7.2平面向量基本定理及向量坐标运算-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共33张PPT)
新人教版高考数学大一轮复习《平面向量的基本定理及向量坐标运算》
2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点.若 AC AE AF，其中λ ,μ ∈R,则λ +μ =________.
【解析】 选择 AB，AD 作为平面向量的一组基底,
则 AC AB AD，AE 1 AB AD，AF AB 1 AD，
2
2
又 AC AE AF (1 )AB ( 1 )AD， 于是得
C.- 1 a- 5 b
3 12
B. 1 a- 13 b
3 12
D.- 1 a+ 13 b
3 12
【解析】选C. DE DC CE
1 BC 3 CA 34
1 (AC AB) 3 AC
3
4
1 AB 5 AC 1 a 5 b.
3 12
3 12
【一题多解微课】 解决本题还可以采用以下方法: 选C.不妨设∠BAC=90°,取直角坐 标系xOy,设A(0,0),B(1,0),C(0,1), 则a=(1,0),b=(0,1)，
【题组练透】 1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 1 a- 3 b
22
=()
A.(-2,-1) C.(-1,0)
B.(-2,1) D.(-1,2)
【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以 1 a- 3 b
22
=
1 2
(1,1)-
3 (1,-1)=
2
(1 , 1) (3 , 3) =(-1,2).
3
3
【解析】选B.因为a∥b,所以-2x-3(y-1)=0,化简得
2x+3y=3,又因为x,y均为正数,
所以 3 2 = ( 3 2) 1(2x+3y)
届数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析
第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。
了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。
掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。
规定：0与任一向量平行。
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。
（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。
中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。
错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。
【课件】-平面向量基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习
【解】 (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B，由平行四边形法则，得O→B＋O→C
＝2O→A，所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b，
D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
解法二：因为 a＝(3,2)，若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2， 排除 A，同理排除 C，D；若 e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，设存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1 ＋μe2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以32＝ ＝－ 2λ－λ＋25μμ，， 解得λμ＝＝21，， 所以 a＝2e1＋e2. 故选 B.
【解析】 解法一：由 O，P，B 三点共线，可设O→P＝λO→B＝(4λ，4λ)，则A→P＝O→P－O→A ＝(4λ－4,4λ)．
又A→C＝O→C－O→A＝(－2,6)， 由A→P与A→C共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得 λ＝34，所以O→P＝34O→B＝(3,3)，
所以点 P 的坐标为(3,3)． 解法二：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，因为O→B＝(4,4)， 且O→P与O→B共线，所以4x＝4y，即 x＝y. 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2,6)，且A→P与A→C共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得 x＝y＝3，所以点 P 的坐标为(3,3)．
【解析】 ∵A→P＝tA→B， ∴O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋tA→B ＝O→A＋t(O→B－O→A)＝O→A＋tO→B－tO→A＝(1－t)O→A＋tO→B.
易错易混 5．设向量 a＝(x,1)，b＝(4，x)，且 a，b 方向相反，则 x 的值是( B ) A．2 B．－2 C．±2 D．0
高三数学大一轮复习 平面向量的基本定理及坐标表示学
学案26 平面向量的基本定理及坐标表示导学目标： 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．自主梳理1．平面向量基本定理定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________． 2．夹角（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________．(2)向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____.(3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________． 3．把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．4．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．5．平面向量的坐标运算 (1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝________________________，a －b ＝________________________，λa ＝________________.（2）已知A （11x y ，），B （22x y ，），则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．6．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是________________________． 7．(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为________________________________．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为_______________． 自我检测1．(2010·福建)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a∥b ，则锐角α为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3.（2011·马鞍山模拟）已知向量a =(6，-4)，b （0，2），OC →＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sinπ12x 的图象上，则实数λ等于( )A.52B.32 C ．－52 D ．－324．(2010·陕西)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.5.（2009·安徽）给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧»AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______.探究点一 平面向量基本定理的应用例1 如图所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a 、b 为基底表示OM →.变式迁移1 （2011·厦门模拟）如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，则λ＋μ的值为________．探究点二 平面向量的坐标运算例2 已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4），且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，试求点M ，N 和MN →的坐标．变式迁移2 已知点A （1，-2），若向量|AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标为________．探究点三 在向量平行下求参数问题例3 (2011·嘉兴模拟)已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .变式迁移3 (2009·江西)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x ，y )垐垐垎噲垐垐一一对应向量OA →垐垐垎噲垐垐一一对应点A (x ，y )．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A (1,2)，B (3,4)，则AB →＝(2,2)．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知a,b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ， (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2－1＝0D ．λ1λ2＋1＝02.