【浙江专版】人教A版必修2模块综合检测试卷含答案解析

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(人教a版)高一数学必修2模块综合测评试卷(五)(有答案)

(人教a 版)高一数学必修2模块综合测评试卷(五)(有答案)综合测试(时间120分，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.空间4点A ，B ，C ，D 共面但不共线，下列结论中正确的是( ) A.4点中必有3点共线 B.4点中必有3点不共线C.AB ，BC ，CD ，DA 中必有两条平行D.AB 与CD 必相交解析：A 显然不正确，对于B ，若每三点都共线，则A ，B ，C 和B ，C ，D 都在直线BC 上，与条件矛盾.作图可知C ，D 不正确，故选B. 答案：B2.水平放置的△ABC 有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A 1B 1C 1，则△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都可能解析：设AB 在水平线上，在斜二测图中，作C 1D 1交A 1B 1于D 1，使∠B 1D 1C 1=45°.∵∠C 1A 1B 1延长线上，从而△ABC 是钝角三角形. 答案：C3.互不重合的三个平面将空间分成n 个部分，则n 的可能值是( )A.4，6，8B.4，7，8C.4，5，7，8D.4，6，7，8解析：当三个平面互相平行时，n=4；当两平面平行，另一平面与其相交时，n=6；当三平面交于一条直线时，n=6，当三个平面两两相交于三条直线时，若三交线平行，则n=7，若三交线共点，n=8.故选D. 答案：D4.(2006广东高考，5) 给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行. ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.其中真命题的个数是( )A.4B.3C.2D.1解析：①②正确，③中这两条直线没有任何关系，可平行、相交、异面，所以不正确，④正确.故选B. 答案：B5.正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，下列结论不成立的是( ) A.AC ⊥BD B.△ADC 为正三角形 C.AB 、CD 所成角为60° D.AB 与面BCD 所成角为60° 解析：∠ABD 即为AB 与面BCD 所成角为45°. 答案：D6.已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m)，则|AB|的最小值是( ) A.179 B.173 C.17173 D.17179 解析：92417)22()32()21(||2222+-=-+-+-=m m m m m AB 配方得|AB|的最小值为17173. 答案：C7.已知平行四边形ABCD 的顶点A(3，-1)、C(2，-3)，点D 在直线3x-y+1=0上移动，则点B 的轨迹方程为( )A.3x-y-20=0(x≠3)B.3x -y-10=0(x≠3)C.3x-y-9=0(x≠2)D.3x -y-12=0(x≠5) 答案：A8.与圆(x-8)2+(y-7)2=1相切且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析：先画出圆的图，根据图象可知，与圆相切且在x 轴、y 轴上截距相等的直线有4条，所以答案为D. 答案：D9.已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x+4y+4=0相切，则圆的方程是( ) A.x 2+y 2-2x-3=0 B.x 2+y 2+4x=0 C.x 2+y 2+2x-3=0 D.x 2+y 2-4x=0解析：设圆心坐标为(a,0)(a>0)，由直线3x+4y+4=0与圆相切，可得圆心得直线3x+4y+4=0的距离25|43|43|43|22=+=++=a a d .解得a=2或a=314- (舍去)，故所求的圆的方程为(x-2)2+y 2=4，即x 2+y 2-4x=0.故应选D.答案：D10.过圆x 2+y 2=4外一点P(-4，-2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆的方程为( ) A.(x-4)2+(y-2)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=5 C.x 2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5解析：OP 就是△ABP 的外接圆O 1的直径，所以O 1坐标为(-2，-1).故选B. 答案：B11.如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB 将扇形分成两个部分.这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体积V 1和V 2之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶2D.1∶3 解析：△ABO 旋转成圆锥，扇形OAB 旋转成半球，设AB=R. V 半球=32πR 3,V 锥=3π·R·R 2=3πR 3， ∴(V 半球-V 锥)∶V 锥=1∶1. 答案：A12.如图所示，密闭圆锥内水深为圆锥高的一半，若将其倒放，圆锥内水深应为高的()A.21(372-) B.)17(313- C.31 D.41 解析：利用锥体平行底的截面性质及相关的比例关系. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在横线上.)13.在经过点A(-3，1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__________. 解析：过A(-3，1)的所有直线中，与原点距离最远的是与OA 垂直的直线.k OA =31-, ∴k=3,∴所求直线方程为y-1=3(x+3), 即 3x-y+10=0. 答案：3x-y+10=014.若方程036=++-+k y x y x 仅表示一条直线.则k 的范围_____________. 解析：设y x t +=，则t 2-6t+3k=0仅有相等正根或有一正解与一负①Δ=0时k=3,这时t=3>0②⎪⎩⎪⎨⎧<<=<⇒>=+>∆0.03.00602121t t k k k t t 或故答案：k=3或k<015.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为_________.解析：如图所示∠PPO=30°，设P(x,y)，∵sin ∠APO=22121||||y x PO AO +=⇒,∴x 2+y 2=4.答案：x 2+y 2=416.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m,n)重合，则m+n 的值是_____________.解析：折叠线为A(0，2)、B(4，0)的垂直平分线y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.由k CD =k AB ,且CD 的中点)23,27(nm ++在对称轴y-1=2(x-2)上，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+--=--).227(2123,042073m n m n 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.531,53n m 所以m+n=534. 答案：534三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)李林发现家庭作业中的几何体图形不清楚，他打电话给同学张明请求帮助，张明面对如本题图的几何体应如何描述.解析：本题需要对上述几何体作出语言上的描述，有一个语言组织的问题，这里给出如下两种描述： (1)有一个长方体，它的底面为8×8的正方形，高为4，以上底面的对角线交点为圆心，2为半径画一个圆.这个圆的上面有一个高为8的圆柱.也就是说，这个圆柱的下底面恰好与所画的圆重合. (2)这个几何体由两部分组成，上面为圆柱体，下面为长方体.长方体的大小为4×8×8,8×8的那一面水平放置.圆柱下底面的圆心与8×8那一面的正方形中心重合.圆柱底面圆的直径为4，圆柱的高为8.说明：对几何体的语言描述的次序可以不一致，繁简也不同，但一定要根据对方的理解水平作出合理的描述.18.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠ABC=60°,PC ⊥平面ABCD ，PC=a ，E 为PA 的中点.(1)求证：平面EDB ⊥平面ABCD ； (2)求点E 到平面PBC 的距离.解析：(1)设AC∩BD=0，连结EO ，则∵PC ⊥平面ABCD ∴EO ⊥平面ABCD 又EO ⊆平面EDB故有平面EDB ⊥平面ABCD(2)在底面作OH ⊥BC ，垂足为H ， ∵平面PCB ⊥平面ABCD ， ∴OH ⊥平面PBC又∵OE ∥PC ，∴OE ∥平面PBC ，∴点E 到平面PBC 的距离就是点O 到平面PBC 的距离OH ，如图所示，易得OH=a 43. 19.(本小题满分12分)设P 在正三角形ABC 所在平面外，且AP ，BP ，CP 两两垂直；又G 是△PBO 的重心；E 为BC 上一点，BE=31BC ；F 为PB 上一点，PF=31PB ；AP=BP=CP(如图)(1)求证：GF ⊥平面PBC ；(2)求证：EF ⊥BC.解析：(1)连结BG 并延长交PA 于M ，G 为△ABP 的重心.//3131PBC GF PBC AP PC AP BP AP AP GF PB PF BM MG 平面平面⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⇒ (2)取CQ=31BC ，又已知PF=31PB ，故FQ ∥PC ⇒PB FQ PB PC PC PQ 3232=⎪⎭⎪⎬⎫== BC EF BC EQ BE FB FQ ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫===⇒31.20.(本小题满分12分)已知圆x 2+y 2+4x+10y+4=0.求证：(1)点A(1，-2)在圆内.若过A 作直线l ，并且被圆所截得的弦被点A 平分，求此直线的方程. (2)点B(1，-1)在圆上，并求出过点B 的圆的切线方程. (3)点C(1，0)在圆外，并求出过点C 的圆的切线方程. 解析：圆心M(-2，-5)，半径r=5.(1)∵r AM =<=+-++=533)52()21(||22，∴点A 在圆内.若直线l 垂直于x 轴，弦不被点A 平分，不合题意，故直线l 的斜率存在.设其方程为:y+2=k(x-1)，交点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则⎩⎨⎧=++++-=+,04104)1(222y x y x x k y ∴(1+k 2)x 2-2(k 2-3k-2)x+k 2-6k-12=0,∴x 1+x 2=221)23(2k k k +--, ∴112322=+--=k k k x , ∴k=-1.∴直线l 的方程为:x+y+1=0. (2)∵12+(-1)2+4×1+10×(-1)+4=0, ∴点B(1，-1)在圆上， ∴k BM =34)2(1)5(1=-----,∴过B(1，-1)的圆的切线： y+1=43-(x-1), ∴3x+4y+1=0. (3)∵r CM =>=++=5345)21(||22,∴点C(1，0)在圆外，设过点C 与圆相切的直线方程为： y=k(x-1), ∴kx-y-k=0,∵圆与直线相切， ∴21|52|5k k k +-+-=,∴k=0或k=815-,∴切线方程为： y=0或15x+8y-15=0.21.(本小题满分12分)一束光通过M(25，18)射入被x 轴反射到圆C ：x 2+(y-7)2=25上. (1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程； (2)求在x 轴上反射点A 的活动范围.解析：(1)M(25，18)关于x 轴的对称点为M′(25，-18)依题意，反射线所在直线过(25，-18)，即2502518718--=++x y .即x+y-7=0.(2)设反射线所在直线为y+18=k(x-25). 即kx-y-25k-18=0.依题意：5)1(|182570|22≤-+---∙k k k ,解得:4343-≤≤-k .在①式中令y=0,得x A =2518+k. ∵4334-≤≤-k ,∴43134-≤≤-k .1≤x A ≤223.即在x 轴上反射点A 的活动范围是从点(1，0)到点(223，0)的线段. 22.(本小题满分14分)ABCD —EFGH 表示以AB=4 cm ，BC=3 cm 的长方形ABCD 为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH 是它的截面，当AE=5 cm,BF=8 cm,CG=12 cm 时，试回答下列问题： (1)求DH 的长；(2)求这个几何体的体积；(3)截面四边形EFGH 是什么图形？并证明你的结论.解析：(1)过E 作EB 1⊥BF ，由BB 1=AE=5，所以B 1F=8-5=3.∵平面ABEF ∥平面DCGH ，EF 和HG 是它们分别与截面的交线， ∴EF ∥HG .过H 作HC 1⊥CG,垂足为C 1，则 GC 1=FB 1=3 cm, DH=12-3=9 cm.(2)用一个与该几何体完全相同的几何体，倒置其上，使它们拼接组合成一个以ABCD 为底，高为17 cm 的长方体，设原几何体的体积为V ，则 2V=3×4×17=204 cm 3，即V=102 cm 3.(3)已知EF ∥HG ，同理EH ∥FG ，于是EFGH 是平行四边形. ∵52121=+=F B EB EF ，过E 作ED 1⊥DH ，则DD 1=AE=5，ED 1=AD=3，HD 1=9-5=4， ∴52121=+=H D ED EH .∴EF=EH ，故EFGH 是菱形.。

