
361390
灯泡数
1
11
科目:数学教师： 授课时间： 第周 星期二 年月日
单元（章节）课题
北师大版必修三 第一章 统计
本节课题
1.5.2 估计总体的数字特征
三维目标
1、知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。2、过程与方法
18
20
25
16
7
2
课后作业布置
必做：课本第40页A组第3 题。
选做：课本第31页A组第4 题
预习内容布置
预习课本46页1.7《相关性》内容。
学生阅读课本估计总体数字特征相关内容.
1、怎么利用样本的平均数估计总体？
2、怎么利用样本的方差估计总体？
3、样本的数据估计总体分布，对样本有什么要求？
引导学生回顾旧知，为
本节新知识的学习奠定基础
导引新课
培养学生自学能力
培养学生合作探究能力
学生回顾统计图表所学的主要内容
对估计总体数字特征展开学习
探讨样本频率分布直方图在实际案例中的作用
人教版高中数学必修三《 用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.040.239.840.239.8乙
40.0
40.0
39
9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
（1）你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗？
提出问题：什么叫标准差？有什么意义？
（2）分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差
达标训练
1.课本31页练习
2.教辅资料
作业
布置
习题1-4 1，2
学习小结/教学
反思
§2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1
授课
时间
第周星期第节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1.掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用；
2.根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.
重点难点
根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.
学习
过程
与方
法
自主学习
复习回顾
【解】
4.什么叫极差？有什么意义？
5.什么叫方差？有什么意义？
练习2：在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图
（1）甲乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？
（2）你能从图中分别比较甲乙两组数据平均数和方差的大小吗？
精讲互动
例1甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示
1.什么叫平均数？有什么意义？
用样本的数字特征估计总体的数字特征(导学案)
§２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标：（1）正确理解样本数据规范差的意义和作用，学会计算数据的规范差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、规范差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
学习重点与难点1．重点：用样本平均数和规范差估计总体的平均数与规范差。
2．难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
一、新课探究1.众数、中位数、平均数的概念。
①众数：。
②中位数：。
（当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列中间的那个数．当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的两个数的平均数）．③平均数：n x x x x x n++++= (321)求下列各组数据的众数、中位数、平均数（1）1 ，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8 （2）1 ，2，3，3，3，4，6，7，8，9，92.如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢？①众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
②中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的值 ③平均数则是每组频率的中间值乘频数再相加3.规范差、方差的概念。
(1)样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般用2s 表示。
一般地，设样本的数据为123,,,n x x x x ，样本的平均数为x ，则定义2s =，（２）2S 算术平方根，，即为样本规范差。
其计算公式为：显然，规范差较大，数据的离散程度较大；规范差较小，数据的离散程度较小。
在刻画样本数据的分散程度上，方差和规范差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用规范差。
二、典型例题1.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数])()()[(122221x x x x x x n s n++++-=据，可以估计众数与中位数,平均数分别是多少？2在某中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是。
用样本的数字特征估计总体导学案
学习目标
（1）能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数.
（2）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差
学习重点
用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差
学习难点
能应用相关知识解决简单的实际问题
复习回顾
画频率分布直方图的步骤？
新知预习
中位数：左右两边直方图的面积相等.
平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
数字特征的优缺点
特征数
优点
缺点
众数
体现了样本数据的最大
集中点
无法客观反映总体特征
中位数
不受少数极端值的影响
不受少数极端值的影响有时也是缺点
平均数
与每一个数据有关，更能反映全体的信息.
受少数极端值的影响较大，使其在估计总体时的可靠性降低.
乙：
从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？
巩固提高
课本79页练习1,2,3
（2）某次数学试卷得分抽样中得到:90分的有3个人,80分的有10人,70分的有5人,60分的有2人,则这次抽样的平均分为______.
例2.求下面频率分布直方图的众数，中位数，平均数
典例解析
例3．在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
1、众数：在一组数据中，____________________叫做这一组数据的众数.
