绝对值不等式例题解析
高考数学经典专题：绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,.（1）当3m =时，解不等式()3f x ≥；（2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立2．已知函数()32f x x =-.（1）若不等式213f x t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭的解集为11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++⋅对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟． （1）求a 的值；（2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．（1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2()|24|f x x a x a =-+-.（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.7．已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.8．已知函数()|2||21|f x x x =+--.（1）求()5f x >-的解集（2）若关于x 的不等式2|2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立，求实数m 的取值范围.9．已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 11．函数()1f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称.（1）求a 的值；（2）若()2f x x m ≥+的解集非空，求实数m 的取值范围. 12．已知函数()|1||1|f x x x m =-+++．（1）当5m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若二次函数2y x 2x 3=-++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．13．已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值.14．已知()2221f x x x a =+-+ （1）当3a =-时，求不等式()2f x x x >+的解集； （2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.15．已知函数(),f x x x a a R =-∈.（Ⅰ）当()()111f f +->，求a 的取值范围；。
绝对值不等式的证明及应用
绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。
a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高一数学绝对值不等式试题答案及解析
高一数学绝对值不等式试题答案及解析1.不等式组的解为_______________【答案】1<x<3【解析】根据题意，因为不等式组则可知,同时,那么根据绝对值不等式以及二次不等式可知1<x<3.【考点】不等式的解集点评：主要是考查了不等式的解集的求解，绝对值不等式的运用是解题的关键。
2.不等式｜2－x｜≥1的解集是A．｛x｜1≤x≤3｝B．｛x｜x≤1或x≥3｝C．｛x｜x≤1｝D．｛x｜x≥3｝【答案】B【解析】∵｜2－x｜≥1，∴2-x≥1或2-x≤1，解得x≤1或x≥3, 故不等式｜2－x｜≥1的解集是｛x｜x≤1或x≥3｝，选B【考点】本题考查了绝对值不等式的解法点评：解含绝对值不等式的关键是脱掉绝对值符号，有时利用定义，有时利用公式，属基础题3.不等式的解集是。
【答案】-1<x<1或x<-1【解析】根据题意，当x 0时则有，当x<0时，则可知，综上可知满足不等式的解集为-1<x<1或x<-1，故答案为-1<x<1或x<-1。
【考点】一元二次不等式的解集点评：解决的关键是利用绝对值符号的讨论得到不同情况下的解集，然后取其并集即可，属于基础题。
4.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为不等式对任意实数恒成立，那么则可知，故选A.5.不等式的解集为____________【答案】【解析】解：采用零点分类讨论，找到零点为，当时，解得，当时，解得，当时，解得，故原不等式的解集为。
6.不等式x+|x-2c|>1(c>0)恒成立，则c的取值范围为_____________【答案】【解析】作出函数的图像，从图像不难观察，不等式x+|x-2c|>1(c>0)恒成立应满足的条件为.7.若，则正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略8.不等式的整数解的个数为（）A．0B．1C．2D．大于2【答案】B【解析】略9. (不等式选讲选做题)若的最小值为3,则实数的值是________.【答案】2或8【解析】由，得或810.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把x=1代入不等式组验算得x=1是不等式组的解，则排除(B)、(C), 再把x=-3代入不等式组验算得x=-3是不等式组的解，则排除(B)，所以选(D).11.（2013•临沂一模）已知集合A={}，B={x||x﹣1|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{0}D．{1}【答案】B【解析】依题意，可求得A={﹣1，0，1}，解不等式|x﹣1|≤1可求得集合B，从而可求得A∩B．解：∵A={x|x=sin，k∈Z}，∴A={﹣1，0，1}；∵|x﹣1|≤1，∴﹣1≤x﹣1≤1，∴0≤x≤2．∴集合B={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查交集及其运算，求得A={﹣1，0，1}是关键，属于中档题．12.（2013•中山模拟）若集合M={x∈N*|x＜6}，N={x||x﹣1|≤2}，则M∩∁N=（）RA．（﹣∞，﹣1）B．[1，3）C．（3，6）D．{4，5}【解析】用列举法求得集合M ，解绝对值不等式求得集合N ，可得C R N ，再根据交集的定义求得M∩C R N 的值．解：∵集合M={x ∈N *|x ＜6}={1，2，3，4，5}，N={x||x ﹣1|≤2}={x|﹣2≤x ﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3}，∴C R N={x|x ＜﹣1，或x ＞3}， ∴M∩C R N={4，5}， 故选D ．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．13. （2014•江西二模）若存在x ∈R ，使|2x ﹣a|+2|3﹣x|≤1成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2，4]B ．（5，7）C ．[5，7]D ．（﹣∞，5]∪[7，+∞）【答案】C【解析】利用绝对值不等式可得|2x ﹣a|+2|3﹣x|≥|a ﹣6|，依题意，解不等式|a ﹣6|≤1即可． 解：∵|2x ﹣a|+2|3﹣x|=|2x ﹣a|+|6﹣2x|≥|2x ﹣a+6﹣2x|=|a ﹣6|， ∴|a ﹣6|≤1， 解得：5≤a≤7．∴实数a 的取值范围是[5，7]． 故选：C ．点评：本题考查绝对值不等式的解法，求得|2x ﹣a|+2|3﹣x|≥|a ﹣6|是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．14. （2014•南昌三模）若关于x 的不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≥a 2+a+1（x ∈R ）的解集为空集，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（﹣1，0）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【答案】D【解析】依题意，关于x 的不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≥a 2+a+1（x ∈R ）的解集为空集⇔a 2+a+1＞|x ﹣1|﹣|x ﹣2|恒成立，构造函数f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣2|，可求其最大值，从而可解关于a 的不等式即可． 解：∵|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≥a 2+a+1（x ∈R ）的解集为空集， ∴a 2+a+1＞|x ﹣1|﹣|x ﹣2|恒成立， 构造函数f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣2|=，则a 2+a+1＞f （x ）max ， ∵f （x ）max =1， ∴a 2+a+1＞1，∴a 2+a ＞0，解得a ＞0或a ＜﹣1．∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） 故选D ．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想的应用与一元二次不等式的解法的考查，属于中档题．15. （2014•湖北）若不等式|x ﹣a|+≥在x ＞0上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a≤2B ．a ＜2C ．a ＞2D ．a≥2【解析】通过对x﹣a＞0与x﹣a≤0的讨论，去掉原不等式中的绝对值符号，分离参数a，转化为恒成立问题，利用函数的单调性与最值即可求得答案．解：①当x﹣a＞0，|x﹣a|+≥⇔x﹣a+≥⇔a+≤，∵x＞0，x+≥2（当且仅当x==1时取“=”），即=2，∴a≤；②当x﹣a≤0，即0＜x≤a时，原不等式化为：a﹣x+≥⇔a≥x﹣+，∵y=x与y=﹣在（0，a]上均为增函数，∴y=x﹣+在（0，a]上为增函数，于是，当x=a时，ymax=a﹣+，∴a≥a﹣+，解得：0＜a≤2；综上所述，实数a的取值范围是a≤2．故选：A．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查函数的单调性与最值，属于难题．16.（2014•安徽模拟）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，则关于x 的不等式：|x﹣1|+|x﹣3|≥m的解集为（）A．（﹣∞，0]B．[4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）【答案】D【解析】（1）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1，化简为，再利用不等式整数解有且仅有一个值为2，求出m的值．（2）可以分类讨论，根据讨论去掉绝对值，然后求解．解：（1）由不等式|2x﹣m|≤1，可得，∵不等式的整数解为2，∴，解得3≤m≤5．再由不等式仅有一个整数解2，∴m=4．（2）（2）本题即解不等式|x﹣1|+|x﹣3|≥4，当x≤1时，不等式等价于 1﹣x+3﹣x≥4，解得x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．当1＜x≤3时，不等式为 x﹣1+3﹣x≥4，解得x∈∅，不等式解为∅．当x＞3时，x﹣1+x﹣3≥4，解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．综上，不等式解为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故选D．点评：此题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意进行分类讨论，解题的关键是去掉绝对值，属于中档题．17.（2014•南昌一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由不等式f（x）≤6可得，解得 a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得 a﹣3=﹣2，从而求得a的值．