2光的衍射

2 0
菲涅耳积分。p 点波的强度 I p E ( p )
1882年以后，基尔霍夫（Kirchhoff）求解电 磁波动方程，也得到了E(p)的表示式， 这使得 惠更斯 — 菲涅耳原理有了波动理论的根据。
由菲涅耳积分计算观察屏上的强度分布，很 复杂。常用半波带法、振幅矢量法。
§4.2 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法 一、装置和光路
圆孔的衍射图象：
L S P1
B
P2
P3
P4
孔的投影
菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射
核心思想： 二、惠更斯—菲涅耳原理 子波相干叠加 波传到的任何一点都是子波的波源。 各子波在空间某点的相干叠加，决定了该点 波的强度。
n
K ( ) d E ( p) dS r
dS
· Q

r
dE(p)
p·
K( )称方向因子。
波动光学
第4章 光的衍射
目 录
§4.1 衍射现象、惠更斯— 菲涅耳原理
§4.2 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法
§4.3 光栅衍射
§4.4 光学仪器的分辨本领 §4.5 X射线的衍射
§4.1 衍射现象、惠更斯—菲涅耳原理
一、光的衍射（ diffraction of light ） 1、定义： 光在传播过程中能绕过障碍物的边缘 而偏离直线传播的现象叫光的衍射。
0.017 0.047
2
I次极大 << I主极大
0.047 0.017 0
a
2

a



a

a
sin
sin
角宽度 0 2

a
单缝衍射图样
四、条纹的宽度 1、中央明纹宽度：两个第一级暗纹间的距离。 一般角较小，有
sin 1 1
衍射屏透镜
观测屏 x2 x x1


例2,宽度为a＝0.6mm的狭缝后放置一焦距为f＝ 40cm的凸透镜，若以单色平行光垂直入射，则在 距中央明纹1.6mm处观察到红色明条纹，求（1） 单色光波长；（2）中央明纹宽度；（3）第二级 明纹对应的衍射角。
2f ( 2)x 9.15 10 2 cm a ( 3) a sin ( 2k 1)
衍射屏 观察屏 衍射屏 观察屏 L L
S
*

a
S
一般a ≯ 10-3
孔的衍射
缝的衍射
12
刀片边缘的衍射
圆屏衍射
2、分类
障碍物 光源 S
观察屏
*
L B
D P
（1）菲涅耳（Fresnel）衍射(近场衍射）
L 和 D中至少有一个是有限值。 （2）夫琅禾费（Fraunhofer）衍射（远场衍射） L 和 D皆为无限大（可用透镜实现）。
2k 2 , k 1,2, 暗纹 a sin 2k 1) , k 1,2,明纹 （ 2
中央明区 a sin
条纹宽度： 中央明纹宽度：正、负第一级暗纹间的距离。
中央明纹角宽度：中央明纹对光心所张角度。 0 2 1 2 a 其余明纹宽度：是中央明纹宽度的一半。
S(波前)
= 0， K=Kmax
K( )： K( )
设初相为零
90o，K = 0
C K ( ) 2 r d E ( p) d S cos( t ) r
C K ( ) 2 r E ( p) S cos( t )dS r E 0 ( p ) cos t ( p )
0 时，x 0 ， k 0 ，
几何光学是波动光学在a >> 的极限情形。
五、干涉和衍射的联系与区别
干涉和衍射都是波的相干叠加， 但干涉是 有限多个分立光束的相干叠加， 衍射是波阵面
上无限多个子波的相干叠加。 二者又常出现在 同一现象中。
总结：衍射条纹特点：
中央是明纹，两边对称分布着暗明相间的 等宽、等间距的平行于狭缝的直条纹，中央明 区的宽度是其它明纹宽度的2倍，中央明纹最亮， 其余明纹亮度随k增大而减弱。
2axk ( 2k 1) f o 2ax k 1, 16000 A 3f o 2ax k 2, 9600 A 5f
2
2a
o 2ax k 3, 6860 A 7f o 2ax k 4, 5330 A 9f
在1.6mm处出现的是红光的第3级明纹。
例1, 以单色平行光垂直入射到单缝AB上，经凸 透镜汇聚在屏幕上的P点和Q点，（1）若BPAP=2λ ,问对应于P点而言，狭缝波面可分成几个 半波带，P点是明是暗；（2）若BP-AP=1.5λ ,问 对应于P点而言，狭缝波面可分成几个半波带，P 点是明是暗；（3）若BQ-AQ=2.5λ ,问Q点是明是 暗, P、Q两点相比，那点较亮？ Q P A 解
由题意： a sin 1 可得：
a sin 22
1 2 2
（2） 设衍射角为φ ’时， λ1的第k1级极小 与λ2 的第k2极小重合，则有：
a sin’ k11
a sin ' k22
例3, 一单缝用波长分别为λ1、λ2的单色平行光垂 直入射，若λ1的第一级暗纹与λ2 的第二级极小重 合，问：（1）两波长的关系如何；（2）所形成 的衍射图象中，是否有其它级的极小重合？ 解 （2） 设衍射角为φ ’时， λ1的第k1级极小 与λ2 的第k2极小重合，则有：
1
角宽度 0 2 1 2

