高武汉科技大学等代数硕士2010解答
数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷
∫∫∫ 算积分 I = ex+y+zdxdydz ． D
4．(15
⎛ 分)定义向量场 F (x, y) = ⎜⎜⎝
xe x2 + y2 ,
x2 + y2
ye
x2 + y2
⎞ ⎟, x2 + y2 > 0
x2 + y2 ⎟⎠
证明 F (x, y) 是有势
场, 并求出 F (x, y) 的一个势函数．
∑ 5．(25
博士家园考研丛书 （2010 版）
全国重点名校数学专业考研真题及解答
数学分析与高等代数 考研真题详解
中国科学院数学专卷 博士家园 编著
博士家园系列内部资料
《 博士家园数学专业考研丛书》
编委会
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2
博士家园系列内部资料
数学分析与高等代数考研真题详解
中国科学院考研数学专卷
目录
中国科学院考研数学专卷...............................................................................................................3 2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ..................................................................3 2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ..........................................................4 2000 年招收硕士研究生入学考试《线代解几》试题 ..................................................................6 2000 年招收硕士研究生入学考试《线代解几》解答 ..................................................................7 2001 年中科院数学与系统科学研究所《高等代数》试题及解答 ............................................10 2002 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................16 2003 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ................................................................17 2003 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ........................................................18 2003 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................24 2003 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................25 2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ................................................................28 2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ........................................................29 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................32 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................33 2005 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 ....................................................37 2005 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................41 2005 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................43 2006 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ................................................................51 2006 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ........................................................52 2006 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................55 2006 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................57 2007 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 ....................................................64 2007 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 ....................................................69 2008 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》部分试题及解答 ............................................75 2009 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》两试题及解答 ................................................78 2010 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 ....................................................80 2010 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 ....................................................86 中科院数学所复试时遇到的题目.................................................................................................96
武汉科技大学(已有09试题)
武汉科技大学机械自动化学院材料力学2004——2009（2005——2006有答案）理论力学2005——2009（2005——2009有答案）测试技术2005——2009（2005——2009有答案）管理学原理（管理学院）2008——2009（2008——2009有答案）管理学原理（Ⅰ）（管理学院）2004——2007（2004——2007有答案）管理学原理（Ⅱ）（机械自动化学院）2005——2007（2005——2007有答案）机械原理2007——2009（2007——2009有答案）液压传动2005，2007——2009（2005，2007——2009有答案）液压传动系统2004，2006（2004，2006有答案）控制原理2004——2009（2004——2009有答案）汽车理论2007——2009（2007——2009有答案）流体力学（流体机械及工程专业）2007（2007有答案）流体力学（市政工程专业）2007（2007有答案）机械工程测试技术基础2004（2004有答案）运筹学2009（2009有答案）运筹学原理2008材料与冶金学院材料科学基础2009（2009有答案）材料学基础2006——2008（2006——2008有答案）硅酸盐物理化学2005——2007（2005——2007有答案）物理化学2004——2007，2009（2004——2007，2009有答案）固体物理2008——2009（2008——2009有答案）固体物理学2007（2007有答案）固体物体2004——2006（2004——2006有答案）材料力学2004——2009（2005——2006有答案）金属学2004——2009（2004——2009有答