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <03．(2011·湛江月考)设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是 ( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－∞，1]D ．[－1,6] 4.设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cosθ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是 ( )A. 2B. 3 C ．3 2 D ．2 35.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4) 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)6.（2011·烟台模拟）如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．7．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．8.(2009·天津)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为________．三、解答题(共38分)9.（12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.10．(12分)(2011·宣城模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sin B ＋C 2，2sin A )，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．11.（14分）如图，在边长为1的正△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE →＝mAB →，AF →＝nAC →，m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；（2）若m +n=1,求MN u u u u r的最小值．答案 自主梳理1．不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 2.(1)夹角(2)[0，π] 0 π (3)π2a ⊥b3.互相垂直4.(x ，y ) 坐标 (x ，y ) x 轴 y 轴5.(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) (2)终点 始点6．x 1y 2－x 2y 1＝0 7.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33自我检测1．A [由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．]2．B [∵a ∥b ，∴32×13－sin αcos α＝0，∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.]3．A [c ＝a ＋λb ＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52.]4．－1解析 a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1. 5．2解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B (－12，32)．设AOC ∠＝α,则OA →＝ (cos α，sin α)． ∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 课堂活动区例1 解题导引 本题利用方程的思想，设OM →=ma +nb ，通过建立关于m 、n 的方程求解，同时注意体会应用向量法解决平面几何问题的方法.解 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17，n ＝37.所以OM →＝17a ＋37b .变式迁移1 6解析 如右图，OC →＝OD →＋OE →＝λOA →＋μOB →在△OCD 中，∠COD ＝30°，∠OCD ＝∠COB ＝90°，可求|OD →|＝4，同理可求|OE →|＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.例2 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)． ∴CM →＝3CA →＝(3,24)， CN →＝2CB →＝(12,6)．设M （x ，y ），则CM →＝(x ＋3，y ＋4)＝(3,24)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N （9，2），因此MN →=（9，－18）.∴所求M （0，20），N （9，2），MN →＝(9，－18)． 变式迁移2 (5,4)解析 ∵向量AB →与a 同向，∴设AB →＝(2t,3t ) (t >0)． 由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4.∵t >0，∴t ＝2.∴AB →＝(4,6)．设B 为(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.例3 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.变式迁移3 5解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5.课后练习区1．C [∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔AB →＝kAC →⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，kλ2＝1，∴λ1λ2－1＝0.]2.B [由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a >0，b <0.]3．A [∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α.又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4.又∵λ＝2m －2， ∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2m≤1.]6．2解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二 ∵2AO →＝AB →＋AC →＝mAM →＋nAN →， AO →＝m 2AM →＝m 2AM →.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2. 7．(0，－2)解析 设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知ＢＣ→＝ＡＤ→，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)． 8. 3S ＝|AB →|＝|ＢＣ→|sin 60°＝2×2×32＝ 3. 9．证明 设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得ＡＣ→＝(2,2)，ＢＣ→＝(－2,3)，ＡB →＝(4，－1)．∴A Ｅ→＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝13ＢC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴A Ｅ→＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.…………………………………………………(4分)∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＋(－1,0) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23， (x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. ∴ＥＦ→＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.…………………………………………………(8分)又∵ＡB →＝(4，－1)，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0， ∴ＥＦ→∥ＡB →.……………………………………………………………………………(12分)10．证明 ∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A . 由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ， 即sin(A －B )＝0.∵A 、B 为三角形的内角， ∴－π<A －B <π.∴A ＝B .……………………………………………………………………………………(5分)∵p 2＝9，∴8sin2B ＋C2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12.……………………………………………………………………………(10分)又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．………………………………………………………………(12分)11．解 （1）由A ，M ，N 三点共线，得A Ｍ→∥A Ｎ→，设A Ｍ→＝λAN →(λ∈R )，即12(AE →＋A Ｆ→)＝12λ(ＡB →＋AC →)，所以m ＡB →＋nAC →＝λ(ＡB →＋AC →)，所以m ＝n .…………………………………………(5分)（２）因为ＭN →＝AN →－AM →＝12(AB →－AC →)＝12(AE →－AF →)＝12 (1－m )AB → ＋12(1－n )AC →，……………………………………………………………………………………………(8分)又m ＋n ＝1，所以MN →＝12 (1－m )AB →＋12mAC →，所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2＋14m 2AC →2＋12(1－m )mAB →·AC →………………………………(10分)＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316. 故当m ＝12时，|MN →|min ＝34.……………………………………………………………(14分)。
