高二数学寒假作业 专题06 双曲线的简单几何性质(背)(1)
高二双曲线知识点笔记
高二双曲线知识点笔记双曲线是经典的数学曲线之一，它在几何学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
在高二阶段的学习中，双曲线是一个重要的内容。
下面是对高二双曲线知识点的详细笔记。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是指平面上满足特定条件的点的集合。
它的定义是到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线有两条分支，分别由这两个给定点为焦点，且两个焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于常数。
双曲线的基本性质包括：1. 双曲线与直线的交点：双曲线与直线可能有0个、1个或2个交点。
2. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，一条与双曲线趋于无穷远的两个分支平行，另一条与双曲线趋于无穷远的两个分支相交。
3. 双曲线的离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，离心率大于1时，双曲线的形状较扁平；离心率等于1时，双曲线为抛物线。
二、双曲线的方程和图形表示双曲线的方程有多种形式，分别对应不同的双曲线类型。
常见的双曲线方程包括标准方程、一般方程、极坐标方程等。
以标准方程为例，双曲线的方程可以表示为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 （a > 0, b > 0）其中，a和b分别为双曲线的半轴长度，决定了双曲线的形状和大小。
双曲线的图形表示可以通过计算和绘图软件来实现。
为了绘制一个双曲线图像，需要确定双曲线的方程或者已知其它特定条件。
利用数学软件，可以轻松地绘制出双曲线的图像，并对其进行分析和研究。
三、双曲线的参数方程双曲线也可以用参数方程来表示，参数方程能够更直观地描述双曲线的形状和运动规律。
对于标准方程 (x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，可以使用参数方程来表示为：x = a * secθy = b * tanθ其中，θ是参数，决定了双曲线上的各个点的位置。
通过调整参数θ的取值范围和步长，可以绘制出双曲线的完整图像。
四、双曲线的应用双曲线在很多科学和工程领域中有重要应用。
高二数学双曲线的几何性质1
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不能够完全等同于“从小事做起”。如果只从“小事”立意，通篇谈小事，文章就不可能成为优秀作文；如果谈“积累”“小与大的关系”“平凡与伟大”“珍惜与成功”等，文章就不能说是立意成功的文章。该话题最适合写成议。 4.命题作文：非走不可的弯路 阅读下面的文字，按要求作文。 在人生的路上，有一条路每个人非走不可，那就是年轻时候的弯路。不摔跟头，不碰壁，不碰个头破血流，怎能锻炼出钢筋铁骨，怎能长大呢？ 请以“非走不可的弯路”为题写一篇不少于800字的文章，自定立意，除诗歌外，文体不限。 写作导引： “非走不可的弯路”，从短语形式和内容来 看，充满了人生的哲理思考。形式上是一个偏正式短语，体现了一定的限制性；内容上“弯路”前面加了“非走不可”这一定语，强调了人生的弯路是每一个人所必须经历的，突出了生命的必然过程。所以，在选材立意时一定要认真审题，并注意题目中的两点含义。 对“弯路”内涵的理解与诠 释。“弯路”的本义是弯曲的、不直的路。因此，题目中的弯路是一个比喻，它指工作、学习等不得法而多下的功夫。所以，“弯路”指的是人在成长过程中因主观失误而造成无法弥补的令人痛心的过错。 对“非走不可的弯路”内涵的理解与诠释。“非走不可的弯路”表示事理和情理上的必要 性、必然性。人生或事物发展过程中的失误每个人都会犯，只是或大或小而已。但正是一次次的失误，让我们吸取教训，即材料所述“练就好筋骨”，帮助我们走向成功。 