有界变差函数
有界变差连续函数族的纲性
１ 预备知识和定理
符号 Ｃ ［ ａ ，６ １ 表示闭区间 ， 上连续函数全体 ，定义
ｄ （ ｆ ， ｇ ） ＝ ａ Ｉ ｆ （ ｘ ） － ｇ （ ｘ ） Ｉ ， ｖ ｆ ， ｇ ∈Ｃ ［ ａ ， ｂ 】 口≤ ≤６
则Ｃ ［ ａ ，６ 】 成为一个完备度量空间。 熟知 的事实是闭区间 ，６ ］ 上连续 函数，∽ 的图像未必是可求长曲线 ，
摘要 ：利用 Ｂ ａ ｉ ｒ ｅ纲定理 证 明 了连 续 函数 空 间 Ｃ ［ ａ ， ６ 】 上有界变差函数全体是第一纲集，多数连续函数的 图像 是不 可 求长 曲线。 关键词 ：可 求长 曲线 ；有 界 变差 ；第一 纲集 中 图分 类 号 ：Ｏ１ ７ ４ ． １ 文献 标识 码 ： Ａ 文章编 号 ：１ ６ ７ ４ — ９ ２ ０ ０（ ２ ０ １ ３ ）０ ３ — ０ ０ ３ ２ — ０ ２
［ ２ ］包 淑华 ． 基 于有 界变差函数的研究 ［ Ｊ ］． 廊坊师范学院学报 ，２ Ｏ ｌ ｌ（ ２ ） ：１ ６ — １ ８ ． ［ ３ ］张恭 庆 ，林源渠 ． 泛函分 析讲 义 （ 上册 ） ［ Ｍ］ ． 北京 ：北京大学 出版社 ，１ ９ ８ ７ ： ９ ０ － ９ ３ ． ［ ４ ］ 汪林 ． 实分析 中的反 例 ［ Ｍ］ ． 北京 ：高等教育 出版社 ，１ ９ ８ ９ ： ３ ０ ８ — ３ ０ ９ ．
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ —０ ４—２ ６
作者简介 ：王磊杰 （ １ ９ ８ ０一），男 ，河北武安人 ，文山学院数理 系助教 ，硕士 ，主要从事动力系统研究 。
３ ２
王磊杰 ：有界变差连续函数族的纲性
ｔ ｎ ， 。＜
：
【０ ， ． ］ ｃ ＝ ０
在 【 ０ ，ｌ 】 上全 变 差为 无穷 大 …。 即使 的导 函数无 界 ，也有 可 能有界 变 差 ，例 如 函数
有界变差函数 有界变差函数
称 V ( , f ) 为 f 关于分划 D 的变差。 D
若存在常数 M，使对一切分划 D ，都有
V ( , f ) £ M ，则称 f (x 为 [ , b 上的有 D ) a ]
界变差函数。令
V ( f ) = sup V ( , f ) D ，
D b a
。
将 D , D 2 合并起来得 [ , b 的一个分划 a ] 1
D1 : a = x < x <L x = y < y <L< y = b < n 0 1 0 1 m ，于是由 D f ) £ V b ( f ) 及 V ( , a V ( , f ) = V ( 1 , f ) + V ( 2 , f ) D D D c b b e 得 V ( f ) + V ( f ) - 2 £ V ( f ) ， a c a 由 e 的任意性立得 c b b V ( f ) + V ( f ) £ V ( f ) 。 a c a
e > 0
D1 : a = x < 1 ，可以找到分划 x < L < x = c 0 n 及分划 D2 : c = y < y < L < y = b ，使得 0 1 m
b V ( 1 , f ) ³ V c ( f ) - e ，V D , f ) ³V ( f ) -e D ( 2 a c
n
V ( , f ) = å f ( x ) - f ( x -1 ) | D | i i
i 1 = i 0
£ å f ( x ) - f ( x -1 ) | + | f ( ) - f ( i 0 ) | | i c x i
有界变差数列空间的某些性质
