2020版高考数学新增分大一轮新高考专用课件：第三章微专题三

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2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.6

大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.6对数与对数函数NEIRONGSUOYIN 内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE1.对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作____，其中叫做对数的底数，叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝；②log a ＝；③log M n ＝(n ∈R ).x ＝log a N a N 知识梳理ZHISHISHULIlog a M ＋log a N M N log a M －log a N n log a M(2)对数的性质①＝；②log a a N ＝(a >0，且a ≠1).(3)对数的换底公式log a b ＝(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0).N N log a N a log c b log c a3.对数函数的图象与性质y ＝log a x a >10<a <1图象定义域(1)________值域(2)___性质(3)过定点，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，；当0<x <1时，____(5)当x >1时，；当0<x <1时，____(6)在(0，＋∞)上是_______(7)在(0，＋∞)上是_______4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数(a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称.(0，＋∞)R(1,0)y >0y <0y <0y >0增函数减函数y ＝log a x y ＝x1.根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？提示log a b ·log b a ＝1；②化简.【概念方法微思考】log m na b 提示＝log a b .log m na b n m2.如图给出4个对数函数的图象.比较a，b，c，d与1的大小关系.提示0<c<d<1<a<b.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .()(2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y ).()(3)函数y ＝log 2x 及y ＝3x 都是对数函数.()(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数.()(5)函数y ＝ln 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.()(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a ,1)，，函数图象只在第一、四象限.()基础自测JICHUZICE13log ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ，－1 1＋x 1－x √××××√2.[P74T3]lg 427－＋lg 75＝ . 题组二教材改编23lg812 解析原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5 ＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.3.[P82A 组T6]已知a ＝213－，b ＝log 213，c ＝ 13，则a ，b ，c 的大小关系为 .c >a >b ∴c >a >b .12log 解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝ 13＝log 23>1. 12log4.[P74A 组T7]函数y ＝的定义域是.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1 ∴12<x ≤1. 23log (21)x -解析由(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.23log ∴函数y ＝的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1. 23log (21)x -5.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c题组三易错自纠√6.已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是A.a>1，c>1B.a>1,0<c<1√C.0<a<1，c>1D.0<a<1,0<c<1解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a<1，∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logx的图象向左平移不到1个单位后得到的，a∴0<c<1.7.若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为.24 由条件得1＝3(1＋log a 2)，解得a －2＝8，所以a ＝24.解析因为0＜a ＜1，所以f (x )在[a ,2a ]上是减函数.所以f (x )max ＝f (a )＝log a a ＝1，f (x )min ＝f (2a )＝log a 2a ＝1＋log a 2，2题型分类深度剖析PART TWO1.(2018·湖州中学期中)设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，那么 A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2b D.2c ＝1a ＋2b 题型一对数的运算解析设3a ＝4b ＝6c ＝k ，所以a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，自主演练变形为1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1c ＝log k 6，所以2c ＝log k 36，2a ＋1b ＝log k 36，故2c ＝2a ＋1b .√2.(2013·浙江)已知x，y为正实数，则A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg yB.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y√C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg yD.2lg(xy)＝2lg x·2lg y 解析2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.3.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ . 解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64 ＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64 ＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1. 14.设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝.6解析∵函数f (x )＝3x ＋9x ，∴()224339log log log 3log 2392924 6.f +++＝＝＝＝思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.对数函数的图象及应用例1(1)若函数y＝loga x(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是师生共研√解析由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，1 C.(1，2) D.(2，2)√当0<a <1画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12上的图象，时，解析构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，1.解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在上有解，则实数a 的取值范围为.引申探究⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.跟踪训练1(1)(2018·浙江台州三区三校适应性考试)若log2＜log b2＜0，则下a列结论正确的是√A.0＜a＜b＜1B.0＜b＜a＜1C.a＞b＞1D.b＞a＞1解析方法一由log a 2＜log b 2＜0，得1log 2a ＜1log 2b ＜0，∴log 2b ＜log 2a ＜0＝log 21. 又函数y ＝log 2x 是增函数，所以0＜b ＜a ＜1，故选B.方法二由对数函数的性质可知，0＜a ＜1,0＜b ＜1，排除C ，D.取a ＝12，b ＝14，则log a 2＝ 2＝－1，log b 2＝ 2＝－12， 12log 14log 满足log a 2＜log b 2＜0.故b ＜a ，故选B.(2)已知函数f (x )＝且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是.(1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例2设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则A.a >b >cB.b >c >aC.a >c >bD.c >b >a√多维探究解析a ＝1＋log 43，b ＝1＋log 53，c ＝1＋log 63，∵log 43>log 53>log 63，∴a >b >c .命题点2解对数方程、不等式例3(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为.解析原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，x＝5即x2－1＝4，解得x＝±5，又x>1，所以x＝ 5.(2)已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12 解析原不等式⇔①⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1，或②⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解.所以实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12.命题点3对数函数性质的综合应用例4(1)若函数f(x)＝log(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a2的取值范围是A.(－∞，4)B.(－4,4]√C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D.[－4,4)解析由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则a2－(－2)a－3a>0，2≥－2且(－2)解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.(2)函数f (x )＝log 2x ·log (2x )的最小值为 . －14 解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.2思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.跟踪训练2(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则A.a >c >bB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b 解析a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1.又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大.√由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为.解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上单调递减，[1,2)则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2).综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，83. (3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是.解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴a >4，且a <4，故不存在.⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，83比较大小问题是每年高考的必考内容之一.(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，若指数相同而底数不同，则构造幂函数，若底数相同而指数不同，则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.高频小考点GAOPINXIAOKAODIAN 比较指数式、对数式的大小例(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.2，则a，b，c的大小关系是0.3A.c<b<aB.a<b<c√C.b<a<cD.a<c<b解析根据幂函数y＝x0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；根据对数函数y＝logx的单调性，0.3可得log0.2>log0.30.3＝1，即c>1.0.3所以b<a<c.(2)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是√A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a解析∵a＝60.4>1，b＝log0.5∈(0,1)，0.4c＝log80.4<0，∴a>b>c.故选B.(3)(2018·浙大附中模拟)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2，则下列关系中不可能成立的是√A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b解析由log2<log b2<log c2的大小关系，可知a，b，c有四种可能：a①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.对照选项可知A中关系不可能成立.∴0<a ＋b ab <1，∴ab <a ＋b <0.(4)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则A.a ＋b <ab <0B.ab <a ＋b <0C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b√解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，3课时作业PART THREEA.14 B.12 C.2 D.4 1.log 29·log 34等于√基础保分练解析方法一原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4. 方法二原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2.(2018·杭州教学质检)设函数f (x )＝|ln x |(e 为自然对数的底数)，满足f (a )＝f (b )(a ≠b )，则A.ab ＝e eB.ab ＝eC.ab ＝D.ab ＝1解析∵|ln a |＝|ln b |且a ≠b ，∴ln a ＝－ln b ，∴ab ＝1.√1e解析因为log30.2＜0,0＜0.23＜1,30.2＞1，所以log30.2＜0.23＜30.2，故选A.3.(2019·丽水模拟)下列不等式正确的是A.log30.2＜0.23＜30.2B.log30.2＜30.2＜0.23C.0.23＜log30.2＜30.2D.30.2＜log30.2＜0.23√4.(2018·浙江名校协作体联考)若a＞b＞1,0＜c＜1，则A.a c＜b cB.ab c＜ba cC.a log b c＜b log a cD.log a c＜log b c解析因为a＞b＞1,0＜c＜1，所以c b＞c a，则b loga c＝log a c b＞logbc b＞log b c a＝a log b c，故选C.√5.若m ＋2n ＝20(m ，n ＞0)，则lg m ·(lg n ＋lg 2)的最大值是A.1B. 2C. 3D.2解析 lg m ·(lg n ＋lg 2)＝lg m ·lg 2n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg m ＋lg 2n 22＝lg 2(m ·2n )4，从而lg m ·(lg n ＋lg 2)≤1，当且仅当m ＝10，n ＝5时，等号成立，故选A.√又因为m ＋2n ＝20≥22mn ，所以mn ≤50，。