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把_____________________（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
3、平均数：
高中数学北师大版必修三1.5.2 教学设计 《估计总体的数字特征》
《估计总体的数字特征》教材通过探究引导学生思考实际问题，引出总体分布的估计问题，该实例贯穿本节始终，通过对该问题的探究，使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图和频率分布折线图。
教师通过初中有关频率与概率之间的关系，了解频率分布直方图的规律性，即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想。
【知识与能力目标】会求样本的众数、中位数、平均数、标准差和方差；理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法；会应用相关知识解决简单的统计实际问题。
【过程与方法目标】通过对生活中的实例的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
【情感态度价值观目标】感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
【教学重点】用样本的平均数和标准差估计总体的平均数和标准差。
【教学难点】让学生体会数字特征的随机性和对实际问题进行判断决策时的应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分下表是某次辩论赛中甲、乙双方辩手的成绩，如果以此来评定胜负你认为哪方是 优胜者？为什么？ 设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。
二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
估计总体的数字特征利用随机抽样得到样本，从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差，而只是总体的一个估计，但这个估计是合理的，特别是当样本容量很大时，它们确实反映了总体的信息。
n 个样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数 x =1n (x 1+x 2+⋯+x n ) ，则有n x ＝ (x 1+x 2+⋯+x n )设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，则样本的方差s 2＝ 1n [(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+（x n −x ）2] 样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即。
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案.docx
用样本的数字特征估计总体的数字特征*课程学习目标1. 会求一组数据的众数、中位数、平均数，并了解它们的含义.2. 会求数据的标准差及方差.3. 会用样本数据的平均数、方差来分析样本，并由此对总体进行估计.知识从蛇化•豪统形乩化知识体系梳理小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成•工作人员由五个领工和十个工人组成•工厂经营得很顺利，现在工厂需要招聘一个新工人，而小亮需要一份工作,应征而来与小明交谈./」朋说:"我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了.〃小亮工作几天后找到小明说:〃你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢?〃小明说:“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表.〃工资表如下：人员周工资小明2400小明弟1000亲戚250领工200「人100人数116510合计24001000150010001000这到底是怎么回事呢？CJ HI识导学问题1:硏究样本数据中的信息，分析数据的集中趋势,通常会硏究数据的平均数、和众数，在上述情境中，最能反应工人工资的数字特征是 __________ .(1) 平均数:一组数据也唸…，勺的总和除以数据的个数门所得的商就是平均数，记作(2) 中位数:如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时处在最中间的一个数;当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数，是这组数据的中位数.(3) 众数:在一批数据中，出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现得最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数).问题2:研究样本数据中的信息,分析数据的离散程度、波动性,通常是研究数据的极差、、方差.(2)标准差:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，它用来描述样本数据的离散程度•标准差一般用s表示，计算公式为：S*日口应『十0圧产十…十Ci c-X)2］ ^|(x£中咬中…十畸五勺.⑶方差方差是标准差的平方，即：52斗［(曲X)兮(為X)°・・・+(/-X)2］二. __________________ .知识记忆与理解预学区•不看不讲(1 )极差:一组数据中的最大值与最小值的差.05050505 .04.03.03.02.02.01根据频率分布直方图求样本的数字特征2 ___ I 1 >0 50 60 70 80 90 100劣数（分）知识问題化•何如鼻次化-基础学习交流仁某台机床加工的1000只产品小次品数的频率分布如下农:则次品数的众数、平均数依次为()•A. 0, L 1B.0, 1C.4, 18 9 9 73 1 64 0 22. 若某校高一年级8个班参加介唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均 数分别是().A.91.5 和 91.5B.91.5 和 92C.91 和 91.5D.92 和 923. 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,&5,6,则该组数据的方差S = _____ .4. 有甲、乙两个球队,甲队有6名队员，乙队有20名队员，他们的身高数据如下伸位:cm): 甲队：187 181 175 185 173 179乙队：180 179 182 184 183 183 183 176 176 181 177 177 178 180 177 184 177 183 177 183 (1) 求两队队员的平均身高；(2) 比较甲.