有界变差数ห้องสมุดไป่ตู้空间中的元素可以通过有界变差数列的极差来表示，即$\sup\limits_{n\geqslant1}|a_{n+1}-a_n|$。
在有界变差数列空间中，通常存在一个有界变差数列的极差为$0$的数列，称为常数数列。
在有界变差数列空间中，如果两个数列的极差都是$0$，则这两个数列相等。
在有界变差数列空间中，通常存在一个数列的极差无穷大，称为无界变差数列。无界变差数列不属于有界变差数列空间。
有界变差数列空间的某些性质
有界变差数列空间是一种特殊的线性空间，它由有界变差数列构成。有界变差数列指的是满足$\sup\limits_{n\geqslant1}|a_{n+1}-a_n|<+\infty$的数列${a_n}$。在有界变差数列空间中，存在以下几种性质：
有界变差数列空间是一个线性空间，具有线性空间的性质。
lp有界变差函数
lp有界变差函数1.引言1.1 概述概述部分的内容引言是一篇文章的开端，它为读者提供了对接下来内容的预览，旨在引起读者的兴趣并提供背景知识。
本文的标题为"lp有界变差函数"，将探讨lp空间和有界变差函数的定义、性质以及其应用。
在lp空间的定义和性质部分，我们将介绍lp空间是由具有有限lp范数的函数组成的函数空间，并探讨一些重要的性质。
然后，我们将探讨有界变差函数的定义和性质，了解它们在分析和概率论等领域的重要性。
在结论部分，我们将讨论lp有界变差函数的一些应用，并对整篇文章进行总结。
通过本文的阅读，读者将对lp有界变差函数有更深入的了解，并了解它们在实际问题中的应用。
1.2文章结构文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对文章的研究背景和意义进行概述，介绍了lp有界变差函数的研究内容，并阐明了本文的目的。
正文部分主要包括两个主要内容，分别是lp空间的定义和性质以及有界变差函数的定义和性质。
在2.1节中，将会详细介绍lp空间的定义，并探讨lp空间的几个重要性质，如完备性、稠密性和嵌套性等。
同时，还将会对lp空间中的一些特殊情况进行讨论，如l1空间和l2空间等，以便读者更好地理解lp空间的性质。
在2.2节中，将会引入有界变差函数的概念，并详细定义有界变差函数及其几个重要性质。
有界变差函数是lp空间的一个重要子集，它在数学分析、泛函分析等领域有着广泛的应用。
本节将介绍有界变差函数的基本定义和性质，以及与lp空间的关系。
结论部分将对lp有界变差函数的应用进行探讨，并总结本文的研究内容和结果。
此外，还将对lp有界变差函数的研究进行展望，指出未来研究的方向和可能的发展趋势。
通过以上的文章结构，读者可以全面了解lp有界变差函数的定义和性质，以及其在数学和应用领域中的重要性和应用价值。
同时，本文还试图为后续的进一步研究提供了一些思路和方向。
1.3 目的本文的目的是研究和探讨lp有界变差函数的性质和应用。
变差函数的概念与计算分析
变差函数的概念与计算分析变差函数是数学分析中常见的一个概念。
它主要用于描述一个函数在一些区间上的变化情况，从而可以对函数的性质进行更加深入的分析。
本文将介绍变差函数的概念、相关定义和性质，并讨论如何计算变差函数。
一、概念：变差函数是指一个实数域上的函数，它在给定区间上的变化程度的度量。
通俗地说，变差函数可以理解为一个函数在一些区间上取值的波动程度。
如果一个函数在一个区间上的变化程度很小，那么它的变差函数就会比较小；相反，如果函数的波动较大，那么它的变差函数就会较大。
二、定义和性质：1.定义：设f(x)是定义在区间[a,b]上的一个函数，变差函数V(f,x)表示f(x)在区间[a,x]上的总体变化量。