案）金属学原理2004——2005（2005有答案）软件基础（1）（含数据结构和计算机组成原理）2004，2007（2004有答案）软件基础Ⅱ（含数据结构和离散数学）2007（2007有答案）数据结构2005——2006，2008——2009（2005——2006有答案）冶金物理化学2004——2009（2005——2009有答案）化学工程与技术学院物理化学2004——2007，2009（2004——2007，2009有答案）化工原理2004——2009（2004——2009有答案）有机化学2004——2009（2004——2008有答案）生物化学（临床医学、预防医学、护理学等专业）2009（2009有答案）生物化学（临床医学、预防、高护、药学等专业）2004——2005，2007——2008（2005，2007——2008有答案）生物化学（化学工艺专业，生物工程方向）2005——2008（2005——2008有答案）无机化学2004，2007（2007有答案）无机材料物理化学2008信息科学与工程学院电路1999——2009（2004——2009有答案）（注：2004——2005年称“电路理论”）（另有1996——2003年电路理论期末考试试卷，每份5元）电子技术2004——2009（2004——2009有答案）信号与系统2004——2009（2004——2009有答案）计算机科学与技术学院软件基础（1）（含数据结构和计算机组成原理）2004，2007（2004有答案）软件基础Ⅱ（含数据结构和离散数学）2007（2007有答案）数据结构2005——2006，2008（2005——2006有答案）离散数学2008（2008有答案）管理学院管理学原理（管理学院）2008——2009（2008——2009有答案）管理学原理（Ⅰ）（管理学院）2004——2007（2004——2007有答案）管理学原理（Ⅱ）（机械自动化学院）2005——2007（2005——2007有答案）概率论与数理统计2004——2009（2005——2009有答案）微观经济学2004——2009（2004——2009有答案）文法与经济学院马克思主义哲学原理2004——2009（2004——2009有答案）马克思主义基本原理2007——2009（2007——2009有答案）法理学2007——2009（2007——2009有答案）社会主义市场经济学2007——2009（2007——2009有答案）思想政治教育学原理2007——2009（2007——2009有答案）自然辩证法2004——2009（2004——2008有答案）公共管理学2007——2009（2007——2009有答案）公共行政学2007——2009政治学理论与实务2007——2009（2007——2009有答案）政治学与公共管理2006（2006有答案）政治学原理2004——2005（2004——2005有答案）社会保障学2004——2009（2004——2008有答案）经济学综合（政治经济学占40%，宏微观经济学占60%）2007——2009（2007——2009有答案）理学院高等代数2004——2009（2005——2006有答案）数学分析2004——2008（2006——2007有答案）应用数学专业综合考试（复试）2003材料力学2004——2009（2005——2006有答案）工程力学2004——2009（2006，2008——2009有答案）医学院生物化学（临床医学、预防医学、护理学等专业）2009（2009有答案）生物化学（临床医学、预防、高护、药学等专业）2004——2005，2007——2008（2005，2007——2008有答案）生物化学（化学工艺专业，生物工程方向）2005——2008（2005——2008有答案）卫生综合2004，2007，2009（2007——2009有答案）城市建设学院流体力学（流体机械及工程专业）2007（2007有答案）流体力学（市政工程专业）2007（2007有答案）结构力学2004——2009（2005——2009有答案）外国语学院二外德语2004——2009（2004——2009有答案）二外法语2007——2009（2007——2009有答案）二外日语2005——2009（2005——2007，2009有答案）写作与翻译2004——2009（2004——2006有答案）专业综合（基础英语占三分之二，语言学占三分之一）2005——2009（2005——2009有答案）资源与环境工程学院物理化学2004——2007，2009（2004——2007，2009有答案）化工原理2004——2009（2004——2009有答案）岩石力学2005（2005有答案）岩体力学2004安全系统工程2009（2009有答案）环境工程微生物学2009（2009有答案）环境工程微生物2007——2008（2007——2008有答案）环境化学2004——2006（2004——2006有答案）工程力学2004——2009（2006，2008——2009有答案）地理信息系统2004，2006（2006有答案）土力学2004——2009（2004——2006，2008——2009有答案）水力学2004——2006，2009（2005——2006有答案）工程流体力学2004——2009（2006——2009有答案）界面分选原理2005——2009（2005——2009有答案）矿业运筹学2004——2009（2004——2009有答案）资源与环境经济学2009（2009有答案）资源环境经济学2004——2008（2004——2008有答案）房屋建筑学2009（2009有答案）。
武汉大学2010年数学分析考研试题解答
+∞
0
所以 ϕ(u) = ∫ （2）
+∞
0
e−x cosuxdx
∂k f ( x, u ) ∂u k
k k
2
的定义域为 (−∞,+∞) ； 在 [0,+∞) × (−∞,+∞) 上连续，
2
f ( x, u )
− x2
，
且有 | f ( x , u ) |≤ e ， | ∂∂u
f ( x , u ) |≤ x k e − x
n →∞
二．设 a > 0 ， x1 = a ， xn +1 = a + xn ， n = 1, 2,
1
三．设 f ( x ) 在 [ 0, 2] 上可微，且 f ( 2 ) = ∫ 2 xf ( x ) dx ，求证：存在 ξ ∈ ( 0, 2 ) ，
0
使得 f (ξ ) + ξ f ′ (ξ ) = 0 . 四．设 v = v ( x, y ) 有连续的一阶偏导数， u = u ( x, y ) = xv + yϕ ( v ) + ψ ( v ) ，
1 2 ( x + y 2 ), ( x, y ) ∈ D ， a
dσ = 1 + (
∂z 2 ∂z 2 ) + ( ) dxdy ∂x ∂y
， ，
曲面的面积
S1 = ∫∫ 1 + (
D
∂z 2 ∂z 2 ) + ( ) dxdy = ∫∫ 2dxdy = 2π a 2 ∂x ∂y D
S 2 = ∫∫ 1 + (
2 + ； 1 n+ n
n n
新版武汉科技大学数学考研经验考研真题考研参考书
回首过去一年的各种疲惫，困顿，不安，怀疑，期待等等全部都可以告一段落了，我真的是如释重负，终于可以安稳的让自己休息一段时间了。
虽然时间如此之漫长，但是回想起来还是历历在目，这可真是血与泪坚坚实实一步步走来的。
相信所有跟我一样考研的朋友大概都有如此体会。
不过，这切实的果实也是最好的回报。
在我备考之初也是看尽了网上所有相关的资料讯息，如大海捞针一般去找寻对自己有用的资料，所幸的是遇到了几个比较靠谱的战友和前辈，大家共享了资料和经验。
他们这些家底对我来讲还是非常有帮助的。
而现如今，我也终于可以以一个前人的姿态，把自己的经验下下来，供大家翻阅，内心还是比较欣喜的。
首先当你下定决心准备备考的时候，要根据自己的实际情况、知识准备、心理准备、学习习惯做好学习计划，学习计划要细致到每日、每周、每日都要规划好，这样就可以很好的掌握自己的学习进度，稳扎稳打步步为营。
另外，复试备考计划融合在初试复习中。
在进入复习之后，自己也可以根据自己学习情况灵活调整我们的计划。
总之，定好计划之后，一定要坚持下去。
由于篇幅较长，还望各位同学能够耐心看完，在结尾处附上我的学习资料供大家下载。
武汉科技大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(614)高等代数和(840)数学分析参考书目为：1.《高等代数》（第三版），北京大学编，高等教育出版社，2007 年2.《数学分析》（第四版）（上、下），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2011年关于英语其实我的英语基础还是比较差的，起码在考研之前，这让我在英语学习中有一个非常大的坎要过，不过好在只要过了这个坎，英语成绩一定会有一个大幅度的提升，为了度过这个坎，我用了整整两个月的时间去看英语，用到的资料就是木糖英语的真题和单词，什么娱乐活动都没有，就只是看英语不停的坎，付出了读文章读到恶心的代价，虽然当时觉得真的很痛苦，但是实际上现在想来还是值得的，毕竟英语的分数已经超乎我的想象。
武汉科技大学高等代数考研真题试题2005—2009、2016、2019年(含标准答案)
考试科目及代码：高等代数 420
共3页
说 明：1. 适用专业：应用数学 070104
2. 可使用的工具：计算器 （ √ ）
3. 答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效
第1页
一、填空（6 小题，共 30 分）
1 0 0
1.