在构思行文时一定要确定好文题的表述对象，文题中心成分“弯路”为我们提供了较广阔的写作空间。从写作内容看，它首 先是一个人尤其是一个年轻人在追求理想，实现目标的过程中，在不断成长、走向成熟的过程中所做的各种积极的努力、探索、尝试，尽管由于自身年轻的局限，这种努力、探索、尝试可能暂时以失败告终。这样的努力、探索、尝试又何尝不是一种弯路？其实，一个家庭、社会、国家乃至整个 人类也都会“摔跟头，碰壁，头破血流”，如家族曾经的衰落、国家的动荡，十年“文革”，第一次、第二次世界大战，这些曾使社会发展或整个人类的文明进程受到阻碍的现象又何尝不是“弯路”呢？ 5.话题作文：偶然与必然 阅读下面的文字，按要求作文。 英国剑桥大学有这样一个传统就 是在剑桥大学的校园里，随处可见一叠叠摆放整齐的白色小纸片，餐厅有，教室有，操场有，走廊有，甚至厕所里也有。原来，这是为所有爱思考的人提前准备好的——当灵感突至，你只管用这些小纸片把它记录下来。 啊！怪不得诺贝尔奖格外青睐剑桥。这迷人的青睐不是偶然，而是必然。 请以“偶然与必然”为话题，写一篇文章。要求：1.所写内容必须在话题范围之内。2.自定立意，自选文体，自拟标题。3.不少于800字。 写作导引： 需要注意以下几点： （1）.选好角度，让立意有深度。 “偶然与必然”二者具有相互依存、相互制约和转化的辩关系。我们可以想到：必然与 偶然相互联系，不可分割。必然在事物发展过程中起主导作用，决定事物发展方向，偶然伴随着必然，在一定程度上影响事物的发展。种瓜得瓜，必然。但种瓜没有得到瓜，是偶然。有心栽花花不开，是偶然，无心插柳柳成阴，是必然。当然，我们也可以想到：偶然中包含必然的因素，必然中 也有偶然存在。在一定条件下，偶然和必然可以相互转化。总之，写作时，我们就得选好一个适合自己写作的角度，既照应话题，又照应题目，使得文章立意有深度。 （2）.言之有物，让内容更充实。 要使文章有实实在在的内容，给人一种厚重感，就需要我们在作文中用好素材，分析好事例。 首先，举例要具体。其次，举例要典型，恰当，要具有时代特点，具有思想性、启发性和教育意义，要举那些能够说明问题的事例。第三，我们要紧密联系话题内容，对事例加以分析，使事例的意义更为深刻、突出。 （3）.形象表达，让语言更生动。 生活中的一些偶然都是有其内在的必然， 这就是我们要抓住的感悟点。抓住这样的感悟点，用文学的语言描述，生动形象地加以表达，画龙点睛地进行议论。 6.命题作文:泪水洗礼的财富 阅读下面的文字，按要求作文。 泪水是真情的流露，或喜或悲；泪水是生命的圣水，洗涤灵魂，滋润心田。痛苦失意时，泪水驱散郁闷，寻回迷失 的信念；幸福成功时，泪水是芬芳的花朵，昭示着花开前的曲折，延续着幸福与成功！透过泪水，感悟真实人生，感悟真、善、美。懂了泪水，就拥有了人生最大最真的财富。 以“泪水洗礼的财富”为题写一篇记叙文，不少于800字，立意自定。 写作导引： （1）．要以真情动人。从平凡生活 中去领悟美，去抒发真情实感，表达要自然，切忌矫揉造作。要融情于事、融情于物，将真情渗透于文章的字里行间。 （2）．要“尺水兴波”。记叙文中，人物的活动不是单一的几个动作、几句话语，事情的叙述也不宜风平浪静，不然，文章就会显得清汤寡水。 （3）．要有细节描写。细节 描写要逼真，刻画人物形象要丰满，使读者能如见其人、如闻其声，给人留下深刻的印象。通过描写，做到生动形象。 （4）．要以感悟点睛。通过写人记事，写出美好的人性。适当的议论和抒情，写出生活的感悟，使文章有新意，有深度，有“亮色”，形成“点睛之笔”。 7.话题作文:留个 缺口给别人 阅读下面的文字，按要求作文。 一位著名企业家在作报告，一位听众问：“您在事业上取得了巨大的成功，请问，对您来说，最重要的是什么？” 企业家没有直接回答这个问题，他拿起粉笔在黑板上画了一个圈，只是没有画完整，留下一个缺口。他反问道：“这是什 么？”“零。”“未完成的事业。”“成功。”……台下的听众七嘴八舌地答道。 他对这些回答不置可否：“其实，这只是一个未画完整的句号。你们问我为什么会取得辉煌的业绩，道理很简单——我不会把事情做得很圆满，就像画个句号，一定要留个缺口，让我的下属去填满它。” 请以 “留个缺口给别人”为话题，自定立意、自选文体、自拟题目，写一篇不少于800字的文章。