其中，V(f,x)可以定义为：V(f,x) = sup{∑(f(x_i) - f(x_{i-1}))}其中，sup表示上确界，x_i是[a,x]上的一个子区间，∑(f(x_i) -f(x_{i-1}))表示这个子区间上f(x)的变化量的总和。
2.性质：（1）非负性：变差函数V(f,x)是非负的。
（2）可加性：对于任意的[a,c]和[c,b]，有V(f,b)=V(f,c)+V(f,b)。
（3）上有界：变差函数V(f,x)在[a,b]上是有上界的。
（4）可分割性：对于边界上的两个点x_1和x_2，若x_1<x_2，则有V(f,x_2)-V(f,x_1)=V(f,[x_1,x_2])。
（5）作为测度的应用：如果一个函数的变差函数V(f,x)有界，那么该函数是有界变差函数。
三、计算分析：变差函数V(f,x)的计算是通过求解上述定义中的上确界来实现的。
换言之，我们需要找到最适合的子区间，使得其上的f(x)的变化尽可能大。
为了计算方便，我们可以选取一些特殊的区间进行计算，如等距划分、平方划分等。
1.等距划分计算变差函数：设[a,b]上的等距划分为x_0=a,x_1=a+h,...,x_n=b，其中h=(b-a)/n。
变差函数
1变差函数（Variogram）基础变差函数是用来描述油藏属性空间变化的一种方法，可以定量的描述区域化变量的空间相关项。
变差函数的原理是空间上相近的样品之间的相关性强，而相距较远的样品之间的相关性较小，当超过一个最小相关性时，距离的影响就不大了。
这种空间上的相关性是各向异性的，因此需要从不同方向上描述某个属性的变差函数。
通过从输入数据中得到变差函数，在属性模型中利用变差函数建模，从而可以在最终模型中体现出实验数据的空间相关性。
1.1变差函数原理与数据分析1.1.1变差函数的原理变差函数图即变差函数与滞后距（空间的距离）的关系图。
计算方法是：对一组滞后距相近的数据，计算这组数据的变差，最后做出不同滞后距的变差曲线。
Sample variogram从一组实验样本数据中计算结果。
Variogram model根据理论变差函数模型拟合的结果。
Transition曲线类型。
常用的变差函数类型有指数型、球状模型、高斯模型。
Plateau在变差函数曲线上，随着横坐标距离的增加，纵坐标变差值不再增加，即为Plateau。
Range变程：当曲线达到高台水平段（Plateau）时的距离。
变程范围之内，数据具有相关性，变程范围之外，数据之间互不相关，即变程之外的观测值不对估计结果产生影响。
Sill基台值：当横坐标大于变程时的纵坐标变差值。
描述了两个不相干的样本间的差异性。
当数据的基台值为1或者比1偏差0.3时，表明数据间有空间趋势性。
Nugget块金值：横坐标为0处的变差值，描述了数据在微观上的变异性。
由于在垂向上数据间的距离较小，所以块金值可以从这些垂向数据中精确的得到。
1.1.2变差函数的数据分析在计算数据样本的变差时，程序会根据指定的距离和方向搜索数据。
搜索半径除以步长间隔即为步长的数目。
由于数据点在空间上的分布具有或多或少的随机性，所以在搜索方向和距离上允许存在一定的容差（tolerance）。
1.1.2.1变差函数的方向由于各向异性，变差函数需要从不同的方向上进行计算。
有界变差函数
V f ( x0 , L x n ) = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) = ∑ ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) = f (b) − f (a.).
i =1 i =1
n
n
因此 V ( f ) = f (b) − f ( a ). 所以 f ∈ V [ a, b].
