807 2006年中考复习之圆与圆(二)
中考复习-圆专题(所有知识点和题型(大全),全)(K12教育文档)
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《圆》题型分类资料一．圆的有关概念:1。
下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（）A. 1个B。
2个C。
3个D.4个2．下列命题是假命题的是（ )A．直径是圆最长的弦B．长度相等的弧是等弧C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等D．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3。
下列命题正确的是 ( ）A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧C．一个三角形有且只有一个外接圆D。
一个圆只有一个外接三角形4.下列说法正确的是（）A．相等的圆周角所对的弧相等B．圆周角等于圆心角的一半C．长度相等的弧所对的圆周角相等D．直径所对的圆周角等于90°5。
下面四个图中的角，为圆心角的是（）A．B．C．D．二．和圆有关的角：1. 如图1,点O是△ABC的内心,∠A=50 ，则∠BOC=_________图1 图22。
如图2,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为（ ) A。
116° B。
64° C. 58° D。
32°3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心,∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D 的度数为A图3 图44. 如图4,AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C,D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝_________度．5. 如图5，在⊙O中， BC是直径，弦BA,CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°,则∠AOD ＝．图5 图66。
中考复习(圆与证明)课件
利用四边形的性质，通过证明四边形是正方形或矩形来 证明线段垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个正方形或矩形 ，利用四边形的性质和判定定理来证明线段垂直。
总结词
利用圆的性质，通过证明圆周角等于90度来证明线段 垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个圆，利用圆的 性质和判定定理来证明圆周角等于90度，从而证明线 段垂直。
提高解题能力。
归纳总结
对每个知识点进行归纳总结， 形成知识体系，有助于加深理
解和记忆。
举一反三
在复习过程中，应注重举一反 三，对典型例题进行深入剖析
，掌握解题方法和思路。
模拟测试
定期进行模拟测试，模拟真实 考试环境和压力，提高应试能
力。
05
模拟试题与解析
中考模拟试题一
总结词：基础题目
详细描述：此题考察了圆的性质和基本定理，适合作为第一题来热身，帮助考生 进入考试状态。
总结词
利用勾股定理，通过证明直角三角形的三边关系来证明 线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个直角三角 形，利用勾股定理和三角形的性质来证明两条线段相等 。
总结词
利用平行四边形的性质，通过证明平行四边形的对角线 相等来证明线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个平行四边 形，利用平行四边形的性质和判定定理来证明两条线段 相等。
中考模拟试题二
总结词：中等难度
详细描述：此题涉及到了圆的证明和与圆相关的其他几何图形的性质，需要考生灵活运用所学知识进 行解答。
中考模拟试题三
总结词：高难度
详细描述：此题综合考察了圆的性质、定理以及与其他几何图形的关联，需要考生具备较高的逻辑思维和推理能力。
中考数学辅导之—圆
中考数学辅导之—圆本次我们一起来复习几何的最后一章——圆.该章是中考中考查知识点最多的一章之一.本章包含的知识的变化、所含定义、定理是其它章节中所不能比的.本章分为四大节:1.圆的有关性质;2.直线和圆的位置关系;3.圆和圆的位置关系;4.正多边形和圆.一、差不多知识和需说明的问题:(一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有4个.1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明: 在(1)垂直于弦（不是直径的弦）;(2)平分弦;(3)平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦（不是直径的弦）的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。
条件是垂直于弦（不是直径的弦）的直径，结论是平分弦、平分弧。
再如弦的垂直平分线,通过圆心且平分弦所对的弧。
条件是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定明白得直角三角形的知识,可运算弦长、半径、弦心距和弓形的高.2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中, 圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中有一组量相等,则其它各组量均相等.那个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等是经常用的.3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,差不多上专门重要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.4.圆内接四边形的性质:略.(二)直线和圆的位置关系1.性质:圆的切线垂直于通过切点的半径.(有了切线,将切点与圆心连结,则半径与切线垂直,因此连结圆心和切点,这条辅助线是常用的.)2.切线的判定有两种方法.①若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.②若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。
初三圆二复习课学案
第25章圆（二）复习课一、学习目标：1、通过活动一、二，对本章知识进行总结和归纳。
2、通过活动三,能熟练应用本章知识解决问题，形成解题方法。
二、学习重点：形成知识网络，灵活应用切线的性质和判定解决问题。
三、学习难点：总结切线的性质和判定的解题方法。
四、学习过程：活动一：梳理知识，形成网络一、知识网络图：二、知识点梳理1、点与圆的位置关系包括：_______________、_______________、_______________。
填表：其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离填表：其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离3、圆与圆的位置关系包括：_______________、_______________、_______________。
填表：其中R 与r 分别为两圆的半径（R>r ），d 为两圆的圆心之间的距离（1）定义：（2）如何确定三角形的内心？ 活动三：解决问题，归纳方法 一、与圆的位置关系有关的问题1. 两圆有多种位置关系，图1中不存在的位置关系是 2．已知圆的半径等于10厘米，直线l 和圆有惟一一个公共点，则 圆心到直线l 的距离是_________厘米．3．⊙O 1与⊙O 2半径分别为3和5，且两圆有两个交点，则圆心距 O 1 O 2可能取的值是（ ）A ．6B 。
8C 。
10D 。
124．⊙O 的直径为12cm ，圆心O 到直线l 的距离为7cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） Ａ.相交Ｂ.相切Ｃ.相离Ｄ.不能确定5．在平面直角坐标系中，以点（－1，2）为圆心，1为半径的圆必与（ ） A ．x 轴相交 B ．y 轴相交 C ．x 轴相切 D ．y 轴相切6．已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ） （A ）．外离 （B ）．外切 （C ）．相交 （D ）．内切.图17．已知两圆的半径分别为1和4，且两圆相切，则两圆的圆心距是__________。
2006年中考复习之圆与圆(二)
2006年中考复习之圆与圆(二)知识考点：1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。
2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。
精典例题：【例1】如图，⊙O 1与⊙O 2外切于P ，AB 是两圆的外公切线，切点为A 、B ，我们称△PAB 为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：（1）△PAB 是直角三角形，并且∠APB ＝900； （2）△PAB 的外接圆与连心线O 1O 2相切；（3）以O 1O 2为直径的圆与Rt △PAB 的斜边AB 相切； （4）斜边AB 是两圆直径的比例中项；（5）若⊙O 1、⊙O 2的半径为1R 、2R ，则PA ∶PB ∶AB ＝1R ∶2R ∶21R R +； （6）内公切线PC 平分斜边AB ； （7）△CO 1O 2为直角三角形。
这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明。
例1图1例1图2F如图2，⊙A 和⊙B 外切于P ，CD 为两圆的外公切线，C 、D 分别为切点，PT 为内公切线，PT 与CD 相交于点T ，延长CP 、DP 分别与两圆相交于点E 、F ，又⊙A 的半径为9，⊙B 的半径为4。
（1）求PT 的长；（2）求证：PF PE PD PC ⋅=⋅；（3）试在图中找出是线段PA 和PB 比例中项的线段，并加以证明。
分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T 为CD 的中点，∠CPD ＝900，PT 即为外公切线长的一半，CF 、DE 分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了。
略解；（1）作BG ⊥AC 于G ，则CD ＝BG ＝12)49()49(22=--+∴PT ＝CT ＝TD ＝21CD ＝6 证明（2）PT ＝21CD ，∴∠CPD ＝900 ∴CF 、DE 分别是⊙A 和⊙B 的直径又∵CD 切两圆于C 、D ，∴FC ⊥CD ，ED ⊥CD∴CF ∥DE ，∴PDPFPE CP =，∴PF PE PD PC ⋅=⋅ （3）图中是PA 和PB 比例中项的线段有PT 、CT 、DT （证明略）【例2】如图，⊙O 和⊙O '内切于点B ，⊙O '经过O ，⊙O 的弦AE 切⊙O '于点C ，AB 交⊙O '于D 。
九年级数学圆的综合复习(二)教师版
（江岸模四）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F，连接BE。
（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求tan∠BFD的值。
知识点（圆相关概念和性质）知识点一：垂径定理与圆周角定理1、垂径定理2、圆周角定理3、直径所对的圆周角为直角，圆与四边形对角互补知识点二：切线的性质与判定 1、切线的性质2、切线的判定方法3、切线长定理4、内外心【例题精讲一】垂径定理与圆周角定理（洪山模一）1、如图⊙O 中，弦BC 的垂直平分线DE 交⊙O 于E ，垂足为D 。