2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.2

大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.2函数的单调性与最值NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数1.函数的单调性(1)单调函数的定义f (x 1)<f (x 2)f (x 1)>f (x 2)知识梳理ZHISHISHULI图象描述自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是或，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，叫做y ＝f (x )的单调区间.上升的下降的增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有；(2)存在x 0∈I ，使得_________(3)对于任意的x ∈I ，都有；(4)存在x 0∈I ，使得________结论M 为最大值M 为最小值f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？【概念方法微思考】提示对任意x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似.2.写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间. 提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.()(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.()(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(4)函数y ＝|x |在R 上是增函数.()×基础自测JICHUZICE√××(5)函数y ＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.()√×1x题组二教材改编2.[P39B 组T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是_______________________.[1，＋∞)(或(1，＋∞))3.[P31例4]函数y ＝在[2,3]上的最大值是_____.22x －14.[P44A组T9]若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取(－∞，2]值范围是__________.解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.5.函数y ＝(x 2－4)的单调递减区间为_________.(2，＋∞)题组三易错自纠12log解析由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－a 2，＋∞，令－a 2＝3，得a ＝－6. 6.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________.－6当且仅当x ＝2时，取等号；解析 f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，7.(2015·浙江)已知函数f (x )＝则f (f (－3))＝_____，f (x )的最小值是________.0当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1， 22－3 ∴f (x )的最小值为22－3.2题型分类深度剖析PART TWO解析由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间.∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞).题型一确定函数的单调性(区间)命题点1给出具体解析式的函数的单调性例1(1)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)√多维探究[－1,0]，[1，＋∞)(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________.解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图.由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞).命题点2解析式含参数的函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋(其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性.1x解函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增. 证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4，1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14. 又因为1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x如何用导数法求解本例？引申探究解 ∵f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2， ∵1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，又1＜a ＜3，∴2ax 3－1＞0，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数.思维升华确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法.(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”.(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1(1)设函数f(x)与g(x)的定义域为R，且f(x)单调递增，F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x).若对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，不等式[f(x1)－f(x2)]2＞[g(x1)－g(x)]2恒成立.则2√A.F(x)，G(x)都是增函数B.F(x)，G(x)都是减函数C.F(x)是增函数，G(x)是减函数D.F(x)是减函数，G(x)是增函数解析对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，不等式[f (x 1)－f (x 2)]2＞[g (x 1)－g (x 2)]2恒成立，不妨设x 1＞x 2，∵f (x )单调递增，∴f (x 1)－f (x 2)＞g (x 1)－g (x 2)，且f (x 1)－f (x 2)＞－g (x 1)＋g (x 2)，∵F (x 1)＝f (x 1)＋g (x 1)，F (x 2)＝f (x 2)＋g (x 2)，∴F (x 1)－F (x 2)＝f (x 1)＋g (x 1)－f (x 2)－g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)－(g (x 2)－g (x 1))＞0，∴F (x )为增函数；同理可证G (x )为增函数，故选A.(2)函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32.题型二函数的最值(值域)1.(2017·浙江)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －mA.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关自主演练√解析方法一设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关.故选B.方法二由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定.随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关.随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B.2.(2018·宁波九校联考)设函数f (x )＝log 2x ＋ax ＋b (a ＞0)，若存在实数b ，使得对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ，则t 的最小值是A.2B.1C.34D.23 √解析f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ，可得－1－a ≤f (x )≤1＋a 恒成立，∴－1－a ≤f (x )min ＝f (t )＝log 2t ＋at ＋b ，①1＋a ≥f (x )max ＝f (t ＋2)＝log 2(t ＋2)＋a (t ＋2)＋b ，即－1－a ≤－log 2(t ＋2)－a (t ＋2)－b ，②①＋②可得－2－2a ≤log 2t ＋at ＋b －log 2(t ＋2)－a (t ＋2)－b ，化为log 2t t ＋2≥－2，解得t t ＋2≥14，解得t ≥23，则t 的最小值为23.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________.26－6 解析当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.4.若函数f (x )＝的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋ln x ，x ＞1，2x ＋a ，x ≤1 [－1,2]解析依题意，y ＝2x ＋a (x ≤1)，y ＝a 2＋ln x (x ＞1)在各自的定义域上单调递增，由函数f (x )的值域为R ，得2＋a ≥a 2，解得－1≤a ≤2.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 题型三函数单调性的应用命题点1比较大小例3已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c √多维探究 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，解析根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.命题点2解函数不等式例4若f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是A.(8，＋∞) B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)√解析2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，例5 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，13C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫17，13D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫17，1 命题点3求参数范围(或值)√解析由f (x )是减函数，得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 3a －1＜0，0＜a ＜1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫17，13.(2)已知e x ＋x 3＋x ＋1＝0，－27y 3－3y ＋1＝0，则e x ＋3y 的值为________.1解析根据题意有x 与－3y 满足同一个方程，e m ＋m 3＋m ＋1＝0，令f (m )＝e m ＋m 3＋m ＋1，因为f ′(m )＝e m ＋3m 2＋1＞0，所以f (m )是增函数，所以f (m )＝0只有唯一解，所以x ＝－3y ，所以x ＋3y ＝0，所以有e x ＋3y ＝1.1e3y思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，2. 跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有 f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，2 解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且＝0，则不等式f (x )>0的解集为__________________. f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 19log ⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫0<x <13或1<x ＜3 解析由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增.∴f ( x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12或f ( x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12， 19log 19log ∴ x >12或－12< x <0， 19log 19log 解得0<x <13或1<x <3. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫0<x <13或1<x <3.3课时作业PART THREE1.(2018·台州路桥中学检测)如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是A.a ≤－3B.a ≥－3C.a ≤5D.a ≥5解析由题意得，函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ，所以二次函数的单调递减区间为(－∞，1－a ]，又函数在区间(－∞，4]上单调递减，所以1－a ≥4，所以a ≤－3.√基础保分练A.(－∞，1]B.[3，＋∞)C.(－∞，－1]D.[1，＋∞)2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为 √解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞).3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，13 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，13 √解析当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0， ∴f (x )是R 上的减函数.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ，x ≤1，log a x ＋13，x >1， ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 0<1－2a <1，0<a <1，1－2a ≥13， ∴0<a ≤13.4.(2019·湖州质检)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若＝1，则f (e)等于A.2 B.1 C.0 D.ef ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )－ln x √解析由题意得f (x )－ln x 为常数，设为a ，则f (a )－ln a ＝a ，又f (a )＝1，∴1－ln a ＝a ，∴a ＝1，因此f (e)＝ln e ＋1＝2.5.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，134B.(－∞，－3)C.(－3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫134，＋∞ √则g (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，解析依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立.设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝134，因此a >134，故选D.6.(2018·浙江镇海中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4，x ≤3，2＋log a x ，x ＞3(a ＞0，且a ≠1)的值域为[3，＋∞)，则实数a 的取值范围为A.(1,3]B.(1,3)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)√解析当x ≤3时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3的值域为[3，＋∞)，当x ＞3时，2＋log a x ≥3，即x ＞3时，log a x ≥1＝log a a ，a ＞1，且x ＞3时x ≥a 恒成立.∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是(1,3].7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________.解析∵f (x )在R 上是奇函数，－f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫log 215，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 24.1， a >b >c ∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第三章 3.2 导数的应用第1课时

§3.2导数的应用最新考纲 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，以及在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)．1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)≥0，右侧f′(x)≤0x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0图象极植f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．概念方法微思考1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示必要不充分题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ ) (2)函数的极大值一定大于其极小值．( × )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 题组二教材改编2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值答案 C解析在(4,5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )是增函数． 3．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．答案 (0，＋∞)解析由f ′(x )＝e x －1>0，解得x >0，故其单调递增区间是(0，＋∞)． 4．当x >0时，ln x ，x ，e x 的大小关系是________．答案 ln x <x <e x解析构造函数f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1，可得x ＝1为函数f (x )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x )≤f (1)＝－1<0，所以ln x <x .同理可得x <e x ，故ln x <x <e x . 5．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．答案227a 3 解析容积V ＝(a －2x )2x,0<x <a2，则V ′＝2(a －2x )×(－2x )＋(a －2x )2＝(a －2x )(a －6x )，由V ′＝0得x ＝a 6或x ＝a 2(舍去)，则x ＝a6为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V max ＝227a 3. 题组三易错自纠6．函数f (x )＝x 3＋ax 2－ax 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax －a ≥0在R 上恒成立，即4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－3,0]．7．(2018·郑州质检)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．答案－4解析 f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，且f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根，则a ＝(－1)×4＝－4.8．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.9．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫32，4解析 f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.第1课时导数与函数的单调性题型一不含参函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 答案 B解析由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选B. 2．函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1的递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)答案 D解析由f (x )＝x ·e x －e x ＋1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ，令f ′(x )>0，解得x >e －1，所以函数f (x )的递增区间是(e －1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调递减区间是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 解析因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是______________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 思维升华确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型二含参数的函数的单调性例1 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增．思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练1 已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性．解由题意得f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a >0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2aa. ①当0<a <1时，令f ′(x )>0，则x <0或x >2－2aa ，令f ′(x )<0，则0<x <2－2aa；②当a ＝1时，f ′(x )≥0在R 上恒成立； ③当a >1时，令f ′(x )>0，则x >0或x <2－2aa ，令f ′(x )<0，则2－2aa<x <0.综上所述，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2－2a a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，2－2a a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫2－2a a ，0上单调递减．题型三函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式例2 (1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3，若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0答案 A解析因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0. 由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1,2)，又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0. 综上可知，g (a )<0<f (b )．(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b 答案 D解析设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，所以 2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a (m －2 019)f (2)，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,2 019) B ．(2 019，＋∞) C ．(2 021，＋∞) D ．(2 019,2 021)答案 D解析令h (x )＝f (x )x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵xf ′(x )－f (x )<0，∴h ′(x )<0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∵2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，m －2 019>0， ∴f (m －2 019)m －2 019>f (2)2，即h (m －2 019)>h (2)． ∴m －2 019<2且m －2 019>0，解得2 019<m <2 021. ∴实数m 的取值范围为(2 019,2 021)．(4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________．答案 (－∞，－2)∪(0,2)解析 ∵当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2 根据函数单调性求参数例3 (2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)．引申探究1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围．解因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则h ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集． (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2 (1)(2018·安徽江南十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(0,3]答案 A解析 ∵f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x，∴由f ′(x )≤0，解得0<x ≤3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.(2)(2018·乐山期末)若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－∞，2) D ．(－∞，2]答案 D解析由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －ax ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，∵当x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： ①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．例已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解 g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1. 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12，由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a，若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案D解析因为f(x)＝(x－3)e x，所以f′(x)＝e x(x－2)．令f′(x)>0，得x>2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．2．(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案C解析由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.3．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 答案 A解析因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. 5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件． 6．若f (x )＝ln xx ，e<a f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1 答案 A解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，所以f (a )>f (b )．7．已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x < f (x )cos x ，则( ) A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1) C.2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4 D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3 答案 A解析令g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x ，由已知g ′(x )<0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫π4>g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π422>f ⎝⎛⎭⎫π332， ∴3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3. 8．(2018·昆明调研)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．答案 {x |x <－1或x >1} 解析设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减． ∵f (x 2)<x 22＋12， ∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．9．已知g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x 在[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－72 解析 g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ，由已知得g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立，可得a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．又当x ∈[1,2]时，⎝⎛⎭⎫1x －x 2min ＝12－4＝－72. ∴a ≤－72.10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x >0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，由g (x )>g (1)＝0，得f (x )x >0，所以f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，由g (x )<g (－1)＝0，得f (x )x <0，所以f (x )>0. 综上知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 (－∞，－1)∪(0,1)．11．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数k 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)f ′(x )＝1x－ln x －k e x(x >0)．又由题意知f ′(1)＝1－ke ＝0，所以k ＝1.(2)f ′(x )＝1x－ln x －1e x (x >0)．设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，所以f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，所以f ′(x )<0. 综上，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．12．(2018·信阳高级中学模拟)已知函数f (x )＝be x －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．解因为f (0)＝b －1，所以过点(0，b －1)，(2，－2)的直线的斜率为k ＝b －1－(－2)0－2＝－b ＋12，而f ′(x )＝－be x ，由导数的几何意义可知，f ′(0)＝－b ＝－b ＋12，所以b ＝1，所以f (x )＝1e x －1.则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1e x ，当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立；当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ，由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减；当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．13．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( ) A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3答案 B解析 ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，令g (x )＝f (x )x2，∴g (x )＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，又由2f (x )<3f (x )，得f (x )>0，即f (2)f (1)>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，令h (x )＝f (x )x3，∴h (x )＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8. 综上，4<f (2)f (1)<8.14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 由题意知，f ′(x )>0在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－6x 2＋4，则g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝________. 答案 0解析 g ′(x )＝6x 2－12x ，∴g ″(x )＝12x －12，由g ″(x )＝0，得x ＝1，又g (1)＝0，∴函数g (x )的对称中心为(1,0)，故g (x )＋g (2－x )＝0，∴g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝g (1)＝0. 16．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．解 f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x (x >0)，①当0<a <1时，1a>1，由f ′(x )>0，解得x >1a 或0<x <1，由f ′(x )<0，解得1<x <1a.②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立． ③当a >1时，0<1a<1，由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a ，由f ′(x )<0，解得1a<x <1.综上，当0<a <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞和(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用名师课件：第三章微专题三