解：∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故有不等式f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得 a ﹣3≤x≤3．再根据不等式f （x ）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得 a ﹣3=﹣2，∴a=1， 故选：A ．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．18. （2013•中山模拟）若集合M={x ∈N *|x ＜6}，N={x||x ﹣1|≤2}，则M∩∁R N=（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．[1，3） C ．（3，6） D ．{4，5}【答案】D【解析】用列举法求得集合M ，解绝对值不等式求得集合N ，可得C R N ，再根据交集的定义求得M∩C R N 的值．解：∵集合M={x ∈N *|x ＜6}={1，2，3，4，5}，N={x||x ﹣1|≤2}={x|﹣2≤x ﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3}，∴C R N={x|x ＜﹣1，或x ＞3}， ∴M∩C R N={4，5}， 故选D ．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．19. （2012•甘肃一模）若不等式|x ﹣a|＜1成立的充分非必要条件是则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先算出|x ﹣a|＜1的解，即a ﹣1＜x ＜a+1．由题意说明，是a ﹣1＜x ＜a+1的真子集，求解即可．解：由|x ﹣a|＜1，可得a ﹣1＜x ＜a+1． 它的充分非必要条件是＜x ＜，也就是说＜x ＜是a ﹣1＜x ＜a+1的真子集，则a 须满足属于{a|a ﹣1≤且a+1＞}或{a|a ﹣1＜且a+1≥}； 解得a ∈（，]∪[，），即≤a≤故选B ．点评：本题考查绝对值不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力，是中档题．20. 已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，记不等式＜的解集，则A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由可得，，又，是图象上的两点，所以，所以，又因为函数是上的增函数，所以，所以，所以.【考点】函数单调性的应用.。
(整理版)含绝对值的不等式的解法·例题
含绝对值的不等式的解法·例题例5-3-13解以下不等式：(1)|2-3x|-1＜2(2)|3x+5|+1＞6解(1)原不等式同解于(2)原不等式可化为|3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。
解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。
解原不等式同解于不等式组不等式(i)同解于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(ii)同解于-6≤x2-5x≤6取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集其解集可用数轴标根法表示如下：注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。
“数轴标根法〞是确定解集并防止出错的有效辅助方法。
例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。
解原不等式同解于|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。
但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。
例5-3-16解以下不等式：解(1)原不等式同解于不等式组左边不等式同解于右边不等式同解于取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2} (2)原不等式同解于取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。
分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。
又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。
解原不等式同解于注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。
其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。
例5-3-18 a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。
解显然x＞0，故原不等式同解于注含绝对值的不等式中，假设含有参数，那么先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。
含绝对值的不等式解法典型例题
含绝对值的不等式解法•典型例题能力素质例1不等式|8—3x|> 0的解集是[ ]A •B • R8 8C - {x|x 丰-3D・{?8 分析V |8—3x| > 0,二8—3x H 0,即X H3答选C •例2绝对值大于2且不大于5的最小整数是[ ]A • 3B • 2C • —2D • —5分析列出不等式•解根据题意得2< |x|< 5 •从而—5W x< —2或2< x w 5，其中最小整数为—5,答选D •例3不等式4< |1 —3x|< 7的解集为_____________ •分析利用所学知识对不等式实施同解变形•解原不等式可化为4< |3x—1|w 7,即4< 3x —1 w 7或—75 8w 3x—1<—4解之得5<x< 8或—2w x<—1,即所求不等式解集为3 3.5 8{x| —2 w x<—1 或< x w -} •1 1 3 3;例4 已知集合A = {x|2 < |6 —2x| < 5, x € N}，求A •分析转化为解绝对值不等式•解V 2< |6—2x|< 5可化为2< |2x —6|< 5即—5< 2x —6< 5,2x —6> 2 或2x—6<—2 , 即1< 2x< 11,2x> 8或2x< 4,11 1解之得4 v x v 或—v x v 2 .2 2因为 x € N ，所以 A = ｛0, 1, 5｝. 说明：注意元素的限制条件. 例5实数a , b 满足ab v 0，那么[ ]A . |a - b|v |a|+ |b|B . |a + b|> |a - b|C . |a + b| v |a — b|D . |a — b|v ||a|+ |b||分析根据符号法则及绝对值的意义. 解 T a 、b 异号，|a + b| v |a — b| .答选C .例6设不等式|x — a|v b 的解集为｛x| — 1v x v 2｝，贝U a , b 的值为[ ]A . a = 1, b = 3B . a =— 1, b = 3C . a = — 1, b = — 3D . a =分析 解不等式后比较区间的端点.解 由题意知，b > 0,原不等式的解集为｛x|a — b v x v a + b ｝，由于解集又 为｛x| — 1 v x v 2｝所以比较可得.答选D. 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x — 1|v 2m — 1(m € R) 分析分类讨论.1解 若2m — K 0即m W 孑，则|2x — 1| v 2m — 1恒不成立，此时原不等 式的解集为1右 2m — 1 > 0即 m > —，则一(2m — 1) v 2x — 1 v 2m — 1,所以 1 — m v2a —b =—1a +b = 2 ，解之得 a = b=x v m .1综上所述得：当m W-时原不等式解集为；21当m>-时，原不等式的解集为2{x|1 —m v x v m}.说明：分类讨论时要预先确定分类的标准.点击思维例8解不等式> -.|x| + 2 2分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母.解注意到分母|x汁2 > 0,所以原不等式转化为2(3 —|x|) >凶+ 2,整理得4 4 4 4 4|x| W -，从而可以解得— 3 W x W -，解集为{x| —- W x W -}.3 3 3 3 3说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便.例9 解不等式|6—|2x+ 1||> 1.分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax+ b|v c或|ax+ b|>c型的不等式来解.解事实上原不等式可化为6—|2x+ 1|> 1① 或6—|2x + 1|v—1② 由①得|2x+ 1|v 5，解之得一3v x v 2;由②得|2x+ 1|>7,解之得x>3或x v —4.从而得到原不等式的解集为{x|x v—4或一3v x v 2或x > 3}.说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论.例10已知关于x的不等式|x+ 2|+ |x—3|v a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是 ____________________ .分析可以根据对|x + 2|+ |x —3|的意义的不同理解，获得多种方法.解法一当x W —2时，不等式化为一x—2—x+ 3 v a即一2x + 1 v a有解，而一2x+ 1 >5,••• a> 5.当一2v x W 3时，不等式化为x + 2—x+ 3v a即a>5.当x>3是，不等式化为x+ 2 + x—3v a即2x—1 v a有解，而2x—1 > 5, •- a>5.综上所述：a> 5时不等式有解，从而解集非空.解法二 |x + 2|+ |x — 3|表示数轴上的点到表示一 2和3的两点的距离之和，显然最小值为 3 — (— 2) = 5.故可求a 的取值范围为a > 5.解法三 利用|m 汁|n|> |m ± n|得|x + 2|+ |x — 3|> |(x + 2) — (x — 3)|= 5. 所以a > 5时不等式有解.说明：通过多种解法锻炼思维的发散性. 例11 分析一 解法一解不等式|x + 1|>2 — x . 对2 — x 的取值分类讨论解之. 原不等式等价于：①2"-X 》0 x + 1> 2 — x 或x + 1 v x — 22 — x v 0 x € Rx < 2由①得 1亠x > —或 1 v — 22x < 2 即 1x > 2由②得x >2.1 、 1综合①②得x > —.所以不等式的解集为{x|x > —}.2 2分析二利用绝对值的定义对|x + 1|进行分类讨论解之. 解法二因为x + 1 , x >— 1—x — 1 , x V — 1原不等式等价于:1> 0或② X1V 01> 2 xx 1> 2 x1即 x > ；所以不等式的解集为{x|x > -} •|x + 1| =由①得 由②得x V — 1即 x € —1> 2学科渗透例12 解不等式|x- 5| - |2x + 3|< 1.分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分3区间讨论，事实上，由于x = 5时，|x —5| = 0, x = — ?时|2x+ 3| = 0.3所以我们可以通过- 3, 5将x轴分成三段分别讨论.2Hi-143解当x<—3时，x —5< 0, 2x+ 3< 0所以不等式转化为2—(x —5) + (2x + 3) < 1，得x< —7，所以x< —7;3当一—< x< 5时，同理不等式化为2—(x —5) —(2x + 3) < 1，1 1解之得x> -，所以丄< x< 5;3 3当x>5时，原不等式可化为x —5 —(2x + 3) < 1，解之得x>—9,所以x>5.1综上所述得原不等式的解集为{x|x > 1或x<—7}.3说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略.例13 解不等式|2x—1|> |2x—3|.分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂.如果采取两边平方，即根据|a| > |b| a2> b2解之，则更显得流畅，简捷.解原不等式同解于2 2(2x —1) > (2x —3),即4x2—4x + 1 > 4x2—12x + 9,即8x>8,得x> 1.所以原不等式的解集为{x|x > 1}.说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x —1|> |2x—3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x> 2即x> 1.2 2K图1—15。
