专题三勾股定理
专题03 勾股定理的证明【2022春人教版八下数学压轴题突破专练】(解析版)
【2022春人教版八下数学压轴题突破专练】专题03 勾股定理的证明一．选择题1．（2021春•潮阳区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【思路引导】由全等三角形的性质和勾股定理求得AE＝8，HE＝2，再由正方形的性质即可得出答案．【完整解答】解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，在Rt△ADE中，AE＝＝＝8，∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝HE＝2，故选：D．【考察注意点】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、正方形的性质等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2021春•武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【思路引导】由勾股定理得a2+b2＝9，由小正方形面积是1，得出（a﹣b）2＝1，即可得出结果．【完整解答】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积是9，∴a2+b2＝9，∵小正方形面积是1，∴（a﹣b）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴9﹣2ab＝1，∴ab＝4，故选：A．【考察注意点】本题考查勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2021春•长沙县月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【思路引导】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【完整解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．【考察注意点】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．4．（2021•宁波一模）如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，若知道图中阴影部分面积，且不分别求S1，S2，S3的值，一定能求出（）A．S1+2S3B．S3﹣S1C．S1+S2+S3D．S1+S3﹣2S2【思路引导】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，利用勾股定理解答即可．【完整解答】解：设阴影面积为a，八个全等的直角三角形中一个的面积为x，则S2﹣S1＝4x，S3﹣a﹣S1＝8x，∴S3﹣a﹣S1＝2（S2﹣S1），∴S3﹣a﹣S1＝2S2﹣2S1，∴S3﹣S1﹣2S2+2S1＝a，∴S3+S1﹣2S2＝a，由于a已知，故S3+S1﹣2S2已知，即可求出S3+S1﹣2S2，故选：D．【考察注意点】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S1，S2，S3关系是解决问题的关键．5．（2021春•朝阳区校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（）A．6 B．7 C．12 D．15【思路引导】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝24，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．【完整解答】解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b，由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝1，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：25＝4×ab+1，所以2ab＝24，根据勾股定理，得a2+b2＝52，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，因为a+b＞0，所以a+b＝7，所以7+5＝12．所以一个直角三角形的周长是12．故选：C．【考察注意点】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．（2020秋•婺城区校级期末）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，6．即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD ＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A．B．C．D．【思路引导】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积．【完整解答】解：∵S正方形ABCD＝21，∴AB2＝21，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝21，∴x2＝，根据题意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN＝2S△CGN∵S△AEM＝S△CGN，∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：S梯形NGFM＝（NG+FM）•FG＝（EM+MF）•FG＝FE•FG＝×（2x）2＝2x2＝．故选：B．【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．7．（2021春•罗湖区校级期末）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图（1）是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图（2）是由图（1）放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形的边LM的长为（）A．10 B．11 C．110 D．121【思路引导】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的LM的长即可；【完整解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形．∵∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵直角△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC，∴PC＝AB，∴OA＝AP，∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，∴LM＝4+7＝11，故选：B．【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．8．（2020•永嘉县模拟）下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的线段MN，PQ将正方形BFHC分为面积相等的四部分，这四个部分和以AC为边的正方形恰好拼成一个以AB为边的正方形．若正方形ACDE的面积为5，△CQM的面积为1，则正方形CBFH的面积为（）A．11 B．12 C．13 D．14【思路引导】观察图形可知，正方形PMQN的面积＝5+1×4＝9，再加上4个1可求正方形CBFH的面积．【完整解答】解：连接PM，PN，NQ，在最大正方形中作出小正方形，观察图形可知，正方形PMQN的面积＝作出小正方形的面积＝5+1×4＝9，则正方形CBFH的面积9+1×4＝13．故选：C．【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．（2020春•海陵区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．3【思路引导】利用整体代入的思想求出（a﹣b）2的值即可．【完整解答】解：由题意可得，，∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，故选：C．【考察注意点】本题考查勾股定理的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二．填空题10．（2021秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 4 ．【思路引导】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【完整解答】解：6﹣4＝2，2×2＝4．故图2中小正方形ABCD的面积为4．故答案为：4．【考察注意点】考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．11．（2020秋•南浔区期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是36或50 （不包括52）．