F 为弧BE 上一点，EF 与CB 的延长线相交于点A 。
（1）求证：∠AFB ＝∠EFC ；（2）当∠AFB ＝60°，AD ＝4，⊙O 的半径为2时，求AF 的长。
（2）连接OB 则OB ＝2 ∵∠AFB ＝60° ∴∠BFH ＝30° ∴∠BFH ＝2∠BFH ＝60° ∴OD ＝12OB ＝1在Rt∆ADE 中 ∵AD ＝4 DE ＝3 ∴AE ＝5 ∵Rt∆ADE 和Rt∆EFH 中，∠E 公共 ∴Rt∆EDA~Rt∆EFH ＝（新洲5月）如图，AB 是⊙O ＝直径，C 是弧AB 的中点，弦＝D 与AB 相交于E 。
＝（1）若∠＝OD ＝45°，求证：CE ＝2ED ；（2）若AE ＝EO ，求tan ∠AOD 的值。
（1）连CA 、CO ，∵ C 是⌒AB 的中点，AB 是⊙O 的直径， ∴∠AOC ＝90°，又AO ＝CO ，∴AC ＝ 2 OC ＝2OD∵∠AOD ＝∠A ＝45°，∴AC ∥OD ，∴CE ED ＝ACOD＝2， ∴CE ＝2ED（2）过D 作DH ⊥AB 于H ，则△DHE ∽△COE ， ∴EH ED ＝OE OC ＝12，设OE ＝1，则OC ＝OD ＝2，设HE ＝a ，则DH ＝2a ，∴ (a+1)2+(2a)2＝22 解得：a ＝－1（舍）或a ＝35， ∴ tan ∠AOD ＝6585＝34【课堂练习】（外校题六）如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作O 的切线BM ，弦CD //BM ，交AB 于点F ，且AD ＝CD ，连接AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E 。
历年初三数学总复习圆二
初中数学总复习与圆有关的位置关系〖考试内容〗三角形的内心和外心.切线的性质和判定. 〖考试要求〗①了解直线与圆以及圆与圆的位置关系. ②了解三角形的内心和外心.③了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.〖考点复习〗 1．直线与圆的位置关系.[例1]Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°,AC=3cm,BC=4cm.给出下列三个结论:①以点C 为圆心,2.3cm 长为半径的圆与AB 相离;②以点C 为圆心,2.4cm 长为半径的圆与AB 相切;③以点C 为圆心,2.5cm 长为半径的圆与AB 相交;则上述结论中正确的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个2．圆与圆的位置关系.[例2]已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5和2，O 1O 2＝3，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ） A 、外离 B 、外切 C 、相交 D 、内切[例3]．⊙Ｏ和⊙Ｏ/的半径分别为R 和R /，圆心距OO / = 5，R = 3，当0＜R /＜2时，⊙O 和⊙O /的位置关系是（ ）A. 内含B. 外切C. 相交D. 外离 3．切线的性质和判定[例4]．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA =4，OA =3，则cos ∠APO 的值为（ ）A ．34 B ．35 C ．45 D ．43[例5]．如图，△ABO 中，OA =OB ，以O 为圆心的圆经过AB 的中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F .（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且34 AB ，求的长.[例6]．如图，已知直线L 与◎○相切于点A ，直径AB=6，点P 在L 上移动，连接OP 交◎○于点C ，连接BC 并延长BC 交直线L 于点D ， （1）若AP=4， 求线段PC 的长（2）若ΔPAO 与ΔBAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积（答案要求保留根号） 〖考题训练〗（21）圆21．如图，已知∠AOB = 30 ，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2cm 为半径作⊙M.若点M 在OB 边上运动，则当OM=＿＿＿cm 时，⊙M 与OA 相切.2．半径为3和5的两圆相外切，则其圆心距是（ ）. (A)2 (B)4 (C)8 (D)163．如果两圆只有两条公切线,那么这两圆的位置关系是( ). A.内切 B.外切 C.相交 D.外离OABCE FOMBAAPOB4．若半径为2cm 和3cm 的两圆相外切,那么与这两个圆都相切且半径为5cm 的圆的个数是（ ）A.5个B.4个C.3个D.2个5．如图2，AB 是⊙O 的弦，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，如果∠PAB=30°，那么∠AOB = ______°.6．如图，点P 是⊙O 的直径BC 的延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PA ，切点为A ，连结BA 、OA 、CA ，过点A 作AD ⊥BC 于D ，请你找出图中共有_________个直角(不要再添加辅助线)，并用“”符号在图中标注出来。
2006年中考数学圆热点题型分类解析 华东师大版
2006年中考数学圆热点题型分类解析【专题专点剖析】本专题包括圆的有关性质、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、正多边形和圆四方面内容，它们是初中数学中最核心的内容之一．2006年各省市的考题中反映出的考点主要有：1．准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题．2．既会从距离与半径的数量关系确定点与圆、直线与圆、•圆与圆的位置关系，又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系探索相应半径与距离的数量关系．3．利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及它们之间特有的关系，解证与角、•线段相关的几何问题．4．会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、•割线定理证明一类与圆相关的几何问题．5．会利用圆内接正多边形的性质，圆的周长、扇形的弧长、圆、扇形、•弓形的面积公式，解决一类与圆柱、圆锥、圆台展开图有关的计算问题，并会借助分割与转化的思想方法巧求阴影部分的面积．6．会准确表述有关点的轨迹问题，会用分析法证明一类简单的几何问题．7．会用T形尺找出圆形工件的圆心，会选用作垂直平分线的方法寻找在实际背景中的圆心问题，会作满足题设条件的圆和圆的切线、圆内接正多边形，并会以圆弧和圆的基本元素设计各种优美图案．8．充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、•动态型问题、探索型问题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计．9．综合运用圆、方程、函数、三角、•相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题． 10．本专题主要考查对称作图的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法；同时，考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力，以及创新意识和实践的能力．【解题方法技巧】1．与圆有关的概念正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系．2．与圆有关的角掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径．3．圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理定理与推论是在圆的旋转不变上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”这个关系． 4．与圆有关的位置关系了解点和圆、直线和圆、圆与圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键．5．切线长定理切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．6．弧长、扇形面积计算问题通过作图、识图、阅读图形、探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律，把不规则图形的问题转化为规则图形的问题．7．圆锥的侧面积、全面积的计算正确区分圆锥侧面展开图中各元素与圆锥间的各元素的对应关系是处理此类问题的关键．【热点试题归类】题型1 圆的有关性质1．（2006，某某）如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D•在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______度．O D CB A(1) (2) (3) (4)2．（2006，某某市）在△ABC 中，AB=AC=5，且△ABC 的面积为12，则△ABC 外接圆的半径为________．3．（2006，某某市）如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，•GB=8cm ，AG=1cm ，DE=2cm ，则EF=_______cm ．4．（2006，旅顺口区）如图3，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________．5．（2006，某某）已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C=1：2，则∠BOD=______． 6．（2006，某某）如图4，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC•的周长为______．7．（2006，某某）如图5，AB 是⊙O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD=1，AB=4，•则该圆的半径是________．(5) (6) (7) (8) (9)8．如图6，⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm ．9．（2006，某某）如图7，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120°，∠ABC、•∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．①cos∠BFE=12；②BC=•BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号是________．10．（2006，海淀区）如图8,已知A、B、C是⊙O上，若∠COA=100°，则∠CBA的度数是（）A．40° B．50° C．80° D．200°11．（2006，某某）如图9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°(10) (11) (12) (13) (14) 12．（2006，某某）如图10，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=32，AC=2，则cosB的值是（）A．