第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型突破·考法探究
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 = 7， = 4 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]
B． 3，7
C． 3，11
D．(3，11)
【答案】C
【解析】由题意知 = 7， = 4，且 = | − |，
当, 同向时， 取得最小值， = | − | = ||| − ||| = |4 − 7| = 3；
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故
A错误．
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误．
对于C，若Ԧ = ，则,
，故C成立．
Ԧ 必定共线，故//
Ԧ
对于D，当Ԧ ≠ 时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与
Ԧ 可以为共线向量，故D错误．故选：C
后一个向量终点的向量．
即 + + ⋯ + − = ．
（2）||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，当且仅当, 至少有一个为时，向量不等式的等号成
立．
（3）特别地：||| − ||| ≤ | ± |或| ± | ≤ || + ||当且仅当, 至少有一个为时或者
与向量长度无关，两个向量方向相同
且长度相等，就是相等向量．
题型突破·考法探究
题型一：平面向量的基本概念
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．若||
Ԧ > ||，则Ԧ >
C．若Ԧ = ，则//
Ԧ
B．若||
Ԧ = ||，则Ԧ =
D．若Ԧ ≠ ，则与
高三一轮复习2021版 第五章 第1讲 平面向量的概念及线性运算
知识点考纲下载平面向量的几何意义及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.向量的线性运算掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.平面向量的基本定理及坐标表示理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.平面向量的数量积及向量的应用理解平面向量数量积的概念及其几何意义．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．会用坐标表示平面向量的平行与垂直．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.复数了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．了解复数的加、减运算的几何意义．理解复数代数形式的四则运算.第1讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．[说明]三点共线的等价关系A，P，B三点共线⇔AP→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内异于A，P，B 的任一点，t∈R)⇔OP→＝xOA→＋yOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．()(2)AB→＋BC→＋CD→＝AD→.()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD→＝()A．－BC→＋12BA→B．－BC→＋12AB→C．BC→－12BA→D ．BC →＋12BA →解析：选A.因为CD →＝CB →＋BD →，CB →＝－BC →， BD →＝12BA →，所以CD →＝－BC →＋12BA →.(2019·瑞安模拟)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形解析：选D.依题意得AB →＋BC →＝AB →＋AD →，则BC →＝AD →，因此BC ∥AD ，且BC ＝AD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，故选D.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的； ②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ； ③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是________．解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．答案：①已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析：依题意知点A ，B ，D 三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23平面向量的有关概念给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；其中真命题的序号是________．【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．③是正确的，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值．角度一 用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A ．12AB →－13AD →B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12DA →D ．12AB →－23AD →【解析】 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 【答案】 D角度二 求参数的值如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________．【解析】 因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点， 所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →， 又AM →＝λAB →＋μBC →， 所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.【答案】 23向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．(2019·嘉兴质检)已知平行四边形ABCD ，点M 1，M 2，M 3，…，M n －1和N 1，N 2，N 3，…，N n －1分别将线段BC 和DC 进行n 等分(n ∈N *，n ≥2)，如图，若AM 1→＋AM 2→＋…＋AM n －1＋AN 1→＋AN 2→＋…＋AN n －1＝45AC →，则n ＝( )A ．29B ．30C ．31D ．32解析：选C.由题图知，因为AM 1→＝AB →＋1n BC →，AM 2→＝AB →＋2n BC →，…，AM n －1＝AB →＋n －1nBC →，AN 1→＝AD →＋1n DC →，AN 2→＝AD →＋2n DC →，…，AN n －1＝AD →＋n －1n DC →.AB →＝DC →，AD →＝BC →.所以AM 1→＋AM 2→＋…＋AM n －1＋AN 1→＋AN 2→＋…＋AN n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1＋1n ＋2n ＋…＋n －1n ·(AD →＋AB →)＝3（n －1）2AC →，所以3（n －1）2＝45，解得n ＝31.故选C.2．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解析：因为D 为边BC 的中点， 所以PB →＋PC →＝2PD →， 又P A →＋BP →＋CP →＝0， 所以P A →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →，与AP →＝λPD →比较，得λ＝－2. 答案：－2平面向量共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0.所以k ＝±1.1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线的充要条件是( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝－12解析：选D.因为a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋λe 2，e 1，e 2不共线， 因为a ，b 共线⇔b ＝12a ⇔b ＝e 1－12e 2⇔λ＝－12.2.如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近点B ，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)试用a ，b 表示BC →，AD →，BE →； (2)证明：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ， 所以BC →＝AC →－AB →＝b －a ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14BC →＝a ＋14(b －a )＝34a ＋14b ，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋13AC →＝－a ＋13b .(2)证明：BE →＝－a ＋13b ，BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋23AD →＝－a ＋23⎝⎛⎭⎫34a ＋14b ＝－12a ＋16b ＝12⎝⎛⎭⎫－a ＋13b ， 所以BF →＝12BE →，所以BF →与BE →共线，且有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．求解向量共线问题的五个策略(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝ (1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．