设
A
0
1 2
3
2
③ kn A
④ kA
4. 如果 x2 1, g(x) 1 ，且 x2 1 g(x)h(x) ，则 。
① x 1 g(x), x 1 h(x)
② x 1 g(x), x 1 h(x)
③ x 1 ᅡ g(x) ， x 1 h(x)
④ x 1 ᅡ g(x) ， x 1 ᅡ h(x)
证明：
A
αβ
2 1
பைடு நூலகம்
2
1
2
4 2
2 1
4 2
2 1 2 2 1 2 4 2 4
A2
4
2
4
4
2
4
8
4
8
2A
2 1 2 2 1 2 4 2 4
计算 n 阶行列式 d 1 0 a3 0 ，其中 a1a2 an 0 。 1 0 0 an
四、（15 分）
设 η* 是非齐线性方程组 Ax b 的一个解， ξ1, ξ2 , , ξnr 是对应的齐次方程
高等代数 420
共 31 页 第 2 页
组的一个基础解系，证明： η*, ξ1, ξ2 , , ξnr 线性无关。
5. 设 A 为 n 阶方阵， Ax 0 有非零解，则 A 必有一个特征值为 。
6．多项式 x4 2x 1的有理根是
武汉科技大学《601高等代数》考研专业课真题试卷【含参考答案】
6、若 3 维向量 4 不可以由向量组 1 , 2 , 3 线性表出，则
（ ）
A.向量组 1 , 2 , 3 线性无关 B.向量组 1 4 , 2 4 , 3 4 线性相关 C.向量组 1 4 , 2 4 , 3 4 线性无关 D.向量组 1 , 2 , 3 线性相关 7、设有齐次线性方程组 Amn x 0 ， Bmn x 0 ，现在有四个命题： (1)若 Amn x 0 的解都是 Bmn x 0 的解，则 r Amn r Bmn . (2) 若 r Amn r Bmn , 则 Amn x 0 的解都是 Bmn x 0 的解. (3) 若 Amn x 0 与 Bmn x 0 的同解，则 r Amn r Bmn . (4) 若 r Amn r Bmn , 则 Amn x 0 与 Bmn x 0 的同解. 其中正确的是 A. (1) (2) 8、设 i ai1 ai 2 （ ） B. (1) (3)
T
C. (2) (4)
D. (3) (4)
ai 3 (i 1,2,3) ，则三条直线 ai1 x ai 2 y ai 3 0(i 1,2,3) （其
（ ）
中 ai12 ai 22 0(i 1,2,3) ）交于一点的充分必要条件是 A. 1,2 ,3 线性无关 C. r 1, 2 , 3 r 1,2 B. 1,2 ,3 线性相关
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武汉科技大学考研专业课真题试卷目录
601 高等代数
2016 年《601 高等代数》专业课真题试卷 2016 年《601 高等代数》专业课真题试卷参考答案 2017 年《601 高等代数》专业课真题试卷 2017 年《601 高等代数》专业课真题试卷参考答案 2018 年《601 高等代数》专业课真题试卷 2018 年《601 高等代数》专业课真题试卷参考答案
武汉科技大学经济学综合2010考研专业课真题
姓名： 报考学科、专业： 准考证号码：
密 封 线 内 不 要 写 题
20
2 X Leabharlann 0求：（1）根据利润极大化的条件求企业的供给函数。 （2）当产品 X 的价格 P 5 时，求企业的生产者剩余 PS 。
第1页共1页
二O 一O年招收硕士研究生入学考试试题
考试科目及代码： 经济学综合858 适用专业： 政治经济学 答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。 考试时间3小时，总分值 150 分。 一、名词解释（每题5分，共30分）。 1、科斯定理 2、显成本 3、边际技术替代率 4、货币乘数 5、自然失业率 6、资本边际效率 二、简答题（共30分）。 1、简述 IS LM 模型的局限性。（10分） 2、投机货币需求与利率是何关系？为什么？（10分） 3、什么是价格歧视？垄断厂商实行价格歧视必须具备的条件是什么？（10分） 三、论述题（共40分）。 1、为什么说对外开放是我国的一项基本国策？（20分） 2、为什么说剩余价值规律是资本主义的基本经济规律？（20分） 四、判断说明题（共30分）。 1、加快资本周转可以带来更多的剩余价值，这表明流通过程可以产生剩余价 值。（15分） 2、土地价格是土地价值的货币表现。（15分） 五、计算题（20分）。
(试题)武汉科技大学2010级高数二期末A解答(多学时)
2010级高等数学（二）期末试题解答及评分标准A（本科、多学时）一、选择题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）1．已知平面23x y z +-=与直线151x y z a b --==平行，则,a b 应满足（ ）. Ａ．20a b ++=； Ｂ．20a b +-=；Ｃ．2a b ==-； Ｄ．2a b ==.2．下列微分方程中，不是线性微分方程的是（ ）.Ａ．2()0y y '+=； Ｂ．0y y '+=；Ｃ．2x y y x '''+=； Ｄ．22d x x dt =. 3．二阶常系数非齐次线性微分方程2x y y y e '''+-=的特解形式可令为（ ）. Ａ．x Ae ； Ｂ．()x x Ax B e + ； Ｃ．x Axe ； Ｄ．2x Ax e .4．设1D 是由ox 轴，oy轴及曲线0)y x =≥所围成的有界闭域，(,)f x y 是区域22:16D x y +≤上的连续函数，则有（ ）.