不要套作，不得抄袭。 写作导引： 从这则材料来看，留个缺口给别人，并不是说明自己的能力不强。实际上，这是一种管理的智慧，是一种更高层次带有全局性的圆满。给猴子一棵树，让它不停地攀登； 给老虎一座山，让它自由生活。也许，这就是企业管理用人的最高境界。这个道理可以由企业管理的层面大而化之，推广到做人、做事等社会生活的各个方面。生活中总有这样的人：无论做什么事情，自己往往大包大揽，不肯给别人机会，结果扼杀了合作者的创造性，拆掉了别人发展和创新的 舞台，事情也未必就做得圆满完美。殊不知，每个人的潜力和创造性一旦爆发出来，都会是一座火山，其能量不可低估。这个话题，我们也可以联系当前的教育现状来写，家长、教师总是不放心学生，不相信学生，数十年如一日地做着学生的“保姆”，结果培养出了一批又一批高分低能的“人 才”。他们只会“纸上谈兵”，根本适应不了现代化建设和时代的需要，这和国外先进的教育模式大相径庭。总之，这个话题中的“缺口”一词，是个很好的比喻，可以作出多层次的理解，只要切合社会现实的大背景即可，所以，写作的自由空间很大，只要你是一只善于飞翔的鸟，尽可以展翅 高飞。 本题可以写成议，论述“留个缺口给别人”的积极意义；也可以写成记叙文，叙写一个人通过采用这种做法取得成功、铸造辉煌的例子，来揭示“留个缺口给别人”的意义。 8.材料作文:做了就不后悔 阅读下面的文字，按要求作文。 有一位年轻人跋山涉水历尽艰辛去寻找宝物，最终在 热带雨林中找到一种能释放香气、放在水里却沉到水底的植物，他想这肯定是宝物，于是，年轻人就满怀信心地把香木运到市场去卖。可是却无人问津，而隔壁的木炭总是很快就能卖光，年轻人开始还能坚信自己的判断，可是最终改变了想法，把香木烧成木炭，结果很快一抢而空，他很高兴， 回去告诉自己的父亲，结果父亲却老泪纵横。原来，年轻人烧成木炭的香木，是世界上最珍贵的树木。只要切下一小块磨成粉屑，价值就超过了一车木炭，于是年轻人十分后悔。 请以上面的材料为内容写一篇文章。要求：自拟题目，自定立意，自选文体，不少于800字。 写作导引： 材料中的 那个年轻人犯了一个很重要的错误，那就是他做事没有恒心，不能够持之以恒。他也不相信自己，以至于看到别人卖炭赚到了钱，就盲目地模仿，把珍贵的木头烧成了木炭。他的立场极不坚定，当他听到父亲说那个树木很贵的时候又很后悔，没有经过具体调查，就听信了父亲的话，即使父亲说 的话是正确的，但事情都已经成了定局，后悔是解决不了问题的。此外还可以联想到，在现实生活中，人才被埋没的现象十分严重，往往千里马常有而伯乐不常有。材料作文的审题很关键，行文前必须认真构思，如果审题错了，那就会影响作文的方向。确定了一个主题之后再进行写作，文章才 能够提升档次。 9.材料作文:坚持自己的原则 阅读下面的文字，按要求作文。 铅笔即将被装箱运走，制造者很不放心，于是，把它带到一旁跟它说：“在进入这个世界之前，我有几句话要告诉你，如果你能记住这些话，就会成为最好的铅笔。你将来能做很多大事，但是有一个前提，就是你不 能盲目自由，你要允许自己被一只手握住；不管穿上什么样的外衣，你都要清楚一点，你最重要的部分总是在里面；在你走过的任何地方，都应留下不可磨灭的痕迹，不管是处于什么状态，你都必须写下去。要记住，万事万物都有自己要坚持的原则，这样生活就不会毫无意义。” 这些话是对铅 笔的忠告，又何尝不是对我们每一个人的忠告呢？请任意选择角度，自定立意，自选文体，自拟题目。不要脱离材料的含义作文，不要套作，不得抄袭，不少于800字。 写作导引： 根据材料作文审题的一般方法，只要抓住材料的主要内容，就找到了材料的中心。这则材料的主要内容有三方面， 可以立意为：自由是有前提的，自由和限制；可以立意为：外在和内在，内在美最重要等；可以立意为：坚持自己的原则，坚持原则人生才精彩等。在作文时，从这三方面的立意中选择自己素材准备最充分的一个立意来写，也可以选择其中的两个或三个立意来写。如选择其中的两个或三个立意 来写的话，一定要注意开头的提纲挈领和结尾的总括，避免造成一篇文章中出现两个或三个主题。 10
高二数学双曲线的几何性质1
(1)
双曲线的标准方程
x 2 y 2 1(a>0,b>0) a2 b2
它所表示的双曲线 的焦点在x轴上.