x
则 p ( x) 和 n( x) 都是单调增加的, 并且满足 (6)
我们称(6)式为 f 的标准分解.分别称 p ( x) 和 n( x) 为 f 的正变差函数和负变差函数. 定理 5 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则 V ( f ) 在 [a, b] 上是右连续的(或左连续
a x
n−2 b a
(令k = n − i )
令 n → ∞ 知道 V ( f ) = +∞. 因此 f 在 [0,1] 不是有界变差函数. 定理 2 有界变差函数具有如下性质:
(i). 若 f ∈ V [a, b], 则 f 是有界函数. (ii). 若 f ∈ V [a, b], α ∈ R1 , 则 α f ∈ V [a, b], 并且 V (α f ) ≤ α V ( f ). a a (iii). 若 f , g ∈ V [a, b],
因此
x1 x2
x2
x1
V ( f ) + f ( x1 ) ≤ V ( f ) + f ( x 2 ). a a
这表明 g ( x1 ) ≤ g ( x 2 ). 即 g 是单调增加的.类似可证 h 也是单调增加的. 推论 4 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则 (1) (2) (3)
f ( x) − f ( x0 ) < ε . 取 区 间 [ x0 , x0 + δ ] 的 一 个 分 割
第一节 有界变差函数
北京师范大学数学学院 授课教师：刘永平
总结
(1) L-测度； (2) L-可测函数； (3) L-积分 ； (4) 一元函数性态（微分）. (5可测集. 可测集全体为 一个 代数，L-测度的非负性、 完全可加性以及Caratheodory条件. F 型 • L-可测集的结构(开集、闭集、 集、G 型集可测，一个可测集是一 个 F 型集与一个零测度集合的并 集，一个可测集是一个 G 型集与一 个零测度集的差集).
L-可测函数
• 可测函数定义、性质
• 可测函数的结构：可用可测简单函数列逼近 ，叶果洛夫定理(一致收敛与几乎处处收敛) ， Riesz定理(依测度收敛和几乎处处收敛)， 鲁津定理(几乎处处有限的可测函数与连续 函数).
L-积分的定义和性质
• L-积分：简单函数，非负可测函数，一 般可测函数. • L-积分的性质：单调性、线性性、绝对 连续性、对可测集合的 可加性等. • 勒维定理，法都定理，勒贝格定理； • 重积分化累次积分（两个定理）； • 积分的变量代换； • R-积分和L-积分的关系.
.
单增函数的勒贝格分解
跳跃（或0）+绝对连续+奇异（或0）.
• 与其全变差函数的连续性、绝对连续 性相同
绝对连续函数
• 定义； • 是有界变差且连续的函数； • AC[a,b]是线性空间； • 牛顿-莱布尼兹公式
.
康托集、康托函数
• 康托三分集是稀疏的、不可数的 、完全的零测集. • 康托函数是不为常函数的、单调 增的、导数几乎处处为零的函数; (奇异函数).
