高等数学课程教案

授课题目 二重积分的计算法 教学目的、要求： 1．掌握二重积分在直角坐标系下如何化成累次积分。 2．能根据积分区域和被积函数的不同情况正确选择积分次序。 教学重点、难点
重点：二重积分在直角坐标系下的计算法。难点：二重积分计算中的定限问题。
课时安排
2
教学内容
在直角坐标系下二重积分的计算 1．平面上的简单区域及其不等式表示： X 型与 Y 型
例 1 有关二重积分的计算 例 2． 将二重积分 I
xy dxdy
D

D
其中 f ( x, y)d 化为直角坐标系下的两种不同顺序的二次积分， D 由
直线 y x 、 y 2 x 及 y 2 围成。
例 3． 改变二次积分 I

4 0
dy
y4 2 4 y
f ( x, y )dx 的积分顺序。其它课本上的例题略
讨论、思考题、作业：设 f ( x, y) f1 ( x) f 2 ( y), 且 D {( x, y) | a x b, c y d} ，求
f ( x, y)dxdy.作业：P95
D
1（1） （4） ，2（1） （3） ，4（1） （4） ，6（3） （4） ，8
授课类型： 理论课 教学方式：讲授 教学资源：多媒体
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授课题目 三重积分（2） 课时安排 2
教学目的、要求：
1.理解柱坐标系、球坐标系的概念。 2.熟练掌握三重积分在柱坐标系、球坐标系下的计算方法。
教学重点、难点
1 重点：三重积分在柱坐标系下的计算方法。 2 难点：三重积分在球坐标系下的计算方法。
Hale Waihona Puke 三．重积分的应用 例题讨论、思考题、作业： 作业：P124 2（2） （4） ，3（2） 7（3） 8
授课类型： 复习
教学方式：讲练结合
教学资源：多媒体
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授课题目 §9.1 二重积分的概念与性质 教学目的、要求：
1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。
课时安排
2
教学重点、难点：二重积分的几何意义 教学内容
一、二重积分的概念 1．引例与二重积分定义 引例： （1）.曲顶柱体的体积。 （2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量 （或电荷） 。 2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质 性质 1、 性质 2、

D
f ( x, y )d ， f ( x, y) 0 为例给出二重积分的计算方法

D
f ( x, y ) d V [
a
b
2 ( x )
1 ( x )
2
f ( x, y)dy]dx -----二次积分
D ：由 y x ， y 0 ， x 1 围成的闭区域
2 2 2 2 2 例 1 求球面 x y z a 含在柱面 x
四、引力
y 2 ax ( a 0 ) 内部的面积。例 2 求位于两圆
2
2 sin 和 4 sin 之间的均匀薄片的质心。 3 求由抛物线 y x 及直线 y 1所围成的 例
均匀薄片(面密度为常数 )对于直线 y

D
f ( x, y)d f ( x, y)d
D1
D2
f ( x, y)d
性质 4、若 f ( x, y) g ( x, y) ， ( x, y) D ，则： 性质 5、估值定理

D
f ( x, y)d g ( x, y)d ；
D
性 质 6 、 中 值 定 理 ） 设 f ( x, y) 在 D 上 连 续 ， 则 在 D 上 至 少 存 在 一 点 (, ) ， 使 （
重点：重积分在几何上的应用。 难点：重积分在物理上的应用。
A
教学内容
一、曲面的面积
Dxy
z 1 x
2
z dxdy y
2
二、质心
x
My M

x ( x, y)d
D
( x, y)d
D
，
M y x M
y ( x, y)d
f ( x, y)d f (, ) A
D
三、例题 例 1 设 D 是由 y 例 2 求 f ( x, y )
4 x 2 与 y 0 所围的区域，则 d 2
D
R 2 x 2 y 2 在区域 D ： x 2 y 2 R 2 上的平均值
讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同
教学内容
一、三重积分的概念 1．定义 2 物理意义 二、三重积分的计算——利用直角坐标计算三重积分 1 若 x , y , z z1 x , y z z 2 x , y , x , y Dxy ， 在 xoy 面上的投影区域为


D xy ,若 Dxy x , y y1 x y y2 x , a x b，则三重积分可化为如下三次积分：
D
( x, y)d
D
三、转动惯量
I x y 2 x , y d ， I y x 2 x , y d
D D
F Fx , Fy , Fz x , y , z x x0 x , y , z y y 0 x , y , z z z 0 G dv , G dv , G dv 3 3 r r r3

3、利用球面坐标计算三重积分
点 M 的直角坐标与球面坐标间的关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
2
f ( x, y, z )dv f (r sin cos , r sin sin , r cos )r
教学内容
1．利用直角坐标计算三重积分 2、利用柱面坐标计算三重积分
x cos 点 M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式为 ： y sin zz
三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式为
f x , y , z dxdydz f cos , sin , z dddz
1的转动惯量。 4 设半径为 R 的匀质球占有空间闭 例
2 2 2 2 区域 x , y , z x y z R ， 求它对位于 M 0 0 , 0 , a


a R 处的单位质量的质点
的引力。
讨论、思考题、作业：
授课类型： 理论课
P116 1，2，4（1） （3） ，7（1）
教学方式：讲授 教学资源：多媒体
授课类型： 理论课
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授课题目 三重积分（1） 课时安排 2 教学目的、要求：
1.理解三重积分的概念，了解重积分的性质。 2.熟练掌握三重积分在直角坐标系下的计算方法。
教学重点、难点
重点：三重积分的概念与计算。难点：三重积分的计算。
教学方式：讲授 教学资源：多媒体
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授课题目 第九章总结习题课 教学目的、要求：
通过对重积分的复习，使学生全面熟练掌握二重积分和三重积分的计算法，并会运用之
课时安排
2
教学重点、难点
重积分转化成单积分的定序定限问题及应用
教学内容 一．二重积分的计算法 1．直角坐标系下 2 极坐标系下 二．三重积分的计算法 1．直角坐标 2 柱面坐标 3 球面坐标
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授课题目 重积分的应用 课时安排 2
教学目的、要求：
1. 掌握用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）的方法。 2 .理解、掌握用重积分表达一些物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）的方法。
教学重点、难点


f x , y , z dv

c2
c1
dz f x , y , z dxdy
Dz
x2 y 2 z 2 例 2 计算三重积分 z dxdydz， 其中 是由椭球面 2 2 2 1 所成的空间闭区域. a b c
2
补例略
讨论、思考题、作业： P106 1（1） （3） ，4，5，6，7
f x , y , z dv dx
b a
y2 x
y1 x
dy
z2 x , y
z1 x , y
f x , y , z dz
例 1 求 xdxdydz，闭区域 Ω 由平面 x+2y+z=1 与三个坐标面围成。

2“先二后一法”设空间闭区域 x , y , z x , y Dz , c1 z c2 ，其中 D z 是竖标为 z 的平面截闭区域 所得到的一个平面闭区域，则有

D
kf ( x, y)d k f ( x, y)d ， k 为非零常数；
D
D
{ f ( x, y) g ( x, y)}d f ( x, y)d g ( x, y)d ；
D D
性质 3、若 D D1 D2 ，且 D1 D2 （除边沿部分外） ，则
之处与不同之处.2.估计积分 I 习题 9-1
( x