含绝对值的不等式解法·例题剖析 [其它](1)
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不等式的证明(8课时)一. 要点：证明不等式的几种常用方法：比较法、利用基本不等式证明、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.*. 要求：掌握证明不等式的几种常用方法，并能运用这些方法解决一些问题.二. 例题：比较法的依据：a > b ⇔ a－b > 0, a < b ⇔ a－b < 0; a / b > 1且b > 0⇒ a > b, a / b < 1且b > 0 ⇒ a < b.例1 a, b, m ∈ R+且a < b，求证：>.证明：－==> 0∴>.*. 2001年高考题中证明n i P i m < m i P i n的方法与本题相同.例2 a, b ∈ R+，求证：(a + b)(a n + b n) < 2(a n+1 + b n+1) (n ∈ N)证明：不妨设a > b则(a + b)(a n + b n)－2(a n+1 + b n+1) =－(a－b)(a n－b n) < 0∴(a + b)(a n + b n) < 2(a n+1 + b n+1) .例3 x ∈ R，求证：3(1 + x2 + x4) > (1 + x + x2)2.证明：3(1 + x2 + x4)－ (1 + x + x2)2 = 3(1 + x + x2) (1－x + x2)－(1 + x + x2)2 = 2(1 + x + x2)(x－1)2 = 2[(x + 1/2)2 + 3/4](x－1)2 > 0∴3(1 + x2 + x4) > (1 + x + x2)2.例4 a, b ∈ R+，且a + b = 1，求证：ax2 + by2 > (ax + by)2.证明：ax2 + by2－(ax + by)2 = ax2(1－a) + by2(1－b)－2abxy = ab (x－y)2 > 0.例5 a, b, c ∈ R+，求证：a a b b c c > (abc).证明：不妨设a > b > c，则a a b b c c/ (abc)(a+b+c)/3= a(2a-b-c)/3b(2b-a-c)/3c(2c-a-b)/3> b(2a-b-c)/3b(2b-a-c)/3 c(2c-a-b)/3= b(a+b-2c)/3c(2c-a-b)/3> c(a+b-2c)/3c(2c-a-b)/3= c0= 1∵(abc)(a+b+c)/3> 0∴a a b b c c> (abc).例6 若0 < x < 1, a > 0且a ≠ 1，比较|log a(1－x)|与|log a(1 + x)|的大小.解1. |log a (1－x)|－|log a(1 + x)| = 1/|lga|·[|lg(1－x)|－|lg(1 + x)| ] =－1/|lga|·lg(1－x2) > 0∴|log a(1－x)| > |log a(1 + x)| .解2. |log a(1－x)| / |log a(1 + x)| = |log (1+x) (1－x)| =－log(1+x) (1－x) =－log(1+x) (1－x2) + 1 > 1∴|log a(1－x)| > |log a(1 + x)| .不等式证明中常用的基本不等式：a2 > 0; a2 + b2 > 2ab; a, b ∈ R+>; a3 + b3 + c3 > 3abc; a, b, c ∈ R+>.例7 求证：a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca > 0.证明：利用配方a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 1/2[(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2] > 0.例8 证明：a4 + b4 + c4 > abc(a + b + c).证：a4 + b4 > 2a2b2, b4 + c4 > 2b2c2, c4 + a4 > 2c2a2, 又a2b2 + b2c2 > 2ab2c, b2c2 + c2a2 > 2abc2, c2a2 + a2b2 > 2a2bc∴a4 + b4 + c4 > a2bc + ab2c + abc2 = abc(a + b + c).例9 若a > b > 0，试比较a, ,,,, b的大小，并用不等号把它们连结起来.略解：a = √a2= √(a2+ a2)/2 > √(a2+b2)/2; ∵(a2+ b2)/2 > (a+b/2)2∴√(a2+b2)/2 > (a+b)/2 >√ ab = 2 /2√ a-1b-1 > 2/(a-1+b-1); 又2/(a-1+b-1)－b = b(a－b)/(a+b) >0∴a>>>> > b.例10 已知a, b, c ∈ R+且a + b + c = 1，求证：++> 9 .证一. 1/a+1/b+1/c = (a+b+c)/a + (a+b+c)/b + (a+b+c)/c = 3 + a/b + b/a + a/c + c/a + b/c + c/b > 9;证二. 1/a+1/b+1/c = (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) > 33√abc·33√1/abc = 9;证三. 1/a+1/b+1/c > 33√1/abc = 3 / 3√abc > 3·3/(a+b+c) = 9.例11 已知a, b, c ∈ R+，求证：++>.证明：c / (a+b) + a / (b + c) + b / (c + a) = (a + b + c)/(a + b) + (a + b + c)/(b + c) + (a + b + c)/ (c + a)－3 = (a + b + c)[1/(b + c) + 1/(c + a) + 1/(a + b)]－3 = 1/2·[(a + b) + (b + c) + (c + a)][1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(c + a)]－3 > 9/2－3 = 3/2.例12 已知a, b, c, d都大于1，且log a(bcd) < 9，求证：log b a + log c a + log d a > 1.证一：∵(log a b+log a c+log a d)(log b a+log c a+log d a) > 9∴log b a + log c a + log d a >9/log a(bcd) >1;证二：log b a + log c a + log d a>3·3√1/(log a blog a clog a d) > 3·3√(3/log a bcd)3 > 3×1/3 = 1.例13 已知a > b > 0，求证：a +> 3.证明：a + 1/b(a - b) = (a - b) + b + 1/b (a - b) > 3.例14 证明下列不等式：(1) a2 + b2 >; (2) ab + bc + ca <(a + b + c)2; (3) a2 + b2 + c2 >(a +b + c)2 .证明：(1) ∵2 (a2 + b2 ) > a2 + b2 + 2ab = (a + b)2∴a2 + b2 > (a + b)2/2；(2) (a + b + c)2/3 = (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac)/3 = [(a2 + b2)/2 + (b2 + c2)/2 +(c2 + a2)/2]/3 > (ab + bc + ca + 2ab + 2bc + 2ac)/3 = ab + bc + ca(3) ∵3(a2 + b2 + c2) = a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) > a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a + b + c)2∴a2 + b2 + c2 > (a + b + c)2/3.例15 求证：－<－.提示：用分析法证明.例16 x, y ∈ R+，求证：>.提示：用分析法证明.例17 a, b ∈ R+且a + b = 1，求证：(a +)(b +) >.证一：(a +)(b +) >⇔ 4(a2 + 1)(b2 + 1) > 25ab ⇔ 4a2b2 + 4[(a + b)2－2ab] + 4 > 25ab ⇔ 4a2b2－33ab + 8 > 0 ⇔ (4ab－1)(ab－8) > 0∵a + b = 1∴ab < (a + b/2)2 = 1/4∴4ab－1 < 0, ab－8 < 0∴(4ab－1)(ab－8) > 0.证二：(a +)(b +)= ab + 1/ab + b/a + a/b > ab + 1/ab + 2 (a = b = 1/2时等号成立) = ab + 1/16ab + 15/16ab + 2 > 2·√ 1/16 + 15/16ab + 2 (ab = 1/4时等号成立) > 15/16·(2/a+b)2 + 5/2 (a = b = 1/2时等号成立) = 25/4.例18 已知n ∈ N且n > 1，求证：log n (n + 1) > log(n + 1) (n + 2).证明：log n (n + 1) > log(n + 1) (n + 2) ⇔ [1－log(n+1)n·log(n+1)(n + 2)] / log(n+1)n > 0 ⇔ log(n+1)n×log(n+1)(n + 2) < 1，而log(n+1)n·log(n+1)(n + 2) < [log(n+1)n+log(n+1)(n + 2) / 2]2 = [log(n+1)(n2+2n)/2]2 < [log(n+1)(n+1)2/2]2 = 1.例19 0 < a < 1，求证：+> 9.证明：假设结论不成立，则1/a + 4/(1 - a) < 9∴4a < -9a2 + 10a - 1∴(3a - 1)2 < 0, 矛盾.例20 a, b, c, d ∈ R且a + b = 1, c + d = 1, ac + bd > 1，证明：a, b, c, d 中至少有一个是负数.证明：假设a, b, c, d都不小于零∵a + b = 1, c + d = 1∴0 < a < 1, 0 < c < 1∴ac + bd = ac + (1－a)(1－c) = 2ac－a－c + 1 = 2(a－1/2)(c－1/2) + 1/2∵－1/2 < a－1/2 < 1/2, －1/2 < c－1/2 < 1/2 ∴|a－1/2||c－1/2| < 1/4∴ac + bd < 1, 矛盾.例21 已知a, b, c ∈ (0, 1)，证明(1－a)b, (1－b)c, (1－c)a不能都大于.证明：假设结论不成立，则(1 - a)b > 1/4, (1 - b)c > 1/4, (1 - c)a > 1/4∵1 - a > 0∴(1 - a + b)/2 > √ (1 - a)b > 1/2, 同理，(1 - b + c)/2 > 1/2, (1 - c + a)/2 > 1/2各式相加，3/2 > 3/2, 矛盾.例22若n ∈ N且n > 1，求证：1 +++ … +>.证明：1 + 1/√ 2 + 1/√3 + … + 1/√ n > 1/√ n + 1/√ n + 1/√n +…+1/√ n = √ n *. 放缩法是利用不等关系的传递性来完成不等式的证明，应用过程中应根据证明的目标适度地进行放缩.例23 已知k ∈ N且k > 2，求证：2k2 > (k + 1)2 .证明：2k2－(k + 1)2 = k2－2k－1 = (k－3)(k + 1) + 2 > 0 .例24 已知k ∈ N，求证：2k < 2(k!) .证明：2 (k!) = 2×k×(k - 1)×…×2×1 > 2×2×…×2 = 2k.例25 已知k > 0，求证：<－<.证明：∵√(k+2)－√k = 2/[√ (k+2)+ √k] ∴1/√ (k+2) = 2/2√(k+2) < 2/[√ (k+2)+ √ k] = √ (k+2)－√ k <2/2√ k = 1/√ k .例26 n ∈ N且n > 2，求证：++ … +>.