方法一 f′(x)＝2cos x＋2cos 2x，由f′(x)＝0得， 2cos2x＋cos x－1＝0，解得 cos x＝12或 cos x＝－1. 所以 sin x＝ 23或 sin x＝－ 23或 sin x＝0. 当 sin x＝ 23，cos x＝12时，f(x)＝32 3；
当 sin x＝－ 23，cos x＝in x＝0，cos x＝－1 时，f(x)＝0.
由三角函数的连续性和有界性，结合极值的概念得
f(x)min＝－3
2
3 .
分析2 从周期的角度考虑，可以判断本函数的周期为2π.用函数在[0,2π]内的最小值作为函数的最小值.整体不易突破，可从局部入手，结合图象变换知，最小值出现在 32π，2π 之内，此时可以统一角和三角函数名称，换元后将问题转化成求高次函数的最值. 方法二由y＝2sin x的最小正周期为2π，y＝sin 2x的最小正周期为π，由最小公倍数法知，f(x)的最小正周期为2π. 下面在(0,2π)内研究本函数：当 x∈0，π2时，y＝2sin x>0，y＝sin 2x>0；
g(x)＝－t4－2t3＋2t＋1，t∈[0,1]. 利用导数可以证明，g(x)≤g12＝2176. 所以 f(x)≥－2 2176＝－32 3. 因此，f(x)min＝－32 3.
分析3 本题基本背景是三角函数，那么对于角的处理极为重要.本题中可以考虑用同角三角函数的平方关系、二倍角、扩角降幂等知识处理函数，从方法二可以发现最后的函数形式还是稍微有些复杂.我们可以再做角的文章，以期简化函数，方便解答. 方法三结合方法二，f(x)的最小值出现在32π，2π之内.此时，f(x)＝2sin x(1＋cos x)
≤634×3sin22x＋cos22x＋4 cos2x2＋cos22x4 ＝634×344＝247. 所以 f(x)≤32 3. 因此，f(x)max＝32 3.易判定本函数为奇函数，所以 f(x)min＝－32 3.

2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第三章 3.1 导数的概念及运算 Word版含解析

§3.1 导数的概念及运算最新考纲1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx→0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|，即f ′(x 0)＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．概念方法微思考1．根据f ′(x )的几何意义思考一下，|f ′(x )|增大，曲线f (x )的形状有何变化？提示|f ′(x )|越大，曲线f (x )的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×) (3)(2x )′＝x ·2x －1.(×) 题组二教材改编2．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝. 答案2e解析∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为．答案2x －y ＋1＝0解析∵y ′＝2(x ＋2)2，∴y ′|x ＝－1＝2.∴所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 题组三易错自纠4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是()答案D解析由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．若f (x )＝sinxx ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 答案－4π2解析∵f ′(x )＝xcosx －sinxx2，∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2. 6．(2017·天津)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为．答案1解析∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)．令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f (x )＝sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos2x 4，则f ′(x )＝. 答案－12cos x解析因为y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以y ′＝⎝⎛⎭⎫－12sinx ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . 2．已知y ＝cosxex ，则y ′＝________.答案－sinx ＋cosx ex解析y ′＝⎝⎛⎭⎫cosx ex ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2 ＝－sinx ＋cosx ex.3．f (x )＝x (2019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2020，则x 0＝. 答案1解析f ′(x )＝2019＋ln x ＋x ·1x ＝2020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2020，得2020＋ln x 0＝2020，∴x 0＝1. 4．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝. 答案－4解析∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.思维升华1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． 2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案A解析由f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，知f (x )＝2x －1x ＝2－1x .∴f ′(x )＝1x2，∴f ′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k ＝1.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案x －y －1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y0＝x0lnx0，y0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2求参数的值例2(1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝. 答案1解析由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. (2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝. 答案－2解析∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，∴m ＝－2.命题点3导数与函数图象例3(1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B. (2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝.答案0解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练(1)(2018·全国Ⅰ)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是．答案y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解析设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， ∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2， ∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)，即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)设曲线y ＝1＋cosxsinx在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝.答案－1解析∵y ′＝－1－cosxsin2x ，∴y ′＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.(3)(2018·开封模拟)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，2)解析函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2等于() A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π答案C解析因为f ′(x )＝－1x2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2．(2018·衡水调研)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为() A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln2答案B解析由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知，ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，即x 0＝e.3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是() A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0 答案C解析y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能是()答案C解析原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增；当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 5．已知点P 在曲线y ＝4ex ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.⎣⎡⎭⎫3π4，πB.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫0，π4 答案A解析求导可得y ′＝－4ex ＋e －x ＋2，∵e x ＋e －x ＋2≥2ex·e －x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时，等号成立，∴y ′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，又α∈[0，π)，∴3π4≤α<π.6．(2018·广州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为() A ．eB ．－eC.1e D ．－1e答案C解析y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|＝1x0，切线方程为y －ln x 0＝1x0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.7．(2018·鹰潭模拟)已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为．答案(－2,9)解析∵f (x )＝2x 2＋1，∴f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2，∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2,9)． 8.已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________.答案2解析设切点坐标为(m ，n )(m >0)，对y ＝14x 2－3ln x 求导得y ′＝12x －3x ，可令切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得m ＝2(舍去负值).9．若曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y ＝12x ＋b ，则实数b 的值为．答案－1＋ln2解析由y ＝ln x ，可得y ′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，由曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y ＝12x ＋b ，可得1x0＝12，解得x 0＝2，则切点坐标为(2，ln2)，所以ln2＝1＋b ，b ＝－1＋ln2. 10．(2018·云南红河州检测)已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，则a ＝______. 答案1－e解析因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故y ＝x 2＋a 可联立y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.11.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为．(用“<”连接) 答案(1)1(2)h (0)<h (1)<h (－1)解析(1)由题图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ， g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)．12．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0.13．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫－∞，1eB.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)答案B解析由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可，故选B.14．(2018·泰安模拟)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，求a ＋b 的值．解依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，得b ＝0.又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.15．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝5x ＋4sinx －cos x 的“拐点”是M (x 0，f (x 0))，则点M ()A ．在直线y ＝－5x 上B ．在直线y ＝5x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上答案B解析由题意，知f ′(x )＝5＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由f ″(x 0)＝0，知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝5x 0，故点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝5x 上．16．已知函数f (x )＝x －3x. (1)求曲线f (x )过点(0，－3)的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解(1)f ′(x )＝1＋3x2，设切点为(x 0，y 0)，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x20·(x －x 0)， ∵切线过(0，－3)，∴－3－⎝⎛⎭⎫x0－3x0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x20·(－x 0)，解得x 0＝2，∴y 0＝12， ∴所求切线方程为y －12＝74(x －2)，即y ＝74x －3.(2)设P (m ，n )为曲线f (x )上任一点，由(1)知过P 点的切线方程为y －n ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m2(x －m )，即y －⎝⎛⎭⎫m －3m ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m2(x －m )，令x ＝0，得y ＝－6m，从而切线与直线x ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫0，－6m ，令y ＝x ，得y ＝x ＝2m ，从而切线与直线y ＝x 的交点为(2m,2m )，∴点P (m ，n )处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪－6m ·|2m |＝6，为定值．。

2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.1

大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.1函数及其表示NEIRONGSUOYIN 内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE函数映射两个集合A ，B 设A ，B 是两个__________设A ，B 是两个非空______对应关系f ：A →B 如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的一个数x ，在集合B 中都有的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的一个元素x ，在集合B 中都有的元素y 与之对应名称称为从集合A 到集合B 的一个函数称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射1.函数与映射任意唯一确定非空数集集合知识梳理ZHISHISHULI任意唯一确定f ：A →B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的；与x 的值相对应的y 值叫做，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的.(2)函数的三要素：、和.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有、和.定义域函数值值域定义域对应关系值域解析法图象法列表法3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.对应关系并集并集请你概括一下求函数定义域的类型？提示(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；(4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；【概念方法微思考】(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .()(2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()(4)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点.()(5)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射.()(6)分段函数是由两个或几个函数组成的.()×√基础自测JICHUZICE×√××题组二教材改编[－3,6)2.[P74T7(2)]函数f(x)＝x＋3＋log2(6－x)的定义域是________.[－3,0]∪[2,3] 3.[P25B组T1]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是____________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是______________.[1,5][1,2)∪(4,5]题组三易错自纠4.已知f (x )＝若f (a )＝2，则a 的值为A.2 B.－1或2C.±1或2 D.1或2⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2，x ≥0，－x 2＋3，x <0， √解析当a ≥0时，2a －2＝2，解得a ＝2；当a <0时，－a 2＋3＝2，解得a ＝－1.综上，a 的值为－1或2.故选B.2 5.已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为______.解析当x≥0时，f(x)＝x2，f(x)＝4，即x20＝4，解得x0＝2.当x<0时，f(x)＝－x2，f(x)＝4，即－x20＝4，无解，所以x0＝2.[－1，＋∞) 6.若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是____________. 解析因为x－4有意义，所以x－4≥0，即x≥4.又因为y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，所以y＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.min所以其值域为[－1，＋∞).2题型分类深度剖析PART TWO解析A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B.1.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是题型一函数的概念自主演练√2.有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数； ②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数； ③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________.②解析对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确；对于③，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f (0)＝1，故③不正确. 综上可知，正确的判断是②.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).命题点1 求函数的定义域例1 (1)(2018·浙江名校协作体联考)函数f (x )＝lg (1－x －2)的定义域为A.(2,3)B.(2,3]C.[2,3)D.[2,3] 题型二函数的定义域问题√多维探究解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x －2＞0，x －2≥0得2≤x ＜3，所以函数f (x )＝lg(1－x －2)的定义域为[2,3)，故选C.(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2018]，则函数g (x )＝的定义域是A.[－1,2017] B.[－1,1)∪(1,2017]C.[0,2018] D.[－1,1)∪(1,2018] f (x ＋1)x －1 √解析使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2018，解得－1≤x ≤2017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2017].所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2017].本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2018]，”则函数g (x )＝的定义域为________________.引申探究f (x ＋1)x －1[－2,1)∪(1,2 016]解析由函数f (x －1)的定义域为[0,2018].得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1，则－2≤x ≤2 016且x ≠1. 所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2016].由①②得0≤m ＜34. 命题点2 已知函数的定义域求参数范围例2 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，34 √解析要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立，①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0，得0＜m ＜34，(2)若函数f (x )＝的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为_____.ax 2＋abx ＋b 解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集.不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32，b ＝－3，－92 所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.跟踪训练1 (1)函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2， (0,2]故所求函数的定义域为(0,2].解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， (2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为，则函数y ＝f (x )的定义域为________.[－3，3] [－1,2]∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2].(3)若函数f (x )＝的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是______.mx 2＋mx ＋1 [0,4]解析当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4].题型三求函数解析式师生共研例3 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为____________________. f (x )＝lg 2x －1(x ＞1) 解析换元法：令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，所以t ＞1且x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1).(2)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为______________.f (x )＝x 2－x ＋3解析待定系数法：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3.(3)函数f (x )满足方程2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x ≠0，则f (x )＝____________________. 43x －23x (x ∈R 且x ≠0) 解析解方程组法：因为2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝2x ， ① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋f (x )＝2x . ② 由①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ，得3f (x )＝4x －2x . 所以f (x )＝43x －23x (x ∈R 且x ≠0).函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)消去法：已知f (x )与或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．思维升华f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1xx2－1(x≥1)跟踪训练2(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为f(x)＝____________. 解析方法一设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1).方法二因为x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1).(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝____________.x2＋2x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.f(x)＝2x (3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________.解析因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，所以f(x)＝2x.题型四分段函数命题点1求分段函数的函数值例4(2018·台州期末)已知函数f (x )＝则f (0)＝___，f (f (0))＝__.解析由题意得f (0)＝20＝1，则f (f (0))＝f (1)＝log 31＝0.多维探究⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜1，log 3x ，x ≥1， 10命题点2分段函数与方程、不等式问题例5(2018·浙江十校联盟高考适应性考试)已知函数f (x )＝若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________.⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，－3解析方法一当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无解.当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.方法二由题意知f (1)＝2＞0，故由f (a )＋f (1)＝0，结合指数函数的性质知a ≤0，且f (a )＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是_____________. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，＋∞解析由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论.当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立.当x ＞12时，原不等式为2x ＋＞1，显然成立.综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，＋∞. 122x -思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.跟踪训练3 (1)(2018·宁波期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2，x ≤1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12x －1，x ＞1，则f (f (2))等于A.－2B.－1C.D.0 3122--√解析 f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin π6－1＝f (0)＝20－2＝－1，故选B.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))＞3a 2，则a 的取值范围是________. (－1,3)解析由题意知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))＞3a 2，则9＋6a ＞3a 2，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.3课时作业PART THREEA.[－1,0)∪(0,1)B.[－1,0)∪(0,1]C.(－1,0)∪(0,1]D.(－1,0)∪(0,1)基础保分练1.函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是 √解析由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－x ＞0，x ＋1＞0，x ≠0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1).B.f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 C.f (x )＝x 0，g (x )＝1 D.f (x )＝2－x ，g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12t 2.(2018·浙江嘉兴一中月考)下列四组函数中，表示同一函数的一组是A.f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x解析A ，B ，C 中函数的定义域不同，故选D.√3.(2018·浙江五校第二次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x ，x ＜0，则f (－2)＋f (4)等于A.109B.19C.87D.7309 √解析由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.故选B.4.已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为A.(－1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12C.(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1 √解析由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12.5.(2019·浙江部分重点中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＜－1，2x －1，x ≥－1，则函数f (x )的值域为A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，＋∞D.R √解析当x ＜－1时，f (x )＝x 2－2∈(－1，＋∞)；当x ≥－1时，f (x )＝2x －1∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，＋∞. 综上可知，函数f (x )的值域为(－1，＋∞).故选B.6.(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)设函数f (x )＝若f (f (0))＝4，则b 等于A.2 B.1 C.－2 D.－1√⎩⎪⎨⎪⎧2x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1，解析f (0)＝－b ，当－b ＜1，即b ＞－1时，f (－b )＝－3b ＝4，得b ＝－43(舍去)，当－b ≥1，即b ≤－1时，2－b ＝4，得b ＝－2.7.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图象是√解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0<x≤1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快.(2)当1<x<2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢.分析四个答案中的图象，只有选项A符合条件，故选A.。