(5)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.易错防范(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．[基础达标]1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A ．AB →＋(P A →＋BQ →)B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)C ．QC →－QP →＋CQ →D ．P A →＋AB →－BQ →解析：选D.AB →＋(P A →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋P A →＝P A →＋AQ →＝PQ →；(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →；QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →；P A →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →， 显然由PB →－BQ →得不出PQ →， 所以不能化简为PQ →的式子是D.2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|a 解析：选B.对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．3．(2019·浙江省新高考学科基础测试)设点M 是线段AB 的中点，点C 在直线AB 外，|AB →|＝6，|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|，则|CM →|＝( )A ．12B ．6C ．3D ．32解析：选C.因为|CA →＋CB →|＝2|CM →|，|CA →－CB →|＝|BA →|，所以2|CM →|＝|BA →|＝6， 所以|CM →|＝3，故选C.4．已知a ，b 是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a |＋|b |≥|a －b | B ．|a ·b |≤|a |·|b |C ．(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2D ．(a －b )3＝a 3－3a 2·b ＋3a ·b 2－b 3解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a |＋|b |≥|a －b |，所以A 正确； 因为|a ·b |＝|a ||b ||cosa ，b|，又|cosa ，b|≤1，所以|a ·b |≤|a ||b |恒成立，B 正确；由向量数量积的运算，得(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，C 正确；根据排除法，故选D. 5．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q ， 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ＞0，故qp .所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.6．(2019·温州市普通高中模考)已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(0， 2 )解析：选B.由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．7．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b . 答案：b －a －a －b8．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →|≤13.答案：[3，13]9．(2019·温州质检)如图所示，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为 ________．解析：因为BG →＝2GO →，所以AG →＝13AB →＋23AO →＝13AB →＋13AC →，又CD →∥AG →，可设CD →＝mAG →，从而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝⎝⎛⎭⎫1＋m 3AC →＋m 3AB →.因为AD →＝15AB →＋λAC →，所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.答案：6510．(2019·杭州中学高三月考)已知P 为△ABC 内一点，且5AP →－2AB →－AC →＝0，则△P AC的面积与△ABC 的面积之比等于________．解析：因为5AP →－2AB →－AC →＝0， 所以AP →＝25AB →＋15AC →，延长AP 交BC 于D ，则53AP →＝23AB →＋13AC →＝AD →，从而可以得到D 是BC 边的三等分点，且CD ＝23CB ，设点B 到边AC 的距离为d ，则点P 到边AC 的距离为23×35d ＝25d ，所以△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为25.答案：2511．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b . 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →， 即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.12.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . [能力提升]1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B.因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P ABS △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.2．(2019·福建省普通高中质量检查)已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB →＋yAC →，则xy 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤19，49B ．⎣⎡⎦⎤19，14 C ．⎣⎡⎦⎤29，12D ．⎣⎡⎦⎤29，14解析：选D.由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB →＝λBC →⎝⎛⎭⎫－23≤λ≤－13，所以AB →－AP →＝λ(AC →－AB →)，所以AP →＝－λAC →＋(λ＋1)AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－λx ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，于是xy ＝x (1－x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝23时，xy 取得最小值29，所以xy 的取值范围为⎣⎡⎦⎤29，14，故选D. 3．(2019·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 的延长线，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n ＝________．解析：作BG ∥AC ，则BG ∥NC ，|BG ||AN |＝|BM ||AM |.因为O 是BC 的中点，所以△NOC ≌△GOB ， 所以|BG |＝|NC |，又因为|AC |＝n |AN |， 所以|NC |＝(n －1)|AN |，所以|BG ||AN |＝n －1. 因为|AB |＝m |AM |，所以|BM |＝(1－m )|AM |， 所以|BM ||AM |＝1－m ，所以n －1＝1－m ，m ＋n ＝2.答案：2 4. (2019·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且满足1CM 2＋1CN2＝1，若AC →＝xAM →＋yAN →，则x ＋y 的最小值为________．解析：连接MN 交AC 于点G ，由勾股定理，知MN 2＝CM 2＋CN 2，所以1＝1CM 2＋1CN2＝MN 2CM 2·CN 2， 即MN ＝CM ·CN ，所以C 到直线MN 的距离为定值1，此时MN 是以C 为圆心，1为半径的圆的一条切线．因为AC →＝xAM →＋yAN →＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋y AM →＋y x ＋y AN →，所以由共线定理知，AC →＝(x ＋y )AG →， 所以x ＋y ＝|AC →||AG →|＝5|AG →|，又因为|AG →|max ＝5－1＝4， 所以x ＋y 的最小值为54.答案：545．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →； (2)证明A ，M ，C 三点共线．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＝12a ＋b ， 又E 为AD 中点， 所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ，因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →， 所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝⎛⎭⎫a ＋12a ＝34a ， 又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ，所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a ＝12a ＋12b .(2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ，所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →，又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．求证：A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.证明：充分性：若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， 所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →， 所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． 必要性：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， 所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.所以A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.。