高中数学模块综合测评含解析人教A版必修2.doc

模块综合测评(教师独具)(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β， a ⊂α， b ⊂β，则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面D ．平行A [满足条件的情形如下：]2．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．13C [由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.]3．两圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值为( ) A ．10－1 B ．102C ．10D ．10－1或10＋1B [因为两圆外切且半径相等，所以|C 1C 2|＝2r .所以r ＝102.] 4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13，则( )A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OCC [|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .]5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．2 2C [圆心(－1，0)，直线x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 C [由题意知：2a －(a ＋1)＝0，得a ＝1，所以2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得x ＝25，y ＝65.]7．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行D [当A ，P ，C 共线时，PC 1与AA 1相交不垂直，所以A ，B 错误；连接BC 1，DC 1(图略)，可以证AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1.又PC 1⊂平面BDC 1，所以PC 1与平面AB 1D 1平行．]8．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， AB ＝2， BC ＝4, AA 1＝6，则AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，连接AC ，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角．因为AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝6，所以CC 1＝AA 1＝6，AC 1＝2 6.所以在Rt △ACC 1中，sin ∠C 1AC ＝CC 1AC 1＝626＝12.所以∠C 1AC ＝30°.] 9．已知点A (－1，1)，B (3，1)，直线l 过点C (1，3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切或相离D [因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6，0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．]10．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是( ) A ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mB ．若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥nC ．若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥αD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD [若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ，A 正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥n ，B 正确；由直线与平面平行的判定定理，若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥α，C 正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，即若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β＝a ，D 不正确．]11．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1C [对任意点P (x ，y )能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y )]max . 设b ＝－(x ＋y )，则y ＝－x －b . 所以圆心(0，1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b |2≤1, 解得－2－1≤b ≤2－1.所以c ≥2－1.]12．如图，在△ABC 中， AB ＝BC ＝6， ∠ABC ＝90°，点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使PC ＝PD ，连接PC, 得到三棱锥P BCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7πD [由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD, 设三棱锥P BDC 外接球的球心为O, △PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD ＝3，O 1D ＝1，及OB ＝OD ，得OB ＝72，所以外接球半径为R ＝72，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝4π×74＝7π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(m ＋1)x －y －(m ＋5)＝0与直线2x －my －6＝0平行，则m ＝________．－2 [由题意知：m ＋1＝2m，解得m ＝1或－2. 当m ＝1时，两直线方程均为2x －y －6＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当m ＝－2时，直线分别为x ＋y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，两直线平行．]14．如图所示，正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.43[平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面，边长、高为1的正四棱锥，所以其体积为2×2×1×13×2＝43.]15．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.]16．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为m 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝m ，PA ＝PC ＝2m ，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．12(2－2)m [由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD .又PD ＝m ，PA ＝2m ，则AD ＝m .设内切球的球心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP (图略)，易知V P ABCD ＝V O ABCD ＋V O PAD ＋V O PAB ＋V O PBC ＋V O PCD ，即13·m 2·m ＝13·m 2×R ＋13×12·m 2·R ＋13×12·2m 2·R ＋13×12· 2 m 2·R ＋13·12·m 2·R ，解得R ＝12(2－2)m ，所以此球的最大半径是12(2－2)m .]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)与直线l 关于y 轴对称．[解] (1)因为l ∥l ′，所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0，3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4，0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4，0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0，3)和(－4，0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2，0)，且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程； (2)若直线l 与圆C 相离，求k 的取值范围．[解] (1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0，4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1，2)， |CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. (2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1>2, 解得k <34.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a . 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0, (m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意． 21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋b (0<b <1)和圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)当k ＝0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两切线的交点坐标；(2)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足∠ONA ＝∠ONB ？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)联立直线l ：y ＝b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程，得A ，B 两点坐标为A (－1－b 2，b )，B (1－b 2，b ).设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y －b ＝kl 1(x ＋1－b 2)，由于k AO ·kl 1＝－1，即－b1－b 2·kl 1＝－1，也就是kl 1＝1－b2b.所以l 1的方程是y －b ＝1－b2b(x ＋1－b 2).化简得l 1的方程为－1－b 2x ＋by ＝1. 同理得，过圆O 上点B 的切线l 2的方程为 1－b 2x ＋by ＝1.联立l 1与l 2的方程得交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .因此，当k ＝0时，两切线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .(2)假设在y 轴上存在一点N (0，t )，满足∠ONA ＝∠ONB ，则直线NA ，NB 的斜率k NA ，k NB 互为相反数，即k NA ＋k NB ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，则y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0，即x 2(kx 1＋b －t )＋x 1(kx 2＋b －t )＝0. 化简得2kx 1x 2＋(b －t )(x 1＋x 2)＝0.①联立直线l ：y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程，得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋1，x 1x 2＝b 2－1k 2＋1.② 将②代入①整理得－2k ＋2kbt ＝0.③因为③式对于任意的实数k 都成立，因此，t ＝1b.故在y 轴上存在一点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，满足∠ONA ＝∠ONB .。