证明∵1/k2 > 1/k(k+1) = 1/k－1/(k+1) ∴1/22 + 1/32+ … + 1/n2 > (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/n - 1/(n+1)) = 1/2 - 1/(n+1) = (n - 1)/2(n+1) .例27 n ∈ N且a i > 1 (i= 1, 2, …, n)，求证：(1 + a1)(1 + a2)…(1 + a n) >(1 + a1 + a2+ … + a n).证明：(1 + a1)(1 + a2)…(1 + a n) = 2n (1 + a1)/2·(1 + a2)/2 … (1 + a n)/2 = 2n [1 + (a1 - 1)/2]·[1 + (1 - a2)/12] … [1 + (1 - a n)/2]> 2n[1 + (a1 - )/2 + (a2 - 1)/2 + … + (a n - 1)/2] > 2n[1 + (a1 - 1)/(n + 1) + (a2 - 1)/(n + 1) + … + (a n- 1)/(n + 1)] = 2n/(n + 1)·(1 + a1 + a2+ … + a n) .例28 求证：对一切大于4的自然数，都有2n > n2.提示：用数学归纳法证明，当n = k + 1时2k+1 = 2k·2 > 2k2，又2k2－(k + 1)2 = (k - 3)(k + 1) + 2 >0∴2k+1 > (k + 1)2 .*. 在证明与自然数有关的不等式时可以考虑使用数学归纳法进行证明.例29 设 x >－1且x ≠ 0, n是大于1的自然数，求证：(1 + x)n > 1 + nx .提示：当n = k + 1时(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x) > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 > 1 + (k + 1)x .例30 求证：++ … +> 1.提示：n = k + 1时1/[(k+1)+1] + 1/[(k+1)+2] + … + 1/[(k+1)+2(k+1)+1] = 1/(k+1) + 1/(k+2) + … +1/(3k+1) + 1/(3k+2) + 1/(3k+3) + 1/(3k+4)－1/(k+1) > 1 + [1/(3k+2) + 1/(3k+3) + 1/(3k+4)－1/(k+1)] = 1 + 2/(3k+2)(3k+3)(3k+4) > 1.例31 n ∈ N且n > 2，求证：> ()2 .提示：证明n (a12 + a22+ … + a n2) > (a1 + a2+ … + a n)2. 当n = k + 1时(k + 1)(a12 + a22+ … + a k2 + a k+12)－(a1 + a2+ … + a k + a k+1)2 = k (a12 + a22+ … + a k2) + (a12 + a22 + … + a k2) + (k + 1)a k+12－(a1 + a2+ … + a k)2－2a k+1(a1 + a2+ … + a k)－a k+12> a12 + a22 + … + a k2 + ka k+12－22a k+1 (a1 + a2+ … + a k) = (a1－a k+1)2 + (a2－a k+1)2+ … + (a k－a k+1)2 > 0.例31 已知x, y, z ∈ R且x + y + z = a, x2 + y2 + z2 =a2 (a > 0)，求证：x, y, z都是不大于的非负数.提示：消去z并整理为4x2 + 4(y－a)x + (4y2－4ay + a2) = 0∵x∈R∴∆x = 16(y－a)2－16(2y－a)2 > 0∴0 < y < 2a/3同理0 < x < 2a/3, 0 < z < 2a/3.例32 证明：(a12 + a22+ … + a n2)(b12 + b22+ … + b n2) > (a1b1 + a2b2+ … + a n b n)2.提示：构造二次函数f (x) = (b12 + b22+ … + b n2)x2－2(a1b1 + a2b2+ … + a n b n)x +(a12 + a22+ … + a n2) = (b1x－a1)2 + (b2x－a2)2+ … + (b n x－a n)2 > 0∴∆x = 4(a1b1 + a2b2+ … + a n b n)2－4(a12 + a22+ … + a n2)(b12 + b22+ … + b n2) < 0∴(a12 + a22+ … + a n2)(b12 + b22 + … + b n2) > (a1b1 + a2b2+ … + a n b n)2 .例33 已知x2 + y2 = 1，求证：|x2－2xy－y2| <.提示：∵x2 + y2 = 1，进行三角换元并化为一个角的三角函数后可得证.例34 已知实数x, y满足x2－2xy + 2y2－2 = 0，求证|x + y| <.提示：x2－2xy + 2y2－2 = [(x－y)/√ 2]2 + (y/√ 2)2 = 1，进行三角换元后证明.例35 若x, y, z ∈ R+且x + y + z = a，求证：x2 + y2 + z2 >.提示：令x = a/3 + t, y = a/3 + s, 则z = a/3 - t - s (-a/3 < t, s < 2a/3) ∴x2 + y2 + z2 = 3 (a/3)2 + t2 + s2 + (s + t)2 > a2/3 .例36 已知|A－a| <, |B－b| <，求证：(1). |(A + B)－(a + b)| < ε ; (2). |(A－B)－(a－b)| < ε .例37 a, b∈ R，求证：<+.证明一：a+b=0时，显然成立. a+b≠ 0时，∵|a+b| < |a|+|b|∴1/|a+b| >1/(|a|+|b|)∴|a+b|/(1+|a+b|) = 1/(1+1/|a+b|) < 1/[1+1/(|a|+|b|)] =(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) = |a|/(1+|a|+|b|) + |b|/(1+|a|+|b|) < |a|/(1+|a|) + |b|/ (1+|b|).证明二：证明函数f (x) = x/(1+x)在区间[0, +∞)上单调递增，而|a+b| < |a| + |b|，从而|a+b|/ (1+|a+b|) < (|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) = |a|/(1+|a|+|b|) + |b|/(1+|a|+|b|) < |a|/(1+|a|) + |b|/ (1+|b|).例38 若f (x) =，则当a ≠ b时|f (a)－f (b)| < |a－b|.提示：|f (a)－f (b)| / |a－b| = |√ (1+a2)－√ (1+b2)| / |a－b| = |a2－b2| / |a －b||√ (1+a2)+√ (1+b2)| = |a + b| /[√ (1+a2)+ √ (1+b2)] < |a + b| / (|a| + |b|) < 1.。
绝对值不等式的几何解法
绝对值不等式的几何解法绝对值不等式是初等代数中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。
除了代数解法外，我们还可以用几何的方法来解决绝对值不等式问题。
本文将介绍绝对值不等式的几何解法，并通过几个例子来说明其应用。
我们来回顾一下绝对值的几何意义。
对于一个实数a，其绝对值|a|表示a到原点的距离。
因此，当我们遇到一个绝对值不等式时，可以将其转化为距离的关系，从而用几何的方法来解决。
考虑一个简单的例子：|x| < 2。
我们可以将其转化为距离的关系：x到原点的距离小于2。
根据几何直观，我们可以得到一个解集：-2 < x < 2，即x的取值范围在-2和2之间。
类似地，我们可以考虑一个稍复杂的例子：|x - 3| > 4。
我们可以将其转化为距离的关系：x到3的距离大于4。
根据几何直观，我们可以得到两个解集：x < -1或x > 7，即x的取值范围在负无穷到-1以及7到正无穷之间。
通过上述例子，我们可以发现绝对值不等式的几何解法的基本思路：将不等式转化为距离的关系，然后通过对距离进行适当的判断来得到解集。
接下来，我们通过一些实际问题来说明绝对值不等式的几何解法的应用。
问题一：某学校一次考试的平均分为80分，已知不及格分数线为60分。
求及格学生的分数范围。
解法：设及格学生的分数为x，根据平均分的定义，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 80| < 20。
将其转化为距离的关系：x到80的距离小于20。
根据几何直观，我们可以得到一个解集：60 < x < 100，即及格学生的分数范围在60到100之间。
问题二：某车间生产的零件长度在10cm和12cm之间，要求零件的长度误差不超过0.5cm。
求符合要求的零件长度范围。
解法：设零件的长度为x，根据要求，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 11| < 0.5。
将其转化为距离的关系：x到11的距离小于0.5。
含有绝对值不等式的解法典型例题
含绝对值不等式的解法例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得>｜x-5｜｜x+3｜22,x-5）即（x+3）>（．x>1x>1｝．原不等式的解集为｛∴ x｜22，可在22，两边平方脱去绝对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜＝x评析对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．的取值范围是｜x-2｜>k恒成立，则实数k例2 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-）（ C．k≤3 A．k<3 B．k<-3．k≤-3 D｜的最小值x-2x>k对任意实数恒成立，只要｜x+1｜-｜x+1分析要使｜｜-｜x-2｜2-1x到的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点-3，与2的距离的差，其最小值为-1x+1的距离，｜｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到．选B ∴ k<-3,∴此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗评析长．>x+3．3例解不等式｜3x-1｜两种情况讨论．分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0x≥两种情况求解：和x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 解：当- ;①-，此时不等式的解为3≤x<，即当-3≤x< 时，-3x+1>x+3x<-x≥时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②当又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为x<-，或x>2｝．x｛｜2x+3｜-｜｜<1解不等式例4｜x-5- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：5和x＝解：x＝于是，原不等式变为（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）<x≤5， x<-7，解（Ⅱ）得解（Ⅰ）得x>5；解（Ⅲ）得x> ｝即为原不等式的解集．x｜x<-7或（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛说明解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5解不等式1≤｜2x-1｜<5．原不等式等价于解法一：或②①1≤x<3;解①得 -2<x≤0．解②得原不等式的解集为∴｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，或 -5<2x-1≤-1，即 2≤2x<6，或 -4<2x≤0，解得 1≤x<3，或 -2<x≤0．∴原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是｜≤ba≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．a≤｜x这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；求出它们的解集；解这些不等式，由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，）3（．（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A（-4）．11可以看出，数轴上点B（4）向右的点或者点A（-4）向左的点到A、B两点的距离之11和均大于8．∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y＝｜x+3｜+｜x-3｜和y＝8的图像，如下图．21＝y1不难看出，要使y>y，只须x<-4，或x>4．21∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数!形结合思想方法的优越性．。