【思路引导】以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使直角顶点都是格点，画出图形即可．【完整解答】解：设图中四个全等的直角三角形的直角边的长分别为a，b，则在Rt△AED中，不妨使ED＝b，AE＝a，AE2+ED2＝AD2＝（）2＝26，∴a2+b2＝26，∵FE＝FA+AE＝a+b，∴正方形EFGH的面积＝FE2＝（a+b）2，∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上即可，∴线段的端点在格点上时，有三种可能，①a＝5，b＝1时，如图，此时正方形E'F'G'H'的面积为36，②a＝2，b＝3时，如图，此时正方形E'F'G'H'的面积为50，故答案为：36或50．【考察注意点】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是清楚只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上．12．（2021春•涪城区校级期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是76 ．【思路引导】设“数学风车”中的四个全等的直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则AD＝AC＝y，CD＝2y，∠ACB＝90°，由勾股定理得x2＝（2y）2+52，再由△BCD的周长得x+2y+5＝30，得出方程组解得，即可得出结果．【完整解答】解：设“数学风车”中的四个全等的直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则AD＝AC＝y，CD＝2y，∠ACB＝90°，在Rt△BCD中，由勾股定理得：x2＝（2y）2+52，∵△BCD的周长是30，∴x+2y+5＝30，∴，解得：，∴“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76，故答案为：76．【考察注意点】本题考查了勾股定理、三角形周长、二元一次方程组的应用等知识；熟练掌握勾股定理，由题意列出方程组是解题的关键．13．（2021春•海淀区校级期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，则GE＝2．【思路引导】由全等三角形的性质和勾股定理求得AE＝8，HE＝2，再由正方形的性质即可得出答案．【完整解答】解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，在Rt△ADE中，AE＝＝＝8，∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，∵四边形EFGH是正方形，∴GE＝HE＝2，故答案为：2．【考察注意点】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、正方形的性质等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．14．（2020春•临海市期末）如图，把图1中边长分别为3和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为 1 ．【思路引导】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【完整解答】解：4﹣3＝1，1×1＝1．故图2中小正方形ABCD的面积为1．故答案为：1．【考察注意点】考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．15．（2020春•阳西县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 5 ．【思路引导】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据三角形面积和正方形面积以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【完整解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．故答案为：5．【考察注意点】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题型．16．（2020•孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为．【思路引导】可设图2阴影直角三角形另一条直角边为x，根据S1＝S2，可得2x2＝m2，则x＝m，再根据勾股定理得到关于m，n的方程，可求的值．【完整解答】解：设图2中阴影直角三角形另一条直角边为x，依题意有4×x2＝m2，解得x＝m，由勾股定理得（m）2+（n+m）2＝m2，m2﹣2mn﹣2n2＝0，解得m1＝（1﹣）n（舍去），m2＝（1+）n，则的值为．故答案为：．【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．17．（2020春•济南期末）如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是．【思路引导】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【完整解答】解：将四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案为：．【考察注意点】此题主要考查了勾股定理的证明，图形面积关系，根据已知得出用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝10求出是解决问题的关键．18．（2019•莲都区模拟）如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设AB＝a，则图中阴影部分面积为（2+）a2（用含a的代数式表示）【思路引导】如图，设AC＝x，则BC＝AD＝a+x，根据直角三角形的性质得到a+x＝x，求得AC＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．【完整解答】解：如图，设AC＝x，则BC＝AD＝a+x，∵∠ADC＝30°，∴AD＝AC，∴a+x＝x，∴x＝，∴AC＝，∴图中阴影部分面积＝4×AC2＝4××（）2＝（2+）a2．故答案为：（2+）a2．【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明，含30°直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．19．（2019•奉贤区二模）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是．【思路引导】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出BD和DE的长，进而可得tanα的值．【完整解答】解：∵小正方形的面积是25，∴EB＝5，∵△ABC≌△DEB，∴AB＝DE，∵大正方形的面积为49，∴AD＝7，∴DB+DE＝7，设BD＝x，则DE＝7﹣x，在Rt△BDE中：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x1＝4，x2＝3，当x＝4时，7﹣x＝3，当x＝3时，7﹣x＝4，∵α为较小的锐角，∴BD＝4，DE＝3，∴tanα＝，故答案为：．【考察注意点】此题主要考查了勾股定理和锐角三角形函数，关键是掌握勾股定理的应用．三．解答题20．（2021秋•金水区校级期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．【思路引导】由题意可得：S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，再根据S＝S正方形EFGH+4S△BEF，即可证得结论．正方形ABCD【完整解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，∴（a+b）2＝c2+4××ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．【考察注意点】本题是勾股定理证明题，考查了直角三角形面积，正方形面积，利用图形面积得出结论是解题关键．21．（2021秋•和平区校级期中）如图，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．（1）填空：正方形EFGH的面积为16 ，四个直角三角形的面积和为384 ．（2）求a+b的值．【思路引导】（1）由题意可知HE＝b﹣a＝4，可求得正方形EFGH的面积，利用四个直角三角形的面积和＝正方形ABCD的面积﹣正方形EFGH的面积，可求得答案；（2）利用勾股定理可求得a2+b2的值，利用四个直角三角形的面积可求得2ab，则可求得答案．【完整解答】解：（1）∵HE＝b﹣a＝4，∴S正方形EFGH＝HE2＝16，∵AD＝c＝20，∴S正方形ABCD＝AD2＝400，∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝400﹣16＝384，故答案为：16；384；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，∴4×ab＝384，解得2ab＝384，∵a2+b2＝c2＝400，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝400+384＝784．