乙两队哪一队的身高更整齐些？平均数.中位数、众数的概念及总体估计某公司的33名职工的刀工资(单位:元如卜•表:职务 人数 董事长 1 副董事长 1 董事 2总经理 1 经理 5 管理员 3 职员 205500 5000 3500 3000 2500 2000 1500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数.(2) 若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那 么公司职工刀工资新的平均数.中位数和众数又是什么？(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？克二频率次品数 0 1 2 3 4 频率 0.50.20.050.20.05D.0.5,2思维探究与创新导学区•不议不讲技能从统化•豪規心±化重点难点探究某中学举行电脑知识竞赛，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组绘制成如图所示的频率分布直方图•已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05,则参赛的选手成绩的众数和中位数可能是().A. 65, 65B. 70, 65C. 65, 50D. 70, 50才法施力化•能力具体化4思维拓展应用某公司销售部有销售人员15人销售部为了制定某利谪站的月销售定额，统计了这15 人某月的销售量如下：(1)求这15位销售人员该刀销售量的平均数、中位数、众数.(2)假设销售部负责人把每位营销人的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么? 如不合理,请你制定一个鮫合理的销售定额.检测智俺化•智危微字化卜基础智能检测1.一组数据中的每一个数都减去80得到一组新的数据，如果求得新数据的平均数为1.2,方差为4. 4,则原来数据的平均数和方差分别为().A.81.2, 84.4B.78.&4.4C.81.2, 4.4D. 78. & 75. 62.().A.0.9B. 1.0C. 20%D. 65%3.已知样本101, 100, 99, 2 b的平均数为100,方差为2,这个样本中的数据8与b的取值为_______ •4.某单位工作时间的抽样频数分布如下：(单位:h)［6, 6. 5), 5 人；［6. 5, 7), 17 人；［7, 7. 5), 33 人；［7.5, 8),37 人；［8, 8. 5), 6 人；［8. 5, 9), 2 人. 试估计该单位的平均工作时间.。
高中数学 第一章 统计 1.5.2 估计总体的数字特征教案 北师大版必修3(2021年最新整理)
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5．2 估计总体的数字特征错误!教学分析教科书通过现实生活中的例子，引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的,还需要描述样本数据离散程度的特征．通过对如何描述数据离散程度的探索，使学生体验创造性思维的过程．三维目标1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）,并作出合理的解释;会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．2．在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识与现实世界的联系．重点难点教学重点：根据实际问题从样本数据中提取基本的数字特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征;体会样本数字特征具有随机性．教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题．课时安排1课时错误!导入新课思路1.平均数为我们提供了样本数据的重要信息，但是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断．如某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为176 cm，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高．但是，假如这个平均数是从50万名中学生中抽出的50名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质．因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态，于是我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量--标准差．（教师板书课题）思路2。
用样本的数字特征估计总体的数字特征 学案 导学案 课件
课题：用样本的数字特征估计总体的数字特征一、学习目标1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差；2．理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法；3．会利用相关知识解决简单的实际问题.二、预习课本P 71—P 78完成填空1、众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数.2、中位数:将一组数据按大小依次排列，当这组数据个数为奇数时，中位数为处在 位置的一个数据；当这组数据个数为偶数时，中位数为最中间两个数据的 .3、平均数:指样本数据的算术平均数，即_x = .4、标准差:假设样本数据是n x x x ,,,21 ，_x 表示这组数据的平均数，则标准差S= .5、方差: 叫做方差.即2s = . 6.、对标准差、方差的理解：标准差、方差描述了一组数据围绕 波动的大小，标准差、方差越大，数据的 越大；标准差、方差越小，数据的离散程度 .三、堂上练习1、一组观察值4，3，5，6出现的次数分别是3，2，4，2，则样本平均值为（ ）A 4.55B 4.5C 12.5D 1.642、若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中A 、91.5和 D 、92和923、一个样本数据从小到大的顺序排列为50,30,28,23,,20,15,12x ，其中，中位数为22，则=x （ ）A.21B.15C.22D.354、在样本方差的计算公式])20(...)20()20[(10121022212-++-+-=x x x s 中，数字10和20分别表示样本的（ ）A 、容量、方差B 、平均数、容量C 、容量、平均数D 、标准差、平均数5、甲、乙两名射击运动员，在一次连续10次的射击中，他们所射中环数的平均数一样，但方差不同，正确评价他们的水平是（ ）A.