高中数学人教a版(浙江专版)必修2模块综合检测含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．不确定解析：选C 将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C.2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，E的投影点为PA的中点，EC为实线，故B正确．3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( )A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m解析：选A 对于A，若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内，故B不正确；对于C，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确；对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确．故选A.4.过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为( )A．4 B．2C.85D.125解析：选A 根据题意，知点P在圆C上，∴切线l的斜率k＝－1k CP＝－11－42＋2＝4 3，∴切线l的方程为y－4＝43(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.故切线l与直线m间的距离d＝|0－20|42＋(－3)2＝4.5．设a，b为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若a不平行于α，则在α内不存在b，使得b平行于aB．若a不垂直于α，则在α内不存在b，使得b垂直于aC．若α不平行于β，则在β内不存在a，使得a平行于αD．若α不垂直于β，则在β内不存在a，使得a垂直于α解析：选D 若a 不平行于α，则当a ⊂α时，在α内存在b ，使得b ∥a ，故A 错误；若a 不垂直于α，则当a ⊂α时，在α内存在直线b ，使得b ⊥a ，故B 错误；若α不平行于β，则在β内存在直线a ，使得a ∥α，故C 错误；由平面与平面垂直的判定定理知D 正确，故选D.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12×2＝π，∴V ＝13＋π.7．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．310解析：选C 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M.又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径为R ＝OA ＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＝132.8．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径r ＝1，由圆的性质知S 四边形PACB ＝2S △PBC ，∵四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值为1＝12rd(d 是切线长)，∴d 最小值＝2，|PC|最小值＝22＋12＝ 5.∵圆心到直线的距离就是|PC|的最小值，∴|PC|最小值＝51＋k 2＝5，∵k>0，∴k ＝2，故选D.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝110．已知l 1，l 2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当直线AB 与l 1，l 2均垂直时，l 1，l 2间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2，∴kl 1＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝011．已知在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．解析：由于AC ∥A 1C 1，所以∠BA 1C 1或其补角就是异面直线A 1B 与AC 所成的角．连接BC 1，在△BA 1C 1中，A 1B ＝6，A 1C 1＝1，BC 1＝5，所以A 1B 2＝A 1C 21＋BC 21，即∠BC 1A 1＝90°，所以cos ∠BA 1C 1＝66.答案：6612．已知点P(a ，b)关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________；圆C 与圆C ′的公共弦的长度为________．解析：将圆C 的方程化为标准形式为(x －3)2＋(y －1)2＝10，由已知结论可得圆心C(3,1)关于直线l 的对称点C ′为(2,2)，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝10.将两圆方程相减消去平方项可得公共弦所在直线的方程为x －y －1＝0，故弦长为210－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝10 3813．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．解析：由直线l 1的倾斜角为π4，得－a ＝tan π4＝1，∴a ＝－1.由l 1⊥l 2，得－a ×1＝－1，∴a ＝1.由l 1∥l 2，得a ＝－1，∴直线l 1的方程为x －y ＋1＝0，故两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|2＝22.答案：－1 1 2 214.如图，已知圆C 与x 轴相切于点T(1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B(B 在A 的上方)，且|AB|＝2. (1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．解析：(1)记AB 的中点为D ，在Rt △BDC 中，易得圆C 的半径r ＝BC ＝ 2.因此圆心C 的坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)因为点B 的坐标为(0，2＋1)，C 的坐标为(1，2)，所以直线BC 的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y ＝x ＋2＋1，故切线在x 轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－115．在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为(填写编号)________，此四面体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体的正视图是一个正方形，其顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(0,2,2)且一条对角线(左下右上)可见，另一条对角线(左上右下)不可见，故正视图为③，同理，侧视图和俯视图都为②.此四面体体积为V ＝2×2×2－4×13×2×12×2×2＝83.答案：③②②8 3三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC.又BC是圆O的直径，所以|OB|＝|OC|.又|AB|＝|AC|＝6，所以OA⊥BC，|BC|＝6 2.所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OF|＝3 2.如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．17.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE.证明：(1)由题设知，B1B⊥AB，又AB⊥BC，B1B∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.因为AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12 AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，所以C1F∥平面ABE.18．(本小题满分15分)光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A ′(－4，－3)．由于反射光线所在直线经过点A ′(－4，－3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y －1＝(x －1)·1＋31＋4，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为y －3＝(x －2)·3＋132＋23，即5x －4y ＋2＝0.19．(本小题满分15分)已知四棱锥P -ABCD 如图所示，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝2，CD ＝PD ＝1，△PAB 为等边三角形．(1)证明：PD ⊥平面PAB ； (2)求二面角P -CB -A 的余弦值．解：(1)证明：如图，连接BD. 易知在梯形ABCD 中，AD ＝5，而PD ＝1，AP ＝2，所以PD 2＋AP 2＝AD 2，则PD ⊥PA ，同理PD ⊥PB ，又PA ∩PB ＝P ，故PD ⊥平面PAB.(2)如图，取AB 的中点M ，连接PM ，DM ，作PN ⊥DM ，垂足为N ，再作NH ⊥BC ，垂足为H ，连接PH.由(1)，得AB ⊥平面DPM ，则平面ABCD ⊥平面DPM ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥BC ，PN ⊥NH. 又NH ⊥BC ，PN ∩NH ＝N ，所以BC ⊥平面NPH ，即∠NHP 是二面角P -CB -A 的平面角．∴在Rt △HNP 中，PN ＝32，NH ＝1，则PH ＝72，cos ∠NHP ＝NH PH ＝277，即二面角P -CB -A 的余弦值为277.20．(本小题满分15分)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点． (1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使得∠APB ＝60°？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ，－2－34x .因为圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12×|AP|×|AC|＝|AP|.因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋2＋34x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫54x ＋12＋9.所以当x ＝－45时，|PC|2min ＝9.所以|AP|min ＝9－1＝22，即四边形PACB 面积的最小值为2 2.(2)假设直线上存在点P 满足题意．因为∠APB ＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2. 设P(x ，y)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P 是不存在的．§4 二项分布1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(难点) 3．了解二项分布与超几何分布的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P48～P50，完成下列问题．1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互________的结果，可以分别称为“________”和“________”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．【答案】(1)对立成功失败(2)1－p2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P(X ＝k)＝________(k ＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～________.【答案】 (1)C k np k (1－p)n －k (2)B(n ，p)1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】 ①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.【答案】38[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验．【自主解答】(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＋C 12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C 04p 0(1－p)4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)13一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. (2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235.故η的分布列为!1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B(n ，p)中的试验次数n 与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X ＝k)＝C k np k (1－p)n －k (k ＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P(AB ＋A －B －)＝P(A)P(B)＋P(A )P(B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12.∴P(ξ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为[探究共研型]探究1 王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3 王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．(2016·泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．【精彩点拨】 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23；(2)AB 表示事件A 、B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．【自主解答】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－233＝127，P(ξ＝1)＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232＝29， P(ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝49，P(ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827.所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ＋D ，且C ，D 互斥，又P(C)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23⎣⎢⎢⎡23×13×12＋13×23×⎦⎥⎥⎤12＋13×13×12＝1034，P(D)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13×13×12＝435，由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D) ＝1034＋435＝3435＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.[再练一题]3．(2016·余姚高二质检)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．【解】记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P(A i )＝12，P(B j )＝13，P(C k )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P ＝3! P(A 1B 2C 3)＝6P(A 1)P(B 2)P(C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＝29，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827. 故ξ的分布列是法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P(D i )＝P(A i ∪C i )＝P(A i )＋P(C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，23，即P(ξ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133－k ，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是[构建·体系]1．(2016·桂林二模)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P(X ＝12)＝( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫382 D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582 【解析】 “X ＝12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此，P(X ＝12)＝38·C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582.【答案】 D2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14【解析】 ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34.【答案】 C3．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________. 【62690039】【解析】每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A 片区房源记为A ，则P(A)＝13，所以恰有2人申请A 片区的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝827. 【答案】8274．设X ～B(4，p)，且P(X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________．【解析】 P(X ＝2)＝C 24p 2(1－p)2＝827，即p 2(1－p)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23.【答案】13或235．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．【解】设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A ，B ”，则P(A)＝23，P(B)＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为 C 44P 4(A)[1－P(A)]0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＝1681. 所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为 1－1681＝6581.(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为 C 24P 2(A)·[1－P(A)]2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝827. 乙恰好击中3次，概率为C 34P 3(B)·[1－P(B)]1＝2764.故所求概率为827×2764＝18.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为( )A．0.93B．1－(1－0.9)3C．C35×0.93×0.12D．C35×0.13×0.92【解析】由独立重复试验恰好发生k次的概率公式知，该事件的概率为C35×0.93×(1－0.9)2.【答案】 C2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为14，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )A.116 B.135512C.45512D.271 024【解析】此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P ＝C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫343＝135512. 【答案】 B3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B.25 C.56 D.34【解析】设所求概率为p ，则1－(1－p)4＝6581，得p ＝13. 【答案】 A4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125 B ．C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125C ．C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123 D ．C 25×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125【解析】如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所以概率为 P ＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125.故选B.【答案】 B5．若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，则P(ξ＝k)最大时，k 的值为( )A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．5【解析】依题意P(ξ＝k)＝C k 5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.可以求得P(ξ＝0)＝32243，P(ξ＝1)＝80243，P(ξ＝2)＝80243，P(ξ＝3)＝40243，P(ξ＝4)＝10243，P(ξ＝5)＝1243.故当k ＝2或1时，P(ξ＝k)最大．【答案】 A 二、填空题6．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)【解析】设发生车祸的车辆数为X ，则X ～B(1 000，0.001)．(1)记事件A ：“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X ＝0)＝1－0.9991 000≈1－0.367 70＝0.632 3.(2)恰好发生一次车祸的概率为P(X ＝1)＝C 11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1. 【答案】 0.632 3 0.368 17．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)【解析】由已知可求通项公式为a n ＝10－2n(n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12.∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＝625. 【答案】6258．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B(10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B(8，p)；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫n ，12.【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．【答案】 ①② 三、解答题9．(2016·滨州高二检测)某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A 社区医院的人数为X ，求X 的分布列．【解】由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为13，4名人员选择A 社区即4次独立重复试验，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，13，所以P(X ＝k)＝C k 4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234－k (k ＝0,1,2,3,4)，所以X 的分布列为10.(2016·柳州高二检测)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为35，乙队获胜的概率为25，且每局比赛的胜负是相互独立的．(1)求甲队以3∶2获胜的概率； (2)求乙队获胜的概率．【解】 (1)设甲队以3∶2获胜的概率为P 1，则P 1＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·35＝6483 125. (2)设乙队获胜的概率为P 2，则P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·35·25＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·25＝9923 125.[能力提升]1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648【解析】甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648.【答案】 D2．(2016·孝感高级中学期中)掷一枚质地均匀的骰子n 次，设出现k 次点数为1的概率为P n (k)，若n ＝20，则当P n (k)取最大值时，k 为( )A ．3B ．4C ．8D ．10【解析】掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X ，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫20，16，P n (k)＝C k 20·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5620－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16k .P n k P nk －1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1.当1≤k ≤3时， 15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1>1，P n (k)>P n (k －1)．当k ≥4时，15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1<1，P n (k)<P n (k－1)．因此k ＝3时，P n (k)取最大值．故选A.【答案】 A3．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________. 【62690040】【解析】所有同学都不通过的概率为(1－p)n ，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n .【答案】 1－(1－p)n4．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．【解】 (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝13.(2)X 的可能取值分别为0,1,2,3，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，13，则P(X ＝0)＝C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827， P(X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝49，P(X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫231＝29，P(X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127.X 的分布列如下：第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点) 2．会应用两个计数原理解决简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P3“例1”和P4“例2”部分，完成下列问题．两个计数原理的联系与区别：。

(人教a版)高一数学必修2模块综合测评试卷(一)(有答案)