第一节 平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考
平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝ ；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一 平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二 平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三 平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一．考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理1．向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=03．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥· =0设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程（一）基础知识训练1.下列命题正确的是 （ ）)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ）)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +213. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
平面向量的基本定理及坐标表示(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(原卷版)
考向24 平面向量的基本定理及坐标表示【2022·全国·高考真题（文）】已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【2021·全国·高考真题（理）】已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．1．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系． 4．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为a λ（λ∈R ），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(),a x y =，22(),b x y =，则a b ∥的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．1．平面向量基本定理和性质 （1）共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==． 推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==． （3）线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．（4）三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=； ⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+； ⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+； ⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．（5）中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+)AC ，反之亦正确．2．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量(,)x y 一一对应向量OA一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y =，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．DACBDACB3．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，222121||()()AB x x y y =-+- ②已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=， =a b ⋅1212x x y y +，2211||a x y =+．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在ABC 中， 3AD BD =-，CD CE λ=，23AE AB AC μ=+，则μ=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．12．（2022·上海静安·二模）设(,)a x y =，(,)b m n =，且a ，b 均为非零向量，则“x ym n=”是“a b ∥”的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要3．（2022·上海闵行·二模）已知、、A B C 是平面内不共线的三点，点O 满足20,OA OB OC λλ++=为实常数，现有下述两个命题：（1）当3λ≠-时，满足条件的点O 存在且是唯一的；（2）当3λ=-时，满足条件的点O 不存在．则说法正确的一项是（ ） A ．命题（1）和（2）均为真命题B ．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题C ．命题（1）和（2）均为假命题D ．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ）A ．23a b+-B ．23a b+-C ．23a b--D ．23a b--6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +1．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1--- C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =，(),1=-b m ，若a b ∥，则⋅=a b （ ）A ．32-B ．32C ．52-D ．523．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．14．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=--，，，，若p q ∥，则角C 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π35．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知O 为坐标原点，122PP PP =-，若()11,2P 、()22,1P -，则与OP 共线的单位向量为（ ）A ．()3,4-B ．()3,4-或()3,4-C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭6．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在ABC 中，E ，F 分别为,AC BC 的中点，点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，AD mAB nAE =+，则（ ） A ．(0,1)m ∈B ．(0,2)n ∈C ．2n m =D ．1m n +=7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）A ．当60θ=︒时()1,2A 与()3,4B 距离为23B ．点()1,2A 关于原点的对称点为()1,2A '--C ．向量11,ax y 与22,bx y 平行的充要条件是1221y x y x =D ．点()1,2A 到直线10x y +-=28．（2022·河南郑州·三模（理））在ABC 中，D 是BC 上一点，2BD DC =，M 是线段AD上一点，14BM tBA BC =+，则t =（ ）A ．12B ．23C ．34D ．589．（多选题）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在ABC 中，D 为BC 中点，且2AE ED =，则（ ）A ．2136CE CA CB =+B ．1133CE CA CB =+C ．CE ∥()CA CB +D ．CE ⊥()CA CB -10．（多选题）（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=,其中,[0,2π)αβ∈，则以下结论正确的是（ ）A ．若//a b ，则αβ=B ．若a b ⊥，则π||2αβ-=或3π2 C ．若12a b ⋅=-，则||1a b +=D ．若a b a -=，则3()2a ab ⋅+=11．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ）A ．若(2)a b c +⊥，则4λ=B ．若a tb c =+，则6t λ+=-C ．a b μ+的最小值为75D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞-12．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知向量()2,3a m →=-，(),1b m →=，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b →→∥，则12m =B ．