三角形的边(第二课时)课件
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《“边角边”判定三角形全等》PPT课件
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
A
B
C
图一
在图一中， ∠A
是AB和AC的夹角，
符合图一的条件，它 可称为“两边和它们 的夹角”。
B
图二
C
符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边的对角”两边源自它们的夹角夹角 CA
BD
F E
验证猜想 归纳结论
B
把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上， 它们全等吗？反映了什么规律？
验证猜想 归纳结论
探究3反映的规律是：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS”）
数学符号语言：
∵在△ABC和△A′B′C ′中
AB＝A′B′
C
C′
∠A＝∠A′
AC＝A′C′
A
B A′
B′
∴ △ABC≌△A′B′C ′（ＳＡＳ）
∵在△ABF和△ DCE中 AB=DC
∠B= ∠C
A BE
BF=CE ∴ △ABF≌△DCE (SAS)
∴ ∠A=∠D
D FC
验证猜想 归纳结论
把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC 。 固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD。这个实验说 明了什么？
A 说明：△ABC与△ABD不全等
B
解： 相等，理由如下
B
∵在△ABC和△ABD中 AB=AB
∠BAC= ∠BAD=90°
AC=AD
DA C
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
∴ BC=BD
巩固练习 拓展提高
如图：点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC, ∠B= ∠C.
第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教
的三角函数表达式化简为基本的三角函数形式。
学生自我评价报告
1 2
知识掌握程度
大部分学生表示能够理解和掌握本节课所学的三 角恒等变换公式，并能够运用它们解决一些实际 问题。
学习方法
学生认为通过推导公式、举例验证以及大量练习 的方式，有助于加深对知识点的理解和记忆。
3
学习态度
学生表示在学习过程中保持积极的学习态度，认 真听讲、思考并积极参与课堂讨论。
02
实例2
证明$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$。该恒等式可通过三角函
数的定义和商数关系式进行证明，也可通过几何意义进行解释。
03
实例3
证明$sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta$。
该恒等式是三角函数和差化积公式的基础，可通过向量的数量积或复数
方法三
利用三角恒等式。通过已知的三角恒等式，如正弦、余弦定理等，推导出三角形内角和定 理。
三角形外角定理证明
方法一
利用平行线的性质。通过延长三角形的一条边，并在延长线上取一点，连接该点与三角形的另外两个顶点，形成新的 三角形。根据平行线的性质，可以证明原三角形的外角等于新三角形的两个内角之和。
方法二
分析法
从已知条件出发，逐步推导出结论 ，证明过程中需注意逻辑严密性。
综合法
将归纳法和分析法相结合，既考虑 特殊情况，又考虑一般情况，从而 证明恒等式的正确性。
实例分析与讨论
01
实例1
证明$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$。该恒等式是三角函数的基本
恒等式之一，可通过勾股定理或三角函数定义进行证明。
《三角形的内角》三角形PPT(第2课时)
思考 如果一个都不知道，或只知道1个角，你能知道
三角形各角的度数吗？
新课导入
课堂小结
三角形内角和定理：三角形内角和为 180°。
为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅
助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
推论 直角三角形的两个锐角互余。
反之，有两个角互余的三角形是直角三角形。
B
C
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
A
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵
∠C =90°，
∴
∠A +∠B =90°．
B
C
直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可
以写成Rt△ ABC．
例1 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与
（ ）
新课导入
三角形内角和定理的辨析
例题
若一个三角形三个内角度数的比为 2︰3︰4，那么这
个三角形是( B )
A .直角三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .等边三角形
例题
(1)一个三角形中最多有 1 个直角.
(2)一个三角形中最多有 1 个钝角.
(3)一个三角形中至少有 2 个锐角.
