绝对值不等式例题解析

典型例题一

例1 解不等式2321-->+x x

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩

⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2

3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x

∴2>x 与条件矛盾，无解．

（2）当2

31≤

<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2

30≤

3>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6

60<

说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏． 典型例题二

例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．

分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间

当3<-+-有解的条件为32

7<-a ，即1>a ；

当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；

当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<

a x ，有解的条件为42

7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．

解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．

典型例题三

例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,．

证明：ab ya ya xy ab xy -+-=-

ε=ε⋅+ε⋅<-⋅+-≤-+-=a

a M M

b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．

典型例题四

例4 求证 b a a b a -≥-22

分析：使用分析法

证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2

b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222

2，即 b

a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1

a 时，

0<-b a ，原不等式显然成立．∴原不等式成立．

说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：

b a b a a b a a b a ⋅-=-≥-2

22

2 （1）如果1≥b

a ，则0≤-

b a ，原不等式显然成立． （2）如果

1-，利用不等式的传递性知a b a -，b a b ->，∴原不等式也成立．

典型例题五

例5 求证b b

a a

b a b

a +++≤+++111．

分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设x

x x x x x f +-=+-+=+=1111111)(． 定义域为｛R x x ∈，且1-≠x ｝，)(x f 分别在区间)1,(--∞，区间),1(∞+-上是增函数． 又b a b a +≤+≤0， ∴)()(b a f b a f +≤+ 即b a b

a b a b

a +++≤+++11

b b

a a

b a b

b a a

+++≤+++++=1111

∴原不等式成立．

说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵b a b a +≤+，01>++b a ， ∴b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++1111b

b a a +++≤11． 错误在不能保证a b a +≥++11，b b a +≥++11．绝对值不等式b a b a +≤±在运用放

缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．

典型例题六

例6 关于实数x 的不等式2

)1(2)1(2

2-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ⊆的a 的取值范围．

分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论．

解：解不等式2

)1(2)1(2

2-≤+-a a x ， 2

)1(2)1(2)1(2

22-≤+-≤--a a x a ， ∴{}R a a x a x A ∈+≤≤=,122．

解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ． 当31>a 时（即213>+a 时），得⎭⎬⎫⎩

⎨⎧>+≤≤=31,132a a x x B ． 当31≤

a 时（即213≤+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+=31,213a x a x B ． 当31>a 时，要满足B A ⊆，必须⎩

⎨⎧+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ； 当31≤a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≥+≥;

12,1322a a a ⎩⎨⎧≤≤--≤,11,1a a ∴1-=a ．

所以a 的取值范围是{}

311≤≤-=∈a a R a 或．

说明：在求满足条件B A ⊆的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解． 典型例题七

例6 已知数列通项公式n n na a a a a 2

sin 23sin 22sin 2sin 32++++= 对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：n n m a a 2

1<-．