若a b →→⊥，则3m =C ．2a b →→+的最小值为7D ．若13m -<<，则a →与b →的夹角为钝角13．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在边长为2正六边形ABCDEF 中，G 是线段AB 上一点，AG AB λ=，则下列说法正确的有（ ）A ．若12λ=，则122EG AB AF =--B ．若向量CD 在向量AB 上的投影向量是AB μ，则12μ=C ．若P 为正六边形ABCDEF 内一点（包含端点），则AP AB ⋅的取值范围是[]2,6-D ．若1CG CE ⋅=，则λ的值为2314．（2022·全国·模拟预测（文））在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．15．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，AD AB AC λμ=+(),λμ∈R ，则λμ-=______．16．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，12,cos 2AB BAD =∠=，E 、F 是边BC ，CD 上的点，12BE BC =，23CF CD =，若8AE BF ⋅=，则平行四边形的面积为_________．17．（2022·江西·模拟预测（理））在ABC 中，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 是ABC 的外接圆上的一点，若AP mAB =+nAC ，则m n +的最小值是________18．（2022·湖南岳阳·三模）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动(包含B ，C 两个端点)，∠BAC ＝23π，且AP xAB y AC =+，x ＋y 的取值范围为________．19．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________．20．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知0θπ<<，向量2sin ,2cos 2a θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,sin θ=b ，且a b ∥，则θ＝______________．1．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -3．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b = A ．2 B ．2 C ．52D ．504．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．5．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________． 6．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________. 7．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．9．（2020·全国·高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 10．（2020·全国·高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.11．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.12．（2019·北京·高考真题（文））已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m =__________.。
平面向量基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习
或
解析：因为点在直线上，所以,又 ,所以,设点,则, .①若,则 ,所以解得 所以,因为是的中点，所以 .
②若,则 ,所以解得 所以,因为是 的中点，所以 .综上所述，点的坐标为或 .
利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路：求与一个已知向量 共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于 的方程（组），求出 的值后代入 即可得到所求的向量.求点的坐标时，可设要求点的坐标为，根据向量共线的条件列方程（组），求出, 的值.
因为,,三点共线，所以与 共线，所以 ，即 .由解得所以点的坐标为 .
1.在中，,分别是,的三等分点，且， ，若,，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选A.由题意知 .故选A.
√
2.如图，在梯形中，， ，，分别为，的中点，若 ，其中，，则 的值为__.
解析：由题意知，， ，而 ，所以 ，① ，②联立①②得，与不共线，所以， ，所以 .
例2 （一题多解）如图，在直角梯形中， ,,,为 的中点，若,则 ( )
3.平面向量共线的坐标表示设,, ⑨________________.
（1）的充要条件不能表示为.因为, 有可能为0；（2）当且仅当时,与 等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
1.向量共线的充要条件的两种形式（1） ；（2）（其中, ）.2.已知为线段的中点,若,,则点坐标为3.已知的顶点,,,则的重心 的坐标为 .
1.已知,,若,则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
解析：选D.设,则,,根据 ,得 ,即解得所以点的坐标为 .
√
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——平面向量基本定理及坐标表示
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋
μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × )
索引
5.(易错题)已知 A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量A→B共线的单位向量是 ___±__35_，__－__54________. 解析 ∵A→B＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)， ∴|A→B|＝5.故与向量A→B共线的单位向量坐标为±35，－54.
索引
8 6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝____5____.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，21，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－12
D.12，－
3 2
解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°，
依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°，
索引
感悟提升
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当 两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
索引
高考数学第一轮复习 第四篇 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 a≠b 则 a∥b⇔ _x_1_y_2－__x_2_y_1＝__0___.
第三页，共18页。
1．对平面向量基本(jīběn)定理的理 解
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (3)(2013·广东卷改编)已知 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a
1234 A.5 B.5 C.5 D.5
解析 因为A→B＝A→N＋N→B ＝A→N＋C→N (x＝jiīě)A→N＋(C→A＋A→N)＝2A→N＋C→M＋M→A
＝所2A以→NA→－B＝14A→85BA→－NA－→M45A，→M， 所以 λ＋μ＝45. 答案 D
第十页，共18页。
平面(píngmiàn)向量的
考
坐标运算
点
【例 2】已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，
B→C＝b， C→A＝c，且C→M＝3c， C→N＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c；(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n；
(3)求 M，N 的坐标及向量M→N的坐标．
解析 由已知得 a=(5,-5), b=(-6,-3), c=(1,8)
点
【例 3】平面内给定三个向量 a＝(3,2)，
审题路线
b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k；
（1）分别求出(a＋kc)
(2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5， 与(2b－a)的坐标
求 d 的坐标．
新课程2021高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示课件
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
1.(2019·厦门外国语学校模拟)已知点 A(－1,1)，B(0,2)，若向量A→C＝(－
2,3)，则向量B→C＝( )
答案 B
解析 对于 A，e1∥e2，不能作为基底；对于 B，－1×7－2×5≠0，所 以 e1 与 e2 不共线，可以作为基底；对于 C，e2＝2e1，所以 e1∥e2，不能作为 基底；对于 D，e1＝4e2，所以 e1∥e2，不能作为基底．
(3)如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若A→E＝λA→B＋μA→C，则 λ
121A→C，则实数
m
3 的值为____1_1___.