模块综合测评一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是( )A.因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点思路解析:根据公理1判断,只要当直线上有两点在一个平面内,则这条直线就在平面内;反之,只要直线上有一个点不在平面内,则这条直线就不在平面内. 答案:C2过点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.23-B.32-C.52D.2 思路解析:用两点式得到过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3.令y=0,得x=23-. 答案:A3在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与AD 成异面直线的棱共有( ) A.4条 B.5条 C.6条 D.7条思路解析:其余11条棱中,有4条与AD 异面,有三条与它相交,其他4条异面. 答案:A4点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a<-1或a>1 D.a=±1思路解析:解不等式(1-a)2+(1+a)2<4. 答案:A5球的面积膨胀为原来的3倍,膨胀后的球的体积为原来的( ) A.3倍 B.32倍 C.33倍 D.4倍思路解析:球的面积变为原来的3倍,球的半径就变为原来的.3倍,则它的体积就变为原来的33倍. 答案:C6下列命题:①一条直线在平面内的射影是一条直线. ②在平面内射影是直线的图形一定是直线. ③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行. 其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3思路解析:各个命题,都可以举出反例说明它们不成立,如:命题①一条直线的射影可以为一个点;命题②和此平面垂直的平面在此平面内的射影也可以是一条直线;命题③与此平面所成不同角的斜线射影长相等,但斜线长不相等;命题④两斜线与平面所成角相等,则他们也可能相交或异面. 答案:A7已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m),则AB 的最小值是( ) A.179 B.173C.17173D.17179思路解析:AB 2=(1-2m)2+(2-3m)2+(-2+2m)2=17m 2-24m+9=17(m-172)2+179=179, ∴AB min =17173179=. 答案:C8正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,下列结论不成立的是( )A.AC⊥BDB.△ADC 为正三角形C.AB 、CD 所成角为60°D.AB 与面BCD 所成角为60°思路解析:AB 与面BCD 所成的角应为45°. 答案:D9从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A.π B.2π C.4π D.6π 思路解析:将圆的方程配方得: x 2+(y-6)2=9,圆心在(0,6),半径为3.如图1,Rt△PAO 中,OP=6=2PA,图1从而得到∠AOP=30°,即∠AOB=60°.可求∠BPA=120°. ∴P 的周长为2π×3=6π, 劣弧长为周长的31,可求得劣弧长为2π. 答案:B10a 、b∈N *,则同时过不同三点(a,0)、(0,b)、(1,3)的直线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.多于3 思路解析:过(a,0)与(0,b)的直线为by a x +=1, 于是ba 31+=1, 故3a=b(a-1).若b=3m,m∈N *,则a=m(a-1),于是m≤2,代入逐个验证可知,m=2,a=2,进而b=6;若b≠3m,则必有a-1=3n,n∈N *,则1=n(b-3),于是只有n=1,b=4,进而a=4, 故满足条件的直线最多有2条. 答案:B11图2,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=23,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为…( )图2A.29 B.5 C.6 D.215 思路解析:分别取AB 、CD 的中点G 、H 连EG,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积29,进而整个多面体的体积为215. 答案:D12光线从点A(-1,1)射出经x 轴反射到圆C:(x-5)2+(y-7)2=4的最短路程是( ) A.26-2 B.8 C.64 D.10 思路解析:点A(-1,1)关于x 轴的对称点是A′(-1,-1).圆心C(5,7),最短路程是A′C -r=2286+-2=8. 答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上) 13过P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为___________. 思路解析:过P 点且垂直于OP 的直线为所求,方程为x+2y-5=0. 答案:x+2y-5=014已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=1,则球面面积为___________-.思路解析:由于球心在截面ABC 上的射影是△ABC 的外心(即小圆的圆心),则小圆的半径、球的半径及球心到截面的距离组成一个直角三角形,求出球的半径为32,最后利用球的面积公式得S=916π为所求. 答案:916π15在xOy 平面上,四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)、(0,3),则这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为__________.思路解析:几何体的体积为一个圆台(两底半径分别为1、3,高为2)的体积减去一个圆锥的体积(底为1,高为1). 答案:325π16如图3,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图3思路解析:上面补成一个与原图形一样的图,把它倒扣在原图上即成一个圆柱.它的高为21(a+b).所求体积为它的一半. 答案:21πr 2(a+b) 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)如图4,A 、B 分别是异面直线a 、b 上两点,自AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行,M 、N 分别是a 、b 上的任意两点,MN 与α交于点P.图4求证:P 是MN 的中点.思路分析:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,从而在△ABN 和△AMN 中利用中位线的性质求解. 证明:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,∵b∥α,OQ 是过直线b 的平面ABN 与α的交线,∴b∥OQ.同理PQ∥a.在△ABN 中,O 是AB 的中点,OQ∥BN, ∴Q 是AN 的中点. 又∵PQ∥a,∴P 是MN 的中点.18(本题满分12分)画出方程|xy|+1=|x|+|y|的图形,并求图形所围成的面积S. 思路分析:关键是先把题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0这种易于求解的形式. 解:将题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0,由它得到|x|=1或|y|=1x=±1或y=±1.它的图形(如图5)是四条直线围成的正方形ABCD,它的边长为2,面积为S=22=4.图519(本题满分12分)如图6所示,在正△ABC 中,E 、F 依次是AB 、AC 的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D 、H 、G 为垂足.若将正△ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值为多少？图6思路分析:阴影部分所产生旋转体体积用形成的大圆锥体积减去圆柱的体积方法计算. 解:设圆锥的高为h,底面半径为r,则圆柱的高为2h ,底面半径为2r . 所以,85312)2(1122=••-=-=-h r h r VV V V V ππ柱柱. 20(本题满分12分)圆C:x 2+y 2-x-6y+F=0与直线l:x+2y-3=0交于两点P 、Q,且OP⊥OQ,求F 的值.思路分析:P,Q 两点即为圆的方程和直线的方程联立得到的方程的解.但没有必要求两点坐标的具体值,F 的值我们可以通过运用一元二次方程根与系数的关系灵活求解. 解:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).联立题目中圆和直线的方程并消去y,我们有⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+--+.23,0622xy F y x y x 5x 2+2x+4F-27=0. 根据根与系数的关系,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=•-=+.5274,522121F x x x x根据题意,有PO⊥OQ 2211x y x y •⇒=-1⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+⇒=-•-0232321x x 5x 1x 2-3(x 1+x 2)+9=0⇒5×52109)52(35274=⇒=+-⨯--F F . 21(本题满分12分)如图7,已知多面体ABCDE 中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为CE的中点.图7(1)求证:BF⊥面CDE.(2)求多面体ABCDE 的体积.(3)求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小.思路分析:(1)如图6,取CD 的中点G,DE 的中点H,连接FG,FH,容易证明它们也是相应边的垂线.再连接BH.欲证线面垂直,先证线线垂直.如果BF⊥面CDE 证明成立的话,则必然有BF⊥CE,考虑到F 为CE 的中点,我们的目标就是要证明△BCE 是等腰三角形.另外由于BF 在平面ACD 上的射影AG 是△ADC 的边CD 上的高,所以BF⊥CD.这样BF 就垂直于平面ACD 上的两条相交直线,从而BF⊥面CDE.(2)求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3)注意到△BCE 在平面ACD 上的射影就是△ADC,有结论:两者的面积之比就是所成二面角的余弦值,利用这个结论列式求解. 解:(1)证明:∵AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC, 由AB=a,AC=2a,得BC=5a.同理,在直角梯形ABDE 中,AB⊥AD,DE⊥AD,且AB=a,AD=DE=2a,所以BE=5a. 又F 是CE 的中点,∴BF⊥CE.∵BF 在面ACD 上的射影是等边△ADC 的边CD 上的高, ∴BF⊥CD.∴BF⊥平面CDE.(2)解:连结BD,把原几何体分成三棱锥B —ACD 与三棱锥B —CDE.V B —ACD =31AB·S ACD =31·a·43(2a)2=33a 3.∵CE=22a,CF=2a, 而BC=5a,∴BF=3a,∴V B —CDE =31BF·S CDE =31·3a·21·(2a)2=3323a .故所求多面体ABCDE 的体积为3a 3.(3)解:设面BCE 与面ACD 所成的角为θ. ∵△BCE 在面ACD 上的射影为△ACD,∴cosθ=2232221)2(432=••=∆∆a a a s S BCE CDA , ∴θ=4π 22(本题满分14分)已知圆C:x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.思路分析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是A 和B 的坐标值.但不必解出A 和B 坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以AB 为直径的圆可表示为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. 解:假设直线存在,设l 的方程为y=x+m,由⎩⎨⎧=-+-++=,0442,22y x y x m x y得2x 2+2(m+1)x+m 2+4m-4=0.(*) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+y 2=-(m+1),x 1x 2=2442-+m m .∵以AB 为直径的圆(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0, 若它经过原点,则x 1x 2+y 1y 2=0.又y 1·y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2.∴2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=0,∴m 2+3m-4=0,m=-4或m=1.∵当m=-4或m=1时,可验证(*)式的Δ>0, ∴所求直线l 的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.。

