【解析版】辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试+数学理试题

辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试数学理试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、数列、三角函数的性质等；考查学生解决实际问题的能力。

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)【题文】1．若复数(21a -)＋(1a -)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ ( )A ．±1B ．－1C ．0D ．1【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】B 因为复数a 2-1+（a-1）i （i 为虚数单位）是纯虚数，所以a 2-1=0且a-1≠0，解得a=-1．故选B ．【思路点拨】复数是纯虚数，实部为0虚部不为0，求出a 的值即可．【题文】2. 已知集合2{|}M x x x =>，4{|,}2xN y y x M ==∈，则MN = ( )A ．{x ｜0＜x ＜12} B.{x ｜12＜x ＜1} C.{x ｜0＜x ＜1} D.{x ｜1＜x ＜2} 【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 对于集合：M ：由x ＞x 2，解得0＜x ＜1，∴M={x|0＜x ＜1}．∵0＜x ＜1，∴1＜4x ＜4∴.12＜42x ＜2．∴N={y|12＜y ＜2}．∴M∩N={x|12＜x ＜1}．故选B ．【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合M ，N ．再利用交集的运算即可得出．【题文】3. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件. C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++<”．【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案解析】C 命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2≠1，则x≠1”．所以，选项A 不正确；由x=-1，能够得到x 2-5x-6=0．反之，由x 2-5x-6=0，得到x=-1或x=6．所以，“x=-1”是“x 2-5x-6=0”的充分不必要条件．所以，选项B 不正确；“若x=y”，则“sinx=siny”为真命题，所以其逆否命题也为真命题．所以，选项C 正确；命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”的否定是“对∀x ∈R ，x 2+x+1≥0”．所以，选项D 不正确．故选C ．【思路点拨】题目给出的四个命题，A 是写出一个命题的否命题，既要否定条件，又要否定结论；B 是分析充要条件问题，由x=-1，一定能得到x 2-5x-6=0，反之，由x 2-5x-6=0，得到的x 的值还可能是6；C 是考查互为逆否命题的两个命题共真假；D 是考查特称命题的否定，特称命题的否定式全称命题． 【题文】4. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则=++1081311a a a a （ ） A. 27B.3C.1-或3D.1或27【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3 【答案解析】A ∵13213,,22a a a 成等差数列∴3a 1+2a 2=a 3，∴3a 1+2a 1q=a 1q 2∴q 2-2q-3=0 ∵q ＞0∴q=3∴=++1081311a a a a =q 3=27故选A【思路点拨】由已知可得，3a 1+2a 2=a 3，结合等比数列的通项公式可求公比q ，而=++1081311a a a a =q 3，代入即可求解.【题文】5. 函数)(x f 的定义域为]1,0(，则函数)2(lg 2xx f +的定义域为 ( )A ．]4,5[-B ．)2,5[--C ． ]4,1[]2,5[ --D ．]4,1()2,5[ -- 【知识点】函数及其表示B1【答案解析】D 函数)(x f 的定义域（0,1）所以0<2lg 2x x +≤1，0<22x x+≤10则14x <≤或52x -≤<-故选D.【思路点拨】根据复合函数的定义域对数函数的性质求出定义域。