2020版新高考数学新增分大一轮(鲁京津琼)专用课件：第三章高考专题突破一第2课时

数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)
＝2f(x)在区间
1 ， e e
上有两个不等实根，求实数a的取值范围.
PART TWO
2
课时作业
基础保分练
1.已知函数 f(x)＝a＋ x· ln x(a∈R)，试求 f(x)的零点个数.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
拓展冲刺练
5.已知函数f(x)＝(3－a)x－2ln x＋a－3在
1 0 ，上无零点，求实数a的取值范围. 4
1
2
3
4
5
6
6.已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围；
1
2
3
4
5
6
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.
在(1，＋∞)上单调递增.
1
2
3
4
5
6
(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数.
1
2
3
4
5
6
1 3 1 2 3.已知函数 f(x)＝3x －2x －2x＋c 有三个零点，求实数 c 的取值范围.
1
2
3
4
5
6
技能提升练
4.已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.求a的取值范围.
大一轮复习讲义
第三章高考专题突破一
高考中的导数应用问题

2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.9

大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.9函数模型及其应用NEIRONGSUOYIN 内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE1.几类函数模型知识梳理ZHISHISHULI 函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)反比例函数模型f (x )＝＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)k x函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调_____单调_____单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x时，有logax<x n<a x2.三种函数模型的性质递增递增y轴x轴【概念方法微思考】请用框图概括解函数应用题的一般步骤.提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.()(3)不存在x 0，使<<log a x 0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度.()(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.()×××√基础自测JICHUZICE0x a x n 0 ×题组二教材改编2.[P102例3]某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同√D.前6个月的平均收入为40万元解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误.3.[P104例5]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为____万件.18当x ＝18时，L (x )有最大值.解析利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，124.[P112A组T7]一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝[0,26]130t－5t2，则该函数的定义域是_______.解析令h≥0，解得0≤t≤26，故所求定义域为[0,26].5.国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为A.2800元B.3000元C.3800元D.3818元题组三易错自纠√解析由题意，知纳税额y (单位：元)与稿费(扣税前)x (单位：元)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 0，x ≤800，0.14(x －800)，800<x ≤4 000，0.112x ，x >4 000.由于此人纳税420元，所以800<x ≤4000时，令(x －800)×0.14＝420，解得x ＝3800，x >4000时，令0.112x ＝420，解得x ＝3750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为3800元.6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，(p＋1)(q＋1)－1则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________________.解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝(1＋p)(1＋q)－1.7.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到______只.200解析由题意知100＝a log(2＋1)，∴a＝100，3(x＋1).∴y＝100log3当x＝8时，y＝100log9＝200.32题型分类深度剖析PART TWO1.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是题型一用函数图象刻画变化过程解析v ＝f (h )是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.自主演练√2.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为√解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油√D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析根据图象所给数据，逐个验证选项.根据图象知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.题型二已知函数模型的实际问题例1(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_______分钟.师生共研 3.75解析根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A.30元B.60元√C.28000元D.23000元解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]4.24＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元.解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为则当年广告费投入_____万元时，该公司的年利润最大.4L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋8x (x >0)，解析 ∵x 2＋8x ≥24＝4(x >0)，当且仅当x ＝4时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋8x min ＝4， ∴当x ＝4时，L max ＝512－4＝432(万元).解析由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.多维探究19A.y ＝2x －2B.y ＝12(x 2－1)C.y ＝log 2xD.y ＝ (2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是解析由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.x1.99234 5.15 6.126y 1.517 4.041 87.51218.0112log x√命题点2构造指数函数、对数函数模型例3一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的已知到今年为止，森林剩余面积为原来的(1)求每年砍伐面积的百分比；14， 22. 解设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12110.(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1210m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？则n 年后剩余面积为22a (1－x )n .引申探究解设从今年开始，以后砍了n 年，令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1210n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1232，即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年.例4(1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为_____.命题点3 构造y ＝x ＋a x (a >0)型函数 5∴年平均利润y x ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立.解析根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11，∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝______米.3 3 23 解析由题意可得BC ＝18x －x 2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x 2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x 2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立.命题点4构造分段函数模型例5已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400－6x ，0<x ≤40，7 400x －40 000x 2，x >40.解当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.解①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6104，所以W max ＝W (32)＝6104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x ＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.跟踪训练2(1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少至少应过滤___次才能达到市场要求.(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)13， 8解析设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.解析由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R (元)与门面经营天数x 的关系是R (x )＝则当总利润最大时，该门面经营的天数是______.⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400， 300所以当x ＝300时，y max ＝25000；当x >400时，y ＝60000－100x <20000.数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征.核心素养之数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG 用数学模型求解实际问题例(1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%4的速度减少，则至少经过_____小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)解析设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，求公司获得最大利润时，每套房月租金应定为多少元？当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝解设利润为y 元，租金定为3000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元.则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，素养提升例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题.3课时作业PART THREE1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.基础保分练√2.(2018·温州质检)某种型号的电脑自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的5000元降到2560元，则平均每次降价的百分率是A.10%B.15%√C.16%D.20%解析设平均每次降价的百分率为x，则由题意得5000(1－x)3＝2560，解得x＝0.2，即平均每次降价的百分率为20%，故选D.3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为√A.85元B.90元C.95元D.100元解析设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)[400－(x－90)·20]＝－20·[(x－95)2－225]，∴当x＝95时，y最大.4.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是A.560万元B.420万元√C.350万元D.320万元解析设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有280×p%＋(x－280)(p＋2)%＝(p＋0.25)%，x解得x＝320.故该公司的年收入为320万元.。

2020版高考数学新增分大一轮新高考专用课件：第三章高考专题突破一第1课时

跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋ln x，x∈[1，e]，若f(x)≤0恒成立，求实数a的
取值范围.
解 ∵f(x)≤0，即ax＋ln x≤0对x∈[1，e]恒成立，
∴a≤－lnx x，x∈[ 1，e] .
令
g(x)＝－lnx
x，x∈[
1，e]
，则
ln g′(x)＝
x－1 x2 ，
∵x∈[1，e]，∴g′(x)≤0，∴g(x)在[1，e]上单调递减，
跟踪训练1 已知函数f(x)＝xln x－ex＋1. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；解依题意得f′(x)＝ln x＋1－ex，又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x.
(2)证明：f(x)<sin x在(0，＋∞)上恒成立.
x＋11＋ln x
解当 x≥1 时，k≤
x
恒成立，
x＋11＋ln x
令 g(x)＝
x
(x≥1)，
则
g′(x)＝1＋ln
x＋1＋1xx－x＋11＋ln x2
x x－ln ＝ x2
x .
再令 h(x)＝x－ln x(x≥1)，则 h′(x)＝1－1x≥0，
所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，
第三章高考专题突破一高考中的导数应用问题
第1课时导数与不等式
内容索引题型分类深度剖析
NEIRONGSUOYIN 课时作业
1 题型分类深度剖析
PART ONE
师生共研
题型一证明不等式
例1 设函数f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论f(x)的单调性；解由题设知，f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x－1，令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.3