∴a+b＝28（负值舍去）．【考察注意点】本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方形的面积与小正方形面积的差是解题的关键．22．（2021春•滑县期末）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．【思路引导】（1）把四个全等的直角三角形的斜边首尾相接，可拼成所需图案，如图所示（答案不唯一）；（2）分别用两种方法计算大正方形的面积，从而可得（a+b）2＝c2+4×ab，化简即可得证．【完整解答】解：（1）（答案不唯一）如图；（2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，大正方形的面积也可表示为：c2+4×ab，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是拼出熟知的勾股图．23．（2021春•茂南区校级月考）用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两条直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：（1）图2中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为a+b．（2）用两种方法表示图2大正方形的面积．（用含a，b，c）①S＝（a+b）2；②S＝2ab+c2；（3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式a2+b2＝c2．（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：已知直角三角形的两条直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．【思路引导】（1）根据正方形周长公式即可解答；（2）根据正方形的面积公式以及三角形的面积公式即可解答；（3）根据完全平方公式可得a2+b2＝c2；（4）根据（3）的结论计算即可．【完整解答】解：（1）图2中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为（a+b），故答案为：4c；a+b；（2）图2正方形的面积S＝（a+b）2或S＝2ab+c2，故答案为：（a+b）2或2ab+c2；（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2；（4）∵c2＝a2+b2＝82+62＝100，∴c＝10（负值不合题意，舍去）．【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明和列代数式，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键．24．（2021•宜昌模拟）如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，试求（a+b）2的值．【思路引导】先利用正方形的面积得到直角三角形的斜边的平方为13，则a2+b2＝13，则利用大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积得到2ab＝12，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25．【完整解答】解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴直角三角形的斜边的平方为13，∵直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，∴a2+b2＝13，∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，∴4×ab＝13﹣1，即2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25．【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明：勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理25．（2021秋•武汉月考）2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现．下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成如图图形），试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系（1）三边a、b、c之间的数量关系为a2+b2＝c2；（2）理由：（a+b）2＝4×ab+c2．【思路引导】（1）由勾股定理即可得出结果；（2）由大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即可得出结果．【完整解答】解：（1）由勾股定理得：a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．（2）选择图1．∵大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+小正方形的面积，∴（a+b）2＝4×ab+c2，即a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案为：（a+b）2＝4×ab+c2．【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明、正方形和三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理的证明，通过图形面积关系得出结论是解决问题的关键．26．（2019秋•山亭区期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形（B，E，C三点在一条直线上），利用这个图形，求证：a2+b2＝c2（2）当a＝1，b＝2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．①请在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形．写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：（﹣1，0）；写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标：（0，2+），这样的点有 4 个．【思路引导】（1）由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．（2）根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可求解．【完整解答】解：（1）由图可得，×（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，整理得＝，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．（2）一个满足条件的在x轴上的点的坐标：（﹣1，0）；一个满足条件的在y轴上的点的坐标：（0，2+），这样的点有 4个．故答案为：（﹣1，0）；（0，2+），4．【考察注意点】本题主要考查了勾股定理的证明，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．27．（2018•保定二模）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【思路引导】首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【完整解答】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．【考察注意点】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键．。
专题3：勾股定理动点问题
117.17专题3：勾股定理动点问题一．【知识要点】1.勾股定理动点问题二．【经典例题】1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）求AC 的长及斜边AB 上的高；（2）①当点P 在CB 上时，CP 的长为 ．（用含t 的代数式表示）②若点P 在∠BAC 的角平分线上，则t 的值为 ．2．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，若点P 是边AB 上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A B A →→运动，同时点Q 从B C →以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t ，若BPQ ∆为直角三角形，则t 的值为 ．3.(2021·武昌)在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,AB=4,点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AD 的右侧作等边△ADE ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为 .2C 0G F ED B A三．【题库】【A 】1．(此题12分）在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。
