2020届河北省衡水市武邑中学高三上学期期末数学(理)试题(解析版)

2020届河北省衡水市武邑中学高三上学期期末数学（理）试题一、单选题 1．2020i =（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质求解. 【详解】解：()5052020450541i i i ⨯===.故选：A. 【点睛】本题考查虚数单位i 的运算性质，属于基础题型.2．设i 为虚数单位，复数()()12i i +-的实部为（ ） A ．3 B ．-3C ．2D ．-2【答案】A【解析】根据复数的运算法则及复数的概念即可求解. 【详解】因为()()122+213+i i i i i +-=-+=， 所以复数的实部为3， 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题. 3．若向量()(),3a x x R =∈r ，则“4x =”是“5a =r”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：如果4x =，则5a ==r，充分性成立；反之，如果5a =r，则可得4x =±，必要性不成立，故答案选A.【考点】1、充分必要条件；2、平面向量.4．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A ．B ．y =C ．D ．【答案】A【解析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】 函数，在区间 上单调递减，函数 在区间上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.5．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A ．-7B ．7C ．1D ．-1【答案】B【解析】由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α=-， 再由两角和的正切公式()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-，将tan 2α=-代入运算即可.【详解】 解：因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭， 所以sin 2cos αα=-，即tan 2α=-， 又()1tan 3αβ+=， 则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-， 解得tan β= 7， 故选B. 【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.6．将函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则函数()f x 的一个单调减区间为A ．5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】先根据平移变换求出ϕ，然后再根据正弦函数的单调区间. 【详解】把()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向右平移4π个单位长度后得到()sin(2)sin(2)26g x x x ϕππ=-+=+，所以23ϕπ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令2222232k x k ππ3ππ+≤+≤π+，解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，令0k =可得一个减区间为,]1212π5π[-，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间求解，平移图象时，注意x 的系数对解析式的影响.7．如图，在平行四边形ABCD 中,11,,33AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =u u u r （ ）A ．1122AB AD -u u ur u u u rB ．1122AD AB -u u ur u u u rC ．1133AB AD -u u ur u u u rD ．1133AD AB -u u ur u u u r【答案】A【解析】利用向量的加减法的几何意义将DG u u u r转化为AB u u u r ，AD u u u r 即可.【详解】1122DG DE DF =+u u u r u u u r u u u r112()223DA AE DC =++⋅u u ur u u u r u u u r 111()233AD AB AB =-++u u ur u u u r u u u r 1122AB AD =-u u ur u u u r 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题. 8．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（ ）A ．3-B ．13C ．12-D ．2【答案】D【解析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a 的值，可发现周期为4，即可得到2020i =，2a =，2021i =，此时输出2a =. 【详解】1i =，3a =-.2i =，12a =-.3i =，13a =.4i =，2a =.5i =，3a =-.可发现周期4，2020i =，2a =，2021i =. 此时输出2a =.故选：D 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题.9．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O 为圆心的大圆直径为4,以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（ ）A ．384ππ++B ．684ππ++C ．342ππ++D ．642ππ++【答案】B【解析】分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可. 【详解】上方阴影部分的面积等于AOB V 的面积12222AOB S =⨯⨯=V . 下方阴影部分面积等于212122214422πππ⎛⨯⨯--=+ ⎝. 所以根据几何概型得所求概率：21624284P ππππ+++==++. 故选：B 【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.10．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M N 、两点，则||||||FM FN FA +的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】椭圆：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），圆C ：（x ﹣R+c ）2+y 2＝R 2,二者联立，得得e 2x 2+2（c ﹣R ）x +a 2﹣2RC ＝0，利用韦达定理可得结果. 【详解】解：椭圆：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），圆C ：（x ﹣R+c ）2+y 2＝R 2，联立解得e 2x 2+2（c ﹣R ）x +a 2﹣2RC ＝0， 设 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则有x 1+x 2222R ce -=， 因为|MF|===a +ex 1， 同理|NF |＝a +ex 2，所以|MF |+|NF |＝e （ x 1+x 2）+2a 2Re=，∴||||1=||e FM FN FA +故选：A. 【点睛】本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查了圆与椭圆的位置关系，考查推理能力与计算能力.11．已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） A．2B ．12C．