高一数学人教A版必修2模块综合测评二含解析精品

模块综合测试（满分120分,测试时间100分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，②棱台的各侧棱不一定相交于一点，③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台，④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析:命题①中：底面多边形内接于一个圆，但并不能推测棱长相等；命题②中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延长后相交于一点；命题③中:因两个直角三角形相似且对应边平行，可推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题③正确；命题④中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段. 答案：C2.图1是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的()图1解析:从三个角度看都是符合的，故选D. 答案：D3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()图2A.16πB.20πC.24πD.32π解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,根据球的表面积公式可得球的表面积为24π. 答案：C4.木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的( ) A.60倍 B.3060倍 C.120倍 D.30120倍解析:设木星的半径为r 1,地球的半径为r 2,由题意,得302403231 r r ,则木星的表面积∶地球的表面积=.120302403024013024032231232312221=⨯=⨯=∙=r r r r r r答案：C5.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图3所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC 是一个()图3A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC 是一个等边三角形. 答案：A6.已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ； ③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析:通过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题. 答案：C7.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3). 答案：D8.点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:将图形补成一个正方体如图，则PA 与BD 所成角等于BC′与BD 所成角即∠DBC′.在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA 与BD 所成角为60°.答案：C9.若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α,l ⊥β⇒α⊥β．其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①中可由长方体的一角证明是错误的；②③易证明是正确的. 答案：C10.已知实数x 、y 满足2x+y+5=0，那么22y x +的最小值为( )A.5B.10C.52D.102 解析:22y x +表示点P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得22y x +的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离，即d=555=.答案：A11.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析:与点A （1,2）的距离为1的直线即为以点A(1,2)为圆心，以1为半径的圆的切线.与点B （3,1）的距离为2的直线即为以点B(3,1)为圆心，以2为半径的圆的切线.所以到A 、B 两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线，因｜AB ｜=5)12()31(22=-+-，且125+<，所以两圆相交，故有两条公切线.答案：B12.矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角BACD ，则四面体ABCD 的四个顶点所在球的体积为( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解析:连结矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，则AO=BO=CO=DO ，翻折后仍然AO= BO=CO=DO ，则O 为四面体ABCD 四个顶点所在球的圆心，因此四面体ABCD 四个顶点所在球的半径为25，故球的体积为ππ6125)25(343=. 答案：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.圆台上、下底半径为2和3，则中截面面积为________________.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的半径为x ，故有4x=4+6，解得x=π425,25=S . 答案：π42514.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________.解析:由已知可设经过直线2x+3y-7=0与 7x+15y+1=0的交点的直线方程为2x+3y-7+λ(7x+15y+1)=0，整理得(2+7λ)x+(3+15λ)y -7+λ=0.根据两直线平行关系得λ=1，代入得3x+6y-2=0.答案：3x+6y-2=015.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________．解析:根据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小,即以AB 为直径端点的圆满足条件,所求方程为x 2+y 2=9. 答案：x 2+y 2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为Q ，则圆锥的体积为___________.解析:设圆锥的高为h,半径为r,母线为l ,则S 侧=πr l ，S 底=πr 2，∵S 侧=2S 底,∴πr l =2πr 2，即l =2r.又l 2=r 2+h 2，解得h=r 3. 又∵S 轴截面=rh=Q,∴r 2=3Q ,即r=43Q.∴h=4333Qr =.故V 圆锥=31πr 2h=433Q Q π.答案：433QQ π17.已知圆柱的高为h ，底面半径为R ，轴截面为矩形A 1ABB 1，在母线AA 1上有一点P ，且PA=a ，在母线BB 1上取一点Q ，使B 1Q=b ，则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离为____________.解析:如图甲，沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形（如图乙），过P 作PE ∥AB 交BB 1于E ，则PE=AB=21·2πR=πR ，QE=h-a-b. ∴PQ=2222)()(b a h R QE PE --+=+π.答案：22)()(b a h R --+π18.过圆x 2+y 2=4外的一点A(4,0)作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为________________.解析:设弦的中点是P(x 0,y 0)，根据圆的几何性质得OP ⊥AP ，即点P(x 0,y 0)在以OA 为直径的圆上，即(x 0-2)2+y 02=4.因P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4内，故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1).答案：(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1)三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本小题满分10分）已知直线l 垂直于直线3x-4y-7=0，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l 的方程.解：设直线l 方程为4x+3y+b=0，则l 与 x 轴、y 轴的交点为A(4b -,0),B(0,3b -). ∴｜AB ｜=b 125.由｜OA ｜+｜OB ｜+｜AB ｜=10,得12||53||4||b b b ++=10.∴b=±10. ∴l 方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.（本小题满分12分）圆锥底面半径为1 cm ，高为2 cm ，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1，如图，设正方体棱长为x ，则CC 1=x,C 1D 1=2x.作SO ⊥EF 于O ，则SO=2,OE=1, ∵△ECC 1∽△ESO,∴EOEC SO CC 11=. ∴12212x x -=. ∴x=22(cm). ∴正方体棱长为22cm. 21.（本小题满分12分）(2005江苏高考,19)如图4,圆O 1与圆O 2的半径都是1, O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.图4解：如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O 1(-2,0),O 2(2,0).设P(x,y)，则PM 2=O 1P 2-O 1M 2=(x+2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y 2-1． ∵PM=2PN ，∴(x+2)2+y 2-1=2［(x-2)2+y 2-1］，即x 2-12x+y 2+3=0，即 (x-6)2+y 2=33．这就是动点P 的轨迹方程．22.（本小题满分14分）如图5，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点.图5（1）求二面角B 1MNB 的正切值；（2）求证：PB ⊥平面MNB 1.（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P 、B 两点间的距离.（1）解：连结BD 交MN 于F ，连结B 1F.∵平面DD 1B 1B ⊥平面ABCD,交线为BD ，AC ⊥BD, ∴AC ⊥平面DD 1B 1B.又∵AC//MN ， ∴MN ⊥平面DD 1B 1B.∵B 1F,BF ⊂平面DD 1B 1B ， ∴B 1F ⊥MN,BF ⊥MN. ∵B 1F ⊂平面B 1MN ，BF ⊂平面BMN ，则∠B 1FB 为二面角B 1-MN-B 的平面角. 在Rt △B 1FB 中，设B 1B=1，则FB=42， ∴tan ∠B 1FB=22.（2）证明：过点P 作PE ⊥AA 1，则PE ∥DA ，连结BE. 又DA ⊥平面ABB 1A 1，∴PE ⊥平面ABB 1A 1,即PE ⊥B 1M. 又BE ⊥B 1M ，∴B 1M ⊥平面PEB. ∴PB ⊥MB 1.由（1）中MN ⊥平面DD 1B 1B,得PB ⊥MN ，所以PB ⊥平面MNB 1. （3）解：PB=213，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：。

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模块综合试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列命题正确的是( )A ．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形B ．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用，两条平行线确定一个平面，第三条直线与其相交，由公理1可知，这三条直线共面，故B 正确．答案：B2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－45D.45解析：由题意可知两直线的斜率存在，且－a －2a ＝－23，解得a ＝6.答案：B3．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( ) A．3πa2B．4πa2C．5πa2D．6πa2解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，∠ASO＝30°，在Rt△SA′O′中，rSA′＝sin30°，∴SA′＝2r.在Rt△SAO中，2rSA＝sin30°，∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a.∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2. 答案：C4．若直线l过点A(3,4)，且点B(－3,2)到直线l的距离最远，则直线l的方程为( )A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0解析：当l⊥AB时，符合要求．∵k AB＝4－23＋3＝13，∴l的斜率为－3，∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.答案：D5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )A. 3 B．2C. 6 D．2 3解析：直线方程为y＝3x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离d＝|3×0－2|(3)2＋(－1)2＝1.故所求弦长l＝222－12＝2 3.答案：D6．如图，在三棱锥S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能题图答图解析：连接SG 1，SG 2并延长分别交AB 于点M ，交AC 于点N.∵SG 1G 1M ＝SG 2G 2N，∴G 1G 2∥MN. ∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点， ∴MN ∥BC.故G 1G 2∥BC. 答案：B7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1，S 2，S 3，则( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 2解析：设棱锥的底面面积为S.由截面的性质，可知S S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫212S 1＝14S ；S S 2＝21S 2＝12S ；⎝⎛⎭⎪⎪⎫S S 33＝21S 3＝134S ，故S 1<S 2<S 3.答案：A8．在圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中，若D 2＝E 2>4F ，则圆的位置满足( )A ．截两坐标轴所得弦的长度相等B．与两坐标轴都相切C．与两坐标轴相离D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.∴圆被x轴截得的弦长为|x1－x2|＝D2－4F.同理得圆被y轴截得的弦长为E2－4F＝D2－4F.故选A.答案：A9．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选D.答案：D10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和正方形ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°. 答案：B11．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2 解析：圆心C(0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1.∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2，∴k 2＝4，即k ＝±2.又k>0，∴k ＝2. 答案：D12．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3解析：取AC 的中点O.由O 到各顶点距离相等，知O 是球心．设外接球的半径为R ，则2R ＝5，R ＝52.故外接球的体积V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A(－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝014．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为3,4,4，所以长方体的体积为3×4×4＝48.答案：4815．侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．解析：侧棱长为a的正三棱锥P－ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.答案：3πa216．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，且5<|m|<35，又O1A⊥AO2，则有m2＝(5)2＋(25)2＝25，得m＝±5.故|AB|＝2×5×205＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0. 当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·|－m 3|·|－m4|＝24. ∴m ＝±24.∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18．(12分)已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V 圆锥＝13π×22×2＝8π3，中部圆柱的体积V 圆柱＝π×22×10＝40π，下部圆柱的体积V ′圆柱＝π×42×1＝16π，故此组合体的体积V ＝8π3＋40π＋16π＝176π3.19．(12分)求过点A(－2，－4)且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C(－D 2，－E2)．∴k CB ＝6＋E 28＋D2.∵k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2·(－13)＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，② 82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0，③所以解①②③可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.20．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，△PAB 是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝2，PC ＝4.(1)若点E 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDE ；(2)若点F 在线段PA 上，且FA ＝λPA ，当三棱锥B －AFD 的体积为43时，求实数λ的值．解：(1)证明：如图(1)，连接AC ，设AC ∩BD ＝Q ，连接EQ.因为四边形ABCD 是矩形，所以点Q 是AC 的中点．又点E 是PC 的中点，则在△PAC 中，中位线EQ ∥PA ，又EQ 平面BDE ，PA 平面BDE ，所以PA ∥平面BDE.(2)依据题意可得：PA ＝AB ＝PB ＝2，取AB 中点O ，连接PO.所以PO ⊥AB ，且PO ＝ 3. 又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD(如图(2))；作FM ∥PO 交AB 于点M ，则FM ⊥平面ABCD.因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥AB.同理，可证BC ⊥平面PAB ，PB 平面PAB ，则△PBC 是直角三角形．所以BC ＝PC 2－PB 2＝2 3.则直角三角形ABD 的面积为S △ABD ＝12AB ·AD ＝2 3. 所以43＝V B －AFD ＝V F －ABD ＝13S △ABD ·FM ＝233FM `FM ＝233.由FM ∥PO ，得FM PO ＝FA PA ＝λ2333＝λλ＝23.21．(12分)如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB<CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝a ，SD ＝2a.(1)求证：平面SAB ⊥平面SAD.(2)设SB 的中点为M ，当CD AB为何值时，能使DM ⊥MC ？请给出证明．解：(1)证明：∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD.又∵SD ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴SD ⊥AB.又∵SD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面SAD.又∵AB 平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD.(2)当CD AB＝2时，能使DM ⊥MC.证明：连接BD，∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，∴BD＝2a，∠BDA＝45°，∴SD＝BD.又∵M为SB的中点，∴DM⊥SB.①设CD的中点为P，连接BP，∴DP∥AB，且DP＝AB.故四边形ABPD是平行四边形．∴BP∥AD.故BP⊥CD.因而BD＝BC.又∵∠BDC＝90°－∠BDA＝45°，∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD. 又∵DM平面SBD，∴DM⊥BC.②由①②知DM⊥平面SBC，又∵MC平面SBC，∴DM⊥MC.22．(12分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C，D两点．(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．解：(1)∵点M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM，则MA⊥x轴，NC⊥x轴，由题意知：M，N点都在∠COD的平分线上，∴O，M，N三点共线．由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM ON＝MA NC，即23＋r＝1rr＝3，则OC＝33，则圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到该直线的距离d＝32，则弦长为2r2－d2＝33.。

2024_2025学年高中英语模块综合测评含解析新人教版必修2

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷第一部分听力(共两节,满分30分)第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What does the man mean?A.She should take more exercise.B.She’d better have a few days’ rest.C.She is badly ill.2.On which day will Mr White be free?A.This Saturday.B.Next Friday.C.Next Sunday.3.Where does the conversation most probably take place?A.At a bookstore.B.At a post office.C.At a supermarket.4.How many people are mentioned in the dialogue?A.At least four.B.Only three.C.More than five.5.At which price may the man buy the chair in the end?A.$15.B.$25.C.$20.其次节(共15小题;每小题1.5分,满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟;听完后,各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料,回答第6至8题。

