最新函数的奇偶性和单调性综合训练及答案

一、选择题
1．下列判断正确的是（ ）
A ．函数2
2)(2--=x x
x x f 是奇函数 B ．函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数
C ．函数2()1f x x x =+
-是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数
2．若函数2
()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞
3．函数11y x x =
+--的值域为（ ）
A ．(
]2,∞- B ．(]
2,0
C ．[
)
+∞,2 D ．[)+∞,0
4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3a ≤-
B ．3a ≥-
C ．5a ≤
D ．3a ≥
5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2
()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2
80b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的
递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和2(1)y x =
+表示相等函数。

其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
二、填空题
1．函数x x x f -=2
)(的单调递减区间是____________________。

2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2
-+=x x x f ，
那么0x <时，()f x = .
d d 0 t 0 t
O A ．
d d 0 t 0 t
O B ．
d d 0 t 0 t
O C ．
d d 0 t 0 t
O D ．
3．若函数2()1
x a
f x x bx +=
++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.
4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，
最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。

5．若函数2
()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。

三、解答题
1．判断下列函数的奇偶性
（1）2
1()22
x f x x -=+- （2）[]
[]()0,6,22,6f x x =∈--
2．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数； （2）函数()y f x =是奇函数。

3．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1
()()1
f x
g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.
4．设a 为实数，函数1||)(2
+-+=a x x x f ，R x ∈
（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。

1. C 选项A 中的2,x ≠而2x =-有意义，非关于原点对称，选项B 中的1,x ≠
而1x =-有意义，非关于原点对称，选项D 中的函数仅为偶函数；
2. C 对称轴8k x =，则58k ≤，或88
k
≥，得40k ≤，或64k ≥ 3. B 2
,111
y x x x =
≥++-,y 是x 的减函数，
当1,2,02x y y ==
<≤
4. A 对称轴1,14,3x a a a =--≥≤- 1. A （1）反例1()f x x
=
；（2）不一定0a >，开口向下也可；（3）画出图象 可知，递增区间有[]1,0-和[)1,+∞；（4）对应法则不同
6. B 刚刚开始时，离学校最远，取最大值，先跑步，图象下降得快！
二、填空题
1． 11(,],[0,]22
-∞- 画出图象
2. 2
1x x --+ 设0x <，则0x ->，2
()1f x x x -=+-，
∵()()f x f x -=-∴2
()1f x x x -=+-,2
()1f x x x =--+ 3. 2
()1
x
f x x =
+ ∵()()f x f x -=-∴(0)(0),(0)0,
0,01
a
f f f a -=-=== 即211
(),(1)(1),,0122x f x f f b x bx b b
-=-=-=-=++-+
4. 15- ()f x 在区间[3,6]上也为递增函数，即(6)8,(3)1f f ==-
2(
6)(3)2(6)(3)f f f f -+-=--=-
5. (1,2) 2
320,12k k k -+<<< 三、解答题
1．解：（1）定义域为[)
(]1,00,1-，则22x x +-=，21(),x f x x -=
∵()()f x f x -=-∴2
1()x f x x
-=为奇函数。

（2）∵()()f x f x -=-且()()f x f x -=∴()f x 既是奇函数又是偶函数。

2．证明：(1)设12x x >，则120x x ->，而()()()f a b f a f b +=+
∴11
22
12
2()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=
-
+
<
∴函数()y f x =是R 上的减函数;
(2)由()()()f a b f a f b +=+得()()()f x x f x f x -=+-
即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f =
∴()()f x f x -=-，即函数()y f x =是奇函数。

3．解：∵()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，∴()()f x f x -=，且()()g x g x -=-
而1()()1f x g x x +=
-,得1
()()1f x g x x -+-=--, 即11
()()11f x g x x x -==-
--+， ∴21()1f x x =-，2()1
x
g x x =-。

4．解：（1）当0a =时，2
()||1f x x x =++为偶函数，
当0a ≠时，2
()||1f x x x a =+-+为非奇非偶函数；
（2）当x a <时，2
2
1
3()1(),2
4
f x x x a x a =-++=-++
当12a >时，m i n 13()()24f x f a ==+，
当1
2
a ≤
时，m i n ()f x 不存在；
当x a ≥时，22
13()1(),2
4
f x x x a x a =+-+=+-+
当
1
2
a>-时，2
m i n
()()1
f x f a a
==+，
当
1
2
a≤-时，
m i n
13
()()
24
f x f a
=-=-+。