60°
x =18°
x =30°
新课导入
例题+变式：根据三角形内角和定理求角度
归纳 ①直接计算： 直接利用三角形的内角和180°进行计算．
②形题数解：
设某一个角为x（或将某一个角视为未知数），其余
的角用x的代数式表示，从而根据题意列出方程(组)求
解，这就是“形题数解”．
人教新课标A版必修5第一章解三角形1.2第2课时 三角形中的几何计算课件
＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
题点四：多边形面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA
＝4，求四边形ABCD的面积S. 解：如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， ∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD中，由余弦定理得
(2)求sin A＋sin B的最大值． 解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C.
所以tan C＝ 3.
因为0<C<π，所以C＝π3.
(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2 cos
A＋12sin
A
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积
(×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 ( √ ) 解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正
弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边
＝a2－c2 b2
＝左边，
所以a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
《三角形全等的判定》第二课时PPT课件人教版数学八年级上册
∴∠ACB=∠DFE，BC//EF.
课堂小结
三角 形全 等的 判定
分类 探讨
SAS
两边及其夹角分别相等;两边 及其中一边的对角分别相等
两边和它们的夹角分别相等 的两个三角形全等
应用
利用“SAS”解决实际问题
拓展提升
1.如图，已知AB=CD，BC=DA，E, F是AC上的两点，且
AE=CF，写出DE和BF之间的关系，并证明你的结论.
D到B的距离相等吗？为什么？ AD=AC
解：C，D到B的距离相等.
B
∵AB是南北方向，CD是东西方向，
∴∠BAD=∠BAC=90°.
AD=AC，
在△BAD和△BAC中， ∠BAD=∠BAC，
BA=BA，
D AC
∴△BAD≌△BAC（SAS），∴BD=BC.
新知探究 知识点2 两边及其中一边的对角分别相等
C
利用“SAS”判定，需要∠A的另一对
应边相等，即AD=AE.证明如下：
E F
AC=AB，A
D
B
在△ADC和△AEB中， ∠A=∠A，
AD=AE，
∴ △ADC≌△AEB（SAS）.
4.如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB//DE，
AB=DE，AF=DC.求证：BC//EF.
由平行得
证明： ∵ AB//DE，
通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
角夹在两条边的中间，形成两边夹一角的情况.
∠ABG=∠CBE, ∴∠DAC=∠BCA.
（1）有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等. ∠B=∠B′， ∴∠CNM=90°，即AG⊥CE.
D
C
先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠B=∠B′，AC=A′C′（即两边及其中一边的对角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′
11.5两个三角形全等的判定(二)-边角边课件(八年级下)
四、教学过程
11.5
两个三角形全等的条件 第二课时） （第二课时）
上节课我们讨论了以下问题： 上节课我们讨论了以下问题：
思考
如果两个 三角形有三组对应相等 的元素 三角形有三组对应 边或角） 那么会有哪几种 可能的情况？ 哪几种可能的情况 （ 边或角 ） ， 那么会有 哪几种 可能的情况 ？ 这时，这两个三角形一定会全等吗？ 这时，这两个三角形一定会全等吗？
温馨 提示
探究新知⑴ 探究新知⑴
把你画的三角形与同桌画的三角形 进行比较，你们的三角形全等吗？ 进行比较，你们的三角形全等吗？
知识点2：三角形全等的判定公理二： 知识点2 三角形全等的判定公理二：
如果两个三角形有两边及其 分别对应相等， 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等， SAS（ 边角边）． 那么这两个三角形全等．简记为SAS 那么这两个三角形全等．简记为SAS（或边角边）．
（角夹在两条边的中间，形成两边夹一角） 角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）
∵
∠BAD＝∠CAD（已推出） ＝ （已推出） AD＝AD（公共边） ＝ （公共边） ∴△ABD≌△ACD（SAS） B ≌ （ ）
D
C
∴∠B ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等） 全等三角形的对应角相等）
利用“SAS” 利用“SAS”和“全等三角形的对应角相等”这两条公理证 全等三角形的对应角相等” 明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。 明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。
B D C A
？
已知： 已知 如图， 例４： ：如图， AB=CB ，∠ ABD= ,△ 全等吗？ ∠ CBD ,△ ABD 和△ CBD 全等吗？ 解: CBD中 在△ ABD 和△ CBD中
人教版八年级数学上册 第11章 第2节 与三角形有关的角 课件(共50张PPT)
三角形的外角和是360°
理论研讨 ∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
从哪些途径探究这个结果
A 1
3 B
C 2
三角形的外角和360° 方法1 方法2
A 1
B 2
解： ∠1＋ ∠BAC=180°
∠2＋ ∠ABC=180°
3 ∠3＋ ∠ACB=180°
C
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
证法一 三角形的内角和等于1800.
