第5章机械波A

o
x
x
(波源)
x P点比 点时间落后：t′ = 点比o点时间落后 点比 点时间落后： (这里：u是波速 这里： 是波速 是波速) 这里 u 2π x (注意:ω = ) P点比 点位相落后：ϕ′ = ωt′ = ω 点比o点位相落后 点比 点位相落后： T u
4
横波—质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。 横波 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直 纵波—质点的振动方向和波的传播方向相互平行 质点的振动方向和波的传播方向相互平行。 纵波 质点的振动方向和波的传播方向相互平行。 2.波面和波线 波线(波射线 波射线) 波的传播方向 波的传播方向。 波线 波射线 —波的传播方向。 波面(波阵面 波动过程中， 波面 波阵面) —波动过程中，振动位相相同的点连 波阵面 波动过程中 成的面。最前面的那个波面称为波前。 成的面。最前面的那个波面称为波前。 平面波—波面为平面的波动 本章只讨论这种波。 波面为平面的波动。 平面波 波面为平面的波动。本章只讨论这种波。 球面波—波面为球面的波动 波面为球面的波动。 球面波 波面为球面的波动。 在各向同性媒质中，波线总是与波面垂直。 在各向同性媒质中，波线总是与波面垂直。 波面
ρ
质量密度(惯性 质量密度 惯性) 惯性
固体中的横波，波速： 固体中的横波，波速：u = 纵波，波速： 纵波，波速：u = 柔绳中的横波，波速： 柔绳中的横波，波速：u =
G
切变弹性模量 杨氏弹性模量 绳中的张力 质量线密度
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ρ
Y
ρ
T
µ
2.波的周期T—媒质质元完成一次全振动 媒质质元完成一次全振动 的时间。波的周期完全由波源 周期)确定 周期完全由波源(周期 确定。 的时间。波的周期完全由波源 周期 确定。 3.波长λ — 一个周期内波动传播的距离。 波长λ 一个周期内波动传播的距离。
P(x)点比已知点C时间落后： 点比已知点 时间落后： 点比已知点 时间落后 P(x)点比已知点 点比已知点 点比已知点C x−l t′ = 超前用“ 超前用“+”； u
例题2-3 波速 波速u=20cm/s，沿x轴负方向 例题 ， 轴负方向 传播， 波动方程： 传播， yA=0.4cos4πt(cm), 求波动方程： π (1)以A为坐标原点； 为坐标原点； 以 为坐标原点 u (2)以B为坐标原点。 为坐标原点。 以 为坐标原点 A B
3
0
4
8
12
16
20
在波的传播过程中， 在波的传播过程中，媒质中的质点并不 随波逐流 逐流” “随波逐流”, 它们在各自的平衡位置附近 振动；传播的是波源的振动状态。 的是波源的振动状态 振动；传播的是波源的振动状态。 沿着波的传播方向, 振动是依次落后的。 沿着波的传播方向, 振动是依次落后的。 y u p
• • • • • •
p24
波动—振动状态的传播过程。 波动 振动状态的传播过程。 振动状态的传播过程
u
• • • • • •
2
•
·· · · · · · · · · · · ·· · · · · · ·· ·· · · t=0 ·· ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· t = T/4 · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · ·· t = 3T/4 ·· ·· ·· · · · · · ··· ··· ·· t=T ·· · ·· · · ···
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波动方程的标准形式 波动方程的标准形式: 的标准形式
y = Acos[ (t ω
x ) + ϕo ] u
式中： 号表示波沿x轴正方向传播 轴正方向传播； 式中：“ ”号表示波沿 轴正方向传播； 轴负方向传播。 “ ”号表示波沿x轴负方向传播。 号表示波沿 轴负方向传播 ϕo是坐标原点的初相。 坐标原点的初相 的初相。 考虑到， 考虑到，ω=2π/T，λ=uT , 波动方程还可写为 π ，
(3)x1=1m和x2=2m两点的相差： 两点的相差： 和 两点的相差
2π π ( x2 − x1 ) = (2 − 1) = ∆ϕ = 4 2 λ
18
π
2π
例题2-2 波以 沿x轴正方向传播， 波以u沿 轴正方向传播 轴正方向传播， 例题 yC=Acos(ωt+ϕ), 求: (1)原点 的振动方程； 原点o的振动方程 原点 的振动方程； (2)波动方程。 波动方程。 波动方程
一平面余弦行波在均匀无耗媒质中沿x轴 一平面余弦行波在均匀无耗媒质中沿 轴 正方向传播，波速u， 正方向传播，波速 ，坐标原点的振动方程为 y=Acos(ω t+ϕo) 坐标为x的 点的振动方程 波动方程)。 点的振动方程(波动方程 求：坐标为 的P点的振动方程 波动方程 。
y
u
o
P
x
x