6.What are the two speakers talking about?A.The building of London.B.The traffic of London.C.Travelling in Britain.7.What does the woman think of the London taxi?A.Rather slow. B fortable. C.Too expensive.8.In the woman’s opinion,what is the best way to travel in London?A.By bus.B.By underground.C.On foot.听第7段材料,回答第9至11题。

人教A版高一数学必修2模块综合测评(二)含解析

模块综合测试（满分120分，测试时间100分钟）一、选择题（本大题共 12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1•给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，②棱台的各侧棱不一定相交于一点，③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台， ④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线•其中正确的个数为（） A.3B.2C.1D.0解析：命题①中：底面多边形内接于一个圆，但并不能推测棱长相等；命题②中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延长后相交于一点；命题③中：因两个直角三角形相似且对应边平行，可推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题③正确；命题④中：上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段答案：C2•图1是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的（）球心在该长方体的中心，即球的直径为26,根据球的表面积公式可得球的表面积为 24 n. 答案：C4•木星的体积约是地球体积的 240 30倍，则它的表面积约是地球表面积的（）解析:设木星的半径为3「1,地球的半径为 °由题意，得食-240、30,则木星的表面积：地球「2A.60 倍C.120 倍解析:从三个角度看都是符合的，故选答案：D D.3•已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16,则这个球的表面积是（）A.16 nB.20 n图2C.24 nD.32 n解析：由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2•因正四棱柱属于长方体，因此所求球的 B.60-30 倍D.120、30 倍A3_________________厶•空=240.301「..2402 .302= 120.Dr i3 240、30答案：C5•已知水平放置的△ ABC 是按斜二测画法”得到如图3所示的直观图，其中是一个(解析:根据斜二测画法”可得BC=B C =2,AO=2A O'』3 .故原△ ABC 是一个等边三角形. 答案：A6. 已知直线m 、n 与平面a 3,给出下列三个命题：①若 m II a, n 〃 a,贝U m II n ;②若 m II a, n 丄 a,贝U n 丄m ; ③若m 丄a, m l 3贝U a 丄3其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:通过举例可证明①错误，可知②③命题为正确命题. 答案：C7. 点P(2,5)关于直线x+y+仁0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上可得对称点为(-6,-3). 答案：DPD 丄平面 ABCD , PD=AD ，贝U PA 与BD 所成角的度C.60°D.90 °PA 与BD 所成角等于BC 与BD 所成角即/ DBC •在等边三角形DBC 中，/ DBC =60°,即PA 与BD 所成角为60°.答案：C9.若I 为一条直线，a 3 丫为三个互不重合的平面，给出下面三个命题: ①a 丄Y , 3丄a 丄3②a 丄丫，3a 丄3；③丨〃 a ,丄a 丄3-的表面积=2 ri ~2A.等边三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形B.直角三角形D.三边互不相等的三角形8.点P 在正方形ABCD 所在平面外, 数为( )A.30 °B.45 °解析:将图形补成一个正方体如图，则B ' o' =C ' O' =1，那么原厶其中正确的命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①中可由长方体的一角证明是错误的；②③易证明是正确的答案：C10•已知实数x、y满足2x+y+5=0，那么x2y2的最小值为（）A. ,5B. 10C.2.5D. 2 10解析:、x2y2表示点p（x,y）到原点的距离•根据数形结合得x2y2的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离，即d=_・=J5答案：A11.在坐标平面内，与点A（1,2）距离为1，且与点B（3,1）距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条解析:与点A（1,2）的距离为1的直线即为以点A（1,2）为圆心，以1为半径的圆的切线与点B （3,1 ）的距离为2的直线即为以点B（3,1）为圆心，以2为半径的圆的切线所以到A、B两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线，因丨AB丨=「（1匚3）2—（2二1）' —5，且\ 5 : 2 1，所以两圆相交，故有两条公切线答案：B12.矩形ABCD 中，AB=4 , BC=3 , 体ABCD的四个顶点所在球的体积为沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面()125125 c 125125A. ■:B. ■:C.D.兀12963解析：连结矩ABCD的对角线AC、BD交于O, 则AO=BO=CO=DO，翻折后仍然AO= BO=CO=DO，贝U O为四面体ABCD四个顶点所在球的圆心，因此四面体ABCD四5 4 5 125个顶点所在球的半径为一，故球的体积为一寫（一）3 = ------ 霊.2 3 2 6答案：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13•圆台上、下底半径为2和3,则中截面面积为_____________________.解析：由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的5 25半径为x，故有4x=4+6，解得x= , S .2 425答案：25二414.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+仁0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是解析：由已知可设经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0 的交点的直线方程为2x+3y- 7+入（7x+15y+1）=Q整理得（2+7入）x+（3+15刀+於=0艮据两直线平行关系得入=1代入得3x+6y-2=0.答案：3x+6y-2=015•过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是 ________________________ . 解析:根据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小，即以AB 为直径端点的圆满足条件，所求方程为 X 2+y 2=9. 答案：X 2+y 2=9 16. 已知圆锥的侧面积是底面积的 2倍，它的轴截面的面积为Q ，则圆锥的体积为解析：设圆锥的高为 h,半径为r,母线为I,则S 侧= nr, S 底=n 2,v S 侧=2S 底,A n l=2n 2,即l=2r. 又 l 2=r 2+h 2，解得 h=3r .又T S 轴截面=rh=Q, •••「2=-^ 即 r=733Q .故 V 圆锥=-nV ：Q Q43 3 34 317.已知圆柱的高为 h ,底面半径为 R ,轴截面为矩形 A i ABB i ，在母线AA -上有一点P,且 PA=a ，在母线 BB i 上取一点 Q ，使B i Q=b ，则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离为解析:如图甲，沿圆柱的母线 AA 1剪开得矩形 (如图乙)，过P 作PE // AB 交BB 1于E , (1)贝V PE=AB= — • 2 n R=nR E=h-a-b.2• PQ= ...PE 2 QE 2 f j (二R)2 (h -a -b)2 .答案： (R)2(h-a-b)218. 过圆x 2+y 2=4外的一点 A(4,0)作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为解析：设弦的中点是 P(x °,y o ),根据圆的几何性质得 0P 丄AP ,即点P(X 0,y o )在以0A 为直径的圆上，即(X o -2) +y o =4.因P(x o ,y o )在圆x +y =4内，故弦的中点的轨迹方程为 (x-2) +y =4, x € [0,1).答案：(x-2)2+y 2=4, x €[ 0,1)三、解答题(本大题共 4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19. (本小题满分10分)已知直线I 垂直于直线3x-4y-7=0，直线l 与两坐标轴围成的三角形Q 43.h= v /3r答案: 二 QQ 33的周长为10,求直线I 的方程•解：设直线I 方程为4x+3y+b=0，则I 与 x 轴、y 轴的交点为A （ _ 一，o ）,B （o, _ 一）.43AB | =—b.由 | OA | + | OB | + | AB | =10,得 1一1 +1一+^^=10. /• b= ±10.124 312•••I 方程为 4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20. （本小题满分12分）圆锥底面半径为 1 cm ，高为、2 cm ，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长•解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面 SEF ,正方体对角面CDDQ 1,如图，设正方体棱长为x ,则 CG=x,C 1D 1=、2x.作 SO 丄 EF 于 0,贝 U S0= 2,0E=1,•/△ ECCp A ESO,. CC ! =121SO EO1 -——xX2 ■. 2 1• x= (cm).221. （本小题满分12分）（2005江苏高考,19）如图4,圆O 1与圆。

人教a版必修二单元测试题答案及解析

人教a版必修二单元测试题答案及解析一、选择题1. 下列关于细胞结构的描述，错误的是（）A. 细胞膜具有选择透过性B. 细胞核是遗传物质储存和复制的场所C. 线粒体是细胞内的能量转换器D. 细胞壁是所有细胞的共同结构答案：D解析：细胞壁是植物细胞和某些细菌细胞的共同结构，但不是所有细胞的共同结构。

2. 细胞分裂过程中，染色体数量变化的阶段是（）A. 间期B. 前期C. 中期D. 后期答案：D解析：在细胞分裂的后期，着丝点分裂，染色体数量加倍。

3. 下列关于DNA复制的描述，正确的是（）A. 需要ATP提供能量B. 需要RNA作为模板C. 需要DNA聚合酶D. 需要RNA聚合酶答案：C解析：DNA复制需要DNA聚合酶来连接游离的脱氧核苷酸。

二、填空题4. 细胞膜上的蛋白质具有多种功能，其中参与细胞识别的蛋白质是______。

答案：糖蛋白解析：糖蛋白在细胞膜上参与细胞间的识别和信号传递。

5. 细胞周期中，DNA复制发生在______期。

答案：间期解析：在细胞周期的间期，细胞进行DNA复制和有关蛋白质的合成。

三、简答题6. 简述细胞分化的过程及其意义。

答案：细胞分化是指细胞在发育过程中，通过基因的选择性表达，逐渐形成形态、结构和功能不同的细胞类型的过程。

细胞分化的意义在于使多细胞生物体的细胞具有特定的功能，从而形成各种组织和器官，完成复杂的生命活动。

7. 描述光合作用的基本过程。

答案：光合作用是植物、藻类和某些细菌利用光能将二氧化碳和水转化为有机物，并释放氧气的过程。

基本过程包括光反应和暗反应两个阶段。

在光反应中，光能被叶绿素吸收，产生ATP和NADPH，同时生成氧气。

在暗反应中，ATP和NADPH提供能量和还原力，将二氧化碳转化为有机物。

四、计算题8. 如果一个细胞在分裂过程中，DNA复制了两次，那么这个细胞的染色体数量是多少？答案：染色体数量为原来的两倍。

解析：每次DNA复制后，染色体数量翻倍，因此两次复制后，染色体数量为原来的两倍。

高中数学模块综合检测(二)(含解析)新人教A版必修2(2021学年)