解析 设B→P＝λB→N， ∵P 是 BN 上的一点，A→N＝13N→C， 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋λB→N ＝A→B＋λ(A→N－A→B)＝(1－λ)A→B＋λA→N ＝(1－λ)A→B＋4λA→C＝mA→B＋121A→C. ∴m＝1－λ，4λ＝121，解得 λ＝181，m＝131.
2．平面向量的坐标运算
□ 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ 01 (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝
□ □ 02 (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ 03 (λx1，λy1)
，|a|＝ x21＋y21，|a＋b|＝
x2＋x12＋y2＋y12.
3．平面向量共线的坐标表示
a∥b,0<α<π2，
则 α＝____6____.
解析 因为 a∥b，所以 sin2α＝cosα，即 cosα(2sinα－1)＝0，又 0<α<π2， 所以 cosα>0，所以 sinα＝12，解得 α＝π6.
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(2)已知 a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数 k＝ ________.
答案：－6 解析：由题意得 a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)， 由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得 k＝－6.
共
线
，
所
以
由
平
面
向
量
基
本
定
理
得
14λ＋34μ－1＝0， λ＋μ2＝0，
解得
λ＝－45， μ＝85.
所以 λ＋μ＝45.
题型二 平面向量的坐标运算[自主练透] 1．已知A→B＝(1，－1)，C(0,1)，若C→D＝2A→B，则点 D 的坐标为( ) A．(－2,3) B．(2，－3) C．(－2,1) D．(2，－1)
A．a＋b B．12a＋b C．a＋12b D．a＋23b
答案：C 解析：由题意可得∠C＝30°，∠OAD＝∠ODA＝∠DAB＝30°，则 OD∥AB，又 OD＝AB，所以四边形 OABD 为平行四边形，则A→D＝A→B ＋A→O＝a＋12b.
(2)[多填题]在△ABC 中，点 M、N 满足A→M＝2M→C，B→N＝N→C，若M→N ＝xA→B＋yA→C，则 x＝________；y＝________.
类题通法
如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a＝(x1， y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1”.
【跟踪训练 2】 (1)已知平面向量 a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且 a∥b，则 3a＋2b 等 于( ) A．(－1,7) B．(－1,2) C．(1,2) D．(1，－2)
三、走进高考 5．[2017·全国Ⅲ卷]在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在 以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若A→P＝λA→B＋μA→D，则 λ＋μ 的最 大值为( ) A．3 B．2 2 C. 5 D．2
答案：A
解析：建立如图所示的直角坐标系，则 C 点坐标为(2,1)．
第2节 平面向量基本定理 及向量坐标运算
【教材回扣】
1．平面向量基本定理 (1)基底：_不__共__线___的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底． (2)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个__不__共__线__向量，那么对 于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ_1_e_1＋__λ_2_e_2. 2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向 量 i，j 作为基底，该平面内的任一向量 a 可表示成 a＝xi＋yj，a 与数 对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a ＝(_x_，__y_)，其中 a 在 x 轴上的坐标是 x，a 在 y 轴上的坐标是 y.
答案：D 解析：设 D(x，y)，则C→D＝(x，y－1)，2A→B＝(2，－2)， 根据C→D＝2A→B，得(x，y－1)＝(2，－2)， 即yx－＝12＝，－2， 解得 D(2，－1)，故选 D.
2．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设A→B＝a，B→C＝b， C→A＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则 m＋n＝________.
答案：－2 解析：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴－ －63mm＋ ＋n8＝ n＝5， －5， 解得mn＝＝－－11.， ∴m＋n＝－2.
类题通法 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进 行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列 方程(组)来进行求解.
3．平面向量的坐标运算
向量的加法、减法
设 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， 则 (_x1_＋__x_2_，_y_1_＋__y_2)，a－b＝(_x_1_－_x_2_，__y_1－__y_2)
a＋b＝
向量的数乘 设 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝__(_λx_，__λ_y_)____
【跟踪训练 1】 (1)如图，在三角形 ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是 BE 的中点， 若A→B＝a，A→C＝b，则A→O＝( ) A.12a＋12b B.12a＋13b C.14a＋12b D.12a＋14b
答案：D 解析：∵在三角形 ABC 中，BE 是 AC 边上的中线． ∴A→E＝12A→C， ∵O 是 BE 边的中点 ∴A→O＝12(A→B＋A→E)， ∴A→O＝12(A→B＋A→E)＝12A→B＋12A→E＝12a＋14b.