Ａ．12222(,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰ ； Ｂ．12222(,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰ ；Ｃ．12222(,)8(,)D D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰ ； Ｄ．122221(,)(,)2D D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰. 5．设Ω为一有界闭区域，其上各点的体密度为(,,)x y z ρ.设M 为其质量，而(,,)x y z 为其重心，Ω关于xoy 平面的静矩定义为：xy M z M =，则xy M 的三重积分计算式为（ ）.A.22()(,,)d xy M x y x y z v ρΩ=+⎰⎰⎰；B. (,,)d xy M x x y z v ρΩ=⎰⎰⎰；C.(,,)d xy M y x y z v ρΩ=⎰⎰⎰；D. d ),,(⎰⎰⎰Ω=v z y x z M xy ρ.二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）6．设函数(,)z z x y =由方程2229x y z ++=所确定，则z x∂=∂_______. 7．幂级数1(1)nnn ∞=-∑_______. 8. 设L 为1x y +=，则Lx ds =⎰_____________ . 9．曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面方程为___________.10．三重积分222()f x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰，其中Ω为半球体2221x y z ++≤，0z ≥化为球坐标下的累次积分是______________________________.三、试解下列各题（本大题6个小题，每小题8分，共48分）11．设2sin()z x x y =-，求(,),(,)22x y z z ππππ.12．设(,)z f xy y z =-，其中f 具有一阶连续偏导数，且210f '+≠，求dz .13．求微分方程xy y '=的通解.14. 求微分方程40y y ''+=的通解.15.计算二重积分22x y De dxdy --⎰⎰，其中22:4D x y +≤.16. 求级数1n n nx ∞=∑的和函数()S x .四、试解下列各题（本大题2个小题，每小题6分，共12分）17. 计算曲线积分(sin )(cos 1)x x Le y y dx e y dy -+-⎰，其中L 是上半圆周22x y x +=(0)y >上从(0,0)O 到(1,0)A .18.计算曲面积分zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰，其中∑是上半球面z =的下侧.五、证明题（本大题2个小题，每小题5分，共10分）19．试判断级数1!sin !n nn nn n n n n ππ∞=∑的敛散性，并证明你的结论.20．设)(u f z =，且方程⎰+=xy dt t p u u )()(ϕ确定),(y x u u =，其中)(),(u u f ϕ可微，(),()p u u ϕ'连续且()1u ϕ'≠.试证()()0zzp y p x x y ∂∂+=∂∂.。
华师大2010高等代数答案pdf版
0 Er ... A2 0
0 1 Q An r
，
记
P
1
0 Er C1 , A1 0
0 1 Er Q C nr , An r 0
0 C i （2≤i≤n-r-1） Ai
0
. 0 0 . . . . 0 0 . . . . . . i 位为 0，其余为 1。. . 0 0 .，对角线上 . . 0 1 . . . . . . . . 0 0 0
∴
Er 0
A P
1
Er 0
0 Er A1 0
所以原结论成立。
0 5.解：①c≠0 时， J n ( c ) cE N ，其中 N 1 0 1 ... 1 0
利用 ( cE N )[( cE ) n 1 ( cE ) n 2 N ... N n 1 ] c n E ，可以证得：
2
1 1 X AX
1 ... 1
n 1
（注： 对于-1 的特征矩阵， 秩为 1， 所以利用第一个方程写出特征向量； 对于 n-1， 容易证明特征矩阵秩为 n-1， 因为其左下角有 n-1 级子式不为 0， 对于特征向量，
只要让最后一个未知元为 1，然后行变换后解方程组即可） 9.解： （注释：此类题可能答案只能是无数个或 0 个） 只要找到一个矩阵， 行列式=1 即可说明。 关键看给出的数字， 9 和 7 是互素的。
f Y '( E )Y 2 B P Y c
2k
4
2 n , n 为有理数 n k 且 2 n 4 为有理数
2010 年中国科学院高等代数代+详细解答修正解答版(专家推荐)
2010 年中国科学院高等代数解：（1）证法1证法2 AB I I B AB I I B A I I A I I B A I n mn m n m n m n -=-=-=00BA I BAI BI I A I I BA I I BA I m m n mn m n mn -=-=-=0.BA I AB I m n -=-∴证明：因为A 为正交矩阵，故其特征值的模长为1. 由于1 A ，故可设，于是法1法 2 因为1)(-=n A r ，故方程组0=AX 的解空间是一维的。