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模块综合检测(二）(时间1２0分钟,满分150分）一、选择题（共1０小题，每小题6分,共6０分）1．若直线aｘ+2ｙ+3a=0与直线3ｘ＋(a－1）y=-7+a平行，则实数a=( )Ａ.3 ﻩB．-2C．－2或3 ﻩ D.-3或2解析:选Ａ因两直线平行,所以a（a-1)－2×3=0，解得a＝３或a＝－2.经检验,当a＝-2时，两直线重合,故选Ａ。

2．若空间直角坐标系中，x轴上一点P到点Q(3,1,１)的距离为错误!,则点P的坐标为（ )Ａ．(３,0，0) ﻩＢ.（2,０，０）C．（4，０,０) ﻩＤ．(２,0，0）或(4，０,0)解析:选D 由题意,设P（a，0,0),则|PQ|=＼r(ａ－３2+1+１）=错误!,解得a=2或a＝４。

3.直线l:aｘ+by=0和圆C:x2+y2＋ａx+bｙ＝0在同一坐标系的图形只能是（ )解析：选D 可知圆心Ｃ错误!，半径ｒ=错误!错误!，则圆心到直线的距离为d=错误!=错误!＼r（a2+b2）＝r，∴直线与圆相切,由此排除A,B，Ｃ，选D。

4.已知圆C1:（x+１)2+（y-1)２＝1，圆Ｃ2与圆C1关于直线l:x-y－１＝0对称,则圆C2的方程为( )A．(x-2)2+(y+２）２＝1B.(x+2）2＋(ｙ-2)2＝１C．(x-２）２＋(ｙ－2)２＝1Ｄ.(x－2)2＋（y-１)2=1解析：选A 可知Ｃ1（-1,1）,直线l的斜率为1，设圆C2的圆心坐标为(a，ｂ）,则kＣ1Ｃ＝错误!，线段C1C2的中点为错误!.∵圆C2与圆Ｃ1关于直线l对称,∴线段C１C2被直线l垂直2平分,∴有错误!解得错误!∴圆Ｃ2的方程为（x-2)2＋（y＋2)2=1,故选Ａ.5．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周,则所得几何体的侧面积为( )A．πＱﻩ B.２πQＣ．３πQﻩＤ．４πＱ解析:选B 设正方形边长为a,则a=错误!,S侧＝2π·a·a＝2πQ。

人教A版高中必修二试题模块综合测评(一).docx

模块综合测评(一) 必修2(A 版)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设所求直线方程为－2x －y ＋m ＝0，则－2×(－1)－3＋m ＝0，所以m ＝1，即－2x －y ＋1＝0，故直线方程为2x ＋y －1＝0.答案：B2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π解析：显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.答案：B3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522，所以S 球＝4πR 2＝50π.答案：C4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13，则 A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC解析：|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .答案：C5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解析：A 中还可能m ，n 相交或异面，所以A 不正确；B 、C 中还可能α，β相交，所以B 、C 不正确．很明显D 正确．答案：D6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析：设圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.答案：A7．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：C8．过点M (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是A.85B.25C.285D.125解析：因为点M (－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋(－3)2＝125. 答案：D9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C10．设P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为A.26＋2B.26－2 C ．5D ．6解析：如图，设A (1,1)，(x －1)2＋(y －1)2＝|PA |，则|PA |的最小值为|AC |－r ＝26－2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．11．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A ′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为__________．解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO＝2 2.∴S△ABC＝12BC·AO＝12×2×22＝2 2.答案：2 212．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为__________．解析：x＝1显然符合条件；当A(2,3)，B(0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB平行，∵k AB＝4，∴y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.答案：4x－y－2＝0或x＝113．与x轴相切并和圆x2＋y2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．解析：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y|＝x2＋y2，化简得x2＝2|y|＋1.答案：x2＝2|y|＋114．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0与直线l2：x ＋3y＝0都对称，则D＝__________，E＝__________.解析：由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.答案：6 －2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)直线l 经过点P (2，－5)，且到点A (3，－2)和B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：∵直线l 过P (2，－5)，∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k ·(x －2)，即kx －y －2k －5＝0.(2分) ∴A (3，－2)到直线l 的距离为 d 1＝|k ·3－(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1. B (－1,6)到直线l 的距离为d 2＝|k ·(－1)－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. (6分)∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||3k ＋11|＝12. 化简得k 2＋18k ＋17＝0.(10分) 解得k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.(12分)16．(12分)如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离．解：(1)证明：如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC 中，E为PA的中点，O为AC的中点，∴OE∥PC.(2分)又PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面EBD，∴平面EBD ⊥平面ABCD .(4分)(2)∵OE ∥PC ，PC ⊂面PBC ，而OE ⊄面PBC ， ∴OE ∥面PBC ，∴E 到平面PBC 的距离等于O 到平面PBC 的距离．过O 在底面ABCD 内作OG ⊥BC 于G ，又平面PBC ⊥面ABCD ，且面PBC ∩面ABCD ＝BC ，∴OG ⊥面PBC ，即线段OG 的长度为点O 到平面PBC 的距离．(8分) 在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴△BCD 为正三角形，且BC ＝a ，由余弦定理可得AC ＝3a ，∴OB ＝a2，OC ＝32a .(10分)在Rt △BOC 中，OG ·BC ＝OB ·OC ，即OG ·a ＝a 2·32a ，∴OG ＝34a .即E 到平面PBC 的距离为34a .(12分)17．(12分)已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42，求圆的方程．解：方法一：设圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝10. 因为圆心在直线y ＝2x 上，所以b ＝2a . ① (4分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝10，得2x 2－2(a ＋b )x ＋a 2＋b 2－10＝0，所以x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1·x 2＝a 2＋b 2－102.由弦长公式得2·(a ＋b )2－2(a 2＋b 2－10)＝42，化简得(a －b )2＝4. ②(8分)解①②组成的方程组，得a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4.(10分) 故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.(12分)方法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝10，则圆心为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2.(4分)由弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4222＝r 2，即(a －b )22＋8＝10，所以(a －b )2＝4.(8分)又因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4. (10分)故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.(12分)18．(14分)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE∥平面AB1C1；(2)求异面直线AB1与A1C所成的角；(3)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．解：(1)证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，∴OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1.(4分)(2)∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO＝O，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1.又∵AA1＝AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°.(9分) (3)设点C1到平面AA1B1的距离为d，∵VA－A1B1C1＝VC1－AA1B1，即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d . 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7.∴d ＝2217， ∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. (14分)。