θ， θ
(θ 为参数)，
而A→P＝(x0，y0)，A→B＝(0,1)，A→D＝(2,0)． ∵A→P＝λA→B＋μA→D＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝12x0＝1＋
5 5 cos
θ，λ＝y0＝1＋2
55 Biblioteka inθ.两式相加，得
λ＋μ＝1＋2 5
5 sin
θ＋1＋
5 5 cos
θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3
设 BD 与圆 C 切于点 E，连接 CE，
则 CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，
∴BD＝ 12＋22＝ 5，
EC＝BCB·DCD＝
2 ＝2 5
5
5，
即圆 C 的半径为255，
∴P 点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝45.
设
x0＝2＋2 P(x0，y0)，则y0＝1＋2
5 5
5 cos 5 sin
题型三 共线向量的坐标表示及其应用[微点探究] 微点 1 利用向量共线求向量或点的坐标 [例 2] 已知梯形 ABCD 中，其中 AB∥CD，且 DC＝2AB，三个 顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则 D 点坐标为________．
答案：(2,4) 解析：∵在梯形 ABCD 中，DC＝2AB， AB∥CD，∴D→C＝2A→B， 设点 D 的坐标为(x，y)， 则D→C＝(4－x,2－y)，A→B＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
答案：D 解析：∵a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且 a∥b， ∴－1×y－2×2＝0，解得 y＝－4， 故可得 3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)，故选 D.
(2)已知向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(－k,10)，且 A，B，C 三点共线，则实数 k 的值是________．
∴42－－xy＝＝－2，2， 解得yx＝＝42，， 故点 D 的坐标为(2,4).
类题通法 利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向 量 a 共线的向量时，可设所求向量为 λa(λ∈R)，然后结合其他条件列 出关于 λ 的方程，求出 λ 的值后代入 λa，即可得到所求向量.
微点 2 利用向量共线求参数 [例 3] (1)已知点 P(－3,5)，Q(2,1)，向量 m＝(2λ－1，λ＋1)，若P→Q ∥m，则实数 λ 等于( ) A．113 B．－113 C．13 D．－13
(2)[2020·山东济南模拟]在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝ 2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点．若A→B＝λA→M＋μA→N，则 λ＋μ 的 值为( )
1145 A.4 B.5 C.5 D.4
答案：C 解析：如图，连接 AC，由 AB＝λA→M＋μA→N，得A→B＝λ·12(A→D＋A→C) ＋μ·12(A→C＋A→B)，则(μ2－1)A→B＋2λA→D＋(2λ＋μ2)A→C＝0，得(μ2－1)A→B＋2λA→D ＋(2λ＋μ2)(A→D＋12A→B)＝0，得(14λ＋34μ－1)A→B＋(λ＋μ2)A→D＝0.又A→B，A→D不
答案：12，－16 解析：∵A→M＝2M→C， ∴A→M＝23A→C，∵B→N＝N→C，∴A→N＝12(A→B＋A→C)， ∴M→N＝A→N－A→M＝12(A→B＋A→C)－23A→C ＝12A→B－16A→C＝xA→B＋yA→C ∴x＝12，y＝－16.
类题通法 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法 则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运 用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
(其中
sinφ＝
55，cosφ＝2
5
5 )
当且仅当 θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z 时，
λ＋μ 取得最大值 3.
题型一 平面向量基本定理及应用 [师生共研] [例 1] (1)[2020·山东省实验中学、淄博实验中学、烟台一中、莱 芜一中四校联考]如图在 Rt△ABC 中，∠ABC＝2π，AC＝2AB，∠BAC 平分线交△ABC 的外接圆于点 D，设A→B＝a，A→C＝b，则向量A→D＝( )
答案：A 解析：设顶点 D 的坐标为(x，y)， A→B＝(4,1)，D→C＝(5－x,6－y)， ∵平行四边形 ABCD 中，A→B＝C→D，
∴41＝＝56－－xy，， 解得 x＝1，y＝5. 所以顶点 D 的坐标为(1,5)．
2．[必修二·P36 习题 6.3 T1 改编]如图，在△ABC 中，AD＝13AB， 点 E 是 CD 的中点．设A→B＝a，A→C＝b，用 a，b 表示C→D＝________， A→E＝________.
答案：2 解析：易知 a∥b，a 与 c 不共线，b 与 c 不共线，所以能构成基 底的组数为 2.