若0≠λ，则0**==ξξλA A A ，故0*=ξA ，ξ为*A 的一个特征向量。
若0=λ，则ξ为方程组0=AX 解空间的一组基，又0*=ξAA ，故ξ*A 也是方程组0=AX 的解，于是存在k 使得ξξk A =*，即ξ为*A 的一个特征向量。
},,max{1n k εεε =，则jini nj i iji i h x εεεε∑∑===11,，j i ni nj i ijii kiyεεεε∑∑===11,故∑∑∑∑∑∑=======+≤≤==nj i ni i ji j i nj i ji j i n i nj i ij i i n i i nh h hh x x 1,21221,,11,12,2||||||||||εεεεεεεεεε∑∑∑∑∑∑=======+≤≤==nj i ni i ji j i nj i ji j i ni nj i ij i i ni i nk k kk iy y 1,21221,,11,122||||||||||εεεεεεεεεε于是,nh x ≤ 且nk y ≤。
特征值，并设，于是当0≠λ时必为纯虚数。
因此，（本题结论改为：存在∈λC ，使得)()(A tr A T λ=更恰当）证明：因为T 是线性映射，且满足)()(BA T AB T =，故0)(=-BA AB T ，于是任给n j i ≤≠≤1，都有0)()(=-=ii ij ij ii ij E E E E T E T ，且0)()(=-=-ij ji ji ij jj ii E E E E T E E T ，因此设λ=)(11E T ，则)()()()(1,1A tr E T a ET a A T nj i ni ii ii ijijλ===∑∑==。
武汉科技大学2010-2011-2线性代数A卷试题及答案
；
三、计算题（每小题10分，共50分）
得分
11．设 ，求 。
得分
12．设三阶方阵 ， 满足方程 ，试求矩阵 以及行列式 ，其中 。
得分
13．已知 ，且满足 ，其中 为单位矩阵，求矩阵 。
得分
14． 取何值时，线性方程组 无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以 有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
18．已知向量组(I) 的秩为3，向量组(II) 的秩为3，向量组(III) 的秩为4，证明向量组 的秩为4。
证明：向量组 的秩为3，向量组 的秩为3，所以 为向量组 的一个极大无关组，因此 可唯一的由 线性表示；．．．．2分
2．下列不是向量组 线性无关的必要条件的是（B）。
A． 都不是零向量;
B. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
C. 中任意两个向量都不成比例;
D. 中任一部分组线性无关;
3.设 为 矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充分必要条件是 的（A）。
A．列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；
C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；
3.当 时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
15.设 ，求该向量组的秩和一个极大无关组。
解：
．6分
所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因为任意两个向量均不成比例，
2010年中科院高等代数真题及答案解析[1]
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∴ξ T (H − xIn )ξ = ξ T (−K + iyIn )ξ = 0
设 H = (hij ), K = (kij ) ∈ ℂn×n ，则由上式可得
hk1ε12
+
hk
2ε
2 2
+⋯ + (hkk
−
x)ε
2 k
+⋯ +
hknε
2 n
=
0
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ + (kkk
−
iy)ε
+
hk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 n
≤
hk1
⋅
ε
2 k
+
hk 2
⋅
ε
2 k
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 k
≤
nh
ε
2 k
y ⋅ εk
2=
iyε
2 k
=
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ +
kknε
2 n
≤
hk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯+
kknε
2 n
=
kk1
⋅ ε12
+
kk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ +
n
n
n
n
= ai ⋅ xi + ai + xi − n ai xi +1 .