【B 】【C 】【D 】1.（10分）如图，矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 边上一点，DE=1nAD （n 为大于2的整数），连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF 和EG ．（1）试判断四边形BFEG 的形状，并说明理由；（2）当AB=a （a 为常数），n=3时，求FG 的长；（3）记四边形BFEG 的面积为S 1，矩形ABCD 的面积为S 2，当121730S S 时，求n 的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）3。
八年级上勾股定理的应用
考点四：利用勾股定理证明平方关系
专题二 勾股定理逆定理的应用
考点一：勾股数的应用
名师点拨：①熟记常见勾股数：“3，4，5”、“6，8，10”、“5，12，13”、“8，15，17”、“7，24，25”、“20，21，29”、“9，40，
41”
②勾股数的整数倍仍然是勾股数，分数倍数仍然符号2 + 2 = 2 等量关系
2 −1 2 +1
2
2
③构造勾股数的重要方法：n是大于1的奇数，则, 2 , 2 是勾股数；Байду номын сангаас是大于2的偶数，则, 4 − 1, 4 + 1, 是勾
股数；
考点二：判断三角形的形状
专题三：勾股定理的实际问题
• 考点一：树折断问题
• 考点二：梯子滑落问题
• 考点三：台风问题
考点四：方位角问题
②求直角三角形的面积，可将ab看作一个整体，利用完全平方式变形式解决）
考点三：解直角三角形
名师点拨：①已知两边和两边的夹角为一个特殊角，可求第三边；
②已知两个特殊角和两个特殊角的夹边，可求另外两边；
③在直角三角形中，已知两边，可直接求第三边，或者，应先设未知数，再用勾股定理；
如以上方法行不通时，应通过转化把条件集中在同一个三角形中，再利用勾股定理；
专题一：勾股定理的基本应用
考点一：求线段长（名师点拨：①利用勾股定理求直角边长或斜边长；②勾股定理是求线段长的主要方法；如图
形中没有直角条件，则可通过作垂线构造直角三角形；如果不能直接用勾股定理，则可引入未知数，建立方程求解；）
考点二：求面积
名师点拨：①可利用勾股定理求三角形、四边形、扇形、弓形的面积
名师点拨：可巧用特殊方位角构造直角三角形求解
专题训练三垂径定理与勾股定理的综合应用
专题训练（三)垂径定理与勾股定理的综合应用►类型之一求半径1．如图3－ZT－1，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4,AE＝1，则⊙O 的半径为________．图3－ZT－12．如图3－ZT－2，⊙O过点B,C,圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为________．图3－ZT－2►类型之二求圆心到弦的距离3．一条排水管的截面如图3－ZT－3所示，已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm，则截面圆的圆心O到水面的距离OC等于( ）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm图3－ZT－3 图3－ZT－44．如图3－ZT－4，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6,AB＝10,OD⊥BC于点D，则OD的长为________．5．2017·广元已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD,AB＝12，CD＝16，则AB与CD之间的距离为________．6．如图3－ZT－5，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON∶AN＝2∶3，OM⊥CD,垂足为M，求OM的长．图3－ZT－5►类型之三求弦长7．2017·金华如图3－ZT－6，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）图3－ZT－6A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm8．2016·宿迁如图3－ZT－7，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°,BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．图3－ZT－7►类型之四综合运用9．如图3－ZT－8，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD ⊥MN于点F,P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．10．如图3－ZT－9所示，某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃,请帮工程师求出弧AB所在的⊙O的半径．图3－ZT－9详解详析1．[答案] 错误!［解析］ 连接OC ，如图所示．∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD ＝2，∠OEC ＝90°.设OC ＝OA ＝x .∵AE ＝1，∴OE ＝x －1. 在Rt △COE 中，根据勾股定理,得CE 2＋OE 2＝OC 2,即22＋（x －1)2＝x 2，解得x ＝错误!。
人教版八下数学 第17章 勾股定理 微专题三 立体图形中的最短线路问题
人教版八下数学第17章勾股定理微专题三立体图形中的最短线路问题1.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？2.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为( )A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽路不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且在离容器上部3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是( )A．13cm B．2√61cm C．√61cm D．2√34cm4.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．6.如图①，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图①所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，设长度为l2．请按照小明的思路补充下面解题过程：(1) 解：l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2；∵l12−l22=．(2) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1:l1=；路线2:l2=．②选择哪条路线较短？试说明理由．答案1. 【答案】答图略，将圆柱展开，侧面为矩形，∴AB=√(6π)2+102≈21.3(cm)．答：蚂蚁从点A爬到点B的最短路程约是21.3cm．2. 【答案】D3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】256. 【答案】(1) 96−16π2(2) ① 8；2√4+π2② ∵l12−l22=82−(16+4π2)=48−4π2=4(12−π2)>0．∴l12>l22，即l1>l2．所以选择路线2较短．【解析】(1) l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2，∵l12−l22=102−(4+16π2)=96−16π2=16(6−π2)<0，∴l12<l22，即l1<l2，所以选择路线1较短．。
勾股定理专题
二、典型例题与强化练习
题型一关于勾股定理的考察
例1（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，求BC的长；
例2如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在
△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，
S1=81、S3=225，则S2=_________．
强化练习
1、一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )
A、斜边长为25 B、三角形的周长为25ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C、斜边长为5 D、三角形面积为20
2、若直角三角形两直角边长分别为8和15，则其斜边长是____．
且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
强化练习