延长BC到D， 在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等). A
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
B
E
12
CD
证法二 三角形的内角和等于1800.
例题讲解2 已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,
A
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0
∴x＋2x＋2x＝180（三角形内角和定理）
解得x＝36 ∴∠C＝2×360＝720
D 在△BDC中，∵∠BDC＝900
?
(三角形高的定义）
B
C
∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）
A B
E
解：过C作CE平行于AB
2
1 ∴ ∠1= ∠B
C D （两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B
理论研讨 ∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
从哪些途径探究这个结果
A 1
3 B
C 2
三角形的外角和360° 方法1 方法2
A 1
B 2
解： ∠1＋ ∠BAC=180°
∠2＋ ∠ABC=180°
3 ∠3＋ ∠ACB=180°
C
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
证法一 三角形的内角和等于1800.
延长BC到D， 在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等). A
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
B
E
12
CD
证法二 三角形的内角和等于1800.
例题讲解2 已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,
A
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0
∴x＋2x＋2x＝180（三角形内角和定理）
解得x＝36 ∴∠C＝2×360＝720
D 在△BDC中，∵∠BDC＝900
?
(三角形高的定义）
B
C
∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）
A B
E
解：过C作CE平行于AB
2
1 ∴ ∠1= ∠B
C D （两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B
直角三角形的性质第二课时
探讨“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”引入及其验证新课程标准的观念强调我们教师要变“教教材”为“用教材”。
在阅读到浙教版八年级上册2.5直角三角形（第二课时）时，对于定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”给出及其验证，笔者有许多不解之处。
现将笔者思考内容与诸君探讨，以供评析。
教材内容：从回顾上节课例2的结论“等腰直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半”入手。
提出“等腰直角三角形斜边上的高也是斜边上的中线”，那么对于一般的直角三角形是否也有此性质呢？通过合作学习“任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长度。
你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？”来给出性质的验证。
教材内容分析：由回顾特殊直角三角形等腰直角三角形具有的性质引入，问一般直角三角形是否也具有一般性质，由特殊到一般，作出这样的猜想，符合学生的认知规律。
猜想得出后，教材中采取测量实验验证的方法。
八年级的学生正处于由实验几何向论证几何的验证过程，也可以说具备一定的逻辑能力。
另外，因为误差的存在，测量验证有说不清道不明之嫌疑。
到底该采取哪种方式较优呢？处理方式及其效果分析：定理的给出，包括定理的引入及其验证过程。
通过资料搜集，笔者认为对于该定理的引入，有两种方式可以考虑：①等腰直角三角形的特殊性引入② 分割直角三角形引入；对于定理的验证，也有两种方式可以考虑：①测量验证②几何图形论证。
现将这四个片断设计，通过学生情况预设，效果分析，来加以比较。
1. 通过 “等腰直角三角形的特殊性”引入【问题设计】①如图，在等腰直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的中线，则AD=BD=CD 。
请说明理由。
②等腰直角三角形斜边上的中线与斜边有怎样的数量关系？③那么是不是任何一个直角三角形都有这样的数量关系？【学生情况预设】学生刚刚已经学过等腰三角形和等腰直角三角形的性质，并且具备一定的逻辑推理能力，故这样的起点对于学生而言，比较容易入手。
北师版七年级下册数学课件 认识三角形 第二课时 三角形的三边关系
注意 根据两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边，来判定绝对值里的式子的正负.