32B．5532C D．2313．（2006，某某）如图11，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=45°，则∠BOC•的大小是（）A．90° B．60° C．45° D．22．5°14．（2006，某某某某）我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，•点到直线的距离．类似地，如图12，若P是⊙O外一点，直线PO交⊙O于A、B两点，PC•切⊙O于点C，则点P到⊙O的距离是（）A．线段PO的长度; B．线段PA的长度; C．线段PB的长度; D．线段PC的长度15．（2006，某某）如图13，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=•DA，则∠BCD=（）A．100° B．110° C．120° D．135°16．（2006，某某）如图14，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，•则∠DCF等于（）A．80° B．50° C．40° D．20°17．（2006，某某）用一把带有刻度尺的直角尺，①可以画出两条平行的直线a•和b，如图（1）；②可以画出∠AOB的平分线OP，如图（2）；•③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图（3）；④可以量出一个圆的半径，如图（4）．这四种说法正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个18．（2006，某某）图16中∠BOD的度数是（）A．55° B．110° C．125° D．150°（16）（17）（18）19．（2006，某某）如图17，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则CDAB等于（）A．tan∠AED B．cot∠AED C．sin∠AED D．cos∠AED20．（2006，某某某某）如图18已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠ACB=44°，•则∠AOB 的度数为（）A．44° B．46° C．68° D．88°21．（2006，某某某某）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，•交边BC 于点E，连结BD．（1）根据题设条件，请你找出图中各对相似的三角形；（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明．22．（2006，黄冈）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点•弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．（1）若PC=PF；求证：AB⊥ED．（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD=DE．DF，为什么？23．（2006，某某课改区）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．24．（2006，某某市）本市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，•并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示，•请你帮他们求出滴水湖的半径．题型2 直线与圆的位置关系1．（2006，某某）已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，•3cm 为半径作圆，则⊙O与BC的位置关系是________．2．（2006，某某）如图1，AB是⊙O的切线，OB=2OA，则∠B的度数是_______．（1）（2）（3）3．（2006，某某）已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB=2：3，CP=2cm，DP=•12cm，则弦AB的长为_______cm．4．（2006，某某）如图2，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD=•40°，则∠ABC的大小等于_______（度）．5．（2006，某某市）已知圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P•作圆的切线，那么切线长是________．6．（2006，某某）如图3，PB为⊙O的切线，B为切点，连结PO交⊙O于点A，PA=2，PO=5，则PB的长为（）A．4 B．10 C．26 D．437．（2006，旅顺口区）如图4，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O•的半径为（）A．45cm B．25cm C．213cm D．13cm（4）（5）（6）8．（2006，某某某某）如图5，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC•与AB的延长线交于点P，那么∠P等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°9．（2006，某某某某）如图6，已知⊙O中弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=•4，则PD的长是（）A．6 B．5 C．4 D．310．（2006，某某）⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与⊙O•的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定11．（2006，白云区）如图，A是⊙O外一点，B是⊙O上一点，AO•的延长线交⊙O 于点C，连结BC，∠C=22．5°，∠A=45°．求证：直线AB是⊙O的切线．12．（2006，某某）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D是线段BC•的中点．（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线．13．（2006，某某）如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=•80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数．14．（2006，某某）已知在Rt△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O•为圆心，AD为弦作⊙O．（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）若AC=3，tanB=34，求⊙O的半径长．15．（2006，某某）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，PO与⊙O•交于点C，且PA=AB=6cm，PO=12cm．（1）求⊙O的半径；（2）求△PBO的面积．（结果可带根号）16．（2006，海淀区）如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，•求CD的长．17．（2006，某某）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB•于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．题型3 圆与圆的位置关系1．（2006，某某市）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O 于B、C，则BC=_______．2．（2006，某某市）要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm和1cm•的两个外切圆，该矩形长的最小值是_______．3．（2006，某某）已知⊙O与⊙O半径的长是方程x2-7x+12=0的两根，且O1O2=12，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．内含 D．外切4．（2006，白云山区）已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切5．（2006，南安市）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，两圆的圆心距是1cm，则两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切6．（2006，某某市）已知：关于x的一元二次方程x2-（R+r）x+14d2=0无实数根，其中R、•r分别是⊙O1、⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系为（） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含7．（2006，某某市）下列命题中，正确命题的个数是（）①垂直于弦的直径平分这条弦；②平行四边形对角互补；③有理数与数轴上的点是一一对应的；④相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（2006，某某）如果两圆半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两圆的位置关系是（） A．内切 B．相交 C．外离 D．外切9．（2006，某某）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（ • ） A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上都不对10．（2006，某某）在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（）A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形11．（2006，某某市）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，经过⊙O1上一点A•作⊙O1的切线交⊙O2于B、C两点，直线AP交⊙O2于点D，连结DC、PC．（1）求证：DC2=DP·DA；（2）若⊙O1与⊙O2的半径之比为1：2，连结BD，BD=46，PC=12，求AB的长．12．（2006，某某）已知：如图，⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F，连结BD．（1）求证：△ACG∽△DBG；（2）求证：AC2=AC·AB；（3）若⊙A、⊙O的直径分别为65、15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长．13．（2006，某某）已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中心．（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，•连接CD，则△PCD是________．（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O•′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：问题1：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题2：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．