2010高等代数考研真题.856答案
2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数一.（40分）答：1.(D)2.(D)3.(A)4.(D)5.(B)6.(C)7.(B)8.(D)9.(D) 10.(C)二.（20分）证明下列命题：(1). 如果多项式(),()f x g x 不全为零，证明：()((),())f x f xg x 与()((),())g x f x g x 互素。
(2). 证明：0x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠.答：(1).证： 存在多项式(),()u x v x , 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+. (4分)因而()()()()1((),())((),())f x g x u x v x f x g x f x g x +=. (7分)由定理3,()(),1.((),())((),())()f x g x f x g x f x g x = (10分)(2). 必要性：设0x 是()f x 的k 重根。
那么0x 是()f x '的1k -重根，……，是1()k fx -的1重根，是()k f x 的0重根，即不是()k f x 的根，（3分）所以 1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠. （5分）充分性：设1000()()()0k f x f x f x -'==== 而0()0kf x ≠. 设0x 是()f x 的l 重根。
由必要性的证明 1000()()()0l f x f x fx -'==== 而0()0lf x ≠. 从而l k =.(10分)三.（15分）已知行列式12114126211214783D --=. 求13233343A A A A +++，其中ij A 是元素ija 的代数余子式。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
2010年高等代数(A)卷参考答案
2010高等代数1（A 卷）参考答案一、填空题 1．n <; 2. 0; 3. 1627-; 4. 0λ≠且3λ≠-; 5. 6,16a b =-= 二、判断题 6.⨯7.⨯8.√9.⨯ 10. √三、单项选择11. (D) 12. (B) 13. (A) 14. (B) 15 (B)四、解答题 16. 解： x+1∴ （f(x),g(x)）=x-3 （7分）17. 解：（4分）2131415143r r r r r r r r ---+−−−→3242523r r r r r r +-+−−−→1234511231111133542563157A ααααα⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪----⎝⎭1213141511123021202120636402123ααααααααα⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪---- ⎪ ⎪+⎝⎭12132142152111230212000020000300002αααααααααααα⎛⎫⎪---- ⎪⎪+- ⎪-- ⎪ ⎪++⎝⎭∴12345()2,r α,α,α,α,α=12α,α是它的一个极大无关组， （6分） 且3124125123α=2α-α,α=α+α,α=-2α-α （7分） 18．解：方程组的系数行列式为 （1分）（1） 当2k ≠-且1k ≠ 时，方程组有唯一解; （2分）（2）2k =-时，（3）()3()2R A R A =≠=，此时，方程组无解; （4分）（3）1k =，此时方程组有无穷多解， （6分）通解为 ：1212111010,,001k k k k k R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
（7分）19．解：因为A = ， 所以A 可逆， （2分）则（3分） 21111(2)(1)11k k k k k=+-111111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2131r r r r --−−−→()()13R A R A n ==<=015153522321≠=1123123x x A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211112121124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭13112412122111r r ↔-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭21212112403360339r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭2132112403360003r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪⎪⎝⎭()123100123100123100123100225010021210018301018301351001018301021210001541211221201005551381010151515412001151515A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∣E =→---→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎪⎪ ⎪→---→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭31341515151381010151515412001151515⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭即 1231341515151381151515412151515A -⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（6分） 则（7分）20．解： 二次型的矩阵为 （1分）()21311212213113111221122400110110100221100112240211002110042211011201010201010010022110001210001200001r r r r r r c c c c c c r r c A -+++-+←−→←→--⎛⎫- ⎪⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∣E =-−−−→-−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭3111110011001222211110100010022220041111001022c −----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123231341515151113812015151530412151515x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭021201110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭则非退化线性变换X CY == （6分） 把二次型()123,,f x x x 化222123x x x +- 。
2010-2011学年秋季学期高等代数试题参考答案
1 (1, 1, 2, 4), 2 (0,3,1, 2), 3 (3, 0, 7,14), 4 (1, 1, 2, 0) 。
解：
A 1 2 3
1 1 4 2 4
0 3 1 1 3 0 1 0 1 7 2 0 2 14 0 0
L(1 2 ,1 3 ) or L(1 2 ,2 3 ) 。
的转置。
8. 非齐次实线性方程组 Amn x b 有无穷多解，则 ( AA)* = 0 ；若此非齐次实线性方程组的导出组
有唯一解，则 rank ( AA) = n 。
*
一 填充题（每空 2 分，共 20 分）
1 0 ，………………………………………………………………….2 分 2 1
B
A A A A 2 (n 1) n 1 A ……………..(4 分) A nA 0 (n 1) A
则 X 是 4 2 的列满秩矩阵，且 AX 0 .。 命题纸使用说明：1、字迹必须端正，以黑色碳素墨水书写在框线内，文字与图均不得剪贴，以保证“扫描”质量；
0 1 0 0
3 1 1 0 ，………………4 分 0 4 0 0