1.判断：
随堂练习
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ √ ）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ × ） （4）等边三角形是锐角三角形.（ √ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
5.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm； （3）5cm、6cm、10cm.
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm； （2）不能，因为5cm+6cm=11cm； （3）能，因为5cm+6cm>10cm.
归纳 判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明 两条较短线段之和大于第三条线段即可.
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
不等边三角形
三角形按边 分类
等腰三角形
腰和底不等的 等腰三角形
等边三角形 （三边都相等
的三角形）
二 三角形的三边关系
我要到学校怎 么走呀？哪一 条路最近呀？
邮局
小明
小明家
为什么？
学校
C
路线1：从A到C再到B的路线走；
路线2：沿线段AB走. 请问：路线1、路线2
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？
归纳总结
三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边.
典例精析 例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度 为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长 度为13cm的木棒呢？ 解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出 现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能 摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于 5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所 以它们也不能摆成三角形.
1.判断：
随堂练习
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ √ ）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ × ） （4）等边三角形是锐角三角形.（ √ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
5.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm； （3）5cm、6cm、10cm.
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm； （2）不能，因为5cm+6cm=11cm； （3）能，因为5cm+6cm>10cm.
归纳 判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明 两条较短线段之和大于第三条线段即可.
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
不等边三角形
三角形按边 分类
等腰三角形
腰和底不等的 等腰三角形
等边三角形 （三边都相等
的三角形）
二 三角形的三边关系
我要到学校怎 么走呀？哪一 条路最近呀？
邮局
小明
小明家
为什么？
学校
C
路线1：从A到C再到B的路线走；
路线2：沿线段AB走. 请问：路线1、路线2
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？
归纳总结
三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边.
典例精析 例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度 为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长 度为13cm的木棒呢？ 解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出 现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能 摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于 5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所 以它们也不能摆成三角形.
4.1认识三角形三边关系第二课时
长l的取值范围是
。
4 < c < 10 4+3+7 < c+3+7 < 10+3+7
14 < L< 20
等腰三角形两边长分别为3cm和 4cm，求三角形的周长。
分类思想：见有关“等腰三角形的边” 的问题，就考虑腰和底的分类。
已知等腰三角形的两边长分别为8cm，
3cm，则这三角形的周长为 （B ）
等边三角形
三角形按边分类
三角形 不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形
等边三角形
特别提示：等边三角形是特殊的等腰三角形.是底边和 腰相等的等腰三角形.
按边分
三角形 不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
长度为6cm, 4cm, 3cm三条线段首尾相接能否组成 三角形？
解:∵6+4>3
∵ 6-4<3
6+3>4
6-3<4
4+3>6
4-3<6
∴能组成三角形 ∴能组成三角形
解: ∵最长线段是 6cm
4+3>6
∴能组成三角形
判断步骤：
(1)找出最长线段 (2)比较大小：较短两边之和与最长线段的大小 (3)判断能否组成三角形。
进而得到： 两边之差第三边两边之和
（1）3㎝,4㎝,5㎝ （2）3㎝,12㎝,8㎝ （3）6㎝,6㎝,6㎝ （4）100㎝,200㎝,300㎝
则这三条线段首尾相接能构成一个三角形
C
b
a
Ac B
a+b>c b+c>a c+a>b
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∵AD是 △ ABC的角平分线
A ●
∴∠ BAD = ∠ CAD = ２１∠BAC ︶1 2
三角形的三条角B平分线D●相交于 C 一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
角平分线的理解
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=∠__C_B_E_= 1 _∠_A_B_C_
A
B
C
B'
拓展练习
• 2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC 的中点,则下列说法不正确的是(D )
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的 中线
C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE
A D
B
E
C
知识小结
今天我们学了什么呀？ 1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念 及它们的画法。 2. .三角形的高、中线、角平分线 几何表达及简单应用。
（2）∠BAD= ∠CAD = ½ ∠BAC；
A
（3）∠AFB= ∠AFC =90°；
C
EDF
B
拓展练习
• 1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线 AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质
( )D
A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高 C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。 (1) 画出直角三角形的三条高, A
它们有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
D
直角三角形的三条高交于
●
B
C
直角顶点.