大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.3函数的奇偶性与周期性NEIRONGSUOYIN 内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称1.函数的奇偶性f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点知识梳理ZHISHISHULI2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f (x )的最小正周期.f (x ＋T )＝f (x )最小最小正数【概念方法微思考】1.如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)________.(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )__________.(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)________. 提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(－10，＋∞)是偶函数.()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称.()(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.()(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(6)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.()×√基础自测JICHUZICE×√√√题组二教材改编2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋－2x)，则f(－1)＝________.解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝____. 3.[P45B 组T4]设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )1解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122＋2＝1.4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象(－2,0)∪(2,5]如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______________.解析由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5].12342题型分类深度剖析PART TWO题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：师生共研(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；解由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；解由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称.∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x. 又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝lg (1－x 2)x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0. 解显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数.思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y ＝x ＋sin 2xB.y ＝x 2－cos xC.y ＝2x ＋D.y ＝x 2＋sin x12x 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；解析对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；√对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)已知函数f (x )＝则下列结论正确的是A.h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B.h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数C.h (x )＝f (x )g (x )是奇函数D.h (x )＝f (x )g (x )是偶函数x 2x －1，g (x )＝x 2，因为f (－x )＋g (－x )＝－x2－x －1＋－x 2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x (1－2x )－x 1－2x －x 2＝x 2x －1＋x 2＝f (x )＋g (x )，解析易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}.√所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数.故选A.题型二函数的周期性及其应用解析∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0.从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4.∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.自主演练1.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为A.2B.1C.－1D.－2√2.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________.－2－3 解析由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4).因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3. 故f (2 020)＝－2－ 3.＝－316＋sin π6＝516.3.若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫416＝________. 516 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×4－76 解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫764.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝______.338解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝1×2 016＝336.6又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，f(2019)＝f(3)＝－1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝338.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝______.多维探究12解析方法一令x ＞0，则－x ＜0.∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0).∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)(2018·浙江省镇海中学测试)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1＋2x －x 2，则函数f (x )的解析式是________________________.解析设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝1－2x －x 2＝－f (x )，即x ＜0时，f (x )＝－1＋2x ＋x 2，又易知f (0)＝0，f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0∴f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0.命题点2求参数问题1例3(1)若函数f(x)＝x ln(x＋)为偶函数，则a＝______.a＋x2解析∵f(－x)＝f(x)，∴－x ln(a＋x2－x)＝x ln(x＋a＋x2)，∴ln[(a＋x2)2－x2]＝0.∴ln a＝0，∴a＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________.－10所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)，解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2. ① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是A.(0，e2)B.(e－2，＋∞)√C.(e2，＋∞)D.(e－2，e2)解析根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2，即－2<ln x<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2).(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为_________.11＋x 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1解析由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|).当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1. 所以符合题意的x的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫13，1.思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.A.减函数且f (x )>0B.减函数且f (x )<0C.增函数且f (x )>0D.增函数且f (x )<0跟踪训练2 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12时，f (x )＝ (1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32内是 12log √解析当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12时，由f (x )＝ (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0， 12log 又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0.故选D.(2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝________. 解析由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 －12 ＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝－12.解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，(3)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝_________________.⎩⎪⎨⎪⎧ e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.高频小考点GAOPINXIAOKAODIAN 函数的性质一、函数性质的判断例1(1)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减√C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称解析f(x)的定义域为(0,2).f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x).设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误.故选C.(2)(2018·浙江舟山中学模拟)满足下列条件的函数f (x )中，f (x )为偶函数的是A.f (e x )＝|x |B.f (e x )＝e 2xC.f (ln x )＝ln x 2D.f (ln x )＝x ＋√1x解析∵e x ＞0，∴f (x )的定义域不关于原点对称，f (x )无奇偶性，A ，B 错误；令ln x ＝t ，则x ＝e t ，而f (ln x )＝ln x 2，即f (t )＝2t ，f (x )＝2x 显然不是偶函数，C 错误；而f (ln x )＝x ＋1x ，则f (t )＝e t ＋1e t ，即f (x )＝e x ＋1e x ，此时f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝1e x ＋e x ＝f (x )， ∴f (x )＝e x＋1e x 是偶函数，D 正确，故选D.(3)(2019·绍兴模拟)设f(x)的定义域是R，则下列命题中不正确的是A.若f(x)是奇函数，则f(f(x))也是奇函数B.若f(x)是周期函数，则f(f(x))也是周期函数√C.若f(x)是单调递减函数，则f(f(x))也是单调递减函数D.若方程f(x)＝x有实根，则方程f(f(x))＝x也有实根解析若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(f(－x))＝f(－f(x))＝－f(f(x))，所以f(f(x))也是奇函数，所以A正确；若T是f(x)的周期，则f(x＋T)＝f(x)，所以f(f(x＋T))＝f(f(x))，所以f(f(x))也是周期函数，所以B正确；若f(x)是单调递减函数，则不妨取f(x)＝－x，则f(f(x))＝f(－x)＝x是单调递增函数，所以C错误；设x0是方程f(x)＝x的实根，则f(x)＝x0，则f(f(x))＝f(x0)＝x0，即x是方程f(f(x))＝x的实根，所以D正确.故选C.二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于A.－50B.0√C.2D.50解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则√A.f(－25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(－25)C.f(11)<f(80)<f(－25)D.f(－25)<f(80)<f(11)解析因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11).(3)若函数f (x )＝log 2在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是___________.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2 020－a x 解析由已知函数y ＝x ＋2 020－a x 在[1，＋∞)上是增函数，且y >0恒成立.令y ′≥0得a ≥－x 2(x ≥1)，∴a ≥－1.又由当x ＝1时，y ＝1＋2020－a >0，得a <2021.∴a 的取值范围是[－1,2021).[－1,2 021)∵y ′＝1＋a x 2，3课时作业PART THREE。

2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.4

大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.4幂函数与二次函数NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1图象1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较y ＝x α知识梳理ZHISHISHULI12x性质定义域R R R________________值域R_________R__________________奇偶性函数函数函数函数函数单调性在R上单调递增在上单调递减；在上单调递增在R上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点_____{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}(－∞，0](0，＋∞)[0，＋∞)奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0)(0，＋∞)(1,1)解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域_______2.二次函数的图象和性质R R值域单调性在x ∈ 上单调递减；在x ∈ 上单调递增在x ∈ 上单调递增；在x ∈ 上单调递减对称性函数的图象关于直线x ＝－对称⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b24a⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ b2a【概念方法微思考】1.二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).2.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件.提示a>0且Δ≤0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是()(2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.()(3)函数y ＝是幂函数.()(4)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数.()×√×√×基础自测JICHUZICE4ac －b24a.122x ×2.[P79B 组T1]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，则k ＋α等于 A.12B.1C.32 D.2解析由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.题组二教材改编√3.[P44A组T9]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是A.a≥3B.a≤3√C.a<－3D.a≤－3解析函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a 的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.题组三易错自纠4.幂函数f (x )＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于A.3B.4C.5D.6解析因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，f (x )＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.√21023a a x－＋2(5)2a x －－－1 5.已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______.解析函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝32>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，＝2－6＋3＝－1.∴ymin解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12， 6.设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)_____0.(填“>”“<”或“＝”)>且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.2题型分类深度剖析PART TWO题型一幂函数的图象和性质1.若幂函数的图象经过点则它的单调递增区间是A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞)D.(－∞，0)√自主演练⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，14，解析设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.2.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是√A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.3.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2) (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为A.－3B.1C.2D.1或2解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.23n n x－√4.若(a ＋1)<(3－2a )，则实数a 的取值范围是__________________.解析不等式(a ＋1)<(3－2a )等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，13-13-(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，32 13-13-解得a <－1或23<a <32.思维升华(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.题型二求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________.解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b 2＝1，∴b ＝2，师生共研f (x )＝x 2－2x ＋3∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.x 2＋2x 解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函x2＋2x＋1数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝__________.解析设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对x2－4x＋3任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝__________.解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.题型三二次函数的图象和性质多维探究命题点1二次函数的图象例2一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是√解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B，选C.命题点2二次函数的单调性例3函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是A.[－3,0)B.(－∞，－3]C.[－2,0]D.[－3,0]√解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0].若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝______.－3解析由题意知f (x )必为二次函数且a <0，引申探究又3－a 2a ＝－1，∴a ＝－3.命题点3二次函数的最值例4已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值.解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，；解得a＝38(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.或－3.综上可知，a的值为38将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值.解f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a .(1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.引申探究解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，命题点4二次函数中的恒成立问题例5(1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________.(－∞，－1)令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －322－54－m ， x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为______.2解析令a x＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2.思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.跟踪训练2(1)函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是A.b≥0 B.b≤0 C.b>0 D.b<0√解析∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x＝－b2在区间[0，＋∞)的左边或－b2＝0，即－b2≤0，得b≥0.(2)(2018·浙江名校协作体联考)y ＝的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是A.(2，＋∞)B.(－∞，－1)∪(2，＋∞)C.[－1,2]D.[0,2]2ax 2＋4x ＋a －1 √解析由已知，t ＝2ax 2＋4x ＋a －1取遍[0，＋∞)上的所有实数，当a ＝0时，t ＝4x －1能取遍[0，＋∞)上的所有实数，只需定义域满足⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞. 当a ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，Δ＝16－8a (a －1)≥0，解得0＜a ≤2.综上，0≤a ≤2.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为__________.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 解析由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.例设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值.思想方法SIXIANGFANGFA 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.3课时作业PART THREE基础保分练 1.幂函数y ＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为A.0B.1C.2D.3解析∵y ＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ，∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2.√24m m x －24m m x －2.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为A.1或3B.1C.3D.2解析由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.√268m m x-+3.若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是A.a <0或a ≥3B.a ≤0或a ≥3C.a <0或a >3D.0<a <3解析若ax 2－2ax ＋3>0恒成立，√则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－12a <0，可得0≤a <3，故当命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题时，a <0或a ≥3.4.已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则A.a >0,4a ＋b ＝0 B.a <0,4a ＋b ＝0C.a >0,2a ＋b ＝0 D.a <0,2a ＋b ＝0√得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b 2a ＝2，解析由f (0)＝f (4)，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.5.函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为A.{x|－2<x<2}B.{x|x>2或x<－2}√C.{x|0<x<4}D.{x|x>4或x<0}解析函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，则b－2a＝0，故f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2)，因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2－x)>0的解集为{x|2－x>2或2－x<－2}＝{x|x<0或x>4}，故选D.6.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是A.[0,4]B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，4C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，3 √解析二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，3.7.已知P ＝，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是_________.322-P ＞R ＞Q 解析 P ＝＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫223， 322-根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .解析设f (x )＝x α，因为它过点(2，2)， 8.(2018·台州路桥中学检测)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，)，则f (9)＝________.2 3所以2＝2α，所以α＝12，所以f (x )＝， 12x 所以f (9)＝＝3.129。