【题文】6. 已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x ( ) A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2 【答案解析】C ∵cos （x-6π）=-33，∴cosx+cos （x- 3π）=cosx+cosxcos 3π+sinxsin 3π=32cosx+32sinx=3（32cosx+12sinx ）=3cos （x-6π）=3×（-33）=-1故选C ． 【思路点拨】利用两角和与差的余弦函数将cosx+cos （x-3π ）化为3cos （x-6π）即可．【题文】7. 已知x ，y 满足记目标函数2z x y =+的最小值为1，最大值为7，则,b c 的值分别为 （ ） A. -1，-2 B. -2，-1 C. 1，2 D. 1，-2 【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】A 由题意得知，直线x+by+c=0经过274x y x y +=⎧⎨+=⎩和211x y x +=⎧⎨=⎩的交点，即经过（3,1）和（1，-1）点，所以3010b c b c ++=⎧⎨-+=⎩则b=-1,c=-2.【思路点拨】求出直线的交点判断何时取到最值求出b,c.【题文】8．已知等比数列{}n a 满足n a ＞0，n ＝1,2，…，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当n ≥1时，2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+＝ （ ）A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3【答案解析】C 由等比数列的性质可得a n 2=a 5•a 2n-5=22n ，=（2n ）2， ∵a n ＞0，∴a n =2n ，故数列首项a 1=2，公比q=2，故log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=log 2a 1•a 3•…•a 2n-1=log 2(a 1)n q 0+2+4+…+2n -2 =log 22n •2(022)2n n +-=log 22n+n2-n =log 22n2=n 2，故答案为C.【思路点拨】由题意可得a n =2n ，可得数列首项a 1=2，公比q=2，进而可得原式=log 2(a 1)n q 0+2+4+…+2n -2，代入由对数的性质化简可得答案．【题文】9.已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且函数f (x )＝1＋2sin 2x sin 2x 的最小值为b ，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜x ＜π28x 2－6bx ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为 ( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，π2 【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】D ∵x ∈(0,2π)，∴tanx ＞0．∴f(x)=223sin cos 2sin cos x x x x+=12(3tanx+1tan x )≥13tan tan x x⋅= 3．当且仅当tanx=33，即x=6π时取等号．因此b=3．不等式g （x ）≤1⇔①4π＜x ＜2π或②20486341x x π⎧<≤⎪⎨⎪-+≤⎩，解②得34≤x≤4π． 因此不等式f （x ）≤1的解集为[34,4π]∪(4π，2π)=[34，2π)．故选D ．【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f （x ）的最小值即b ．再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出． 【题文】10.如图，长方形ABCD 的长2AD x =，宽(1)AB x x =≥，线段MN 的长度为1，端点N M ,在长方形ABCD 的四边上滑动，当N M ,沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值的差为y ，则函数()y f x =的图象大致为（ ）【知识点】函数的图像B8【答案解析】C ：∵线段MN 的长度为1，线段MN 的中点P ， ∴AP=12，MN=12，即P 的轨迹是分别以A ，B ，C ，D 为圆心，半径为12的4个14圆，以及线段GH ，FE ，RT ，LK ，部分．∴G 的周长等于四个圆弧长加上线段GH ，FE ，RT ，LK 的长，即周长=2π×12+2(2x-12-12)+2(x-12-12)=π+4x -2+2x-2=6x+π-4，面积为矩形的面积减去4个14圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积为2x•x -π×(12)2=2x 2-4π，∴f （x ）=6x+π-4-(2x 2-4π)=-2x 2+6x+54π-4，是一个开口向下的抛物线，∴对应的图象为C ，故选：C ．【思路点拨】根据条件确定点P ，对应的轨迹，然后求出相应的周长和面积，求出函数f （x ）的表达式，然后根据函数表达式进行判断图象即可．【题文】11．若曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2－y 2＝1；②y ＝x 2－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y 2对应的曲线中存在“自公切线”的有 ( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 【知识点】双曲线及其几何性质周期性B4 H6【答案解析】B ①x 2-y 2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x 2-|x|=2211()2411()24x x ⎧--⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，在 x=12和 x=-12 处的切线都是y=-14，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin （x+φ），cosφ= 35，sinφ=45，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=24y -，即 x 2+2|x|+y 2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B ．【思路点拨】①x 2-y 2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在 x=12 和 x=-12处的切线都是y=-14，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．【题文】12.函数()32f x x ax bx c =+++，在定义域[]2,2x ∈-上表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-.有以下命题：①()f x 是奇函数；②若()[],f x s t 在内递减，则t s -的最大值为4；③()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则=0M m +；④若对[]()2,2x k f x '∀∈-≤，恒成立，则k 的最大值为 2.其中正确命题的个数为（ ） A. 1个B.2个C.3个D.4个【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 的图象过原点，可得c=0； 又f′（x ）=3x 2+2ax+b ，且f （x ）在x=±1处的切线斜率均为-1，则有321321a b a b ++=-⎧⎨-+=-⎩，解得a=0，b=-4．所以f （x ）=x 3-4x ，f′（x ）=3x 2-4．①可见f （x ）=x 3-4x 是奇函数，因此①正确；x ∈[-2，2]时，[f′（x ）]min =-4，则k≤f'（x ）恒成立，需k≤-4，因此④错误．②令f′（x ）=0，得x=±233．所以f （x ）在[-233，233]内递减，则|t-s|的最大值为433，因此②错误；且f （x ）的极大值为f （-233）=1639，极小值为f （233）=-1639， 两端点处f （-2）=f （2）=0，所以f （x ）的最大值为M=1639，最小值为m=-1639，则M+m=0，因此③正确．故选B ．【思路点拨】首先利用导数的几何意义及函数f （x ）过原点，列方程组求出f （x ）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f （x ）的奇偶性，且由f′（x ）的最小值求出k 的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x ）=0，求出f （x ）的极值点，进而求得f （x ）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．第Ⅱ卷（90分）【题文】二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.【题文】13.. 若函数()f x 在R 上可导，()()321f x x x f '=+，则()20f x dx =⎰ .【知识点】定积分与微积分基本定理B13【答案解析】-4 ∵f （x ）=x 3+x 2f′（1），∴f′（x ）=3x 2+2xf′（1），∴f′（1）=3+2f′（1）， ∴f ′（1）=-3，∴f （x ）=x 3-3x 2，∴2⎰f(x)dx =（14x 4-x 3）2=4-8=-4，故答案为：-4． 【思路点拨】先根据导数的运算法则求导，再求出f′（1）=-3，再根据定积分的计算法计算即可． 【题文】14. 若0,0,x y ≥≥且21x y +=，则223x y +的最小值为 . 【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】34 ∵x ，y 为非负数且x+2y=1，∴x=1-2y≥0，解得0≤y≤12． ∴f （y ）=2x+3y 2=3y 2+2（1-2y ）=3(y-23)2+23，因此f （y ）在[0，12]上单调递减，∴当y=12，x=0时，函数f （y ）取得最小值，f(12)=34．故答案为34．【思路点拨】x ，y 为非负数且x+2y=1，可得x=1-2y≥0，解得0≤y≤12．可得f （y ）=2x+3y 2=3y 2+2（1-2y ）=3(y-23 )2+23，再利用二次函数的单调性即可得出．【题文】15. 若数列{}n a 是等差数列，对于)(121n n a a a nb +++= ，则数列{}n b 也是等差数列。