直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议 钝角三角形的三条高
(1) 钝角三角形的
D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
A ∵ AD是△ABC的BC上
的中线.
D C ∴ BD=CD= ½BC.
A ∵.AD是△ABC的
2 1 ∠BAC的平分线
D C ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
如图, 线段AD是BC边上的高.
任意画
A
一个锐角△ABC,
注意 请! 你标画明出BC边上的高.
垂直的记号
和垂足的字母.
B
D
A
01 23 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 23 4 5
D
C
C
三角形的高的 表示法
A
B
D
C
∵AD是△ ABC的高
∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
锐角三角形的三条高
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
0 1 2 0 3 1 4 205 31 42 53 4 5
过三角 形的一个顶点， 你能画出它的对 A 边的垂线吗?
B
C
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高， 简称三角形的高。 B
2
A
F
E
B
D
C
图1
拓展练习
3、填空：（2）如图（2）， AD，
BE，CF是ΔABC的三条角平分线，ห้องสมุดไป่ตู้
则∠1=
∠, 2 ∠3=
,
∠ACB1=2∠ABC 。
∠4
2
A
F 12 E
B
3 D
4
C
图2
拓展练习
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分 线，AF是高。填空：
（1）BE= CE = ½ BC ；
(1) 你能画每出人这画个一三个角锐形使角的折对痕三三边过角边条顶缘点形高重F,顶纸吗合点A片?的。
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗? E
(3) 这三条高之间有怎样的位B 置关系？O C
将你的结果与同伴进行交流.
D
锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2_∠__A_C_F_=2_∠_B_C__F_B
D
C
三角形的角平分线与角的平分线有什么
区别？
思
考
三角形的角平分线是一 条线段 , 角的平分线是 一条射线
现在做中考题
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断 下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
∵AD是△ ABC的中线
A
●
F
E O
∴BD=CD= 12BC
B
●
C
D
三角形的三条中线相交于一
点,交点在三角形的内部.
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出 这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
三角形的角平分线
在三角形中，一个 内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。
B D
A (B)
CB
AD (C)
B
C
D
A
(D)
拓展练习
2、 如果一个三角形的三条高的交点 恰是三角形的一个顶点，那么这个三 角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.锐角三角形
拓展练习
3、填空：（1）如图（1），AD， BE，CF是ΔABC的三条中线，则 AB=2 AF ，BD= CD ,AE= 1 AC 。
•高在三角形内部的数量 •高之间是否相交
•高所在的直线是否相交
3 相交 相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部
•直角三角形
1 相交 相交
直角顶点
•钝角三角形
1 不相交
相交
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
三角形中线的理解
相关知识回顾
1.垂线的定义：当一两个条角直是线直相角交时所，成就的说四 这个 两角 条中 直， 线有 互
相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线。
2.线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段的点。
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
11.1.2三角形的高.中线与角平分 线
A
三条高交于一点吗？
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行 D
交流.
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
F
B
C
E
钝角三角形的三条高 O 所在直线交于一点
小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
•锐角三角形
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
三角形 的高线
从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 B 间的线段
三角形 的中线
三角形中,连结一
个顶点和它对边
中的
线段
B
三角形一个内角
三角形的 角平分线
的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间
B
的线段
A ∵AD是△ABC的BC上的
高线.
①AD是⊿ABE的角平分线 ( ×)
A
②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ×)
12 E
③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ×) F G
④CH是⊿ACD边AD上的高 (√ )
B
H D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD 是△ABC 的高(D )
C
AD C
B (A)