a
0
0
x0
I
f
线宽度 x0 2 f tg 1 2 f 1 2 f
x 0
a

a
— 衍射反比定律
2、其他明纹（次极大）宽度
在 t g sin 时， 有

k xk f sin k f ， a 1 x f x 0 a 2

2
k2
5 sin 2.85 10 3 0.164 2a
例3, 一单缝用波长分别为λ1、λ2的单色平行光垂 直入射，若λ1的第一级暗纹与λ2 的第二级极小重 合，问：（1）两波长的关系如何；（2）所形成 的衍射图象中，是否有其它级的极小重合？ 解 （1）由暗纹条件
a sin k
中央明纹中心和暗纹位置是准确的，其余 明纹中心的位置是近似的，与准确值稍有偏 离。
三、光强公式
用振幅矢量法（见后）可导出单缝衍射的
sin 光强公式： I I 0
2
其中
π a sin

，
1、主极大（中央明纹中心）位置 sin 1 0 处， 0 I I0 Imax
（3） 2.5 5

2
Q点为明， 由于kQ k P , P点较Q点亮
例2,宽度为a＝0.6mm的狭缝后放置一焦距为f＝ 40cm的凸透镜，若以单色平行光垂直入射，则在 距中央明纹1.6mm处观察到红色明条纹，求（1） 单色光波长；（2）中央明纹宽度；（3）第二级 明纹对应的衍射角。 ( 2k 1)f 解： sin 2k 1) a （ xk ftg
（2）
1.5 3

2
狭缝波面可分成3个半波带，P点明。
2k 2 , k 1,2, 暗纹 a sin B 2k 1) , k 1,2, 明纹 （ 2
例1, 以单色平行光垂直入射到单缝AB上，经凸 透镜汇聚在屏幕上的P点和Q点，（1）若BPAP=2λ,问对应于P点而言，狭缝波面可分成几个 半波带，P点是明是暗；（2）若BP-AP=1.5λ,问对 应于P点而言，狭缝波面可分成几个半波带，P点 是明是暗；（3）若BQ-AQ=2.5λ,问Q点是明是暗, P、Q两点相比，那点较亮？ Q P A 解

r1 r2
r2 r1 a sin a sin a(sin sin )

,在法线上方取正，在法 线下方取负。
应用：可测波长，但精度不高。
2k 2 , k 1,2, 暗纹 a sin B 2k 1) , k 1,2, 明纹 （ 2 （1） 2 4 2 狭缝波面可分成4个半波带，P点暗。
2k 2 , k 1,2, 暗纹 a sin B 2k 1) , k 1,2, 明纹 （ 2
例1, 以单色平行光垂直入射到单缝AB上，经凸 透镜汇聚在屏幕上的P点和Q点，（1）若BPAP=2λ,问对应于P点而言，狭缝波面可分成几个 半波带，P点是明是暗；（2）若BP-AP=1.5λ,问对 应于P点而言，狭缝波面可分成几个半波带，P点 是明是暗；（3）若BQ-AQ=2.5λ,问Q点是明是暗, P、Q两点相比，那点较亮？ Q P A 解
—单缝衍射明纹宽度的特征
3、波长对条纹间隔的影响
x — 波长越长，条纹间隔越宽。
4、缝宽变化对条纹的影响
— 缝宽越小，条纹间隔越宽。 x f a 当a 且 ~ 1 时， 1 ， I 2 a

0
只有中央明纹，屏幕一片亮。
当a且
sin
a 只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像
B θ a A
（3）当 a sin 2 时， 可将
缝分成四个半波带，
两相邻半波带的衍射光
相消， p 点形成暗纹。
/2
半波带法得到的一般结果： （准确） a sin 0 — 中央明纹中心 （准确） a sin k，k 1,2,3… — 暗纹
（近似） a sin (2k 1) ，k 1,2,3 … — 明纹中心 2
… 4、光强：将 1.43π ， 2.46π， 3.47π ， 2 sin 依次带入光强公式 I I 0 ， 得到 从中央（光强 I0）往外各次极大的光强依