因为他们所射中环数的平均数一样，所以他们水平相同；B.虽然射中环数的平均数一样，但方差较大的，潜力较大，更有发展前途；C.虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较稳定，更有发展前途；D.虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较不稳定，忽高忽低；6、在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90， 95，93，94， 93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）A. 92 , 2B. 92 , 2.8C. 93 , 2D. 93 , 2.87、从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）ABC ．3D ．858、一组数据的方差为s 2，将这组数据的每个数据都扩大为原来的3倍，所得到的数据的方差为（ ）A 、231S B 、2S C 、23S D 、29S 9、某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现记录有误，某甲得70分却记为40分，某乙得50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，则s 与s 1之间的大小关系是（ ）A 、s=s 1B 、s<s 1C 、s>s 1D 、不能确定小结：（1）众数、中位数、平均数都要是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数不具有这个性质，所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心。
人教版高中数学全套教案导学案5.用样本的数字特征估计总体的数字特征
教师课时教案备课人授课时间课题 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课标要求正确理解样本数据标准差的意义和作用，合理地选取样本教学目标知识目标用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
技能目标形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
情感态度价值观能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差难点能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动【创设情境】在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。
——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】<一>、众数、中位数、平均数〖探究〗：P62（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有 2.25这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。
因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。
由此可以估计出中位数的值为 2.02。
（图略见课本63页图学生回答教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
数学ⅲ北师大版1.5.2估计总体的数字特征教案1
数学ⅲ北师大版1.5.2估计总体的数字特征教案15.2可能总体的数字特征一、教学任务分析〔1〕能依照实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取差不多的数字特征，并做出合理的解释.(2)会用样本的差不多数字特征可能总体的差不多数字特征.形成对数据处理过程进行初步评价的意识.(3)在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本可能总体的思想，理解统计的作用二.教学目标：(1)知识与技能:(1)能利用频率颁布直方图可能总体的众数,中位数,平均数.(2)能用样本的众数,中位数,平均数可能总体的众数,中位数,平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法.〔3〕初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法.(2)过程与方法：在有关数据的搜集、整理、分析的过程中，进一步体会用样本可能总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
(3)情感态度与价值观：培养学生勇于探究和创新的精神以及优化他们的个性品质；构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流.［重点］依照实际问题对样本数据中提取差不多的数据特征并作出合理解释可能总体的差不多数字特征.［难点］用样本的数字特征可能总体的数字特征,统计思维的建立↓四.1、创设情景，揭示课题上一节我们学习了用图、表组织样本数据，同时学习了如何通过图、表提供的信息，用样本的频率分布可能总体的分布.在日常生活中，我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是关怀总体的某一数字特征，例如：居民月均用水量问题，我们关怀的是数字，而不是总体的分布形态.因此我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征可能总体的数字特征〔板出课题〕.2、探究：〔1〕怎么样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？我们初中时学习众数、中位数、平均数等数字特征.我们共同回忆一下？什么是众数、中位数、平均数？众数—一一组数中出现次数最多的数. 中位数——将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据〔或最中间两个数据的平均数〕叫做这组数据的中位数、平均数——将所有数相加再除以这组数的个数,所得到得数.热身训练:求以下各组数据的众数、中位数、平均数 〔1〕1，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8 〔2〕1，2，3，3，3，4，6，7，8，9，9 答案：〔1〕众数是：3和8中位数是：5平均数是：5〔2〕众数是：3中位数是：4平均数是：5 例如，在上一节抽样调查的100位居民的月均用水量的数据中，我们如何得知这一组样本数据的众数、中位数和平均数？ 