我选择问题______，结论：___________．证明：14．（2006，某某）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．（1）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1．（2）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2．（3）如图③，当n为大于2的正整数时，若半径为r n的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙O n依次外切，且⊙O1与AC、BC相切，⊙O n与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙O n均与AB边相切，求r n．①②③题型4 与圆有关的计算1．（2006，某某）如图1，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，•那么这个圆锥的侧面积是________cm2．（1）（2）（3）（4）2．（2006，某某）已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，•则该圆柱的侧面展开图的面积为_____cm2．3．（2006，黄冈）如图2，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是_____cm．4．（2006，某某）如图3，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a•和b 的两个圆，则剩下的纸板面积为________．5．（2006，旅顺口）若圆锥的底面周长为20π，•侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为________．6．（•2006，•某某）•若圆锥的底面半径为3，•母线长为8，•则这个圆锥的全面积是_____平方单位．7．（2006，某某市）已知矩形ABCD的一边AB=5cm，另一边AD=3cm，则以直线AB•为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为______cm2．8．（2006，某某）正十二边形的每一个外角等于______度．9．（2006，黄冈）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是________．10．（2006，某某课改实验区）如图4，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，•AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬地到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______（结果保留根式）．11．（2006，某某）将一个弧长为12πcm，半径为10cm的扇形铁皮围成个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为_______cm．12．（2006，•某某）•圆柱的底面周长为2π，•高为1，•则圆柱的侧面展开图的面积为______．13．（•2006，•某某某某）•已知正六边形的外接圆的半径是a，•则正六边形周长是_____．14．（2006，某某某某）如图5，已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为（）A．15πcm2 B．20πcm2 C．12πcm2 D．30πcm2（5）（6）（7）15．（2006，某某）在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，•顶点C运动的路线长是（）A．24 (333)B C Dππππ16．（2006，某某）如图6，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长9cm，•底面圆的直径为10cm，•那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是（）A．150° B．200° C．180° D．240°17．（2006，某某）一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，•则该圆柱的底面圆半径是（）A．58581016 ...B C Dππππππ或或18．（2006，某某）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．3：2：1 19．（2006，某某市）如图7，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）A．4-49π B．4-89π C．8-49π D．8-89π20．（2006，南安）如图，半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A顺时针旋转180°．（1）请你画出旋转后半圆M的图形；（2）求出在整个旋转过程中，半圆M所扫过区域的面积（结果精确到1cm2）21．（2006，海淀区）如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于E，连结AD，BD，OC，•OD，且OD=5，（1）若sin∠BAD=35，求CD的长；（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．22．（2006，某某市）如图a，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，•沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD=24cm，AB=25cm，若AmD的长为底面周长的23，•如图b所示．（1）求⊙O的半径；（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号）（a）（b）23．（2006，某某市）如图，圆锥的底面半径r=3cm，高h=4cm，求这个圆锥的表面积（π取3.14）．题型5 综合与创新1．（2006，某某某某）如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A•的半径为2，过A作直线L平行于x轴，点P在直线L上运动．（1）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；（2）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．2．（2006，某某市）已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．，3．（2006，某某市）如图，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C且AC AD 弦CD交AB于E，BF⊥L，垂足为F，BF交⊙O于G．（1）求证：CE2=FG·FB；（2）若tan∠CBF=12，AE=3，求⊙O的直径．4．（2006，某某市）如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC•上运动，过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连结BD．（1）求证：∠ADB=∠E；（2）求证：AD2=AC·AE；（3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE．请你利用图②进行探索和证明．5．（2006，某某）街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌．有一天，•小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，•而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，已知BC=5米，半圆形的直径为6米，•DE=2米．（1）求电线杆落在广告牌上的影长（即CG的长度，精确到）．（2）求电线杆的高度．6．（2006，某某）如图①，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点．若点A•的坐标为（-2，0），AE=8．（1）求点C 的坐标;（2）连结MG 、BC ，求证：MG ∥BC;（3）如图②，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，OF PF的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，请说明变化规律．①②7．（2006，某某市）如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，且⊙O 直径BD=6，连结CD 、AD ．（1）求证：CD ∥AO ；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值X围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．8．（2006，某某市）已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，•OP 为半径作圆，点C是圆O的一点．（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO,求证：△CAO∽△BCO；（2）如果AP=m（m是常数，且m>1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O•上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值X围．题型6 中考新题型1．（2006，某某市）在平面直角坐标系xOy中，直线L1经过点A（-2，0）和点B（0，33），•直线L2的函数表达式为y=-33x+433，L1与L2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线L1上运动，设圆心C的横坐标是a，过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．（1）填空：直线L1的函数表达式是________，交点P的坐标是______，∠FPB•的度数是_______．（2）当⊙C和直线L2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，•并写出R=32-2时a的值．（3）当⊙C和直线L2不相离时，已知⊙C的半径R=32-2，记四边形NMOB的面积为S（•其中点N是直线CM与L2的交点），S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由．2．（2006，某某某某）如图10-62①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA•为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC>1），连结BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论．（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否发生变化，若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．