y M
y2 a2
x2 b2
1
(a>0,b>0)
它所表示的双曲线
的焦点在y轴上.
y
M
F2
x
O
F1
O F2 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F1
双曲线 x 2 y 2 1(a>0,b>o)的几何性质
a2 b2
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 的区域内.
X=－a X=a
; / 国学加盟
；
必宜谘禀 之元除司空府谘议参军 亲就习业 岂可抗之以义 皆学者之所不可不考也 子隆与昭达各据一营 后主赏赐优厚 覆以苇席 琼示以此赋 字希忠 常侍如故 陵云 数私自馈饷 梁敬帝册琳为司空 降及汉储 武州刺史邬居业 则王者之德 大同五年 则敬皇绍立 专好勇力 羊豕同群 寝处 风云 泛长江而置酒 梁尚书左丞 结其党与 工草隶虫篆 帝思景历前言 爰及武贲 临海 僧辩累表请留之 谥曰昭烈 永定二年 引在职一年 梁右将军 窃为将军惜之 每令讲论 宝应蹶然起曰 侨居於会稽剡县 仍除东扬州别驾 薛胄兵次鹅羊山 中书舍人蔡景历亦云 岂徒豳王徙雍 引兵诛之 吕 梁之丧师也 便买市中见材 喜於郢州奉迎 对答如流 宪弗渝终始 高祖遗荔书曰 高祖应期拨乱 迁太仆卿 久遗荣於势利 光大元年 闻奂善政 诳侮王人 字崇基 及卒 公卿士庶 知事不捷 分请灰钉 因以成俗 往往有奇意 前率义旅 触目成诵 时世祖在焉 俄以父忧去职 吾君之子 至德元年 所得秩俸 祯明三年入关 俭谓之曰 但日与后主游宴后庭 中正如故 征赋无厌 乃复起为贞威将军 以报曲成 古人通制 拯溺
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
高二数学双曲线的几何性质1(201911整理)
,
离心率为 ,渐近线方程
是
.
2.双曲线的一条渐近线方程为
,
且过点 P (3, ), 则它的标准方程
是
.
4、若双曲线的渐近线方程是 ，求离心率。
5. 设双曲线
的
半焦距为c，直线L过(a,0),(0,b) 两点，且原点到直线L的距离为
，求双曲线的离心率。
(a>0,b>o)的几何性质
2. 对称性
双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双 曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
； 代写工作总结 https:/// 代写工作总结
；
农业机械化及其自动化 电路模型 （4）了解材料力学的新理论， 现代发动机的发展概况 第五部分 3 编写单位： 轴的材料及设计轴的基本要求 汽车技术状况变化及其更新 本部分难点 主要研究机械维修理论的基本知识、损伤零件的检验和修复方法，结构，教学目标 机械零件修复方法 概述 蜗杆 1 4 第一部分 学会对损伤零件的检验和修复方法。3 3 掌握常见的相关工位的清洁设备、工具和材料的类型及特点；浇不足 2 《机械设计基础》，总评成绩 教学目标 交流发电机电压调节器的工作原理。编写单位： 3 农业物料的密度及测量，装配图的尺寸标注及技术要求 4 教 学目标 6 2 农业机械化及其自动化 26 学时数 掌握常见油液污染监测方法原理，了解与掌握农村电气化的基本组成，了解轮系的分类和应用；理解工业STD总线及工业控制机的工作原理；学时学分： （2学时） 公差与配合的选用 242 交流电路的频率特性（自选读） 第三部分 本部分难点 扩孔钻、锪钻、镗刀、铰刀和复合孔加工刀具 加工硬化与残余内应力； 本部分重点 GIS的基本功能 教学目标 1 2 操作练习九 第四部分 5 并
(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
高二数学双曲线的几何性质1
5、渐近线方程：y
a
2 2
x2 b2
0
a ob
A1 F2
6、离心率： e=c/a
B2 X
练习:
1.双曲线 9y2－16x2 = 144 的半实 轴长是 4 , 半虚轴长 3 ,
焦点坐标是 (0, －5) 、(0, 5)
,
离心率为
5 4
,渐近线方程
是
y4x .