4D【答案】B【解析】画出()f x 的图像，结合图像，根据()()()f a f b a b =<，求得,a b 的取值范围.令()()(]2,4t f a f b ==∈，将,a b 用t 表示，由此求得ab 的表达式，进而利用导数求得ab 的最小值. 【详解】画出()f x 图像如下图所示，令122log 4x +=，解得14x =.所以1124a b ≤<<≤. 令()()t f a f b ==，由图可知(]2,4t ∈.122log 2bt a =+=，所以24,log 2t a b t ==.所以()24log 242tt ab t =<≤. 构造函数()()24log 142tth t t =≤≤（稍微放大t 的范围）.()2'11ln 2log ln ln 2ln 24422t tt tt t h t -⋅-⋅⋅=⋅=⋅. 令()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅，()'2110ln 2m t t t=--<⋅， 所以()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅在[]1,4上递减.而()()()218ln 2110,4ln 24ln 2m m -⋅=>=⋅.由于ln e <<， 所以1ln 212<<，()21ln 214<<，()228ln 28<⋅<，所以()()218ln 2404ln 2m -⋅=<⋅. ()()140m m ⋅<， 故存在()01,4t ∈，使()00m t =.所以()h t 在[)01,t 上递增，在(]0,4t 上递减.所以对于()24log 242tty t =<≤来说，最小值只能在区间端点取得. 当2t =时，224log 212=； 当4t =时，244log 4122=. 所以()24log 242tt ab t =<≤的最小值为12. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A ．54B ．43C ．32D 5 【答案】B【解析】设出右焦点F 的坐标和渐近线,OA OB 的方程，由点到直线的距离公式求得BF ，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得,a b 的关系，由此求得,FA FC 的长，进而求得||||FA FC 【详解】双曲线22221x ya b-=的右焦点(),0F c，渐近线OB的方程为by xa=，即0bx ay-=，渐近线OA的方程为by xa=-，即0bxay+=.所以22bcBF bca b===+，22OB c b a=-=，225433a aAB a⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 所以4tan3ABAOBOB∠==，而()tan tantan tan1tan tanAOF BOFAOB AOF BOFAOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b ba aba--===-，解得2b a=或12b a=-（舍去）.所以44102333a a aAF b a=+=+=.在Rt COF∆中，由射影定理得2OF BF FC=⋅，所以222225522OF c a b a aFCBF b b a+=====，所以10||435||32aFAaFC==.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____； 【答案】21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈，两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈，即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列， 又22221+S a a ==，所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈，又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题. 14．我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件： ①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<； ②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a .根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列1,23456,,,,__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ii ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.【答案】是 是【解析】依据定义检验可得正确的结论. 【详解】若数列为1,23456,,,,，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义， 故1,23456,,,,为“有趣数列”. 若2(1)nn a n n=+-，则21212221,212121n n a n a n n n -+=--=+--+， 222222,22222n n a n a n n n +=+=+++. 21212224220212141n n a a n n n -+-=--+=--<-+-，故2121n n a a -+<.()()222411222022212n n a a n n n n +-=-+=-+≤-+<++,故222n n a a +<.212222221210212212n n a a n n n n n n--=----=---<--，故21n a -<2n a . 综上，{}n a 为“有趣数列”. 故答案为：是，是. 【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题.15．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为__________；过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，若4AF =，则AOB V 的面积为__________．【答案】(10),【解析】由抛物线的标准方程可得焦点的坐标，利用焦半径公式可得A 的横坐标，求出其纵坐标后可求出直线AB 的方程，联立直线方程和抛物线方程后求出B 的坐标，最后可求AOB ∆的面积. 【详解】由抛物线24C y x =：可得2p =，故焦点坐标()1,0.设()00,A x y ，则00142pAF x x =+=+=，故03x =. 根据抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，则0y =，故AB k ==，故直线):1AB y x =-.由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 可得231030x x -+=，故3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1123AOBS ∆=⨯⨯=. 故答案为：()1,0，3. 【点睛】本题考查抛物线的焦点、焦半径公式及抛物线中与三角形有关的面积计算，一般地，抛物线()220y px p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02px +；抛物线()220x py p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02py +.直线与抛物线相交后的交点坐标，一般是联立方程组求解，本题属于中档题.16．如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点,P Q ，若060PAQ ∠=，且3OQ OP =u u u r u u u r，则双曲线的离心率为____________．【答案】【解析】试题分析：因为060PAQ ∠=，所以PAQ ∆为正三角形，设AP m =,则,OB AB m m ==，其中B 为PQ 的中点，所以2PQb kc e m a ===⇒=⇒=【考点】双曲线渐近线三、解答题17．