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大一轮复习讲义第三章　函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.5　指数与指数函数NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1).于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于；0的负分数指数幂 .0没有意义知识梳理ZHISHISHULIm na mna －1m na (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝，(a r )s ＝，(ab )r ＝，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .a r ＋s a rs a rb ry ＝a xa >10<a <1图象定义域(1)___值域(2)___________2.指数函数的图象与性质R (0，＋∞)性质(3)过定点_______(4)当x>0时，；当x<0时，________(5)当x>0时，；当x<0时，____(6)在(－∞，＋∞)上是________(7)在(－∞，＋∞)上是_______(0,1)y>10<y<10<y<1y>1增函数减函数1.如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________.提示　c>d>1>a>b>0【概念方法微思考】2.结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关.提示　当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，a x>1的解集为{x|x<0}.题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测JICHUZICE(4)函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数.( )(5)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n .( )(6)函数y ＝2－x 在R 上为单调减函数.( )m na√×××√×题组二　教材改编－2x2y3.[P56例6]若函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的图象经过点则f(－1)＝ .即a >b >1，c 0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为_______.2题型分类　深度剖析PART TWO题型一　指数幂的运算 1.若实数a >0，则下列等式成立的是A.(－2)－2＝4B.2a －3＝C.(－2)0＝－1 D. ＝√自主演练414a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；311332(41)(0.1)()ab a b ---⋅⋅2333223322·10a b a b --⋅⋅⋅4.化简：＝ (a >0).41223333322533338242a a b b a a a a a a b ab a -⎛⎫-⋅÷-⨯ ⎪⋅⎝⎭++a 2解析　原式＝11111251111333333336223331111111111223333353362[()(2)]2()(2).()(2)(2)()2a a b a b a a a a a a b a a a a b b a a a b b --⋅÷⨯⨯⨯+⋅+⋅-＝－＝。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第三章导数及其应用 3.1

2019年4月§3.1 导数的概念及运算考情考向分析导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解+析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度．1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.(2)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．概念方法微思考1．根据f ′(x )的几何意义思考一下，|f ′(x )|增大，曲线f (x )的形状有何变化？提示 |f ′(x )|越大，曲线f (x )的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × ) (3)(2x )′＝x ·2x －1.( × )(4)若f (x )＝e 2x ，则f ′(x )＝e 2x .( × ) 题组二教材改编2．[P26T2]若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝ . 答案 2e解+析 ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e. 3．[P26T3]曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为．答案 2x －y ＋1＝0解+析 ∵y ′＝2(x ＋2)2，∴y ′|x ＝－1＝2.∴所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 题组三易错自纠4．设f (x )＝ln(3－2x )＋cos 2x ，则f ′(0)＝ . 答案－23解+析因为f ′(x )＝－23－2x－2sin 2x ，所以f ′(0)＝－23.5．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝ . 答案－ 2解+析因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ， f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 6．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为．答案 1解+析 ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，即y ＝(a －1)x ＋1.故l 在y 轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f (x )＝sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4，则f ′(x )＝ . 答案－12cos x解+析因为y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以y ′＝⎝⎛⎭⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . 2．已知f (x )＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x )＝ . 答案44x 2－1解+析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′ ＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x －1)′(2x ＋1)－(2x －1)(2x ＋1)′(2x ＋1)2＝44x 2－1. 3．f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ . 答案 1解+析 f ′(x )＝2 019＋ln x ＋x ·1x＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，∴x 0＝1. 4．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ . 答案－4解+析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程例1 (1)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为．答案 1解+析由f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，知f (x )＝2x －1x ＝2－1x .∴f ′(x )＝1x2，∴f ′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k ＝1.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案 x －y －1＝0解+析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.命题点2 求参数的值例2 (1)(2018·常州模拟)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为．答案 1e解+析设切点坐标为(x 0，bx 0＋ln x 0)，因为f ′(x )＝b ＋1x ，所以k ＝b ＋1x 0，则切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎫b ＋1x 0(x －x 0)．因为切线过坐标原点，所以－(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎫b ＋1x 0(0－x 0)，即ln x 0＝1，所以x 0＝e ，所以k －b ＝1x 0＝1e.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝ . 答案－2解+析 ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， ∴m ＝－2.命题点3 导数与函数图象例3 (1)已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是．答案 x －y －2＝0解+析由题图可知，f ′(2)＝1，过P (2,0)，∴切线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0. (2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .答案 0解+析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练 (1)(2018·全国Ⅰ)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是．答案 y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解+析设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)，∴x20＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.(2)(2018·南通、泰州模拟)若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则实数t 的值为．答案 e －2解+析因为y ＝f (x )＝x ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(1)＝1，f ′(t )＝ln t ＋1. 因为两条切线互相垂直，所以(ln t ＋1)·1＝－1，解得t ＝e －2.(3)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案 (－∞，2)解+析函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为．答案 3(x 2－a 2)解+析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )·(2x －2a ) ＝(x －a )·(x －a ＋2x ＋4a )＝3(x 2－a 2)．2．已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为．答案 (－2,9)解+析 ∵f (x )＝2x 2＋1，∴f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2，∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2,9)．3．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝ . 答案－3π解+析因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为．答案 e解+析由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知，ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，即x 0＝e.5．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是．答案 2x －y ＋1＝0解+析 y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.6．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是．答案 ⎣⎡⎭⎫3π4，π解+析求导可得y ′＝－4e x ＋e －x ＋2， ∵e x ＋e －x ＋2≥2e x ·e －x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时，等号成立， ∴y ′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，又α∈[0，π)，∴3π4≤α<π. 7．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为．答案 1e解+析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y ¢＝＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e. 8．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝ . 答案 3解+析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1，∵曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3. 9．(2018·苏北四市模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：xy＝3上任意一点P到直线l：x＋3y＝0的距离的最小值为．答案 3解+析令y＝3x，则y′＝－3x2，又直线x＋3y＝0的斜率k＝－3 3.令－3x2＝－33，得x＝±3，即当曲线C的切线与直线l平行时，切点坐标为(3，1)或(－3，－1)，此时切点到直线l的距离d＝|3＋3|1＋(3)2＝3，即为所求的最小值．10．已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则a＝.答案1－e解+析因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，则曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2x－e.由于切线与曲线y＝x2＋a相切，故y＝x2＋a可联立y＝2x－e，整理得x2－2x＋a＋e＝0，所以由Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e.11.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为．(用“<”连接)答案 (1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)解+析 (1)由题图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ， h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)． 12．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.13．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝ . 答案 1解+析依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，得b ＝0.又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.14．已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，求实数a 的值．解因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e.由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故y ＝x 2＋a 可联立y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.15．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝5x ＋4sin x －cos x 的“拐点”是M (x 0，f (x 0))，f (x 0)和x 0满足的关系是．答案 f (x 0)＝5x 0解+析由题意，知f ′(x )＝5＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由f ″(x 0)＝0，知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝5x 0.16．已知函数f (x )＝x －3x. (1)求曲线f (x )过点(0，－3)的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 f ′(x )＝1＋3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，∵切线过(0，－3)，∴－3－⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(－x 0)，解得x 0＝2，∴y 0＝12， ∴所求切线方程为y －12＝74(x －2)，即y ＝74x －3. (2)证明设P (m ，n )为曲线f (x )上任一点，由(1)知过P 点的切线方程为y －n ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m 2(x －m )，即y －⎝⎛⎭⎫m －3m ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m 2(x －m )，令x ＝0，得y ＝－6m，从而切线与直线x ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫0，－6m ，令y ＝x ，得y ＝x ＝2m ，从而切线与直线y ＝x 的交点为(2m ,2m )，∴点P (m ，n )处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪－6m ·|2m |＝6，为定值．。

2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第三章 3.2 导数的应用第2课时含解析

a
[6 分]
1
1
②当 ≥2，即 0<a≤ 时，函数 f(x)在[1,2]上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)＝－a.[7 分]
a
2
[ ] [ ] 1
1
1
1
③当 1< <2，即 <a<1 时，函数 f(x)在 1，上是增函数，在，2 上是减函数．
a
2
a
a
又 f(2)－f(1)＝ln 2－a，
ex2
－ax2＋2a－bx＋b－c
＝
.
ex
令 g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为 ex>0，所以 y＝f′(x)的零点就是 g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c 的零点且 f′(x)与 g(x)符号相同．
又因为 a>0，所以当－3<x<0 时，g(x)>0，即 f′(x)>0，
解 (1)因为 f(x)＝excos x－x，
所以 f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为 f(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(2)设 h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则 h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
( )π
当 x∈ 0，时，h′(x)<0， 2
[ ]π
所以 h(x)在区间 0，上单调递减， 2
( ]π
所以对任意 x∈ 0，有 h(x)<h(0)＝0， 2
即 f′(x)<0，
[ ]π
所以函数 f(x)在区间 0，上单调递减， 2