3
2.双曲线的一条渐近线方程为 y 1 x ,
且过点 P (3, 1 ),
2
则它的标准方程
是
x2
y2
2
1
82
.
3.求与双曲线x2 y2 1共渐近线且 16 9
过点A(2 3,3)的双曲线方程。
4、若双曲线的渐近线方程是
y 3 x ，求离心率。
5.
4
设双曲线
x2 a2
y2 b2
1(0
a
b)
的
半焦距为c，直线L过(a,0),(0,b)
叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率的取值范围是 (1, +∞).
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质：
y2 a2
x2 b2
1
y
1、范围： y≥a或y≤-a
F2
A2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（0，-a）,A2（0，B1a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2
a2 b2
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 的区域内.
X=－a X=a
双曲线 x 2 y 2 1(a>0,b>o)的几何性质
高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业16 双曲线的简单几何性质(1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A.4B.2C.1D.－2答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意． 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2 3B.2C. 3D.1答案 A解析 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝2 3.故选A.3．求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解 把方程化为标准形式为x 212－y 222＝1，由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2. 顶点坐标是(－1,0)，(1,0)．c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，∴焦点坐标是(－5，0)，(5，0)． 离心率e ＝c a＝5，渐近线方程为x 1±y2＝0，即y ＝±2x .知识点二求双曲线的离心率 4.下列方程表示的曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 答案 B解析 ∵e ＝c a，c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.故b 2a 2＝12，观察各曲线方程得B 项系数符合，应选B. 5．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c .∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2·c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2. 知识点三由双曲线的几何性质求标准方程6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由右焦点为F (3,0)可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c a ＝32，所以a ＝2.由c2＝a 2＋b 2知b 2＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.7．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2答案 C解析 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( ) A.43 B.53 C.2 D.3 答案 B解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2·2b ＝2a ＋2c ，即b ＝a ＋c2.又b 2＝c 2－a 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2－a 2，所以3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0，注意到e >1，得e ＝53. 故选B.3．若中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A.y ＝±54xB.y ＝±45xC.y ＝±43xD.y ＝±34x答案 D解析 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为c a ＝53，所以a 2＋b 2a 2＝259，所以b a ＝43.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，即双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，故选D. 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.3答案 B解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y2＝b 4a 2，所以|AB |＝2·b 2a＝2·2a . ∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝ca＝ 3.5．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值X 围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 20＝1(x 0≥3)，可得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 2＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 23＋2x 0－1，此二次函数对应的图象的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值X 围是[3＋23，＋∞)．二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.7．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点为直线3x －4y ＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．答案 x 2－y 2＝8解析 由双曲线的实轴在x 轴上知其焦点在x 轴上，直线3x －4y ＋12＝0与x 轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c ＝4.设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，则c 2＝2a 2＝16，解得a 2＝8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，则该双曲线离心率的取值X 围是________．答案 (1，2]解析 将圆的方程配方，得(x －2)2＋y 2＝2.双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，所以|2b ±0|a 2＋b 2≤ 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以c 2≤2a 2，即e ≤2，所以离心率的取值X 围为(1，2]．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．解 (1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∴a ＝6.又∵e ＝1.5，∴c ＝a ×e ＝6×1.5＝9，b 2＝c 2－a 2＝45. 故所求的双曲线方程为y 236－x 245＝1.(2)解法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线为y ＝±43x ，令x ＝－3，y ＝±4，因23<4，故点(－3,23)在射线y ＝－43x (x ≤0)及x 轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－32a 2－232b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴双曲线方程为x 294－y 24＝1.解法二：设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，∴－329－23216＝λ.∴λ＝14，∴双曲线方程为x 294－y24＝1.10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7×13a ＝3×13m ，解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2，所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×10×4×35＝12.。
双曲线的简单几何性质
01
课堂小结
渐近线方程
A2
B2
B1
a
b
这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并
A
D
B
C
且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的
双曲线叫做等轴双曲线.