单调函数
单调函数的可微性：单调函数几乎处 处有有限导数; 单增函数的导数与函数值的关系：
[ a ,b ]
变差函数的概念与计算分析
变差函数的概念与计算谷跃民编写在地质统计学随机模拟工作中，统计归纳区域变量的分布和变差函数，是用好随机模拟技术最关键的两项工作，其中区域变量分布统计比较容易理解，变差函数计算过程相对复杂，影响了解释人员对它的直观理解，为了使解释生产人员快速了解变差函数，准确使用相关工具软件，并能依据现有的资料和对工区地质情况的先验信息，统计归纳出合乎实际的变差函数，作者在学习相关知识的基础上，对学习材料进行了初步总结，试图用通俗的方式，对变差函数的概念和统计归纳方法与大家共同进行探讨。
一、变差函数的基本概念在地质统计学中，变差函数是最基本与最重要的模拟工具，它用于描述数据值的空间互相关，数据点在空间上相距越远，相关性就变得越小，变差函数就是模拟这种现象的数学函数，通常用一张图来展示，用X轴表示滞后距离，用Y轴表示方差，可以从区域变量抽取的样本值中计算归纳出来，见图1，它通过变程来反映变量的影响范围，V(h)为变差函数值，Lag(h)为滞后距。
变差函数可以用四个参数来描述：1、变差函数类型：决定了随着滞图1 变差函数图示后距的增加变差（方差）变化的快慢，在JASON STATMOD MC中，使用GAUSSIAN和EXPONENTIAL曲线类型；2、变程a：指的是在超过这个距离后，数据点之间就不再有明显的相关性，也称作影响距离；3、块金效应C0：表示在距离为0时的方差值，用来表示相距很近的两点的样品变化情况；4、先验方差：Sill=C+C0也叫基台值，它反映变量的变化幅度。
二、变差函数的估算与拟合1、变差函数的计算公式与估算变差函数的定义是：区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差之半，定义为Z(x)的变差函数，数学定义如下：h为滞后距。
如果有了区域化变量Z(x)的一部分采样，就可以估算该区域化变量的Z(x)变差函数，具体计算公式如下：i为样本序号。
2、变差函数的估算示例为了能更直观、更深刻地体会它的具体意义，下面举两个计算实例，各具体计算两个变差函数值，通过具体计算过程，就会知道什么样的资料可以满足变差函数估算的要求，具体在资料条件会出现怎样的异常，这两个实例分别为两种区域变量类型，一个是垂向区域变量类型，可以理解为井曲线等，一个是平面区域变量类型，可以理解为孔隙度平面变化等。
变差函数的概念与计算分析
变差函数的概念与计算分析变差函数是指在一个给定区间上具有有限变差的函数。
它在数学分析中是一个重要的概念，用于描述函数在给定区间内的振动情况。
变差函数提供了一种度量函数的不连续性和波动性的工具，它与导数和积分一样重要，对于研究函数的特性和性质有着重要的作用。
在数学上，给定一个实函数f(x)在区间[a,b]上有定义，f(x)的变差V(f,[a,b])定义为：V(f,[a,b]) = sup{ ∑，f(xi+1) - f(xi)， }其中，{xi}是[a,b]上的任意分割，sup代表上确界。
简单来说，就是对于所有可能的分割，找出其中使得相邻两点之间的差的绝对值之和达到最大的分割，然后将差的绝对值之和定义为函数的变差。
通过变差函数的计算分析，我们可以得到一些重要的结论。
1.如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则V(f,[a,b])=0。
也就是说，连续函数的变差为0。
2.如果函数f(x)在区间[a,b]上是递增函数，则V(f,[a,b])=f(b)-f(a)。
也就是说，递增函数的变差等于函数在两个端点之间的差。
3.如果函数f(x)在区间[a,b]上是递减函数，则V(f,[a,b])=f(a)-f(b)。
也就是说，递减函数的变差等于函数在两个端点之间的差的相反数。
4.对于一般的函数而言，如果我们将区间[a,b]分割成若干个子区间，分别计算每个子区间内函数的变差，然后将它们相加，得到的值一定大于等于整个区间上函数的变差。
这个结论称为变差函数的可加性。
变差函数的计算分析可以用于研究函数的不连续性和波动性质。
当变差函数的变差较大时，说明函数在给定区间上具有较大的波动，而变差较小则表示函数相对平滑。
在实际应用中，变差函数经常用于研究信号处理、波动分析以及优化问题等领域。
总之，变差函数是一种重要的数学工具，用于度量函数在给定区间上的不连续性和波动性。
通过变差函数的计算分析，可以得到函数在给定区间上的波动情况，进而揭示函数的一些重要特性。
有界变差函数-北京师范大学数学科学学院
有界变差函数与不定积分
0.2 0.4 0.6 0.8 1
记号: x0 0, x1 1 x2 = 1
2n
，
1/6
1/2
-0.4
,...,x2 n 1 = 1 ,x2 n =1. 2n 1 2
2 n1 i1 n
则 V( f ,T) | f ( xi ) f ( xi1) | 2 1 i.