1、强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米的地方，请问旗杆折断之前有多长？
2、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
课后作业
4、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母 所代表的正方形面积是。
5、下列三条线段不能组成直角三角形的是（）
A、a=8，b=15，c=17B、a=9，b=12，c=15
C、a=9，b=40，c=41D、a：b：c=2：3：4
6、若正整数a、b、c是一组勾股数，则下列各组数仍是勾股数的是（）
9、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
专题3-3 勾股定理的简单应用-重难点题型(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1 勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可完成解答．【解答】解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长．在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．所以AB＝73（cm）．因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm．【点评】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．【变式1-1】（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB=12底面周长=12×π×16π=8（cm），BP=12BC＝6（cm），所以AP=√82+62=10（cm），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．【点评】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．【变式1-2】（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=√202−162=12（cm），则该圆柱底面周长为24cm．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【变式1-3】（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【解答】解：如图1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=√122+162=20（cm）；如图2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=√182+102=2√106（cm）．如图3中，MN=√222+62=2√130（cm），∵20＜2√106＜2√130，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．【题型2 勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【分析】根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度．【解答】解：∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时，∴AC＝60海里．∵∠EAC＝35°，∠F AB＝55°，∴∠CAB＝90°．∵BC＝100海里，∴AB=√1002−602=80海里．∵乙船也用2小时，∴乙船的速度是40海里/时．【点评】此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答．【变式2-1】（2020春•孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，根据勾股定理解答即可．【解答】解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，∴AO⊥BO，∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，∴OB＝20×2＝40（海里），∵AB＝50海里，在Rt△AOB中，AO=√AB2−OB2=√502−402=30，∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．【变式2-2】（2020春•鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已知C岛在基地A的北偏东58°方向且距基地A32海里，在B处的北偏西32°的方向上．军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【分析】先根据方向角得出△ACD是直角三角形，在Rt△ACB中，根据勾股定理可求BC，则AC+CB 即可求得，然后除以速度即可得到时间．【解答】解：根据题意，得∠CAB＝32°，∠CBA＝58°，则∠C＝180°﹣32°﹣58°＝90°，在Rt△ACB中，BC=√AB2−AC2=24（海里），则AC+CB＝32+24＝56（海里），56÷40＝1.4（小时）．故至少需要1.4小时长时间能把患病渔民送到基地．【点评】考查了方向角，勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长．【变式2-3】（2020春•灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC 为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．【解答】解：（1）由题意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，AC＝120×660=12（海里），BC＝50×660=5（海里），∵AB＝13（海里），∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝67°，∴∠CAB＝23°，∴甲的航向为北偏东67°；（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×360=2.5（海里），3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：√62+2．52=6.5（海里）．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键．【题型3 勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（2021春•江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．【分析】由勾股定理计算出小汽车4秒行驶的路程，再计算出速度，比较即可．【解答】解：如图，AB＝21，BC＝75，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√BC2−AB2=√752−212=72m，72÷4＝18米/秒＝64.8千米/时＞60千米/时，∴超速了．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．【变式3-1】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP ＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．【解答】解：小明能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=√10002−6002=800（米），∴PQ＝1600米，∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），∴他总共能听到6.4分钟的广播．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．【变式3-2】（2020秋•雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD=150×200250=120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=√EC2−CD2=√1302−1202=50（m），∴EF＝100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【变式3-3】（2020秋•内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED=√EC2−CD2=70（km），∴EF＝140km，∵台风的速度为20千米/小时，∴140÷20＝7（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【题型4 勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春•前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°；根据勾股定理，得BC=√172−82=15（米），∴BD＝15+1.5＝16.5（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【变式4-1】（2020秋•玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．