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2(sin cos cos sin )sin A C A C A +=sin C +.⑴求证：a 、b 、c 成等差数列； ⑵若7c =，23C π=，求b 和sin 2B 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）5b =，sin 298B =【解析】（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理证得2b a c =+，从而证明结论成立；（2）利用余弦定理22+49+=a b ab ，再由（1）27=-a b ，联立求得b 的值；由正弦定理求得sin B ，再利用倍角公式求得sin 2B 的值. 【详解】（1）因为()2sin cos cos sin sin sin +=+A C A C A C ， 所以()2sin sin sin A C A C +=+.由于在ABC ∆中，+=A C B π-，所以()sin sin A C B +=， 所以2sin sin sin B A C =+. 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2b a c =+. 所以,,a b c 成等差数列. （2）在ABC ∆中，27,3c C π==， 由余弦定理，得222272cos 3a b ab π=+-, 即22+49+=a b ab .由（1）知27=-a b ，所以()()2227+2749-+-=b b b b ，解得5b =.由正弦定理，得2sin3sin 14b Bc π==. 在ABC ∆中，因为于2=3C π，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11cos 14B ===.所以sin 22sin cos B B B ==. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求cos B 的值时，注意角0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭这一条件的应用. 18．棋盘上标有第0、1、2、L 、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）求99P 、100P 的值.【答案】（1）分布列见解析，随机变量X 的数学期望为92；（2）证明见解析； （3）9910021132P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1009911132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量X 在相应取值时的概率，可列出随机变量X 的分布列，由此计算出随机变量X 的数学期望；（2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，也可以由第()1n -站跳2站得到，由此得出111122n n n P P P +-=+，并在该等式两边同时减去n P ，可得出所证等式成立；（3）结合（1）、（2）可得1112n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法求出数列{}n P 的通项公式，从而可求出99P 和100P 的值. 【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6.()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为13319345688882EX =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ，也可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -，所以，111122n n n P P P +-=+. 等式两边同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤；（3）由（2）可得01P =，112P =，210113224P P P =+=. 由（2）可知，数列{}1n n P P +-是首项为2114P P -=，公比为12-的等比数列， 111111422n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫∴-=⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()23999912132999811112222P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 98100111421211123212⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，又9999989911=22P P ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，则989921132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.19．如图，在三棱柱111 ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,底面ABC V 是正三角形,13,AB AA ==11111,33AE AB C F AC ==(1)求证:1//A E 平面BCF ;(2)求直线1AA 与平面BCF 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析,(2)13【解析】(1) 在线段BC 上取一点G .使13CG BC =.连结.EG FG .利用线段成比例定理可以证明出线线平行以及数量关系,根据平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理可以证明出本问；(2) 以B 为坐标原点，,,Bx BC BB 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可以求出直线1AA 与平面BCF 所成角的正弦值. 【详解】(1)证明:在线段BC 上取一点G .使13CG BC =.连结.EG FG . 在ABC V 中.因为11,33AE AB CG BC ==, 所以22,33BE AB BG BC ==, 所以23BE BG AB BC ==, 所以，//EG AC 且23EG AC =,因为111111, //3C F AC ACAC =. 所以111122//33A F AC AC A F AC ==且,所以1//EG A F 且1EG A F =,故四边形1A FGE 为平行四边形,所以1//A E FG , 又1A E ⊄平面,BCF FG ⊂平面BCF , 所以1//A E 平面BCF .(2)以B 为坐标原点，,,Bx BC BB 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面ABC V 是正三角形，1 3.AB AA AE ===11.3AB C F =1113AC , 所以点()()350.0.0.0.3.0.,,3()2B C F , 则()350.3.0.,,322BC BF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,设平面BCF 的法向量为(),,n x y z =r.由()()()·,,?0,3,0055·,,?,,3302222n BC x y z n BF x y z x y z ⎧==⎪⎛⎫⎨==++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩u u u v v u u u v v ,令z =得平面BCF的一个法向量为(6,0,.n =r,又()10,0,3AA =u u u r,设直线1AA 与平面BCF 所成角的大小为θ.则sin 13AA n AA nθ⋅===u u u r ru u ur r , 所以直线1AA 与平面BCF 所成角的正弦值为13. 