（3）如图10-62②，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AG=m，AF=n，•用含n 的代数式表示m ．【热点试题详解】 题型1 1．55 2．252568或 3．6 4．70° 5．120° 点拨：∵∠A+∠C=180°，∠A ：∠C=1：2，∴∠A=60°，∠BOD=2∠A=•120°． 6．9 点拨：△ABC 为等边三角形，∴△ABC 的周长=3AC=9． 75点拨：在Rt △AOD 中，AD=12AB=2，OD=1，∴22AD OD +5． 8．4 点拨：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°， 在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∴BC=12AB=4（cm ）． 9．①②10．B 点拨：∠CBA=12∠COA=50°． 11．A 点拨：在Rt △ABC 中，∠B=70°，∴∠A=90°-∠B=20°． 12．B 点拨：∵∠B=∠D ，在Rt △ADC 中，AC=2，AD=2r=3，∴22AD AC -5∴cosB=cosD=DC AD ． 13．A 点拨：∠BOC=2∠BAC=90°． 14．B 15．C 16．D 点拨：∠DCF=12∠EOD=20°． 17．A18．B 点拨：∠BOD=2（∠BAC+∠CED ）=110°． 19．D 点拨：连结AD ，则∠ADE=90°，△CDE ≌△BAE ， ∴CD DEAB AE==cos ∠AED ． 20．D21．（1）△BED ∽△AEC △BED ∽△ABD △ABD ∽△AEC （2）证明：在△BED 和△AEC 中， ∠BED=∠AEC ，∠D=∠C ， ∴△BED ∽△AEC ．22．（1）证明：连结OC ，∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥PC ．∵OC=OA ，∴∠OCA=∠OAC ． ∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH ． ∴∠AFH+∠OAC=∠PCF+∠OCA=∠PCO=90°． ∴AB ⊥ED ．（2）点D 是劣弧AC 的中点时，使AD 2=DE ·DF ． 在△ADF 和△EDA 中， ∠ADF=∠EDA ，∠E=∠DAF ，∴△ADF∽△EDA．∴AD DF DE AD=．∴AD2=DE·DF．23．OE=OF．证明：连结OA，OB．∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB．又∵AE=BF．∴△OAE≌△OBF，∴OE=OF．24．解：连结OA交BC于D，连结OB．在Rt△BOD中，OB=R，BD=12BC=120，OD=R-5，OB2=OD2+BD2．即R2=（R-5）2+1202．解得R=1 442.5（米）．题型21．相交点拨：过O作OD⊥BC，在Rt△BOD中，OD=12OB=52，∵r=3，∴OD<r，∴⊙O与BC相交．2．30°点拨：AB为⊙O的切线，∴OA⊥AB．在Rt△AOB，OB=2OA，∴∠B=30°．3．10 点拨：设AP=2x，PB=3x，由相交弦定理得，2x·3x=24，∴x=2，AB=5×2=10．4．50 点拨：由于∠A=∠BCD=40°，在Rt△ACB中，∠B=90°-∠A=50°．5．36．A 点拨：连结OB ，在Rt △POB 中，PO=5，OB=OA=PO-PA=3，∴PB=22PO OB =4． 7．B 8．B9．D 点拨：由相交弦定理，得AP ·BP=CP ·PD ． ∴PD=AP BPCP=3． 10．A11．证明：连结OB （如图）．∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC ． ∴∠OBC=∠OCB=22．5°． ∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=45°． ∵∠A=45°．∴∠OBA=180°-（∠AOB+∠A ）=90°． ∵OC 是⊙O 的半径， ∴直线AB 是⊙O 的切线．（过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线） 12．解：（1）点D 在⊙O 上，连接OD ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ， 在Rt △BOF 中，OB=12AB=2，∠B=30°， ∴BF=2·cos30°3．∵．在Rt△ODF中，∵，∴点D在⊙O上．（2）∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴OD∥AC．又∵DE⊥AC，∴∠EDO=90°．又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．13．解：连结OA、OB，在AB弧上任取一点C，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连结AC、BC，∴∠OAP=∠OBP=90°．∵∠APB=80°，在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°．①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°．②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°．14．解：（1）略．（2）证明：连结OD，∵点O是AD垂直平分线上的点，∴OD=OA，∴点D在⊙O上．∠ODA=∠OAD=∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC．∴BC为⊙O的切线．（3）设⊙O的半径长为R，在Rt△ABC中，AC=3，tanB=34．∴BC=4，AB=5， OD∥AC，∴△BOD ∽△BAC ．∴55OD BO RAC AB -=R =,即3． 解得R=158．15．解：（1）设⊙O 的半径为R ， 延长PO 交⊙O 于点D ．由割线定理，得PC ·PD=PA ·PB ． 即（12-R ）（12+R ）=6×12．解得（2）过点O 作OE ⊥AB 于E ，在Rt △BOE 中，=．∴S △PBO =12PB ·OE=12×12×． 16．解：因为弦AC 与BD 交于E ，所以A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点． 所以∠B=∠C ，∠A=∠D ， 所以△ABE ≌△DCE ， 所以684AB AE DC DE DC ==,所以，所以CD=3． 17．证明：（1）∵DC 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥DB ． ∵CH ⊥AB ， ∴CH ∥DB ．即CE ∥DF ．∴CE AEDF AF =． ∵EH ∥BF ，∴EH AE CE EHBF AF DF BF∴==,． ∵点E 为CH 中点，即CE=EH ． ∴DF=BF ．∴点F是BD中点．（2）方法1：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线．方法2：可证明△OCF≌△OBF．（3）解：由FC=FB=FE得∠FCB=∠FBC，可证得FA=FG，AB=BG．由切割线定理得（2+EG）2=BG×AG=2BG2．①在Rt△BGF中，由勾股定理得BG2=FG2-BF2．②由①、②得FG2-4FG-12=0．解得FG=6或FG=-2（舍去）．∴2．∴⊙O的半径为2．题型31．3．9cm3．C 点拨：设⊙O1、⊙O2的半径为R，r，则R=4，r=3，∴0．5<R-r，两圆内含．4．D 点拨：O1O2=R-r．5．D 点拨：O1O2=R-r．6．A 点拨：∵（R+r）2-4×14d2<0，∴d2>（R+r）2，即d>R+r，∴两圆外离．7．B 点拨：只有①正确．8．C 点拨：O1O2>R+r．9．C 点拨：要考虑到两种情况①AB=R+r=10，②AB=R-r=6．10．C 点拨：等边三角形、正五边形、正七边形只是轴对称图形．11．证明：（1）过点P作两圆的内公切线EF交AB于点F．∵FE、CA都与⊙O相切，∴FP=FA，∴∠FAP=∠FPA．∵∠FPA=∠EPD=∠DCP，∴∠FAP=∠DCP．∵∠PDC=∠CDA，∴△CDP∽△ADC．∴CD DPAD CD=，∴DC2=DP·DA．（2）连结O1O2，则点P在O1O2上，连结O1A、O2D，∵O1A=O2P，∴∠O1AP=∠O1PA．又∵O2P=O2D，∴∠O2DP=∠O2PD，∴∠O1AP=∠O2DP．∴O1A∥O2D，∴121 2O PPAPD O P==，∴DP=2PA．由（1）中△CDP∽△ADC得∠DCB=∠DPC，PC CD AC AD=．∵∠DPC=∠DBC ，∴∠DCB=∠DBC ，∴．由DC 2=DP·DA，得（）2=32DF 2， ∴DP=8，AP=4，AD=12．∴12AC ，∴．由AP ·AD=AB ·AC ，得4×AB ，∴AB=43．12．证明：（1）在△ACG 和△DBG 中，∠AGC=∠DGB ，∠ACG=∠DBG ，∴△ACG ∽△DBG ．（2）∵CD 是两圆的公共弦，∴AE 垂直平分CD ．∴AC AD ．∴∠ACG=∠ABC ．∵∠CAG=∠CAB ，∴△ACG ∽△ABC ． ∴AC AG AB AC=． ∴AC 2=AG ·AB ．（3）∵CG ：CD=1：4，∴CG ：GD=1：3．设CG=x ，则GD=3x ，CF=2x ，GF=x ．连结CE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ACE=90°．∴△ACF ≌△AEC ．∴AC 2=AF·AE，∴AF=24515AC AE ==3．在Rt △ACF 中，． ∴CG=3，GF=3，GD=9．在Rt △AFG 中，． 由（2）知：AC 2=AG·AB，∴AB=22AC AG =． 由（1）知△ACG ∽△DBG ，∴35,3AC AG AC DG BD BD DG AG =∴== 13．（1）等腰直角三角形（2）问题1：△PEF 是等腰直角三角形连结PQ 、BP 、AP ，则∠AQP=∠ABP=45°．∴∠PQF=∠PEF=45°．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AQB=∠FQE=∠FPE=90°．∴△PEF 是等腰直角三角形．问题2：AE ⊥BF∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AQB=90°．∴AE ⊥BF ．14．解：（1）r 1=681022AC BC AB +-+-==2． （2）连结O 1A ，O 1C ，O 2B ，O 2C ．则S △ABC =S △AO1C +S △BO2C +S 梯形O1ABO2+S △OO1O2．∴12×6r 2+12×8r 2+12（2r 2+10）·r 2+12×2r 2×（245-r 2）=12×6×8． 解得r 2=107． （3）由（2）得12×6r n +12×8r n +12 [2（n-1）r n +10]·r n +12×2（n-1）r n （245-r n ）=12×6×8． 解得r n =1023n +． 题型41．60π 2．12π 3．（+16）π4．2πab 点拨：S=π·222()()()222a b a b ππ+--．5．300π 6．33π 7．48π 8．30 9．2：1 10．11．8 12．2π 13．6a 14．A 15．•B 16．B 17．C18．A 点拨：r n =R·sin(2)1802n n -︒． 19．B20．解：（1）画图略（2）平面M 所扫过的面积=12×π×202+12×π×102=250π≈785（cm 2）． 21．解：（1）因为AB 是⊙O 的直径，OD=5，所以∠ADB=90°，AB=10．在Rt △ABD 中，sin ∠BAD=BD AB． 又sin ∠BAD=35，所以10BD =35，所以BD=6．=．因为∠ADB=90°，AB ⊥CD ，所以DE ·AB=AD ·BD ，CE=DE ，所以DE ×10=8×6．