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(浙江专版)人教a 版2模块综合检测试卷含解析解析模块综合检测〔时间120分钟总分值150分〕【一】选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、直线AX －Y ＋2A ＝0与圆X2＋Y2＝9的位置关系是〔〕A 、相离B 、相切C 、相交D 、不确定解析：选C 将直线AX －Y ＋2A ＝0化为点斜式得Y ＝A 〔X ＋2〕，知该直线过定点〔－2，0〕、又〔－2〕2＋02《9，故该定点在圆X2＋Y2＝9的内部，所以直线AX －Y ＋2A ＝0与圆X2＋Y2＝9必相交、应选C 、2、如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图、在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是〔〕解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD ，且EC 投影在面PAD 上，E 的投影点为PA 的中点，EC 为实线，故B 正确、3、L ，M 表示两条不同的直线，α表示平面，那么以下说法正确的选项是〔〕A 、假设L ⊥α，M ⊂α，那么L ⊥MB 、假设L ⊥M ，M ⊂α，那么L ⊥αC 、假设L ∥M ，M ⊂α，那么L ∥αD 、假设L ∥α，M ⊂α，那么L ∥M解析：选A 对于A ，假设L ⊥α，M ⊂α，那么根据直线与平面垂直的性质，知L ⊥M ，故A 正确；对于B ，假设L ⊥M ，M ⊂α，那么L 可能在α内，故B 不正确；对于C ，假设L ∥M ，M ⊂α，那么L ∥α或L ⊂α，故C 不正确；对于D ，假设L ∥α，M ⊂α，那么L 与M 可能平行，也可能异面，故D 不正确、应选A 、4、过点P 〔－2，4〕作圆C ：〔X －2〕2＋〔Y －1〕2＝25的切线L ，直线M ：AX －3Y ＝0与切线L 平行，那么切线L 与直线M 间的距离为〔〕A 、4B 、2C 、85D 、125解析：选A 根据题意，知点P 在圆C 上，∴切线L 的斜率K ＝－1kCP ＝－11－42＋2＝43，∴切线L 的方程为Y －4＝43〔X ＋2〕，即4X －3Y ＋20＝0、又直线M 与切线L 平行，∴直线M 的方程为4X －3Y ＝0、故切线L 与直线M 间的距离D ＝|0－20|42＋－＝4、是〔〕A 、假设A 不平行于α，那么在α内不存在B ，使得B 平行于AB 、假设A 不垂直于α，那么在α内不存在B ，使得B 垂直于AC 、假设α不平行于β，那么在β内不存在A ，使得A 平行于αD 、假设α不垂直于β，那么在β内不存在A ，使得A 垂直于α解析：选D 假设A 不平行于α，那么当A ⊂α时，在α内存在B ，使得B ∥A ，故A 错误；假设A 不垂直于α，那么当A ⊂α时，在α内存在直线B ，使得B ⊥A ，故B 错误；假设α不平行于β，那么在β内存在直线A ，使得A ∥α，故C 错误；由平面与平面垂直的判定定理知D 正确，应选D 、6、某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A 、13＋πB 、23＋π C 、13＋2π D 、23＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的、由图中数据可得三棱锥的体积V1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V2＝12×π×12×2＝π，∴V ＝13＋π、 7、直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O 的球面上，假设AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA1＝12，那么球O 的半径为〔〕A 、3172B 、210C 、132D 、310解析：选C 如下图，由球心作平面ABC 的垂线，那么垂足为BC 的中点M 、又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA1＝6，所以球O 的半径为R＝OA ＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝132、 8、点P 〔X ，Y 〕是直线KX ＋Y ＋4＝0〔K 》0〕上一动点，PA ，PB 是圆C ：X2＋Y2－2Y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，假设四边形PACB 的最小面积是2，那么K 的值为〔〕A 、3B 、212C 、2 2D 、2解析：选D 圆C ：X2＋Y2－2Y ＝0的圆心为〔0，1〕，半径R ＝1，由圆的性质知S 四边形PACB ＝2S △PBC ，∵四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值为1＝12RD 〔D 是切线长〕，∴D 最小值＝2，｜PC ｜最小值＝22＋12＝5、∵圆心到直线的距离就是｜PC ｜的最小值，∴｜PC ｜最小值＝51＋k2＝5，∵K 》0，∴K ＝2，应选D 、【二】填空题〔本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分、请把正确答案填在题中的横线上〕9、假设圆C 的半径为1，其圆心与点〔1，0〕关于直线Y ＝X 对称，那么圆C 的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿、解析：因为点〔1，0〕关于直线Y ＝X 对称的点的坐标为〔0，1〕，所以所求圆的圆心为〔0，1〕，半径为1，于是圆C 的标准方程为X2＋〔Y －1〕2＝1、答案：X2＋〔Y －1〕2＝110、L1，L2是分别经过点A 〔1，1〕，B 〔0，－1〕的两条平行直线，那么当L1，L2间的距离最大时，直线L1的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿、解析：当直线AB 与L1，L2均垂直时，L1，L2间的距离最大、∵A 〔1，1〕，B 〔0，－1〕，∴KAB ＝－1－10－1＝2，∴KL1＝－12、 ∴直线L1的方程为Y －1＝－12〔X －1〕，即X ＋2Y －3＝0、答案：X ＋2Y －3＝011、在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ACB ＝90°，AA1＝2，AC ＝BC ＝1，那么异面直线A1B 与AC 所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿、解析：由于AC ∥A1C1，所以∠BA1C1或其补角就是异面直线A1B 与AC所成的角、连接BC1，在△BA1C1中，A1B ＝6，A1C1＝1，BC1＝5，所以A1B2＝A1C21＋BC21，即∠BC1A1＝90°，所以COS ∠BA1C1＝66、答案：6612、点P 〔A ，B 〕关于直线L 的对称点为P ′〔B ＋1，A －1〕，那么圆C ：X2＋Y2－6X －2Y ＝0关于直线L 对称的圆C ′的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；圆C 与圆C ′的公共弦的长度为＿＿＿＿＿＿＿＿、解析：将圆C 的方程化为标准形式为〔X －3〕2＋〔Y －1〕2＝10，由结论可得圆心C 〔3，1〕关于直线L 的对称点C ′为〔2，2〕，故所求圆的方程为〔X －2〕2＋〔Y －2〕2＝10、将两圆方程相减消去平方项可得公共弦所在直线的方程为X －Y －1＝0，故弦长为210－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38、答案：〔X －2〕2＋〔Y －2〕2＝103813、直线L1：AX ＋Y －1＝0，直线L2：X －Y －3＝0，假设直线L1的倾斜角为π4，那么A ＝＿＿＿＿＿＿＿＿；假设L1⊥L2，那么A ＝＿＿＿＿＿＿＿＿；假设L1∥L2，那么两平行直线间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿、解析：由直线L1的倾斜角为π4，得－A ＝TAN π4＝1， ∴A ＝－1、由L1⊥L2，得－A ×1＝－1，∴A ＝1、由L1∥L2，得A ＝－1，∴直线L1的方程为X －Y ＋1＝0，故两平行直线间的距离D ＝|1－－2＝22、答案：－112 214、如图，圆C 与X 轴相切于点T 〔1，0〕，与Y 轴正半轴交于两点A ，B 〔B 在A 的上方〕，且｜AB ｜＝2、〔1〕圆C 的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；〔2〕圆C 在点B 处的切线在X 轴上的截距为＿＿＿＿＿＿＿＿、解析：〔1〕记AB 的中点为D ，在RT △BDC 中，易得圆C 的半径R ＝BC ＝2、因此圆心C 的坐标为〔1，2〕，所以圆C 的标准方程为〔X －1〕2＋〔Y －2〕2＝2、〔2〕因为点B 的坐标为〔0，2＋1〕，C 的坐标为〔1，2〕，所以直线BC 的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1、由点斜式得切线方程为Y ＝X ＋2＋1，故切线在X 轴上的截距为－2－1、答案：〔1〕〔X －1〕2＋〔Y －2〕2＝2〔2〕－2－115、在如下图的空间直角坐标系O XYZ 中，一个四面体的顶点坐标分别是〔2，0，0〕，〔0，2，0〕，〔0，0，2〕，〔2，2，2〕、给出编号为①②③④的四个图，那么该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为〔填写编号〕＿＿＿＿＿＿＿＿，此四面体的体积为＿＿＿＿＿＿＿＿、解析：由三视图可知，该几何体的正视图是一个正方形，其顶点坐标分别是〔0，0，0〕，〔0，2，0〕，〔0，0，2〕，〔0，2，2〕且一条对角线〔左下右上〕可见，另一条对角线〔左上右下〕不可见，故正视图为③，同理，侧视图和俯视图都为②、此四面体体积为V＝2×2×2－4×13×2×12×2×2＝83、答案：③②②83【三】解答题〔本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕16、〔本小题总分值14分〕如图，AF ，DE 分别是⊙O ，⊙O1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，｜AD ｜＝8，BC 是⊙O 的直径，｜AB ｜＝｜AC ｜＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标、解：因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE ⊥平面ABC 、又AF ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以OE ⊥AF ，OE ⊥BC 、又BC 是圆O 的直径，所以｜OB ｜＝｜OC ｜、又｜AB ｜＝｜AC ｜＝6，所以OA ⊥BC ，｜BC ｜＝62、所以｜OA ｜＝｜OB ｜＝｜OC ｜＝｜OF ｜＝32、如下图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OF ，OE 所在的直线为X 轴，Y 轴，Z 轴，建立空间直角坐标系，那么A 〔0，－32，0〕，B 〔32，0，0〕，C 〔－32，0，0〕，D 〔0，－32，8〕，E 〔0，0，8〕，F 〔0，32，0〕、17、〔本小题总分值15分〕如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别是A1C1，BC 的中点、〔1〕求证：平面ABE ⊥平面B1BCC1；〔2〕求证：C1F ∥平面ABE 、证明：〔1〕由题设知，B1B ⊥AB ，又AB ⊥BC ，B1B ∩BC ＝B ，所以AB ⊥平面B1BCC1、因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B1BCC1、〔2〕取AB 中点G ，连接EG ，FG 、因为E ，F 分别是A1C1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC 、因为AC ∥A1C1，且AC ＝A1C1，所以FG ∥EC1，且FG ＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F ∥EG 、又因为EG ⊂平面ABE ，所以C1F ∥平面ABE 、18、〔本小题总分值15分〕光线通过点A 〔2，3〕，在直线L ：X ＋Y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B 〔1，1〕，试求入射光线和反射光线所在直线的方程、解：设点A 〔2，3〕关于直线L 的对称点为A ′〔X0，Y0〕，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋x02＋3＋y02＋1＝0，y0－3x0－2＝1，解得A ′〔－4，－3〕、由于反射光线所在直线经过点A ′〔－4，－3〕和B 〔1，1〕，所以反射光线所在直线的方程为Y －1＝〔X －1〕·1＋31＋4，即4X －5Y ＋1＝0、解方程组⎩⎨⎧ 4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13、所以入射光线所在直线的方程为Y －3＝〔X －2〕·3＋132＋23，即5X －4Y ＋2＝0、 19、〔本小题总分值15分〕四棱锥P ABCD 如下图，AB ∥CD ，BC⊥CD ，AB ＝BC ＝2，CD ＝PD ＝1，△PAB 为等边三角形、〔1〕证明：PD ⊥平面PAB ；〔2〕求二面角P CB A 的余弦值、解：〔1〕证明：如图，连接BD 、易知在梯形ABCD 中，AD ＝5，而PD ＝1，AP ＝2，所以PD2＋AP2＝AD2，那么PD ⊥PA ，同理PD ⊥PB ，又PA ∩PB ＝P ，故PD ⊥平面PAB 、〔2〕如图，取AB 的中点M ，连接PM ，DM ，作PN ⊥DM ，垂足为N ，再作NH ⊥BC ，垂足为H ，连接PH 、由〔1〕，得AB ⊥平面DPM ，那么平面ABCD ⊥平面DPM ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥BC ，PN ⊥NH 、又NH ⊥BC ，PN ∩NH ＝N ，所以BC ⊥平面NPH ，即∠NHP 是二面角P CB A 的平面角、∴在RT △HNP 中，PN ＝32，NH ＝1，那么PH ＝72，COS ∠NHP ＝NH PH ＝277，即二面角P CB A 的余弦值为277、 20、〔本小题总分值15分〕P 是直线3X ＋4Y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：X2＋Y2－2X －2Y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点、〔1〕求四边形PACB 面积的最小值；〔2〕直线上是否存在点P ，使得∠APB ＝60°？假设存在，求出P 点的坐标；假设不存在，请说明理由、解：〔1〕如图，连接PC ，由P 点在直线3X ＋4Y ＋8＝0上，可设P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x 、因为圆C 的标准方程为〔X －1〕2＋〔Y －1〕2＝1，所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12×｜AP ｜×｜AC ｜＝｜AP ｜、因为｜AP ｜2＝｜PC ｜2－｜CA ｜2＝｜PC ｜2－1，所以当｜PC ｜2最小时，｜AP ｜最小、因为｜PC ｜2＝〔1－X 〕2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋12＋9、所以当X ＝－45时，｜PC ｜2m in ＝9、所以｜AP ｜MIN ＝9－1＝22，即四边形PACB 面积的最小值为22、〔2〕假设直线上存在点P 满足题意、因为∠APB ＝60°，｜AC ｜＝1，所以｜PC ｜＝2、设P 〔X ，Y 〕，那么⎩⎨⎧ －＋－＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25X2＋40X ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96《0、所以这样的点P 是不存在的、。

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