【点睛】本题考查利用平行四边形的性质证明线面平行,考查了利用空间向量求线面角,考查了数学运算能力.20．近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10C ︒的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于10C ︒容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为25, (1)请将下面的列联表补充完整;(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;(3)已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中,有2名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的20名女性中,选出2名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为X ,求X 的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中 .n a b c d =+++【答案】(1)见解析,(2) 不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.(3)分布列见解析,15【解析】(1)根据在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为25,可以求出患伤风感冒疾病的幼儿的数量，这样可以补充完成列联表； (2)代入公式求出2K 的值，根据所给的表写出结论；(3) 根据题意,X 的值可能为0,1,2.分别求出相应的概率值，列出分布列，计算出数学期望即可. 【详解】(1)列联表补充如下;()2计2K 算的观测值为()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2100203520250.6734 2.70640604555⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美. (3)根据题意,X 的值可能为0,1,2.则()()121512222020153180,119095C C P X P X C C ======,()2222012190C P X C ===,故X的分布列如下：X012P 15319018951190故X的数学期望：()1531811 012190951905E X⨯++⨯==⨯.21．已知函数，，其中是自然对数的底数．（Ⅰ），使得不等式成立，试求实数的取值范围；（Ⅱ）若，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：第一问根据题意将问题转化为在区间上的最大值小于等于在区间上的最大值，之后根据函数的单调性求得相应的最值，第二问转化不等式，将问题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，从而求得结果．试题解析：（Ⅰ）由题意，，使得不等式成立，等价于．1分，当时，，故在区间上单调递增，所以时，取得最大值1．即又当时，，所以在上单调递减，所以，故在区间上单调递减，因此，时，．所以，则．实数的取值范围是．（Ⅱ）当时，要证，只要证，即证，由于，只要证．下面证明时，不等式成立．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当且仅当时，取最小值为1．法一：，则，即，即，由三角函数的有界性，，即，所以，而，但当时，；时，所以，，即综上所述，当时，成立．法二：令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为：，由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线取得斜率的最大值为．而当时，；时，．所以，，即综上所述，当时，成立．法三：令，则，当时，取得最大值1，而，但当时，；时，所以，，即综上所述，当时，成立．【考点】等价转化的思想，恒成立问题的解决方法．22．平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点(2,4)M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22sin cos ρθθ=.（1）写出直线l 的参数方程（α为常数）和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，且·40MA MB =，求倾斜角α的值． 【答案】（1）直线l 的参数方程为2tcos 4tsin x ay a =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程22y x =；（2）4πα=. 【解析】（1）直接写出直线l 的参数方程，将曲线C 的极坐标方程化为222sin cos ρθρθ=，再将x cos y sin ρθρθ==，代入上式即可得解；（2）把直线l 的参数方程代入22y x =中，得22(28)200t sin cos sin t ααα-++=，由一元二次方程根与系数的关系得:12220sin t t α=，再根据直线的参数方程中参数的几何意义，得12220·40sin MA MB t t α===，求出α的值即可. 【详解】（1）直线l 的参数方程为2tcos 4tsin x ay a =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C ：22sin cos ρθθ= ，即222sin cos ρθρθ=，将x cos y sin ρθρθ==，代入上式得曲线C 的直角坐标方程为：22y x =；（2）把直线l 的参数方程代入22y x =中，得22(28)200t sin cos sin t ααα-++=，设A ，B 对应的参数分别为12t t ，， 由一元二次方程根与系数的关系得:12220sin t t α=，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得12220·40sin MA MB t t α===，得4πα=或34πα=.又22(28)800cos sin sin ααα-∆=+>，所以4πα=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其参数t 的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 23．已知函数()11f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且14m a b+=，求+a b 的最小值．【答案】（Ⅰ）[]1,1-； （Ⅱ）92. 【解析】（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得2m =，再由()122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式求解即可. 【详解】（Ⅰ）Q ()2121121x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，，， ∴ 122x x ≤-⎧⎨-≤⎩ 或 1122x -<≤⎧⎨≤⎩ 或122x x >⎧⎨≤⎩ ∴ 11x -≤≤,∴不等式解集为[]1,1-.（Ⅱ） Q ()()11112x x x x -++≥--+=,∴ 2m =,又142a b+=,0,0a b >>, ∴1212a b +=,∴ ()125259222222a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭, 当且仅当1422a b b a⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 即323a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号,所以()min 92a b +=.【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。