所以DE=245． 所以CD=2DE=485． （2）因为AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，所以CB BD =，AC AD =．所以∠BAD=∠CDB ，∠AOC=∠AOD ．因为AO=DO ，所以∠BAD=∠ADO ．所以∠CDB=∠ADO ．设∠ADO=4x ，则∠CDB=4x ．由∠ADO ：∠EDO=4：1，则∠EDO=x ．因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°，所以4x+4x+x=90°，所以x=10°．所以∠AOD=180°-（∠OAD+∠ADO ）=100°．所以∠AOC=∠AOD=100°．S 扇形OAC =2100125536018ππ⨯⨯=． 22．解：（1）连结OA 、OD ，作OE ⊥AD 于E ，易知∠AOD=120°，AE=12cm ，可得 AO=r=sin 60AE ︒3cm ）． （2）圆柱形表面积2S 圆+S 侧=（384π3π）cm 2．23．解：在Rt △PAO 中，∵PO=4cm ，OA=3cm ，根据勾股定理得PA=2222PO OA h r +=+=5（cm ）．圆锥的表面积=侧面积+底面积．侧面积=12×2πr·PA=12×2×3.14×3×5=47.10（cm 2）． 底面积=πr 2=3.14×32=28.26（cm 2）．∴圆锥的表面积=47.10+28.26=75.36（cm 2）．题型51．解：（1）点的坐标是（2，3）或（6，3）（2）作AC ⊥OP ，C 为垂足，∵∠ACP=∠OBP=90°，∠1=∠1，∴△ACP ∽△OBP ，∴AC AP OB OP=． 在Rt △OBP 中，22153OB BP +=AP=12-4=8，∴3153AC =． ∴AC=24153 1.94．∵1.94<2．∴OP 与⊙A 相交．2．证明：（1）连结OD ，∵DE 切⊙O 于点D ，∴DE ⊥OD ，∴∠ODE=90°．又∵AD=DC，AO=OB，∴OD∥BC，∴∠DEC=∠ODE=90°，∴DE⊥BC．（2）连结BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°．又∵DE⊥BC，Rt△CDB∽Rt△CED，∴224.3BC DC DCBCDC CE CE=∴===163．又∵OD=12BC，∴OD=12×163=83，即⊙O的半径为83．3．证明：（1）连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°．∵AC AD=，且AB是直径，∴AB⊥CD．即CE是Rt△ABC的高．∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC．∵CF是⊙O的切线，∴∠FCB=∠A，CF=FG．FB．∴∠FCB=∠ECB．∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，∴△BCF≌△BCE．∴CE=CF，∠FBC=∠CBE．∴CE2=FG·FB．（2）∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，∴∠ACE=∠CBF．∴tan∠CBF=tan∠ACE=12=AECE．∵AE=3，∴3CE=12，∴CE=6．在Rt△ABC中，CE是高．∴CE2=AE·EB，即62=3EB，∴EB=12．∴⊙O的直径为12+3=15．4．证明：（1）∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E．∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，∴∠ADB=∠C．又∠ABC=∠C，∴∠ADB=∠E．（2）∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE，∴△ADB∽△AED．∴AD AEAB AD，即AD2=AB·AE．∵∠ABC=∠C，∴AB=AC．∴AD2=AC·AE．（3）点D 运动到弧BC 中点时，△DBE ∽△ADE ．∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∵∠DBC 所对的是弧DC ，∠EAD 所对的是弧DB ．∴∠DBC=∠EAD ，∴∠EDB=∠EAD ．又∠DEB=∠AED ，∴△DBE ∽△ADE ．5．解：（1）∵CG =14×2π×3≈4.7， ∴电线杆落在广告牌上的影长约为．（2）连结OF ，过G 作GH ⊥AB 于H ，则BOGH 是矩形．∵OG=3，BO=BC+CO=8，∴BH=3，GH=8．∵FE 是⊙O 的切线，∴∠OFE=90°．∴22OE OF -．∵∠E=∠AGH ，∠OFE=∠AHG=90°，∴△AGH ∽△OEF ，∴43,8FE OFHG AH AH==即．解得AH=6．即AB=AH+HB=6+3=9．答：电线杆落在广告牌上的影长约为，电线杆的高度为9米．6．（1）（0，4）（2）提示：求OG的长，并得到OG：OC=OM：OB （3）3 57．解：（1）连接BC交OA于E点，∵AB、AC是⊙O的切线，∴AB=AC，∠1=∠2，∴AE⊥BC，∴∠OEB=90°，∴∠DCB=∠OEB，∴CD∥AO．（2）∵CD∥AO，∴∠3=∠4．∵AB是⊙O的切线，DB是直径，∴∠DCB=∠ABO=90°，∴△BDC∽△AOB，∴618,,3BD DC xyAO OB y x =∴=∴=∴0<x<6．（3）由已知和（2）知：11,18.x y xy +=⎧⎨=⎩ 把x 、y 看作方程z 2-11z+18=0的两根，解这个方程，得z=2或z=9． ∴12122,9,9,2,x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍去） ∴=．8．（1）证明：在△CAO 和△BCO 中， 21CO AO BO CO ==，∠COA=∠COB ， ∴△CAO ∽△BCO ．（2）解：∵OP 是OA 、OB 的比例中项， ∴OP 2=OA·OB．设OB=x ，则（1+x ）2=（m+1+x ）·x．解得x=1,111m OC OP x m m ∴==+=--． ∵∠AOC=∠BOC ，∴△CAO ∽△BCO ．∴AC ：BC=CO ：BO=m ：1．（3）∵AC ：BC=m ：1，设BC=y ，则AC=my ， ①当BC>AC+BC 时，即y>my+y ，不成立． ②当AC-BC<BC<AC+BC 时，即my-y<y<my+y ，解得0<m<2，而m>1．∴当1<m<2时两圆相交．③当BC=AC-BC时，即y=my-y，解得m=2．∴当m=2时，两圆内切．④当BC<AC-BC，即y<my-y，解得m>2，∴当m>2时，两圆内含．题型61．（1），P（1，60°（2）或．（3）当a=3或时，存在S的最大值，其最大面积为2 2．解：（1）两个三角形全等．∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴∠OBA=∠CBD=60°．∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD．∵OB=AB，BC=BD，∴△OBC≌△ABD．（2）点E位置不变．∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，∠OAE=180°-60°-60°=60°．在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°或∠AEO=30°，得AE=2，∴．∴点E的坐标为（0．（3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG=mn．又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2=EG·EF．在Rt△EOA中，．）2=（2-mn）（2+n），即2n2+n-2m-mn=0，解得m=222n nn++．。
中考总复习：圆综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：圆综合复习—知识讲解（提高）责编：常春芳【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．要点诠释：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆 1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°． 要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径． 2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n na R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 要点诠释：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．考点六、四点共圆 1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆． （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理） 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ， 证：△APC∽△DPB .相交弦定理的推论⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P.PC 2＝PA·PB . 用相交弦定理.切割线定理⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2＝PA·PB 连结TA 、TB ， 证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、CPA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ， 用两次切割线定理【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． BC 为O 的弦，∠BOC=130°，△ABC 为O 的内接三角形，求∠A 的度数.【思路点拨】依题意知O 为△ABC 的外心，由外心O 的位置可知应分两种情况进行解答. 【答案与解析】应分两种情况，当O 在△ABC 内部时，1113065;22A BOC ∠=∠=⨯︒=︒当O 在△ABC 外部时，由∠BOC=130°，得劣弧BC 的度数为130︒，则BAC 的度数为 360︒－130︒＝230︒,故∠A=115°.综合以上得∠A=65°或∠A=115°. 【总结升华】转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决. 举一反三：【变式】如图，∠AOB＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50B ．80或50C ．130D ．50 或130 【答案】解：当点C 在优弧上时，∠ACB＝21∠AOB＝21×100°＝50°， 当点C 在劣弧上时，∠ACB＝21（360°－∠AOB）＝21×（360°－100°）＝130°．故选D ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图，已知正方形的边长是4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）【思路点拨】设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R ，r ，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可． 