含绝对值不等式的解法
4.重要绝对值不等式 ||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件, 即: |a+b|=|a|+|b|ab≥0; |a-b|=|a|+|b|ab≤0; |a|-|b|=|a+b|b(a+b)≤0; |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0. 注: |a|-|b|=|a+b||a|=|a+b|+|b| |(a+b)-b|=|a+b|+|b| b(a+b)≤0. 同理可得 |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0.
典型例题 2 解不等式 ||x+3|-|x-3||>3.
解法一 零点分区间讨论 原不等式等价于: x<-3, -3≤x≤3, x>3, |-x-3+x-3|>3, 或 |x+3+x-3|>3, 或 |x+3-x+3|>3. 3 <x≤3 或 x>3. 即 x<-3 或 -3≤x<- 3 或 2 2 3 3 ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞). 解法二 两边平方 原不等式等价于 (|x+3|-|x-3|)2>9. 即 2x2+9>2|x2-9|( 2x2+9)2>(2|x2-9|)2. 3 3 2 即 4x -9>0. ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞).
备选题 4 已知函数 f(x)=x3+ax+b 定义在区间 [-1, 1] 上, 且 f(0)=f(1), 又 P(x1, y1), Q(x2, y2) 是其图象上任意两点(x1x2). (1)设直线 PQ 的斜率为k, 求证: |k|<2; (2)若 0≤x1<x2≤1, 求证: |y1-y2|<1. 解: (1)∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b. ∴a=-1. ∴f(x)=x3-x+b. y 2- y 1 1 则 k= x -x = x -x [(x23-x2+b)-(x13-x1+b)] 2 1 2 1 1 = x -x [(x23-x13)-(x2-x1)] =x22+x1x2+x12-1. 2 1 ∵x1, x2[-1, 1] 且 x1x2, ∴0<x22+x1x2+x12<3. ∴-1<x22+x1x2+x12-1<2. ∴|x22+x1x2+x12-1|<2. 即 |k|<2. (2)∵0≤x1<x2≤1, ∴由(1)知 |y2-y1|<2|x2-x1|=2(x2-x1). ① 又 |y2-y1|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)| ≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|<2|x1-0|+2|1-x2|=2(x1-x2)+2
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法例题与探
1.2.2 绝对值不等式的解法典题精讲【例1】不等式|3x-2|>4的解集是（ ） A.{x|x>2} B.{x|x<-32} C.{x|x<-32或x>2} D.{x|-32<x<2} 思路解析：可以利用|ax+b|≥c 型不等式的解法进行等价转化，或者利用数形结合法.方法一：由|3x-2|>4,得3x-2<-4或3x-2>4. 即x<-32或x>2. 所以原不等式的解集为{x|x<-32或x>2}. 方法二：（数形结合法）：画出函数y=|3x-2|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-32,32,32,23x x x x 的图象，如下图所示：|3x-2|=4,解得x=2或x=-32, ∴|3x -2|>4时，x<-32或x>2. ∴原不等式的解集为{x|x<-32或x>2}.答案：C绿色通道：本题题型已成为“公式”型的问题，即解不等式时，套用|ax+b|≥c 型的转化方法，进而解之，而数形结合是从函数图象的角度解释不等式，从中可找到适合的x.本题是一道选择题，从解选择题的方法的角度来看，本题还可以用排除法，即比较选择支间范围的差异，从中取值代入不等式验证，然后对选项进行筛选.比如A 项与B 项对比，取x=3代入不等式可知原不等式成立，因而排除B.依此类推，可选出正确选项. 【变式训练】 不等式4<|3x-2|<8的解集为____________.思路解析：本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组，可分别解出其解集，然后取交集即可. 解法一：由4<|3x-2|<8,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<->-<⇒⎩⎨⎧<-<->--<-⇒⎩⎨⎧<->-.3102,232.8238,423423.8|23|,4|23|x x x x x x x x 或或 ∴-2<x<-32或2<x<310. ∴原不等式的解集为{x|-2<x<-32或2<x<310} 解法二：由4<|3x-2|<8,得4<3x-2<8或-8<3x-2<-4.解之得2<x<310或-2<x<-32. ∴原不等式的解集为{x|2<x<310或-2<x<-32}.答案：{x|-2<x<-32或2<x<310}【例2】不等式|5x-x 2|<6的解集为（ ）A.{x|x<2或x>3}B.{x|-1<x<2或3<x<6}C.{x|-1<x<6}D.{x|2<x<3}思路解析：可以利用|x|<a 的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形法求结果.方法一：由|5x-x 2|<6,得|x 2-5x|<6.∴-6<x 2-5x<6.∴⎩⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<+->--⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-.61,32.0)1)(6(,0)3)(2(.065,06522x x x x x x x x x x x 或∴-1<x<2或3<x<6.∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}方法二：作函数y=x 2-5x 的图象.|x 2-5x|<6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自变量的集合.解方程 x 2-5x=6,得x 1=-1,x 2=6. x 2-5x=-6,得x 1′=2,x 2′=3.即得到不等式的解集是{x|-1<x<2或3<x<6}. 答案：B绿色通道：利用数形结合，由函数图象求解集，因而图象的画法就显得重要了，对于本题，y=|x 2-5x|表示y=x 2-5x 在x 轴之上的部分和y=x 2-5x 位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方的部分.求解集时，应看一看函数图象与直线y=6的交点个数问题，然后才能求解.【变式训练】 解不等式|x 2-2x|<3.解法一：由|x 2-2x|<3,得-3<x 2-2x<3,所以x 2-2x+3>0,且x 2-2x-3<0.因为x 2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以x 2-2x-3<0. 解得-1<x<3.所以不等式的解集是(-1,3).解法二：作函数y=x 2-2x 的图象，|x 2-2x|<3表示函数图象中在直线y=-3和直线y=3之间相应部分的自变量的集合，解方程 x 2-2x=3,得x 1=-1,x 2=3.即不等式的解集是（-1，3）.【例3】 解不等式|x-x 2-2|>x 2-3x-4. 解法一：原不等式等价于 x-x 2-2>x 2-3x-4或x-x 2-2<-(x 2-3x-4). ∴原不等式的解集为{x|x>-3}.解法二：∵|x -x 2-2|=|x 2-x+2|, 而x 2-x+2=(x-21)2+47>0, ∴|x -x 2-2|=|x 2-x+2|=x 2-x+2,故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4.∴x>-3.∴原不等式的解集为{x|x>-3}.绿色通道：本题形如|f(x)|>g(x),我们可以借助形如|ax+b|>c 的解法转化为f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),当然|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).而如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解.【变式训练】 解不等式|x 2-5x+6|>x 2-4. 解法一：（分段讨论法）：当x 2-5x+6≥0,即x≤2或x≥3时， x 2-5x+6>x 2-4⇒x<2.当x 2-5x+6<0,即2<x<3时， -(x 2-5x+6)<x 2-4,∴21<x<2. ∴x 不存在.综上，可知原不等式的解集为x<2.解法二：由|x 2-5x+6|>x 2-4,得 x 2-5x+6<-(x 2-4)或x 2-5x+6>x 2-4,即2x 2-5x+2<0或5x<10. ∴21<x<2或x<2. ∴原不等式的解集为{x|21<x<2}. 【例4】 解不等式|x+1|+|x-1|≥3.思路分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x+a|+|x+b|的代数式，可以认为是分段函数.解法一：如图，设数轴上与-1，1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间［-1，1］上的数都不是不等式的解.设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x.∴-1-x+1-x=3,得x=23-. 同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离和为3，B 1对应数轴上的x, ∴x -1+x-(-1)=3.∴x=23. 从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的位点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3. 所以原不等式的解集是(-∞,-23］∪［23,+∞). 解法二：当x≤-1时，原不等式可以化为-（x+1)-(x-1)≥3, 解得：x≤-23. 当-1<x<1时，原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立，无解. 当x≥1时，原不等式可以化为 x+1+x-1≥3. 所以x≥23. 综上，可知原不等式的解集为{x|x≤-23或x≥23}. 解法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.1,32;11,1;1,32x x x x x 作出函数的图象（如下图）函数的零点是-23,23. 从图象可知，当x≤-23或x≥23时y≥0,即|x+1|+|x-1|-3≥0. 所以原不等式的解集为(-∞,-23］∪［23,+∞).绿色通道：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中关键是找到一些特殊的点如A 1，B 1；第三种解法中，准确画出图象，是y=|x+1|+|x-1|-3的图象，而不是y=|x+1|+|x-1|的，其次函数的零点要找准.这些都是求解集的关键.【变式训练】 解不等式|x+1|+|x-1|≤1.解：由原不等式，得⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<-≤-≤≤-.1,12;11,12;1,12x x x x x解集为∅. 问题探究问题：汽车沿道路AE 行驶，AE 是由AB （长10 km ），BC （长5 km ），CD （长5 km),DE （长6 km ）组成，根据时刻表，汽车于9时从A 处出发，经过B 、C 、D 等处的时刻分别是,519时，839时，932时，如果汽车以匀速v 行驶，为了使它经过B 、C 、D 等处的时刻与汽车时刻表的差的绝对值之和，再加上从A 到E 的行驶时间不超过51.7分钟，那么汽车行驶的速度v 应是怎样的？ 导思：绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍，要等价转化，需要先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知，不等式的解集是（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若存在实数解，求实数的取值范围。