【分析】设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，由题意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣1）2+42＝x2解得x＝8.5∴AC＝8.5m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．【变式4-2】（2020秋•阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．答：教学楼走廊的宽度是2.2米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式4-3】（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解答】解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO=√AB2−OB2=2（米）；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），根据勾股定理：OB′=√A′B′2−OA′2=2（米），所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【题型5 勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春•合肥期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．答：原处还有4.55尺高的竹子．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．【变式5-1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺，水深12尺．【点评】此题主要考查学生对题意的理解，熟悉数形结合的解题思想．【变式5-2】（2020春•安庆期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC +AB ＝10，BC ＝4，求AC 的长．【分析】直接利用勾股定理进而得出AC 的长．【解答】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∵AC +AB ＝10，BC ＝4，设AC ＝x ，则AB ＝10﹣x ，∴x 2+42＝（10﹣x ）2，解得：x =215，答：AC 的长为215．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出等式方程是解题关键．【变式5-3】（2020•庐阳区一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？【分析】设经x 秒二人在B 处相遇，然后利用勾股定理列出方程即可求得甲乙两人走的步数．【解答】解：设经x 秒二人在B 处相遇，这时乙共行AB ＝3x ， 甲共行AC +BC ＝7x ， ∵AC ＝10，∴BC ＝7x ﹣10，又∵∠A＝90°，∴BC2＝AC2+AB2，∴（7x﹣10）2＝102+（3x）2，∴x＝0（舍去）或x＝3.5，∴AB＝3x＝10.5，AC+BC＝7x＝24.5，答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，尤其本题中的文言文更不容易理解．【题型6 勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【分析】如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：不正确；理由：如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2＝CB2，∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式6-1】（2020秋•宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．【变式6-2】（2021春•越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，所以，CD＝15（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，答：风筝的高度CE为16.6米；（2）由题意得，CM＝9，∴DM＝6，∴BM=√DM2+BD2=√82+62=10，∴BC﹣BM＝7，∴他应该往回收线7米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．【变式6-3】（2020秋•荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC ＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．【分析】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：能通过；理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，∴EP＝0.6（m），∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），∵2.4＞2.3，∴运输车通过储藏室的门．【点评】本题考查了勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。
(完整版)勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
专题三：勾股定理与全等构造
勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45°，135°作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。
2、如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P在△ABD外，且∠APB=45°，求PD的长；（2）若点P在△ABD内，且∠APB=135°，求PD的长.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为.4、如图，△ABC为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB的长。
.勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45 ，135 作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1， ∠CPB=135°，求AP 的长。
解：将△CPB 绕点C 旋转，使得BC 与AC 重合，点P 与点D 是对应点，∴PC=DC ，∠DCA=∠CBP ，∴∠DCP=∠ACB=90°，∴△CDP 是等腰直角三角形，∴由勾股定理可知：DP=22， ∵PB=AD=1， ∵∠CPB=∠CDA=135°，∠CDP=45°，∴∠ADB=90°∴由勾股定理可求得：AP=3.2、如图，在△ABD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P 在△ABD 外，且∠APB=45°，求PD 的长；（2）若点P 在△ABD 内，且∠APB=135°，求PD 的长.解：（1）如图所示，过点A 作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∵∠HAP=∠BAD=90°，∴∠HAP+∠PAB=∠BAD+∠PAB ，即∠HAB=∠PAD ，在△AHB 与△APD 中，AH=AP ，∠HAB=∠PAD ，AB=AD ，∴△AHB ≌△APD ，∴HB=PD.∵∠APB=45°，∴∠HPB=∠APB+∠APH=90°，在Rt △HPB 中，HB=22PB PH + =224)23(+=34∴PD=HB=34.（2）如图所示，作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∴HB=PD.∵∠APB=135°，∴∠HPB=∠APB-∠APH=135°-45°=90°，∴在Rt △HPB 中， HB=22PB PH +=224)23(+=34∴PD=HB=34.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC 为边在△ABC 外作正△ACD ，则BD 的长为.