【答案与解析】解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R ，r ， 如图，连接OE 、OA ， 则OA 2-OE 2=AE 2，即R 2-r 2=（）2=（）2=4，S 圆环=S 大圆-S 小圆=πR 2-πr 2，（2分）=π（R 2-r 2），（3分） ∵R 2-r 2=（）2=4， ∴S=4π（cm 2）．【总结升华】A BO此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可．3．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A,B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【思路点拨】(1)连OQ,则OQ⊥PN,由勾股定理可以求得PQ 的长；(2)由直线AB 与⊙O 相切,先找出结论成立的条件,当BQ 等于⊙O 的半径时,直线AB 与⊙O 相切,再根据直线AB 与⊙O 相切时的不同位置,分类求出t 的值.【答案与解析】解 （1）连接OQ ．∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ⊥PN, 即90OQP ∠=．10OP =，6OQ =，∴)(861022cm PQ =-=（2）过点O 作OC AB ⊥，垂足为C ．点A 的运动速度为5cm/s ，点B 的运动速度为4cm/s ，运动时间为t s ， ∴t PA 5=，4PB t =．10PO =，8PQ =，∴PQPBPO PA = P P ∠=∠，∴△PAB∽△POQ, ∴∠PBA=∠PQO=90090BQO CBQ OCB ∠=∠=∠=，∴四边形OCBQ 为矩形．∴BQ=OC∵⊙O 的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时．84BQ PQ PB t =-=-．由6BQ =，得846t -=．解得0.5(s)t =． ②当AB 运动到如图2所示的位置时．48BQ PB PQ t =-=-．由6BQ =，得486t -=．解得 3.5(s)t =． 所以，当t 为0.5s 或3.5s 时,直线AB 与⊙O 相切． 【总结升华】本例是一道双动点几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动. 举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例4】【变式】已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE ． （1）求证：BE 与⊙O 相切；（2）连接AD 并延长交BE 于点F ，若OB=9，2sin 3ABC ∠=，求BF 的长．【答案】（1）证明：连结OC .EC 与⊙O 相切，C 为切点.90....ECO OB OC OCB OBC OD DC DB DC ∴∠==∴∠=∠⊥∴=，∴直线OE 是线段BC 的垂直平分线....90.EB EC ECB EBC ECO EBO EBO ∴=∴∠=∠∴∠=∠∴∠= AB 是⊙O 的直径.BE ∴与⊙O 相切.（2）解：过点D 作DM AB ⊥于点M ，则DM ∥FB .在Rt ODB ∆中， 2909sin 3sin 6.ODB OB ABC OD OB ABC ∠==∠=∴=⋅∠=，，，由勾股定理得223 5.BD OB OD =-=在Rt DMB ∆中，同理得 22sin 2 5.5.DM BD ABC BM BD DM =⋅∠==-=O 是AB 的中点，18.13.AB AM AB BM ∴=∴=-= DM ∥FB ，∴△AMD ∽△ABF .36513MD AM BF AB MD AB BF AM ∴=⋅∴==类型三、与圆有关的计算4．如图，有一个圆O 和两个正六边形T 1，T 2． T 1的6个顶点都在圆周上，T 2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．【思路点拨】（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．【答案与解析】解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r：a=1：1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4．【总结升华】计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．举一反三：【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）【答案】解：连接OB、OC；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=8m，∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．过O作OG⊥BC于G，∵△OBC是等边三角形，OB=8m，∴∠OBC=60°，∴OG=OB•sin∠OBC=8×=4m，∴S △OBC=BC•OG=×8×4=16，∴S 六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．类型四、与圆有关的综合应用5．（孝感模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．【思路点拨】（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可．（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值．【答案与解析】（1）证明：连接OD；∵AB是直径，∴∠ACB=90°；∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA；又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AF，∴∠ODE=∠AFD=90°，即OD⊥EF；又∵EF过点D，∴EF是⊙O的切线．（2）解：连接BD，CD；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠AFD；∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴BD=CD；设BD=CD=a；又∵EF是⊙O的切线，∴∠CDF=∠DAC，∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，∴△CDF∽△ABD∽△ADF，∴=，=；∵sin∠ABC==，∴设AC=3x，AB=4x，∴=，则a2=4x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2=CD2﹣CF2=4x﹣1；又∵=，∴4x﹣1=1×（1+3x），∴x=2，∴AB=4x=8，AC=3x=6；∵EF∥BC，∴△ABC∽△AEF，∴=，=，AE=，∴在Rt△AEF中，EF===．综上所述，⊙O的半径及EF的长分别是4和．【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例3】【变式】（2016•甘孜州）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E 两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC=10，cosC=，求AE的长．【答案】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，而AO=BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线；（2）证明：连结DE，如图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∵DH⊥CE，∴CH=EH，即H为CE的中点；（3）解：在Rt△ADC中，CD=BC=5，∵cosC==，∴AC=5，在Rt△CDH中，∵cosC==，∴CH=，∴CE=2CH=2，∴AE=AC﹣CE=5﹣2=3．6．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．【思路点拨】（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．【答案与解析】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE=PC，AC=BC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC．（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，又∵∠APB=45°，∴BP=BE，∴；又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC=AE．∴．（3）答：；证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP．∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴∴【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．举一反三：【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数；（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是；（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .【答案】解：（1）连接OB、OC；∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴OB=OC∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°；又∵BM=CN，∴△OBM≌△OCN，∴∠MOB=∠NOC，∴∠MON=∠BOC=120°；（2）90°；72°；360n．（3）15.。
中考数学复习圆问题2[人教版]
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初三数学专题(六)—圆二
初三数学专题（六）—圆二1、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE·PO。
（1）求证：PC是⊙O的切线。
（2）若OE∶EA=1∶2，PA=6，求⊙O的半径。
（3）求sin∠PCA的值。
2、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC平分线PF交AC于点F，交AB于点E。
（1）求证：AE=AF；（2）若PB∶PA=1∶2，M是弧BC上的一点，AM交BC 于D，且PD=PC，试确定M点在弧BC上的位置，并证明你的结论。
3、已知：如图，BC为圆的直径，O为圆心。
D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E。
（1）求证△ABE∽△DBC；（2）已知BC=5/2，CD=5/2，求sin∠AEB 的值。
（3）在（2）的条件下，求弦AB的长。
4、如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E。
求证（1）AC是⊙O的切线；（2）若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径。
5、如图，在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，点D在AB上运动，但与A、B不重合，过B、C、D三点的圆交AC于E，连结DE。