从而 1 , 2 , 4 是一个极大线性无关组，故向量组的秩是 3。……………………………4 分
3 31 2 。…………………………………………………………………………..2 分
1 3 2 1 ,求一个 4 2 的列满秩矩阵 X ，使得 AX 0 . 15.（10 分）设 A 1 2 2 2 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 解： A 1 1 1 3 0 0 1 2 1 1 2 3 0 0 0 0
武汉科技大学线性代数练习册答案
第三章 行列式及其应用§3-1 行列式的定义一、填空题。
1、行列式a b c d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、行列式1111121212000000a a a a b b c c d d =______0_____.3、已知行列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__.4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_.5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.二、选择题。
1、方程0110001x x x=的实根为__C___.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）214、n 阶行列式00102000D n =的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、行列式312111321111x xx x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列行列式1、12110001-解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)12012301231234101412024003r r +--=按c 展开3、11321011230112--解：4141132113010111013223012303102101300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-， 所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以 排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个 不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --.）§3-2 行列式的性质与计算一、填空题。
武汉科技大学 线性代数(本科)A卷及答案
3分
6分
3
线性代数期末试卷
共 5页
第 4页
⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ 所以 k1 1 为 λ = 5 对应的特征向量。 ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 0 0⎞ ⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 当 λ = 1 时， ( A − E ) x = 0 ⇒ 0 2 2 ~ 0 1 1 ， ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 2 2⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 所以 k2 0 , k3 −1 为 λ = 1 对应的特征向量。 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5分
（1） a = 0 时,(若 b=0 则 R( A) = 1, R( A ) = 2 ,若 b ≠ 0 则 R( A) = 2, R( A) = 3 ) 方程组 无解，即 β 不能用 α 1 , α 2 , α 3 线性表示 6分
（2） a ≠ 0, a − b ≠ 0 时， R( A) = R( A) = 3 ，方程组有唯一解，即 β 可由 α 1 , α 2 , α 3 唯 一地表示，求表示式：
1 2
1⎞ 3⎟ ⎟ 2⎟ ； 1 3⎟ ⎟ 3 1⎟ ⎟ 2 ⎠ 27 ；
9．已知向量组 α1 = (1, 2,3, 4 ) , α 2 = ( 2,3, 4,5 ) , α 3 = ( 3, 4,5, 6 ) , α 4 = ( 4,5, 6, 7 ) , 则该向量组的 秩为 2 ;
⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎛λ 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 10. 已知 A = 2 4 −2 ⎟ ， B = ⎜ ⎜ ⎜ 0 2 0 ⎟ ，且 A 于 B 相似，则 λ = ⎜ −3 −3 5 ⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 ⇒ β = (1 − 1 a )α1 + ( a + k )α 2 + kα 3 ，
中科院高代解答
中国科学院研究生院招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效 。
1.（20分）设pq是既约分数，1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，而且()0.pf q=证明 （1）0|p a ，而|n q a ； （2）对任意整数m ，有()|()p mq f m -.110()0 ())|(). , ()()(), n n p p f x f x qx p f x p q qx pq q f x qx p b x b --⎛⎫=--- ⎪⎝⎭=-++证明：由知,在有理数域上，，从而（因为互素，是一个本原多项式，故可设101000 (I),, |, |.n n n n b b a qb a pb q a p b --==-式中，，都是整数，比较两边系数，即得因此（2）由（I ）立得，对任意整数m ，有()|()p mq f m -.2. (20分) 设n 阶方阵1,(||)n i j n A i j ≤≤=-, 其行列式记为n D . 试证明 12440.n n n D D D --++= 并由此求出行列式n D . 证明：1211012.2131230n n n D n n n n --=---- 将第3行加到第1行，再减去第2行的2倍，得0200112210122013(2).213314123134n n n n D n n n n n n n n ---==---------再将第2列加到第1列，得1221222013(2)41424340012221222013013 (2)(2)414014243403444.n n n n n D n n n n n n n n n n n n n n n D D ----=---------=-+--------=-- 即12440.n n n D D D --++=上述差分方程的特征方程2440λλ++=有二重特征根2，故可设12()(2).n n D c nc =+-由120,1D D ==-可定出1211,44c c ==-．从而2(1)(2)n n D n -=---．3. (16分) 已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为2(1)λ-，试求 20112011.AA -220111201111011A (1)A .0101101020100=2011.0101020101111=01011 2011A A A A A X AX A A X λ--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-=解：由的特征多项式为可知的Jordan 标准形为或如果的Jordan 标准形为，那么，这时如果的Jordan 标准形为，则有可逆矩阵X,使，这时20111111111201111010101012010020100 .020*******X X X X X X X ---⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-2011-20114.（20分）设,,αβγ是3维线性空间V 的一组基，线性变换A 满足(+2+)=(3+4)=(4+5)=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩A A A ,,.