非齐次隐马尔可夫模型随机变换的若干强极限定理

xj
: 节点j的投入。 k j
:
节点j的度，则
x
j
,
k
是相对独立的随机变量
j
，
Exj EX, Ekj EK
且度为k的节点i的效用函数：
k (x,{x }j jNi ) jNi
(k
kj)x xj
2
x2
E k (x,{x j} jNi ) jNi
(k
Ekj )x Exj
2
x2
k(k E K )xEX x2
!
rd !
x
d l 1
( pl
x(l )) rl
2
x2
d
x(
l 1
pl x(l))k
2
x2
x :邻节点的投入，x(l) :邻节点中度为l 的投入，
一个投入组合
arg max x*
x*(k)
d k 1
,
如果x*
(k
)
k (x , x*),称x*是一NE(纳什均衡)。
xR
记
* k
k
(x*(k), x*),
u {ui (g)ui (gij),ijg ij ui (gij)ui (g),ijg
▪ 如果网络g的效用是所有网络（n个节点）中效用
最大的，则称g是有效的。
▪ （2）网络模型
aij : i与j之间相互影响系数
ij : i与j之间的影响随距离衰减的系数，ij （0,1）
cij：节点i为维持边ij所要支付的成本；
▪ 网络g称为是成对稳定的，如果g满足下列条件：
▪ 1)ij g ,则 ui (g -ij) ui (g) ,u j (g - ij) u j (g)
▪ 2) ij g, 如果, ui (g ij) ＞ ui (g)
▪ 则必有 u j (g ij) ＜ u j (g)
▪ 节点i从边ij上获得的效用值：
l 0
d
K :网络中一点，其任一邻 节点的度， E K l pl l 1
X :网络中一点，其任一邻节点的投入
d
EX pl x(l), x(l) : 度为l节点的投入 l 1
ij:网络中边 ij的权重。
aij :网络中相邻节点i与j之间的影响因子。
网络中一度为k节点i,其邻节点集Ni ,
j
Ni ,
2.Andrea Galeotti（2011）提出的复杂网络
博弈模型：
网络的度分布:
P
{p
k
}d k 0
,d:网络中节点最大度，
网络中一点的邻节点的度分布: P
{p
k
}d k 1
pk
kpk
d
lPl
k pk Zp
,ZP
d
lPl
l 1
l 1
Ni ：节点i的邻节点集;
xi ：节点i的投入（努力）
{xi,{x j } jNi }:节点i与其邻节点的投入组合。
参考文献
1.Matthew O.Jackson, ‘A Strategic Model of Social and Economic Networks.’ Journal of economic theory 71(1996):44-74
节点i的效用函数：
i (xi ,{x j } jNi
)
f
(xi ,{x j } jNi
)
c(xi )
xi
jNi
xj
2
xi2
Sk =｛ r =（ r1 ， r2 …rd）∈(N {0}) d : d rl k} l 1
r Sk , Pk (r)
k! r1 !r2!
rd !
d l 1
节点i的效用函数:
ui
ad (i, j) cd(i),
jN ( g )\{i}
定理1：设aij 1, 对于齐次性连接网络
1）当C＞ n 2 2时,空网络g 是唯一有效的网络，
2
2）当
＜C＜
n
2
2
时，g
*
星形网络是唯一有效的
网络，
2
3）当C＜ - 2时，完全网络 g v是唯一有效的网络，
2
E
' k
( x,{x
}j jNi
)
k(k
E
K
)EX
x
E
' k
(
x,
x*
)
xx* (k )
0
▪
定理3
网络的度分布P={pk}
k k
0
,
K表示网络中任一节点的
度，
▪ 1.若网络是ER随机图模型，则网络中存在唯一NE
当且仅当
EK 3 ( EK 2 )2，
EK EK
▪ 2.若网络是BA模型，则网络中不存在NE。
p rl l
一个度为k的节点的平均效用函数
k (x, x) pk (r) f [x, x(1) x(1) x(d) x(d )] c(x)
rSk
r1
rd
rSk
k! r1!r2!
rd !
d l1
rl
pl
x (x(1)) r1
(
x(d
))
rd
2
x2
k!
rSk
r1!r2
定﹥理p12，, 且网络这的N度E分满布足为下 P 列 pk性 dk0质,网： 络中存在唯一NE,当且仅当
zp
1)
＞1
当且仅当
x*
(k)
＜
x*
(k
1),
k*＜
* k 1
2)
=1 当且仅当
x*(k)
x*(k
1),
* k
* k 1
3)
＜1
当且仅当x * (k )
＞
x*
(k
1),
* k
＞
* k 1
定理2的证明方法：
Q (Q1, Q2，，Q1)
网络g中节点 i的效用函数。
ui
a d (i, j) ij ij
cij
jN(g)\{i}
jNi {g}
齐次性连接网络：对于任意i, j V,有 aij a, ij , cij c
,即各节点在效用上只与网络中与它连接的拓扑结构有关。
对于齐次性连接网络, d (i) : 节点i的度,
在NEx*处 k
x
(x, x*)
xx* (k )
0, (k
1,2
d)
d
pl (x*(1))l1 ,
l 1
由邻节点度分布得到生成函数，再利用不动点原理即可得解。
3.复杂网络博弈的一个推广模型。
网络的度分布
P
{p
k
}d k 0
网络中一点的邻节点的度分布
P
{pk
}d k 1
d
K :网络中任一节点的度， EK lpl
ij
▪ ij:网络中节点i与节点j之间的边；
gv {ij i, j v};
▪ N(g) {i j, ij g,} (即：非空节点集)；
▪ Ni (g) { j ij g}（即：节点的邻节点集）；
▪ d( i, j ) ：网络g):网络g的总效用，U（g）= u（ i g） iv
▪ 摘要：。 ▪ 1, 介绍经济网络博弈论模型； ▪ 2，阐述复杂网络的一种博弈论分析方法和结
果；
▪ 3，提出复杂网络博弈的新设想及推广结果。
▪ 1.Matthew O.Jackson(1996)建立的经 济网络博弈模型：
▪ （1）相关网络概念
▪ g:由n个节点（经济个体）组成的网络，网络 的节点集V={1，2…n}；