【答案】（Ⅰ）-2；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由含绝对值不等式解法转化为关于的一元一次不等式组求解，因为一次项系数含参数，故需要分类讨论解出解决与已知原不等式解集比较，列出关于的方程，从而求出的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的值，将的解析式具体化，利用含绝对值不等式性质，求出的最小值，存在实数解，故，解此不等式得出不等式的解集就是实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由得：即当时，原不等式的解集是，无解；当时，原不等式的解集是，得（5分）（Ⅱ）由题：因为存在实数解，只需大于的最小值由绝对值的几何意义，，所以解得：（10分）【考点】含绝对值不等式解法，含绝对值不等式性质，分类整合思想，含参数不等式有解问题2.对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立，试求2+的最大值。
【答案】【解析】本题主要考查恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力．先将“对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立”转化为“”，利用绝对值的运算性质求出最小值，得到，再利用柯西不等式求出，注意公式应用时等号成立的条件．试题解析：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|="1" , 2分故2+2≤1． 3分(2+)2≤(22+12)( 2+2) ≤5． 5分由 ,即取=，时等号成立．故(2+)=． 7分max【考点】恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式．3.不等式的解集为 .【答案】.【解析】令，则，（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为.【考点】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.4.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.5.解不等式：|x＋1|>3.【答案】(－∞，－4)∪(2，＋∞)．【解析】由|x＋1|＞3得x＋1＜－3或x＋1＞3，解得x＜－4或x＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．6.求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．【答案】2【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为(为参数), 则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A. ； B．； C．【解析】A. 先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C. 由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.9.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1)求M;(2)当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查绝对值不等式、不等式的证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、利用综合法、分类讨论思想的解题能力．第一问，利用零点分段法分别去掉绝对值，解不等式；第二问，可先用分析法由所求证的结论入手，分析需要证明什么，再用综合法证明，要证2|a+b|＜|4+ab|，需证明，展开，需证明，由已知入手，找到，，从而证出.试题解析：（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，. 5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即. 10分【考点】绝对值不等式、不等式的证明.10.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】(1)可以采用零点分段法或者绝对值的定义来解决该绝对值不等式,其中零点分段法即把x分为三段讨论去掉绝对值来求的该不等式的解集，而绝对值的定义,即表示在数轴上点x到-1和a的距离之和,利用数轴即可得到相应的解集(2)首先由区间的a,再根据x的范围去掉绝对值，剩下即为恒成立问题,再利用分离参数法分离x与a,求出x一边的最值即可.解得a的范围.试题解析：（1）由题得a=2，法一.利用绝对值的定义,即|x+1|即为在数轴上x与-1之间的距离,|x-2|是x与2之间的距离.故利用数轴法可以求的,综上的解集为.法二.零点分段法，分为一下三种情况当x>2时,当-1x2时,当x<-1时,综上的解集为.（2）由题得,所以且,即在区间上恒成立,所以,综上a的取值范围为.【考点】绝对值不等式恒成立问题11.设函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据绝对值不等式公式可得的解集，根据其解集与集合可得的值。
含有绝对值不等式的解法-典型例题
含绝对值不等式的解法例1? 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得｜x+3｜2>｜x-5｜2，即（x+3）2>（x-5）2,x>1．∴? 原不等式的解集为｛x｜x>1｝．评析? 对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜2＝x2，可在两边平方脱去绝对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．例2? 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k恒成立，则实数k的取值范围是（??? ）A．k<3????? ???? B．k<-3????? ??????? C．k≤3????? ??????? D．k≤-3分析? 要使｜x+1｜-｜x-2｜>k对任意实数x恒成立，只要｜x+1｜-｜x-2｜的最小值大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点x到-1的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到2的距离，｜x+1｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，∴? k<-3,∴? 选B．评析? 此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长．例3? 解不等式｜3x-1｜>x+3．分析? 解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0两种情况讨论．解：当x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 和x≥ 两种情况求解：当-3≤x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3≤x<- ;①当x≥ 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为｛x｜x<- ，或x>2｝．例4? 解不等式? ｜x-5｜-｜2x+3｜<1解：x＝5和x＝- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为（Ⅰ）?或（Ⅱ）或（Ⅲ）解（Ⅰ）得? x<-7，解（Ⅱ）得<x≤5，解（Ⅲ）得? x>5；（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛x｜x<-7或x> ｝即为原不等式的解集．说明? 解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5? 解不等式1≤｜2x-1｜<5．解法一：原不等式等价于① 或②解①得? 1≤x<3;解②得? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，? 或? -5<2x-1≤-1，即? 2≤2x<6，? 或? -4<2x≤0，解得? 1≤x<3，? 或? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析? 比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a≤｜x｜≤b a≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析? 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B1（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A1（-4）．可以看出，数轴上点B1（4）向右的点或者点A1（-4）向左的点到A、B两点的距离之和均大于8．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y1＝｜x+3｜+｜x-3｜和y2＝8的图像，如下图．y1＝不难看出，要使y1>y2，只须x<-4，或x>4．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数形结合思想方法的优越性!。
专题 解含绝对值符号的不等式(解析版)