试求A 在基,2,αβγγ+下的矩阵.解：由题设知+2+=3+4=4+5=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩,,.A A A A A A A 从而可求出+65,=-5+4,=43.ααβγββγγβγ=--A A A 于是有+65+3(2+)8,(2+)=6+53(2+)8,=432(2+)5.ααβγαβγγβγβγβγγγβγβγγ=-=--=-+-=-A A A所以A 在基,2,αβγγ+下的矩阵为100332885⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 5. (24分) 已知矩阵222254245-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A .(1) 求A 的特征多项式, 并确定其是否有重根; (2) 求一个正交矩阵P , 使得1PAP -为对角矩阵;(3) 令V 是所有与A 可交换的实矩阵全体,证明V 是一个实数域上的线性空间,并确定V 的维数. 解：（1）A 的特征多项式 2()||(1)(10).f E A λλλ=-=--（2）21055245353535122333P ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （3）设12,,B B V k R ∈∈，则1122,,AB B A AB B A ==从而 121211()(),()()A B B B B A A kB kB A +=+=，即121,B B V kB V +∈∈．又显然0V ∈，所以V 是的33R ⨯的一上线性子空间，从而是实数域上的线性空间．由1111PAP PBP PBP PAP ----=，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得 11121212233b b PBP b b b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 所以V 是5维的，111111112212233,,,,P E P P E P P E P P E P P E P -----就是V 的一组基. 6. (20分) 设,A B 是两个n 阶复方阵,1n >. (1) 如果AB BA =, 证明,A B 有公共的特征向量;(2) 如果AB BA B μ-=, 其中μ是一个非零复数,那么,A B 是否会有公共的特征向量?回答“是”请给出证明；回答“否”请给出反例. 证明 在nC 中定义线性变换,στ，使(),(),.n x Ax x Bx x C στ==∈则,στ的特征向量分别是,A B 的特征向量．（1）由AB BA =知σττσ=.设0λ是σ的特征值，00{|(),}nV x x x x C λσλ==∈. 对任意0V λα∈，(())()σταστα=()τσα=0(())()τσαλτα==，因而0()V λτα∈，即0V λ是τ的不变子空间．考虑0|V λτ，它是0V λ的一个线性变换，在复数域C 上必有特征值μ，即存在,0V λξξ∈≠，使()τξμξ=．由于0V λξ∈，故ξ是,στ的公共的特征向量，它也是,A B的公共特征向量．（2）AB BA B μ-=知σττσμτ-=，用数学归纳法容易证明对任意的正整数k ，有k k k k σττσμτ-=，于是有()()0k k k tr k tr μτσττσ=-=，从而0.k tr τ= 所以τ为幂零变换，即有正整数m 使0.mτ=这样0就是τ的特征值，设0{|()0}V ατα==，则对任意0V α∈有(())()()()0τσατσασταμτα==-=，即0()V σα∈．就是说0V 是σ的不变子空间．与(1)类似可证,στ有公共的特征向量，它也是,A B 的公共特征向量． 7. (15分) 设A 是n 阶实方阵,其特征多项式有如下分解 1212()det()()()(),s r rrs p E A λλλλλλλλ=-=---其中E 为n 阶单位方阵,诸i λ两两不相等. 试证明A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数等于特征子空间i V λ的维数. 证明：设A 的Jordan 标准形为11rr t J J J J +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中j J 为j j n n ⨯Jordan 块，1,...,j t =．1,...,r J J 是以i λ为特征值的全部Jordan 块. 则 1,1;(),1.j i j j j n j r rank E J n r j t λ-≤≤⎧-=⎨+≤≤⎩于是1()()().ti i ijjj rank E A rank E J rank E J n r λλλ=-=-=-=-∑ 所以特征子空间iV λ的维数为r ，恰为A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数.8. (15分) 设A 是n 阶实方阵,证明A 为实对称矩阵当且仅当2TAA A =, 其中TA 表示矩阵A 的转置.证明：必要性．当A 为实对称矩阵时，显然有2TAA A =．充分性．当2T AA A =时，()()()()()T T T T T T T T T T T T T TTr A A A A Tr AA AA A A A A Tr A A A A Tr A A A A --=--+=-=- ()()0T TTr A A AA Tr AA AA =-=-=，而TA A -为实矩阵，故0TA A -=，即TA A =．。
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特征向量为： ， ，
所求的基为： ， 。
六、（15分）
已知二次型 的正交标准型为 ，求参数 、 。
解： 对应的矩阵为 ，因为其正交标准型为 ，
所以 的特征值为 ，
由： ，
知：
七、（40分）
1． 、 都是 的线性子空间，且 也为线性子空间，
求证：要么 ，要么 。
证明：反证法。若结论不成立，则 不成立，从而存在 ，但 。
1．设 为 阶实可逆方阵（ ），则A
A） 为正定阵；B） 为正定阵；
C） 为正交阵；D） 为正交阵。
2． ， ，已知线性方程组
有唯一解，则D
A） ；B） ；
C） ；D） 。
3． 为3阶实方阵，特征值为0，1，-2，则C
A） 可逆；B） 可逆；
C） 可逆；D） 可逆。
4． 是 维欧氏空间， 与 为 的两个基，分别记为Ⅰ与Ⅱ， 为由Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵。则错误的命题为C。
一、填空（共5小题30分）
1． 为 阶实矩阵，已知 ，则线性子空间 的维数为：
2． ，在复数域中将 分解成不可约多项式的乘积，
则
= 。
3．向量组 ， ， 线性无关的充分必要条件是： 且 。
4．已知 为实正定二次型，
则： 。
5．写出一个3阶方阵，使得它不与对角阵相似。答：
二、单项选择题（共5小题30分）
A）若Ⅰ与Ⅱ都为标准正交基，则 为正交阵。
B）若Ⅰ为标准正交基， 为正交阵，则Ⅱ为标准正交基；
C） ；
D） 。
5．向量组 线性无关，而向量组 线性相关则B。
A） 线性相关；
B） 可被 线性表出。
C） 可被 线性表出；
D） 不能被 线性表出。
三、（10分）
求出多项式 的全部根。
解：
所以根为：
， ，
四、（10分）
已知 是齐次线性方程组 的基础解系，问 ， 满足什么条件时，向量组 ， ， ， ， 也是该方程的基础解系。
解： 为基础解系的充分必要条件是 线性无关。
而这又等价于
， 。
五、（15分） 为 中的变换：对任何 ， 。
求一组基，使得 在此基下的矩阵 ，
所以 在基 下的矩阵为： ，
，所以 ，进而
同上可知： 。 。
4． 为复数域上的 阶方阵，求证 与 相似。
证明：因为 与 有相同的行列式因子，所以 与 相似。
同时 也不成立，存在 ，但 。
考察 ，则 （否则
同时 （否则
所以
可是 为线性空间，由 ， 知
，矛盾！
2． 为 阶矩阵， 为 阶矩阵，若 有解，
求证：行列式 的值为0
证明：因为 有解，所以 ，所以
3． 为 阶上三角阵（即当 时时，有 ），求证如果 为正交阵，且对角元均非负，则 为单位阵。
证明：设 的列向量依次为： ，因为 为正交阵，所以： ， ， ，（因为对角元非负）
姓名：报考学科、专业：准考证号码：
密封线内不要写题
二O一0年招收硕士研究生入学考试参考答案
考试科目及代码：高等代数（）
适用专业：
答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。
考试时间3小时，总分值150分。
注意：以下试题中： 表示 的伴随矩阵， 表示 的转置， 表示 的对角元素的和， 表示 的秩。