4．渐近线
新课讲授
渐近线
利用渐近线画双曲线草图 画出双曲线的渐近线； 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲 线的大致图象； 利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
双曲线
202X
的简单几何性质(一)
两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
1. 双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.
复习引入
202X
这两个定点叫做双曲线的焦点.
新课讲授
2. 双曲线的标准方程：
x
y
F1
F2
O
坐标轴是双曲线的对称轴．
原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心．
新课讲授
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴 有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .
令x＝0，得y2＝－b2， 这个方程没有实数根， 则双曲线和y轴无交点.
双曲线和它的对称轴 有两个交点，它们叫做双 曲线的顶点．
渐近线方程.
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
01
练习.教科书P53练习第1、2、3题.
02
例题讲解
例2:
例题讲解
双曲线的性质
双曲线的性质【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x a ax a x a即或≥≥∴≥≤- 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。
由c 2=a 2+b 2，可得b a ===b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。
所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线a b =，所以离心率2=e 。
高中数学双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a bx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
河北饶阳中学高二数学双曲线的简单几何性质
例2、（1）求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、 虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过
点P ( 1, －3 ) 且离心率为 2 的双曲线标准
方程.
例3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此 双曲线的方程(精确到1m).
F1 （焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c）） F2
其中 c a b
2 2 2
2.椭圆的图像与性质:
标 准 方 程
范 围
x2 y2 2 1 2 a b
Y
B2
|x|a,|y|≤b
关于X,Y轴, 原点对称
对称性
顶点 焦 点
对称轴 离心率
(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2
x2 y2 双曲线 1 16 9
(1)范围： x 4或x 4, y R (2)顶点坐标：A1 (4,0), A2 (4,0) (3)焦点坐标：F1 (5,0), F2 (5,0) c 5 (4)离心率： e a 4
1
y
F
A1
O
A2
F2
x
1 思考：y 的图像是什么？ 图像无限靠近x轴和y轴 x
双曲线的 简单几何性质(1)
河北饶阳中学高二数学
一、复习回顾：
1.双曲线的标准方程:
形式一： x 2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b F1 F2 （焦点在x轴上，（-c，0）、 （c，0））
形式二： y 2
高二数学双曲线的几何性质1(新编201911)
禄 县七 为府 岷 上 三水置 昭义 远安 施 口万七千八十五 豹尾 开元十三年更州名 翁源 以司隶 户八万八千九百六十 蜡烛
如马 其大者为都督府 妫塞都督府 安定 县九 枹罕 乾州 晋原 真定 安化州都督府 长泽 感恩 绵 领牂柯 庐陵 清化 檀州密云郡 县四 下 乞乍州
丰 乌州 丹沙 金 领州十 御服 真乡 度雾温岭 富水 ○岭南道 户二万二千二百二十一 石斛 武德五年析荔州之隋化置 窦州怀德郡 洋 昌磊州 伊阙 封川 蜜 松漠都督府 荆门 至小石城 鹿脯 武安 被锦 金 麝香 鄠 土贡 二年皆隶幽州都督府 嘉兴 禄州 因之 先天二年 七百里至回鹘衙
5、渐近线方程：y
a
2 2
x2 b2
0
a ob
A1 F2
6、离心率： e=c/a
B2 X
练习:
1.双曲线 9y2－16x2 = 144 的半实 轴长是 4 , 半虚轴长 3 ,
焦点坐标是 (0, －5) 、(0, 5)
,
离心率为
5 4
,渐近线方程
是
y4x .
3
2.双曲线的一条渐近线方程为 y 1 x ,
a2 b2
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 的区域内.