2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义：第三章导数及其应用 3.3 含解析

§3.3 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n ＝b .把区间[a ，b ]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑n －1i ＝f (ξi )Δx i . 当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim λ→0∑n ＝1i ＝0f (ξi )Δx i .其中f (x )叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．f (x )d x 叫做被积式．此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积． 2．定积分的性质(1)ʃb a cf (x )d x ＝c ·ʃb a f (x )d x (c 为常数)．(2)设f (x )，g (x )可积，则ʃb a [f (x )＋g (x )]d x ＝ʃb a f (x )d x ＋ʃb a g (x )d x .3．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．概念方法微思考ʃb a f (x )d x 是否总等于曲线f (x )和直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积？提示不是．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0时，定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃba f (t )d t .( √ )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )题组二教材改编 2．ʃe ＋121x －1d x ＝________. 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3．ʃ0－11－x 2d x ＝________. 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积， ∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 4．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是______m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t 21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)．题组三易错自纠5.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43 C. 3 D ．2答案 B解析所求面积＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 22＝－83＋4＝43. 6.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m.答案494解析由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得 s ＝()611122d 2t t tdt ⎰⎰＝v +ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t =2132611321|2||6t t t t ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=494(m). 所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.7．2024x dx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.答案 2 解析由题意得2024x dx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝220(sin cos )d (sin cos )|x x x x x ππ⎰＋＝－＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.题型一定积分的计算利用微积分基本定理求下列定积分：(1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ； (3)ʃ20|1－x |d x ； (4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)ʃ1－1e |x |d x ；(6)若ʃ10(x 2＋mx )d x ＝0，求m .解 (1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ＝ʃ21x 2d x ＋ʃ212x d x ＋ʃ211d x＝⎪⎪x 3321＋x 2|21＋x |21＝193. (2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ＝ʃπ0sin x d x －ʃπ0cos x d x ＝ | |(－cos x )π0－sin x π0＝2.(3)ʃ20|1－x |d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12x 210＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1 ＝1.(4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝ʃ21e 2x d x ＋ʃ211xd x ＝⎪⎪⎪⎪12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e x d x＝ | |－e－x0－1＋e x 1＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.(6)∵ʃ10(x 2＋mx )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33＋m 2x 21＝13＋m 2＝0，∴m ＝－23.思维升华计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．题型二定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例1 设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则ʃ2－1f (x )d x 的值为________．答案 π2＋43解析根据定积分性质可得ʃ2－1f (x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ，根据定积分的几何意义可知，ʃ1－11－x 2d x 是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的12，∴ʃ1－11－x 2d x ＝π2， ∴ʃ2－1f (x )d x ＝π2＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝π2＋43. 命题点2 求平面图形的面积例2 (1)曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形的面积为________．答案 2ln 2－12解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积S ＝ʃ21⎝⎛⎭⎫2x －x ＋1d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2ln x －12x 2＋x 21 ＝(2ln 2－2＋2)－⎝⎛⎭⎫0－12＋1＝2ln 2－12.(2)曲线y ＝14x 2和曲线在点(2,1)处的切线以及x 轴围成的封闭图形的面积为________．答案 16解析设曲线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线为l ，∵y ′＝12x ，∴直线l 的斜率k ＝y ′|x ＝2＝1，∴直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 当y ＝0时，x －1＝0，即x ＝1，所围成的封闭图形如图所示，∴所求面积S ＝ʃ2014x 2d x －12×1×1＝⎪⎪112x 320－12＝16.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分． (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．跟踪训练1 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________．答案9π4解析由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)(2018·赤峰模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．答案 23－2π3解析令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝66(2sin 1)d x x 5ππ⎰－＝(－2cos x －x )566|ππ＝23－2π3.题型三定积分在物理中的应用例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离是________ m. 答案 4＋25ln 5解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)．思维升华定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .跟踪训练2 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433 JD ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433，所以F (x )做的功为433 J.1．ʃ10(1－x )d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－12答案 C解析 ʃ10(1－x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12x 210＝12. 2．ʃ2π0|sin x |d x 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 ʃ2π0|sin x |d x ＝2ʃπ0sin x d x ＝2(－cos x )|π0＝2×(1＋1)＝4. 3．(2018·丹东质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．π B.π2 C ．π＋1 D ．π－1答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝⎪⎪π2＋12x 21－1＝π2. 故选B.4．(2018·大连双基测试)220sin d 2xx π⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析222001cos sin d d 22x x x x ππ-=⎰⎰＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x 20|π＝π4－12. 5．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 A解析由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2(舍负)．6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76 答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝⎪⎪13x 310＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 7．设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A.8.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3－x 2－x 0－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 10＝－13－23 ＝－1，故选D.9．ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝________. 答案 ln 2＋2ln 2解析ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫ln x ＋2xln 221＝ln 2＋4ln 2－2ln 2＝ln 2＋2ln 2. 10．(2018·锦州调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析所求面积S ＝3333cos d sin |x x x ππππ--=⎰＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 11．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 答案 49解析封闭图形如图所示，则332220022d |0,33ax x x a a ==-=⎰解得a ＝49.12．(2018·包头模拟)设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0>0，则x 0＝________. 答案3解析 ∵f (x )＝ax 2＋b ，ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)， ∴ʃ30(ax 2＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ，则9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，∴x 20＝3，又x 0>0，∴x 0＝ 3.13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14 D.15答案 A解析由题意得，所求阴影部分的面积)3123120211d |,333S x x x x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰故选A. 14．(2018·呼和浩特质检)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析方法一 S 1＝⎪⎪13x 321＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图(图略)易知S 2<S 1<S 3.15．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 答案－163解析因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)．所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，所以f (x )＝x 2－4x .故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 2－4x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－2x 22＝－163.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝ʃ10πx 2d x ＝⎪⎪π3x 310＝π3.据此类比：将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝2及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.答案 π(e 2－1)解析类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝2及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为22e e y y ⎛⎫ππ ⎪⎝⎭＝，积分变量为y ，积分区间为[0,2]，即V ＝ʃ20πe y d y ＝πe y |20＝π(e 2－1)．。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第三章导数及其应用 3.2 第1课时

§3.2导数的应用考情考向分析考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、数列、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大．1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．概念方法微思考1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示必要不充分题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ ) (2)函数的极大值一定大于其极小值．( × )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ )题组二教材改编2．[P29T1]函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调增区间是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－53，(1，＋∞) 解析令y ′＝3x 2＋2x －5>0，得x <－53或x >1.3．[P31T1]函数y ＝3x 3－9x ＋5的极大值为________．答案 11解析 y ′＝9x 2－9，令y ′＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：从上表可以看出，当x ＝－1时，函数y 取得极大值为 3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.4．[P34T2]函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调增区间为________．答案 ⎝⎛⎭⎫π3，π解析令f ′(x )＝1－2cos x >0，得cos x <12，又x ∈(0，π)，所以π3<x <π，所以f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调增区间为⎝⎛⎭⎫π3，π.5．[P34T4]函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是__________．答案 π6＋ 3解析 ∵y ′＝1－2sin x ，∴当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，y ′>0；当x ∈⎝⎛⎦⎤π6，π2时，y ′<0. ∴当x ＝π6时，y max ＝π6＋ 3.题组三易错自纠6．已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<2(x ∈R )，则不等式f (x )<2x ＋1的解集为____________．答案 (1，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－2x －1，∴g ′(x )＝f ′(x )－2<0， ∴g (x )在R 上为减函数，g (1)＝f (1)－2－1＝0. 由g (x )<0＝g (1)，得x >1. ∴不等式的解集为(1，＋∞)．7．函数f (x )＝x 3＋ax 2－ax 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax －a ≥0在R 上恒成立，即4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－3,0]．8．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．答案－4解析 f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，且f (x )恰在[－1,4]上单调递减， ∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为[－1,4]， ∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根，则a ＝(－1)×4＝－4.9．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.10．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫32，4解析 f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.第1课时导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2．函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1的单调增区间是________．答案 (e －1，＋∞) 解析由f (x )＝x ·e x －e x ＋1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ，令f ′(x )>0，解得x >e －1，所以函数f (x )的单调增区间是(e －1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 解析因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______．答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 思维升华确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调减区间．题型二含参数的函数的单调性例1 已知函数f (x )＝x 2e－ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，f ′(x )＝2x ，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．因为e－ax>0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a.①当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增．②当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ；当a <0时，函数y ＝f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0. 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练1 讨论函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x 的单调性．解函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增．综上所述，当a ＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增．题型三函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式例2 (1)(2018·江苏省阜宁中学调研)对于定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，(x －1)f ′(x )－f (x )>0恒成立．已知a ＝f (2)，b ＝12f (3)，c ＝(2＋1)f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“<”连接) 答案 c <a <b解析构造函数g (x )＝f (x )x －1，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )(x －1)－f (x )(x －1)2>0，即函数g (x )单调递增．又a ＝f (2)＝f (2)2－1＝g (2)，b ＝12f (3)＝f (3)3－1＝g (3)，c ＝(2＋1)f (2)＝f (2)2－1＝g (2)，因为1<2<2<3，所以g (2)<g (2)<g (3)，即c <a <b .(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 c <a <b解析设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，所以g (x )为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数g (x )在区间(0，＋∞)内单调递减．由0<ln 2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a (m －2 019)f (2)，则实数m 的取值范围为________．答案 (2 019,2 021)解析令h (x )＝f (x )x，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵xf ′(x )－f (x )<0，∴h ′(x )<0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∵2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，m －2 019>0， ∴f (m －2 019)m －2 019>f (2)2，即h (m －2 019)>h (2)．∴m －2 019<2且m －2 019>0，解得2 019<m <2 021. ∴实数m 的取值范围为(2 019,2 021)．(4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________．答案 (－∞，－2)∪(0,2) 解析 ∵当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴在(－∞，0)上，当x <－2时，f (x )>0，此时x 2f (x )>0.故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2 根据函数单调性求参数例3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)．引申探究本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围．解因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集． (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2 (1)若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －ax ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴2x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∵当x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.(2)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,2)解析函数f ′(x )＝ax＋2x ＋a －6.①若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递增，则f ′(x )＝ax ＋2x ＋a －6≥0在(0,3)上恒成立，即a ≥6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，令函数g (t )＝t ＋4t ，t ∈(1,4)，则g (t )∈[4,5)，∴a ≥2；②若函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上单调递减，则f ′(x )＝ax ＋2x ＋a －6≤0在(0,3)上恒成立，即a ≤6x －2x 2x ＋1＝－2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)＋4x ＋1－5在(0,3)上恒成立，函数g (t )＝t ＋4t ，t ∈(1,4)，则g (t )∈[4,5)，∴a ≤0，∴当函数f (x )在(0,3)上不是单调函数时，实数a 的取值范围是(0,2)． (3)(2019·盐城模拟)已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax ，若函数f (x )存在三个单调区间，即f ′(x )＝0有两个不等正实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等正实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点，y ′＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，即x ＝1e 2，即y ＝x (ln x ＋1)在⎝⎛⎭⎫0，1e 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞上单调递增．y min ＝－1e 2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 2时，y <0，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1e 2，0.用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．例已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解 g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x. ∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1.当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a <1，即a >12，由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a，由g ′(x )<0，得12a<x <1；若12a >1，即0<a <12，由g ′(x )>0，得x >12a或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a，若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________．答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调增区间是________．答案 (2，＋∞)解析因为f (x )＝(x －3)e x ，所以f ′(x )＝e x (x －2)．令f ′(x )>0，得x >2，所以f (x )的单调增区间为(2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为________．(用“>”连接)答案 f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 解析因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5.4．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝________.答案－12解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，－1<x <3是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解，∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根，∴b ＝－3，c ＝－9，∴b ＋c ＝－12.5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0在R 上恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．6．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．答案 {x |x <－1或x >1}解析设F (x )＝f (x )－12x ， ∴F ′(x )＝f ′(x )－12， ∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．7．已知g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x 在[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－72 解析 g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a x，由已知得g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立，可得a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．又当x ∈[1,2]时，⎝⎛⎭⎫1x －x 2min ＝12－4＝－72. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－72. 8．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________________．答案 (－3，－1)∪(1,3)解析因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“<”连接)答案 c <a <b解析由题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数．又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c <a 0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，由g (x )>g (1)＝0，得f (x )x >0，所以f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，由g (x )<g (－1)＝0，得f (x )x<0，所以f (x )>0. 综上知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．11．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求实数k 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)f ′(x )＝1x －ln x －k e x(x >0)．又由题意知f ′(1)＝1－k e＝0，所以k ＝1. (2)f ′(x )＝1x －ln x －1e x(x >0)．设h (x )＝1x－ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，所以f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，所以f ′(x )<0.综上，f (x )的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝b e x －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．解因为f (0)＝b －1，所以过点(0，b －1)，(2，－2)的直线的斜率为k ＝b －1－(－2)0－2＝－b ＋12，而f ′(x )＝－b e x ，由导数的几何意义可知，f ′(0)＝－b ＝－b ＋12，所以b ＝1，所以f (x )＝1e x －1. 则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1e x ，当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立；当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ，由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减；当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．13．(2018·江苏省南京九中质检)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．答案 (0，＋∞)解析设g (x )＝e x f (x )－e x (x ∈R )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]． ∵f (x )>1－f ′(x )，∴f (x )＋f ′(x )－1>0，∴g ′(x )>0，∴y ＝g (x )在定义域R 上单调递增．∵e x f (x )>e x －1，∴g (x )>－1.又g (0)＝e 0f (0)－e 0＝－1，∴g (x )>g (0)，∴x >0，∴不等式的解集为(0，＋∞)．14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调增区间，则a 的取值范围是_______．答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 由题意知，f ′(x )>0在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－6x 2＋4，则g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝________. 答案 0解析 g ′(x )＝6x 2－12x ，∴g ″(x )＝12x －12，由g ″(x )＝0，得x ＝1，又g (1)＝0，∴函数g (x )的对称中心为(1,0)，故g (x )＋g (2－x )＝0，∴g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝g (1)＝0. 16．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．解 f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x(x >0)， ①当0<a <1时，1a>1，由f ′(x )>0，解得x >1a或0<x <1，由f ′(x )<0，解得1<x <1a. ②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．③当a >1时，0<1a<1，由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a，由f ′(x )<0，解得1a<x <1. 综上，当0<a <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞和(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．。