参数曲线 L：
x ( t ), y ( t ),
t [ a, b].
分划 T：a t0 t1
折线长 L b
2
1 2
{( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
i 1
| (ti ) (ti 1 ) |
i 1 i 1
n
2 有界变差函数
定义2.1.设 f(x) 是[a,b]上的有限函数， 在[a,b]上任取一分点组 T
a x0 x1 xn b ,
称VT ( f ; a, b) | f ( xi ) f ( xi1) |
i 1 n
为 f(x) 对分点组T的变差.
a b
的有界变差函数 ( f BV [a, b] ).
例2.1. 闭区间上的单调函数一定是有 界变差函数
[
]
分划P， V( f , P) | f ( xi ) f ( xi1) || f (b) f (a) | .
a i 1 b n
所以，V( f ) | f (b) f (a) | .
n
和 | (ti ) (ti 1 ) | 都
i 1
n
{( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
有界变差函数
称 ( x) 为[0,1] 上的Cantor函数。
显然在[0,1]上单调不减，从而为有界变差函数， 并且导函数几乎处处为0， ' ( x)dx 0 1 (1) (0)
[ 0,1]
Cantor函数在[0,1]上连续
否则，若 ( x) 在x0∈ (0,1)处不连续，
主讲：胡努春
有界变差函数与不定积分
F ( x) ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt
a a a
x
x
x
定理 f(x)是有界变差函数当且仅当 f(x)可表成两个非负单调不减函数的差
不定积分F(x)是有界变差函数，但由Cantor 函数 （是有界变差函数）知道，先取导数再取积分 并不能返回，问什么函数满足此性质？
主要内容
F ( x) ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt
a a a
x
x
x
为两个单调不减函数的差
单调函数的可微性：单调函数几乎处处有有限导数 有界变差函数（即两个单调不减函数的差） 绝对连续函数（即能写成不定积分形式的函数）
折线长 L(T ) {( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
2 2 i 1 i 1
n
1 2
| (ti ) (ti 1 ) |和 | (ti ) (ti 1 ) | 都
i 1
n 2 2
1 2
n
n
{( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
第六章 微分与不定积分
从有界变差函数到布朗运动的二次变差
。
有了有界变差函数，我们就能将微分号
后面的函数从单调函数，扩展到有界变差函数。
布朗运动的二次变差
布朗运动轨道的一个重要性质就是它并不是有界变差的（在给定的时间
上），但它是二次变差的。
二次变差
给定时间 ，标准布朗运动在
上的二次变差是一个随机变量：
是标准正态分布的平方，从而
，
，所以
根据切比雪夫不等式，得到
Jordan decomposition of BV functions
Jordan分解定理断言，有界变差函数能分解成两个单调函数的差。因此，有界变差函数，可以理解为单调函数在分析学意义上的推广，并且有 界变差函数也具有一些单调函数所具有的良好性质。
此外，有界变差函数几乎处处可导。
单调函数，在分析学上，被用来定义
从有界变差函数到布朗运动的二次变差
有界变差函数
有界变差函数最初是Jordon为了研究傅里叶级数的收敛性而引入的。
一个函数的total variation被定义为：
BV function来自这里的划分是任意的。如果
是有界的，就说 在
上是有界变差的（BV）。
其实并不需要 是连续的。
闭区间上的有界变差函数自然是有界的，显然闭区间上的单调函数是有界变差的。 有界变差函数的重要意义，要从一个著名的定理说起：
上具有二次变差 ，那么它