众数=2.3〔t 〕、中位数=2.0〔t 〕、平均数=1.973〔t 〕那么从频率分布直方图你能得到这些数据的众数，中位数，平均数吗? 3、如何在频率直方图中可能众数、中位数、平均数呢？1) 如何从频率分布直方图中可能众数？学生交流讨论,回答从频率分布直方图能够看出:月均用水量的众数是 2.25t 〔最高的矩形的中点〕,它告诉我们，该市的月均用水量为2.25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少. 思考1：请大伙看看原来抽样的数据，有没有2.25 那个数值呢？依照众数的定义，2.25如何会是众数呢？什么原因？4.50.52.521.51300.1 0.2 0.3 0.4 0.6频率月均用水量/t0.5表2-1 100为居民的月均用水量（单位：t)请学生思考交流,回答这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的缘故，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，因此存在一些偏差.显然通过频率分布直方图的可能精度较低,其可能结果与数据分组有关,在不能得到样本数据,只能得到频率分布直方图的情况下,也能够可能总体的特征.归纳总结：因为在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，也显示出样本数据落在各小组的比例的大小，因此从图中能够看到，在区间[2，2.5〕的小长方形的面积最大，即这组的频率是最大的，也确实是说月均用水量在区间[2，2.5〕内的居民最多，即众数确实是在区间[2，2.5〕内.众数在样本数据的频率分布直方图中，确实是最高矩形的中点的横坐标.2) 如何从频率分布直方图可能中位数？学生交流讨论,回答 分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此能够可能中位数的值. 设中位数为x ，那么5.05.0)2(22.015.008.004.0=⨯-++++x求出02.2=x2.20.61.81.21.01.52.02.22.52.82.4 0.8 1.7 1.0 1.0 1.6 2.1 2.3 2.6 2.5 2.4 0.5 1.5 1.2 1.4 1.7 2.1 2.4 2.7 2.6 2.3 0.9 1.6 1.3 1.3 1.8 2.3 2.3 2.8 2.5 2.0 0.7 1.8 1.4 1.3 1.9 2.4 2.4 2.93.04.3 0.8 1.9 3.5 1.4 1.8 2.3 2.4 2.9 3.2 4.1 0.6 1.7 3.6 1.3 1.7 2.2 2.3 2.8 3.3 3.8 0.5 1.5 3.7 1.2 1.6 2.1 2.3 2.7 3.2 0.4 0.3 0.4 0.2 1.2 1.5 2.2 2.2 2.6 3.4 1.6 1.9 1.8 1.6 1.0 1.5 2.0 2.0 2.5 3.1 观察频率分布直方图估计中位数4.50.5 21.513频率 组距0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 2.5月均用水量/t在上图中,红色虚线代表居民月平均用水量的中位数的可能值.其左边的直方图的面积是50个单位.右边的直方图的面积也是50个单位.由此能够可能出中位数的值为2.02. 思考2：2.02那个中位数的可能值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的缘故吗？〔样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了〕3)如何从频率分布直方图中可能平均数？学生交流讨论,回答平均数等因此频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.以上图为例来讲解求解过程；02.202.025.404.075.306.025.314.075.225 .025.222.075.115.025.108.075.004.025.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯平均数为2.02由此居民的月用水量的平均数是2.02t.大部分居民的月均用水量在中部〔2.02t左右〕，然而也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是特别合理的.思考3：中位数不受少数几个极端值的妨碍，这在某些情况下是一个优点，然而它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？让学生讨论，并举例优点：对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的妨碍.对极端值不敏感有利的例子:如当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据〔如数据录入错误、测量错误等〕时，如：考察表中2-1中的数据假如把最后一个数据错写成22，并可不能对样本中位数产生妨碍.也确实是说对极端数据不敏感的方法能过有效地预防错误数据的妨碍.用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值更准确.缺点：〔1〕出现错误的数据也不明白；〔2〕对极端值不敏感有弊的例子：某人具有初级计算机专业技术水平，想找一份收入好的工作.这时假如采纳各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒如此的风险：特别可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入特别低，其缘故是中位数对极小的数据不敏感.那个地方更好的方法是同时用平均工资和中位数作为参考指标，选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.4〕对众数，中位数，平均数可能总体数字特征的认识〔1〕样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，然而它只能表示样本数据中的特别少一部分信息.(2)中位数不受少数几个极端值的妨碍,容易计算,它仅利用了数据排在中间的数据的信息.(3)样本平均数与每个样本数据有关,因此,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数,众数都不具有的性质,也正因为那个缘故,与众数,中位数比较起来,平均数能够反映出更多的关于样本数据全体的信息.探究：“用数据说话”这是我们经常能够听到的一句话.然而数据有时也会被利用，从而产生误导.例如一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入能够达到几十万元.