2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第三章导数及其应用3.1 含解析

§3.1 导数的概念及运算1.平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝Δy Δx ，称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率. 2.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.函数f (x )的导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导.这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x ).于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x ). 4.基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y ′＝f ′(x ) y ＝c y ′＝0y ＝x n (n ∈N ＋) y ′＝nx n －1，n 为正整数y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q )y ′＝μx μ－1，μ为有理数y ＝a x (a >0，a ≠1) y ′＝a x ln a y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝1x ln ay ＝sin x y ′＝cos x y ＝cos xy ′＝－sin x5.导数的四则运算法则设f (x )，g (x )是可导的，则 (1)(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0). 概念方法微思考1．根据f ′(x )的几何意义思考一下，|f ′(x )|增大，曲线f (x )的形状有何变化？提示 |f ′(x )|越大，曲线f (x )的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × ) (3)(2x )′＝x ·2x －1.( × )题组二教材改编2．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝________.答案 2e解析 ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为____________．答案 2x －y ＋1＝0解析 ∵y ′＝2(x ＋2)2，∴y ′|x ＝－1＝2.∴所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 题组三易错自纠4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．若f (x )＝sin x x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 答案－4π2解析 ∵f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2. 6．(2017·天津)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为．答案 1解析 ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)．令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f (x )＝sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4，则f ′(x )＝ . 答案－12cos x解析因为y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以y ′＝⎝⎛⎭⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . 2．已知y ＝cos xe x ，则y ′＝________.答案－sin x ＋cos xe x解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2 ＝－sin x ＋cos xe x.3．f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ . 答案 1解析 f ′(x )＝2 019＋ln x ＋x ·1x ＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，∴x 0＝1. 4．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ . 答案－4解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.思维升华 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程例1 (1)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 A解析由f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，知f (x )＝2x －1x ＝2－1x .∴f ′(x )＝1x2，∴f ′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k ＝1.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值例2 (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝ . 答案 1解析由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝ . 答案－2解析 ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， ∴m ＝－2.命题点3 导数与函数图象例3 (1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .答案 0解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练 (1)(2018·全国Ⅰ)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是．答案 y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解析设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)，∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)，即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝ . 答案－1解析 ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′π2x =＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.(3)(2018·沈阳模拟)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案 (－∞，2)解析函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．1.函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A.2(x 2－a 2) B.2(x 2＋a 2) C.3(x 2－a 2) D.3(x 2＋a 2) 答案 C解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )·(2x －2a ) ＝(x －a )·(x －a ＋2x ＋4a )＝3(x 2－a 2).2．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．－3π2 B ．－1π2 C ．－3π D ．－1π答案 C解析因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 3．(2018·包头调研)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2答案 B解析由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知，ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，即x 0＝e.4．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0答案 C解析 y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 5．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫3π4，π B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π4 答案 A解析求导可得y ′＝－4e x ＋e －x ＋2，∵e x ＋e －x ＋2≥2e x ·e －x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时，等号成立，∴y ′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，又α∈[0，π)，∴3π4≤α<π.6．(2018·大连调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|0x x ＝＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.7．(2018·乌海模拟)已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为．答案 (－2,9)解析 ∵f (x )＝2x 2＋1，∴f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2，∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2,9)． 8．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．答案 2解析设切点坐标为(m ，n )(m >0)，对y ＝14x 2－3ln x 求导得y ′＝12x －3x ，所以12m －3m ＝－12，解方程可得m ＝2(舍去负值)．9．若曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y ＝12x ＋b ，则实数b 的值为．答案－1＋ln 2解析由y ＝ln x ，可得y ′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，由曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y ＝12x ＋b ，可得1x 0＝12，解得x 0＝2，则切点坐标为(2，ln 2)，所以ln 2＝1＋b ，b ＝－1＋ln 2.10．(2018·丹东模拟)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝ . 答案 1解析依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，得b ＝0.又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.11.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为．(用“<”连接) 答案 (1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)解析 (1)由题图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ， g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)．12．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.13．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)答案 B解析由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可，故选B.14．已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，求实数a 的值．解因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.15．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝5x ＋4sin x －cos x 的“拐点”是M (x 0，f (x 0))，则点M ( ) A ．在直线y ＝－5x 上 B ．在直线y ＝5x 上 C ．在直线y ＝－4x 上 D ．在直线y ＝4x 上答案 B解析由题意，知f ′(x )＝5＋4cos x ＋sin x ， f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由f ″(x 0)＝0，知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝5x 0，故点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝5x 上． 16．已知函数f (x )＝x －3x.(1)求曲线f (x )过点(0，－3)的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)f ′(x )＝1＋3x2，设切点为(x 0，y 0)，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，∵切线过(0，－3)，∴－3－⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(－x 0)，解得x 0＝2，∴y 0＝12，∴所求切线方程为y －12＝74(x －2)，即y ＝74x －3.(2)设P (m ，n )为曲线f (x )上任一点，由(1)知过P 点的切线方程为y －n ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m 2(x －m )，即y －⎝⎛⎭⎫m －3m ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m 2(x －m )，令x ＝0，得y ＝－6m，从而切线与直线x ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫0，－6m ，令y ＝x ，得y ＝x ＝2m ，从而切线与直线y ＝x 的交点为(2m,2m )，∴点P (m ，n )处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪－6m ·|2m |＝6，为定值．。

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四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
当 x∈π2，π时，y＝2sin x>0，y＝sin 2x<0；
当 x∈π，32π时，y＝2sin x<0，y＝sin 2x>0；当 x∈32π，2π时，y＝2sin x<0，y＝sin 2x<0. 因此，f(x)的最小值出现在32π，2π之内，此时 f(x)＝2sin x(1＋cos x)，进而 f(x)＝－2 1－cos2x(1＋cos x) ＝－2 1－cos2 x1＋cos x2 ＝－2 －cos4x－2cos3x＋2cos x＋1，令 t＝cos x，x∈32π，2π，
当 sin x＝0，cos x＝－1 时，f(x)＝0.
由三角函数的连续性和有界性，结合极值的概念得
f(x)min＝－3
2
3 .
分析2 从周期的角度考虑，可以判断本函数的周期为2π.用函数在[0,2π]内的最小值作为函数的最小值.整体不易突破，可从局部入手，结合图象变换知，最小值出现在 32π，2π 之内，此时可以统一角和三角函数名称，换元后将问题转化成求高次函数的最值. 方法二由y＝2sin x的最小正周期为2π，y＝sin 2x的最小正周期为π，由最小公倍数法知，f(x)的最小正周期为2π. 下面在(0,2π)内研究本函数：当 x∈0，π2时，y＝2sin x>0，y＝sin 2x>0；
＝4sin
x 2·cos
2x·2cos22x＝8sin
2xcos32x
＝8 1－cos2x2·cos32x＝－8 cos62x－cos82x.
令 t＝cos 2x，则 t∈ 22，1. h(t)＝t6－t8，t∈ 22，1. 利用导数可以证明，h(t)≤h 23＝22576. 所以 f(x)≥－8 22576＝－32 3. 因此，f(x)min＝－32 3.
一、试题呈现题目 (2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________. 二、分析解答分析1 此题中的函数是将正弦函数两次变换相加而得，第一次纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变；第二次横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变.这个加号有份量，依靠常规的三角运算和方法作答有困难.因此，首先考虑“万能”的导数，找到极值点，求出全部极值，最后取最小的极值作最小值.
分析 4 一道好的高考试题，往往入口宽敞，通道较多.从方法三知 f(x)＝8sin2xcos32x，本函数显然是奇函数，由最大值可得到最小值.在函数两边平方后，利用基本不等式求解也是一种行之有效的办法. 方法四由方法三得 f(x)＝8sin 2xcos32x. 两边平方得 f2(x)＝64sin22xcos62x ＝634·3sin22x·cos22x·cos22x·cos22x
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。
2019/7/8
最新中小9/7/8
最新中小学教学课件
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g(x)＝－t4－2t3＋2t＋1，t∈[0,1]. 利用导数可以证明，g(x)≤g12＝2176. 所以 f(x)≥－2 2176＝－32 3. 因此，f(x)min＝－32 3.
分析3 本题基本背景是三角函数，那么对于角的处理极为重要.本题中可以考虑用同角三角函数的平方关系、二倍角、扩角降幂等知识处理函数，从方法二可以发现最后的函数形式还是稍微有些复杂.我们可以再做角的文章，以期简化函数，方便解答. 方法三结合方法二，f(x)的最小值出现在32π，2π之内.此时，f(x)＝2sin x(1＋cos x)
第三章导数及其应用
微专题三高考真题的再研究
[真题研究] 普通高中数学课程标准要求：高中数学课程应注意提高学生的数学思维
能力.考试大纲指出：高考对能力的考查，强调“以能力立意”.2018年全国Ⅰ 卷第16题就是一个典型例子.本文从不同角度，开拓思路，分析解答，充分挖掘高考题的教学指导功能，再现命题的能力立意，以期提高教学实效性.
≤634×3sin22x＋cos22x＋4 cos2
x2＋cos2
x 24

＝634×344＝247.
所以 f(x)≤32 3.
因此，f(x)max＝32 3.易判定本函数为奇函数，
所以 f(x)min＝－32 3.
评注这种做法看起来很简单，但是它有三个关键点：一是能否联想到同角三角函数平方关系后在函数两边平方；二是多项均值不等式是否深刻理解并能应用；三是能否恰当应用奇函数的对称性.这三点对学生还是有较高的能力
方法一 f′(x)＝2cos x＋2cos 2x，由f′(x)＝0得， 2cos2x＋cos x－1＝0，解得 cos x＝12或 cos x＝－1. 所以 sin x＝ 23或 sin x＝－ 23或 sin x＝0. 当 sin x＝ 23，cos x＝12时，f(x)＝32 3；
当 sin x＝－ 23，cos x＝12时，f(x)＝－3 2 3；
要求，很难顺利推进.本方法也得到了函数值域y∈ －32 3，32 3.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
评注从以上方法探究可以发现，本题以三角函数为背景，应用导数，综合考查了三角函数和导数的知识和技能，对学生的能力要求还是较高的，若死盯着三角函数，仅依靠三角函数的知识、方法，甚至是技巧都是无济于事的. 这正是本题命题意图，希望有扎实的功底，严谨的推理，缜密的思维等能力. 对于靠刷题应对高考而言，此题显得举步维艰.本题若变形成：“已知函数f(x) ＝2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是________.”就会感觉舒坦多了.但是，能力就体现在创新之中.

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