解：以AB 为边作等边三角形AEB ，连接CE ，如图所示，∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB ，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC ，即∠EAC=∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中，AE=AB ，∠EAC=∠BAD ，AD=AC ，∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴BD=EC ，∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，∴∠EBC=120°，在△EBC 中，BC=5，EB=3，过点E 做BC 的垂线交BC 于点F ，易知∠EBF=60°，∠FEB=30°，∴EF=233，FB=23，FC=5+23=213， ∴EC 2=FC 2+EF 2=49∴BD=EC=7.4、如图，△ABC 为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD 的长.解：如图，将CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°得CE ，连接DE 、AE ，则△CDE 是等边三角形.∵△ABC 为等边三角形，△CDE 是等边三角形，∴AC=BC=AB ，∠ACB=60°，CD=EC=DE ，∠DCE=∠CDE=60°，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=BC ，∠ACE=∠BCD ，CD=EC ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE=BD=5，∵∠CDE=60°，∠ADC=30°，∴∠ADE=90°.∵∠ADE=90°，AD=3，AE=5，∴DE=22AD AE =4.∵DE=CD ，DE=4，∴CD=4.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB 的长。
勾股定理专题复习课
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
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总结词：计算错误
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详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
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总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
三角形 勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
而在西方，最早提出并证明此定理的是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
此外，勾股定理在数学、工程和物理等领域有着广泛的应用，例如用于测量、计算和解决与直角三角形有关的各种问题。
以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询数学专业人士。
专题03 勾股定理与全等三角形
勾股定理与全等三角形1．如图．△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD 的斜边DE上．求证：AE2+AD2＝AB2．2．已知：△ABC和△ECD是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在AB的延长线上．求证：AE2+AD2＝ED2．3．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结P A，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAC ＝∠P AB，AD＝AP，连结DP，DC．（1）求证：△ADC≌△APB．（2）若P A＝4，PB＝3，PC＝5，求∠APB的度数．4．如图，已知P是正方形ABCD内一点，P A＝1，PB＝2，PC＝3，以点B为中心，将△ABP 按顺时针方向绕B旋转90°，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．（1）连接PG，求出PG的长度；（2）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．5．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10．（1）在图中画出将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的△BEA．（2）求∠APB的度数．6．如图，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：EF2＝BE2+CF2．7．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是平面内任意一点，连接DE．（1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF⊥DE交AC于点F．i）求证：CE＝AF；ii）试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系．（2）如图2，当点E在△BDC内部时，连接AE，CE，若DB＝5，DE＝3，∠AED＝45°，求线段CE的长．8．如图，点O是等边△ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．（1）求证：△BCO≌△ACD．（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．9．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN．（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是直线AC上一动点，∠BDE ＝90°，DB＝DE（DE在BD的左侧）．（1）直接写出AB长为；（2）若点D在线段AC上，AD＝，求EC长；（3）当BE＝2时，直接写出CD长为．11．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一点（不与点A，D重合），连接CE，以CE为一边作正方形CEFG，使点F，G与点A，B在CE的两侧，连接BE并延长，交GD延长线于点H．（1）如图1，请判断线段BE与GD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接BG，若AB＝2，CE12．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．（1）求证：BD＝AE；（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，BC＝2时，求线段AM的长．（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，连结EF，求证：EF2＝BE2+CF2．14．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，点E、点F是BC上的点，且∠CDF＝∠CEA，CF＝CA．（1）如图1，若AE平分∠BAC，∠DFC＝25°，求∠B的度数；（2）如图2，若过点F作FG⊥AB于点G，连接GC，求证：AG+GF＝．15．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF．②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．。
小专题(三) 利用勾股定理解决折叠问题
第3题图
3.如图，在直角三角形纸片 中， ， ， , 是 的中点， 是 上一动点，将 沿 折叠到 ，连接 .当 是直角三角形时， 的长为_ ______.
或
4.如图，已知长方形纸片 ， ，将长方形纸片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 .
（1）求证： .
解：证明：由题意，得 .∵四边形 为长方形， . . . .
（2）若 ， ，求 的长.
[答案] 由题意，得 .设 ，则 ，在 中，由Biblioteka 股定理，得 ，解得 . 的长为3.
【解答】 因为点 为 的中点，所以 .设 ,则 ，在 中，由勾股定理，得 ，解得 .故 的长为 .
解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式,求线段的长时,可利用勾股定理直接计算,也可设未知数,由勾股定理列出方程,运用方程思想解决问题.
第十七章 勾股定理
小专题（三） 利用勾股定理解决折叠问题
【例】如图，在直角三角形纸片 中， ， , ,折叠三角形纸片 ，使点 与 的中点 重合，折痕为 ,求线段 的长.
【思路点拨】 先求得 的长，由翻折的性质可知 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理列出关于 的方程求解即可.
1.如图,有一块直角三角形纸片， ， ， ，将斜边 翻折，使点 落在直角边 的延长线上的点 处，折痕为 ，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
第2题图
2.如图，在长方形 中， 是 的中点，将 沿直线 折叠后得到 ，延长 交 于点 .若 ， ，则 的长为___.