这时，年收入的平均数会比中位数大得多，尽管这时中位数比平均数更合理些，然而那个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当如何解释？以职员平均工资收入水平去描述他们单位的收入情况.这是不合理的，因为这些职员当中，少数经理层次的收入与大多数一般职员收入的差别比较大，平均数受数据中的极端值的妨碍大，因此平均数不能反映该单位职员的收入水平.那个老板的话有误导与蒙骗行 【五】例题（2） 假设董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？（3） 你认为哪个统计量更能反映那个公司职员的工资水平？ 解析：〔1〕公司职工月工资的平均数为：2091336900033201500320005250030002350050005500≈=⨯+⨯+⨯++⨯++=x 〔元〕假设把所有数据从大到小排序，那么得到：中位数是1500元，众数是1500元.〔2〕假设董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为：3288331085003320150032000525003000235002000030000≈=⨯+⨯+⨯++⨯++=x 〔元〕中位数是1500元，众位是1500元.〔3〕在那个问题中，中位数和众数都能反映出那个公司职员的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，如此导致平均数与中位数偏差较大，因此平均数不能反映那个公司职员的工资水平. 六、巩固练习假设你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20~100万元。
1.5.2估计总体的数字特征课件ppt
课前探究学习
课堂讲练互动
＝410(20s21＋20－x 2＋20s22＋20－y 2－40－x 20) ＝12(62＋902＋42＋802－2×852)＝51(分 2)， 则 s＝ 51(分)．
规律方法 (1)平均数与方差是重要的数字特征数，是 对总体的一种简明的描述，它们反映的情况有着重要 的实际意义，从而要掌握其计算公式，为正确分析其 含义打下基础． (2)几个性质：①若 x1，x2，…，xn 的平均数是－x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a 的平均数是 m－x ＋a.
决策时的应用．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．样本平均数和样本标准差
假设通过随机抽样得到的样本为x1，x2，…，xn，则样本 平均数
x1＋x2＋…＋xn －x ＝________n________． 样本标准差
（x1－－x ）2＋（x2－－x ）2＋…＋（xn－－x ）2 s＝ s2＝________________________n____________________．
[规范解答]因为－x 甲＝15(21.5＋20.4＋22.0＋21.2＋19.9)
＝21.0(kg)
2分
－x 乙＝15(21.3＋18.9＋18.9＋21.4＋19.8)＝20.06(kg)，
4分
－x 丙＝15(17.8＋23.3＋21.4＋19.9＋20.9)＝20.66(kg)，
6分
课前探究学习
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课堂讲练互动
名师点睛
1．样本的平均数、标准差二者在估计总体中的作用 (1)样本的标准差描述了总体数据围绕平均数波动的大小 程度，样本的标准差越大，总体数据估计越分散；样本的 标准差越小，总体估计越集中．特别地，当样本的标准差 为0时，则标明总体数据估计没有波动，估计数据全相 等． (2)样本的平均数和标准差是两个重要的数字特征，在应 用平均数和标准差解决问题时，若平均数不同，则直接应 用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由标准差研究其 与平均数的偏离程度．
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乙
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如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
精讲互动
1.用样本平均数估计总体平均数
2.用样本标准差估计总体标若 的方差为3，则 的方差为 .
§
授课
时间
第周星期第节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；
2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）并作合理的解释。
重点难点
能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）并作合理的解释。
计算样本平均数，并根据计算结果估计水库里所有这种鱼的总质量约是多少？
练习2：要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm）：
甲
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学习
过程
与方
法
自主学习
知识梳理
1.平均数描述了数据的，定量地放映了数据的集中趋势所处的水平；
2.一般的，称为平均数或均值；
3.数据的离散程度可以用来描述；
4.一般地，称为样本标准差。
阅读课本36-37页
练习1 ：一个水库养了某种鱼10万条，从中捕捞了20条，称得它们的质量如下：(单位：KG)
1.15 1.04 1.111.07 1.10 1.32 1.25 1.19 1.15 1.21 1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1 .29 1.16 1.24 1.12 1.16
2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下： ，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别 为（）
A． B． C． D．
3.从甲乙两个总 体中各抽取了一个样本：
甲
6
5
8
4
9
6
乙
8
7
6
5
8
2
根据以上数据，说明哪个波动 小？
4.甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下：
甲[]
7
8
6
8
6
5
9
10
7
4
5
6
6
7
8
7
9
10
9
6
乙
9
5
7
8
7
6
8
6
7[
7
9
6
5
8
6
9
6
8
7
7
问谁射击的情况比较稳定？
作业
布置
习题1-5 2，3
学习小结/教学
反思