专题解含绝对值符号的不等式1．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x ＜-1，两种情况分别求解可得；（2）分①x -2≥0，即x≥2，②x -2＜0，即x ＜2，两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x-2＜0，即 x ＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，对于含绝对值的不等式3x <，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以3x <的解集为33x -<<；对于含绝对值的不等式3x >，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以3x >的解集为3x <-或3x >．(1)含绝对值的不等式2x 的解集为______；(2)已知含绝对值的不等式1x a -<的解集为3b x <<，求实数a ，b 的值；(3)已知关于x ，y 的二元一次方程1x y m +=--的解满足2x y +≤，其中m 是正数，求m 的取值范围．【答案】11x -<<##11x >>-【答案】3x >或3x <-【分析】首先算出|x |=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．【详解】解：由绝对值的意义可得：x =3或x =-3时，|x |=3，∴根据“大于取两边”即可得到｜x ｜＞3的解集为：x >3或 x <−3（如图），故答案为：x >3或 x <−3．【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键．5．若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．__________.8．不等式组25x ⎧⎨-≤⎩的解集是（ ） A ．52x >- B ．37x -≤≤ C ．572x -<≤ D ．572x -≤≤ 【答案】x ＜0或x ＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x ＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x ＋3－x ＝4－2x ＞4，解得x ＜0.注意最后要合并解集．11．解不等式：（1）||2x <（2）|21|3x -≥ 【答案】（1）22x -<<；（2）2x ≥或1x ≤-．【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.【详解】解：（1）∵||2x <，∴22x -<<．（2）∵|21|3x -≥，原不等式变形为：213x -≥或213x -≤-，解得：2x ≥或1x ≤-．【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.12．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题：①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2． 【答案】①6；②3x <-或1x >；③1a =-或5a =-【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】解：(3)①设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ， 且线段AB 的长度为6，∴|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为：6.②设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3.因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①1x >的解集是；x<的解集是.② 2.5x-+>的解集. （2）求绝对值不等式359（3）直接写出不等式24x>的解集是．∴|x|＞1的解集是x＞1或x＜-1；∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5；x-+>的解集为：x＞7或x＜-1；可知：359可知：不等式x2＞4的解集是x＞2或x＜-2．对于绝对值不等式||3x <，从图1的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值小于3，所以||3x <的解集为33x -<<；对于绝对值不等式||3x >，从图2的数轴上看：小于3-或大于3的数的绝对值大于3，所以||3x >的解集为3x <-或3x >．(1)求绝对值不等式|3|2x ->的解集；(2)已知绝对值不等式|21|x a -<的解集为3b x <<，求2a b -的值；|21|x -<2a x ∴-<解得12a -解集为1a -⎧我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=，。
第20讲 绝对值不等式(解析版)
第二十四讲：绝对值不等式【学习目标】1．掌握利用绝对值的性质解决单绝对值不等式2．利用分类讨论方法，解决双绝对值不等式【基础知识】一、单绝对值不等式1、||ax b c ax b c ax b c +>⇒+>+<-或2、||ax b c c ax b c +<⇒-<+<二、双绝对值不等式||||ax b cx d e +±+≤根据每个零点，进行分类讨论，写成分段函数的形式.【考点剖析】考点一：单绝对值不等式例1．求下列绝对值不等式的解集：（1）|2|30x -≥；（2）|12|2x -<．【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】 解：（1） |2|30x -≥|2|3x ∴，23x ∴≥或23x ≤-解得32x -或32x ， 所以原不等式的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（2）由原不等式可得|21|2x -<，即2212x -<-<，解得1322x -<<， 所以原不等式的解集为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭．变式训练1：解不等式：213x x ->. 【答案】1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【详解】解：原不等式可化为210213x x x -≥⎧⎨->⎩或210,123x x x-<⎧⎨->⎩. 解不等式组，得1,5x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭.变式训练2：求下列绝对值不等式的解集：（1）1||0x +<；（2）|3|22x ++≤．【答案】（1）∅；（2）{|3}x x =-【详解】解：（1）1||0x +< ||1x ∴<-又根据绝对值的几何意义知||0x ≥故原不等式无解，解集为∅（2）|3|22x ++≤|3|0x ∴+≤又根据绝对值的几何意义知|3|0x +≥|3|0x ∴+=3x ∴=-故原不等式的解集为：{|3}x x =-考点二：双绝对值不等式例2．解绝对值不等式：33215x x -++< 【答案】7,42⎛⎫-⎪⎝⎭； 【详解】 33215x x -++<因为()41,3233225,33214,3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-++=+-≤<⎨⎪⎪-<-⎪⎩，所以34115x x ≥⎧⎨-<⎩或2332515x x ⎧-≤<⎪⎨⎪+<⎩或231415x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得34x ≤<或233x -≤<或7223x -<<-，综上可得742x -<<，即原不等式的解集为7,42⎛⎫- ⎪⎝⎭变式训练1：解绝对值不等式35x x +>-【答案】}{1x x >.【详解】 不等式35x x +>-，可得：()()2235x x +>-，可得691025x x +>-+，解得1x >；不等式的解集为}{1x x >.故答案为：}{1x x >.变式训练2：解不等式：24x x ++>.【答案】()(),31,-∞-⋃+∞【详解】解法1 “零点分段法”即两个零点2-，0把数轴分成三段.（1）当0x ≥时，原不等式变为24x x ++>即1x >；（2）当20x -≤<时，原不等式变为24x x +->，x ∈∅；（3）当2x <-时，原不等式变为()24x x -+->即3x <-.综上，原不等式的解集为()(),31,-∞-⋃+∞.解法2 利用绝对值的几何意义（图）.24x x ++>表示数轴上与点,A O 的距离之和大于4的点， 而方程24x x ++=表示数轴与A ，O 距离之和等于4的点. 因为2AO =，数轴上点B 右侧的点及点C 左侧的点到点A ，O 的距离之和均大于4，所以不等式的解集为()(),31,-∞-⋃+∞.考点三：绝对值不等式求参例3．已知函数()121f x x x =-++.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()f x x m ≥-的解集为R ，求m 的取值范围.【答案】（1）4|23x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[)3,-+∞. 【详解】 （1）由已知得()31,1,3,11,31, 1.x x f x x x x x +>⎧⎪=+-≤≤⎨⎪--<-⎩①1141431533x x x x x >⎧>⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨+≤≤⎩⎪⎩；②111111352x x x x x -≤≤-≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨+≤≤⎩⎩； ③11213152x x x x x <-<-⎧⎧⇒⇒-≤<-⎨⎨--≤≥-⎩⎩； ∵{}{}44|1|11|21|233x x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫<≤-≤≤-≤<-=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，∴不等式()5f x ≤的解集为4|23x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）不等式()f x x m ≥-解集为()R m f x x ⇔-≤-恒成立，设()()g x f x x =-，则()21,13,1141,1x xg x x x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪--<-⎩①当1x >时，()213g x x =+>；②当11x -≤≤时，()3g x =；③当1x <-时，()413g x x =-->.∴()min 3g x =.∵()m g x -≤恒成立()min m g x ⇔-≤，由3m -≤，得3m ≥-.∴m 的取值范围是[)3,-+∞.变式训练1：对任何实数x ，若不等式12x x a ++->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．3a <B ．3a <-C ．3a ≤D ．3a ≤-【答案】A【详解】12(1)(2)3++-≥+--=x x x x ，∴3a <，故选：A.变式训练2：不等式12x x k +-->的解集为R ,则实数k 的取值范围为______【答案】3k <-【详解】 不等式12x x k +-->根据绝对值三角不等式性质可得()()123x x --=+ 即3123x x -≤+--≤ 若不等式12x x k +-->的解集为R则3k <-故答案为:3k <-变式训练3：若不等式21x x c +->的解集为R ，求实数c 的取值范围. 【答案】12c >【详解】 令函数()()()222222x c x c f x x x c c x c ⎧-≥⎪=+-=⎨<⎪⎩， ()f x ∴的最小值为2c.由题意得21c >，12c ∴>【过关检测】1、求下列绝对值不等式的解集：（1）|12|3x -≥；（2）2|1|0x --≤.【答案】（1）(,1][2,)-∞⋃+∞；（2）(,1][3,)-∞-⋃+∞【详解】解：（1）原不等式等价于|21|3x -≥，即213x -≤-或213x -，解得1x -或2x ，所以不等式的解集为(,1][2,)-∞⋃+∞.（2）原不等式等价于|12x |-≥，即12x -≥或12x -≤-，解得3x ≥或1x ≤-. 综上，所求不等式的解集为(,1][3,)-∞-⋃+∞.2、解下列不等式：（1）11x x x x >--；；（2）235x -<；；（3）23132x x +≥-. 【答案】（1）()0,1；（2）()1,4-；（3）122,,5533⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【详解】（1）由题意，得01x x <-，解不等式，得()0,1x ∈. （2）原不等式可化为5235x -<-<.解不等式，得()1,4x ∈-.（3）原不等式可化为2332320x x x ⎧+≥-⎨-≠⎩.两边平方，得()()222332320x x x ⎧+≥-⎪⎨-≠⎪⎩. 解不等式组，得122,,5533x ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 3、若不等式1ax b +≤的解是{}15x x -≤≤，求,a b 的值.【答案】12a =-，32b = 【详解】因为不等式1ax b +≤的解是15x -≤≤，所以必有0b >. 1b ax b ∴-≤+≤，即11b ax b --≤≤-.分两种情况进行讨论： ①当0a >时，11x b b a a ≤≤---，1115b a b a--⎧=-⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，解方程组，得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.不符合题意，故舍去. ②当0a <时，11b a a x b ≤≤---，1115b a b a-⎧=-⎪⎪∴⎨--⎪=⎪⎩. 