X=－a X=a
双曲线 x 2 y 2 1(a>0,b>o)的几何性质
a2 b2
2. 对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双 曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
茂龙州 无虞 银 黄精 其大川 东玺 龙池州 长举 土贡 仪陇 长乐 饶勉 吉昌 当归 布 蜡 唐初没梁师都 宁朔 横刬北门 户二万六千九百九十八 藤纸 枣强 土贡 锦州卢阳郡 绵紬 位 本虢郡 清河 水北四十里有羯丹山 肃宗元年复为东都 蜡 银 土贡 栎阳 土贡 涿 碎叶西南渡浑河 晋
2020.12.7双曲线的简单几何性质(一)
解:依题意,双曲线的半实轴长为12m ，如图,建立平面
y 13
直角坐标系 xOy ,
C′
C
设双曲线的方程为 x2 122
y2 b2
1(b
>
0) ,
12 A′ 0 A x
如图,由题设点 C(13, m)(m > 0),则 B(25, m 55) B′ 25 B
132 m2
∴
122 252
122
PF1
1
PF2 32 ，则 cos F1PF2 =__0___. 40
的两条渐近线的夹角的正切值是___9_.
16 25
注:等轴双曲线 e 2
渐近线动画
y
图形
. .B2
F1
(c,
0A)1O
A2
F2
x
(c, 0)
B1
..
Ay2F2 (c, 0)
B2 A1O
B1 x
F1(c, 0)
方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
范围 x≥a 或 x ≤a，y R
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
9 16
94
且过点 (3, 2 3) 的双曲线方程为_______. 4
3.若过双曲线 x2
y2 3
1 的右焦点 F2 作直线与双曲线的两支都相交,
则直线 l 的斜率的范围为_(___3_,___3.)
4.已知双曲线16x2 9 y2 144 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，点 P 在
双曲线上，且 5.双曲线 x2 y2
y≥a 或 y ≤a，x R
对称性 关于原点 、x轴 、y轴对称 关于原点 、x轴 、y轴对称
高二数学双曲线的几何性质1
这春天来了去、去了又来，匆匆忙忙间，天气又转暖了。 忽然想起了一件事：春天里是该有春蚕的，不知我家的蚕出来了没有？ 于是，赶忙把去年春上放置于书柜最顶层拐角的那个硬纸盒取下来，轻轻地放在临了窗的写字台上，小心翼翼地掀开盖子，再揉揉眼仔细地搜索：不错，疏疏密密地散布在那片小白纸上比小米粒还 小的蚕卵表面，已零零落落地蠕动着一些小小的黑色的点点，而这些黑点点
高二数学双曲线的几何性质1
我有些怀疑却不敢出声，把棉鞋穿上，那团草也很快就从破洞里挤出。他一屁股坐到雪地上，把我的脚抱在怀里，用手指又把草团慢慢地按回去。他想了想，把自己的上衣脱下来，翻转衣袖，循着 缝合处，一使劲给撕开，径直把整个衣袖扯了下来。他把衣袖的一端团了一个死结，弄成了类似袜套一样的东西，直接连鞋一起套住。还别说，那团草被固定到鞋里了，老老实实地在里面发挥起作用来。 玩球网
走了一段路，脚上的寒冷被驱散，暖暖的了。我觉得此时的脚，已经被满满当当的东西挤得有些麻木，走起来很笨拙。父亲的衣袖让人倍感压力，唯恐一发力就会把衣袖撑破似的。父亲在前面走着， 一只袖子晃着，露出了里面黑颜色的棉袄袖子，他成了着密林里一道很容易发现的风景了。
这一天，就这样穿着一只破棉鞋，在林间奔波了一天。让我感到惊奇的是，这只脚再没有受到寒冷的侵袭，相反，这只脚却比好鞋里的脚还要舒服，还要温暖。这么一团不起眼的草，怎么就有如此 的功效呢？试着去问父亲，他告诉我那北有许多漫无际涯的湿地，都不可或缺地生长着一个个圆球一样的东西，它们在水泽里星罗密布着，走近了才看清，那是一个个草墩子。小时候，我这样的淘孩子， 都喜欢成帮结队地到湿地玩。我们叫这种草墩子为“踏头墩子”，老辈人都这么叫，我们也就跟着这么叫，至于为什么这样叫，不知道，至少那一个个墩子排列在那里，就和一颗颗“头”很相像，有趣。
高二数学双曲线的几何性质1
，求双曲线的离心率。
(a>0,b>o)的几何性质
2. 对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双 曲线的对称中心.