敛性。同时容易证明
还是
，这是以概率收敛的。再根据Borel-Cantelli 引理，得到
，最终得到几乎绝对的收
收敛到 的。于是，我们得到：在
上的布朗运动具有有限的二次变差，并且其值为 。
类似的，证明两个独立的布朗运动的交互变差为 ，也是先证明 再利用切比雪夫不等式和B-C引理证明
两个有界变差函数的乘积
两个有界变差函数的乘积
我们要证明两个有界变差函数的乘积仍然是一个有界变差函数。
首先，我们需要了解有界变差函数的基本性质。
假设我们有两个有界变差函数 f 和 g。
这意味着存在常数 M1 和 M2，使得f(x) ≤ M1 和g(x) ≤ M2 对于所有的 x 成立。
现在，我们要证明 f(x)g(x) 仍然是一个有界变差函数。
为此，我们需要证明 f(x)g(x) 的绝对值在任何区间 [a, b] 上都是有限的。
考虑区间 [a, b] 上的任意两点 x1 和 x2，我们有：
f(x1)g(x1) - f(x2)g(x2)
= f(x1)[g(x1) - g(x2)] + g(x2)[f(x1) - f(x2)]
根据绝对值的三角不等式，我们有：
f(x1)[g(x1) - g(x2)] + g(x2)[f(x1) - f(x2)] ≤ f(x1)g(x1) - g(x2) + g(x2)f(x1) - f(x2)
由于 f 和 g 都是有界变差函数，所以它们的差是有限的。
因此，f(x)g(x) 在区间 [a, b] 上的差也是有限的。
这意味着 f(x)g(x) 仍然是一个有界变差函数。
综上所述，我们证明了两个有界变差函数的乘积仍然是一个有界变差函数。
有界变差过程
有界变差过程
有界变差过程（bounded variation process）是一种随机过程，其变化幅度是有限的。
具体来说，如果一个随机过程在任何一段时间内的变化幅度不会超过某个给定的常数，那么它就被称为有界变差过程。
这种过程在金融、经济等领域中具有重要的应用价值，因为它们通常受到各种不确定因素的影响，而这些因素的变化幅度往往是有限的。
通过对有界变差过程的深入研究，人们可以更好地理解和预测这些系统的动态行为。
有界变差过程，是数学中一类较为重要的函数，其出现场合一般是在数学系本科课程实变函数中。
若在区间(a，b)中，函数f (x)能够表成Φ (x)一Ψ (x)的形状，而Φ与Ψ都是非减有界函数，则称f (x)在(a，b)中是有界变差的。
易见两有界变差函数的和、差与积也都是有界变差的。
我们把所有在区间[a,b] 上的有界变差函数集合记为BV[a,b], 把R 上的有界变差函数集合记为BV。
有界变差函数-北京师范大学数学科学学院
若x [a,b], 级数 fk (x) 收敛于f (x), k=1
则 f (x) fk(x) a.e. x [a,b]. k=1
习题4.1 2、3、4、5、6、7.
第四章 一元函数的变化性态（I）
北京师范大学数学学院 授课教师：刘永平
引入 微积分基本定理
若f(x)在[a, b]上连续，则
d
((R)
x
f (t)dt) f (x)
dx
a
若F '(x) 在[a, b]上连续，则
x
(R)a F '(t)dt F (x) F (a)
本章的主要目的是 要在L-积分理论中推广这一结果.
例子
f
(x)={0x,sin
π/
x, x x0.
0,
g (x)={0x,2
sin π / x, x x 0.
0,
计算 D f (0), D f (0), D f (0), D f (0);
பைடு நூலகம்
计算 g (0), g (0);
问 lim g(h), lim g(h) 是否存在？
定理1.1
若f ：[a,b] R是单调的，则 f (x) a.e. x [a,b]存在且有限， f L([a,b]) 且
| f (x) | dx | f (b) f (a) | . [a, b]
这个定理的证明需要Vitali覆盖引理.
定理1.2 (Fubini逐项求导)
第一讲：单调函数的微分 (1)单调函数的导数与单调性的关系; (2)Vitali覆盖定理； (3)单调函数的导数几乎处处存在； (4)单调函数的像集度量（外测度） 与函数导数的积分.