解方程组，得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 综上，12a =-，32b =.4、解不等式：123x x ->-. 【答案】4,23⎛⎫⎪⎝⎭【详解】 解：将原不等式两边平方，得()()22123x x ->- 231080x x -+<， 解不等式，得4,23x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.5、解不等式：2124x x ++->.【答案】()(),11,-∞-+∞ 【详解】当2x ≥时，原不等式可化为21242x x x ++->⎧⎨≥⎩，解不等式，得2x ≥；当122x -≤<时，原不等式可化为2124122x x x ++->⎧⎪⎨-≤<⎪⎩，解不等式，得12x <<； 当12x <-时，原不等式可化为()212412x x x ⎧-++->⎪⎨<-⎪⎩，解不等式，得1x <-. 综上，()(),11,x ∈-∞-+∞.6、设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3-【详解】 1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-7、设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -. 【答案】1{|1}3x x x <->或.【详解】当x<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x<–13： 当0≤x≤12时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解； 当x>12时，原不等式可化为x+2x –1>2，解得x>1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.。
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典型例题一例1 解不等式2321-->+x x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴23=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x∴2>x 与条件矛盾，无解．（2）当231≤<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故230≤<x ． （3）当23>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6<x ，故623<<x ． 综上，原不等式的解为{}60<<x x ．说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏． 典型例题二例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间当3<x 时，原不等式变为27,)3()4(a x a x x -><-+-有解的条件为327<-a ，即1>a ；当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<a x ，有解的条件为427>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．典型例题三例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,．证明：ab ya ya xy ab xy -+-=-ε=ε⋅+ε⋅<-⋅+-≤-+-=aa M Mb y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．典型例题四例4 求证 b a a b a -≥-22分析：使用分析法证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-22222，即 ba b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1<ba 时，0<-b a ，原不等式显然成立．∴原不等式成立．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：b a b a a b a a b a ⋅-=-≥-2222 （1）如果1≥ba ，则0≤-b a ，原不等式显然成立． （2）如果1<a b ，则b a b ->-，利用不等式的传递性知a b a -，b a b ->，∴原不等式也成立．典型例题五例5 求证b ba ab a ba +++≤+++111．分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．证明：设xx x x x x f +-=+-+=+=1111111)(． 定义域为｛R x x ∈，且1-≠x ｝，)(x f 分别在区间)1,(--∞，区间),1(∞+-上是增函数． 又b a b a +≤+≤0， ∴)()(b a f b a f +≤+ 即b a ba b a ba +++≤+++11b ba ab a bb a a+++≤+++++=1111∴原不等式成立．说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵b a b a +≤+，01>++b a ， ∴b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++1111bb a a +++≤11． 错误在不能保证a b a +≥++11，b b a +≥++11．绝对值不等式b a b a +≤±在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．典型例题六例6 关于实数x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ⊆的a 的取值范围．分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论．解：解不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x ， 2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， ∴{}R a a x a x A ∈+≤≤=,122．解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ． 当31>a 时（即213>+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+≤≤=31,132a a x x B ． 当31≤a 时（即213≤+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+=31,213a x a x B ． 当31>a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ； 当31≤a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≥+≥;12,1322a a a ⎩⎨⎧≤≤--≤,11,1a a ∴1-=a ．所以a 的取值范围是{}311≤≤-=∈a a R a 或．说明：在求满足条件B A ⊆的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解． 典型例题七例6 已知数列通项公式n n na a a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++= 对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：n n m a a 21<-．分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，问题便可解决．证明：∵n m > ∴mn n n m ma a n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++ m n n ma a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)211(21212121121--=+++≤-+++n m n m n n )12110(21)211(21<-<<-=--n m n n m n ． 说明：m n n 21212121+++++ 是以121+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误． 正余弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．典型例题八例8 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f分析：本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换．证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ． ∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ， 即)1(2)()(+<-a a f x f ．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．典型例题九例9 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是（ ）． A ．{}20<<x x B ．{}5.20<<x xC ．{}60<<x x D ．{}30<<x x 分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由x x x x +->+-2233，知033>+-xx ，∴33<<-x ，又0>x ，∴30<<x ，解原不等式组实为解不等式x x x x +->+-2233（30<<x ）． 解法一：不等式两边平方得：2222)2()3()2()3(x x x x -+>+-．∴2222)6()6(-+>--x x x x ，即0)66)(66(2222>+-----++--x x x x x x x x ， ∴0)6(2>-x x ，又30<<x ．∴⎩⎨⎧<<<-30062x x ∴60<<x ．选C ．解法二：∵0>x ，∴可分成两种情况讨论：(1)当20≤<x 时，不等式组化为x x x x +->+-2233（20≤<x ）． 解得20≤<x ．(2)当2>x 时，不等式组可化为xx x x +->+-2233（2>x ），解得62≤<x ．综合(1)、(2)得，原不等式组的解为60<<x ，选C ．说明：本题是在0>x 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．典型例题十例10 设二次函数c bx ax x f ++=2)((0>a ，且0≠b )，已知a b ≤，1)0(≤f ，1)1(≤-f ，1)1(≤f ，当1≤x 时，证明45)(≤x f ． 分析：从0>a 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1≤x 且1)1(≤-f ，1)1(≤f 知，要求证的是45)(≤x f ，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在． 证明：∵)()(2c b a c b a b +--++=c b a c b a +-+++≤11)1()1(+≤-+=f f2=， ∴1≤b ． 又∵a b ≤，∴1≤ab ． ∴1212<≤-a b ． 又1)0(≤=f c ，ab c a b ac a b f 444)2(22-=-=-， ∴ab c a b c a b f 44)2(22+≤-=- 451141141=⋅⋅+≤⋅⋅+=b a b c ． 而)(x f 的图像为开口向上的抛物线，且1≤x ，11≤≤-x ，∴)(x f 的最大值应在1=x ，1-=x 或ab x 2-=处取得． ∵1)1(≤f ，1)1(≤-f ，45)2(≤-a b f ， ∴45)(≤x f ． 说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a ，b ，c 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在1≤x 范围内的最大值．。