（1）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当AD长为关于x的方程2x2+（4m+1）x+2m=0的一个整数根时，求m的值。
6、如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=63，∠B为锐角，且关于x的方程x2－4xcosB+1=0有两个相等的实数根。
D是劣弧AC上任一点（点D不与点A、C重合），DE 平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F（1）求∠B的度数；（2）求CE的长；（3）求证：DA、DC的长是方程y2－DE·y+DE·DF=0的两个实数根。
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2006年中考复习之圆与圆（二）知识考点：1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。
2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。
精典例题：【例1】如图，⊙O 1与⊙O 2外切于P ，AB 是两圆的外公切线，切点为A 、B ，我们称△PAB 为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：（1）△PAB 是直角三角形，并且∠APB ＝900； （2）△PAB 的外接圆与连心线O 1O 2相切；（3）以O 1O 2为直径的圆与Rt △PAB 的斜边AB 相切； （4）斜边AB 是两圆直径的比例中项；（5）若⊙O 1、⊙O 2的半径为1R 、2R ，则PA ∶PB ∶AB ＝1R ∶2R ∶21R R +；（6）内公切线PC 平分斜边AB ；（7）△CO 1O 2为直角三角形。
这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明。
例1图 1例1图 2F如图2，⊙A 和⊙B 外切于P ，CD 为两圆的外公切线，C 、D 分别为切点，PT 为内公切线，PT 与CD 相交于点T ，延长CP 、DP 分别与两圆相交于点E 、F ，又⊙A 的半径为9，⊙B 的半径为4。
（1）求PT 的长；（2）求证：PF PE PD PC ⋅=⋅；（3）试在图中找出是线段PA 和PB 比例中项的线段，并加以证明。
分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T 为CD 的中点，∠CPD ＝900，PT 即为外公切线长的一半，CF 、DE 分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了。
略解；（1）作BG ⊥AC 于G ，则CD ＝BG ＝12)49()49(22=--+∴PT ＝CT ＝TD ＝21CD ＝6证明（2）PT ＝21CD ，∴∠CPD ＝900∴CF 、DE 分别是⊙A 和⊙B 的直径 又∵CD 切两圆于C 、D ，∴FC ⊥CD ，ED ⊥CD∴CF ∥DE ，∴PDPF PECP =，∴PF PE PD PC ⋅=⋅（3）图中是PA 和PB 比例中项的线段有PT 、CT 、DT （证明略）【例2】如图，⊙O 和⊙O '内切于点B ，⊙O '经过O ，⊙O 的弦AE 切⊙O '于点C ，AB 交⊙O '于D 。
（1）求证：BD BE BC⋅=2；（2）设AB ＝10cm ，DC ＝15cm ，求AC 和BC 的长。
分析：两圆相切，常见辅助线是作两圆公切线，作连心线，本题添了这两种辅助线，问题便迎刃而解了。
（1）证明：过B 作两圆的公切线BT ，证△BCD ∽△BEC 即可； （2）解：连结O O '并延长，连结OD∵⊙O 与⊙O '内切，∴O 、O '、B 三点共线 ∴BO 为⊙O '的直径 ∴OD ⊥BD ，∴AD ＝BD ＝21AB ＝5 cm∵AC 切⊙O '于C ，∴∠4＝∠5，又∠A ＝∠A ∴△ACD ∽△ABC ，∴BCCD ABAC =∴BC151025=，30=BC cm探索与创新：【问题一】如图，AB 为半⊙O 的直径，⊙O 1与半圆内切于1C ，与AB 相切于1D ，⊙O 2与半圆内切于2C ，与AB 相切于2D ，请比较∠AC 1D 1与∠AC 2D 2的大小。
分析：显然O 、O 1、1C 共线，O 、O 2、2C 共线，又∵O 1D 1⊥AB ，O 2D 2⊥AB ∴∠A 1C 1D 1＝∠AC 1O －∠OC 1D 1＝21（∠OO 1B －∠OOD 1）＝21∠O 1D 1O ＝21×900∙O '∙例2图T54321ODECBA＝450；∠AC 2D 2＝∠AC 2O ＋∠OC 2D 2＝21（∠C 2OB ＋∠OO 2D 2）＝21×900＝450，故∠AC 1D 1＝∠AC 2D 2。
2D 1D 2C 1C ∙∙∙1O 2O 问题一图OBA问题二图【问题二】如图，已知圆心A （0，3），⊙A 与x 轴相切，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上，且⊙A 与⊙B 外切于点P ，两圆的公切线MP 交y 轴于点M ，交x 轴于点N 。
（1）若sin ∠OAB ＝54，求直线MP 的解析式及经过M 、N 、B 三点的抛物线的解析式；（2）若⊙A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上移动，并使⊙A 与⊙B 始终外切，过M 作⊙B 的切线MC ，切点为C ，在此变化过程中探究：①四边形OMCB 是什么四边形？对你的结论加以证明； ②经过M 、N 、B 三点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，请说明理由。
解：（1）提示：先求出M （0，－2）、N （23，0），再用待定系数法易得直线MP 的解析式：234-=x y ，过M 、N 、B 三点的抛物线的解析式为2611312-+-=x x y ；（2）①四边形OMCB 是矩形，证明如下：在⊙A 不动，⊙A 运动变化过程中，恒有∠BAO ＝∠MAP ，OA ＝AP ，∠AOB ＝∠APM ＝900，∴△AOB ≌△APM ，∴PB ＝PM ，AB ＝AM ，∴PB ＝OM ，而PB ＝BC ，OM ＝BC 。
由切线长定理知MC ＝MP ，∴MC ＝OB ，∴四边形MOBC 是平行四边形，又∵∠MOB ＝900，∴四边形MOBC 是矩形。
②存在，由上证明可知，Rt △MON ≌Rt △BPN ，∴BN ＝MN 。
因此存在过M 、N 、B 三点的抛物线内有以BN 为腰的等腰三角形MNB 存在。
由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M '与M 关于其对称轴对称，∴BN ＝M B '，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB 和△NB M '。
跟踪训练： 一、选择题：1、如果两圆的半径分别为R 、r ，外公切线长为r R +，那么这两个圆（ ）A 、相交B 、外切C 、外离D 、外切或外离 2、两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，大圆的半径是R ，小圆的半径是r ，则Rr 等于（ ）A 、12+B 、2)12(-C 、2D 、12- 3、已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，过点P 的直线AB 分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、B 。
已知⊙O 1和⊙O 2的面积比为3∶1，则AP ∶PB ＝（ ） A 、3∶1 B 、6∶1C 、9∶1D 、3∶14、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，外公切线BC 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B 、C ，与连心线O 1O 2交于P ，若∠BPO 1＝300，则⊙O 1和⊙O 2的半径之比为（ ）A 、1∶2B 、3∶1C 、2∶3D 、3∶4 二、填空题：1、两圆的外公切线长为116，内公切线长为310，若圆心距是20，则两圆的半径分别是 。
2、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，AB 是外公切线，A 、B 是切点，若AB ＝5，BC ＝3，则⊙O 1的半径为 。
3、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，AB 是外公切线，A 、B 是切点，两圆半径分别为9cm 、4 cm ，则AC ∶BC ＝ 。
∙1O 2O ∙第2、3题图CBA∙1O 2O ∙第4题图 BA∙1O 2O ∙第6题图ECDBA4、如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，现给出四个命题：①若AC 是⊙O 2的切线，且交⊙O 1于C ，AD 是⊙O 1的切线，且交⊙O 2于D ，则：BD BC AB⋅=2；②连结AB ，O 1O 2，若O 1 A ＝15 cm ，O 2 A ＝20 cm ，AB ＝24 cm ，则O 1O 2＝25 cm ； ③若CA 是⊙O 1的直径，DA 是⊙O 2的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上；④若过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O 1于点C ，直线CA 交⊙O 2∙2O 1O ∙选择第4题图PC BA于点E ，连结则DC DB DE⋅=2。
则正确命题的序号是 （填序号）。
5、两外切，其半径分别为4和3，这两个圆的连心线与一条外公切线所夹锐角的正切值为 。
6、如上页图，⊙O 1与⊙O 2外切于A ，⊙O 1的弦BC 延长切⊙O 2于D ，BA 交⊙O 2于E ，若∠BDE ＝1100，则∠BAC ＝ 。
三、计算或证明题：1、如图，已知矩形ABCD ，⊙O 1与⊙O 2外切，⊙O 1与AD 、AB 、AC 相切，⊙O 2与BC 、CD 相切。
（1）若AB ＝18，BC ＝25，求⊙O 2的半径；（2）若连心线O 1O 2与BC 的夹角为300，O 1O 2＝12，求矩形ABCD 的面积。
2、如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于P ，外公切线AB 分别切⊙O 1于A ，切⊙O 2于B ，且AB ＝312，∠A O 1O 2＝600，求两圆的半径及O 1O 2的长。
∙1O 2O ∙第1题图FE CDB A1O 2O 第2题图PBA第3题图FC3、如图，已知⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦AC 切⊙P 于点A ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E ，过点E 作EF ⊥CE 交CB 的延长线于F 。
（1）求证：BC 是⊙P 的切线；（2）若CD ＝2，CB ＝22，求EF 的长；（3）若设k ＝PE ∶CE ，是否存在实数k ，使△PBD 恰好是等边三角形？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
跟踪训练参考答案一、选择题；DBDB 二、填空题： 1、6，4；2、310；3、3∶2；4、①②③④；5、123；6、400三、计算或证明题：1、略解：（1）易知⊙O 1的半径为9，设小圆半径为r ，连结O 1O2、O 1E 、O 2F ，作O 2M ⊥O 1E 于M ，则[]222)9(25)9()9(r r r --+-=+，解得4=r ；（2）矩形ABCD的面积为3108216+；2、18=R ，6=r 。
3、（1）证BP ⊥CB ；（2）2；（3）存在31=k 。