北师版八年级数学知识点及经典例题
北师版八年级数学知识点及经典例题八年级上册专题一 勾股定理(已知两边求第三边)基础篇一．勾股定理：如右图，直角三角形的两直角边为斜边为 c ,则有a 2+ b 2=c 2。
（一）．勾股定理证明：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S 小正=S 大正解：由面积相等得 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2， 化简可证a 2+ b 2=c 2（二）．勾股数：具有a 2+ b 2=c 2 特性的正整数；例如：32+ 42=52所以3,4,5是勾股数.例1：在ABC 中,∠C=90°，若a 2+ b 2=c 2, (1)若a=3，b=4,则c=__ 5 _.(2)若a=6,c=10,A A B则b=____8__.(3)若c=13，a：b=5:12，则a=__5 _，b=__ 12 _.例2：填入勾股数；（1）8、15、_17__；（2）3、4、__5___；（3）7、24、_25__；（4）6、8、_10__。
自测题：1、在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 17 。
2、在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 5 。
3、在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= 6 ，b= 8 。
二．勾股定理逆定理:三角形的三边a,b,c满足a2+ b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.三．互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.例4：提高篇四．1.已知:直角三角形的三边长分别是=___7或25_____。
八年级数学下册小专题(三)利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题课时作业(新版)新人教版的
小专题(三)利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题平面(或曲面)上的最短路线问题是数学中常见的一种最值问题,勾股定理及其逆定理是解决这类问题的一大利器.求最短路线问题,首先要把实际问题转化成含有直角三角形的数学模型,再根据“两点之间,线段最短”的数学事实通过勾股定理(或逆定理)得出最短路线.如果求曲面上的最短路线,还要通过转化的方法先将曲面展开得到一个熟悉的平面图形,然后再通过平面图形来解决.类型1平面上的最短路径问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点M在AC边上,且AM=1,MC=4,动点P在AB边上,连接PC,PM,则PC+PM的最小值是()A.17B.6C.26D.72.如图,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为() A.4.8 B.8 C.8.8 D.9.83.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)直接写出AC+CE的值;(用含x的代数式表示)(2)求AC+CE的最小值.4.如图,A,B两个村子在河CD的同侧,A,B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3 km.现在河边CD上建一水厂向A,B两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/km.(1)请你在河CD边上作出水厂的位置O,使铺设水管的费用最省;(2)求出铺设水管的总费用.类型2曲面上的最短路径问题5.如图,一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B,则它走过的路程最短为()A.3aB.(1+2)aC.3aD.5a6.如图,已知圆柱的底面直径BC=6,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后π再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为()A.32B.35C.65D.627.图1为一个无盖的正方体纸盒,现将其展开成平面图,如图2.已知展开图中每个正方形的边长为1.(1)求该展开图中可画出的最长线段的长度,并求出这样的线段可画几条;(2)试比较立体图中∠ABC与平面展开图中∠A'B'C'的大小关系.。
勾股定理思维导图+题型总结
（一)勾股定理1:勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股"，斜边称为“弦”。
要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1）已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a )（2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后,只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cbaHG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ,c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25;8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
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专题 二勾股定理
一、选择题
1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25
B 、14
C 、7
D 、7或25
2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2,c=3
B 、a=7,b=24,c=25
C 、a=6,b=8,c=10
D 、a=3,b=4,c=5
3．若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比为（ ） A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6
C 、5∶12∶13
D 、4∶6∶7
4．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（A ） 4 （B ） 8 （C ） 10 （D ） 12
5．在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别表示A ∠、B ∠、C ∠的对边，则下列各式中，不正确的是（ ）
（A ） 222c b a =+ （B ） 222b a c =- （C ） 22b c a -= （D ） 222c b a =-
6．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A 、56
B 、48
C 、40
D 、32
7．三角形的三边长为（a+b ）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形;
B. 钝角三角形;
C. 直角三角形;
D. 锐角三角形. 8．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向 东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发
向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里
D 、40海里
二．填空题
9．在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则SRt △ABC=________。
10.等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为____________。
北
南
A
东
第8题图
11.若正方形的面积为18cm2，则正方形对角线长为__________cm 。
12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
13．已知：若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为__________ 14．一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的长为 。
15.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm2。
16．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
三．解答题
17．在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别表示A ∠、B ∠、C ∠的对边 （1） 已知ｃ＝25，ｂ＝15，求ａ； （2） 已知ａ＝6，∠A ＝60°，求ｂ、ｃ。
A
第16题图
18．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
19．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
20．如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b.利用这个图试说明勾股定理?
A
D
E
B
C
第18题图
第20题图
21．（8分）已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试判断△ABC的形状。
22．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在D 处，则重叠部分△AFC的面积是多少？。