注意这里： 注意这里： 这里 x表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离； 表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离； 表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离 y表示各质点对平衡位置的位移。 表示各质点对平衡位置的位移。 表示各质点对平衡位置的位移
u=
λ
T
=νλ
4.平面简谐波—波面为平面，媒质中各质点 波面为平面， 波面为平面 都作同频率的简谐振动形成的波动。 都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨 论这种波。 论这种波。
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5.1.3 惠更斯原理 媒质中波动传播到的各点,都可以看作是 媒质中波动传播到的各点 都可以看作是 发射子波的波源,其后任一时刻 其后任一时刻,这些子波的包 发射子波的波源 其后任一时刻 这些子波的包 迹就是新的波阵面。 迹就是新的波阵面。 作用： 作用 ： 用几何作图的方法就能确定下一时刻 的波阵面，从而确定波的传播方向。 的波阵面，从而确定波的传播方向。
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1 1 y = 0.5cosπ (t − x + ) 2 2 (2)x=2m处质点的振动方程： x=2 处质点的振动方程： 处质点的振动方程
y = 0.5cos( t − )m π 2 dy π t=1 π υ = = −0.5πsin(πt − ) -0.5π(m/s) dt 2 dυ π t=1 2 a= = −0.5π cos( t − ) 0 π dt 2
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y
u
o
P
x
x
原点o的振动方程为 原点 的振动方程为 y=Acos(ω t+ϕo) 因: 均匀无耗媒质、平面波, 所以P点的振幅仍 均匀无耗媒质、平面波 所以 点的振幅仍 是A。角频率仍为ω。 。角频率仍为ω P点比 点时间落后 t'=x/u 点比o点时间落后: 点比 点时间落后 点的振动方程(即 则P点的振动方程 即波动方程 为 点的振动方程 波动方程)为
y = Acos[ω(t − t′) +ϕo ]
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P点的振动方程 即波动方程 为 点的振动方程(即波动方程)为 点的振动方程 x y = Acos[ (t − ) + ϕo ] ω u
y
u u
o
P
x
x
点比o点时间超前 若波沿x轴负方向传播， 点比 点时间超前: 若波沿 轴负方向传播，则P点比 点时间超前 轴负方向传播 t‘=x/u，波动方程应为 ， x y = Acos[ (t + ) + ϕo ] ω u
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t 时刻波面
· · · · ·
t+∆t时刻波面 ∆ 时刻波面
波传播方向
t + ∆t ·t ·
· · · · · · · ·
u∆t ∆ 平面波
· · · ·
球面波
惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。 惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。
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§5.2 平面简谐行波的波动方程 ! 平面简谐行波的波动方程
t 2 比较法: 解 (1)比较法 y = Acos[ π ( 比较法 T
x
λ
) + ϕo ]
t x π y = 0.5cos[ π ( − ) + ] 2 2 4 2
轴正方向传播； ∴波沿x轴正方向传播；A=0.5m, T=2s, ν =1/2Hz, 波沿 轴正方向传播 原点的振动初相ϕ π 。 λ=4m, u= λ /T=2m/s, 原点的振动初相ϕo=π/2。
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y
λ u
x
o
3.当x,t 都变化时，代表一列沿 轴正方向传播的波。 当 都变化时，代表一列沿x轴正方向传播的波 轴正方向传播的波。 x y = Acos[ (t − ) + ϕo ] ω u = Acos[ (t + ∆t x+u∆t )+ϕo] ω u 上式表明， 时刻x点的振动状态 点的振动状态， 上式表明，t 时刻 点的振动状态，经时间∆t 后传播到了x轴正方向的 轴正方向的x+u∆t 处。 后传播到了 轴正方向的
ϕ o=(ϕ+ ωl /u)
x−l ) + ϕ] ∴ y = Acos[ (t − ω u
19用t → ( t t′ Nhomakorabea)法: 法 yC=Acos(ωt+ϕ) ω ϕ 波动方程: 波动方程 y=Acos(ω(t ω t')+ϕ) ϕ
y o
u
C P
l
x
x
x−l 落后用“ y = Acos[ (t − ω ) +ϕ] 落后用“−”。 u 得坐标原点o的振动方程为 令x=0得坐标原点 的振动方程为 得坐标原点 的振动方程为: ωl y = Acos( t + ω + ϕ) u 20
t y = Acos[ π ( 2 T