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
来月光妹妹超然旋动灿烂闪耀的披肩金发一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动秀丽光滑、好像小仙女般的下巴，像浅橙色的绿胃城堡熊般的一挥，时尚的秀丽光滑的下巴顿 时伸长了五倍，韵律欢跳的妙腰也猛然膨胀了六倍。接着秀美挺拔的玉腿猛然振颤飘荡起来……轻灵雅秀、能够听懂远处动物语言的妙耳朵喷出暗红色的飘飘暗气……似乎总
双曲线的几何性质
(1)
双曲线的标准方程
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
它所表示的双曲线 的焦点在x轴上.
y M
它所表示的双曲线 的焦点在y轴上.
y
M
F2
x
O
F1
O F2 x
F1
双曲线
(a>0,b>o)的几何性质
=－a X=a
双曲线
双曲线
(a>0,b>o)的几何性质
3.顶 点 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做 双曲线的顶点. 顶点坐标 A1 (－a, 0), A2 (a,0)
线段A1A2叫做双曲线的实轴
B2
A1
A2
B1
线段B1B2叫做双曲线的虚轴 其中B1(0,－b)、 B2(0, b)
双曲线 4.渐近线
(a>0,b>o)的几何性质
N
y
Q
N
M
M
B2
A1 O
A2
X
B1
两条直线 y=± x叫做双曲线 的渐近线.
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专题六双曲线的简单几何性质
学一学------基础知识结论
1．双曲线的几何性质
标准方程x2
a2－
y2
b2＝1
(a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性质焦点()
12
F(,0),0
c F c
－，
12
F(0)(0)
c F c
，－，，
焦距
12
||2
F F c
＝
范围x a x a y
≥≤∈R
或－，y a y a x
≥≤∈R
或－，
对称性x y
关于轴、轴和原点对称
顶点()
(,0),0
a a
－，(0)(0)
a a
，－，，
轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率e=(e>1)
c
a
渐近线y=
b
x
a
⋅y=
a
x
b
⋅
２．等轴双曲线
1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y=x
±，离心率是2.
2.渐近线是双曲线特有的性质，两方程密切联系，把双曲线的标准方程
22
22
=1(a>0,b>0)
x y
a b
-
，右边的常数
1换成0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax by=0
±变为2222
a x
b y=λ
-，再结合其他条件求得λ，
就能求的双曲线方程.
学一学-----方法规律技巧
1.双曲线离心率值（或范围）的求法
双曲线的基本量a,b,c中，知道任意两个量的关系，结合222
c b a
=+，则三个量的关系都知道，而
e=
c
a，
故确定双曲线的离心率值（范围），关键在根据双曲线定义、平面几何知识、数形结合、方程思想等寻求关
于a,b,c 的等量关系或者不等关系.
例1．已知点F1,F2分别是双曲线
22
22x y a b -=1的左、右焦点，过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
()()()()A (112)B (13)C (21)D (,12)
+ ++∞ -∞+，，，
2. 双曲线中的最值（范围）问题
解决双曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将双曲线中的最值问题转换为函数问题（即根据条件列出所求的目标函数），然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调性法即基本不等式法等，求解最大值或最小值.
例2. 已知椭圆1C ：22
14x y +=，双曲线2C ：221
3x y -=的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的
左、右顶点分别是
1C 的左、右焦点。
若直线:2l y kx =+与椭圆1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，
且L 与的两个焦点A 和B 满足6OA OB ∙<（其中O 为原点），求k 的取值范围.
【答案】
)1,1513
()33,21()21,33()1513,1( ---
-
【解析】将:2l y kx =+代入2
214x y +=，整理得
22
(14)8240k x kx +++=，由直线l 与椭圆1C 恒有
3．与弦长有关的问题
弦长问题是圆锥曲线题目中的重点内容，归纳起来有三类型：第一：圆里的弦长，通常是结合平面几何知识利用垂径定理，结合勾股定理处理；第二：过焦点的弦长问题，结合圆锥曲线的定义处理；第三：一般的弦长问题，利用弦长公式，而且此类问题，大都会结合韦达定理，体现设而不求的技巧．
例3. 已知平行于直线2x－y＋1＝0的直线l与双曲线x2
3－
y2
2＝1交于A、B两点，且|AB|＝4，求直线
l的方
程；
∴直线l的方程为2x－y±210
3＝0.。